Fark dizilerinin kaba yakınsaklığı ve kaba istatistiksel yakınsaklığı

T.C.

NECMETTİN ERBAKAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FARK DİZİLERİNİN KABA YAKINSAKLIĞI VE KABA İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

Nihal DEMİR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı

Haziran-2019 KONYA Her Hakkı Saklıdır

TEZ BİLDİRİMİ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

Nihal DEMİR Tarih: 13.06.2019

iv ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FARK DİZİLERİNİN KABA YAKINSAKLIĞI VE KABA İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

Nihal DEMİR

Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Hafize GÜMÜŞ 2019, 41 Sayfa

Jüri

Doç. Dr. Hafize GÜMÜŞ Doç. Dr. Sermin ÖZTÜRK Dr. Öğr. Üyesi Ayşegül KETEN

Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm literatür bilgisini içeren giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, tez için gerekli olan temel tanım ve teoremlerden söz edilmiştir. Üçüncü bölümde fark dizilerinin kaba yakınsaklığı tanımlanmış, kaba limit noktaları kümesinin kapalılık, konvekslik gibi temel özelliklerini içeren teoremler verilmiştir. Aynı zamanda kabalık derecesine göre değişimin nasıl olacağı ve kaba Cauchy dizileri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, fark dizileri için kaba istatistiksel yakınsaklık tanımlanmış ve bu yeni yakınsaklık türü ile ortaya çıkan teoremler elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Fark dizileri, kaba yakınsaklık, Cauchy dizisi, kaba istatistiksel yakınsaklık.

v ABSTRACT MS THESIS

ROUGH CONVERGENCE AND ROUGH STATISTICAL CONVERGENCE OF DIFFERENCE SEQUENCES

Nihal DEMİR

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF NECMETTİN ERBAKAN UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF MATHEMATICS Advisor: Assoc. Prof. Dr. Hafize GÜMÜŞ

2019, 41 Pages Jury

Assoc. Prof. Dr. Hafize GÜMÜŞ Assoc. Prof. Dr. Sermin ÖZTÜRK

Assist. Prof. Dr. Ayşegül KETEN

This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction of literature. In the second chapter, the basic definitions and theorems necessary for the thesis are mentioned. In the third chapter, the rough convergence of a difference sequence is defined and the theorems containing the basic properties of the rough limit point set such as closed and convexity are given. At the same time, how the change according to the degree of roughness and also rough Cauchy sequences were examined. In the fourth chapter, rough statistical convergence was defined for the difference sequences and the theorems which emerged with this new type of convergence were obtained.

Keywords: Difference Sequences, rough convergence, Cauchy sequence, rough statistical convergence.

vi ÖNSÖZ

Bu çalışma, Necmettin Erbakan Üniversitesi, Ereğli Eğitim Fakültesi, Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Bölümü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. Dr. Hafize GÜMÜŞ yönetiminde hazırlanarak Necmettin Erbakan Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Yüksek lisans eğitimim boyunca beni yönlendiren, çalışmamın her aşamasında ilgi ve yardımlarını esirgemeyerek bana destek olan değerli danışman hocam Doç. Dr. Hafize GÜMÜŞ’ e ve hayatımın her alanında yanımda olan sevgili Aileme saygılarımı ve sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Nihal DEMİR KONYA-2019

vii İÇİNDEKİLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi İÇİNDEKİLER ... vii

SİMGELER VE KISALTMALAR ... viii

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR ... 6

3. FARK DİZİLERİNİN KABA YAKINSAKLIĞI ... 10

3.1. Kaba Yakınsaklığın Diğer Yakınsaklık Türleri İle İlişkisi ... 16

3.2. Kabalık Derecesine Bağlılık ... 20

3.3. Kaba Fark Cauchy Dizileri ... 23

4. FARK DİZİLERİNİN KABA İSTATİSTİKSELYAKINSAKLIĞI ... 29

5. SONUÇ VE ÖNERİLER... 38

KAYNAKLAR ... 39

viii

SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler

 : Doğal Sayılar Kümesi

 : Reel Sayılar Kümesi



X d ,



: Metrik uzay



X, 



: Normlu uzay ( )

d K : K kümesinin doğal yoğunluğu

A

 : A kümesinin karakteristik fonksiyonu

K : K kümesinin eleman sayısı

S : İstatistiksel yakınsak diziler kümesi

0( )

c  : Sıfıra yakınsak fark dizileri kümesi ( )

c  : Yakınsak fark dizileri kümesi ( ) l_  : Sınırlı diziler kümesi * r i x x

  :

 

x_i dizisi x ’a kaba yakınsaktır. _*

* st r i

x  x

  :

 

x_i dizisi x ’a kaba istatistiksel yakınsaktır. _*

r i

LIM x :

 

x_i dizisinin r- limit noktaları kümesi

diam( r

i

LIM x ) :

 

x_i dizisinin r-limit noktaları kümesinin çapı

 

* r

B x : x merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar _*

 

 : sayısının tam kısmı

x

C_ :

 

x_i dizisinin tüm yığılma noktaları kümesi





int r

i

LIM x : r

i

LIM x kümesinin iç notaları kümesi

c

K : K kümesinin tümleyeni

( )

cl A : A kümesinin kapanışı

r : ryakınsak dizinin en küçük yakınsaklık derecesi

x 

 :

 

 dizisinin tüm istatistiksel yığılma noktalarının kümesi x_i Kısaltmalar

1. GİRİŞ

Bir dizinin yakınsaklığı kavramının, matematikteki en temel kavramlardan birisi olduğu tartışılmazdır. Yakınsaklık şartını sağlayan diziler kadar, bu şartı sağlamayan dizilerin de matematikteki yerlerini belirlemek oldukça önemlidir. Yakınsak olmadığı halde belirli şartlar altında yakınsaklık kavramına benzer özellikler gösteren dizilerin varlığı, farklı yakınsaklık türlerinin doğmasına sebep olmuştur. Bunlardan birisi de 2001 yılında Phu tarafından sonlu boyutlu uzaylarda tanımlanmış olan kaba yakınsaklık kavramıdır (Phu, 2001). Bu fikre göre, yakınsaklık aralığını bir r0 sayısı ile genişleterek dizinin kaba yakınsaklığı elde edilebilir.



X, 



bir normlu uzay, r negatif olmayan bir reel sayı ve

 

x dizisi X uzayında bir _i dizi olsun. Eğer   0 sayısına karşılık i i olduğunda, _

i

x x_   r  (1.1)

olacak şekilde bir i_ sayısı bulunabilirse veya buna denk olarak,

lim sup _i

i

x x_ r

   (1.2)

şartı sağlanıyorsa

 

x dizisi x_{i } noktasına kaba yakınsaktır veya kısacaX r yakınsaktır denir. Bu durum i  iken x_i biçiminde gösterilir. Burada r x_ r sayısı dizinin kabalık derecesini belirtir. Tanıma dikkat edildiğinde, r0 durumu için bilinen anlamda yakınsaklığın elde edildiği görülür. Dolayısıyla bu tez çalışmasında r0 durumu ele alınacaktır. O halde yakınsaklık ve kaba yakınsaklık arasındaki ilişki şu şekilde açıklanabilir: Yakınsak her dizi kaba yakınsaktır fakat kaba yakınsak bir dizi yakınsak olmayabilir.

