XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ
24-28 Ağustos 2015, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon
KALINLIĞI HİPERBOLİK DEĞİŞEN FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ (FD) DÖNEN DİSKLERİN
LİNEER ELASTOSTATİK ANALİZİ
Cem Boğa1 ve Vebil Yıldırım2
1Çukurova Üniversitesi Adana Meslek Yüksekokulu Makine Programı, Adana 2Çukurova Üniversitesi Müh. Mim. Fak. Makine Mühendisliği Bölümü, Adana
ÖZET
Bu çalışmada mühendislikte çok geniş uygulama alanına sahip olan ve son yıllarda oldukça önem kazanan fonksiyonel derecelendirilmiş (FD) malzemeden yapılmış, değişken kalınlıklı ve sabit açısal hızla dönen disklerin lineer elasto-statik analizi Tamamlayıcı Fonksiyonlar yöntemi ile etkin bir şekilde ele alınmıştır. Metod üç farklı metal-seramik çifti için ve ıraksak/yakınsak hiperbolik disk profileri ile üniform disk profili için uygulanmıştır. Malzeme değişim fonksiyonu olarak üssel değişim seçilmiştir. Söz konusu malzemelerden yapılmış disklerde meydana gelen radyal doğrultudaki yer değiştirme ile radyal ve teğetsel gerilmelerin açısal hız ve disk profillerine göre değişimleri grafikler halinde sunulmuştur.
ABSTRACT
In the present study, elasto-static linear analysis of the rotating variable-thickness disks made of functionally graded (FG) materials, having a wide range of applications in engineering and gaining considerable importance in recent years, is discussed effectively with the Complementary Functions method. This method has been applied for three different ceramic-metal pairs, divergent/convergent hyperbolic disc profiles and uniform disc profiles. An exponential function is chosen as a material grading rule. The variation of the radial displacement, radial and hoop stresses of disks made of such ceramic-metal pairs with the angular velocity and disk profiles are presented graphically.
GİRİŞ
Dairesel diskler genellikle uzaysal yapılar, elektronik bileşenler ve dönen makineler dâhil mühendislikte çok geniş uygulama alanlarına sahip olan yapı elemanlarıdır. Dönen disklerin gerilme analizi mühendislik tasarımında uzun süreden beri önemli bir çalışma alanını oluşturmaktadır. Sabit/değişken kesitli isotrop diskler konusunda çok sayıda çalışma mevcuttur. Fonksiyonel derecelendirilmiş (FD) malzemeler ileri yapısal kompozit malzemelerin yeni bir türü olup, özellikle ısıl direnç özelliklerinden dolayı dikkat çekmektedir. FD malzemeler, ayrıca yapı bileşenlerinin malzeme ve gerilme açısından optimizasyonunda başarıyla kullanılmaktadır. FDM yapıların analizi, malzeme özellikleri koordinatların bir fonksiyonu olarak değiştiğinden, homojen malzemeden yapılmış yapıların analizinden çok daha fazla karmaşık olup ilave emek ve hassasiyet gerektirmektedir.
