Mantık Komple Konu Anlatatım Föyü

- 1 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

1 MANTIK

Hayatımızın adeta her alanına işlemiş bir kavram olan man-tık, beraberinde doğru düşünme ve karar verme, mümkün durumlardan en uygununu seçebilme gibi kavramları akla getirir ve tüm davranışlarla iç içe hale gelir.

Sıkça ;

“ne kadar da mantıksız hareket ettin” “oldukça mantıklı bir insandır”

gibi cümlelerde mantık kelimesini kullanırız. Mantık bir nevi davranışları değerlendiren süzgeç gibidir. Aşağıdaki şekilde mantığı tanımlayabiliriz;

“akıl yardımı ile doğru düşünerek hareket etme ile ilgili prensipleri inceleyen bilim dalıdır.”

Veya

“doğru düşünerek hareket etme sanatıdır.”

Matematik dersi bağlamında inceleyeceğimiz mantık kavramı “doğru” veya “yanlışa” dayanmaktadır, “belki” , “az”, “çok”, “daha” gibi doğru yanlış arası kavramlar yoktur. Halbuki hayat keskin süreçlerden değil daha esnek bir yapıdan oluş-maktadır. Bazı durumlarda doğru olan başka bir ortamda yanlış olabilmekte veya yapılan bir davranış değişik doğruluk oranlarına sahip olup değişik yorumlara neden olabilmektedir. Dolayısı ile son yıllarda “bulanık mantık” gibi sadece doğru veya yanlışa dayalı olmayan bir “mantık” disiplinleri de ge-lişmektedir.

1.1 TERİM

Bir bilim dalında özel anlama haiz kelimelere “terim” denir.Fonksiyon, integral, üçgen matematik terimlerine;

neşter, serum, şırınga tıp terimlerine; astronot, uzay mekiği, karadelik de astronomi terimlerine örnek olarak verilebilir. Günümüzde (eğitim sistemimiz de dahil) tanımsız terimlerden bahsedilmektedir. Bu terimlerin tanımlanamayacakları düşü-nülüp tanımsız kabul edildikleri varsayılmaktadır. “nokta”, “doğru”, “düzlem” gibi terimler tanımsız kabul edilirken bun-lardan oluşan uzay ise tanımlanmaktadır! Bence burada bir çelişki söz konusudur, matematik yaparken sürekli kullanılan bu terimlerin tanımlanabileceğini düşünüyorum ve tanımlarını da kesin ve net olarak ilgili konuda yaptığıma da inanıyorum. Bu tartışmayı fazla uzatmadan kaldığımız yerden devam edelim.

1.2 ÖNERME

“Doğru” veya “yanlış” olmak üzere, kesin hüküm belir-ten ifadelere “önerme” denir.

1.2.1



Örnek

Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi önermedir? I. Bugün nasılsınız?

II. 4<5

III. Dünya uzayda hareketsiz durmaktadır. IV. 4+5:3-6

V. Pozitif sayıların negatif üsleri negatiftir. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

I ve IV kesin hüküm belirtmediğinden dolayı önerme değiller-dir. III ve V yanlış hüküm , II ise doğru bir hüküm belirttiğin-den dolayı önermedirler.

Yanıt C

1.2.2

Œ

Not

Œ

önermeler p,q,r,s,t gibi küçük harflerle

gösterilir-ler.

1.3 DOĞRULUK DEĞERİ

Önermeler için doğru veya yanlış olmak üzere iki seçenek olduğundan, iki işaretleme ile önermeler, değere tekabül ettirilebilir. Doğru veya yanlış yerine genellikle sırasıyla “1” ve “0” kullanılır. Her zaman önermelerin doğru veya yanlış olduğunu bilemeyebiliriz, bu nedenle mümkün olan tüm du-rumları incelememiz gerekir , tablo olarak da bu durumu gösterebiliriz.

Doğru veya yanlış olduğunu bilmediğimiz bir “p” önermesi için tüm ihtimalleri inceleyelim;

Önerme doğru veya yanlış olmak üzere 2 değer alabilmektedir. Yani bir önerme için 2 farklı durum söz konusudur(₂1_{= oldu-2}

ğuna dikkat)

P önermesi için Doğru D 1 Yanlış Y 0

ozeldersci.com

tmoz.info

Tüm hakları yazarı Bora Arslantürk'e aittir.Kaynak belirtmek şartı ile tüm öğretmen ve öğrencilerimizin kullanımına açıktır. 2007 yılı sonuna dek kaynak belirtmek şartı ile çoğaltılıp dağıtılabilir. Tüm yayınlar Kartal 1. noterine yayın tarihini müteakip kısa sürede onaylatılmaktadır.

- 2 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

Doğruluk değerlerini bilmediğimiz iki önerme söz konusu ise muhtemel ihtimaller elbette artacaktır;

Görüldüğü üzere 4 durum söz konusudur. (₂2 _{= olduğuna 4}

dikkat)

Şimdi sıra geldi üç önermedeki muhtemel ihtimalleri incele-meye; üç ve daha fazlası için karmaşaya sebep olmamak sebebiyle şöyle bir yol izlenebilir. Üç önerme için 8 durum söz konusudur ilk önermede 8’in yarısı 4 adet ardı ardına 1 ve 4 adet ardı ardına 0 değeri; ikinci önerme için 4’ün yarısı 2 adet 1, 2 adet sıfır bu şekilde sütun doldurulur , üçüncü önerme için de 1 adet 0 , adet 1 şekilde tüm sütun doldurulur. 4 ve daha fazlası için de bu şekilde hareket edilebilir;

1.3.1 Œ

Not

Œ

Önerme sayısı “n” olmak üzere

_{2 adet farklı du-}

n

rum vardır.

1.3.2



Örnek

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. I. P: “Dünya güneşin etrafında dönmektedir.”

II. q: “6<5 dir”

III. r: “tek basamaklı 4 tane asal sayı vardır”

IV. s: “İstanbul dünyanın başkentidir”

V. t: “Pozitif sayıların 0. üsleri 1’dir”.

Çözüm

P önermesi doğrudur, q açık bir şekilde yanlıştır, tek basa-maklı asal sayılar “2,3,5,7” olmak üzere 4 tanedr ve dolayısı ile r önermesi doğrudur, s yanlış ve t de doğrudur.

1.3.3 Œ

Not

Œ

Önermelerin doğruluk değerleri yazılırken “=”

kul-lanılmadığına ve 3 paralel çizgiden oluşan denklik

işareti yani “

≡

” kullanıldığına dikkat ediniz.

1.4 DENK ÖNERMELER

Aynı doğruluk değerine sahip önermelere “denk öner-meler” denir.

Örnek 1.3.2 de p,r,t nin denk olduğunu görebiliyoruz, ayrıca q ve s de birbirine denktir.

p r≡ ≡ ≡ ve q st 1 ≡ ≡ olur. 0

1.5 BİR ÖNERMENİN DEĞİLİ

(OLUM-SUZU)

Önermenin ifadesinin olumsuzundan oluşan önermeye, “o önermenin olumsuzu” denir.

P:”Ankara Türkiye’nin başkentidir.” Ve

p

≡

1

dir. P önermesinin olumsuzu;

p′

: “Ankara Türkiye’nin başkenti değildir.” Ve

p

′ ≡

0

olmak-tadır. Dolayısı ile bir önerme olumsuzu ile aynı doğruluk de-ğerine sahip olamaz.

1.5.1 Œ

Not

Œ

p nin olumsuzunun

p

′

ile gösterildiğine dikkat

edi-niz.

1.6 DE MORGAN KURALLARI

a)

(

p

∨

q

)

′

≡ ∧

p

′

q

′

b)

(

p

∧

q

)

′

≡ ∨

p

′

q

′

1.6.1



Örnek

Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını bulunuz. I. P: “O adam, bu apartmanın değil diğer apartmanın

kapıcısıdır.”

