Ali Turabi YURDUNGÜZELİ Yüksek Lisans Tezi Fizik Anabilim Dalı Prof.Dr.İskender ASKEROĞLU
2011 Her Hakkı Saklıdır
FİZİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FERMI-DIRAC YAKLAŞIMI KULLANILARAK
BAZI YARIİLETKENLERİN İLETKENLİK
BANDINDAKİ ELEKTRON KONSANTRASYONUNUN
HESAPLANMASI
Ali Turabi YURDUNGÜZELİ
TOKAT 2011
i
Yüksek Lisans Tezi
FERMI-DIRAC YAKLAŞIMI KULLANILARAK BAZI YARIİLETKENLERİN İLETKENLİK BANDINDAKİ
ELEKTRON KONSANTRASYONUNUN HESAPLANMASI
Ali Turabi YURDUNGÜZELİ
Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU
Yarıiletkenlerin elektron konsantrasyonunun hesaplanması için değişik yöntemler vardır. Kuantum istatistiksel yaklaşım olan Fermi-Dirac yöntemi de bunlardan bir tanesidir. Fermi-Dirac fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki manyetik moment, toplam enerji ve elektron yoğunluğu gibi birçok özelliğin teorik olarak bulunmasına olanak sağlamaktadır. Bu çalışmada Fermi-Dirac fonksiyonu kullanılarak bazı yarıiletkenlerin iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonunun hesaplaması için basit bir analitik denklem türetildi. Analitik ifade kullanılarak hesaplamalar yapıldı. Hesaplanan sonuçlar lüteratürdekilerle karşılaştırıldı ve diğer çalışmalarla uyum içerisinde olduğu görüldü.
2011, 42 sayfa
ii
Ms Thesis
CALCULATION OF ELECTRON CONCENTRATION IN CONDUCTION BAND OF SOME SEMICONDUCTORS
USING FERMI-DIRAC APPROXIMITION
Ali Turabi YURDUNGÜZELİ
Gaziosmanpasa University
Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics
Supervisor: Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU
There are various methods for calculation of semiconductors electron concentration Fermi-Dirac method, which is the quantum statistical approach, is one of them. The results obtained from the solution of Fermi-Dirac function enable the theoretical calculation of many features in materials such as, magnetic moment, total energy and electron concentration. In this study, a simple analytical expression is obtained to calculate the electron concentration in conduction band of some semiconductor using the Fermi-Dirac functions. The calculated results have been compared with those reported in the literature and are found to be in good agreement with those of other studies.
2011, 42 pages
iii
Yüksek Lisans çalışmalarım süresince; beni her konuda yönlendiren, bana her türlü kolaylığı sağlayan, karşılaştığım güçlüklerde bilgi birikimlerini esirgemeden yardımcı olan danışman hocam sayın Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU’ na en içten teşekkürlerimi sunarım.
Her zaman her konuda bilgi ve deneyimlerini esirgemeden destek veren ve beni yönlendiren değerli hocam sayın Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU’ na en içten teşekkürlerimi sunarım.
Tez çalışmalarımın her anında yanımda olan, benden yardımlarını, deneyimlerini esirgemeyen sayın hocam Yrd. Doç. Dr. Erhan ESER’ e ve bölüm hocalarıma en içten teşekkürlerimi sunarım.
Hayatımın her anında yanımda olan, her konuda desteklerini benden esirgemeyen, beni yetiştiren bu günlere getiren biricik aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarım süresince benden yardımlarını esirgemeyen tüm arkadaşlarıma ve çalışmalarımın her anında yanımda olan kadim dostum Sami Can DARDEM’ e en içten teşekkürlerimi sunarım.
Ali Turabi YURDUNGÜZELİ Eylül-2011
iv ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii İÇİNDEKİLER iv ŞEKİLLER DİZİNİ v ÇİZELGELER DİZİNİ vi
SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ vii
1. GİRİŞ 1 2. GENEL BİLGİLER 3 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3.
Katı Cisimlerin Sınıflandırılması İletkenler Yalıtkanlar Yarıiletkenler 3 3 3 4 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4.
Enerji Bant Yapıları
Enerji Bantları ile İletken, Yalıtkan ve Yarıiletken Arasındaki İlişki Bant Aralığı
Yarıiletkenlerin Bant Yapısı Fermi Enerji Seviyesi
7 7 8 10 12 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. Fermi-Dirac İstatistiği
Fermi Fonksiyonunun Özellikleri
Fermi-Dirac İstatistiğinin Kullanıldığı Yerler
Yarıiletkenlerde Fermi-Dirac İstatistiğinin Kullanılması
13 15 16 17 2.4. Doğrudan ve Dolaylı Geçişli Yarıiletkenler 17 2.5. Yarıiletkenlerde Yük Taşıyıcıları - Elektronlar ve Boşluklar 18 2.6. Yarıiletkenlerin Elektron ve Boşluk Konsantrasyonları 21
2.6.1. Elektron Konsantrasyonu 21
2.6.2. Boşluk Konsantrasyonu 24
2.6.3. Elektron ve Boşluk Konsantrasyonunun Karşılaştırılması 26
3. MATERYAL ve METOD 34
4. BULGULAR 37
5. SONUÇ ve TARTIŞMA 40
KAYNAKLAR 41
v
Şekil 1.1. Metal ve yarıiletken özdirencinin sıcaklıkla değişimi 4 Şekil 2.1. İletken, yalıtkan ve yarıiletkenin bantlardaki elektron dağılımları 8 Şekil 2.2. Yarıiletkende özgün iletkenlik için bant yapısı 9 Şekil 2.3. Yalıtkanlar, yarıiletkenler ve iletkenler için tipik bant yapıları 9
Şekil 2.4. Yarıiletkenin bant yapısı 10
Şekil 2.5. (a) Enerji seviyelerinin dolmuş hali. (b) Mutlak sıfır sıcaklığında
ve mutlak sıfırın üstünde Fermi-Dirac dağılımının değişimi 11 Şekil 2.6. n-tipi yarıiletken, has yarıiletken, p-tipi yarıiletken için Fermi
enerji seviyesi 12
Şekil 2.7. (a) doğrudan geçişli (b) dolaylı geçişli yarıiletkenler için
elektron enerjisine karşı momentum çizimleri 17 Şekil 2.8. Elektronun uyarımdan dolayı valans bandından iletkenlik
bandına geçişi ve elektron-boşluk çifti oluşturması 19 Şekil 2.9. Yarıiletkenlerin enerji bant diyagramı (a) kutupsuz iletim
(b) kutuplanma koşulları altında iletim. 20 Şekil 2.10. a) iletim ve değerlik bantları, b) dağılım fonksiyonu,
c) elektronlar ve boşluklar için durum yoğunlukları 22 Şekil 2.11. Has yarıiletkenlerde Fermi seviyesinin sıcaklıkla değişimi 29 Şekil 2.12. Yarıiletkenlerin yasak bant aralığının sıcaklıkla değişimi 29 Şekil 2.13. Si ve GaAs için katkısız taşıyıcı konsantrasyonlarının sıcaklığa
bağlılığı 32
Şekil 2.14. GaAs için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği 32 Şekil 2.15. InP için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği 33 Şekil 2.16. Si için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği 33 Şekil 4.1. GaAs için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği 38 Şekil 4.2. InP için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği 38 Şekil 4.3. Si için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği 38
vi
Çizelge 2.1 Oda sıcaklığında iletken, yalıtkan ve yarıiletkenin özdirençleri 7 Çizelge 2.2 Bazı IV. grup elementlerin atom numaraları ve bant aralıkları 9 Çizelge 2.3 Si, GaAs ve InP yarıiletkenlerinin etkin kütleleri 30 Çizelge 2.4 Oda sıcaklığında bazı yarıiletkenler için bant aralığı ve katkısız
taşıyıcı konsantrasyonları 31
Çizelge 4.1 GaAs yarıiletkeni için oda sıcaklığında elektron konsantrasyonu 37 Çizelge 4.2 InP yarıiletkeni için oda sıcaklığında elektron konsantrasyonu 37 Çizelge 4.3 Si yarıiletkeni için oda sıcaklığında elektron konsantrasyonu 37
vii Simgeler Açıklama
k Boltzmann sabiti
α Direncin termal genleşme katsayısı
E Elektrik alan q Elektrik yükü ν Elektrik yükünün hızı eV Elektron volt e Elektronun yükü n Elektron konsantrasyonu S Entropi
m∗ Elektronun etkin kütlesi
F - D Fermi Dirac
m∗ Etkin kütle
EF Fermi enerjisi
p Boşluk konsantrasyonu
m∗ Boşluğun etkin kütlesi
Nc İletim bandındaki etkin durum yoğunluğu
σ İletkenlik
Ec İletkenlik bandı
μ Mobilite
T Mutlak sıcaklık
Ego Mutlak sıfırdaki yasak bant aralığı
ρ Özdirenç
Ev Valans bandı
Nv Valans bandındaki etkin durum yoğunluğu
viii GaAs Galyum arsenit
InP Indiyum fostit
Ge Germanyum
Se Selenyum
Si Silisyum
1.GİRİŞ
Maddeler elektriksel iletkenliklerine göre üç gruba ayrılır. Bunlar iletken, yalıtkan ve yarıiletken maddelerdir. Sınıflandırma yapabilmek için bu maddelerin özdirençlerine bakılabilir.
