Gerçek zamanlı sismik verilerin dalgacık dönüşümü ile analizi

(1)

T.C.

DĠCLE ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

GERÇEK ZAMANLI SĠSMĠK VERĠLERĠN DALGACIK

DÖNÜġÜMÜ ĠLE ANALĠZĠ

SADIK VAROLGÜNEġ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

ĠNġAAT MÜHENDĠSLĠĞĠ ANABĠLĠM DALI

DĠYARBAKIR Haziran 2013

(2)

(3)

I

TEŞEKKÜR

Bu çalışmada yapıların gerçek zamanlı deprem kayıtlarının P ve S fazları arasındaki zaman farkı incelenmiştir.

Yüksek lisans tez çalışmalarım süresince, bilgi ve deneyimlerini paylaşarak çalışmalarımda beni teşvik eden danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet Emin ÖNCÜ’ ye en içten duygularımla teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca tez çalışmam boyunca ilgi ve yardımlarıyla bana destek olan Yrd. Doç. Dr. Abdulnasır YILDIZ’ a teşekkür ederi

Yüksek lisans öğrenimim boyunca desteğini hiç eksik etmeyen sevgili eşime şükranlarımı sunarım.

(4)

II

İÇİNDEKİLER ... II ÖZET ... IV ABSTRACT ... V ÇİZELGE LİSTESİ ... VI ŞEKİLLER LİSTESİ ... VII SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ... X

1. GİRİŞ ... 1

1.1. Amaç ve Kapsam ... 3

1.2. Deprem Parametreleri ... 4

1.2.1. Depremin oluş zamanı (t0) (Orijin Zamanı) ... 4

1.2.2. Odak Noktası (Hiposantr - İçmerkez) ... 4

1.2.3. Dış Merkez (Episantr) ... 5

1.2.4. Odak Derinliği ... 5

1.2.5. Eşşiddet (İzoseit) eğrileri ... 6

1.2.6. Şiddet ... 6 1.2.7. Magnitüd ... 6 1.2.8. Sismograf ... 7 1.2.9. Richter ölçeği... 9 1.3. Sismik Dalgalar ... 11 1.3.1. Cisim dalgaları ... 11

1.3.1.1. Boyuna dalgalar (P dalgası) ... 11

1.3.1.2. Enine dalgalar (S dalgası) ... 12

1.3.2. Yüzey dalgaları ... 12

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR ... 15

3. MATERYAL ve METOD ... 19

3.1. Zaman Dizileri ... 19

3.2. Periyodiklik ve Frekans ... 20

3.3. Frekans bilgisine Neden İhtiyaç Duyulur ... 20

3.4. Fourier Analizi ve Dalgacık Teorisine Giriş ... 21

3.4.1. Kısa Zaman Fourier Analizi ... 22

(5)

III

3.4.3. Ölçek ve Zaman Fikri ... 25

3.5. Dalgacığın Matematiksel Temelleri ... 26

3.5.1. Sürekli Dalgacık Dönüşümü ... 28

3.5.2. Ayrık Dalgacık Dönüşümü ... 29

3.5.3. Dalgacık ile Fourier arasındaki ilişki ... 30

3.5.4. Sayısal Uygulama ... 30

3.6. Dalgacık ile Filtreleme ... 34

3.6.1. Tek Seviyeli Filtreleme ... 34

3.6.2. Çok Seviyeli Filtreleme (Dalgacık Ayrıştırma Ağacı) ... 36

4. SİSMİK SİNYAL ANALİZİ ... 53 5. SONUÇLAR ... 81 6. KAYNAKLAR ... 83 7. EKLER ... 87 7.1. Filtre Katsayıları ... 87 7.2. Dalgacık dönüşümünün tespiti ... 87

7.3. Sismik Sinyal Analizi ... 89

(6)

IV

tutar. Sismik sinyallerden elde edilen bilgiler ve açıklamalar, depremlerin daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur. Dalgacık dönüşümü, sinyal analizi ve gürültü giderme konusunda kullanılan en önemli yöntemlerden biridir. Dalgacık dönüşümü, bir dalgacık ve buna yardımcı olacak bir ölçek fonksiyonu yardımı ile gerçekleştirilir. Hangi dalgacık fonksiyonu ile hangi ölçek fonksiyonunun seçileceği en kullanışlı dönüşümü elde etmek açısından çok önemlidir. Bu çalışmada üç bileşenli sismogram kayıtlarında gürültü gidererek P ve S fazları arasındaki zaman farkını elde etmekte en kolay yöntemin Daubechies Ayrık Dalgacık Dönüşümü olduğu ortaya konmuştur. Çalışma için 23 Mart 2011 Tabanlı depreminin gerçek zamanlı kayıtları kullanılmıştır. Bu çalışma, Daubechies dalgacığının, ana dalgacığın karakteristik özelliklerini bozmadan veriyi daha anlaşılır hale getirmekte gayet başarılı sonuçlar verdiğini göstermektedir.

(7)

V

ABSTRACT

Observing and analysing seismic data takes a great place in seismic engineering. The data obtained from seismic waves make it easier to understand the earthquakes. The The wavelet transform is one of the important methods that are used to minimize noises and to analyze signals. Wavelet transform is performed by a wavelet and a scalling function helping it. Which wavlet function and which scalling function? It is important to get the most useful transform.

It is presented that Daubechies wavelet is the easiest method to obtain the time difference between P and S phases. This work shows that the Daubechies Discrete Wavelet Transform gives very successful results at determining the P and S seismic phases without deforming the main characteristics of the required signal, thus making the data more comprehensible. In the study, the real time three component seismic records of the Tabanli Earthquake in 2011 are used for analaysing and de noising.

(8)

VI

Tablo 2 Her Bir Seviye için Frekans Aralıklarının Tesbiti ... 36

Tablo 3 S işareti için db2 dalgacık dönüşümünde etkin değer ve enerji değişimi (f=400 Hz) .. 41

Tablo 4 Kullanılan Deprem Çözümleri ... 51

Tablo 5 Türkiye deki geniş bant sismik istasyonlar ... 53

Tablo 6 devam... 54

Tablo 7 Analizi yapılan istasyonlar ve ait oldukları depremler ... 54

Tablo 8 Tabanlı Van Depremi UDİM Çözümü ... 55

(9)

VII

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil 1 Episantr ve Hiposantr ... 5

Şekil 2 Üç Bileşenli Sismogram Kaydı ... 8

Şekil 3 Richter Ölçeği ... 10

Şekil 4 P dalgası yayılım doğrultusu ... 12

Şekil 5 S dalgası yayılım doğrultusu ... 12

Şekil 6 Rayleigh ve Love dalgası yayılım doğrultusu ... 13

Şekil 7 Dalgaların yayılım doğrultusu ve Etki Diyagramları ... 14

Şekil 8 Sinüs Dalgası ve Bir Dalgacık Örneği ... 20

Şekil 9 Kısa Zaman Fourier Analizi ... 20

Şekil 10 Dalgacık Analizi ... 22

Şekil 11 Sinüsoid ve dalgacıkta ölçek faktörü ... 23

Şekil 12 Zaman içersinde frekans değişimi ... 24

Şekil 13 Haar Dalgacığı ... 25

Şekil 14 PDG ve Mexican Hat Dalgacığı ... 25

Şekil 15 Fourier Dönüşümü ... 26

Şekil 16 Dalgacığın orijinal işaretin ilk kısmıyla karşılaştırılması ... 26

Şekil 17 Dalgacığın orijinal işaretin ilk kısmıyla karşılaştırılması ... 27

Şekil 18 Dalgacığın yeniden ölçeklenmiş halinin işaretle karşılaştırılması ... 27

Şekil 19 Test Sinyali Grafiği ... 29

Şekil 20 Test Sinyali Spektrum Grafiği ... 29

Şekil 21 Test Sinyali Dalgacık Dönüşümü Spektrumu ... 30

Şekil 22 Durağan Olmayan Sinyalin Grafiği ... 31

Şekil 23 Durağan Olmayan Sinyalin Fourier Dönüşümü Spektrumu ... 31

Şekil 24 Durağan Olmayan Test Sinyalinin Dalgacık Dönüşümü ... 32

Şekil 25 Ayrık dalgacık dönüşümünde filtreleme (Misiti ve diğ., 1996) ... 33

Şekil 26 Ayrık dalgacık dönüşümünde filtreleme (Misiti ve diğ., 1996) ... 33

Şekil 27 Dalgacık ayrıştırma ağacı (Misiti ve diğ., 1996) ... 34

Şekil 28 Dalgacık ayrıştırma ağacı içeriği (Misiti ve diğ., 1996) ... 34

Şekil 29 Dalgacık ayrıştırma ağacı içeriği ... 35

Şekil 30 db4 için alçak ve yüksek geçiren ayrışım filtresi ve yeniden yapılandırma filtresi katsayıları ... 40

Şekil 31 db10 için alçak ve yüksek geçiren ayrışım filtresi ve yeniden yapılandırma filtresi katsayıları ... 40

Şekil 32 f=400 Hz ve D2 ayrışımı sonucunda etkin değer ve enerjinin dalgacık seviyelerine göre dağılımı ... 42

Şekil 33 a 275–675 Hz bandında d4 bileşeni (7.seviye) için frekans band genişliği karakteristiği ... 43

Şekil 34 275–675 Hz bandında d4 bileşeni için frekans band genişliği karakteristiği desibel olarak gösterimi ... 43