Kaba yakınsaklık kavramının oldukça ilgi çekici olmasının sebeplerinden birisini şu şekilde açıklamak mümkündür. y_i  x_* yakınsak dizisinin terimlerini kesin olarak belirlemek mümkün olmayabilir. Bu nedenle, bu dizi yerine daha kolay işlem yapmayı sağlayacak ve

i i

x y  şartını sağlayan bir r

 

x yaklaşım dizisinden yararlanmak tercih edilir. Burada _i r sayısı, yaklaşım hatasının bir üst sınırı olarak adlandırılır.

Kabul edelim ki

 

y dizisi x_{i } sayısına yakınsak ve her iN için x_iy_i  şartını r sağlayan herhangi bir dizi,

 

x ise tüm terimleri belirlenemeyen bir dizi olsun. Burada _i r negatif olmayan bir reel sayıdır. Bu durumda

 

x dizisinin yakınsak olup olmadığını _i belirlemek mümkün değildir fakat,

i i i i i

olduğundan bu dizinin kaba yakınsak olduğu görülebilir. (Phu, 2001)

Benzer durumu Cauchy dizileri için de söylemek mümkündür. Terimleri kesin olarak belirlenemeyen bir

 

y Cauchy dizisi ele alınsın. Her i için _i

2

i i

x y   olacak şekilde bir

 

x yaklaşım dizisi düşünüldüğüde, i

 

x dizisinin klasik Cauchy şartını sağlamadığı fakat i

0, i i j i : ,  xi xj

  

        (1.4)

olması sebebiyle kaba Cauchy şartını sağladığı görülür.

 

x sonlu boyutlu _i ,



X, 



normlu uzayında kaba yakınsak bir dizi ve r negatif olmayan bir reel sayı olmak üzere, her r 0 sayısı için farklı bir x_ noktası elde edilir. Yani

 

x dizisinin i r limit noktası olarak adlandırılan bu nokta tek değildir. O halde bu noktaların

meydana getirdiği bir kümeden bahsedilebilir. Bu küme x dizisinin rlimit noktaları kümesi olarak adlandırılır ve r

i

LIM x ile gösterilir. Buna göre,



:



r r

i i

LIM x  x_X x x_ (1.5)

şeklindedir. Bu tanım göz önüne alındığında, eğer r

i

LIM x   ise

 

x dizisinin _i ryakınsak olduğu söylenebilir. Bu çalışmasının ardından, Phu kaba yakınsaklık kavramını bu kez sonsuz boyutlu normlu uzayda tanımlayarak daha genel hale getirmiştir. (Phu, 2003)

Klasik anlamdaki yakınsaklık kavramına daha genel bir bakış açısı kazandıran yakınsaklık türlerinden birisi de istatistiksel yakınsaklık kavramıdır. Temeli pozitif tam sayıların doğal yoğunluğu kavramına dayanan istatistiksel yakınsaklık, 1951 yılında reel sayı dizileri için Fast (1951) ve Steinhaus (1951) tarafından birbirinden bağımsız olarak tanımlanmıştır. Ayrıca bu kavramı, Schoenberg (1959) ve Buck (1953) reel ve kompleks dizileri için çalışmışlardır. Son yıllarda oldukça popüler olan istatistiksel yakınsaklık, birçok matematikçi tarafından farklı alanlarda sıkça kullanılmıştır. Bu uygulamalardan bazıları, sayılar teorisi (Erdös ve Tenenbaum, 1989), trigonometrik seriler (Zygmund, 1979), toplanabilme teorisi (Freedman ve Sember, 1981) , ölçüm teorisi (Miller, 1995), lokal konveks dizi uzaylarında istatistiksel yakınsaklık (Maddox, 1988) olarak verilebilir.

Yoğunluk kavramı, oldukça geniş bir kavram olup, doğal yoğunluk (asimptotik yoğunluk), düzgün yoğunluk, rasyonel ve reel sayıların yoğunluğu, oran kümelerinin yoğunluğu gibi birbirinden çok farklı şekilde tanımlanmıştır. Bu yoğunluk tanımlarından birisi olan doğal yoğunluk, istatistiksel yakınsaklığın da temelini oluşturacak olan kavramdır.

, doğal sayılar kümesi veK _ olsun. K ifadesi, K kümesinin eleman sayısını göstermek üzere,



:



i i K  i n i K (1.6) olduğunda 1 ( ) lim _i i d K K i   (1.7)

ifadesine K kümesinin doğal yoğunluğu denir. Eğer K kümesi sonlu elemanlı bir küme ise ( ) 0

d K  olacağı açıktır. Bu tez çalışmasında, istatistiksel yakınsaklık tanımı gereğince, doğal yoğunluğu sıfır olan kümelerle çalışılacaktır. Bu çalışmalar esnasında kullanacağımız diğer bir notasyon da, bir P özelliğinin hemen hemen her i K için sağlanması notasyonu olacaktır. Eğer x

 

x_i dizisi, indisleri kümesinin doğal yoğunluğu sıfır olan i elemanları haricinde diğer tüm i elemaları için herhangi bir P özelliğini sağlıyorsa, x

 

x_i dizisi "hemen hemen her i için P özelliğini sağlar" denir ve (h h i. . .) şeklinde yazılarak kısaltılır. Bu tanımlar ışığında, istatistiksel yakınsaklık kavramı şu şekilde tanımlanabilir:

 

i

x x reel ya da kompleks terimli bir dizi olsun. Eğer her  0 için 1

lim { : _i 0

n n i n x   L  (1.8)

veya bir başka ifadeyle x L_i   ( . . .)h h i olacak şekilde bir L sayısı bulunabiliyorsa bu durumda x dizisi L sayısına "istatistiksel yakınsaktır" denir ve stlimx_i  ile gösterilir. L Bu ifadeyi anlamaya yönelik aşağıda bir örnek verilmiştir.

 

i

x x dizisinin genel terimi

2 2 1, 0, i i m x i m     _  (1.9)

şeklinde tanımlansın. Bu durumda dizinin elemanları

  

x_i  1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0...



şeklindedir. Buna göre,



: i 0



A  i N x   =



1,4,9,...



(1.10)

olup bu kümenin doğal yoğunluğu sıfırdır. Çünkü,





1 0 lim : 0 lim n 0 i n n n i n x n      (1.11)

İstatistiksel yakınsaklığın tanımından da anlaşılacağı üzere, eğer x dizisi bir L sayısına istatistiksel yakınsak ise, bu durumda L sayısının herhangi bir   0 komşuluğunda dizinin sonsuz çoklukta elemanı bulunurken; bu komşuluğun dışında da, indis kümesinin yoğunluğu sıfır olmak koşuluyla, sonsuz çoklukta terim bulunabilir. Bu durum istatistiksel yakınsaklığın bilinen anlamdaki yakınsaklıktan daha genel olduğunu göstermektedir. O halde, yakınsak her dizinin aynı zamanda istatistiksel yakınsak olduğu çıkarımı da yapılabilir. Bu ifadenin tersinin her zaman doğru olacağını söylemek mümkün değildir. Öyle ki, yukarıda ele alınan örnek bu durumu ispatlar niteliktedir. Çünkü örnekteki x dizisinin istatistiksel yakınsak olduğu halde yakınsak olmadığı görülmektedir.