Katı maddelerde, elektriksel iletkenlik serbest elektronlar ve boşluklarla sağlanır. İşte bu elektronların ve boşlukların davranışlarını incelemek için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Var olan teoriler Kuantum Fiziği’nin getirmiş olduğu yenilikler sayesinde ortaya çıkmıştır. Kuantum istatistiksel bir yaklaşım olan Fermi-Dirac yöntemi yarıiletkenlerin elektron konsantrasyonunun hesaplanması için kullanılan bir yöntemdir. Fermi-Dirac fonksiyonunun çözümünden elde edilen sonuçlar malzemelerdeki manyetik moment, toplam enerji ve elektron yoğunluğu gibi birçok özelliğin teorik olarak bulunmasına olanak sağlamaktadır. Bu kadar önemli olmasına rağmen Fermi-Dirac fonksiyonu daha kolay çözülebilmesi için elde edilmiş analitik bir denklem mevcut değildir.
Bizim amacımız Fermi-Dirac istatistiğini kullanarak bazı yarıiletkenlerin (GaAs, InP ve
Si gibi) iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonunu hesaplamaktır. Bunun için;
kullanılan Fermi-Dirac fonksiyonu için basit bir analitik denklem türetilecektir.
Bu denklem sayesinde elektron konsantrasyonunun, maddenin hangi parametrelerine bağlı olarak değiştiğini de rahatlıkla görme imkanı bulacağız.
Bilindiği gibi Fermi fonksiyonu spini (1/2) kesirli olan parçalıklara uygulanan bir fonksiyondur. Bu yüzden bu parçacıklara fermiyon adı verilir (elektron, proton, nötron). Fermi-Dirac istatistiği fermiyonlarla ilgilenmektedir. Boşluklar ise elektronların bulundukları yerden hareket ettiklerinde, örneğin bir üst enerji yörüngesine atladıklarında, geride kalan boşluklardır. Bir elektron ile bir boşluğun, E enerjili bir seviyede bulunma olasılığı her zaman bire eşittir.
Kullanacağımız analitik formülü elde edebilmek için; Fermi-Dirac fonksiyonundan yola çıkarak vermiş olduğumuz bilgileri kullanıp, formülü düzenlemeye çalışacağız.
Son olarak elde ettiğimiz formül üzerinde bazı yaklaşımlar yapacağız. Ayrıca, elektronların ve boşlukların davranışlarını (hareketlerini) anlayabilmek için maddelerdeki bant yapılarını inceleyeceğiz. İletkenler, yalıtkanlar ve özellikle de yarıiletkenler için oda sıcaklığı ve farklı sıcaklık değerlerinde bant yapılarının nasıl olduğuna dikkat edeceğiz. Çünkü elektrik akımı oluşumunu en yüksek doğrulukla açıklayan teori bant teorisidir.
2. GENEL BİLGİLER
2.1. KATI CİSİMLERİN SINIFLANDIRILMASI
Katı cisimler elektrik özelliklerine (özdirençlerine) göre üç gruba ayrılırlar.
2.1.1. İletkenler
Elektriği ileten maddelere iletken adı verilir. Atomların dış yörüngesindeki elektronlar atoma zayıf olarak bağlıdır. Isı, ışık ve elektriksel etki altında kolaylıkla atomdan ayrılırlar ve iletkenliği sağlarlar (Kittel, 1996). Gümüş, bakır ve altın iyi iletkenler olarak gösterilebilir.
Özdirençleri = 10 − 10 ohm.cm aralığındadır. 1oK sıcaklıkta saf bir metalin
elektrik özdirenci = 10 ohm.cm kadar küçük olabilmektedir. Metallerde özdirenç
sıcaklıkla lineer olarak artmaktadır Şekil 1.1 (b).
= (2.1)
Burada metallerin 0oC’ de özdirenci = 1/273 direncin termal genleşme katsayısı
ve mutlak sıcaklıktır.
2.1.2. Yalıtkanlar
Yalıtkan (dielektrik), bir elektrik akımı taşıyabilecek serbest elektronları olmayan, bir elektrik alanıyla kutuplanma özelliği taşıyan, elektrik iletkenliği sıfır veya çok zayıf olan cisim veya maddedir. Özdirençleri ≥ 10 ohm.cm’dir. İyi bir yalıtkanın
2.1.3. Yarıiletkenler
Yarıiletken madde elektrik iletkenliği bakımından, iletken ile yalıtkan arasında kalan maddedir. Özdirençleri ≥ 10 − 10 ohm.cm aralığındadır. İzinli enerji bantları
tamamen dolu veya tamamen boş ise kristal bir yalıtkan madde gibi davranır. Çünkü elektronlar bir elektrik alanda hareket edemezler.
Bir veya birçok bant yarı dolu (örneğin %10 veya %90 oranında) ise kristal, bir metal gibi davranır. Bir veya daha çok bant zayıf oranlarda dolu veya boş ise kristal, bir yarıiletken olur (Kittel, 1996).
Normal durumda yalıtkan olan bu maddelere; ısı, ışık, manyetik etki veya elektriksel gerilim, elektrik alan, basınç, ışınları, hızlı parçacıkların (elektron, proton, nötron veya iyonların) bombardımanı gibi dış etkiler uygulandığında, bir miktar değerlik elektronlarını serbest hale geçirerek iletken duruma gelirler. Uygulanan bu dış etki veya etkiler ortadan kaldırıldığında ise yalıtkan duruma geri dönerler. Bu özellik yarıiletkenlerin elektronik alanında yoğun olarak kullanılmalarını sağlamıştır.
Yarı iletkenlerin değerlik yörüngelerinde dört elektron bulunur. Bu yüzden yarıiletkenler, iletkenlerle yalıtkanlar arasında yer almaktadır. Elektronik elemanlarda en yaygın olarak kullanılan yarıiletkenler germanyum ve silisyum elementleridir.
Yarıiletken malzemeler;
iletkenlerden 10 defa az iletken,
yalıtkanlara göre 10 defa daha fazla iletkenlerdir.
= = (2.2) Burada: : iletkenlik : elektronların konsantrasyonu : elektronun yükü (1,6 10 ) : elektronların mobilitesidir.
Elektrik akımını geçiren iki tür iletken olabilir; elektronik geçişli ve iyonik geçişli iletkenler. Metallerin elektrik akımı taşıyıcıları elektronlar olduğu için metaller elektron iletkenleridir (Cafer, 2000).
İyonik iletkenlerde elektrik akımı malzemenin iyonları ile taşınır ve iyonik iletkenin kompozisyonu akımın geçtiği zamanla değişmektedir. Elektrolitler iyon iletkenler grubunda olabilirler. Yarıiletken malzemeler hem elektron hem de iyon iletkenliğine sahip olabilirler. Yarıiletkenlerin çoğunluğu silisyum (Si), germanyum (Ge), selenyum (Se), telluryum (Te) ve bileşik yarıiletkenler; galyum arsenit (GaAs), indiyum fosfit (InP) vb. elektron iletkenliğine sahiptirler.
Isı etkisiyle yarıiletkenlerde serbest yük taşıyıcılarının (elektronların ve boşlukların) konsantrasyonu artmaktadır. Bu yöntemle meydana gelen yük taşıyıcılarına ısısal veya
dengeleyici yük taşıyıcıları denir (Cafer, 2000).
Işık, manyetik etki veya elektriksel gerilim, elektrik alan, basınç, ışınları, hızlı parçacıkların (elektron, proton, nötron veya iyonların) bombardımanı etkisiyle oluşan yük taşıyıcılarına denkleştirilmemiş yük taşıyıcıları denir (Cafer, 2000).
Metallerde atomlar tam olarak iyonlaşmış durumdadırlar ve serbest elektronların konsantrasyonu (n≈ 10 cm-3) atomların konsantrasyonuna eşittir. Bu nedenle metallerin özellikleri dış etkilerle çok az değişmektedir. Katkısız yarıiletkenlerde ise serbest elektronların konsantrasyonu (n = 10 − 10 cm-3) ana atomların konsantrasyonundan (10 cm-3) çok azdır. Katkı atomu içermeyen yarıiletkenler
Yarıiletken atomlarının dış etkiyle iyonlaşması ve serbest elektron konsantrasyonunu kesin olarak değiştirmesi mümkündür. Bunun neticesinde yarıiletkenin özellikleri de değişebilmektedir.
Serbest yük taşıyıcılarının oluşma yöntemleri yarıiletkenin kristal yapısı, konsantrasyonu ve katkı atomlarının bulunmasıyla ilişkilidir. Çok az miktardaki (%10 − %10 ) katkı atomları yarıiletkenin iletkenliğini kesinlikle (10 kata kadar) değiştirebilir.