II. q: “6<5 dir.”

III. r: “Bugün pazartesi değil salıdır.”

IV. s: “İstanbul dünyanın başkentidir.”

V. t: “Pozitif sayıların 1. üsleri kendileri değildir.”

Çözüm

p′

: “O adam bu apartmanın kapıcısıdır veya diğer apartma-nın kapıcısı değildir.”1

q′

: “

6

≥

5

dir.”

r′

: “Bugün pazartesidir veya salı değildir.”

s′

: “İstanbul dünyanın başkenti değildir.”

t′

: “Pozitif sayıların 1. üsleri kendileridir.”

1 _{1.10.2 nin çözümünü inceleyiniz.}

3 önermede de _{2 kuralına uygun olarak p q r} n

ihtimal sayısı oluşmaktadır. 1 1 1

1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

ozeldersci.com

tmoz.info

- 3 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

1.6.2 Œ

Not

Œ

Bir önermenin olumsuzunun olumsuzu kendisidir.

( )

p

′ ≡

′

p

1.7 BİLEŞİK ÖNERMELER

Birden fazla hüküm içeren önermelere “bileşik önerme-ler” denir. Bileşik önermeler bağlaçlar ile oluşturulur. Şimdi bu bağlaçları inceleyelim, bunları bir nevi “işlem” olarak da düşünebiliriz.

1.8 VEYA (V) BAĞLACI

“Ali adlı öğrenci sık sık futbol oynayan, bundan zevk alan ve bir takımda lisanslı futbolcu olan, düzenli antrenmanlara giden bir öğrencidir. Ancak Ali satranç oynamayı bilmesine rağmen, hiç sevmemektedir.”

Yukarıdaki paragrafla bağlantılı önermelerimizi yazalım; p: “Ali futbol oynamayı sever.”

q: “Ali satranç oynamayı sever.”

pvq= “Ali futbol veya satranç oynamayı sever.”

Açıktır ki p önermesi doğru , q önermesi yanlıştır ancak pvq önermesi doğru olmaktadır, çünkü “veya” içerdiği anlam gereği iki hükmün birden doğruluğunu gerektirmez, dolayısı ile “v” ile bağlı önermelerden sadece birinin doğruluğu, sonu-cun doğru olması için yeterlidir.

p

≡

1

,

q

≡

0

olmak üzere

p

∨ ≡

q

1

olur.

1.8.1 Œ

Not

Œ

pvq önermesinin sadece iki önermenin de değeri “0”

iken “0” değerini aldığına dikkat ediniz.

1.9 VE (

∧

) BAĞLACI

Aynı hikayeyi dikkate alarak;

p

∧

q

: “Ali futbol ve satranç oynamayı sever.”

Sonuç yanlış olacaktır çünkü “ve” bağlacı anlamı gereği tüm hükümlerin doğru olmasını gerektirir.

p

≡

1

,

q

≡

0

olmak üzere

p

∧ ≡

q

0

olur.

1.9.1 Œ

Not

Œ

p

∧

q

önermesinin sadece iki önermenin de değeri

“1” iken “1” değerini aldığına dikkat ediniz.

1.10



Örnekler

1)

(

1 1

∧

) (

′

∨

0

′

∨

1

)

′

≡

?

Çözüm

(

1 1

∧

) (

′

∨

0

′

∨

1

)

′

≡ ∨ ≡ ∨ ≡

1

′

1

′

0

0

0

1

1

2) “Ahmet eve gelip yemek yedi” önermesinin olumsuzunu bulunuz.

Çözüm

Önerme aslında iki önerme içeren bir bileşik önermedir. Ma-tematik anlamda, arada virgül var ise “ve” anlamı düşünülür örneğin;

“öyle x’ler arıyoruz ki x>2, x<10” gibi bir ifade var ise iki şart birden düşünülmeli yani x ler için;

2<x<10 hali söz konusu olmalıdır. O halde ifade

x>2

∧

x<10 şeklinde düşünülmelidir. Önermemizde de Ah-met’in eve gelmesi ve yemek yemesi söz konusudur dolayısı ile önermeyi şu şekilde düşünmeliyiz;

“Ahmet eve geldi ve yemek yedi”

(

p

∧

q

)

′

≡ ∨

p

′

q

′

olduğunu da bildiğimizden önermemizin olumsuzu;

“Ahmet eve gelmedi veya yemek yemedi” şeklinde olmalıdır. 3)

p

∧ ≡

p

?

Çözüm

Burada durumları inceleyerek sonuca gidebiliriz. Tek önerme olduğundan iki durum söz konusudur.

Tablo-da bu iki durumu görelim;

Dikkat ederseniz p’nin değeri 1 iken sonuç 1,

0 iken sonuç sıfırdır yani sonuç p ile aynı değerdedir o halde sonuç p’dir diyebiliriz.

İki önermenin “v” ile durumlarını p q pvq

görelim; 1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

İki önermenin “

∧

” ile durumlarını p q p

∧

q

görelim; 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p p p p∧ 1 1 1 0 0 0

ozeldersci.com

tmoz.info

- 4 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

4)

(

p

q

) (

q

s

)

(

1

q

)

0

?

′

⎡

_⎡

_′

_′

_⎤

′

_′

⎤

′

′

∧

∧

∧

∧

∨

∧ ≡

⎢

_⎢

_⎥

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

Çözüm

Bu soruda ifadeyi iki terim gibi düşünebiliriz;

(

p

q

) (

q

s

)

(

1

q

)

0

0

′

⎡

_⎡

_′

_′

_⎤

′

_′

⎤

′

′

∧

∧

∧

∧

∨

∧ ≡

⎢

_⎢

_⎥

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

I. terim II. Terim

I. terim p,q,1,0… gibi bir sonuca eşit olacaktır ama neye eşit olura olsun II. terim 0’dır ve iki terim “ve” bağlacı ile bağ-lanmıştır, o halde sonuç 0’dır

5)

(

p

∨

q

)

∧

p′

önermesinin doğruluk tablosunu yapınız.

Çözüm

Önce önermeleri tek tek daha sonra da adım adım birleştire-rek sonuca gidelim; 2 farklı önerme olduğundan 4 durum olacaktır;

q

p′

q

(

p

∨

q

)

(

p

∨

q

)

∧

p′

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0

1.11

&

PEKİŞTİRME SORULARI

1-1.10 arasını anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlayabilmeniz gerekmektedir.

1) Mantık nedir?

2) Önerme nedir? Örnekler veriniz.

3) 4 önerme için;

a) Kaç farklı durum söz konusudur?

b) Doğruluk tablosunu yapınız.(şekli kullanın)

4) Aşağıdaki önermelerden denk olanlarını belirtiniz; P: “Güneş dünyamızın en önemli enerji kaynağıdır.” q: x<x

r:

_a

2

−

_b

2

=

(

_a

− ⋅ +

_b

) (

_a

_b

)

s: “0 sayısı 11 ile tam bölünebilir.”

5) Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını ifade ediniz. P: “Ali okula gitti ama matematik dersine girmedi.” q: “2<3 v 4>5”

r: “15 ten küçük 7 tane asal sayı vardır.” s: “pi sayısı rasyonel bir sayıdır.”

p′

:………

q′

:………

r′

:………

s′

: ……… 6)

(

1 1

∧

) (

′

∨

0

′

∨

1

)

′

≡

?

7)

p

∨ ≡

p

′

?

2 2 _{1.10.3 ün çözümü gibi yapınız} p q r s

ozeldersci.com

tmoz.info

- 5 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

1.12

∨

İLE

∧

NİN ÖZELLİKLERİ

Aşağıdaki özeliklerin doğruluğu 1.10.3 deki gibi gösterilebilir. 1)

p

∨ ≡

p

p

,

p

∧ ≡

p

p

(Tek kuvvet özelliği) 2)

p

∨ ≡ ∨

q

q

p

,

p

∧ ≡ ∧

q

q

p

(Değişme özelliği) 3)

(

p q∨

)

∨ ≡ ∨r p

(

q r∨

)

(

p q∧

)

∧ ≡ ∧r p

(

q r∧

)

(Birleşme özelliği) 4) p∧

(

q r∨

) (

≡ p q∧

) (

∨ p r∧

)

p∨

(

q r∧

) (

≡ p q∨

) (

∧ p r∨

)

(Dağılma özelliği) 5) p 0 p∨ ≡ , p 1 p∧ ≡ (Etkisiz eleman) 6) p 1 1∨ ≡ ,

p

∧ ≡

0

0

(Yutan eleman) 7)

p

∨ ≡

p

′

1

,

p

∧ ≡

p

′

0

1.13



Örnek

(

)

p

∨

p

∧

q

≡

p

olduğunu gösteriniz.