Horgan ve Chan [1] basit kuvvet fonksiyonu ile derecelendirilmiş, iç/dış basınca maruz sabit yoğunluklu FD dönen diskler için kapalı çözümler sunmuştur. Aynı problem değişken yoğunluk göz önüne alınarak Çallıoğlu ve ark. [2] tarafından da incelenmiştir. Ancak basit kuvvet fonksiyonuna ait kuvvetler hem elastisite modülü hem de yoğunluk için aynı alınmış olduğundan, böyle bir kabul gerçek bir yoğunluk değişimini temsil etmekten uzak olmakla kalmayıp, elastisite modülünün değişiminin dönmeye olan etkisini de iptal etmiş olmaktadır. Zenkour [3] yoğunluğu ve elastisite modülü üssel fonksiyonla değişen FD malzemeden yapılmış üniform dönen disklere Whittaker fonksiyonları cinsinden çözüm bulmuştur. Zenkour bu sonuçlarını dış yüzeyde rijit kılavuz, iç yüzeyde mil bulunması sınır şartı [4] ile ortasında FDM bulunan üç tabakalı sandviç disklere uygulamıştır [5]. Nejad ve diğ. [6] iç/dış basınca maruz dönen, üssel FD disklerin elastik analizini hiper-geometrik fonksiyonlar yardımı ile analitik olarak çalışmıştır. Durodola ve Attia [7] ortotrop FD disklerin elastik analizini gerçekleştirmiştir. Chen ve ark. [8] enine izotropik FD disklerin üç boyutlu analitik statik analizini, Lubarda [9] iç/dış basınca maruz disklerin sonlu farklar yöntemi ile sayısal analizini ele almışlardır. Peng ve Li [10] polar ortotrop FD dönen diskleri incelenmiştir. Tütüncü ve Temel [11] Tamamlayıcı Fonksiyonlar yöntemini kullanarak iç basınca maruz FD silindir/disk/kürede eksenel simetrik yer değiştirmeler ve gerilmeleri çalışmışlardır. Yukarıda bahsedilen bu çalışmaların hepsinde sabit kalınlıklı (üniform) diskler söz konusudur. İzotrop ve homojen malzemeden yapılmış değişken kalınlıklı disklere ait çalışmalar da mevcuttur [11-14]. Ancak değişken kesitli FDM disklere ait çalışmalar çok sayıda değildir. Bunlardan Bayat ve diğ. [15] eksenel simetrik dönen, basit kuvvet fonksiyonu ile derecelendirilmiş FD parabolik ve hiperbolik disk profillerine sahip disk problemlerinde; sabit kesit için analitik ve değişken kesit için yarı analitik elastik çözümler sunmuştur. Bu yarı analitik çözümler değişken kalınlıklı diskin, kalınlığı sabit alt disk modüllerine bölünmesi ile elde edilmiştir. Bayat ve diğ. [16] bir diğer çalışmalarında ankastre-serbest sınır şartları ile üssel ve Mori-Tanaka malzeme değişim fonksiyonlarını kullanmışlardır.
Şimdiki çalışmada FD değişken kalınlıktaki disk problemi, düzlem elastisite temel kabullerinin ve Poison oranının değişmediği kabulünün dışında herhangi bir kabul kullanılmadan Tamamlayıcı fonksiyonlar yöntemiyle [11, 17-23], diferansiyel denklemlerinin doğrudan çözülmesi ile ele alınmış, bu sayede sayısal kesin çözüm elde edilmiştir. Söz konusu yöntem genel olup malzeme değişim fonksiyon türünden ve disk profil tipinden bağımsızdır. Yazarlar bu yöntemi daha önceleri eğri eksenli uzaysal ve düzlemsel çubukların statik/dinamik/burkulma problemleri, eksenel simetrik kabuklar ve silindirik tonozların statik problemleri ile iç ve dış basınca maruz sonsuz silindirlerde elastik-termal dinamik analizler gibi çok daha kompleks problemlerin çözümünde başarı ile uygulamışlardır [19-23]. Bu çalışmada da problemin doğasından ötürü bu çözüm yöntemi benimsenmiştir.
ALAN DENKLEMLERİ VE FORMÜLASYON
Küçük yer değiştirmeler, düzlem gerilme ve eksenel simetrik yükleme kabulleri ile elde edilen, kalınlığı değişen diskin (Şekil 1) elastostatik davranışını idare eden diferansiyel denklem, şekil-yer değiştirme, denge ve bünye denklemleri kullanılarak aşağıda olduğu gibi genel formda elde edilmiştir [d( )/dr =( )‘ ] .