İstatistiksel yakınsaklık kavramının tanımlanmasının ardından, birçok temel kavram bu yakınsaklık türü ile tekrar çalışılmıştır. Bunlardan birisi de limit noktası kavramıdır. Buna göre,

x bir reel sayı dizisi ve L R olmak üzere eğer

 

lim ve 0

n

m

nx L d M  (1.12)

olacak şekilde bir M 



m₁m₂ ...



kümesi varsa, L sayısı x dizisinin istatistiksel limit noktası olarak adlandırılır. (Fridy, 1993)

Bu tez çalışmasının temelini oluşturacak kavramlardan birisi olan fark dizileri, 1981 yılında Kızmaz tarafından x

 

x_i reel sayı dizisi ve iN için   x

  

x_i  x_ix_i1



şeklinde tanımlanmıştır. Kızmaz,

 



 



 



 



 



 



0 : 0 : : i i i c x x x c c x x x c l_ x x x l_                (1.13)

uzaylarını tanımlayarak bu uzayların

1

x _  x  x _ (1.14)

normuna göre bir BK uzay olduklarını ispatlamıştır. Burada, c c ve l₀, _uzayları sırasıyla, sıfıra yakınsak, yakınsak ve sınırlı diziler uzayını göstermektedir. (Kızmaz, 1981) Fark dizileri konusunda temel oluşturan bu kaynağın ardından, Et (1993), Et ve Çolak (1995), Başarır (1995), Et ve Nuray (2001), Gümüş ve Nuray (2011) fark dizileri, genelleştirilmiş fark dizileri ve fark dizilerinin istatistiksel yakınsaklığı ile ilgili çalışmalar yapmışlardır.

 

i

x x bir reel sayı dizisi ve   x

  

x_i  x_ix_i1



olsun.   0 için





1

lim : _i 0

başka bir ifadeyle    x_i L  ( . . .)h h i oluyorsa x dizisi L R sayısına   istatistiksel yakınsaktır denir ve   istatistiksel yakınsak tüm dizilerin kümesi S

 

 ile gösterilir. (Başarır, 1995)

Bu tez çalışmasında kaba yakınsaklık ve fark dizileri ile ilgili daha önce yapılmış olan çalışmalar incelenecek ve kaba yakınsaklık ile kaba istatistiksel yakınsaklık kavramları fark dizileri için çalışılacaktır.

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan tanımlar ve teoremler verilecektir.

Tanım 2.1. (Bir dizinin yakınsaklığı) x₀_ olmak üzere her



0 sayısına karşılık i i ₀

şartını sağlayan i doğal sayıları için x_ix₀  olacak şekilde  ’a bağlı bir i sayısı varsa ₀

 

x _i dizisi x₀ sayısına yakınsaktır denir ve bu durum lim_ixi x0 şeklinde gösterilir. (Yalçınkaya,

2015)

Teorem 2.1. Yakınsak her dizinin limiti tektir. (Yalçınkaya, 2015)

Tanım 2.2. (Alt dizi)

 

x dizisi verilmiş olsun. Her _i j_ için i_j i_j₁ olacak şekilde doğal

sayıların artan

 

i_j dizisini düşünelim. Bu durumda

 

j

i

x dizisine

 

x dizisinin bir alt dizisi _i adı verilir. (Yalçınkaya, 2015)

Teorem 2.2.

 

x dizisi _i x₀ sayısına yakınsıyor ise bu dizinin tüm alt dizileri de aynı x₀ sayısına yakınsar. (Yalçınkaya, 2015)

Tanım 2.3. (Sınırlı Dizi)  i  için x_i  olacak şekilde bir K pozitif reel sayısı varsa K

 

x _i dizisine sınırlı dizi denir. (Yalçınkaya, 2015)

Tanım 2.4. (Yığılma noktası) A_ ve a_ olsun. a noktasının her bir  komşuluğunda A kümesinin a dan farklı en az bir elemanı varsa bu a noktasına A kümesinin bir yığılma noktasıdır denir. (Yalçınkaya, 2015)

Tanım 2.5. (Metrik ve Metrik Uzay) X , boş olmayan bir küme olsun. d : X X _ fonksiyonu x y X,  için,

M1) d x y( , ) 0  x y,

M2) d x y( , )d y x( , ) (simetri özelliği)

M3) d x y( , )d x z( , )d z y( , ) (üçgen eşitsizliği)

şartlarını sağlıyorsa d fonksiyonuna X üzerinde metrik,



X d ikilisine de bir metrik uzay ,



adı verilir. (Bayraktar, 2006)

Tanım 2.6. (Cauchy Dizisi ve bir uzayın tamlığı) X 



X d,



bir metrik uzay ve x

 

x_i bu uzayda bir dizi olsun. Verilmiş herhangi bir  0 için m i i,  olduğunda ₀

( , )_{m i}

olacak şekilde bir i₀ i₀

 

 sayısı varsa

 

x dizisine Cauchy dizisi denir. X deki her Cauchy _i dizisi yakınsaksa



X d metrik uzayına tam metrik uzay denir. (Bayraktar, 2006) ,



Teorem 2.3.



X d bir metrik uzay olsun. Bu takdirde aşağıdaki ifadeler doğrudur. ,



a)



X d de yakınsak her dizi bir Cauchy dizisidir. ,



b)



X d deki her Cauchy dizisi sınırlıdır. ,



c)

 

x ve ( ),_i y_i X uzayında birer Cauchy dizisi ise



d x y( , )_{i i}



reel dizisi yakınsaktır. (Bayraktar, 2006)

Tanım 2.7. (Lineer Uzay) V boş olmayan bir küme ve F , reel sayılar veya kompleks sayılar cismi olsun. Eğer aşağıda verilmiş olan şartlar sağlanıyorsa V ye F üzerinde bir lineer uzay (veya vektör uzayı) denir.

A) V, işlemine göre değişmeli bir gruptur. Yani, G1) Her x y V,  için x y V  dir.

G2) Her x y z V, ,  için x(y z ) ( x y )zdir.

G3) Her x V için x     x x olacak şekilde V vardır.

G4) Her x V için x      olacak şekilde

   

x x x   x V vardır. G5) Her x y V,  için x  y y x dir.

B) x y V,  ve  , F olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır. V1) .x V dir

V2) .



x y



.x.y dir. V3)



 



.x.x.x dir. V4)

 

 .x 

 

x dir.

V5) 1 .F x  x (1F, F nin birim elemandır) (Bayraktar, 2006)

Tanım 2.8. (Norm ve Normlu Uzay) N , bir F cismi üzerinde bir lineer uzay ve . : N  bir fonksiyon olsun. . fonksiyonu x y N,    için aşağıdaki şartları sağlıyorsa bu  F fonksiyona N kümesi üzerinde bir norm fonksiyonu,



N,



ikilisine de bir normlu uzay adı verilir. (Bayraktar, 2006) 1) 0 0 2) 3) (üçgen eşitsizliği) N x x N x x N x y x y          (2.2)

Tanım 2.9. (Maksimum Norm)



_n, .



_{normlu uzayında}





1 2

max , ,..., n

x _  x x x

normuna maksimum norm adı verilir. (Bayraktar, 2006)

Tanım 2.10. (Norm Metriği)



N, .



normlu uzay olsun. ( , )d x y   olarak tanımlanan x y

d metriğine norm metriği denir. (Bayraktar, 2006)

Tanım 2.11. (Banach Uzayı)



N, .



normlu uzayı, norm metriğine göre tam ise bu uzaya

Banach Uzayı denir. Nuzayının normlu reel veya kompleks oluşuna göre Banach uzayına reel

veya kompleks Banach uzayı olarak adlandırılır. (Maddox, 1970)

Tanım 2.12. (BK Uzayı) X uzayı bir Banach uzayı olsun. Eğer her xX ve k 0,1,... için koordinat fonksiyonelleri sürekli ise bu durumda X uzayına BK uzayı adı verilir. Burada koordinat fonksiyonelleri P_k : X C, P x_k

 

 olarak tanımlıdır. (Maddox, 1970) x_k

Tanım 2.13. (  yakınsak diziler uzayı) c, yakınsak diziler uzayı olmak üzere   yakınsak diziler uzayı

 



 

_k :



c   x x   x c (2.3)

olarak tanımlanır. Bu uzay

1

x _  x   x_ (2.4)

normuna göre bir BK uzayıdır. (Kızmaz, 1981)

Tanım 2.14. (Doğal Yoğunluk) AN, nN ve _A fonksiyonu A kümesinin karakteristik fonksiyonu olmak üzere

 

 

1 1 n n A k d A k n   



(2.5) olarak tanımlansın.