Şekil 35 275–675 Hz bandında d4 bileşeni (7.seviye) için frekans band genişliği karakteristiği ... 44

Şekil 36 275–675 Hz bandında d4 bileşeni (7.seviye) için frekans band genişliği karakteristiği dB gösterim ... 44 Şekil 37 275–675 Hz bandında d4 bileşeni (7.seviye) için frekans band genişliği

(10)

VIII

Şekil 39 f=400 Hz ve db6 ayrışımı sonucunda etkin değer ve enerjinin dalgacık

seviyelerine göre dağılımı ... 46

Şekil 40 f=400 Hz ve db10 ayrışımı sonucunda etkin değer ve enerjinin dalgacık seviyelerine göre dağılımı ... 47

Şekil 41 275–675 Hz bandında d4 bileşeni (7.seviye) için frekans band genişliği karakteristiği (db6) ... 47

Şekil 42 275–675 Hz bandında d6 bileşeni (5.seviye) için frekans-bant genişliği karakteristiği (db6) ... 48

Şekil 43 275–675 Hz bandında d5 bileşeni (6.seviye) için frekans-bant genişliği arakteristiği (db6) ... 48

Şekil 47 23 Ekim (Tabanlı) VAN depremi harita görüntüsü ... 52

Şekil 48 09 Kasım 2011 (Edremit)VAN depremi ... 52

Şekil 49 Van depreminin coğrafi haritası ... 53

Şekil 50Tabanlı Van depreminin Agrb istasyonundaki doğu batı bileşen kaydı ... 55

Şekil 51 agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, 1.pencere enerji analiz sonucu ... 56

Şekil 53 agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, 3. pencere enerji analiz sonucu ... 57

(11)

IX

Şekil 74 agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, 24. pencere enerji analiz sonucu.. ... 67

Şekil 81 örtüşmeli yeni algoritma ... 72

Şekil 82 agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, ilk 25 pencere enerji analiz sonucu ... 73

Şekil 83 agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, ilk 30 pencere enerji analiz sonucu ... 73

Şekil 84 Agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, 17. pencere enerji analiz sonucu ... 74

Şekil 85 Agrb istasyonu, doğu-batı bileşeni, 17. pencere enerji analiz sonucu ... 74

(12)

X SDD : Sürekli Dalgacık Dönüşümü ADD : Ayrık Dalgacık Dönüşümü KZFD : Kısa Zaman Fourier Dönüşümü AGF : Alçak Geçiren Filtre

YGF : Yüksek Geçiren Filtre EKG : Elektro Kardiografi

AFAD : Afet ve Acil Durum Müdürlüğü

a : Genişleme parametresi

A : Yaklaşım bileşeni

b : Dönüşüm parametresi

c(k) : Ölçekleme fonksiyon katsayıları cA : Yaklaşım bileşen katsayıları cD : Detay bileşen katsayıları

D : Detay bileşeni

d(k) : Dalgacık fonksiyon katsayıları

db10 : 10.seviye Daubechies dalgacık dönüşümü fs : Örnekleme frekansı

g(k) : Yüksek geçiren filtre katsayıları H(k) : Alçak geçiren filtre katsayıları

HiD : Ayrışım yüksek geçiren filtre katsayıları

HiR : Yeniden yapılandırma yüksek geçiren filtre katsayıları

k : Dönüşüm parametresi

LoD : Ayrışım alçak geçiren filtre katsayıları

LoR : Yeniden yapılandırma alçak geçiren filtre katsayıları l : Dalgacık ayrışım seviyesi

N : Veri sayısı

s : Ölçek Parametresi

S : Sinyal

To : Deprem orijin zamanı Tp : P dalgası varış zamanı

(13)

XI V(t) : Ölçekleme fonksiyonu

Vp : P dalgası ortalama hızı Vs : S dalgası ortalama hızı ψ(t) : Dalgacık fonksiyonu

ψ k s (t ) : Ayrık Dalgacık Dönüşümü için dalgacık fonksiyonu

DEMAR : Süleyman Demirel Üniversitesi, Deprem Araştırma Merkezi

UDİM : Boğaziçi Üniversitesi, Deprem Araştırma Enstitüsü, Ulusal Deprem İzleme Merkezi

(14)

1

1. GĠRĠġ

Yerkabuğu içindeki kırılmalar nedeniyle ani olarak ortaya çıkan titreşimlerin dalgalar halinde yayılarak geçtikleri ortamları ve yer yüzeyini sarsması olayına "DEPREM" denir.

Deprem, insanın hareketsiz kabul ettiği ve güvenle ayağını bastığı toprağın da oynayabileceğini ve üzerinde bulunan tüm yapıların da hasar görüp, can kaybına uğrayacak şekilde yıkılabileceklerini gösteren bir doğa olayıdır. Depremin nasıl oluştuğunu, deprem dalgalarının yerküre içinde ne şekilde yayıldıklarını, ölçü aletleri ve yöntemlerini, kayıtların değerlendirilmesini ve deprem ile ilgili diğer konuları inceleyen bilim dalına ise "SİSMOLOJİ" denir (AFAD 2013).

Depremler gibi sismik olaylar, sismik dalgalar diye nitelenen ve sismik kayıtçılar tarafından kaydedilebilen bir enerji salınımına neden olurlar. Sismik dalgaların tespit edilmesi ve varış zamanlarının hesaplanması, depremin merkez üssünün hesaplanması ve magnitüd değerinin belirlenmesine olanak sağlar. Sismik dalgaların tespiti ve analizi, tecrübeli bir görsel inceleme eliyle veya otomatik analiz yazılımları yardımı ile yapılabilir (Allen, R. 1982).

Deprem neticesinde oluşan sismik dalgalar, yer altının jeolojik özelliklerine göre şiddetini arttırır veya azaltır. Bu dalgalar yapıları doğrudan etkileyip zayıf olanlarını tahrip edebilir. Aynı zamanda çok sağlam olanlarını da dolaylı yollardan tahrip edip kullanılamaz hale getirebilir (Uzunca 2013).

Deprem ile birlikte yaşamayı öğrenmemiz gerektiği gerçeği, yaşanan son depremler neticesinde bir kez daha ortaya çıkmıştır. Deprem kayıtlarının sağlıklı bir şekilde irdelenmesi, depremlerin tanımlanması ve deprem sonrası alınacak tedbirlerin hızlı bir şekilde gerçekleştirilmesi bakımından çok önemli bir yer tutmaktadır.

Deprem kayıtlarının ait olduğu sismik dalgalar, karakteristik özellikleri ve frekans içerikleri sabit olmayan dalgalardır. Sismik dalgalar sismik kayıtçıya ulaştığında önce bir maksimum değere ulaşır ve daha sonra yavaşça azalarak kaybolur. Frekans içerikleri de zamana bağlı olarak değişkenlik gösterir. Ayrıca zaman ilerlerken düşük frekanslara doğru bir eğilim meydana gelir. Sismik sinyallerin yapısını daha iyi anlamak

(15)

1. Giriş

2

açısından sinyalin zamanla değişimini incelemek yeterli değildir. Bunun yanında sinyalin frekans içeriğinin anlaşılması gerekir.

Fourier Dönüşümü (FD), zaman ortamındaki bir sinyali frekans ortamına aktarır. Diğer bir deyişle, herhangi bir sinyalin, frekansa karşılık genlik ve faz bilgisine ayrıştırılmasıdır. Ancak bu yöntem, frekans değerlerinin hangi zaman dilimlerine karşılık geldiği hakkında bilgi vermez, çünkü standart Fourier dönüşümünde kullanılan taban fonksiyonları sınırsızdır. Bundan dolayı sinyalin zamanla değişimi için bir şey söylenemez ve FD durağan olmayan sinyallerin analiz edilmesinde yetersiz kalır. Hem zaman ortamında hem de frekans ortamında sınırlı fonksiyonlar kullanılarak sinyalin analizi yapılırsa, zaman ve frekans düzlemlerinde sinyal daha iyi incelenebilir. Bunun için Zaman- Frekans analizi yöntemi geliştirilmiştir. Zaman-Frekans analizi durağan olmayan sinyallerin zamanla değişen frekans bileşenlerini incelemek veya güç dağılımını kestirmekte kullanılan bir yöntemdir (Cohen 1989, Cohen 1995).

Sinyalin frekans içeriğinden sinyaldeki süreksizlikler, ya da ani değişimlerin tespiti mümkün olacaktır. Sinyal işleme ve mühendislik uygulamaları, sismik sinyaller, müzik aletlerinden alınan sinyaller, elektriksel dönüştürücülerdeki ani boşalma akımları, optik lazer sinyallerindeki geçici rejim sinyalleri ve biyomedikal sinyaller gibi birçok uygulama geçiş olgusu ile ilgilidir. Pratik mühendislik alanlarında geçiş sinyallerinin tanımlanması ve analizi için dalgacık dönüşümünün kullanılması büyük bir gelişme göstermektedir. (Parameswariah 2002, Parameswariah 2003)

Deprem kayıtlarının incelenmesinde çeşitli dönüşüm yöntemleri kullanılmaktadır. Dönüşüm yöntemleri, deprem hareketini tanımlayan diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılmaktadır. Dönüşüm yöntemleri arasında, çözüm için en çok kullanılan dönüşümler, Fourier ve Laplace dönüşümleridir.