Çözüm

P nin değerlerine göre durumu inceleyelim;

(

)

p

≡ → ∨ ∧

1

1

1 q

≡

1

(

)

p

≡ → ∨ ∧

0

0

0

q

≡

0

o halde sonuç p hangi değeri alıyorsa odur, yani sonuç p’dir.

(

)

p

∨ ∧

p

q

≡

p

1.13.1



Örnek

p

∨ ≡

r

′

0

ve

q

′

∨ ≡

r

′

1

olduğuna göre ;

(

p

r

)

q

′

(

q

r

) (

p

0

)

?

⎡

_′

_∧

′

_∨

⎤

_∧

_⎡

_′

_{∨ ∨}

_∧

_⎤

_≡

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

Çözüm

p

∨ ≡

r

′

0

olduğuna göre

p

≡

0

ve

r

′ ≡

0

olmalıdır. Diğer bilgi-de bunları kullanıp q’yu da hesaplayalım;

q

′

∨ ≡

r

′

1

ise

q

′

∨ ≡ →

0

1

q

′

≡

1

bulunur, dolayısı ile p,q ve r artık bellidir, istenen ifade de yerine koyalım;

(

0

1

)

0

′

(

1 1

) (

0

0

)

⎡

_{′ ∧}

′

_∨

⎤

_∧

_⎡

_{∨ ∨}

_∧

_⎤

_≡

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

0 1

∧ ≡

0

0

1

1.14



Örnek

(

p

∧ ∨

s

) (

q

∧

r

)

ifadesinde dağılma özelliğini uygulayınız.

Çözüm

p

∧ ≡

s

k

gibi düşünelim;

(

) (

) (

)

k

∨

q

∧ ≡

r

k

∨

q

∧

k

∨

r

olur, k’yı yerine koyalım;

(

)

(

p

∧ ∨

s

q

)

∧

(

(

p

∧ ∨

s

)

r

)

olur ve burada iki dağılma daha var;

(

p

∨

q

) (

∧ ∨

s

q

) (

∧

p

∨ ∧ ∨

r

) (

s

r

)

halini alır.

1.15 TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ

Her zaman doğru olan bileşik önermeye ”totoloji” de-nir.

p

∨

p′

önermesini doğru olduğunu görmüştük3 _{, dolayısı ile}

her zaman doğru olduğundan totolojidir.

Her zaman yanlış olan bileşik önermeye ”çelişki” denir.

p

∧

p′

önermesi de benzer şekilde çelişkiye örnek olarak verilebilir.

1.15.1



Örnek

(

q

∨

p

′

) (

′

∨

p

′

∨

q

)

önermesinin totoloji olup olmadığını göste-riniz.

Çözüm

Soldaki parantezde değişme özelliğini kullanır,

p

′ ∨ =

q

k

alır-sak;

k

′ ∨

k

haline gelir,

k

′ ∨ ≡

k

1

olduğundan verilen bir totolojidir.

3 _{1.12.7 ye bakınız}

- 6 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

1.16

&

PEKİŞTİRME SORULARI

1.12 den 1.15 arasını anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlayabilmeniz gerekmektedir.

1)

p

∧

(

p

∨

q

)

≡

p

olduğunu gösteriniz.4

2) Birleşme özelliğini ifade ediniz.

(

p

∨

q

)

∨ ≡

r

...

3)

(

p

∨

0

)

′

∧

(

p

∧

(

q

∧

o

)

′

)

≡

?

4) Totoloji ve çelişki kavramlarını tanımlayınız.

5)

p

∧

(

p

′

∧

q

′

)

∧

q

önermesinin totoloji veya çelişki olup olmadığını inceleyiniz.

1.17



TEST

1) ⎡_⎢

(

∨

)

′∧ ⎤_⎥′∨

(

∧ ′

)

⎣1 0 1⎦ p p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) ′p C) 0 D) 1 E) 2

2) “Bora öğretmen veya mühendistir" önermesinin tersi

aşağıdakilerden hangisidir?

A) “Bora öğretmendir”

B) “Bora öğretmen değil mühendistir” C) “Bora öğretmen ve mühendis değildir” D) “Bora öğretmen değildir ve mühendistir” E) “Bora öğretmen veya mühendis değildir”

3) Aşağıdakilerden hangisi önerme değildir?

A) “Bugün yağmur yağacak.” B) x<5

C) “Tüm canlılar bir gün ölecektir.” D) “Matematik çok zevklidir."

E) “Tüm canlılar yaşayabilmek için enerjiye ihtiyaç

………….duyarlar.”

4 _{1.10.3 gibi yapabilirsiniz}

4) q p∨ ′≡0 ise p∧

(

p′∨q önermesi aşağıdakilerden

)

hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) ′q

5) _⎣⎡

(

r p∨ ′

)

∧p_⎦⎤′≡0 ise

(

r p∨ ′

) (

′∨ r p ∧ ′

)

önermesi aşağı-dakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) ′q 6)

(

′∨

) (

∨⎡_⎢ ∧

) (

∧ ′∨

)

′⎤_⎥ ⎣ ⎦ p p r q p r önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p D) r E) ′q 7) ⎡_⎢

(

′∨

)

′∨_⎢⎡

(

∧

) (

∧ ′∨

)

′_⎥⎤⎤_⎥′∧

(

′∧

) (

∧ ∧ ∧ ∧ ′

)

⎣ ⎦ ⎣p p r q p r ⎦ r q p r q p

önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) r E) ′q

8) Berra okulunda başarılı bir öğrencidir. İlerde doktor ol-mak istemektedir ve ailesi de onu desteklemektedir. Tüm planlarını bu doğrultuda yapmaktadır ancak doktorluk mesleği ile ilgili zorluklar onu endişelendirmektedir. Bu nedenle doktorlarla görüşmek istemektedir. Babasının bir doktor arkadaşı ile görüşür…..

Yukarıdaki paragrafa göre aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A)“ Berra başarılı bir öğrencidir veya öğretmen olmak is-temektedir”

B)“ Berra başarılı bir öğrencidir ve doktor olmak iste-mektedir.”

C)“ Berra babasının bir doktor arkadaşı ile görüşür ve doktorluk mesleği ile ilgili zorluklar onu endişelendir-mektedir.”

D)“ Berra doktor olmak istememektedir veya babasının

bir doktor arkadaşı vardır.”

E)“ Berra’nın doktor olmasını babası da istemektedir ve onu doktor olması için zorlamaktadır.”

9) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) ∨p 0 p B) ≡ 1 p 1 p C) p∧ ∧ ≡ ′ ∧ ≡ 0 0 D) ′q∨q′≡0 E)r r∧ ′≡0

10) Altı önerme için kaç farklı durum vardır?

A) 16 B)32 C) 64 D) 128 E) 40

11) Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?5

5 _{Bu sorudaki asal sayı, reel sayı, küme, mutlak değer kavramlarını}

araştırınız, benzer tarzda araştırılıp bulunabilecek anlatılmamış kav-ramlar sorularda nadiren kullanılacaktır.

- 7 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

I) “Asal sayılar pozitiftir.”

II) “Ortak özellikleri olan maddeler topluluğuna küme denir.”

III)“Karesi kendisinden küçük sayılar

[ ]

0,1 aralığında-dır.”