 

lim inf _n

 

, ( ) lim sup _n

 

n _n

d A d A d A d A

 _

  (2.6)

sırasıyla A kümesinin alt ve üst doğal yoğunluğu olarak adlandırılır. Eğer

 

( ) lim _n n d A d A   (2.7)

limiti mevcut ise bu limite A kümesinin doğal yoğunluğu denir. (Niven, 1951)

Tanım 2.15. (İstatistiksel Limit) Reel sayıların bir x

 

x_i dizisi verilmiş olsun. A , A kümesinin eleman sayısı ve L R olmak üzere   0 için







: _i



lim 1



: _i



0 n d i n x L i n x L n            (2.8)

oluyorsa x dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir ve stlimxL ile gösterilir. Bu durumda L sayısına x dizisinin istatistiksel limiti adı verilir. İstatistiksel yakınsak tüm diziler kümesi S ile gösterilir. (Fast, 1951)

Teorem 2.4. d fonksiyonu A kümesinin doğal yoğunluğu olmak üzere stlimx L olması için gerek ve yeter şart lim_i yi L ve d n N





 : xi  yi





 olacak şekilde yakınsak bir 0

( )i

y  y dizisinin var olmasıdır. (Fast, 1951)

Tanım 2.16. (İstatistiksel Cauchy Dizisi) Reel sayıların bir x

 

x_i dizisi verilmiş olsun.

0    için







: i N



0 d i N x x   (2.9)

olacak şekilde bir N N

 

 sayısı bulunabilirse x dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir. Teorem 2.5. x bir sayı dizisi olmak üzere, x in istatistiksel yakınsak olması için gerek ve yeter şart x in istatistiksel Cauchy dizisi olmasıdır. (Fridy, 1985)

Tanım 2.17. (İstatistiksel Limit Noktası) x dizisi bir reel sayı dizisi ve L R olmak üzere

lim _i xm_i L ve ( ) 0d M  (2.10)

olacak şekilde bir M 



m₁m₂ ...



kümesi varsa L sayısına x dizisinin istatistiksel limit noktası denir. (Fridy, 1993)

Tanım 2.18. (İstatistiksel Yığılma Noktası)x( )x_i dizisi verilmiş olsun.   0 için







: i



0

d i N x   ise  sayısına x dizisinin istatistiksel yığılma noktası denir. (Fridy,

1993)

Teorem 2.6. Eğer x

 

x_i sınırlı bir sayı dizisi ise bu durumda istatistiksel yığılma noktasına sahiptir. (Fridy, 1993)

3. FARK DİZİLERİNİN KABA YAKINSAKLIĞI

Bu bölümde, sonlu boyutlu bir normlu uzayda kaba yakınsaklık kavramı ve bazı temel özellikleri fark dizileri için çalışılacaktır. Bazı tanımlar, örnekler ve sonuçlar verildikten sonra   kaba yakınsaklık,   kaba limit noktaları ve   kaba yığılma noktaları kavramları tanımlanacaktır.

Tanım 3.1.



X, 



bir normlu uzay, r negatif olmayan bir reel sayı ve

 

x , X uzayında bir _i dizi olsun. x( )x_i dizisi için   x ( x_i) ( x_ix_i1) olmak üzere, eğer   0 için i i _ olduğunda

i

x x_ r 

    (3.1)

olacak şekilde en az bir i_ sayısı bulunabilirse veya buna denk olarak,

lim sup i

i

x x_ r

    (3.2)

koşulu sağlanıyorsa

 

x_i fark dizisi x_ noktasına kaba yakınsaktır veya kısaca r-X yakınsaktır denir.

Kaba yakınsaklık söz konusu olduğunda limit noktaları kümesi söz konusu olacağından fark dizilerinin de rlimit noktaları kümesinden bahsetmek gerekir. Sözü edilen bu küme

r i

LIM x ile gösterilir. Örnek 3.1: 0,5 2( 1) i i y i 

   , i=1,2,… olsun. Bu dizi yardımıyla tanımlanan (x_i) dizisinin yakınsak olup olmadığını söylemek mümkün değildir fakat kaba yakınsak olduğu gösterilebilir.

5 , 0 ) 1 ( 2 5 , 0 lim _      _    _i i i (3.3)

olduğundan bu dizi 0,5 sayısına yakınsaktır. Bunun anlamı şudur ki, yeteri derecede büyük i sayıları için bu dizinin i den sonraki terimlerini tam olarak saymak mümkün değildir. Sadece en yakın sayıya yuvarlanabilir. Eğer zsayısı z0,5   y_i z 0,5 şartını sağlayan bir tam sayı ve  x_i rd y( _i) olarak seçilirse z  değerleri yerine yazılarak elde edilen y_i x dizisi

1 1, 2 2 2,3,... 2j 1, 2j 1 0

x x ve j için x x _

          yani;

  

x_i  1, 2,0,1,0,1,0,1,...



(3.4)

şeklinde olacaktır. Görüldüğü üzere xdizisi yakınsak değildir fakat r0,5 kabalık derecesi için x_*0.5 sayısına kaba yakınsaktır. O halde





, 0,5 1 , , 0,5 r i r LIM x r r r       _{ }  (3.5) şeklindedir. Örnek 3.2. 2, 1, i i tek ise x i çift ise   

 dizisini ele alalım. Bu durumda

   

1

i i

x

   olur. Görüldüğü üzere

 

x_i dizisi yakınsak değildir fakat ryakınsaktır. Çünkü,

*

i i

r  x x r  x

         (3.6)

olmak üzere,

  

x_i  x_2i

 

 1,1,1,...



ise 



0 için





* * * 1 1 1 1 ,1 r x r r x r x r r                      (3.7) ve



x_{2 1i}

 

   1, 1, 1,...



ise 



0 için





* * * 1 1 1 1 , 1 r x r r x r x r r                          (3.8)

elde edilir. Böylece



1 , 1,



11 r i r LIM x r r r       _{   }  (3.9) şeklinde bulunur. Örnek 3.3. x

 

xi ve

 

xi 1 1 i         _{ }  

 olarak tanımlansın.

 

x_i dizisi hem bilinen anlamda yakınsak hem de kaba yakınsaktır. Çünkü,





* * * 1 1 1 1 1 0 0, 1 ,1 i i r x x r x r x r i i için x r r i                                (3.10)

ve böylece    dizisinin x

 

x_i r limit kümesi r



1 ,1



i LIM x  r  şeklindedir.r Sonuç 3.1. r i LIM   x ise



limsup ,liminf



r i i i LIM x   x r   x r (3.11) şeklindedir.

Tanım 3.2. X bir normlu uzay ve S  olsun. X S alt kümesinde tanımlanan rlimit noktaları kümesi,





, * : * r S r i i LIM  x x X  x x (3.12) şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre, , , X r r S r r i i i i

LIM  x LIM x ve LIM   x S LIM x (3.13)

dir.