Has yarıiletkenlerde iletkenliğe katkı atomlarının etkisi ihmal edilebilir. Mutlak sıfırda has yarıiletkenlerde serbest yük taşıyıcıları bulunmamaktadır; yani valans bandı elektronlarla tam olarak doldurulmuştur (boşluk yok) ve iletkenlik bandında serbest elektronlar bulunmamaktadır. Sıcaklık arttıkça kırılmış valans bantların sayısı artar ve bu nedenle serbest elektronların ve boşlukların konsantrasyonu artar. Has yarıiletkenin bant diyagramında serbest elektronların ve boşlukların sayısının ısısal yöntemle oluşturulması, elektronların valans bandından iletim bandına geçişlerle ve boşlukların valans bandında oluşması ile anlatılabilir.
Yarıiletkenlerin çoğunda oda sıcaklığında iletkenlik, katkı atomlarının etkisiyle değişir. İletkenliği katkılarla belirlenen yarıiletkenlere katkılı yarıiletkenler denir. Yüksek sıcaklıklarda katkıyla belirlenen iletkenlik has iletkenliğe geçebilir (Cafer, 2000).
Katkılı yarıiletkenlerde, elektron veren katkı atomuna verici veya donör denir. İletkenliği donör katkısıyla karakterize olan yarıiletkene elektron veya n-tipi yarıiletken denir. n-tipi yarıiletkenlerde çoğunluk yük taşıyıcıları elektronlar, azınlık yük taşıyıcıları boşluklardır.
Yarıiletkende elektronu alan katkı atomlarına alıcı veya akseptör denir. İletkenliği akseptör tipli katkıyla belirlenen yarıiletken hole (boşluk) veya p-tipi yarıiletken olarak tanımlanır. p-tipi yarıiletkenlerde çoğunluk yük taşıyıcıları boşluklar, azınlık yük taşıyıcıları elektronlardır (Cafer, 2000).
(Wallis, 2000)
Madde Özdirenç (ohm.cm)
İletken (metal) 10
Yalıtkan 10
Yarıiletken 10 − 10
2.2. Enerji Bant Yapıları
2.2.1. Enerji Bantları ile İletken, Yalıtkan ve Yarıiletken Arasındaki İlişki
Her katı madde elektronlar içerir. Elektriksel iletkenliği bakımından önemli olan konu uygulanan bir elektrik alanda elektronların nasıl davrandığıdır. Kristallerdeki elektronlar elektron yörüngelerinin bulunmadığı enerji bölgeleriyle ayrılmış enerji bantları biçiminde yer alır (Şekil 2.3). Enerji aralıkları ya da bant aralıkları denilen bu yasak bölgeler iletkenlik elektron dalgalarının kristal iyonları ile etkileşmesi sonucu oluşur (Kittel, 1996).
Uygulanan bir elektrik alanının etkisi altında elektriği iyi ileten katıya metal veya iletken, elektriği iletmeyene de yalıtkan denir. Bu iki grup katı arasında ayrım yapabilmek için, enerji bant teorisinde basit bir ölçü vardır; tamamen dolu bir enerji bandı, elektrik alanı uygulansa bile elektrik yükünün taşınmasına izin vermez. Bu ifadeye göre bir katı, ancak onun enerji bantlarının bazıları kısmen işgal edilmişse bir metal gibi davranır.
İletkenlerde bant yapısında; valans bandı tamamen dolu değildir ve iletkenlik bandı ile iç içedir.
Yalıtkanlarda bantlar birbirinden tamamen ayrıdır. Yarıiletkenlerde ise valans bandı tamamen doludur.
Şekil 2.1. İletken, yalıtkan ve yarıiletkenin bantlardaki elektron dağılımları (Yariv, 1988)
Şekil 2.1 (a)’da işgal edilmiş durumdaki en yüksek bant, değerlik bandıdır. Bunun altındaki bütün bantlar tamamen doludur ve elektrik yükünün taşınmasına katkıda bulunamazlar. Bu cisimlere iletken denir.
Şekil 2.1 (b)’de bir yalıtkanın en üst bantları gösterilmektedir. Bantlar Eg yasak enerji bandı ile ayrılır. Valans bandı tamamen doludur. Bu cisimlere yalıtkan denir.
Şekil 2.1 (c)’de bazı cisimler iletkenlerle yalıtkanlar arasındaki bölgenin özelliklerini gösterirler. Eğer değerlik bandı ile onun üstündeki bant arasındaki yasak enerji bandı dar ise elektronlar termal uyarılma yolu ile değerlik bandından onun üstündeki banda geçebilirler. Böylece her iki bant kısmen dolu hale gelir ve elektronlar elektrik iletimine katkıda bulunur. Böyle cisimlere yarıiletken denir. Yasak enerji bantları sırasıyla 1 ve 0,7 eV’tan genişliğinde olan Si ve Ge bu özelliği gösterir. Oda sıcaklığında yaklaşık 2eV tan daha düşük olanlar yarıiletken olarak davranır.
2.2.2. Bant Aralığı
İletkenlik bandının en düşük enerji seviyesi ile valans bandının en yüksek enerji seviyesi arasındaki enerji farkına bant aralığı denir.
Şekil 2.2. Yarıiletkende özgün iletkenlik için bant yapısı (Kittel, 1996)
0 oK sıcaklıkta valans bandındaki tüm yörüngeler dolu, iletkenlik bandındaki tüm
yörüngeler boş oluğundan özgün iletkenlik sıfır olur. Sıcaklık artırıldığında elektronlar valans bandından iletkenlik bandına ısısal uyarılma yoluyla geçip hareketlilik kazanır.
Şekil 2.3. Yalıtkanlar, yarıiletkenler ve iletkenler için tipik bant yapıları (Kittel, 1996)
Çizelge 2.2. Bazı IV. grup elementlerin atom numaraları ve bant aralıkları
Element Atom Numarası (A) Bant Aralığı (eV)
Karbon 6 5,30
Silisyum 14 1,12
2.2.3. Yarıiletkenlerin Bant Yapısı
Katıların bant teorisi, yarıiletkenlerin elektriksel iletkenlik özelliklerini başarılı bir şekilde açıklamaktadır. Bant teorisine göre katıların nasıl sınıflandırıldığı Şekil 2.1’de göstermiştir. Burada işgal edilen en yüksek enerji bandının değerlik bandı olması, bu bandın T= 0oK’de tamamen dolu olması ve bu bandın üstündeki yasak enerji aralığının dar olması halinde, katının yarıiletken özelliği göstereceği ifade edilmiştir. Yarıiletken katılarda, yukarıda da ifade edildiği gibi dolu banda değerlik bandı ve onun üstündeki boş banda iletim bandı denir. Metallerde değerlik bandı ile iletim bandı aynı olduğu halde, yarıiletkenlerde bu iki bant yasak enerji aralığı ile birbirinden ayrılır (Dikici, 1993).
Değerlik bandındaki bir elektronu iletim bandına çıkarmaya yetecek kadar enerji verilmezse elektriksel iletkenlik sağlanmaz, yani katı yalıtkan olarak davranır.
Bu yüzden gerekli uyarma enerjisi, yasak enerji aralığının bir ölçüsüdür. Bu uyarım enerjisi; termal, optik veya mekanik yollarla sağlanabilir.
Genel olarak yasak enerji aralığı Eg 2 eV’tan daha küçük olduğunda, oda sıcaklığında uyarılan elektronların sayısı yeterli düzeye çıkmaktadır ve cisim yarıiletken olmaktadır (Dikici, 1993).
( ) = +ℏ2 ∗ (2.3)
( ) = −ℏ2 ∗ (2.4)
Yarıiletkenlerin yasak enerji aralığı sıcaklığa bağlı olarak değişmektedir fakat bu değişme büyük değildir. Bu değişmenin sebebi ısıtılma sonucu örgü sabitinin değişmesidir. Eguygulanan basınç ile de değişir. Bu yüzden özelliklerin bazıları yüksek basınç altında incelenir.
T sıcaklığındaki bir sistemde, enerjisi E olan bir seviyenin bir elektron tarafından işgal
edilme ihtimali Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu,
( ) = ( 1)/ + 1 (2.5)
ile verilir. Denklem (2.5)’te görüldüğü gibi, sıcaklık yükselirken Fermi enerjisi EF’nin altındaki işgal edilmeyen bölge giderek büyümekte (Şekil 2.5), yani yüksek enerjili durumların elektronlar tarafından işgali sıcaklığa bağlı olarak artmaktadır. Sıcaklıktaki artma, sistemin enerjisini bir bütün olarak artırmaktadır (Dikici, 1993). Şekil 2.5’ten sıcaklık ne olursa olsun, E=EF Fermi enerjisinde f(E)= 1/2’dir. Bu ise Fermi seviyesinin bir elektron tarafından işgal edilme ihtimalinin her zaman ½ olduğunu gösterir.