Dalgacık dönüşümü sinyal analizinde kullanılan en önemli metotlardan biridir. Sismik sinyallerin yapısı ve bulunduğu frekans bandı, dalgacık dönüşüm uygulamaları için bu sinyal tipini önemli bir aday haline dönüştürmektedir. Özellikle alınan kayıtlarda gürültünün varlığı, bu sinyaller kullanılarak yapılacak çözümlerde sismologlar için büyük bir problem teşkil etmektedir. (Çolak 2006)

(16)

3

1.1. Amaç ve Kapsam

Deprem mühendisliğinde sismik sinyallerdeki p ve s dalgası varış zamanlarının tespiti araştırmacılar tarafından bir sismik kayıt üzerinde en hassasiyetle durulan konuyu oluşturmaktadır. (Park vd 2004, Anant & Dowla 1997, Earle & Shearer 1994, Oonincx 1999, Ruud vd 1988)

Gürültülü bir yer değiştirme kaydında bu dalgaların varış zamanının diğer metotlarla tespitinin yarattığı zorluk birden fazla noktadan kayıt alınmasına ve sadece gürültüsüz kayıtların irdelenmesine sebebiyet vermektedir. (Çolak 2006)

Sismik sinyaller, sinyal analizinde en önemli konulardan birini oluşturmaktadır. Literatürde sismik sinyallerle ilgili yapılmış pek çok çalışma mevcuttur. Bu çalışmalarda göze çarpan en önemli eksiklik analiz için önemli parametrelerden bir ya da bir kaçının eksik bırakılmasıdır. Sismik sinyalin türü, seçilen bileşen, kayıtlarda gürültünün varlığı, depremin oluştuğu bölge ve istasyonların bu bölgeye uzaklığı gibi pek çok değişik parametre sismik sinyaller için oldukça önemli parametrelerdir.

0–50 Hz' lik frekans bandında yer alan sismik sinyaller dalgacık dönüşümüyle analiz için iyi bir adaydır. Bu, dalgacık dönüşümünün farklı ölçeklerde yeniden çözüm özelliğinden kaynaklanır.

Dalgacık dönüşümü Fourier dönüşümünün ortaya koyamadığı birçok yeni özellik önermektedir. Dalgacık analizi; düşük frekans bilgisinin daha fazla önemli olduğu durumlar için büyük zaman aralıklarının, yüksek frekans bilgisinin daha fazla önemli olduğu durumlar içinde daha küçük zaman aralıklarının kullanımına izin veren, değişik boyutlarda bölgelere sahip bir pencereleme tekniğidir. Zaman temelli sinyal, zaman-ölçek bölgelerine dönüştürülür. Ayrıca dalgacık dönüşümünde sinyalin enerjisinin çeşitli frekans bantlarına dağılımı tespit edilebilmektedir. Bu da sinyallerdeki geçiş noktalarının tespitini kolaylaştırır.

Deprem mühendisliğinde sismik sinyallerdeki p ve s dalgası varış zamanlarının tespiti araştırmacılar tarafından bir sismik kayıt üzerinde en hassasiyetle durulan konuyu oluşturmaktadır [Allen, R. 1982, Baer M. & Kradolfer, U. 1987, Cichowicz, A. 1993, Oonincx, P. J. (1999) ]. Gürültülü bir yer değiştirme kaydında bu dalgaların varış zamanının diğer metotlarla tespitinin yarattığı zorluk birden fazla noktadan kayıt alınmasına ve sadece gürültüsüz kayıtların irdelenmesine sebebiyet vermektedir.

(17)

1. Giriş

4

Bu araştırmadaki en önemli odak noktası, kullanılacak yöntemin, kaydın bileşen özellikleri, örnekleme frekansı, gürültü miktarı, depremin oluş yeri, kaydın alındığı noktanın bu noktaya olan uzaklığı ve deprem süresi gibi aslında alınan kaydı çok etkileyen parametrelerden bağımsız, her özellikte veriye uygulanabilecek yöntem olmasıdır (Çolak 2006).

Araştırma sürecinde, Türkiye’de 23 Kasım 2011 yılında meydana gelen Van depreminin 8 farklı istasyondan kaydedilen 3 bileşenli sismograf kayıtları geliştirilen metotla analiz edilmiştir. Bu deprem için 8 farklı istasyondan alınan veriler ve bileşen sayıları da göz önünde bulundurulduğunda toplam 24 deprem kaydı incelenmiştir. Özellikle incelenmesi çok zor olan ve analizlerde sismologlar tarafından devre dışı bırakılan çok gürültülü veriler üzerindeki analizlere yoğunlaşılmıştır.

1.2. Deprem Parametreleri

Bu bölümde tezin amacına uygun olarak deprem parametreleri ve sismik dalgaların genel özellikleri hakkında bilgiler verilecektir. Oluşan bir depremin açıklanabilmesi için “Deprem Parametreleri” adı verilen bazı kavramların açıklanmasına ihtiyaç vardır.

1.2.1. Depremin oluĢ zamanı (t0) (Orijin Zamanı)

Depremin oluş zamanını ifade eden terimdir. Tarih ile birlikte saat, dakika ve saniye cinsinden ifade edilir.

1.2.2. Odak Noktası (Hiposantr - Ġçmerkez)

Odak noktası yer içerisinde, deprem enerjisinin ortaya çıktığı noktadır. Aynı zamanda iç merkez olarak ta isimlendirilir. Aslında odak noktası, bir nokta değil bir alandır ancak uygulamalarda nokta olarak kabul edilmektedir.

(18)

5

ġekil 1 Episantr ve Hiposantr

1.2.3. DıĢ Merkez (Episantr)

Depremin oluştuğu odak noktasının yer yüzeyine dikey olarak ulaştığı nokta veya deprem olayında odak noktasının yeryüzüne dik izdüşüm noktasıdır. Deprem dalgaları, odak noktasından başlayarak küresel olarak yayıldığı için, dalganın yeryüzüne ulaştığı ilk nokta episantr olarak adlandırılır. Bu noktada bir bina varsa ve deprem de orta şiddette bir deprem ise binanın yerle bir olması yüksek bir ihtimaldir.

1.2.4. Odak Derinliği

En kısa ifade ile episantr ve hiposantr arasındaki mesafedir. İçmerkez anlamına gelen “hypocentre” sözcüğünün Fransızca telaffuzu ve Türkçe’ ye geçmiş halidir. Merkez anlamındaki "centre" sözcüğünün, derin/arka anlamındaki "hypo" önekiyle bütünleşmiş halidir ve deprembilimde bir terim olarak deprem şiddetinin yayılmaya başladığı noktayı ifade eder.

Depremler, odak derinliklerine göre sınıflandırılabilir. Bu sınıflandırma tektonik depremler için geçerlidir. Yer'in 0-60 km derinliğinde olan depremler, sığ deprem olarak nitelenir. Yer'in 70-300 km. derinliklerinde olan depremler orta derinlikte olan depremlerdir. Derin depremler ise Yer'in 300 km 'den fazla derinliğinde olan depremlerdir.

Ülkemizde meydana gelen depremler, genellikle sığ depremlerdir ve derinlikleri 0-60 km arasındadır. Orta ve derin depremler daha çok bir levhanın, bir diğer levhanın altına girdiği bölgelerde olur. Derin depremler, çok geniş alanlarda hissedilir, buna

(19)

1. Giriş

6

karşılık yaptıkları hasar azdır. Sığ depremler ise dar bir alanda hissedilirken, bu alan içinde çok büyük hasar yapabilirler.

1.2.5. EĢĢiddet (Ġzoseit) eğrileri

Aynı şiddetle sarsılan noktaları birbirine bağlayan noktalara denir. Bunun tamamlanmasıyla eşşiddet haritası ortaya çıkar. Genelde kabul edilmiş duruma göre, eğrilerin oluşturduğu yani iki eğri arasında kalan alan, depremlerden etkilenme yönüyle, şiddet bakımından sınırlandırılmış olur. Bu nedenle depremin şiddeti eşşiddet eğrileri üzerine değil, alan içerisine yazılır.

1.2.6. ġiddet

Sismografların olmadığı dönemlerde, depremin gücünü belirleyebilmek amacı ile depremlerin canlılar, yapılar ve toprak üzerindeki etkileri sınıflanmış, şiddet adı verilen ölçek ortaya çıkmıştır.

Herhangi bir derinlikte olan depremin, yeryüzünde hissedildiği bir noktadaki etkisinin ölçüsü olarak tanımlanmaktadır. Depremin şiddeti, yapılar, doğa ve insanlar üzerindeki etkilerinin bir ölçüsüdür. Bu etki, depremin büyüklüğü, odak derinliği, uzaklığı yapıların depreme karşı gösterdiği dayanıklılık dahi değişik olabilmektedir. Şiddet; ölçümlere dayalı değildir, tamamen gözlemsel verilere dayanır. Şiddetin ölçüsü, insanların deprem sırasında uykudan uyanmaları, mobilyaların hareket etmesi, bacaların yıkılması ve toplam hasar gibi çeşitli kıstaslara göre sınıflandırılır.

Günümüzde başlıca iki şiddet cetveli kullanılmaktadır. Bunlardan biri “Modified Mercalli (MM)”, diğeri ise “Medvedev-Sponheur-Karnik (MSK)” şiddet cetvelidir. Her iki cetvel de XII şiddet derecesinden oluşmaktadır.