Bilindiği üzere, klasik anlamda yakınsak bir dizi sınırlıdır, bir tek limite sahiptir ve dizinin her bir alt dizisi aynı noktaya yakınsar. Bu durumların fark dizileri ve kaba yakınsaklık için nasıl karşılık bulacağı aşağıdaki teoremlerde açıklanacaktır.

Teorem 3.1.

 

x_i fark dizisinin rlimit noktaları kümesinin çapı 2r 'den büyük değildir. Genellikle daha küçük bir sınırı yoktur.

İspat: Bu ispat için,



r



2

i

diam LIM x  r (3.14)

olduğu gösterilmelidir.

Kabul edelim ki



r



sup



: , r



2

i i

diam LIM x  y z y z LIM x  r olsun. Bu durumda

: 2

d   y z rkoşulunu sağlayan , r i

y zLIM x elemanları mevcuttur. Keyfi bir



0,2d r



  için, r i yLIM x olduğundan, 1 i_  _vardır ki her 1 i i _ için     x_i y r  (3.15) yazılır. Benzer şekilde, r

i

z LIM x olduğundan,

2

i_

 _vardır ki her i i _2için     x_i z r  (3.16)

olur.





1 2 : , i_ maks i i_{ } seçilirse,





2 2 2 2 i i d y z       x y x z r  r _ r_d   (3.17)

elde edilir ki bu d :  olması ile çelişir. O halde y z



r



2

i

diam LIM x  r olması mümkün

değildir.

Şimdi bu kümenin genellikle daha küçük bir sınıra sahip olmadığını gösterelim. lim x_i x_ olacak şekilde yakınsak bir

 

x_i dizisini ele alalım. B x_r

 

_ , x_ merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar yani

 

:



:



r

olmak üzere y B x _r

 

_ için,

i i i

x y x x_ x_ y x x_ r

           (3.19)

yazılabilir. i  için lim x_i x_ olduğundan yeterince büyük i ler için     olur x_i y  r Bu durum her y için doğru olacağından r

 

i r

LIM x B x_ elde edilir. diamB x_r

 

_ 2r olduğu bilindiğinden bu demektir ki r

i

LIM x kümesinin çapı 2r ’ den küçük alınamaz. Klasik anlamdaki yakınsaklıkta limitin tekliği, yukarıdaki teoremin özel bir hali olarak düşünülebilir. Çünkü r0 ise



r



2 0 i diam LIM x  r (3.20) yani r i

LIM x ya boş ya da tek nokta kümesidir.

Teorem 3.2.

 

x_i dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter şart r i

LIM   x olacak şekilde

bir r0 sayısının var olmasıdır. Aynı zamanda,  r 0 için sınırlı bir

 

x_i dizisi her zaman  _{xi j},

j

r i

LIM    x özelliğini sağlayan bir

 

j

i

x

 alt dizisini içerir. İspat: Kabul edelim ki r

i

LIM   x olsun. Bu durumda, eğer s : sup



xi : i



  ise

s i

LIM x kümesi X ' in orijinini içerir. Diğer yandan, eğer bazı r0 sayıları için r i

LIM   x

ise, tüm sonlu x_i elemanları, yarıçapı r’den daha büyük olan yuvarlar tarafından kapsanır. Dolayısıyla

 

x_i dizisi sınırlıdır.

Şimdi kabul edelim ki

 

x_i sonlu boyutlu bir normlu uzayda sınırlı olsun. Bu durumda yakınsak bir

 

j

i

x

 alt dizisine sahip olduğu açıktır. Bu alt dizinin limit noktası x olsun.

Buradan

 

j r i r LIM  x B x_ ve r0 için

 

,

_

_

: i j j j j x r i i i LIM    x x x x r   (3.21) elde edilir.

Bilindiği gibi, yakınsak bir dizinin her alt dizisi aynı limit noktasına yakınsar. Aşağıdaki teorem bu özelliğin kaba yakınsak fark dizileri için de benzer şekilde olacağını gösterir. Teorem 3.3.

 

j

i

x

 ,

 

x_i dizisinin bir alt dizisi ise,

j

r r

i i

LIM  x LIM x dir. İspat: Kabul edelim ki

 

j

i

x

 ,

 

x_i dizisinin bir alt dizisi ve r i

x_LIM x olsun. Bu durumda yeterince büyük i ’ler için

i x x_ r      (3.22) olur.

 

j i x

 ,

 

x_i dizisinin alt dizisi olduğundan yine yeterince büyük i ’ler için _j

j i x x_ r      (3.23) olur ki bu da j r i

x_LIM x olması demektir. O halde

j

r r

i i

LIM  x LIM x sağlanır.

rlimit noktaları kümesinin geometrik ve topolojik özelliklerinin bilinmesi de oldukça önemlidir. Bu özellikler aşağıda verilen teoremlerde açıklanacaktır.

Teorem 3.4.  r 0 için keyfi bir

 

x_i dizisinin r i

LIM x kümesi kapalıdır. İspat: Bu ispat için iyi bilinen “ y_i y_*yakınsak dizisi için r

i

yLIM x olduğunda aynı zamanda *

r i

y LIM x oluyorsa LIMrxikümesi kapalıdır." teoremini kullanacağız. Şimdi

kabul edelim ki

 

y_i dizisi r i

y LIM x ve  y_i y_* şeklinde bir dizi olsun. Her



0 ve

/ 2 i i_   , / 2 2, j y_ y      ve / 2 2 i j x y_ r 

     olacak şekilde j_{/ 2} ve i_{/ 2} sayıları vardır. Dolayısıyla  i i_{/ 2} için

/ 2 / 2

i i j j

x x_ x y_ y_ y_ r 

           (3.24)

bulunur ki bu ifade bize r i

yLIM x oluşunu verir

Tanım 3.3. X normlu uzayında z₀  z₁ 1 ve z₀  koşulunu sağlayan z₁ z ve z_{0 1}elemanları ve 0 



1 skaleri için



1



z₀z₁ 1 oluyorsa X uzayı kesin konveks normlu uzaydır. Teorem 3.5. a) 0 0 r i y LIM x ve 1 1 r i

y LIM x ise, 

 

0,1 için





1 0 1

0 1 1 r r i y_   y y LIM   x dir. b) r i LIM x konvekstir.

c)



X, 



sonlu boyutlu kesin konveks uzay ise (yani kapalı birim yuvar kesin konveks ise)

r i

LIM x kesin konvekstir. Yani ₀, ₁ r i

y y LIM x ve y₀  y₁ iken  

 

0,1 için



_r



o i y LIM x olur. İspat: a) Tanım gereğince, 0 0 r i y LIM x ve 1 1 r i

y LIM x olduğundan  0 için i i _ için

0 0

i

x y r 



















0 1 0 1 0 1 1 1 1 i i i x y x y x y r r r r                             (3.25) sağlanır. Buradan, 1 r0 r1 i

y_LIM    elde edilir. x

b) Özel olarak, rr₀ r₁ olarak seçilirse a) şıkkından r i

LIM x nin konveks olduğu hemen sağlanır.

c)



X, .



sonlu boyutlu kesin konveks uzay olsun. r i

LIM x nin kesin konveksliğini kanıtlamak için 0, 1 r i y y LIM x ve y₀  y₁ için









0.5 0 1 1 int 2 r i y  y y  LIM x (3.26)

olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Çünkü 0 



1 aralığındaki herbir



sayısına karşılık geleny_ noktaları için y₀  ve y₁₁ 1





0 1

2

y_  yy olacak şekilde ₀, ₁ r i

y y  LIM x vardır.