Şekil 2.5. (a) Enerji seviyelerinin dolmuş hali. (b) Mutlak sıfır sıcaklığında ve mutlak sıfırın üstünde Fermi-Dirac dağılımının değişimi (Dikici, 1993)
2.2.4. Fermi Enerji Seviyesi
Taşıyıcıların en yoğun oldukları enerji seviyesi “Fermi enerji seviyesi” olarak isimlendirilir. Elmas yapıda Fermi enerji seviyesi, EF, yasak enerji bandının tam ortasından geçiyor kabul edilir. n-tipi yarıiletkende ise, Fermi seviyesi iletim bandının alt kenarına yakın yerden geçer, p-tipi yarıiletkende ise valans bandının üst kenarına yakın yere Fermi enerji seviyesi adı verilir Şekil 2.6.
Şekil 2.6. n-tipi yarıiletken, has yarıiletken, p-tipi yarıiletken için Fermi enerji seviyesi
Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu, mutlak sıfır sıcaklığında, yani T = 0oK’de:
( ) = 0,1, ><
dir. Buna göre EF Fermi enerjisinin altındaki bütün enerji seviyeleri dolu, üstündeki enerji seviyeleri boştur. Bu yüzden T = 0oK sıcaklığında Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu EFFermi enerjisinde kesiklik gösterir.
Sistem ısıtıldığında, yani T > 0oK için termal enerji; bazı elektronları uyarır. Önemli nokta, termal enerjinin bütün elektronlar tarafından eşit bölüşülmemesidir. Bunun sebebi, Fermi enerjisinin altındaki elektronların enerji yutamamasıdır. Aksi halde Pauli ilkesi bozulurdu (Dikici, 1993).
Fermi-Dirac istatistiği, fizik biliminin bir parçası olarak Pauli dışarılama prensibine uyan, eş parçacıklar içeren sistemdeki bir parçacığın enerjisini tanımlar. Birbirlerinden bağımsız olarak bunu keşfeden Enrico Fermi ve Paul Dirac'tan sonra adlandırılmıştır. Fermi-Dirac istatistiği termal dengedeki sistemin kesirli sayı (1/2) spine sahip eş parçacıklarına uygulanır. Ek olarak, sistemdeki parçacıkların göz ardı edilebilir karşılıklı etkileşimlerinin olduğu kabul edilmektedir. Bu, çok parçacıklı bir sistemin tek tek parçacıkların enerji seviyesi ile tanımlanmasına imkân kılar. Sonuç Fermi-Dirac parçacıklarının bu enerji seviyeleri üzerine dağılımını ve sistemin özelliklerini oldukça etkileyen iki farklı parçacığın aynı seviyeye sahip olmasını içerir. Fermi-Dirac istatistiği, kesirli sayı spinli parçacıklara uygulanabildiğinden bu parçacıklar fermiyon olarak adlandırılır. En genel olarak, 1/2 spine sahip fermiyon olan elektrona uygulanır. Fermi-Dirac istatistiği, mekanik ilkelerini kullanarak daha genel bir alan olan istatistiksel mekanik alanının içerisinde yer alır.
1926'da Fermi-Dirac istatistikleri bulunmadan önce elektron davranışlarını çelişkili fenomenlerden dolayı tahmin etmek güçtü. Örneğin, oda sıcaklığındaki metallerin elektronik kapasitesi elektrik akımındakinden 100 kat daha az elektronmuş gibi gözüküyordu. Ayrıca oda sıcaklığında metallere güçlü elektrik alan uygulanarak elde edilen emisyon akımının neredeyse sıcaklıktan bağımsız olması çok anlaşır bir durum değildi. O zamanlar metallerin elektron teorisindeki zorluklarının temel sebebi elektronların (klasik istatistiğe göre) hepsinin denk olmasıdır. Başka bir deyişle her bir elektrona Boltzmann sabiti k ile orantılı olarak eşit miktarda ısı dağıldığı kabul ediliyordu. Bu istatistiksel problem Fermi-Dirac istatistikleri bulunana kadar çözümsüz kaldı.
Fermi-Dirac istatistikleri ilk olarak 1926'da Enrico Fermi ve Paul Dirac tarafından yayınlandı. Başka bir kaynağa göre ise ilk olarak 1925'te Pascual Jordan tarafından aynı istatistiğin geliştirilerek “Pauli istatistiği” olarak adlandırıldığını belirtilir. Ancak Dirac'a göre ilk olarak Fermi tarafından çalışıldığı bilinir.
Fermi-Dirac istatistiklerini 1926'da Fowler, bir yıldızın bir beyaz cüceye çarpışını
açıklarken kullanmıştır. 1927'de Sommerfeld bunu metaldeki elektronlara uygulamış ve 1928'de Fowler ve Nordheim metallerin alan elektron emisyonuna uygulamışlardır. Genel olarak Fermi-Dirac fonksiyonu:
∞( ) = 1 + ∞
(2.6)
gibi tanımlanır. Burada kimyasal potansiyel (−∞ < < ∞), keyfi bir tamsayı ve kesirli değerler alır. Yarıiletken fiziğinde Denklem (2.6) aşağıdaki gibi ifade edilir (Guseinov, Mamedov, 2009).
∞( ) = Г( + 1)1 1 + ∞
(2.7)
Kullanımı çok fazla olan Fermi-Dirac fonksiyonları için yeni formüllerin elde edilmesi, katıhal fiziği, nükleer fizik ve astrofizik gibi çeşitli branşlarda pek çok problemin çözülebilmesine imkan sağlayacağından dolayı önemlidir.
Kristalde herhangi bir enerji durumunun elektronla işgali ya da boş olmasının (yani boşlukla işgali) toplam olasılığı birdir.
( ) + ( ) = 1 (2.8)
Burada Fn(E)ve Fp(E), elektronların ve boşlukların Fermi dağılım fonksiyonudur. Bu denklemden boşlukların dağılım fonksiyonu şu şekilde yazılabilir.
( ) = 1 − ( ) = 1 − 1
exp − + 1 (2.9)
Burada:
( ) = −1
+ 1 (2.10)
Fermi fonksiyonu belirli sıcaklıkta, belirli bir enerji (E) durumunda bulunan bir parçacığın bulunan olasılığını ifade etmektedir.
Daha öncede söylediğimiz gibi Pauli ilkesine göre kesirli spine (1/2) sahip parçacıklar Fermi-Dirac dağılım fonksiyonuna uyarlar.
( , ) = 1
1 + − (2.11)
Burada EFFermi enerjisi, T mutlak sıcaklık ve k ise Boltzman sabitidir.
Fermi-Dirac dağılım fonksiyonunun mutlak sıfırdan daha yüksek sıcaklıklardaki ( > 0) özelliklerini göz önüne alalım.
i. Elektron enerjisi Fermi enerjisine eşit olduğu durumda (E=EF), Denklem (2.11) dağılım fonksiyonu şu şekilde alınır;
F(E)= 1/2
için mutlak sıfırdan daha büyük sıcaklıklarda Fermi durumunun elektronlarla işgal edilmesi olasılığı 0,5’tir. Fermi fonksiyonu Fermi enerji bölgesinde (E−(2 − 3)kT' den EF+(2 − 3)kT' ye kadar) 1’den 0’a kadar değişmektedir. Dolayısıyla bu bölgelerde enerji durumlarının elektronlarla işgal olasılığı 1’den ve 0’dan farklıdır.
ii. Elektron enerjisinin Fermi enerjisinden büyük olduğu durumda E − EF ≫ kT, Denklem (2.11)’de paydadaki 1 ihmal edilebilir ve denklem şu şekilde yazılabilir:
Burada:
=
olup, belirli bir sıcaklık için sabit olarak kabul edilir.
Denklem (2.12) ile gösterilen Fermi fonksiyonu klasik mekaniğin Boltzman dağılım fonksiyonuna benzer. Boltzman fonksiyonuna uyan elektron sistemine (veya yarıiletkene) yozlaşmamış elektron sistemi veya yozlaşmamış yarıiletken denir (Cafer, 2000). Yozlaşmamış elektron sisteminin oluşması, E−EF ≥ (2 − 3) kT durumu gereklidir.
iii. Elektron enerjisi Fermi enerjisinden daha küçük ise E−EF ≪ kT Denklem (2.11) ile gösterilen dağılım fonksiyonu bire eşittir, yani enerji durumları elektronlarla tam işgal edilmektedir.
iv. Kristalde herhangi bir enerji durumunun elektronla işgali ya da boş olmasının toplam olasılığı 1’dir.
2.3.2. Fermi-Dirac İstatistiğinin Kullanıldığı Yerler
Eş parçacıklardan oluşan bir sistemdeki tek-parçacık seviyesi i 'deki ortalama elektron sayısı Fermi-Dirac dağılımı ile belirlenir.
= 1
+ 1 (2.13)
İletkenlik bandındaki elektron yoğunluğu n:
= ( ) ( ) =21 2ℏ ( − ) (2.14)
olur. İntegral alınırsa:
= 2 2 ℏ (2.15)
elde edilir.
Valans bandındaki boşluk yoğunluğu p ise aşağıdaki şekildedir.