1.2.7. Magnitüd

Depremde açığa çıkan enerjiyi ölçmek için Prof. Richter tarafından belirlenmiş bir ölçü birimidir. Prof. Richter, episantrdan 100 km. uzaklıkta ve sert zemine yerleştirilmiş, 2800 kat büyütmeli, özel periyodu 0,8 saniye olan ve %80 sönümü olan bir Wood-Anderson torsiyon Sismografı ile kaydedilmiş zemin hareketinin mikron cinsinden ölçülen maksimum genliğinin 10 tabanına göre logaritmasını “Magnitüd”

(20)

7

olarak tanımlamıştır. Magnitüd aletsel ve gözlemsel olmak üzere ikiye ayrılabilmektedir.

Standart bir sismografla kaydedilen deprem hareketinin, maksimum genlik ve periyot değeri ve alet kalibrasyon fonksiyonlarının kullanılması ile yapılan hesaplamalar sonucunda “Aletsel magnitüd” değeri elde edilmektedir. Aletsel magnitüd değeri hem hacim dalgaları hem de yüzey dalgalarından hesaplanmaktadır.

Genel olarak, hacim dalgalarından hesaplanan magnitüdler (M), ile yüzey dalgalarından hesaplanan magnitüdler de (M) ile gösterilmektedir. Her iki magnitüd değerini birbirine dönüştürecek bazı bağıntılar mevcuttur.

Gözlemsel inceleme sonucu elde edilen episantr şiddetinden ise “Gözlemsel magnitüd” hesaplanmaktadır. Ancak, bu tür hesaplamalarda, magnitüd-şiddet bağıntısının incelenen bölgeden bölgeye değiştiği de göz önünde tutulmalıdır.

Rasathaneler tarafından bildirilen bu depremin magnitüdü depremin enerjisi hakkında fikir vermez. Çünkü deprem sığ veya derin odaklı olabilir. Magnitüdü aynı olan iki depremden sığ olanı daha çok hasar yaparken, derin olanı daha az hasar yapacağından arada bir fark olacaktır. Yine de Richter ölçeği (magnitüd) depremlerin özelliklerini saptamada çok önemli bir unsur olmaktadır.

Tablo 1 Richter Ölçeği

ġiddet IV V VI VII VIII IX X XI XII Richter

Magnitüdü 4 4.5 5.1 5.6 6.2 6.6 7.3 7.8 8.4

1.2.8. Sismograf

Bir deprem sonucu oluşan yer hareketlerini sürekli olarak kaydeden cihazlara sismograf denir. Sismograf umumiyetle zelzelenin, yer ve şiddetini, saatini, süresini kaydederse de; toprağın jeolojik yapılarını, petrol ve maden yataklarının bulunmasını, deniz dalgaları ve fırtınaların meydana getirdiği mikrosismik hareketlerin tespitini, volkanik ve nükleer patlama titreşimlerini, çevre gürültüsünü ölçen türleri de vardır.

(21)

1. Giriş

8

Deprem dalgaları başladığı yerden her yöne dağılarak geçtiği yol üzerinde fizikî değişiklikler yapar. Bu dalgaları tespit eden Sismografın jeofizik ilmine sağladığı fayda; mikroskobun biyoloji ilmine, teleskopun astronomi ilmine sağladığı faydadan az değildir.

Sismografın çalışması sarkaç esasına dayanır. Yer sarsıldığı halde sarkaç ucundaki ağırlık sabit kalır. Ağırlık ucuna bağlı olan kalem, yere bağlı kâğıt üzerine hareket yönü doğrultusunda zelzele dalgalarının şeklini çizer. Zelzele dalgaları dikey ve yatay doğrultuda olduğu için, bütün dalgaları kaydedebilmek için biri dikey, ikisi de yatay hareketleri çizen üç sismografa ihtiyaç vardır.

Şekil 2 Üç Bileşenli Sismogram Kaydı

Sismograflar genel olarak pandüllü (sarkaçlı) ve kristal gerilmeli olmak üzere iki türlüdür. Sarkaçlı sismograflarda sarkaç büyük bir ağırlık ihtiva eder ve toprağa bir yayla tutturulmuştur (Bkz. Sarkaç). Her yönde rahatça hareket edebilen sarkacın demirden uç kısmı elektromıknatıs bobinler içindedir. Sarsıntı olduğu vakit bobin içindeki sarkaç uzantısı manyetik alanı değiştirince bobindeki akım değişir. Bu akım değişikliği yazıcı kaleme hareket verir. Sarkaç ağırlığı arttıkça ve mıknatıs bobinin hassasiyeti arttırıldıkça titreşimlerin genliğin büyütülme ve küçük sürelerdeki tespiti mümkün olur.

(22)

9

Diğer bir sismograf türü de kristal elemanlı olanlardır. Bu sismografın çalışma prensibi piezoelektrik olayına dayanır. Zelzele dalgası geçerken yere bağlı iki mesnet arasında meydana getirdiği yatay veya dikey hareketler, bu iki mesnet arasında yüzer vaziyetteki kristali sıkıştırıp gevşetir. Bu kristalden üreyen elektrik akımı büyütülerek sismik dalga olarak kaydedilir.

Sismograf hareketleri büyütüldükten sonra kâğıt üzerine kaydedilir. Büyütme alanını arttırmak ve kolay kayıt yapabilmek için optik büyütmeli fotoğraf kayıtlı sismograflar yapılmıştır. Bu tür sismograflarda büyütme oranı 2000 ile 1.000.000 arasında değişir. Vasat bir sismograf için büyütme oranı 50.000 ve daha az olur. Sismik dalgaların ölçülebilen en düşük periyotları 0,2 saniyedir.

1.2.9. Richter ölçeği

Bu ölçek, 1935 senesinde Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg tarafından Kaliforniya Teknik Enstitüsüńde (California Institute of Technology) tasarlanıp, ilk olarak ML ölçeği (yerel magnitüd-Magnitude Local) olarak isimlendirilmiştir. Amerikan Sismoloji Derneği Bültenińde (Bulletin of the Seismological Society of America) "Bir enstrümantal deprem şiddet ve sarsıntı oranı ölçeği (An instrumental Earthquake Magnitude Scale)" isimli bilimsel yayında, Charles Francis Richterín ilk defa K. Wadatińin 1931´ de yayımladığı, "bir enstrümantal deprem ölçeği" fikrini Kaliforniya´da meydana gelen depremlerde uyguladığı belirtilmiştir.

Richter, depremin içsel enerjisi ne kadar büyükse, yer hareketinin genliğinin de o kadar büyük olacağını gösterdi. Büyüklük ölçeğini, 1 saniye olan kayma dalgalarına hassas sismometreler kullanarak kalibre etti. Ancak, Richter kayıtların tamamını Wood-Anderson Sismografı adındaki belli bir cihazdan elde ediyordu ve ölçümleri sadece Kaliforniya depremleri için sınırlıydı. Daha sonra sismolojistler bu ölçeği tek tür sismograf ve dünyanın her yeri için geçerli hale getiren çalışmalar yapmışlardır.

(23)

1. Giriş

10

Şekil 3 Richter Ölçeği

Diyagramda ölçekler belli bir matematiksel hesabı göz ile yapmayı sağlayacak bir nomogram meydana getirmektedirler. Burada hesaplama şu şekilde yapılır.

1. Depremin büyüklüğünün nomogram yardımıyla belirlenmesi için sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanır;

2. P dalgalarının başladığı andan S dalgalarının başladığı ana kadar geçen süre hesaplanır(bu örnekte 24sn)

3. 24sn. nomogramda işaretlenir ve ona karşılık gelen 215km. değeri okunur. Bu istasyonun merkez üssüne olan uzaklığıdır.

4. En güçlü S dalgasının genliği ölçülür (bu örnekte 23mm) ve nomogramda işaretlenir.

5. İlk iki işaret doğrusal olarak birleştirilir. Depremin büyüklüğü (magnitüd) bu iki işareti birleştiren doğrunun magnitüd ölçeği ile kesiştiği noktadır. (Bu örnek için depremin büyüklüğü 5’tir).

(24)

11

1.3. Sismik Dalgalar

Sismogram üzerinde okunan dalgalara sismik dalgalar denir. Sismogram üzerinde görülebilen dalgalar sismik dalgalardır. Deprem kaynağındaki ani kayma (faylanma) veya bir patlatma sonucu meydana gelen elastik dalgalar yerin içinde veya yüzeye yakın tabakalar boyunca yayılırlar. Kaynaktan boşalan enerjinin yeterince büyük olması halinde bu dalgalar çok uzaklardaki çeşitli sismograf istasyonlarında kaydedilirler.

Sismik dalgaların iki ana türü vardır. 1. Cisim dalgaları

2. Yüzey Dalgaları

Yerin iç kısımlarında yayılabilen cisim dalgalarının iki ana türü vardır; Boyuna dalgalar (P dalgaları)

Enine (kayma) dalgalar (S dalgaları)

Yüzey dalgaları bir yüzey boyunca yayılan dalgalardır. Başlıca türleri 1. Love (L) ve Rayleigh (R) dalgaları

2. Stoneley dalgaları 3. Kanal dalgaları 1.3.1. Cisim dalgaları

Cisim dalgaları yer içinde her yönde yayılabildiklerinden bunlara “serbest dalgalar” denilmektedir.

1.3.1.1. Boyuna dalgalar (P dalgası)

Yayılabildikleri doğrultuların farklı olmasından başka farklı dalga türlerinin tanecik hareketleri ve yayılma hızları da birbirlerinden farklıdır. P dalgalarının tanecik hareketi dalganın yayılma doğrultusundadır. Yani P dalgası tarafından etkilenen bir

(25)

1. Giriş

12

tanecik denge durumunu yitirerek dalganın yayılma doğrultusunda ileri-geri titreşim hareketi yapar.