Şekil 1. Sabit açısal hızla dönen FD disk
𝑢′′𝑟(𝑟) + 𝑢′𝑟(𝑟) ( 𝐸′(𝑟) 𝐸(𝑟) + 1 𝑟+ ℎ′(𝑟) ℎ(𝑟)) + 𝑢𝑟(𝑟) ( 𝜈 𝑟 𝐸′(𝑟) 𝐸(𝑟) − 1 𝑟2+ 𝜈 𝑟 ℎ′(𝑟) ℎ(𝑟)) = −𝜔 2𝑟𝜌(𝑟)(1 − 𝜈2) 𝐸(𝑟) (1)
Burada r radyal doğrultudaki koordinat, 𝑢𝑟(𝑟) radyal doğrultudaki yer değiştirme fonksiyonu,
ν disk malzemesinin sabit Poisson oranı, ℎ(𝑟) disk kalınlık değişim fonksiyonu, ω sabit açısal
hız, E(r) elastisite modülü değişim fonksiyonu, 𝜌(𝑟) ise disk malzemesi yoğunluk değişim fonksiyonudur. Denklem (1) en genel hali ile ikinci dereceden değişken katsayılı homojen olmayan bir diferansiyel denklemdir. FD diskte malzeme değişim fonksiyonlarının özel olarak basit kuvvet fonksiyonu, lineer fonksiyon veya üssel fonksiyon olarak seçilmesi ve disk kalınlığının üniform olması durumunda analitik çözüm bulmak mümkün olabilmektedir [1-5]. Diğer durumlarda genelde sayısal çözüm yöntemlerine başvuru kaçınılmazdır.
Bu çalışmada tanımlanan disk probleminin, afaki çözümleri yerine, genel ve uygulamaya doğrudan yönelik olarak ele alınması hedeflenmiştir. Bu amaçla öncelikle radyal doğrultudaki disk kalınlık değişim fonksiyonu hiperbolik bir fonksiyonla tanımlanmış olup
ℎ(𝑟) = ℎ̂0(𝑟
𝑏) −𝑘2
(2)
fiziksel disk geometrisi kabullere ve uygulamalara ters düşmeyecek şekilde tayin edilmiş ve Şekil 2’ de verilen ölçülere sahip farklı disk profilleri göz önüne alınmıştır. Denklem (2) de ℎ̂0, diskin dış yüzeyindeki disk kalınlığını, b ise diskin dış yüzeyindeki disk yarıçapını göstermektedir.
Merkezde mile bağlı FD malzemeden yapılmış diskin iç yüzeyinin tamamen metal, dış yüzeyinin tamamen seramik olduğu, malzeme özelliklerinin iç yüzeyden dış yüzeye doğru aşağıda verilen üssel fonksiyonla değiştiği kabul edilmiştir.
𝐸(𝑟) = 𝐸𝑏𝑒𝛽1(𝑏𝑟−1) ; 𝜌(𝑟) = 𝜌 𝑏𝑒𝛽2(
𝑟
𝛽1 = 𝑙𝑛(𝐸𝑎 𝐸𝑏) (𝑎−𝑏 𝑏 ) ; 𝛽2 = 𝑙𝑛(𝜌𝑎 𝜌𝑏) (𝑎−𝑏 𝑏 ) (4)
Şekil 2. Disk kalınlık profilleri ve disk ölçüleri
Daha önceki çalışmalarda da olduğu gibi Poisson oranının radyal doğrultuda olan değişiminin sonuçlara etkisinin önemsenmeyecek düzeyde olmasından dolayı, bu oran bu çalışmada da sabit olarak hesaba ( 𝜈 =𝜈𝑎+𝜈𝑏
2 ) katılmıştır. Metal-seramik çifti olarak yine uygulamada sıkça
rastlanılan ve Çizelge 1’ de sunulan üç farklı malzeme çifti seçilmiştir. Tamamlayıcı fonksiyonlar yöntemi, sınır değer problemini başlangıç değer problemine indirgeyerek diferansiyel denklemlerin doğrudan çözümünde kullanılan etkin bir yöntemdir [17-23]. Tamamlayıcı fonksiyonlar yöntemiyle çözümde öncelikle (1) nolu eşitlik, aşağıda olduğu şekilde uygun değişkenler seçilerek iki adet birinci dereceden diferansiyel denklem takımına