IV) “En küçük pozitif reel sayı 1’dir” V) “Mutlak değer negatif olamaz”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

12) Aşağıdaki önermelerden hangisi çelişkidir?

A)

(

p p∨ ′

)

∧1 B)

(

p 0 1 1∧ ∧ ∧

) (

∨ p r ∨ ′

)

C)⎡_⎣p′∧

(

r q∨

) (

⎤_⎦∧ q p D)∧

)

q′∨

(

q′∧p E) ≡

)

′ p 0

13) Yandaki tablo ile verilen bileşik önerme

aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) p B) p q∨ C)

(

p q∨

)

∧qD)

(

p q∨

)

∧p E)

(

p q ∨

)

′

14) ⎡_⎢

(

∨ ′

)

′∨ ′⎤_⎥∧

(

∨ ′

)

⎣p q q⎦ p q önermesinin sade hali aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) p B) q C) 1 D) ′q E) 0

15) ⎡_⎣p∨

(

q p∧ ′

) (

⎤_⎦∨ p q önermesi aşağıdakilerden hangisine ∨

)

denktir?

A)p B) ∨q p C) q p D) ′∨ ′ q E) 1

1.18 KOŞULLU ÖNERME (ise bağlacı)

İse bağlacının matematikteki karşılığı ⇒ sembolüdür. İse

bağlacı ile elde edilen önermelere “koşullu önermeler” denir.

“Ateşi yüksek ise hastalanmıştır.” Önermesi ise bağlacı ile bağlanmış bir koşullu önermedir. Burada koşul ateşin yüksek olmasıdır. Yani koşullu önermelerde ⇒ den önceki önerme koşuldur ve önermenin yanlış olabilmesi için koşulun doğru olması gerekir eğer koşul gerçekleşmez ise önerme yanlış olmaz çünkü ortada bir koşul söz konusudur ve bu koşulun gerçekleşmesi halinde diğer önerme anlamlı olacaktır. “Bugün Çarşamba ise dünya tepsi şeklindedir.” önermesini inceleyelim;

açıktır ki dünya ile ilgili olan ikinci önerme yanlıştır ama komple bileşik önerme yanlıştır diyemeyiz hangi gün

olduğu-na yani koşula göre durum değişecektir. Diyelim ki bugün Perşembe olsun;

bu taktirde koşul gerçekleşmez dolayısı ile önerme yanlıştır diyemeyiz , ikinci önermenin artık önemi yoktur. Dolayısı ile bileşik önermemiz doğru olmaktadır.

Bugün Çarşamba olsun;

O zaman koşul gerçeklenir artık ikinci önerme önem kazanır, ikinci önerme de yanlış olduğundan bileşik önermemiz yanlış-tır.

1.18.1

Œ

Not

Œ

koşullu önermenin sadece ⇒

1

0

için “0” diğer

durumlarda “1” olduğuna dikkat ediniz.

1.19 KARŞIT, TERS, KARŞIT TERS

Bu kavramlar koşullu önermelerde söz konusu olmaktadır. p⇒q önermesi verilsin; karşıtını, tersini ve karşıt tersini sırasıyla yazalım;

karşıtı: ⇒q p

tersi: p′⇒q ′

karşıt tersi: q′⇒p ′

önerme karşıtı tersi karşıt tersi

⇒

p q q⇒p p′⇒q ′ q′⇒p ′

Şeklinde tablo biçiminde de gösterebiliriz.

1.19.1

Œ

Not

Œ

Bir önermenin olumsuzu ile tersinin farklı kavramlar

olduğuna dikkat ediniz.

1.19.2



Örnek

“Bir üçgenin iki kenarı eşit ise iki açısı da eşittir.” önermesi için karşıt, ters ve karşıt ters ifadelerini yazınız.

Çözüm

Karşıtı: “Bir üçgenin iki açısı eşit ise iki kenarı da eşittir.” Tersi: “Bir üçgenin iki kenarı eşit değil ise iki açısı da eşit değildir.” p q F(p,q) 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0

Benzer mantıkla hareket ederek p q p

⇒

q yandaki tabloyu elde ederiz; 1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

- 8 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

Karşıt tersi: “Bir üçgenin iki açısı eşit değil ise iki kenarı da eşit değildir.”

1.19.3



Örnek

“_x2 _{= ⇒ = ±4 x 2” önermesi için karşıt, ters ve karşıt ters}

ifadelerini yazınız.

Çözüm

Karşıtı: “_{x= ± ⇒2 x}2 _=4” Tersi: “_x2 _{≠ ⇒ ≠ ± ” 4 x 2} Karşıt tersi: “_{x≠ ± ⇒2 x}2 _≠4”

1.19.4

Œ

Not

Œ

Koşullu önerme ile karşıt tersi birbirine denktir.

Yani

p

⇒

q

≡

q

′

⇒

p

′

1.19.5



Örnek

p⇒q p≡ ′∨qolduğunu gösteriniz.

Çözüm

Bu gösterim ile kullanışlı bir ifade de elde etmiş olacağız. Doğruluk tablosu kullanarak ifadenin doğru olduğunu yani tüm durumlarda denkliğin korunduğunu gösterelim.

p

q

p

′

p′ ∨q p⇒ q

1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

Bu sonucu not olarak da kaydedelim;

1.19.6

Œ

Not

Œ

p

⇒

q

≡

p

′

∨

q

1.19.7



Örnek

p⇒pifadesi neye denktir?

Çözüm

İfadede sadece bir polinom olduğundan iki durum söz konu-sudur, p nin 1 veya 0 olma hali;

p 1≡ ise 1⇒ ≡1 1 p≡0ise 0⇒0 1≡

o halde sonuç hep 1’e denk olmaktadır. Yani; p⇒p 1≡

Benzer yaklaşım ile aşağıdaki 1.20 deki ifadelerin doğruluk değerleri de gösterilebilir;

1.19.8



Örnek

“x y+ =3⇒

(

x y+

)

2 =9” koşullu önermesini veya kullanarak yazınız.

Çözüm

p⇒q p≡ ′∨q olduğuna göre birinci önermenin olumsuzunu alıp araya veya koymalıyız;

(

)

2

x y+ ≠ ∨3 x y+ =9 olarak istenildiği gibi yazılmış olur.

1.20

⇒

BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

1) p⇒p 1≡ 2) p⇒0 p≡ ′ 3) p⇒p′≡p′ 4) 0⇒p 1≡

5) 1⇒p p≡ 6) p⇒ ≡1 1

1.21



Örnek

p⇒q′ önermesinin olumsuzunu yazınız.,

Çözüm

Olumsuzunu alma kavramı ile ters alma kavramlarının farklı olduğundan bahsetmiştik. Burada bizden istenen;

(

p⇒q′

)

′ ifadesidir. O halde istenen;

(

p⇒q′

) (

′≡ p′∨q′

)

′≡ ∧p q6 _olur.

1.22



Örnek

(

p⇒p

) (

⇒ p⇒p′

)

≡ ?

Çözüm

(

p⇒p

) (

⇒ p⇒p′

)

≡ ⇒1 p′≡p′ 1 p′

1.23 ÇİFT YÖNLÜ KOŞULLU ÖNERME

(an-cak ve an(an-cak bağlacı)

Ancak ve ancak bağlacı (⇔) ile bağlanan önermelere denir. Bu bağlacın tanımı ise "⇒” bağlacı ile verilmek-tedir.

6 _{Burada De Morgan kuralı ve p⇒q p≡ ′∨ özelliği kullanılmıştır. q}

- 9 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

p⇔q≡

(

p⇒q

) (

∧ q⇒p

)

şeklinde tanımlanır.

Daha önceden yaptığımız gibi doğruluk

tablosu ile bu bağlacın değerleri elde edilebilir ancak bu sefer pekiş- tirme

sorusu olarak size bırakılmıştır. Doğruluk tablosu sonucu

önermeler aynı değerde iseler ifadenin 1’e diğer durumlarda 0’a denk olduğu görülür.