Şekil 4 P dalgası yayılım doğrultusu

1.3.1.2. Enine dalgalar (S dalgası)

S dalgası tanecik hareketi ise dalganın yayılma doğrultusuna dik olan bir düzlem içerisindedir. Bu nedenle S dalgasını yatay (SH) ve düşey (SV) bileşenlerine ayırabiliriz.

Şekil 5 S dalgası yayılım doğrultusu

1.3.2. Yüzey dalgaları

Yüzey dalgaları bir yüzey veya tabaka boyunca yayıldıklarından “sınırlı dalgalar” olarak isimlendirilirler. Love dalgalarında tanecik hareketi SH dalgalarında olduğu gibidir. Yani Love dalgaları yatay yönde polarize olmuş S dalgalarıdır. Rayleigh dalgalarında (R) ise tanecik hareketi büyük ekseni düşey olan bir elips çizer. Elips düzlemi yayılma doğrultusundaki düşey bir düzlem içinde bulunur.

(26)

13

Şekil 6 Rayleigh ve Love dalgası yayılım doğrultusu

Yayılma hızları en büyük olan dalgalar P dalgalardır. P dalgalarını sırası ile S, L ve R dalgaları izler. Bu nedenle sismogramlarda ilk görülen dalgalar P dalgalarıdır. P dalgalarını S dalgaları, L dalgaları ve son olarak R dalgaları izlerler.

(27)

1. Giriş

14

(28)

15

2. ÖNCEKĠ ÇALIġMALAR

Dalgacık analizi kullanım olarak oldukça yeni olmasına karşın, temelleri 1805 yılında Joseph Baptiste Fourier tarafından atılmıştır. Fourier’ in çalışmasının temelini oluşturan frekans analizi konusunun sonraları hem önemli hem de etkili bir yöntem olduğu ispatlanmıştır. Uygulamada günümüzde sıkça karşımıza çıkmaktadır.

Sadece frekans analizinin yeterli olmadığı kanaatine varılarak, frekans analizinden ölçek analizine geçiş yapılmıştır. Çünkü ölçülen ortalama dalgalanmaların farklı ölçeklerdeki analizleri gürültüye daha az duyarlı olduğu açıkça görülmüştür.

Yani zaman dizilerinin geneline ilişkin kararlar vermek yerine bölgesel ölçekte oluşan küçük dalgalanmaların önemli olabileceği gündeme gelmiştir. Dolayısıyla kullanıcılar için dalgacık analizi seçenek olmuştur.

Şimdiki kullanımıyla “dalgacık” sözü ilk kez Alfred Haar’ ın (1909) doktora tezinin ekler kısmında kullanılmıştır. Paul Levy, Brownian hareketini (parçacıkların rastlantısal hareketini) modelleyerek dalgacık teorisine katkı sağlamıştır (1930–1950). Levy, parçacıkların rastlantısal hareketini Haar’ ın ölçek değişkenli temel fonksiyonlarının (Haar dalgacığı) Fourier temel fonksiyonlarına oranla daha iyi modellediğini ispat etmiştir.

Dalgacık teorisinin esasları hakkındaki ayrıntılar ilk defa Jean Morlet ve Alex Grossmann yönetimindeki Marsilya Teorik Fizik Merkezi çalışma grubu tarafından 1985 yılında ortaya atılmıştır.

Dalgacık analizi yöntemleri Yves Meyer ve meslektaşları tarafından geliştirildi. Ana algoritma Mallat (1988)’ın çalışmasına dayanmaktadır.

Bundan sonra dalgacık analizi konusunun uluslararası bir yön kazandığı görülür. Özellikle Daubechies, Coifman ve Wickherhouser adlı araştırmacılar önemli çalışmalarıyla konuya ivme kazandırmışlar. Bu aşamadan sonra dünya literatüründe sıkça duyulmaya başlandı (1988–1989).

Dalgacık analizi kendine çok geniş bir yelpazede kullanım alanı bulmuştur. Bu durum onun çoklu çözünürlük özelliğinden kaynaklanmaktadır.

(29)

2. Önceki Çalışmalar

16

2007 yılında Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesinde yapılan bir çalışmada, insan yüzü tanıma konusunda dalgacık dönüşümü yöntemi kullanılarak bir akıllı sınıflandırma sistemi oluşturulmaya çalışılmıştır (Özdemir ve Artıklar 2007).

2011 yılında Selçuk Üniversitesinde yapılan bir çalışmada dalgacık analizi, uyku EEG sinyallerinin yapay sinir ağları ile sınıflandırılmasında kullanılmıştır (Ersöz ve Özşen 2011).

2007 yılında Süleyman Demirel Üniversitesinde yapılan bir çalışmada EKG sinyali kaydedilirken cep telefonundan meydana gelen gürültünün Wavelet analizi yöntemi ile süzülmesi incelenmiştir (Coşkun ve Çömlekçi 2007).

2008 yılında Başkent Üniversitesinde yapılan bir çalışmada sayısal sinyal işlemenin en temel dayanağı olan “Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü” ve bu dönüşümün zayıf tarafı olan zamanda yerellik sorununu çözen “Kısa Zamanlı Fourier Dönüşümü” ve frekansa göre uyarlamalı zaman ölçeklemesi ile öne çıkan “Dalgacık Dönüşümü” ayrıntılı incelenmiş, daha sonra bünyesinde istatistiksel süzme yaklaşımlarını da içeren ve birçok eniyileme algoritması barındıran Optimal Süzgeç tasarım yöntemleri incelenmiştir (Ağaoğlu 2008).

2007 yılında Gazi Üniversitesinde yapılan bir çalışmada beyin MR görüntüleri çok çözünürlüklü dalgacık paketi dönüşümü ve özörgütlemeli harita ağları kullanılarak kendilerini oluşturan gri madde, beyaz madde ve beyin sıvısı dokularına bölütlenmiştir (Demirhan ve Güler 2007).

2007 yılında Fırat Üniversitesinde yapılan bir çalışmada dalgacık dönüşümü, Yapay Sinir Ağları (YSA), Uyarlamalı Ağ Tabanlı Bulanık Çıkarım Sistemi (UATBCS) yöntemleri kullanılarak analog modülasyon tanıma için akıllı bir sistem geliştirilmiştir. Bunun için MATLAB Grafiksel Kullanıcı Arayüzü (GUI) değiştirilebilir parametrelerle en iyi analog modülasyon tanımayı gerçekleştirme imkânı sağlar. Dalgacık dönüşümü yöntemi işaretlerin özelliklerini çıkarmada, YSA ve UATBCS yöntemleri ise sınıflandırmada kullanılmıştır (Erdem Yakut 2007).

2008 yılında Ege Üniversitesinde yapılan bir çalışmada amaç, Kör Kaynak Ayrıştırması yönteminin üç farklı yaklaşıma sahip algoritmalarını kıyalasyarak fetal

(30)

17

EKG çıkartımı için en uygun olanı saptamaktır. Bağımsız bileşenler analizi, izdüşüm tabanlı yöntem ve karmaşıklık tabanlı yöntem olarak adlandırılan bu algoritmalar EKG işaretlerinden elde edilen yapay karışımlar üzerinde ve gürültü eklenerek sınanmıştır. Daha sonra dalgacık dönüşümü yöntemi, işaretlerdeki gürültüyü arındırma amaçlı olarak kullanılmıştır. Bir sonraki aşamada, uygulamalar sonucunda düşük hata oranı veren algoritmalar fetal EKG çıkartımı için kullanılmıştır (Serdengeçti 2008).

2007 yılında İstanbul Üniversitesinde yapılan bir çalışmada TPAO tarafından elde edilen gravite ve manyetik anomali haritalarına Dalgacık yöntemi uygulayarak Gelibolu Bölgesi’nin tektonik yapısı aydınlatılmaya çalışılmıştır (Kızılyel 2005).

2006 yılında Sakarya Üniversitesinde yapılan bir çalışmada deprem sinyallerinin çözümlenmesinde en önemli parametreler olan P ve S dalgalarının geliş zamanlarının tespiti üzerine bir çalışma yapılmıştır (Çolak 2006).

2006 yılında Selçuk Üniversitesinde yapılan bir çalışmada, konuşma ve konuşmacı tanıma üzerine bir çalışma yürütülmüştür. Konuşma ve konuşmacı tanıma günümüz bilgi teknolojilerinde özel ve ayrı bir yere sahiptir. Konuşma tanıma ile metinlerin elektronik ortama aktarılması diğer yöntemlerden çok daha hızlı yapılmaktadır. Ayrıca konuşma tanıma ile cihazların sesle yönetilmesi de sağlanabilmektedir. Konuşmacı tanıma ise biyometrik teknolojinin bir parçası olarak karşımıza çıkmakta ve insanların seslerinden tanınmasını sağlamaktadır. Bu iki tür tanımada frekans analizi hayati bir öneme sahiptir ve hemen hemen tüm adımlarda spektral düzlemde işlemler yapılmaktadır (Aygün 2006).

2010 yılında Kocaeli Üniversitesinde yapılan bir çalışmada yüz tanıma sistemleri algoritmaları araştırılmış ve deneysel sonuçların incelenmesinde kullanılacak dalgacık dönüşümü hakkında bilgi verilmiştir (Kıymacı 2010).

(31)

2. Önceki Çalışmalar

18

2005 yılında İstanbul Üniversitesinde yapılan bir çalışmada İzmit Körfezi Sismik verilerinin değerlendirilmesinde dalgacıkların rolü üzerine bir araştırma yapılmıştır (Akkargan 2005).