 

xi dizisinin yığılma noktaları kümesi Cx olsun. Cx kümesi kapalıdır. Ayrıca LIMrxi

kümesi boştan farklı olduğundan

 

x_i dizisi sınırlıdır. X sonlu boyutlu normlu uzay ve

 

x_i dizisi sınırlı olduğundan, C_x kümesi boş olmayan sınırlı bir kümedir. O halde bir cC_x için,

0,5 max 0,5 x c C c y c y       (3.27) yazılabilir. y y₀, ₁ r_i x

LIM_ olduğu için,

0 ve 1

c y r c y r (3.28)

olur. X uzayı kesin konveks uzay olduğundan













0,5 0 1 0 1 0.5 0.5 max , c y c y c y c y c y r               (3.29)

eşitsizlikleri sağlanır.  :  r c y _0,5 0 olarak seçilsin.  c C_x ve  y B y

 

0.5 için

0,5 0,5 0,5 c y c y y y c y  r          (3.30) dolayısıyla r i

y LIM x elde edilir. Böylece _0,5 int



r



i

3.1. Kaba Yakınsaklığın Diğer Yakınsaklık Türleri İle İlişkisi

Bu bölümde, fark dizilerinin kaba yakınsaklığı ve diğer yakınsaklık türleri arasındaki ilişkiler incelenecektir.

Teorem 3.1.1. r₁0 ve r₂0 olsun. X normlu uzayında

 





1 2 1 2 r r r i i i i x  x_ y x ve_ x y r n          _ (3.31)

olacak şekilde

 

  dizisi vardır. y_i X

İspat:

 

:  y_i r1 x_ ve     olduğunu kabul edelim. Yani x_i y_i r₂   0 ve i i _ için

1 i

y x_ r 

    olacak şekilde bir i_ sayısı vardır.     olduğundan x_i y_i r₂ i i _ için,

1 2

i i i i

x x_ x y y x_ r r 

            (3.32)

ifadesi sağlanır. Buradan,

 

x_i dizisinin x_ noktasına



r r₁ ₂



 yakınsak olduğu görülür.

 

: Şimdi de

 

x_i dizisinin x_noktasına



r r₁ ₂



 yakınsak olduğunu kabul edelim.

2 2 2 , : , i i i x x i i x x i x x x r y x r  x x r             _{ }       (3.33) olmak üzere, 2 2 0, , i i i i x x r y x x x x x r            _{ }       (3.34) ve i1,2,... için     olur. x_i y_i r

 

xi r r1 2x  

  olduğu için x LIMr r12

  iken xi

1 2

limsup  x_i x_   ve dolayısıyla r r

1

limsup  y_i x_  r (3.35) olur ki bu da

 

 y_i r1 x_* olması demektir.

Özel olarak r₁0 ve r₂  r 0 için,

 

y_i dizisix_ noktasına ryakınsak ve     x_i y_i r (i1,2,...) olacak şekilde bir

 

y_i dizisi varsa

 

x_i dizisi x_ 'a ryakınsaktır.

Bilindiği üzere, r yaklaşım hatasını bir üst sınırı olduğunda,

 

x_i dizisinin

 

y_i x_ olan bir yaklaşımı dikkate alındığında  xi r x olacaktır. Diğer yandan,

 

xi dizisi x noktasına r

yakınsak ise bu durumda  y_i r1 x_ olan bir

 

y_i dizisi vardır. (yani  i N için     x_i y_i r dir.)

Teorem 3.1.2.

 

x_i dizisi



_n, .



_{normlu uzayında}

*

x sayısına yakınsak bir dizi olsun.

 

 ifadesi  reel sayısının tam kısmı olmak üzere _{   x}



_x1_{, x}2_,...,xn



_n _için

 

_{  x :}



_{ x}1_{ , x}2_{,...,x}n_



      şeklinde tanımlansın. Bu durumda, a) . normu maksimum norm olmak üzere 1

 

i x_LIM  ve x 0,5

 

i LIM x   dir. b) 1 2 2 0 N k o k x x       





 Öklid normu olmak üzere

 

N i x_LIM x ve

 

0,5 n _dir. i LIM x   İspat:  i N ve j



1,2,...,n



için 0 j j 1 i i x  x     _{ } olduğundan

 

1, . maksimum normu ise

, . Öklid normu ise

i i x x n     _{ }  (3.36)

olur. Teorem 3.1.1 gereğince,

1, . maksimum normu ise , . Öklid normu ise r n     (3.37) olduğunda r i

x_LIM x olur. Şimdi x_ :

 

x_ (0.5,0.5,...0.5) olsun.

 

x_i  olduğu x_ için j 1 j j 1



1, 2,...,



i

x_ x x_ j n ve i i_

       

    şartını sağlayan bir i vardır. Burada





1 1,

j j j

x x_ x_

     

      ifadesi sağlanır. j



1, 2,...,n



i i için  * 0.5

j j i x x       olur. Böylece i i için, _

 

*

0.5, . maksimum normu ise 0.5 , . Öklid normu ise

i x x n    _{ }   (3.38)

elde edilir. O halde tanımdan,

0.5, . maksimum normu ise 0.5 , . Öklid normu ise r n     (3.39) için r

 

i x_LIM x olur. Teorem 3.1.3.

 

n i x

 _{ dizisinin} x noktasına yakınsak olması için gerek ve yeter şart

 

r

i r

İspat: Kabul edelim ki

 

x_i dizisi x_ noktasından farklı bir x_ yığılma noktasına sahip olsun. Bu durumda





* : r x x x x x x            (3.40)

olarak verilen x noktası, _*

* *

x x  r x_x_  r (3.41)

şartını sağlar. x_ noktası bir yığılma noktası olduğundan bir önceki eşitsizlik _* r i

x LIM x

oluşunu verir ki bu da x_x_*  ve r r ( )_*

i r

LIM  x B x olması ile çelişir. Yani x noktası _* sonlu boyutlu normlu uzayda dizinin tek yığılma noktasıdır. Böylece   dır. x_i x_*

Teorem 3.1.4.

 

x_i dizisi sonlu boyutlu kesin konveks



X, .



uzayında bir dizi olsun. Eğer

1 2 2

y y  r koşulunu sağlayan ₁, ₂ r i

y y LIM x varsa

 

x_i dizisi 1





1 2

2 y y ye yakınsar.

İspat: y₃,

 

x_i dizisinin keyfi bir yığılma noktası olsun. ₁, ₂ r i

y y LIM x için

1 3 2 3

y y r ve y y  r (3.42)

olacaktır. Diğer yandan

1 2 1 3 2 3

2r y y  y y  y y (3.43)

olduğundan y₁y₃  y₂y₃  olur. Buradan, r



 



2 1 3 1 2 3 1 1 1 ( ) 2 y y  2 y y 2 y y ve



2 1



1 2 y y r (3.44) ve normlu uzayın kesin konveksliği göz önüne alındığında,

2 1 3 1 2 3

1

( )

2 y y y y  y y (3.45)

elde edilir. Böylece 1

3 2( 1 2)

y  y  y olur ki bu 1

1 2

2(y  y ) noktasının

 

xi dizisinin tek yığılma

noktası olması anlamına gelir. X sonlu boyutlu bir normlu uzay ve

 

x_i sınırlı olduğundan yığılma noktaları kümesi boş değildir. Sonuç olarak

 

x_i dizisi 1

1 2

2(y  y ) noktasına

yakınsaktır. Teorem 3.1.5.