1.24

⇔

BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ

1) p⇔q q≡ ⇔p 2)

(

p⇔q

)

′≡p′⇔q p≡ ⇔q′ 3) p⇔q p≡ ′⇔q′ 4) p⇔q≡

(

p⇒q

) (

∧ q⇒p

)

5) p⇔p 1≡ 6) p⇔ ≡1 p 7) p⇔0 p≡ ′ 8) p⇔p′≡0

1.24.1



Örnek

(

p p′

)

p ⎡

(

p 0

) (

′ p p′

)

⎤′ ? ⎡ ⇔ ⇒ ⎤∨ ⇔ ∧ ⇒ ≡ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦

Çözüm

(

p p′

)

p ⎡

(

p 0

) (

′ p p′

)

⎤′

(

0 p

) ( )

⎛p′′ p′⎞′ ⎡ ⇔ ⇒ ⎤∨ ⇔ ∧ ⇒ ≡ ⇒ ∨⎜ ∨ ⎟ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_{⎦ ⎝ ⎠} 0 p′ p′ 1 p p∨ ′

(

)

1 p p′′ 1 1′ 1 ≡ ∨ ∨ ≡ ∨ ≡ olur.

1.25 GEREKTİRME

Doğru olan koşullu önermeye ” gerektirme” denir.

p⇒q 1≡ bir gerektirme olmaktadır ve “p önermesi q’yu gerektiriyor” denir. Ayrıca burada p’ye yeter koşul, q’ya ise

gerek koşul denmektedir.

“Ahmet doktor ise reçete yazabilir” önermesi doğru olduğun-dan bir gerektirme olmaktadır. Burada ;

p: "Ahmet doktordur.” yeter koşul,

q: “Ahmet reçete yazabilir.” gerek koşuldur. Ahmet’in doktor olması reçete yazabilmesini gerektirmektedir.

“_x=2⇒x2 _{=4” önermesi de doğru olduğundan bir}

gerek-tirmedir. x=2 olması _x2 _{=4 olması için yeterli, x}2 _=4olması

x=2 için gereklidir.

1.26 ÇİFT GEREKTİRME

Doğru olan çift yönlü koşullu önermeye ”çift gerek-tirme” denir. _x=2⇔x2 _{= çift gerektirme olmaktadır. 4}

Burada p ve q birbirleri için gerek ve yeter koşuldurlar.

1.26.1



Örnek

2

x=2⇔x = önermesinin çift gerektirme olup olmadığını 4 inceleyiniz.

Çözüm

Bileşik önermenin çift gerektirme olması için önermeleri bir-birlerinin gerek ve yeter koşulları olmalıdır yani her iki yön-den de yaklaşıldığında doğru olmalıdır;

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

2 2 2

x 2= ⇔x =4≡ x 2= ⇒ x =4 ∧ x =4 ⇒ x 2= 7 olduğundan çift taraflı incelenmelidir o halde inceleyelim;

x= olduğunda karesinin “4” olacağı açıktır o halde ; 2

2

x=2⇒x =4 bir gerektirmedir; diğer taraftan _x2 ₌₄

ol-ması halinde x=-2 veya x=+2 olmaktadır. Dolayısı ile karesi 4 olan sayı 2’dir ifadesi eksiktir, o halde; _x2 _=4⇒x=2

ifadesi doğru değildir. O halde çift gerektirme olamaz. İfade; _{x= ± ⇔2 x}2 _{= şeklinde olsaydı önerme çift gerek-4}

tirme olacaktı.

1.26.2



Örnek

“n çift sayıdır ancak ve ancak

( )

−2n>0” önermesinin çift gerektirme olup olmadığını inceleyiniz.

Çözüm

n çift sayı ise

( )

−2n>0doğrudur, çift kuvvet negatifliği orta-dan kaldıracaktır.

( )

n

2 0

− > ise n çift olmalıdır aksi halde pozitif olamaz, o halde verilen bileşik önerme bir çift gerektirmedir.

7 _{1.24.4 ‘e bakınız.} p q p

⇔

q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

ozeldersci.com

tmoz.info

- 10 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

1.27

&

PEKİŞTİRME SORULARI

1.18-1.26 arasını anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlayabilmeniz gerekmektedir.

1) p⇒q q≡ ′⇒p′ olduğunu doğruluk tablosu yaparak göste-riniz.

p

q

p

′

q

′

p

⇒

q

q

′

⇒

p

′

2) p′⇒

(

q′∧p

)

≡? 3)

(

p′∨q′

) (

′∧ p′⇒q

)

′≡ olduğunu gösteriniz. 0 4) p′⇒

(

q′∧r

)

önermesinin; a) tersini b) olumsuzunu bulunuz.

5) p⇔q≡

(

p⇒q

) (

∧ q⇒p

)

önermesinin aldığı değerleri doğruluk tablosu ile gösteriniz.

p

q

p

⇒

q

q

⇒

p

(

p⇒q

) (

∧ q⇒p

)

6) ⎛_⎝⎜

(

p⇒p′

)

′∨0⎞⎟_⎠⇒⎡_⎣⎢

(

q q∧ ′

)

′∧1_⎥⎤_⎦′önermesinin gerektirme olup olmadığını inceleyiniz.

7) _⎢⎡

(

q q∧ ′

)

′∨0_⎥⎤′⇔_⎢⎡

(

p⇒p′

)

′∧1⎤_⎥′

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ çift gerektirme olup

olma-dığını inceleyiniz.

1.28



TEST

1) _⎢⎡

(

p 0∨

)

′∧0_⎥⎤′∨

(

p′∧p′

)

⎣ ⎦ önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) ′p C) 0 D) 1 E) 2

2) “Aytunç matematik öğretmeni ise matematik konularını

iyi bilir " önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisi-dir?

A)“Aytunç matematik öğretmeni ise matematik

ko-nularını iyi bilmez. "

B)“Aytunç matematik öğretmeni değil ise matematik

konularını iyi bilir. "

C)“Aytunç matematik öğretmeni değil ise matematik

konularını iyi bilmez. "

D)“Aytunç matematik konularını iyi bilir ise matematik öğretmenidir. "

E) “Aytunç matematik konularını iyi bilir ise matematik öğretmeni olamaz. "

3) p⇒q 0≡ olduğuna göre _⎣⎡

(

p q∨ ′

)

⇔1⎤_⎦′⇒q′ önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) p B) ′p C) 0 D) 1 E) q

4) _⎣⎡

(

p⇔r

) (

∧ p⇒r

) (

_⎦⎤∧ p r′∧

)

önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) p B) ′p C) 0 D) 1 E) r

5) “Zuhal bir ev hanımıdır, vaktinin çoğunu iki çocuğu ve ev işleri ile geçirmektedir ama bir işe girip çalışmayı da istemektedir, bundan onu alıkoyan daha yaşları küçük

olan çocuklarının annenin ilgisine olan ihtiyaçlarıdır….”

Paragrafa göre aşağıdaki önermelerden kaç tanesi yanlıştır?

I) “Zuhal ev hanımı değil ise dünya yuvarlaktır.” II) “Zuhal ev hanımı değildir veya vaktini ev işleri ve

ço-cukları ile geçirmektedir.”

III) “Zuhal işe girmek istemektedir ve kocası bunu iste-memektedir.”

IV) “Zuhal işe girmek istemektedir veya kocası bunu

is-tememektedir.”

V) “Zuhal ev hanımı değildir ancak ve ancak çocukları-nın onun ilgisine ihtiyaçları yoktur.”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

- 11 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

6) p 1,q 0,r≡ ≡ ≡p′ olduğuna göre;

(

p 0

)

r′

(

r p

)

q′ ⎡ _∨ ′_∧ ⎤ _{∨⎡⎡⎣ ′∧ ′⎤⎦∧ ⎤} ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ önermesi

aşağıdakiler-den hangisine aşağıdakiler-denktir?

A) 0 B) p C) r D) q E) p⇒ q

7) “Ali gelmez ise yemeğe katılamaz.” önermesinin karşıt

tersi aşağıdakilerden hangisidir?