2007 yılında yapılan bir çalışmada dalgacık analizi, bölgenin gravite anomali haritasına uygulanarak Doğu Anadolu Fayı’nın tektonik yapısına ait süreksizlik sınırlarının saptanmasına çalışılmıştır.

(32)

19

3. MATERYAL ve METOD

3.1. Zaman Dizileri

Bu çalışmanın esasını zaman dizilerinin dalgacık analizi teşkil etmektedir. Bu bağlamda zaman dizileri nedir? Ne işe yarar? Özellikleri nelerdir?

Bir fiziksel büyüklüğün bir veya birden çok bağımsız değişkene göre durumunu veren gözlemler topluluğuna zaman dizisi denir. Burada dikkat edilmesi gereken husus gözlemlerin toplanma zamanlarına göre sıralanmasıdır.

Zaman dizilerinin meydana gelişi; Fiziksel olayın takibi için etkilediği büyüklüğün bağımsız değişkene durumunu belirten ardışık gözlemlerle incelenir. Bu gözlemler bir çizime aktarıldığında olayın davranışı hakkında kabaca bir fikir elde edilebilir.

Dizideki gözlemler zamana bağlı olarak sürekli (kesintisiz) şekilde gözleniyorsa sürekli (continuous) diziler (örn. sismograf verileri), sürekli değil de belli zaman aralıklarında gözleniyorsa ayrık (discrete) diziler adı verilir. Örneğin her 5 dakika aralıklarla bir sıcaklık değerlerinin kaydedilmesi gibi. Sürekli diziler sayısal analize uygun olmadığından ayrık dizileri haline getirilmesi gerekir (sayısallaştırma).

Bu temel bilgilerin yansıra, zaman dizilerinin kullanıcıya sağladığı 4 çeşit fonksiyonel özelliği vardır. Bunlar; tanımlama, açıklama, tahmin ve kontroldür. Kısaca zaman dizileriyle fiziksel büyüklüğün davranışı tanımlanır, diğer değişkenlerle ilişkisi açıklanır, gelecekteki alacağı değerinin tahmini yapılır ve son olarak beklentilerin üzerinde değer alacağında kontrol işleminde kullanılır.

Zaman dizisi bir çizime aktarıldığında fiziksel büyüklüğün davranışı hakkında kabaca fikir elde edileceği yukarıda belirtilmiş idi. Böylece analiz esnasında zaman dizisinin hangi unsurlardan oluştuğu, ne gibi bileşenler içerdiği hakkında öngörüde bulunulabilir.

Bu varsayımdan hareketle uygun bir analiz yöntemi seçilir. Bu seçim aranan bileşenin özelliğine göre de değişir. Örneğin dizideki trendin doğrusal olduğu ve bunun değeri belirlenmek isteniyorsa y = ax+b ¸seklinde bir matematiksel model öngörülür ve

(33)

3. Materyal ve Metod

20

buradaki a ve b bilinmeyenleri istenen incelikte belirlenir. Trendin doğrusal değil de eğri seklinde olduğu öngörülürse uygun bir polinomla verilere yaklaşılmaya çalışılır. Benzer şekilde dizinin içindeki gürültüleri ayrıştırmak ve temel bileşenleri daha iyi fark etmek için hareketli ortalama (moving average) tekniği kullanılabilir. Böylece veriler yumuşatılır. Bir başka yöntem; eğer dizileri oluşturan bileşenler periyodik ise spektral analiz yöntemiyle söz konusu bileşenler belirlenir.

3.2. Periyodiklik ve Frekans

Önceki baslıkta periyodik bileşenler diye bir kavramdan bahsedildi. Kavramı Biraz daha açmak gerekirse, öncelikle periyodiklik ifadesini ele alalım. Belli zaman aralıklarında tekrar eden sürece periyodiklik, bu tur fonksiyonlara periyodik fonksiyonlar denir. Sinüs ve kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar birer periyodik fonksiyonlardır. Örneğin sinüs fonksiyonu kendini iki de bir tekrar eder. Bu tekrarlama süresine periyot adı verilir ve genellikle “T” ile gösterilir.

Fonksiyonun her tekrarında bir dalga oluşur. Teorik olarak her dalganın birbirine eş değer olması beklenir. Ama uygulamada hatalar nedeniyle bir önceki dalga ile bir sonraki dalga birbirine benzemez. Dalganın iki üst geçişi arasındaki zaman aralığına periyot demiştik. Periyodun tersi “salınım hızı” olarak da bilinen frekansı verir. Bu geçen dalga sayısıdır ve “f” ile sembolize edilir.

3.3. Frekans bilgisine Neden Ġhtiyaç Duyulur

Frekans kavramı araştırmacılar için çok önemlidir. Çünkü çoğu araştırmacı bir dizinin veya fonksiyonun içinde birden fazla görülen periyodik bileşenleri ayrı ayrı öğrenmek ister. Bir fonksiyonun frekans bilgisi ne işimize yarar? Bunu güncel hayattan bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Bir insanın kalp grafiğini (EKG: Elektrokardiyografi) göz önünde bulunduralım. Bu grafik kalp atışlarının zamana bağlı değişimini gösterir. Bir kardiyolog sağlıklı bir insanda olması gereken grafiğin seklini iyi bilir. Önemli sayılabilecek bir sapma olduğunda hastada bir sağlık problemi bulunduğu ortaya çıkar.

Zaman dizisine bakarak sağlık problemini bir çırpıda açıkça görülmesi mümkün değildir. Bu nedenle zaman alanındaki grafiğin kardiyologlar tarafından frekans alanına

(34)

21

dönüştürülmesi onun daha iyi anlaşılabilmesi açısından önemlidir. Çünkü frekans alanı dizinin içerdiği sinyaller veya başka bir deyişle gözlenen doğa olayının davranışı ve bu davranışa neden olan fiziksel kuvvetler hakkında daha kolay bilgi edinmemize yardımcı olur.

Frekans alanının önemi nedeniyle zaman alanını söz konusu alana dönüştüren matematiksel araçlara ihtiyaç duyulmaktadır. Bu işlemi geçekleştirecek birçok analiz yöntemi vardır. Wigner dağılımı, Fourier, Hilbert ve Radon dönüşümü bunlardan sadece birkaçıdır (Qiao, 2005). Başta Fourier dönüşümü en bilinen ve sık kullanılan yöntemdir. Son zamanlarda (son 20 yıl içerisinde) popülaritesini arttıran yeni yöntem ise dalgacık (wavelet) analizidir. Bir sonraki bölümde dalgacık analizi hakkında tanımlamalar ve açıklamalar yapılacaktır.

3.4. Fourier Analizi ve Dalgacık Teorisine GiriĢ

Zaman dizilerinin analizinde en iyi bilinen ve en çok kullanılan Fourier tekniğidir. Fourier analizi, bir sinyalin farklı frekanslarını hesaplar. Diğer bir bakış açısıyla; bir sinyali zaman tabanlıdan frekans tabanlı hale dönüştürür.

Fourier analiziyle bir zaman dizisini meydana getiren frekans bileşenlerinin belirlenmesine karşın dezavantajlara da sahiptir. Frekans alanına dönüşüm sırasında zaman bilgisi yok olur. Yani bir sinyalin Fourier dönüşümüne baktığımızda özel bir olayın nerede gerçekleştiğine dair bir şey söylemek mümkün olmaz.

Eğer sinyalin karakteristik özelliği zaman boyunca değişmez ise (yani sinyal durağan ise) bu dezavantaj önemli değildir. Buna karşın çoğu sinyal önemli sayılabilecek süreksizlikler veya geçici özellikler (eğim, ansızın değişim, kırılma ve olayların başlangıç ve bitişlerini) içerir. Bu beklenmedik özellikler belki de sinyalin en can alıcı kısımlarını oluşturmaktadır. Fourier analiz bunları belirlemeye elverişli değildir. Bu nedenle söz konusu kullanılacak analiz yönteminin zaman dizisindeki süreksizliklere duyarlı olması gerekir. Dalgacık yöntemi bu konuda Fourier tekniğine seçenek olabilir.

(35)

22

Şekil 8 Sinüs Dalgası ve Bir Dalgacık Örneği

3.4.1. Kısa Zaman Fourier Analizi

Fourier analizinin zamanlama eksikliğini gidermek için, Gabor (1946) sinyali zaman alanında küçük bölümler (pencereleme) halinde analiz edebileceği fikrini ortaya atmış ve başarıyla uygulamıştır.

Şekil 9 Kısa Zaman Fourier Analizi

Kısa zaman Fourier Analizi bir sinyalin zaman ve frekans görünüşü arasında uzlaşmasını sağlar. Yani sinyalin ne zaman ve hangi frekansla oluştuğu hakkında bilgi verir. Fakat bu bilgiler sınırlı doğrulukla elde edilir. Çünkü doğruluk pencerenin boyutuyla ilgilidir (Şekil 9). Pencere boyutu büyükse frekans çözünürlüğü iyi, pencere boyutu küçükse frekans çözünürlüğü düşük olur (Lee Vd., 1999).

Yöntem, zaman sinyali f(t) ve bir yaklaşık zaman penceresi w(t) ile çarpılmasıyla klasik Fourier tekniğinden türetilir. Böylece sinyal kullanıcının tercihine bağlı büyüklükteki zaman penceresiyle adım adım analiz edilmiş olur. Kayan pencerenin yerleştirilmesi zaman boyutunu ekler ve zaman değişkenli frekans analizini gerçekleştirir. Böylece standart Fourier analizinden farklı olarak aşağıdaki eşitlik elde edilir.