= ( ) ( ) = 2 2 ℏ (2.16)
2.4. Doğrudan ve Dolaylı Geçişli Yarıiletkenler
Oldukça karmaşık olan enerji bant yapılarını sadeleştirilmiş olarak Şekil 2.3’te gösterdik. Daha karmaşık olan enerji bant diyagramlarını ise iki farklı kristal için iki farklı durumda elektron enerjisine karşı momentum grafiğini Şekil 2.7’de gösterilmiştir.
Şekil 2.7. (a) doğrudan geçişli (b) dolaylı geçişli yarıiletkenler için elektron enerjisine
Şekil 2.7 (a) durumunda görünüyor ki aynı momentum değerinde iletkenlik bandı minimum değerde ve valans bandı maksimum değerdedir. Böylece elektron valans bandından iletkenlik bandına momentumunda bir değişiklik olmadan geçebilir. GaAs bu duruma bir örnektir ve bu gibi maddelere doğrudan geçişli yarıiletkenler denilir. Buna karşın (b) durumunda, aynı momentum değerinde iletkenlik bandı minimum değere ve valans bandı maksimum değere yerleşmemiştir. Böylece elektronu valans bandından iletkenlik bandına uyarmak için ekstra bir enerjiye ihtiyaç yoktur, fakat momentum değişir. Bu gibi maddelere ise dolaylı geçişli yarıiletkenler denir (Dasgupta, 2004). Doğrudan geçişli yarıiletkenlerde bir fotonun enerjisi hν = Egkadar bir enerji ile valans bandından iletkenlik bandına geçebilir. Ancak dolaylı geçişli yarıiletkenlerde bu tip geçişler olası değildir. Çünkü foton çok küçük bir momentuma sahiptir. Elektronunun momentumu, bu geçiş sırasında çok büyük bir değişiklik geçirmek zorundadır. Bu gibi durumlarda elektron, valans bandından iletkenlik bandına taşınırken gerekli momentum değişimini destekleyen bir termal enerji ortaya çıkabilir (dolaylı geçişler).
Doğrudan geçişler de mümkündür ancak elektronu uyarmak için gerekli minimum foton enerjisi Eg’den daha büyük olacaktır Şekil 2.7 (b). Doğrudan yarıiletkenlerde elektron, valans bandından iletkenlik bandına geçtiği zaman genellikle bir foton ışığı ortaya çıkarır (Dasgupta, 2004).
2.5. Yarıiletkenlerde Yük Taşıyıcıları - Elektronlar ve Boşluklar
Sıcaklık 0 oK’den yükseltildiğinde bazı elektronlar valans bandında iken yeterli termal
enerji ile iletkenlik bandına uyarılabilir. Üstelik şimdi bazı elektronlar boş iletkenlik bandının içindedir ve valans bandı boşluklarla dolmuştur. Böylece elektron valans bandından iletkenlik bandına uyarılmış, elektron-boşluk çiftini oluşturmuştur. Şematik olarak Şekil 2.8’de gösterilmektedir:
Şekil 2.8. Elektronun uyarımdan dolayı valans bandından iletkenlik bandına geçişi ve elektron-boşluk çifti oluşturması (Dasgupta, 2004)
İletkenlik bandına uyarımdan sonra bir elektron, çok sayıda boş yerle çevrilidir. Örneğin saf silisyum, elektron-boşluk dengesindeki miktarı 300 oK’de 1,5 10 cm-3 ile kıyaslandığında, silisyumun atom yoğunluğu 10 cm-3 civarında olur. Böylece iletkenlik bandında az miktardaki elektronlar serbest hareket boyunca birçok müsait boş yerlere yerleşebilir.
İzlenen bütün tartışmalarda, iletkenlik bandındaki elektronlara ve valans bandındaki boşluklara yoğunlaştık. Buradan hareketle yük taşıyıcılarının iki tipi bir yarıiletkendeki geçerli akışı açıklar (Dasgupta, 2004).
Şimdi, şu tartışmayı yapabiliriz. 0 oK’de bütün valans elektronları komşu atomlar arasındaki kovalent bağları boyunca sıkıca bağlıdır. Sıcaklık arttıkça, elektrona ses dalgalarıyla yeteri kadar enerji verildiğinde kafesteki termal titreşimler bu bağların kopmasına olanak sağlar ve kristal içerisinde serbest hareket eder.
Bu serbest elektronlar elektrik konsantrasyonuna şimdi katkıda bulunabilir. Enerji bant diyagramındaki bant boşluğunun enerjisi aslında, bağların kopması için gerekli olan enerjidir. Enerji bant diyagramı aslında elektronik enerjiyi yansıtır, şöyle ki bu enerji eğer elektronun artan enerjisi ise, enerji bant diyagramında yukarı hareket eden enerjidir. Diğer taraftan bant, boşluğun enerjisi arttığı zaman karşısındaki boşluktan dolayı aşağı hareket eder.
Enerji birimine elektron volt denildiğinden dolayı, bir elektron düşüş boyunca 1V'luk potansiyel enerji kaybeder, kazanılan kinetik enerji azalan potansiyel enerjiden gelmektedir.
E=qV= 1,6 10 C 1V= 1,6 10 j= 1eV (coloumb volt = joule)
Eğer enerji bant diyagramında elektronun enerjisi E, 1 eV’un üzerine çıkarsa, öyle ki bunun anlamı elektronun boyunca düştüğü potansiyel enerji değeri V= 1 volttur. V ve E farklı boyutlu olmasına rağmen, aynı büyüklükte olduklarına dikkat etmek gerekir. Bu yüzden enerji bant diyagramı aynı zamanda elektrostatik potansiyel (elektrostatik potansiyel açısından pozitif yük ile tanımlanan) negatif elektronik potansiyeli yansıttığını (ne olarak biliniyorsa) söyleyebiliriz. İletkenlik bandındaki elektron E enerjisine sahipse, iletkenlik bandındaki (Ec) enerjinin yerini tutan enerji potansiyel enerjidir. (E−Ec) değeri ise kinetik enerjiye karşılık gelir. Bu Şekil 2.9’da gösterilmiştir.
Şekil 2.9. Yarıiletkenlerin enerji bant diyagramı (a) kutupsuz iletim (b) kutuplanma koşulları altında iletim. Elektronun hareket halinde çarpışmalar nedeniyle kaybettiği enerjiyi de gösterir (Dasgupta, 2004)
Şekil 2.9 (b) durumunda yarıiletken üzerine bir V gerilimi uygulandığı durumdaki enerji bant diyagramını göstermektedir. Uygulanan V potansiyeli altında elektron hareket ettikçe potansiyel enerjideki kayıp (qV), kinetik enerjideki kazanca eşit olur.
(ısı üreten) ve iletkenlik bandının altına düşer.
Yer çekim ivmesi (g) altında, h yüksekliğindeki bir m kütlesinin potansiyel enerjisini düşünün, potansiyel enerji, Ep= mgh. Böyle bir potansiyel enerjiye sahip kütle yer seviyesine düştüğünde bütün potansiyel enerjisini kinetik enerjiye dönüştürür. Ancak yerle çarpıştığında bütün kinetik enerjisini kaybeder ve hareketsiz kalır.
2.6. Yarıiletkenlerin Elektron ve Boşluk Konsantrasyonları
Yarıiletkenler için elektron ve boşluk konsantrasyonları ayrı ayrı aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
2.6.1. Elektron Konsantrasyonu
İlgilenilen sıcaklıklarda, yarıiletkenin iletim bandındaki bir elektron için:
− ≫ (2.17)
dir. Denklem (2.17)‘yi Denklem (2.5)’te kullanılırsa:
( ) ≈ ( )/( ) (2.18)
elde edilir. Bu klasik Maxwell-Boltzman dağılım fonksiyonudur ve bir iletim elektronu yörüngesinin işgal edilme ihtimalini verir. Yarıiletkenin iletim bandındaki elektronun enerjisi Denklem (2.3) ile verilmektedir.
O halde iletim bandındaki elektron konsantrasyonu artık hesaplanabilir.
g(E) durum yoğunluğunu göstermek üzere, enerjisi E ile E+dE arasında bulunan
durumlarının sayısı g(E)dE olur. Bu durumların her biri bir f(E) işgal edilebilme ihtimaline sahip olduğuna göre, dE enerji aralığında gerçekten bulunan elektronların sayısı:
ve iletim bandının birim hacminde bulunan elektronların sayısı:
= ( ) ( ) (2.20)
gibi ifade edilir. Burada;
n=iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonu Ewp=iletkenlik bandının en üst enerjisidir.
Değerlik ve iletim bantlarının sınırları Şekil 2.10’da gösterilmiştir.
( ) = 4 2 ∗
ℎ ( − ) / → ≥ (2.21)
Burada enerjinin sıfırı, değerlik bandının tepesinde seçilmiştir. Denklem (2.21) ile verilen ge (E) ifadesi, E < Ec−Ev için tanımlı değildir ve sadece E >Ec−Ev için sonlu kalır Şekil 2.10 (c). Şekil 2.10 için Ec− Ev= Egolarak tanımlayalım.