A) “Ali gelmez ise yemeğe katılır.”

B) “Ali yemeğe katılamaz ise gelmez.”

C) “Ali gelir ise yemeğe katılır.” D) “Ali yemeğe katılamaz ise gelir.” E) “Ali yemeğe katılır ise gelir.”

8) p q∨ önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) q′∨p′ B) p C) q p∨ D) q E) q⇒ p

9) p q′∨ önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisine denktir?

A) q′∨p′ B) p C) p q′∨ D) 0 E) q⇒p′

10) Aşağıdakilerden hangisi gerektirmedir?

A) q′ ∨ B) pq ⇒p′ C) p q′∨ D) p⇔p′ E) q⇒p′

11) p q′∨ önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden han-gisine denktir?

A) q′ ∧ B) pq ⇒q′ C) q p′∧ D) p⇔p′ E) q⇒p′

12) ⎡_⎢

(

p′∨q

)

′⇒p⎤_⎥′∨⎡_⎣q∧

(

p⇒q

)

⎤_⎦

⎣ ⎦ önermesi

aşağıdakiler-den hangisine aşağıdakiler-denktir?

A) p⇒p′ B) q′ ∨ C) p q′q ∨ D) p⇔p′ E) q⇔p′ 13) ⎡_⎢

(

p′∨q

)

′⇒p⎤_⎥′∨⎡_⎣q∧

(

p⇒q

)

⎤_⎦≡? ⎣ ⎦ A) 0 B) p C) p′ D) 1 E) p⇒q 14)

(

p⇒q

)

⇒p≡? A) 1 B) p C) p′ D)0 E) 15)

(

p⇒p′

)

′∧⎡_⎣

(

p⇒p′

) (

∨ p p∧ ′

)

⎤_⎦′≡? A) 1 B) p C) p′ D)0 E) p⇒ p

1.29

AÇIK ÖNERMELER

İçinde bulunan değişken veya değişkenlerin aldığı de-ğerlere göre doğru veya yanlış olabilen önermelere “açık önerme” denir.

2

p(x) : x <4 önermesi x=1 için doğru, x=2 için yanlış olan bir açık önermedir.

1.29.1



Örnek

2 2

p(2,3) : 2 +3 =13<4 önermesinde (2,3) ve (1,-1) değerleri için doğruluk değerlerini inceleyiniz.

Çözüm

(2,3) için x=2, y=3 olur, _{p(2,3) : 2}2₊₃2 _{=13<4 olacaktır ve}

bu ifade doğru değildir dolayısı ile p(2,3) 0≡ olur. Benzer şekilde;

(1,-1) için _{p(1, 1) :1−} 2_{+ −}

( )

₁2 _{= + =1 1 2< olduğundan ifade 4}

doğrudur ve p(1, 1) 0− ≡ olur.

1.30 NİCELEYİCİLER

Nicelik (çokluk) belirten "bazı" ve "her" sözcüklerine "niceleyiciler" denir.

Bazı niceleyicisi “ ∃ ” sembolü ile gösterilir. Başta bulunur ise “bazı” veya “en az bir” anlamına haiz iken, sonda bulunur ise “vardır” anlamı katmaktadır. “varlıksal niceleyici” olarak da adlandırılır.

“ x N∃ ∈ için _x2 _{< ” önermesini göz önüne alalım, “en az 7}

bir” anlamı söz konusu olduğundan önermenin doğru olması için bir tane sağlayan değer yeterlidir. D=

{

0,1,2

}

kümesi önermenin doğruluk kümesidir. Dolayısı ile önerme doğrudur. Her niceleyicisi “∀ ” sembolü ile gösterilir. Tüm elemanlar için verilen önermenin doğru olması gerektiğini vurgular. Bir tane bile sağlamayan değer olursa önerme yanlış olur. “ev-rensel niceleyici” olarak da adlandırılır.

“∀ ∈ x için ’dir” önermesini düşünelim; 0 ve 1 hariç son-suz değer için ifade doğrudur ama her doğal sayı için doğru olmadığından önerme yanlıştır.

Her ile bazı niceleyicileri birbirlerinin olumsuzudurlar; ′

∀ ≡ ∃ ve ′∃ ≡ ∀ olur.

- 12 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

1.30.1



Örnek

“ için x x 2

> ’dir” ⇒ “Doğal sayılar tamsayılardır.” Önerme-sinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm

İlk önerme “0” hariç tüm doğal sayılar için doğrudur ama bir değer için doğru olmadığından önerme yanlış olur, o halde ilk önermenin değeri “1" dir. Her doğal sayı tam olduğundan ikinci önerme de doğrudur. Dolayısı ile verilen önerme

0⇒1haline denk olacaktır;

0⇒ ≡ olduğundan önermenin değeri “1”’dir 1 1

1.30.2



Örnek

“ x∀ ∈ _x2 _{≥ ” önermesinin olumsuzunu bulunuz. 0}

Çözüm

′

∀ ≡ ∃ ve

(

_x2 _≥0

)

′_≡x2 _{< dır” olduğundan istenen; 0}

“∃için_x2 _{< dır” olur. 0}

1.30.3

Œ

Not

Œ

Aşağıdaki denkliklerde sağ tarafın da olumsuzu sol

tarafta parantez içindeki ifadedir.

(

_x

_<

_a

)

′

_≡

(

_x

_≥

_a

)

_,

₍

_x

_≤

_a

₎

′

_≡

₍

_x

_>

_a

₎

(

_x

_>

_a

)

′

_≡

(

_x

_≤

_a

)

_,

₍

_x

_≥

_a

₎

′

_≡

₍

_x

_<

_a

₎

(

_x

₌

_a

)

′

_≡

(

_x

_≠

_a

)

1.30.4



Örnek

Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını bulunuz;

a) x∀ ∈ için x2− ≥1 0dır. b) x∃ ∈ + ≠ dır. c)

(

_{∃ ∈x , x}3_{− ≥x 7}

)

_{∨ ∀ ∈}

(

_{x ,x 7+ ≠7}

)

d)

(

∃ >x 3,x 2 5− <

) (

⇒ ∀ ∈x ,2x 7 7+ >

)

Çözüm

e) _{∃ ∈} x için _x2_{− <1 0dır.} f) ∀ ∈ x + = dır. g)

(

_{∀ ∈x ,x}3_{− <x 7}

)

_{∧ ∃ ∈}

(

_{x ,x 7 7+ =}

)

h)

(

∀ >x 3, x 2 5− ≥

) (

⇒ ∃ ∈x ,2x 7 7+ ≤

)

1.31

&

PEKİŞTİRME SORULARI

1.29 ve 1.30 ‘u anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlayabilmeniz gerekmektedir.

1) Niceleyicileri sembollerini ve anlamlarını örnek vererek yazınız;

2) Aşağıdakilerin açık önerme olup olmadığını belirtiniz. a) “ x∀ ∈ _{p x : x}

( )

2 _{> ” 0}

b) “ x∈ + ≠ ”dır. c) _{∃ ∈x ,x}3_{− ≥x 7}

d) _x3 _{< − 2}

3)

(

∀x,x2<₀

)

∨

(

x<₂

)

_{önermesini doğruluk değeri için} yorum yapınız.

4) “ Bazı sayılar 5 ile bölünür ve her rakam bir sayıdır". Önermesinin olumsuzunu yazınız.

5) “Bazı sayılar 5 ile bölünür ise bazı sayılar da 5 ile bölünmez” önermesinin karşıt tersini yazınız.

6) “Her pasta tatlıdır” önermesinin olumsuzunu yazınız.

1.32 AKSİYOM

Doğruluğu apaçık , ispatına gerek olmayan ifadelere “aksiyom” denir.