(36)

23

……… (3.1) Yöntemin zaman ve frekans bilgileri arasında uzlaşı sağlaması faydalı iken, dezavantajı seçtiğimiz özel pencere tüm frekanslar için aynı olmasıdır. Diğer bir deyişle KZFD’ de yüksek ve alçak frekans bileşenleri için pencere fonksiyonu genişliğinin değiştirilmesi mümkün değildir. Sadece farklı pencere fonksiyonu genişlikleri ile KZFD birkaç kez tekrarlanarak sinyalin birkaç zaman-frekans gösterimi elde edilebilir. Fakat bu tarz bir analiz hem zaman kaybı hem de gereksiz işlemlere sebep olduğundan kullanışlı değildir. Dolayısıyla çoğu sinyal daha fazla esnek bir yaklaşım ister. Böylece pencerelerin boyutu daha doğru zaman veya frekans bileşenini belirlemek için değişmelidir. Bu nedenle yöntem ihtiyacı tam anlamıyla sağlayamamış ve başka bir yönteme gereksinim duyulmuştur.

3.4.2. Dalgacık Analizi

Kelime itibariyle dalganın küçüğü anlamına gelir. Bir dalgacık sınırlı bir zamanda etkili bir dalga biçimidir. Örneğin Fourier tekniğinin temeli olan sinüs dalgası ele alalım. Sinüsoidlerin belli bir sınırı yoktur. -∞ ile +∞ arasında sürekli olarak kendini tekrar eder durur. Ayrıca sinüsoidlerin hem yumuşak geçişleri vardır hem de tahmin edilebilirdirler. Buna karşın dalgacıklar düzensiz ve asimetrik özellik eğilimindedir (Şekil 8).

Dalgacık analizi değişken boyutlu bölgelerde pencereleme tekniğidir. Ayrıca hem uzun zaman aralığında alçak frekans bilgisini hem de kısa zaman aralığında yüksek frekans bilgilerini belirlememize yardımcı olur. Yani bir bakışta hem ormanı hem de ağaçları görmektir (Graps, 2006).

(37)

24

Şekil 10 Dalgacık Analizi

Dalgacık analizi; kısa zaman Fourier analizinin aksine zaman-frekans alanını değil, zaman-ölçek alanını kullanır (Şekil 10). Şekilde görüldüğü üzere analiz sonucunda tek boyutlu bir çizgi değil, alanlar oluşur.

Dalgacık analizi ne iş yapar? Dalgacık analizinin en önemli avantajı yerel analizi yapabilmesidir. Yani büyük sinyali küçük alanda analiz edebilmesidir. Örneğin küçük bir süreksizlik noktası olan bir sinüs sinyalini düşünelim. Böylesi bir sinyal gerçek hayatta deneysel olarak kolayca bulmak mümkündür. Bu sinyalin Fourier analizi sonucunda elde edilen spektral bileşenlerin çizimi ilginç bir şey ifade etmez.

Çünkü karşımıza sinyali temsil eden düz bir spektrum (2 zirve) çıkar. Buna karşın dalgacık analizi sonucunda elde edilen spektral bileşenlerin çizimi zaman içerisindeki süreksizliğin kesin yerini gösterir.

İşte dalgacık analizi boşluklu, eğimli, kırılma noktalı, süreksizlik noktası bulunan sinyallerin analizinde kullanılan uygun bir analiz yöntemidir. Bunların yanı sıra geleneksel yöntemlere göre karşılaştırıldığında dalgacık analizi yardımıyla bir sinyali sıkıştırma (compression) veya arındırma (de-noising) işlemi sinyalin orijinalini bozmadan kolayca yapılabilir (Misiti vd., 2004).

Fourier analizinde sinyal, sinüs fonksiyonunun farklı frekansları cinsinden ifade edilebilirken, dalgacık analizinde ise durum biraz farklıdır. Sinyal, ana dalgacığın belirli bir ölçekte ve zamanda bir miktar kaydırılmasıyla elde edilebilir.

(38)

25

3.4.3. Ölçek ve Zaman Fikri

Dalgacık analizi bir sinyale zaman ve ölçek perspektifinden bakmayı sağlar. Ölçek, yerel düzenlilik hakkında fikir sunarken, zaman dalgacığın oluşum anını ifade eder.

Ölçekleme işlemi, bir fonksiyonu yatay eksen boyunca belli bir oranda sündürmek ya da büzmektir. Ölçek faktörü s ile sembolize edilir. Şekil 11 de sinüs ve dalgacık fonksiyonunda ölçek faktörünün etkisi yer almaktadır. Kısaca, ölçek faktörü küçüldükçe dalgacık aynı oranda sıkıştırılır.

Dalgacık analizinde önemli bir unsur ise meydana gelen ani değişimlerin belirleyen zamandır. Kırılma anı, kenar tespiti ve kısa zaman oluşumlarının izlenmesi dalgacık analizinin amaçlarındandır.

(39)

26

Şekil 12 Zaman içersinde frekans değişimi

Şekil 12 de görüldüğü üzere zaman, ilerledikçe sinyalin frekansında değişimler olabilir. Yani sinyal belli zamanlarda farklı frekanslar içermektedir. Bu durumda sinyalin yapısının durağan olmadığı ortaya çıkar. Bu tip sinyallerin analizinde frekans değişimlerinin yerinin de tespit edilmesi gerekir.

Klasik analiz yöntemlerinde genellikle sinyalin içinde bulundurduğu frekans bileşenleri belirlenir. Bu bileşenler sinyalin tümünde bulunduğu varsayılır. Bu varsayım her zaman doğru değildir. Şekil 12 deki sinyal bunun en güzel örneğidir. Öyle bir matematiksel araç olmalıdır ki; sinyalin her anında oluşan değişimleri izleyebilsin.

3.5. Dalgacığın Matematiksel Temelleri

Kısa zaman Fourier analizinde bir pencere fonksiyonu bulunurken, dalgacık analizinde bir dalgacık (φ(x)) fonksiyonu kullanılmaktadır. Söz konusu dalgacık fonksiyonu ölçeklendirilip ve zaman alanında kaydırılarak analiz işlemi gerçekleştirilir. Bu durumda, öncelikle dalgacığın matematiksel tanımını yapalım ve çeşitleri hakkında bilgi edinelim.

Dalgacık nitelik yönünden ele alınacak olunursa, öncelikle aşağıdaki iki şartı sağlayan bir gerçek değerli fonksiyon (x) olması gerekir (Percival ve Walden, 2002):

φ nin integrali sıfırdır.

………..(3.2.a)

(40)

27

………..(3.2.b) Yukarıdaki eşitlikleri sağlayan her (x) fonksiyonu dalgacık olarak adlandırılır. Örneğin en basit anlamda yukarıdaki eşitliği sağlayan en temel dalgacık fonksiyonu Haar dalgacığı olarak bilinmektedir. Bu dalgacığın matematiksel gösterimi;

…….…………..(3.3)

Şeklindedir. Söz konusu dalgacığın grafiği ise şekil 13 da gösterilmiştir.

Şekil 13 Haar Dalgacığı

Şekil 14 PDF (Probability Density Function) ve Mexican Hat Dalgacığı

Yukarıdaki örneklerden de anlaşılacağı üzere birbirinden farklı dalgacık fonksiyonlarıyla karşılaşmak söz konusu olacaktır. Her bir dalgacık fonksiyonun değişik kullanım alanları mevcuttur. Kullanım alanı analiz yapılacak dizinin karakteristik özelliğine göre değişir.

(41)

28

3.5.1. Sürekli Dalgacık DönüĢümü

Matematiksel olarak Fourier analiz süreci Fourier dönüşümüyle gösterilir. ….………..(3.4) (3.4) eşitliği f(t) sinyalinin bir kompleks üstel ile çarpılıp toplanması ile elde edilir. Dönüşümün amacı işte bu Fourier katsayılarını hesaplamaktır. Böylece bir sinyal, Fourier dönüşümü yardımıyla bileşenlerine ayrılır. Her bileşenin ayrı genliği ve frekansı vardır. Bu işlem şekil 15 de grafik olarak gösterilmiştir.

Şekil 15 Fourier Dönüşümü

Benzer şekilde Sürekli Dalgacık Dönüşümü (SDD), dalgacık fonksiyonunun ( ) kaydırılıp bir ölçekle¸ çarpıldıktan sonra zaman alanı boyunca toplanmasıdır. Bunun matematiksel ifadesi,

………(3.5)

Biçimindedir. Burada s ölçek ve τ konumu ifade etmektedir. SDD nin sonucunda ölçek ve konum fonksiyonu olan birçok dalgacık katsayıları C elde edilir. SDD nin algoritması açıklanmak istenirse bu işlem beş adımda tanımlanabilir. Şöyle ki;

 Bir dalgacık alınır ve orijinal sinyalin başlangıç bölümü ile karşılaştırılır.

(42)

29

 Dalgacık ile sinyal arasındaki korelasyon katsayısı hesaplanır. Katsayı ne kadar büyükse benzerlik o kadar fazla olacaktır.

Şekil 17 Dalgacığın orijinal işaretin ilk kısmıyla karşılaştırılması

 Dalgacık bir miktar sağa kaydırılır. Birinci ve ikinci adımdaki işlemler tüm sinyali kaplayıncaya kadar tekrarlanır.