Şekil 2.10. a) iletim ve değerlik bantları b) dağılım fonksiyonu c) elektronlar ve boşluklar için durum yoğunlukları (Dikici, 1993)
( ) =
1 + − (2.22)
Denklem (2.21) ve Denklem (2.22) , Denklem (2.20)‘de yerine yazılırsa;
= (4 2 ∗/ℎ ) / ( − ) /
1 + − (2.23)
elde edilir. Ancak bu denklemi analitik olarak çözmek çok zordur. Bundan dolayı aşağıdaki yaklaşımlar üretilmiştir.
i. Varsayalım ki Ec−Ev≫ 3kT. Oda sıcaklığında kT= 0,026 eV olduğunda normal katkılama seviyesi için iyi bir yaklaşımdır. İletkenlik bandındaki her E enerji seviyesi için Ec−Ev≫ 3kT olduğundan bu kullanılır. Denklem (2.22) ‘den verilen f(E), f(E)=exp [−(E−EF)/kT] yaklaşımı alınabilir. Başka bir deyişle Fermi-Dirac dağılımı Boltzmann dağılımına yaklaşabilir. Ancak unutmamak gerekir ki, yarıiletken çok aşırı derecede bozulmuş olabilir (katıdan sıvıya doğru akış). EFile Ecbirbirine çok yakındır ve bu yaklaşım geçerli olmayabilir.
ii. Genellikle iletkenlik bandının genişliği birkaç elektron volttur. Ancak, sıkıca kapatılan iletkenlik bandındaki elektronların birçoğunda Ec bandından elektron doluluk oranı hızla sıfıra yaklaşır.
Bu yüzden Denklem (2.23) integralinin üst limiti hiçbir doğruluk kaybı olmaksızın değişebilir ve şu şekilde düzenlenebilir:
= 4 2ℎ ∗ ( − ) − −
Denklem (2.24)’ün çözümü:
= − − (2.25)
ile verilir. Denklem (2.25)’ten NCifadesi:
= 2(2 ∗/ℎ ) / (2.26)
şeklinde elde edilir. Burada NC, iletkenlik bandındaki etkin durum yoğunluğu olarak adlandırılır. Denklem (2.25)’ten görüyoruz ki n ifadesi n = Ncfn (E) biçimindedir. Bu yüzden eğer iletkenlik bandındaki bütün durumlar belirli bir enerji seviyesiyle sınırlanırsa E=Ec ’den sonra Ec de bulunan gerekli durumların sayısını temsil eder. İletkenlik bandındaki elektron sayısını aldığımızda E=Ecdeki doluluk oranının elektron olasılığını Nc ile çarpımından sonra sonuçlanır. Ancak E=Ec deki gerçek durum yoğunluğunun sıfır olduğu kaydedilmelidir ve sadece etkin durum yoğunluğu kavramı iletkenlik bandı kenarı ve Fermi seviyesi arasındaki boşluk bakımından serbest elektron yoğunluğu oluşturmak için basit bir ifade elde etmemizde bize yardım edebilir. Nc (iletkenlik bandındaki etkin durum yoğunluğu), m∗ (etkin kütle) değerine bağlı olduğu için diğer maddelerden farklıdır.
2.6.2. Boşluk Konsantrasyonu
Valans bandındaki boşluk konsantrasyonu hesaplamak için, valans bandındaki işgal edilen boşluğun olasılığını şöyle yazabiliriz:
( ) = 1 − ( ) =
−
1 + − =
1
1 + − (2.27)
Valans bandındaki boşluk konsantrasyonu şimdi şöyle yazılabilir:
E valans bandının alt seviyesine göre enerjidir. Önceki duruma göre sonraki benzer
varsayım şöyledir. Valans bandındaki fh(E) enerji ile elimizdeki exp[-(EF- E) / kT] den
EF- Ev≫ 3kT ‘ye varılır ve integral sınırımız, Ebot’tan −∞ olarak değiştirilir. Buradan:
= 4 2ℎ ∗ ( − ) − −
=4
ℎ (2 ∗) / − −
( − ) − − (2.29)
elde edilir. Denklem (2.29)’dan termal dengede olduğu gibi, valans bandındaki boşluk konsantrasyonundan:
= − − (2.30)
elde ederiz. Burada:
= 2 2 ℎ∗
ℎ2 (2.31)
ile verilir. NV, valans bandındaki etkin durum yoğunluğudur. p’nin Denklem (2.31)’den
p = NV fh(E) olduğunu anlıyoruz. Bu nedenle Nv; Ev’de bulunması gereken durumların sayısını ifade eder, bu yüzden E = Ev deki boşluk olasılığıyla çarptığımızda, valans bandındaki boşlukların sayısını elde ederiz.
Nc ve Nvifadelerinden her ikisinin de sıcaklıkla arttığı görülebilir. Çünkü m∗ ve m∗ da olduğu gibi aynı değere sahip olmadığı için Nc ve Nvaynı mertebede olmasına rağmen eşit değildir.
Bazı yarıiletkenler için belirli bir sıcaklıkta Nc ve Nv sabitlerini verelim: 300 oK oda sıcaklığında silisyum için Nc= 2,8 10 ve Nv= 1,02 10 .
2.6.3. Elektron ve Boşluk Konsantrasyonunun Karşılaştırılması
Yarıiletkenlerde, elektronlar ve boşluklar genellikle serbest elektrik yükü taşıyıcıları veya basitçe taşıyıcılar olarak adlandırılır (Dikici, 1993). Bunun sebebi elektrik akımının elektronlar ya da boşluklar tarafından sağlanmasıdır.
Birim hacimdeki taşıyıcıların sayısı, yarıiletkenin önemli bir özelliğidir ve onun elektriksel iletkenliğini tayin eder. Bu yüzden, yasak enerji aralığına bağlı olarak, hakiki taşıyıcıların konsantrasyonunu bulmak gerekmektedir. Yarıiletkenlerde, yasak enerji aralığı metallerde bulunmayan bazı karışıklıklara sebep olmakta ise de her denge sıcaklığında bir tek enerji dağılımı ve Fermi enerjisi bulunduğu kabul edilir.
sıcaklığındaki bir sistemde, enerjisi olan bir seviyenin bir elektron tarafından işgal edilme ihtimali, Fermi-Dirac dağılım fonksiyonu:
( ) = ( )/(1 )+ 1 (2.32)
ile verilir.
Denklem (2.32)’den de görülebileceği gibi, sıcaklık yükselirken Fermi enerjisi ’nin altındaki işgal edilmeyen bölge giderek büyümekte Şekil 2.6, yani yüksek enerjili durumların elektronlar tarafından işgali sıcaklığa bağlı olarak artmaktadır. Sıcaklıktaki artma, sistemin enerjisini bir bütün olarak artırmaktadır. Yine, Denklem (2.32)’den, sıcaklık ne olursa olsun; E=EF Fermi enerjisinde f(E)= 1/2 ‘dir. Bu ise Fermi seviyesinin bir elektron tarafından işgal edilme ihtimalinin her zaman 1/2 olduğunu gösterir (Dikici, 1993).
Has yarıiletkenlerde elektronların ve boşlukların konsantrasyonlarının çarpımı:
= . = − − (2.33)
= − (2.34)
konsantrasyonlarının çarpımı sabittir ve has yük taşıyıcılarının konsantrasyonunun karesine eşittir. Denklem (2.34) kütle hareketi kanunu olarak tanımlanır (Cafer, 2000). Denklem (2.34)’den has yük taşıyıcılarının konsantrasyonu:
= − 2 (2.35)
şeklinde yazabiliriz. n ve p ifadelerinden Ncve Nv‘yi yerine koyarsak:
= 2 2 ℏ /
∗ ∗ /
exp − 2 (2.36)
olarak ifade edilebilir. Böylece yozlaşmamış has yarıiletkenlerde yük taşıyıcılarının konsantrasyonu,
sıcaklık
yasak bant aralığı
elektronların ve boşlukların etkin kütlesine bağlıdır.
Has yarıiletkenlerde yük taşıyıcılarının konsantrasyonunun sıcaklıkla değişimi ölçümlerinden, Denklem (2.36) kullanılarak yarıiletkenin yasak bant aralığı Eg bulunabilir. Has yarıiletkenlerde yük taşıyıcılarının meydana gelmesi, kristalde kimyasal bağların kopması ve eşit sayılı elektron ve boşlukların jenerasyonuna bağlıdır. Bu nedenle has yarıiletkenlerde Fermi enerjisinin (veya Fermi seviyesinin) enerji bant diyagramındaki yeri, elektronların iletim bandındaki konsantrasyonları ve deliklerin valans bandındaki konsantrasyonları eşitliğinden (elektriksel nötrallik şartından) bulunur.