Birkaç aksiyom örneği verelim; • “Güneş doğudan doğar”

• “İki farklı noktadan bir doğru geçer”

• “Bir noktadan sonsuz doğru geçer”

A

B

- 13 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

• “İnsanlar yaşamak için oksijen almak zorundadırlar”

1.33 TEOREM

Her önermenin doğruluğu aksiyom gibi apaçık değildir. Doğ-ruluğunun gösterilmesi ispatlanması gerekir;

Doğruluğunu ispatlayarak göstermemiz gereken öner-melere “teorem” denir.

“üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir” önermesinin her üçgen için doğruluğu aşikar veya apaçık değildir, doğruluğu-nu gösterilmesi, ispatlanması gerekir. Aşağıda ispatı görül-mektedir, herhangi bir üçgenin, herhangi bir kenarına, karşı-sındaki köşeden geçen paralel çizildiğinde ifade ispatlanmış olur.

Teoremleri p⇒ koşullu önermeleri gibi düşünebiliriz, bu-q rada p yani hipotez doğru olmalı , q yani hüküm ise p’nin doğruluğu düşünülerek ispatlanmalıdır. işte bu yapılana "teo-remi ispatlama” denmektedir.

Az önce ispatladığımız teoremi hipotez ve hüküm olarak ifade edelim;

“üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir” önermesi için;

hipotez: verilen şeklin üçgen olmasıdır

hüküm: şeklin iç açılarının toplamının 180 derece olmasıdır. Yukarıda da hipotezin doğruluğu altında hükmün doğruluğu ispatlanmıştır.

1.33.1

Œ

Not

Œ

Çift veya tek sayı olabilmek için, sayılar tam sayı

olmalıdır.

1.34 İSPAT YÖNTEMLERİ

Teoremlerin ispatlanması gerektiğinden bahsettik. Ancak değişik ispatlama yaklaşımları söz konusudur. Duruma göre en uygun olanı seçilerek ispat yapılır bazen birkaç değişik

yolla teorem ispatlanabilir. aşağıdaki şekilde temel ispat yöntemleri görülmektedir;

şimdi ispat yöntemlerine kısaca değinelim ;

1.35 TÜMEVARIM YÖNTEMİ

Tümevarım yöntemi doğal sayılar üzerinde çalışan bir ispat metodudur. En az bir başlangıç değerinde ifade doğru olmalı, genel bir değer için doğru olduğu kabul edilerek ardışık değeri için doğru olduğu gösterilmeli-dir. Bu taktirde doğru olan başlangıç değerinden itiba-ren ifadenin tüm doğal sayılarda doğruluğu gösterilmiş olur. Sonlu adet 0 dan itibaren ardışık sayı için ifade doğru olmayabilir, ilk doğru olduğu değer başlangıç kabul edilir ve anlatılan adımlarla genel bir değer doğru iken ardışığının doğruluğu gösterilir ise sonlu adet doğal sayı haric geri kalan-lar için doğruluğu gösterilmiş olur.

1.35.1



Örnek

n2 > +n _{4 teoreminin doğal sayılarda doğru olduğunu} tüme-varım yöntemi ile ispatlayınız.

Çözüm

İfade n=3 değerinde doğru olmaya başlar n=4 için ₄2 =_{16 4 4 8}> + = _doğru

…..

n=k için doğru kabul edelim; k2 > +k _{4 *}

İSPAT YÖNTEMLERİ tümevarım tümdengelim doğrudan dolaylı Olmayana ergi deneme aksine örnek b

B

C

A

b c c a a+b+c=180

ozeldersci.com

tmoz.info

- 14 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

n=k+1 için;

(

k+1

)

2 >

(

k+1

)

+4= +k 5 olduğunu göstermeli-yiz;

(

k+₁

)

2=k2+₂k+ >₁

(

k+₄

)

+₂k+ =_{1 3}k+₅> +k ₅ sonuç olarak 0,1,2,3 sonlu başlangıç değerleri hariç tüm doğal sayılarda ifade doğrudur.

1.35.2



Örnek

(

)

n n .... n ⋅ + + + + + = 1 1 2 3

2 ifadesinin doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlayınız.

Çözüm

n=1 için 1=1 1 1⋅

(

+

)

2 doğru, n=2 için 1 2 3+ = =2 2 1⋅

(

+

)

=3 2 doğru, ….. n=k için 1 2 3+ + +.... k+ =k k⋅

(

+1

)

2 doğru olsun; n=k+1 için 1 2 3+ + +....+

(

k+1

) (

= k+1

) (

⋅ k+2

)

2 olduğunu göstermeliyiz.

(

)

k k

(

) ( )

.... k k ⋅ + k + + + + + + = 1 + + 1 2 3 1 1 2

(

)

(

) (

) (

)

k k⋅ + + ⋅ k+ k+ ⋅ k+ = 1 2 1 = 1 2 2 2 olur.

O halde ifade 0 hariç tüm doğal sayılar için doğrudur. Aslında ifade 0 için de doğru gibi düşünülebilir.

(

)

n n .... n ⋅ +

+ + + + + = 1

0 1 2 3

2 ama sıfır toplamı değiştirme-diğinden ifade bu şekilde düşünülmez.

1.36 TÜMDENGELİM YÖNTEMİ

Tümdengelim yaklaşımı tümevarımdaki özelden genele ulaş-ma yaklaşımının aksine genelden özele olan yaklaşımlar-dır,”genel doğrular özeller için de doğrudur” temeline daya-nır. Genel yaklaşımlarla istenen ispatladaya-nır. Tümdengelim yaklaşımı ile ispat, doğrudan ve dolaylı olarak ikiye ayrılmak-tadır;

1.36.1 Doğrudan ispat

Hipotezin doğruluğu ile hükmün doğruluğunun gösterildiği ispat şeklidir. Hipotez doğru ise teoremin veya önermenin doğru olabilmesi için hükmün de doğru olması gerektiği pren-sibine dayanır.

Yani; p⇒ önermesinde p doğru ise ifadenin gerektirme q olabilmesi için q da doğru olmalıdır. q nun doğruluğu gösteri-lirken, direkt p nin doğruluğundan faydalanılır, araya başka önermeler sokulmaz.

1.36.1.1



Örnek

“Bir tek ve bir çift sayın çarpımı çift sayıdır” teoremi için hipo-tez ve hükmü yazıp ispatlayınız.

Çözüm

Hipotez: a bir tek sayı, b bir çift sayıdır, Hüküm: a b⋅ bir çift sayıdır.

Yani teoremi; “a tek b çift sayı ise m,n ∈ gerektirmesi gibi düşünebiliriz.

hipotez ve hükmü tespit ettikten sonra ispatına geçelim; a=2n+1, b=2m, m,n ∈ hangi tamsayı değerlerini alırlarsa alsınlar 2n+1 tek, 2m çift olacaktır.

(

) ( )

(

)

a b⋅ = 2n+1 ⋅ 2m =4mn+2m=2 mn m+ olur. Son ifade dikkat edilirse 2'nin katıdır yani bir çift sayıdır. Evet burada direkt hipotezden hareket edilerek doğru akıl yürütme ile sonuca gidilmiştir.

1.36.2 Dolaylı ispat

Hipotezden hüküme ilerlerken başka önermelerden de faydalanılan yaklaşım biçimidir. En az bir tane başka önermeden yararlanılır. Dolaylı ispat yöntemleri de kendi içinde alt başlıklara sahiptir

I. Olmayana Ergi Yöntemi

Koşullu önerme ile karşıt tersinin birbirine denk olduğunu biliyoruz. Bazı durumlarda direk ispat yerine karşıt tersinin ispatı daha kolay olabileceğinden bu yöntem kullanılır. p⇒ q

önermesi yerine q′⇒p′önermesinin ispatlanmasına dayanan metoddur. Dolayısı ile önermen. Yanlış kabul

edilmesi sonucu bir çelişki elde edilmektedir. dolayısı ile ö-nerme doğru olmakta ve teorem ispatlanmaktadır.

1.36.3



Örnek

“doğal sayılar sonsuzdur" önermesini olmayana ergi yöntemi ile ispatlayınız.