𝑢′𝑟 = −𝜈 𝑟 𝑢𝑟− 𝜈2− 1 𝐸(𝑟) 𝜎𝑟 𝜎′𝑟 =𝐸(𝑟) 𝑟2 𝑢𝑟+ { 𝜈 − 1 𝑟 − ℎ′(𝑟) ℎ(𝑟)} 𝜎𝑟− 𝜔 2𝑟𝜌(𝑟) (5) -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 1E-17 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.0 20 0.0 29 0.0 38 0.0 47 0.0 56 0.0 65 0.0 74 0.0 83 0.0 92 0.1 01 0.1 10 0.1 19 0.1 28 0.1 37 0.1 46 0.1 55 0.1 64 0.1 73 0.1 82 0.1 91 0.2 00 h(r) ( m ) r (m) Hiperbolik fonksiyon yakınsak ıraksak uniform k2 = 1 k2 = -1 k2 = 0
dönüştürülür. Daha sonra bu diferansiyel denklem takımının Runga Kutta 4/5 yöntemi ile ve gerek yönteme ait gerekse probleme ait gerçek sınır şartları kullanılarak çözülmesi sonucu radyal doğrultudaki yer değiştirmeler ve radyal gerilmeler hesaplanmaktadır. Bu büyüklüklerin bulunması sonrası, ilgili elastisite denklemleri yardımı ile çevresel gerilmeler hesaplanır. Bu çalışmada diferansiyel denklemlerin çözümünde göz önüne alınan sınır şartları da, söz konusu geometri için pratikte en sık görünen sınır şartı olarak seçilmiştir (disk içte sabit bir mile bağlı olup, dış yüzeyde radyal gerilme bulunmamakta, disk serbestçe genişleyebilmektedir.):
𝑟 = 𝑎 ⇒ 𝑢𝑟(𝑎) = 0 ; 𝑟 = 𝑏 ⇒ 𝜎𝑟(𝑏) = 0
Çizelge 1. Malzeme özellikleri
METAL E (GPa) ρ(kg/m3) ν SERAMİK E (GPa) ρ(kg/m3) ν
Ti-6Al-4V 122.557 2370 0.29 Si3N4 348.43 4429 0.24
ASTM-321 170 7850 0.33 ZrO2 116.4 3657 0.3
Al 70 2700 0.3 Al2O3 393 3970 0.3
SAYISAL UYGULAMALAR
Öncelikle bu çalışmada göz önüne alınan problemin (Şekil 2) yukarıda anlatıldığı şekilde formülasyonuna dayanan Fortran dilinde hazırlanan program ile elde edilen sonuçların, geçerliliği literatürde mevcut sonuçlarla karşılaştırılarak doğrulanmıştır (Çizelge 2). Çizelge 2 deki sonuçların birebir örtüştüğü görülmektedir. Daha sonra FD disklerde meydana gelen yer değiştirmeler ile radyal ve çevresel gerilmelerin açısal hız, metal-seramik çiftleri ve disk profillerine göre değişimleri incelenmiş; sonuçların bazıları Şekil 3 ve 4’ te sunulmuştur.
Çizelge 2. Sayısal sonuçların analitik formüllerle doğrulanması (Ti-6Al-4V / Si3N4)
( 𝑝𝑎 = 1 𝐺𝑃𝑎 ; 𝑝𝑏= 0.5 𝐺𝑃𝑎 ; 𝑎 = 2 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 4 𝑐𝑚 )
r (m) σr - Analitik (GPa) [24] σr - CFM (GPa) % Bağıl Hata
0,020 -1,00000 -1,00000 1,07288E-13 0,025 -0,77744 -0,77744 2,56395E-07 0,030 -0,64382 -0,64382 3,29786E-06 0,035 -0,55783 -0,55783 5,59409E-06 0,040 -0,50000 -0,50000 2,38419E-14 SONUÇLAR
Çizelge (2) den bu çalışmadan elde edilen sonuçların sayısal olarak kesin olduğu görülmekte; Tamamlayıcı fonksiyonla yönteminin bu tip eksenel simetrik yapıların statik/dinamik analizinde de başarıyla uygulanabileceği anlaşılmaktadır. Sonuçlar aşağıda özetlenmiştir:
Yakınsak hiperbolik disk profili gerek yer değiştirmeler gerekse gerilmeler açısından genel olarak ıraksak hiperbolik ve üniform disk profilinden daha küçük değerler vermektedir.