Denklem (2.37)’de Denklem (2.25) ve Denklem (2.30) yerlerine yazılırsa:
− − = − − (2.38)
= − − − − (2.39)
ve Denklem (2.39)’un logaritması alınırsa:
= 2 +12 (2.40)
elde edilir. Elektronların ve boşlukların etkin durum yoğunlukların ifadelerini Denklem (2.26) ve Denklem (2.31), Denklem (2.40)’ta yerlerine yazıldığında EFifadesi:
= 2 +34
∗
∗ (2.41)
şeklinde elde edilir. Denklem (2.41) has yarıiletkenlerde Fermi düzeyinin (veya seviyesinin), sıcaklıkla, elektronların ve boşlukların etkin kütleleri ile değiştiğini göstermektedir Şekil 2.16. Mutlak sıfırda (T→ 0) Fermi seviyesi yasak bandın tam ortasına (EF= Eg/2) yerleşmektedir.
Sıcaklık arttıkça Fermi seviyesi iletim bandına yaklaşır (m∗ < ∗)veya valans bandına yaklaşır (m∗ >m∗). Eşit değerlikli elektronların ve boşlukların etkin kütlesi için (m∗ =m∗), Fermi seviyesi, sıcaklık arttıkça yasak bandın ortasında kalmaktadır.
Eğer Fermi seviyesi, iletim bandının dibinden veya valans bandının tavanından (2 − 3)
kT’den daha uzak mesafede bulunursa yarıiletken bu durumda yozlaşmış yarıiletken
Şekil 2.11. Has yarıiletkende Fermi seviyesinin sıcaklıkla değişimi (Cafer, 2000) Şekil 2.11’de yarıiletken yasak bant genişliğinin Eg = Ec − Ev sıcaklıkla değişmediği gösterilmektedir (Eg= sabit). Gerçekte sıcaklık arttıkça yarıiletkenin örgü parametresi de büyümektedir ve bu nedenle yasak bant aralığı sıcaklıkla değişmektedir Eg(T).
Şekil 2.12. Yarıiletkenin yasak bant aralığının sıcaklıkla değişimi (Cafer, 2000)
Yarıiletkenlerin çoğunluğunda, sıcaklık arttıkça yasak bant aralığı lineer olarak küçülmektedir Şekil 2.12.
( ) = − (2.42)
Burada Egomutlak sıfırdaki (T = 0) yasak bant aralığıdır ve (eV/derece) yasak bandın sıcaklıkla değişim katsayısıdır.
Yasak bant aralığının sıcaklıkla değişimini Denklem (2.42)’de hesaba katarsak, has yük taşıyıcılarının konsantrasyonun ifadeleri Denklem (2.35) ve Denklem (2.36)
= − 2− (2.43) veya = 2 2 ℏ / ∗ ∗ / exp − − 2 (2.44)
şekline dönüşür. Eğer yarıiletkenin yasak bant aralığı büyükse Eg≫ kT, bu durumda yük taşıyıcılarının sıcaklıkla değişimi Denklem (2.44)’ten görüldüğü gibi esasen exponansiyel terimle belirlenmektedir. Burada:
EF= yarıiletkenin Fermi enerji seviyesi
Eg= yarıiletkenin yasak enerji aralığı
k = Boltzman sabiti T = sıcaklık
m∗ = elektronun etkin kütlesi
m∗ = boşluğun etkin kütlesi
Ego= mutlak sıfırdaki yasak bant aralığı
= yasak bantın sıcaklıkla değişim katsayısıdır.
Çizelge 2.3’te bazı yarıiletkenler için elektron ve boşlukların etkin kütleleri verilmiştir.
Çizelge 2.3. Si, GaAs ve InP yarıiletkenlerinin etkin kütleleri (Yariv, 1982)
Yarıiletken m∗/m0 m∗/m0
Si 1.08 0.811
GaAs 0.067 0.47
InP 0.075 0,56
konsantrasyonu Çizelge 2.4’te listelenmiştir.
Çizelge 2.4. Oda sıcaklığında bazı yarıiletkenler için bant aralığı ve katkısız taşıyıcı konsantrasyonları (Dasgupta, 2004)
Yarıiletken Bant aralığı Ee(eV) Katkısız taşıyıcı konsantrasyonu n (cm-3)
Indiyum Arsenit 0,35 1,3 10
Germanyum 0,66 2,3 10
Silisyum 1,12 1,5 10
Indiyum Fosfit 1,34 1,2 10
Galyum Arsenit 1,42 1,8 10
Katkısız taşıyıcı konsantrasyonu, sıcaklık ve yasak bant aralığı arasındaki bağlantıyı aşağıdaki formül ile de ilişkilendirebiliriz (Dikici, 1993).
− 2 (2.45)
Sonuçta, neredeyse doğadaki maksimum seviyesine kadar artarak ‘nin sıcaklıkla çok hızlı yükseldiğini görürüz.
Sıcaklığın artmasıyla birlikte daha çok bant daha fazla serbest taşıyıcının kırılmasına yol açar. Şekil 2.13’te Si ve GaAs için sıcaklıkla ni’nin değişkenini gösterir. Ayrıca Şekil 2.14, Şekil 2.15 ve Şekil 2.16’da GaAs, InP ve Si için katkısız taşıyıcı konsantrasyonlarının sıcaklığa bağlılığı verilmektedir.
Şekil 2.13. Si ve GaAs için katkısız taşıyıcı konsantrasyonlarının sıcaklığa bağlı fonksiyon grafiği (Singleton, 2004)
Şekil 2.14. GaAs için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği (Shur, 1990)
Şekil 2.15. InP için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği (Shur, 1990)
3. MATERYAL ve METOD
Bilim dünyasına Kuantum Fiziği’nin girmesi var olan pek çok problemin çözümüne ışık tutmuştur. Kuantum istatistiksel yaklaşımlarla elektronların çoğu davranışlarını açıklayabiliyoruz. ½ spine sahip parçacıkların yani fermiyonların belirli etkiler altındaki davranışlarını Fermi-Dirac istatistiği başarılı bir şekilde açıklayabilmektedir. Kuantum istatistiksel yaklaşımlarından biri olan Fermi-Dirac istatistiği ile elde edebileceğimiz çözümler; manyetik moment, toplam enerji, malzemelerdeki elektron yoğunluğu vb. gibi çoğu özelliği teorik olarak elde edebilmektedir. Çeşitli kaynaklarda bu yaklaşımın çözümü için farklı teoriler geliştirilmiştir (Abidi ve Mohammad, 1984; Lukyanov, 1995; Sommerfeld,1928; Glasser, 1964; Selvakumar, 1982; Kiess, 1987; Gong, 1991; Goano, 1993). Bunun yanı sıra Fermi-Dirac fonksiyonlarının çözümü için basit analitik ifadeler bulunamamıştır. Yaptığımız çalışmada amacımız, yarıiletkenlerde iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonu bulunmasında kullandığımız Fermi-Dirac fonksiyonu için çeşitli formüller ile analitik bir ifade elde etmektir.
Şimdiye kadar ki tartışmalara dayanarak iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonu için bir ifade yazarsak,
= ( ) ( ) (3.1)
Burada; =iletkenlik bandının en üst enerjisidir.
( ) = 4 2 ∗
ℎ ( − ) / → ≥ (3.2)
( ) = 1
1 + − (3.3)
Denklem (3.1)’de Denklem (3.2) ve Denklem (3.3) yerlerine yazılırsa;
= (4 2 ∗/ℎ ) / ( − ) /
yaklaşımlar üretilmiştir:
i. Varsayalım ki Ec−Ev≫ 3 kT. Oda sıcaklığında kT = 0,026 eV olduğunda normal katkılama seviyesi için iyi bir yaklaşımdır. İletkenlik bandındaki her E enerji seviyesi için Ec−Ev≫ 3kT olduğundan bu kullanılır. Denklem (3.3)’ten verilen
f(E), f(E)=exp [−(E−EF)/kT] yaklaşımı alınabilir. Başka bir deyişle Fermi-Dirac dağılımı Boltzman dağılımına yaklaşabilir. Ancak unutmamak gerekir ki, yarıiletken çok aşırı derecede bozulmuş (katıdan sıvıya doğru akış) olabilir. EF ile Ecbirbirine çok yakındır ve bu yaklaşım geçerli olmayabilir.
ii. Genellikle iletkenlik bandının genişliği birkaç elektron volttur. Ancak, sıkıca kapatılan iletkenlik bandındaki elektronların birçoğunda Ec bandından elektron doluluk oranı hızla sıfıra yaklaşır. Bu yüzden Denklem (3.4) integralinin üst limiti hiçbir doğruluk kaybı olmaksızın değişebilir ve şu şekilde düzenlenebilir:
= 4 2 ∗
ℎ ( − ) −
−
= 4ℎ (2 ∗) / − − ( − ) − − (3.5)
Denklem (3.5)’in çözümü için aşağıdaki düzenlemeyi yapalım. Denklem (3.5)’teki integral ifadesini I olarak aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:
( , , ) = ( − ) − − (3.6)
Denklem (3.6)’yı Denklem (3.5)’te yerine yazabiliriz:
integralinin analitik çözümü için aşağıdaki değişkenleri uygulayalım:
− = ve =
( , , ) = ( ) −
=12 √ ( ) (3.8)
olarak bulunur. Şimdi elektron konsantrasyonu ifadesini hatırlayalım:
=4ℎ (2 ∗) − − ( , , )
şeklindedir. İntegral sonucumuzu yerine yazalım:
= 4ℎ (2 ∗) − − 1
2 √ ( ) (3.9)
Denklem (3.9) iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonunu bulmak için kullanacağımız analitik formüldür.