Çözüm

Oldukça açık olan bu ifadeyi metodu kavrama açısından is-patlayalım;

*

- 15 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

“doğal sayılar sonsuzdur"= “N doğal sayılar kümesi ise son-suz elemanı vardır" ≡ “N in sonson-suz elemanı yok ise doğal sayılar kümesi değildir”

varsayalım ki doğal sayılar kümesi sonlu olsun;

1,2,……,n olsun biliyoruz ki n+1 de yani bir doğal sayının 1 fazlası da bir doğal sayıdır. Dolayısı ile doğal sayıların bir sınırı olamaz, sınır şudur dediğimiz sayının 1 fazlası da vardır ve doğal sayıdır ve sonu yoktur. halbuki sonlu olduğunu var-saymıştık! O halde doğal sayılar sonsuzdur.

II. Deneme yöntemi

İspat için tüm durumların denenerek doğruluğun gös-terildiği yöntemdir. Sınırlı durum söz konusu ile ancak uygulanabilir.

1.36.4



Örnek

f ve g fonksiyonları A={0,2} kümesinde f x

( )

=2 x

veq x

( )

=x2 _{olarak tanımlansın. Eşit olduklarını ispatlayınız.}

Çözüm

( )

f 0 = ⋅ =2 0 0 , g( ) =_{0 0}2=_{0 ise f}

( )

_{0 =g( )0}

( )

f 1 = ⋅ =2 1 1 , g( ) =_{1 1}2=_{1 ise f}

( )

_{1 =g( )1} ohalde f=g olduğu ispatlanmıştır.

III. Aksine Örnek Verme Yöntemi

Bir önermenin yanlışlığının ispatlanması için kullanılan metoddur. İfadenin yanlış olduğunu göstermek için en

az bir örnek ile göstermeye dayanır.

1.36.5



Örnek

“her sayın karesi 0 dan büyüktür” önermesinin yanlışlığını gösteriniz.

Çözüm

=

2

0 0 olduğundan önermenin yanlış olduğu ispatlanmıştır.

1.37

&

PEKİŞTİRME SORULARI

1.32-1.36 arasını anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlayabilmeniz gerekmektedir.

1) Teorem nedir?

2) İspat nedir? İspat yöntemleri nelerdir?(şekli kullanın)

3) “dörtgenin iç açıları toplamı 360 derecedir” teoremindeki hipotez ve hükmü ifade edip, ispatlayınız.

Hipotez: Hüküm: İspat;

4) Aşağıdaki teoremlerin, uygun ispat yöntemleri ile doğru-luğunu veya yanlışlığını ispatlayınız.

a) “iki çift sayın birbirine bölümü tek sayıdır” b) “iki tek sayının çarpımı yine bir tek sayıdır”

c) "4 ten büyük tüm doğal sayılar için; n2 >₄n+_4dir”

d) “1+3+5+…..+n= _{n ”} 2

1.38



TEST

1) Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle teorem değildir.

A) p⇒ q B) q⇒ p C) q⇔ p

D) “üçgenin dış açıları toplamı 360 derecedir” D) “iki farklı noktadan bir doğru geçer”

2) “bu eski bina hastane veya bakım evi gibi kulanılmıştı "

önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

A) “bu eski bina hastane ve bakım evi gibi kullanılmıştır”

B) “bu eski bina hastane ve bakım evi gibi

…….kullanılmamıştır "

C) “bu eski bina hastane olarak kullanılmamıştır …….ve bakım evi gibi kulanılmıştır”

D) “bu eski bina hastane olarak kullanılmamıştır ……..ve bakım evi gibi kulanılmamıştır”

E) “bu eski bina bakım evi gibi

kullanılmamıştır veya hastane gibi kullanılmıştır”

- 16 –mantık

b

o

ra

0

0

@

g

m

a

il.

c

o

m

3) Aşağıdakilerden hangisi önerme değildir?

A) “Bugün yağmur yağdı.” B) x=5

C) “Bugün canım sıkılıyor.” D) “Demir bir metaldir."

E) “Her fonksiyon bir bağıntıdır.”

4)

(

_{∀ ∈x ,x}2_{− ≥2 5}

)

_{⇔ ∃ <}

(

_{x 0,2x>7}

)

önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir. A)

(

_{∃ ∈x ,x}2_{− ≥2 5}

)

_{⇔ ∀ <}

(

_{x 0,2x>7}

)

B)

(

_{∀ ∈x ,x}2_{− ≤2 5}

)

_{⇔ ∃ <}

(

_{x 0,2x<7}

)

C)

(

_{∀ ∉x ,x}2_{− <2 5}

)

_{⇔ ∃ >}

(

_{x 0,2x≤7}

)

D)

(

_{∃ ∈x ,x}2_{− <2 5}

)

_{⇔ ∃ <}

(

_{x 0,2x>7}

)

E) hiçbiri

5) p⇒ önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisi-p

dir? A) p′ ⇒ B) pp ′ ∨ C) pp ′ ⇔ p D) p′ ⇒ E) p p′p ∧ 6)

(

t

q

) (

q

s

)

p

0

′

⎡

_⎡

_′

_⎤

′

⎤

⎢

_⎢

⎡

_∧

′

_∧

_∧

_′

′

⎤

_∧

_⎥

_∧

⎥

⎢

_⎢

⎢

_⎣

⎥

_⎦

_⎥

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

önermesi aşağıdaki-lerden hangisine denktir?

A) 1 B) p C) p′ D)0 E) t

7)

(

p q∨

) (

⇒ p′∧q ′′

)

önermesi aşağıdakilerden

hangisi-ne denktir?

A) 1 B) p C) p′ D)0 E) q

8) p r∧ ≡0 olduğuna göre

(

p′ ⇒q

)

′⇒ önermesi aşa-p

ğıdakilerden hangisine denktir?

A) 1 B) p C) p′ D)0 E) q

9) Aşağıdakilerden hangisini yanlıştır?

A) p p∨ ′≡ B) 1

(

p′ ∧p

)

′≡ 1

C)

(

p′ ∧ ∧r q

)

∨ ≡ ∨ D) 1 p p

(

p′ ∨p

)

′∧ ≡q 0 E) q q 0∨ ≡ ′∧ 0

10) p 1≡ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisine

totolojidir?

A) p′ ∨

(

q r∧

)

B) p∧

(

q r∧

)

C)

(

q′ ∨q

)

′∧ p D) p∨

(

q t∨

)

E) q r p′∨ ∨

11) “Ayşe düzenli ders çalışmayan bir üniversite öğrencisidir ve spor akademisinde okumaktadır. Düzenli ders çalış-madığından dolayı zamanında üniversiteyi bitirememiştir. Bu duruma çok üzülen Ayşe son aylarda düzenli çalışma-ya başlamıştır. Ayrıca ailesine destek olmak için boş va-kitlerinde çalışabileceği bir iş de bulmuştur. Bulduğu iş eğitim gördüğü spor alanı ile ilgilidir.”

Verilen paragrafa göre aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?

A) “Ayşe düzenli ders çalışmayan bir öğrencidir veya öğ-retmen olmak istemektedir”

B) “Ayşe başarılı bir öğrencidir ve son aylarda düzenli ders çalışmaktadır”

C) “Ayşe düzenli ders çalışmayan bir öğrenci ise zama-nında üniversiteyi bitirememiştir”

D) “Ayşe eğitim gördüğü alan ile ilgili bir iş bulmuştur ancak ve ancak hep düzenli ders çalışmıştır” E) “Ayşe hep düzenli ders çalışır ancak ve ancak

zama-nında üniversiteyi bitirememesine üzülmemektedir”

12)

(

p q∨

)

∨ önermesi aşağıdakilerden hangisine p

denktir?

A) 1 B) p C) p′ D)0 E) q

13) Yandaki tablo ile verilen bileşik önerme

aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) p p∨ B) p′ ∨ C) q

(

p q ′∨

)

D)

(

p q∨

)

∧p E)

(

p′ ∨q ′

)

p q F(p,q) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

ozeldersci.com

tmoz.info