Aynı yükleme şartlarında ASTM-321/ZrO2 diskteki yer değiştirmeler, diğer
metal-seramik çiftlerinden daha fazladır.
Açısal hızın değerine, metal-seramik çiftine ve disk profillerine göre maksimum elastik büyüklüklerin yeri kalınlık boyunca değişebilmektedir. Örneğin Ti-6Al-4V / Si3N4 metal-seramik çiftinde 𝜔 = 150 𝑟𝑎𝑑/𝑠 için maksimum teğetsel gerilmeler
yakınsak profilde dış yüzeye, uniform profilde ortalara, ıraksak profilde iç yüzeye yakındır. Maximum radyal gerilmeler mil civarı veya kesit ortalarındadır.
Şekil 3. ASTM-321 / ZrO2 ve Al / Al2O3 metal-seramik çifti için radyal yer değiştirmelerin
açısal hız ve disk profillerine göre değişimleri
0.0E+00 2.0E-07 4.0E-07 6.0E-07 8.0E-07 1.0E-06 1.2E-06 1.4E-06 1.6E-06 ur (m ) r/b
Exponential (Üssel) Değişim (ASTM-321 / ZrO2)
ıraksak yakınsak uniform ω = 150 rad/sec ω = 100 rad/sec 0.0E+00 1.0E-07 2.0E-07 3.0E-07 4.0E-07 5.0E-07 6.0E-07 7.0E-07 8.0E-07 9.0E-07 1.0E-06 ur (m ) r/b
Exponential (Üssel) Değişim (Al / Al2O3)
ıraksak yakınsak uniform
ω = 150 rad/sec
Şekil 4. Ti-6Al-4V / Si3N4 metal-seramik çifti için radyal yer değiştirme ile radyal ve çevresel
gerilmelerin açısal hız ve disk profillerine göre değişimleri
0.0E+00 1.0E-07 2.0E-07 3.0E-07 4.0E-07 5.0E-07 6.0E-07 7.0E-07 8.0E-07 9.0E-07 0.1 0.1 45 0.1 9 0.2 35 0.2 8 0.3 25 0.3 7 0.4 15 0.4 6 0.5 05 0.5 5 0.5 95 0.6 4 0.6 85 0.7 3 0.7 75 0.8 2 0.8 65 0.9 1 0.9 55 1 ur (m ) r/b
Exponential (Üssel) Değişim (Ti-6Al-4V / Si3N4)
ıraksak yakınsak uniform ω = 150 rad/sec ω = 100 rad/sec 0.0E+00 1.0E+06 2.0E+06 3.0E+06 4.0E+06 5.0E+06 6.0E+06 0.1 0.1 45 0.1 9 0.2 35 0.2 8 0.3 25 0.3 7 0.4 15 0.4 6 0.5 05 0.5 5 0.5 95 0.6 4 0.6 85 0.7 3 0.7 75 0.8 2 0.8 65 0.9 1 0.9 55 1 σr (Pa ) r/b
Exponential (Üssel) Değişim (Ti-6Al-4V / Si3N4)
ıraksak yakınsak uniform ω = 150 rad/sec ω = 100 rad/sec 0.0E+00 5.0E+05 1.0E+06 1.5E+06 2.0E+06 2.5E+06 0.1 0.1 45 0.1 9 0.2 35 0.2 8 0.3 25 0.3 7 0.4 15 0.4 6 0.5 05 0.5 5 0.5 95 0.6 4 0.6 85 0.7 3 0.7 75 0.8 2 0.8 65 0.9 1 0.9 55 1 σθ (P a ) r/b
Exponential (Üssel) Değişim (Ti-6Al-4V / Si3N4)
ıraksak yakınsak uniform
KAYNAKLAR
[1] C. Horgan, A. Chan, The stress response of functionally graded isotropic linearly elastic rotating disks, Journal of Elasticity, 55 (1999) 219-230.