a) c noktası

 

x_i dizisinin bir yığılma noktası ise r

 

i r

LIM  x B c dir. b) C kümesi,

 

n

i

x

 

:

 

* r n i r r c C LIM x B c x_ C B x      _   _     (3.46) dir. İspat:

a) c ,

 

x_i dizisinin bir yığılma noktası olmak üzere r i

x_ LIM x

   için x_   dir, aksi c r halde x xi  r  , :



x c r



/ 2 0 şartını sağlayan sonsuz sayıda xi mevcut

olurdu. Dolayısıyla r

 

i r

LIM  x B c olmalıdır. b) Bir önceki ispattan, r

 

i r c C LIM x B c    _ dir. Eğer _r

 

c C y B c  _ ise  c C için y c  r ve bu da CB y_r

 

ifadesine eşittir. Yani

 



n :

 



r r

c C B c  x CB x . (3.47)

Eğer r

i

y LIM x ise tanımdan,  x_i y   şartını sağlayan sonsuz tane r  x_i olacak şekilde bir



0 vardır. Bu ise y c   şartını sağlayan bir c yığılma noktasının varlığını r 

gösterir yani C_B y_r

 

ve



n :

 



r y x__ CB x_ dir. Böylece,

 

: n r y_x_ CB x_ _    dan r i

y LIM x sağlanır. Yani,

 

: n r r i x C B x LIM x  _{ } _{ }      (3.48) elde edilir. Teorem 3.1.6. r rinf

 

i r i

LIM  x LIM B x dir.

İspat: Öncelikle r rinf

 

i r i

LIM  x LIM B x olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki

r i y LIM x olsun.





, ise : , diğer i r i y x i i i x y x y x r y y           _{ }  (3.49)

olarak tanımlansın. Böylece,





1 . i i i i i i r r x y x y y x y x r y x y x                  (3.50) olduğu için

, ise 0, diğer i i i y x r y x r y y          _{ }  (3.51) elde edilir. r i

y LIM x olması,  y_i y



i  oluşunu verir. Fakat



    yani x_i y_i r

 

i r i

y B x

   dir. Sonuç olarak lim_id y B_ , _r

 

x_i _0

  olur. Bu ise tanımdan

 

lim inf _{r i}

y B x olması demektir.

3.2. Kabalık Derecesine Bağlılık

Tez çalışmasının daha önceki bölümlerinde sabit bir r kabalık derecesi için rlimit noktaları kümesinin özellikleri incelenmiştir. Tezin bu bölümünde ise sabit bir

 

x_i dizisinin

rlimit noktaları kümesi r i

LIM x ’nin değişken bir r parametresine göre durumu incelenecektir. Daha önce verilmiş olan tanım gereğince, r₁r₂ ise r1 r2

i i LIM  x LIM x olduğu açıktır. Teorem 3.2.1. r0 ve  0 olsun. a) r

 

0 r i i

LIM  x B LIM x dir.

b)

 

r

i

B y LIM x ise y LIM rx_i dir. İspat:

a) r

i

y LIM x ve z B 

 

0 olsun.   0 için i i _ olduğunda  x_i y   şartını r  sağlayan bir i_ sayısı vardır. z  olduğundan  i i _ için       elde edilir. x_i y z r  

Böylece r

i

y z LIM  x elde edilir.

b) c noktası

 

x_i dizisinin herhangi bir yığılma noktası olsun. Eğer y c   ise r 





: x y y c y c     _  noktası,





x_      c  y c  r   r (3.52) şartını sağlar. r ( ) i r LIM  x B c olduğundan,

r i

x_LIM x dir. Bu ise x_  ve y 

 

r i

B y LIM x olması ile çelişir. Bundan dolayı

c C

  yığılma noktaları için y c   r  sağlanır. Sonuç olarak,

( ) r r _i c C y B  c LIM  x   _   elde edilir. Teorem 3.2.2. : inf



: r



i

r  r_ LIM x   olmak üzere, a) r r olması için gerek ve yeter şart r

i

LIM   x ve int



r



i

LIM x   olmasıdır. b) Eğer



X, .



sonlu boyutlu kesin konveks normlu uzay ise r r olması için gerek ve yeter şart r

i

LIM x kümesinin tek nokta kümesi olmasıdır. İspat:

a)

 

 Kabul edelim ki r r olsun. r i LIM   x ve int



r



i LIM x   olduğunu göstermeliyiz. r r i i r r LIM x LIM  x 

  _  olduğundan, daha önceki bilgilere dayanarak r  için r

r i

LIM x ifadesi boştan farklı ve kapalıdır. r₁ için r₂ r1 r2

i i

LIM  x LIM x olduğundan

1 r r i i r rLIM x r r r LIM x            ve r ,



, 1



i

LIM x r r r  ailesi, sonlu kesişim özelliğini sağlayan r 1

i

LIM x kompakt kümesinin boştan farklı kapalı altkümelerinin bir ailesidir. Böylece r

i

LIM   x olur. Şimdi kabul edelim ki int



r



i

LIM x   olsun. Bu durumda

0

  için bazı B y_

 

yuvarlarını içerir. O halde r i

LIM   x yani r r dir. Böylece r r olması int



r



i

LIM x   oluşunu verir.

 

 Şimdi r i

LIM   x ve int



r



i

LIM x   olduğunu kabul edelim. r i

LIM   x

olduğundan rr dir. Diğer yandan, int



r



i

LIM x   olduğundan r r olur. Sonuç olarak r r olur.

b) Eğer r i

LIM x kümesi bir tek nokta kümesi ise r i

LIM   x ve int



r



i

LIM x  olur. a) şıkkından dolayı, r r dir. Geriye r

i

LIM x kümesinin bir tek nokta kümesi olduğunu göstermek kalır. Bu ise durum, kümenin kesin konveksliğinden, r

i

LIM   x ve





int r

i

Teorem 3.2.3.





0

r r r

i i i

r r r r

cl LIM  x LIM x LIM  x

 

        dir. Eğer r r ise bu durumda



0



r r i i r r cl LIM  x LIM x       olur.

İspat: Daha önce ispatlanmış olan “Eğer 1 2

1 2

r r

i i

r r ise LIM  x LIM x ” teoremi ve

r i

LIM x kümesinin kapalılığı gereğince,





0

r r r

i i i

r r r r

cl LIM  x LIM x LIM  x

 

        olduğu

kolayca görülebilir. Şimdi, keyfi bir \ r i

yX LIM x elemanını göz önüne alalım. Tanımdan,

: _i

k i k x y r 

 _       olacak şekilde bir



0 sayısı vardır. Böylece r  r



için

: r r 0

     ve    k N  i k :     olur. O halde x_i y r  r  r



için

r i y LIM x ve dolayısıyla r i r r y LIM  x  _  dir. Böylece r r i i r r LIM x LIM  x   _  olur.  r  r için





0 r r i i r r cl LIM  x LIM x         olduğu açıktır.

 r r  ve ₁ r r0 



r r 1



/ 2 olsun. r0  olduğundan bir r 0 0 r

i

y LIM   x olacak

şekilde seçebiliriz. Keyfi bir 1

1

r i

y LIM x elemanı alalım. Teorem 3.5 gereğince

 

0,1

 için





1 0 1

0 1

1 r r

i

y_   y y LIM   x ifadesi sağlanır. Sonuç olarak

0 r i r r y_ LIM  x     _  dir.

olur.  iken 1 y_y₁  



1 



y₀y₁  olduğundan 0 ₁





0 r i r r y cl LIM  x     _  elde

edilir. Böylece r r için de





0 r r i i r r cl LIM  x LIM x       sağlanır.