4. BULGULAR
Galyum Arsenit (GaAs), Indium Fosfit (InP) ve Silisyum (Si) yarıiletkenleri için Denklem (3.9)’u kullanarak aşağıdaki sonuçları elde ettik. Farklı sıcaklık değerlerinde
GaAs, InP ve Si sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafikleri Şekil 4.1
Şekil 4.2 ve Şekil 4.3’teki grafikleri elde ettik.
Çizelge 4.1. GaAs yarıiletkeni için oda sıcaklığında elektron konsantrasyonu Sıcaklık (K) Hesaplanan Diğer çalışmalar
300 2.14x106 cm-3 2.1x10
6 cm-3(Madelung, 2003)
2.03x106cm-3(http://ecee.colorado.edu/) 2.23x106 cm-3(Shur, 1990)
1.79x106 cm-3(www.siliconfareast.com/)
Çizelge 4.2. InP yarıiletkeni için oda sıcaklığında elektron konsantrasyonu Sıcaklık (K) Hesaplanan Diğer çalışmalar
300 1.28x107 cm-3 3.3x107 cm-3(Madelung, 2003) 1.3x107cm-3 (www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/InP/bandstr.htm l#Basic) 1.2x107cm-3 (http://www.ee.washington.edu/people/faculty/lin_lih /EE485Au10/Semiconductor%20optics.pdf)
Çizelge 4.3. Si yarıiletkeni için oda sıcaklığında elektron konsantrasyonu Sıcaklık (K) Hesaplanan Diğer çalışmalar
300 8.82x109cm-3
8.81x109 cm-3(http://ecee.colorado.edu/) 1.02x1010cm-3(Madelung, 2003)
1.14x1010cm-3(www.siliconfareast.com/) 1.50x1010cm-3(Smith, 1987)
Şekil 4.1. GaAs için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği
Şekil 4.2. InP için sıcaklığa bağlı katkısız taşıyıcı konsantrasyonu grafiği
= 1.42 = 8.617 10 / = 1.38 10 / ∗ = 0.045 ∗ = 0.066 ∗ = 9.31 10 = 2 +34 ∗ ∗ = 1.42 2 + 3 4 0.026 0.45 0.066 = 0.746 − = 1.42 − 0.746 = 0.674 − = 0.674 = . = 4.98 10 =4ℎ (2 ∗) − − 1 2 √ ( ) = 4 (6.626 10 ) (2 9.11 10 ) . 1 2 √ (0.026) = 2.14 10 = 2.14 10
5. SONUÇ ve TARTIŞMA
Tez konumuz gereği amacımız, bazı yarıiletkenlerin iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonunu, Fermi-Dirac yaklaşımını kullanarak hesaplamaktır. Fermi-Dirac fonksiyonları ile ilgili yapılan birçok çalışmaya rağmen Fermi-Dirac fonksiyonlarının analitik değerlendirilmesi fiziğin temel problemlerdendir. Bu çalışmamızda Fermi-Dirac fonksiyonundan analitik ifadeler elde ettik. Elde ettiğimiz analitik ifadeleri kullanarak Mathemeatica 7.0 programı aracılığıyla GaAs, InP ve Si için oda sıcaklığında ayrı ayrı iletkenlik bandındaki elektron konsantrasyonlarını hesapladık. Hesapladığımız değerleri Çizelge 4.1, Çizelge 4.2 ve Çizelge 4.3’te verdik. Elde edilen değerleri literatürdeki değerlerle karşılaştırdık. Daha sonra farklı sıcaklık değerleri için çözümler yaptık. Elde ettiğimiz veriler ile sıcaklığa karşı elektron konsantrasyonu grafiklerini çizdik. Sonuçlarımızın literatürdeki değerlerle uyumlu olduğunu gördük.
KAYNAKLAR
Abidi, S.T., ve Noor Mohammad S., 1984. J. Appl. Phys. 56, 334.
Anonim, 2011. Fermi-Dirac İstatistikleri. http://tr.wikipedia.org/wiki/Fermi-Dirac_istatistikleri (10.04.2011).
Anonim, 2004. Properties of Si, Ge, and GaAs at 300K. http://www.siliconfareast.com /sigegaas.htm (16.08.2011).
Antognetti, P. And Massobrio, G., 1988. Semiconductor Devices Modeling with Spice. McGraw-Hill Book Company, 384, USA.
Balkanski, M. and Wallis, R., 2000. Semiconductor Physics and Applications. Oxford University Press, 487 p, New York.
Brian, R., Richard A., Soref, Jesus, A., Del Alamo, 1990. Carrier-Induced Cahange in Refractive Index of InP, GaAs, and InGaAsP. Ieee Journal of Quantum Electironics, Vol (26), 113-122.
Cafer, T., 2000. Katıhal Elektroniği. Yıldıztenik Üniversitesi Basım-Yayım Merkezi, 234 s, İstanbul.
Dasgupta, N., and Dasgupta, A., 2004. Semiconductor Devices Moddelling and Technology. Prentice-Hall of India Privite Limeted, 360 p, New Delhi.
Davies, P., 1992. Quantum Mechanics. Chapman and Hall, 139 p, London.
Dikici, M., 1993. Katıhal Fiziğine Giriş. Ondokuz Mayıs Üniversitesi Yayınları, 275 s, Samsun.
Glasser, M.L., 1964. Note on the Evaluation of Some Fermi Integrals. J.Math. Phys., 5, 1150.
Guseinov, I.I., ve Mamedov, B.A., B., 2009. Unified Treatment for Accurete and Fast Evulation of the Fermi-Dirac Function. Chin.Phys.B., 19 (5), 1-6.
Goano, M., 1993. Series expansion of the Fermi-Dirac integral Fj(x) over the entire domain of real j and x. Solid-State Electron, 36, 217.
Gong, H. V., 1991. New series representation of Fermi-Dirac integral Fj(− ∞ < a ∞) for arbitrary j > −1, and its effect on Fj(a 0+) for integer j 0. Solid-State Electron, 34, 489.
Hamaguchi, C., 2005. Basic Semiconductor Physics. Springer, 450, New York, USA. Kasap, O., 2002. EE485 Introduction to Photonics. Washington, http://www.ee.washing
ton.edu/people/faculty/lin_lih/EE485Au10/Semiconductor%20optics.pdf (02.06.2011).
Kiess, E., 1987. Evaluation of chemical potential and energy for an ideal Fermi–Dirac gas. Am. J. Physics, 55, 1006.
Kittel, C., 1996. Katıhal Fiziğine Giriş, Çev: Karaoğlu, B., Güven Kitap Yayın Dağıtım, 433 s, İstanbul.
Lukyanov, V. K., 1995. A useful expansion of the Fermi function in nuclear physics. Am. J. Physics, G 21, 145.
Madelung, O., 2003. Semiconductors Data Handbook. Springer, 691, New York USA. Singleton, J., 2004. Band Theory and Electronic Properties of Solids. Oxford University
Press, 222 p, New York.
Selvakumar, C. R., 1982. Approximations to Fermi-Dirac integrals and their use in device analysis. Proc. IEEE, 70, 516.
Smith, J. and Dorf, R., 1987. Circuts, Devices and Systems. John Wiley and Sons, Inc, 868 p, Canada.
Shur, M., 1990. Physics of Semiconductor Devices, Prentice Hall.
Sommerfeld, A.,1928. Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik I. Teil: Allgemeines, Strömungs- und Austrittsvorgänge. Z.Physics, 47,1.
Turton, R., 2007. Katıların Fiziği. Çev: Yoğurtçuoğlu, Y., Aktif Yayınevi, 429 s, İstanbul.
Yariv, A., 1989. Quantum Electronics. John Wiley and Sons, Inc, 475 p, Singapore. Yariv, A., 1982. Theory and Aplications of Quantum Mechanics. John Wiley and Sons,
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Adı Soyadı : Ali Turabi YURDUNGÜZELİ Doğum Tarihi ve Yeri : 11.08.1983 / Niksar
Medeni Hali : Bekar Yabancı Dili : İngilizce Telefon : 0533 684 94 54
e-mail : aliturabiyurdunguzeli@gmail.com
Eğitim
İş Deneyimi
Derece Eğitim Birimi Mezuniyet Tarihi
Yüksek Lisans Gaziosmanpaşa Üniversitesi 2011 Lisans Gaziosmanpaşa Üniversitesi 2009 Lise Gazi Osman Paşa Lisesi(Yabancı Dil Ağırlıklı) 2002
Yıl Yer Görev
2010-2011 Final Dergisi Dershanesi (Tokat) Fizik Öğretmeni 2009-2010 Final Dergisi Dershanesi (Tokat) Fizik Öğretmeni