[2] H. Çallıoğlu, N.B. Bektaş, M. Sayer, Stress analysis of functionally graded rotating discs: analytical and numerical solutions, Acta Mechanica Sinica, 27 (2011) 950-955.
[3] A.M. Zenkour, Analytical solutions for rotating exponentially-graded annular disks with various boundary conditions, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 5 (2005) 557-577.
[4] A. Zenkour, Elastic deformation of the rotating functionally graded annular disk with rigid casing, Journal of Materials Science, 42 (2007) 9717-9724.
[5] A. Zenkour, Stress distribution in rotating composite structures of functionally graded solid disks, journal of materials processing technology, 209 (2009) 3511-3517.
[6] M.Z. Nejad, M. Abedi, M.H. Lotfian, M. Ghannad, Elastic analysis of exponential FGM disks subjected to internal and external pressure, Central Eu. J. of Eng., 3 (2013) 459-465. [7] J. Durodola, O. Attia, Deformation and stresses in functionally graded rotating disks, Composites Science and Technology, 60 (2000) 987-995.
[8] J. Chen, H. Ding, W. Chen, Three-dimensional analytical solution for a rotating disc of functionally graded materials with transverse isotropy, Arch. Appl. Mech., 77 (2007) 241-251. [9] V.A. Lubarda, On pressurized curvilinearly orthotropic circular disk, cylinder and sphere made of radially nonuniform material, Journal of Elasticity, 109 (2012) 103-133.
[10] X.-L. Peng, X.-F. Li, Elastic analysis of rotating functionally graded polar orthotropic disks, Int J Mech Sci, 60 (2012) 84-91.
[11] N. Tutuncu, B. Temel, A novel approach to stress analysis of pressurized FGM cylinders, disks and spheres, Composite Structures, 91 (2009) 385-390.
[12] A.N. Eraslan, F. Akgül, Yielding and elastoplastic deformation of annular disks of a parabolic section subject to external compression, Turkish J. of Eng. and Environ. Sciences, 29 (2005) 51-60.
[13] L. You, Y. Tang, J. Zhang, C. Zheng, Numerical analysis of elastic–plastic rotating disks with arbitrary variable thickness and density, Int. J. Solids and Str., 37 (2000) 7809-7820 [14] A.M. Zenkour, D.S. Mashat, Analytical and numerical solutions for a rotating annular disk of variable thickness, Applied Mathematics, 1 (2010) 431-438.
[15] M. Bayat, M. Saleem, B. Sahari, A. Hamouda, E. Mahdi, Analysis of functionally graded rotating disks with variable thickness, Mech. Research Communications, 35 (2008) 283-309. [16] M. Bayat, B. Sahari, M. Saleem, E. Dezvareh, A. Mohazzab, Analysis of functionally graded rotating disks with parabolic concave thickness applying an exponential function and the Mori-Tanaka scheme, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, IOP Publishing, 2011, pp. 012005.
[17] Z. Aktas, Numerical solutions of two-point boundary value problems, Ankara, Turkey: METU, Dept of Computer Eng, 1972.
[18] S. Roberts, J. Shipman, Fundamental matrix and two-point boundary-value problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 28 (1979) 77-88.
[19] Y. Mengi, Lecture notes of numerical analysis, University of Çukurova Department of Civil Engineering Adana, Turkey, 1985.
[20] V. Haktanır, E. Kıral, Direct application of complementary functions method to axisymmetrical shells and cylindrical vaults (barrels), Journal of Isparta Eng. Faculty of Akdeniz Un., 6 (1991) 220-239.
[22] V. Yıldırım, Free vibration analysis of non-cylindrical coil springs by combined use of the transfer matrix and the complementary functions methods, Commun Numer Methods Eng., 13 (1997) 487–494.
[23] H. Pekel, Dynamic thermal stress analysis of FGM cylinders, Ph.D. Thesis, University of Çukurova, 2014.
[24] C. Horgan, A. Chan, The pressurized hollow cylinder or disk problem for functionally graded isotropic linearly elastic materials, Journal of Elasticity, 55 (1999) 43-59.