Şekil 18 Dalgacığın yeniden ölçeklenmiş halinin işaretle karşılaştırılması

 Dalgacık ölçeklendirilir ve ilk üç adımdaki işlemler tekrarlanır.  Tüm ölçekler için ilk dört adım tekrarlanır.

Bütün bu adımlar tamamlandığında, işaretin farklı kısımlarına ait farklı ölçeklerde farklı SDD katsayıları oluşacaktır. Elde edilen katsayılar nasıl gösterilmeli ki, kolayca yorumlanabilsin? Bunun için x-zaman, y-ölçek ve xy-C nin büyüklüğüne göre renklendirme yapılarak grafiğe aktarılmalıdır.

3.5.2. Ayrık Dalgacık DönüĢümü

Eğer olası tüm ölçek aralığında analiz yapılırsa çok büyük veri yığınları oluşur. Bunlardan kaçınmak için analist belirli ölçek grupları tespit eder ve bu aralıkta analizleri yapar. Çoğunlukla en pratik ve kullanışlı yol, ölçek ve konum değerleri 2 nin kuvveti olacak şekilde seçmektir. İşte bu şekilde yapılan işleme Ayrık Dalgacık Dönüşümü (ADD) denmektedir. Matematiksel kuram olarak SDD den hiçbir farkı yoktur. Sadece hesap sınırı dizinin zaman alanına, konum ve ölçek değerleri de analistin tercihine bağlıdır.

(43)

30

Bu yöntemin efektif bir şekilde uygulanmasını, ilk kez 1988 yılında Mallat sağlamıştır. Mallat’ ın algoritması, aslında işaret işleyicilerin iki kanal “yan band kodlayıcı” olarak adlandırdığı klasik bir plandır. Bu oldukça hızlı bir dalgacık dönüşüm işlemidir. Bir tarafta bir kutuya giren işaretler öbür taraftan kolaylıkla katsayılarıyla çıkar.

3.5.3. Dalgacık ile Fourier arasındaki iliĢki

Fourier analizi, bir sinyali farklı frekanslardaki bileşenlerine ayırırken, dalgacık analizi işlemi farklı ölçeklerde gerçekleştirmektedir. Amaç sinyalin içerisindeki gizli periyodikliğin belirlenmesi olduğundan, bu durumda ölçek ile frekans arasında bir ilişki kurmak gerekir.

Bu ilişki s = 1/f dir. Frekansla ölçek arasında ters orantı olmakla birlikte, Fourier periyodu dalgacık ölçeğine eşit değil denktir. Yani ana dalgacığın tipi değiştiğinde periyotla ölçek arasındaki oran da değişir. Örneğin; Morlet dalgacığının ölçeği Fourier periyoduna hemen hemen eşitken, Meksikalı şapkasında ölçek Fourier periyodunun 1/4 katıdır (Torrence ve Compo, 1998). Bu nedenle analiz işleminden önce ölçek-periyot ilişkisi iyi bilinmelidir.

3.5.4. Sayısal Uygulama

Matematiksel fonksiyonlar ham sinyalde belirlenemeyen detayları belirlemek için kullanılır. Bu noktada, Fourier dönüşümü ile dalgacık dönüşümü arasındaki farkı anlayabilmek için sayısal bir uygulama yapılmıştır. Örnek olarak;

sinyali ele alınmıştır. Bu sinyalin grafik gösterimi aşağıdaki gibidir.

(44)

31

Şekil 19 Test Sinyali Grafiği

Bu sinyalin çıplak gözle bile bakıldığında 0.125, 0.25, 0.50 ve 1 bölgelerinde periyodiklikler söz konusudur ve bütün sinyal boyunca devam etmektedir. Yani test sinyalinin frekansları 8, 4 2 ve 1 Hz dir. (f=1/T)

Şekil 20 Test Sinyali Spektrum Grafiği

Pratikte daha çok zaman alanında sinyaller bulunur. Yani zamanın bir fonksiyonu olarak ölçülmüş bir sinyal söz konusudur. Böylesi bir gösterim çoğu kez sinyalin içinde bulunan gizli periyodiklikleri göstermeye yetmez. Bu nedenle sinyalin zaman alanından frekans alanına dönüştürülmesi daha uygun olur.

(45)

32

Şekil 21 Test Sinyali Dalgacık Dönüşümü Spektrumu

Sinyalin Fourier dönüĢümünden elde edilmiĢ spektrumu ġekil 20 de gösterilmiĢtir. Yine aynı sinyalin dalgacık dönüĢümüyle elde edilen spektrumu ġekil 21 de verilmiĢtir. ġekil dikkatlice incelenirse, baĢlangıçta öngörülen periyotların bulunduğu bölgeler koyu renkle çevrilmiĢ beyaz alanlar olarak karsımıza çıkar. Bu da demek oluyor ki; zaman dizisinin söz konusu kısımlarında periyodikler vardır ve zaman alanı boyunca aynı yoğunlukta kalmaktadır.

Simdi ise zaman dizisinin durağan olmadığı kabul edilsin. Yani zaman alanı boyunca değiĢen frekanslar içerdiği kabul edilsin. Bu durumun matematiksel gösterimi aĢağıdaki gibi olacaktır.

(46)

33

Elde edilen zaman dizisinin grafiği Şekil 22 de görülmektedir. İkinci tip serinin Fourier dönüşümü ile elde edilmiş tepki spektrumu ise Şekil 23 de verilmiştir.

Şekil 21 Durağan Olmayan Sinyalin Grafiği

Şekil 22 Durağan Olmayan Sinyalin Fourier Dönüşümü Spektrumu

Önceki Fourier spektrumuyla benzer görüntü elde edilmiştir (yine 4 tane zirve (peak) ve zaman bilgisi yok!) . Buna karşın aynı dizinin dalgacık spektrumu Şekil 24 de gösterilmektedir.

(47)

34

Şekil 23 Durağan Olmayan Test Sinyalinin Dalgacık Dönüşümü

Burada dikkat edilmesi gereken hangi zaman aralığında hangi frekansların bulunduğunun çok rahat görülebiliyor oluşudur. Sinyalin periyodunun 0-10 sn aralığında 0.125, 10-20sn aralığında 0.250, 20-30sn aralığında 0.500 ve 30-40sn aralığında ise 1.000 olduğu çok net şekilde görülmektedir.

3.6. Dalgacık ile Filtreleme 3.6.1. Tek Seviyeli Filtreleme

Birçok işarette alçak frekans bileşeni sinyalin en önemli parçasını oluşturur. Bu kısım, işaretin ana fikrini verir. Diğer taraftan, yüksek frekans bileşenleri önemli nüansları içerir. İnsan sesi düşünülürse; eğer yüksek frekans bileşenleri alınacak olursa, ses farklılaşır ancak hala ne söylendiği anlaşılır. Fakat düşük frekans bilgileri alındığında, duyulan sesler anlaşılmazdır. Bu sebeple dalgacık dönüşümünde sıklıkla yaklaşımlardan ve detaylardan bahsedilecektir. Yaklaşımlar yüksek ölçek, düşük frekans bileşenleridir. Detaylar ise düşük ölçek, yüksek frekans bileşenleridir. Filtreleme işlemi basitçe aşağıdaki gibidir.

(48)

35

Şekil 24 Ayrık dalgacık dönüşümünde filtreleme (Misiti ve diğ., 1996)

Orijinal işaret iki filtreden geçer ve iki işarete dönüşür. Şayet bu gerçek bir dijital işarete uygulanırsa, başlangıcın iki katı kadar veri elde edilir. Örneğin 1000 örnekten oluşan S işareti ele alınsın. Filtreden sonra yaklaşım ve detay işaretleri 1000'er veriye sahip olacaktır. Bu problemi çözmek için “aşağı örnekleme” işlemi kullanılır. Bu işlem, basitçe her saniyedeki veriyi uzağa atar. Bu durum çakışmaya sebep olacaktır ve sonuçta başlangıçtaki veri sayısı kadar, çıkışta işaret elde edilir.

Daha iyi bir sonuç için tek seviyeli ADD uygulanabilir ve bunun için yüksek frekans gürültüleri içeren tam bir sinüzoidal işareti ele alınabilir. Şekil 26 da bu işlemin şematik görünüşü görülmektedir.

Şekil 25 Ayrık dalgacık dönüşümünde filtreleme (Misiti ve diğ., 1996)

cD işareti, orijinal işaretin yüksek frekans gürültülerini içerirken; cA işareti ise, çok az bir gürültüyle birlikte orijinal işaret yaklaşımını içerir.

(49)

36

3.6.2. Çok Seviyeli Filtreleme (Dalgacık AyrıĢtırma Ağacı)

Ayrıştırma işlemi tekrarlanarak sürdürülebilir. Böylelikle bir işaret birçok düşük çözünürlüklü bileşene ayrılır. Bu işleme “dalgacık ayrıştırma ağacı” denir (Şekil 27).

Şekil 26 Dalgacık ayrıştırma ağacı (Misiti ve diğ., 1996)

Şekil 27 Dalgacık ayrıştırma ağacı içeriği (Misiti ve diğ., 1996)

Teoride, ayrıştırma işlemi sınırsız bir şekilde sürdürülebilir. Ancak, gerçekte bu işlem, tek bir veriye varılana kadar devam edecektir. Pratikte ise işaretin doğasına uygun bir seviyeye kadar veya uygun bir eşik değerine kadar devam ettirilir. Uygulamamızda 8 seviyesi kullanılmıştır.