Bir sonraki teoremde, X sonlu boyutlu bir normlu uzay ve 2X_{, X’in alt kümelerinin kümesi}

olmak üzere : 2 , ( )X r i

F __ F r _LIM _x _{olarak tanımlanan Ffonksiyonunun yarı süreklilik} durumu incelenecektir.

Teorem 3.2.4. ,F



r, üzerinde alttan yarı sürekli ve





r, da üstten yarı süreklidir.



İspat: r r ve U , F r

 

_U   koşulunu sağlayan açık bir alt küme olsun. ( ) r

i

F r LIM x

kümesi konveks küme olduğundan ve int



r



i

LIM x   olduğundan int



r



i

LIM x _U

kesişim kümesi boştan farklı ve açıktır. Bu durumda int



r



r

i i

LIM x _U LIM x tarafından içerilen bir B y_

 

yuvarı vardır. Böylece r

i





 

r t

i i

y LIM_ _x _U _ LIM x_{ }U _F t _U _{ifadeleri sağlanır. Bu durumda F}

fonksiyonu her r



r, için alttan yarı sürekli olur.



Şimdi r r ve U F r,

 

 şartını sağlayan bir açık alt küme olsun. Bu durumda U t

 

0,r için

 

t r

 

i i

F t LIM x LIM x F r  U (3.53)

elde edilir. Bu durumda t



r r, 



için

 

t

i

F t LIM x  U (3.54)

olacak şekilde bir  0 sayısının olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Eğer bu durum sağlanmazsa, lim ve tj \ , 1, 2,...

j i

t r LIM x U   j şartını sağlayan azalan bir

 

tj dizisi vardır ki

j t t i i t r LIM x  jLIM x (3.55) dir. t i t r y LIM x 

_  ise y LIM x t i olacak şekilde bir t r vardır. limtj roluşundan

yararlanılırsa tj

i

y LIM x şartını sağlayan bir t_j t vardır. Buradan tj

i j y LIM x      sağlanır. Dolayısıyla j t t i i t r LIM x  jLIM x (3.56)

dir. Buradan, Teorem 3.2.3. ve r i LIM  x U olmasından,





N \ N \ \ j j t t r i i i

j LIM x U j LIM x U LIM x U

 

 _  _    

 

  (3.57)

ifadesi sağlanır. Fakat tj \ , 1,2,...

i

LIM x U j kümesi, t1

i

LIM x kompakt kümesi tarafından kapsanan boş olmayan kapalı kümelerin azalan alt kümeleri dizisi formunda olduğundan bu kümelerin kesişimi boş kümeden farklıdır. Bu çelişkiden dolayı ispat tamamlanır.

3.3. Kaba Fark Cauchy Dizileri

Bir normlu uzayda yakınsak her dizinin Cauchy şartını sağladığı ve bir Banach uzayında her Cauchy dizisinin yakınsak olduğu iyi bilinen bir gerçektir. Fakat kaba yakınsak diziler ile

kaba Cauchy dizileri arasındaki ilişkiyi bu kadar kolay söylemek mümkün değildir.

 

x_i dizisi ryakınsak bir dizi, başka bir ifadeyle r

i

LIM   x olsun. Keyfi bir r

i

x_LIM x noktası alınsın. Tanım gereğince,   0 için i j, i_ olduğunda,

2 i

x x r 



    ve  xj x  r ₂ (3.58)

şartını sağlayan bir i_ vardır. Buradan, 2

i j i j

x x x x_ x x_ r 

           (3.59)

elde edilir. Böylece

 

x_i dizisi  2r derecesiyle bir Cauchy dizisidir. Bu Cauchy derecesi genellikle azaltılamaz.

Bunu göstermek için, _{z için z r}n _{ ve}

   

₁i i

x z

   şeklinde bir dizi alalım. Bu durumda

 

x_i dizisi 0 r

i

LIM x

  ile birlikte ryakınsaktır ve  bu dizinin minimal 2r Cauchy derecesidir.

Tersine, 0 sayısı

 

x_i dizisinin bir Cauchy derecesi olsun. Bu durumda bu dizinin yakınsaklık derecesinin 2  olduğunu yani 2 i LIM x 

   olduğunu söylemek her zaman

mümkün değildir. Dolayısıyla bu bölümde verilen teoremlerde amaç, verilen Cauchy dizileri için mümkün olduğunca küçük bir yakınsaklık derecesi bulmak olacaktır. Bunun için öncelikle Cauchy dizilerinin ve kaba yakınsak dizilerinin sınırlılığı ile ilgili ifadeleri verelim. Teorem 3.3.1.

 

x_i dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter şart

 

x_i dizisi  Cauchy olacak şekilde bir   sayısının var olmasıdır. 0

 

xi dizisi sonlu boyutlu normlu uzayda sınırlı olduğundan Cxyığılma noktaları

kümesi boştan farklı ve sınırlıdır. Dolayısıyla bu kümeyi çevreleyen yuvarın çapı (D C_x) ve çekirdeği (R C_x) sonludur.

Teorem 3.3.2.

 

x_i dizisinin yığılma noktaları kümesi C_x olsun.

 

xi dizisinin minimum

Cauchy derecesi (D C_x) ve minimum ryakınsaklık derecesi (R C_x) dir. Yani,

 





( _x) min : _i , D C_  _ x Cauchy dizisi (3.60) ve ( ) ( ) x r i x r R C LIM x r R C        _{  }  (3.61)

dir.

İspat: Öncelikle D C( _x) min



_ :

 

x_i , Cauchy dizisi



olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki 0  D C( _x) olsun. Bu durumda  



D C( _x)



/ 3 sayısı için

1 2 2

c c   olacak şekilde iki tane c₁ ve c₂ yığılma noktası vardır.  k _ için,

1 1 / 2 ve 2 2 / 2,

i i

x c  x c 

      (3.62)

olacak şekilde i i₁, ₂ k vardır öyle ki



 











1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 / 2 / 2 . i i i i i i x x c c x c x c c c x c x c                                (3.63)

olur. Bu durum 0  D C( _x) olduğunda

 

x_i dizisinin bir  Cauchy dizisi olmadığı anlamına gelmektedir.

Şimdi  0 keyfi ve  D C( _x) olduğunu kabul edelim. Bu durumda C_xB_{/ 2}

 

0 kümesinin dışında yalnızca sonlu tane  elemanı vardır. Aksi takdirde, uzay sonlu boyutlu x_i ve C_xB_{/ 2}

 

0 kümesi açık olduğundan C_xB_{/ 2}

 

0 ’nin dışında bir yığılma noktası kalması gerekirdi. Böylece i i _ için  x_i C_xB_{/ 2}

 

0 olacak şekilde bir i_ vardır. Bu demektir ki, i₁i_ ve i₂ i_ ise c c₁, ₂C için

1 1 / 2 i x c     ve 2 2 / 2 i x c     dir ki 1 2 ( x) c c D C_  eşitsizliğinden  1 2 1 2 1 1 2 2 / 2 / 2 i i i i x x c c x c x c                      (3.64)

sağlanır. Yani D C

 

_x olduğunda

 

x_i bir  Cauchy dizisidir. Böylece (3.60) sağlanmış olur. Şimdi de ( ) ( ) x r i x r R C LIM x r R C        _{  }  oluşunu gösterelim.

Eğer r R C ( _x) ise, _{ z  için z y r}n _{  olacak şekilde bir}

x y C _ vardır. O halde r i z LIM x yani r i LIM   x dir.