Yüksek Mertebe Kayma Deformasyon Teorisine Bağlı Kompozit Plakların Karışık Sonlu Eleman Yöntemi İle Statik Analizi

20. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ

05 - 09 Eylül 2017, Uludağ Üniversitesi, Bursa

YÜKSEK MERTEBE KAYMA DEFORMASYON TEORİSİNE BAĞLI KOMPOZİT PLAKLARIN KARIŞIK SONLU ELEMAN YÖNTEMİ İLE

ANALİZİ

Emrah Madenci1, Atilla Özütok2

1_{Necmettin Erbakan Üniversitesi, Konya} 2_{KTO Karatay Üniversitesi, Konya}

ABSTRACT

In the present study, the static analyses of laminated cross-ply composite plates have been investigated basis on high order shear deformation plate theory with mixed finite element method. The effects of shear deformation acting along the plate thickness are defined as f z( ) functions in the kinematic expressions used due to the high order shear deformation plate theory. Differential field equations of composite plates are obtained from energy methods using virtual work principle. These equations were transformed into the operator form and then transformed into functions with geometric and dynamic boundary conditions with the help of the Gâteaux differential method, after determining that they provide the potential condition. Boundary conditions were determined by performing variational operations. By using the mixed finite element method, plate elements named HOPLT44 was developed. The numerical results in analyzes are compared with the results of the different studies in the literature and the values are very similar to each other. Numerical high-order moments including higher order terms as well as moments related to the elements were also obtained in the analyzes.

ÖZET

Bu çalışmada, çapraz tabakalı kompozit plakların statik analizleri yüksek mertebe kayma deformasyon plak teorisine bağlı olarak karışık sonlu eleman yöntemi yardımı ile incelenmiştir. Plak kalınlığı boyunca etkili olan kayma deformasyon etkileri, yüksek mertebe kayma deformasyon plak teorisine bağlı olarak kullanılan kinematik ifadelerde f z( )

fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Böylece herhangi bir kayma düzeltme faktörüne gerek duyulmamıştır. Kompozit plakların diferansiyel alan denklemleri virtüel yer değiştirme prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Elde edilen bu denklemler operatör forma dönüştürülerek potansiyellik şartını sağladığı tespit edildikten sonra Gâteaux diferansiyel metodu yardımıyla geometrik ve dinamik sınır koşullarını içeren fonksiyonellere dönüştürülmüştür. Karışık sonlu eleman yöntemi kullanılarak HOPLT44 isimli plak eleman geliştirilmiştir. Ayrıca analizlerde elemanlara ait momentlerin yanı sıra yüksek mertebe terimleri de içeren nümerik değerli yüksek mertebe momentler de elde edilmiştir.

GİRİŞ

Kompozit plaklar mühendislik uygulamalarında oldukça önemli bir yere sahiptirler. Günümüzde kompozit plaklar uçak ve uzay araçları, döşemeler, köprüler, gemiler, otomotiv şasisi, bazı makine parçaları gibi başta inşaat ve makine olmak üzere çeşitli mühendislik

alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Kompozit plaklar, bir boyutu (kalınlığı) diğer iki boyutu (en/boy, çap) yanında oldukça küçük olan tabakalı düzlemsel elemanlardır.

Kompozit plakları, kalınlık ve diğer boyutlar arasında ilişkilendirerek sınıflandırmak mümkündür. Çünkü bir plağın eğilme özellikleri büyük ölçüde, kalınlığı ile diğer boyutları arasındaki kıyaslamalara bağlıdır. Kalınlık ile genişlik oranının değişimi, yaklaşık olarak

2 1 20

h a  olan plaklar “kalın plaklar”; kalınlık ile genişlik oranının değişimi yaklaşık olarak 1 20h 2a1 100 olan plaklar ise “ince plaklar” olarak isimlendirilmiştir [1].

Plak kalınlığının farklılığı beraberinde kayma deformasyon etkilerinin farklı tanımlanması durumunu ortaya çıkarmıştır. Kayma deformasyon etkilerinin farklı yorumlanması ile kompozit plakların analizlerinde kullanılan plak teorileri gelişmeye başlamıştır. Kirchhoff plak teorisi (KHOPLT), birinci mertebe kayma deformasyon plak teorisi (FOPLT) ve yüksek mertebe kayma deformasyon plak teorisi (HOPLT) tabakalı kompozit plakların kinematik bağıntılarını tanımlamada ve analizlerinde kullanılan plak teorileridir [2].

19 y.y. sonlarına doğru Kirchhoff tarafından ince plaklar için bir model geliştirilmiştir. Günümüzde bu model “klasik plak teorisi” ya da “Kirchhoff plak teorisi” (KHOPLT) olarak adlandırılmaktadır. Kirchhoff plak teorisine göre şekil değiştirmeden önce düzlem ve orta yüzeye dik olan kesitler şekil değiştirmeden sonra da orta yüzeye düzlem ve dik kalırlar. Bu varsayım neticesinde düzleme dik kayma şekil değiştirmelerinin etkisi göz ardı edilmiş olmaktadır [3]. Ancak plak kalınlığı arttıkça söz konusu şekil değiştirmelerin etkisi büyümekte ve Kirchhoff plak teorisi doğru olmayan sonuçlara götürebilmektedir. Kirchhoff plak teorisi ile elde edilen sonuçların deneysel sonuçlardan farklı olmalarından dolayı kayma deformasyon etkilerinin de dikkate alındığı birinci mertebe kayma deformasyon plak teorileri (FOPLT) geliştirilmiştir [4]. Reissner [5] Kirchhoff plak teorisinden yola çıkarak kendi yaklaşımını geliştirmiştir. Reissner çalışmasında kalınlığın artmasıyla belirgin hale gelen kayma deformasyon etkilerini dikkate almış, plak düzlemine dik doğrultuda olan normal gerilmeyi ihmal etmemiştir. Mindlin [6] Reissner’in teorisine benzer bir teori geliştirmiş, fakat plak düzlemine dik doğrultuda ki normal gerilmeyi ihmal etmiştir. Birinci mertebe kayma deformasyon plak teorisi (FOPLT) olarak da adlandırılan bu yaklaşımlar kayma deformasyon etkilerini dikkate alan en yaygın teorilerdir. FOPLT’de düşey kayma şekil değiştirmelerinin plak kalınlığı boyunca sabit olduğu kabul edilmektedir. Fakat bu kabul plağın alt ve üst yüzeylerinde kayma gerilmelerinin sıfır olma şartını sağlamadığı için bir düzeltme faktörü kullanılmaktadır. Bu durum bir bakıma teorinin doğruluğunu düzeltme faktörünün doğru seçilmesine bağlamaktadır. Son otuz yıl içerisinde KHOPLT ve FOPLT de ki eksikleri gidermek için düşey yer değiştirme bileşenlerinin düşey koordinatın fonksiyonu olan ve düşey kayma deformasyonlarının FOPLT de ki gibi lineer değil yüksek mertebeden değiştiği yüksek mertebe kayma deformasyon teorileri (HOPLT) geliştirilmiştir. Geliştirilen bu teorilerde elemanın kalınlığı boyunca kayma deformasyonlarının değişimi yüksek mertebe ifade edildiği için plağın alt ve üst yüzeylerinde kayma gerilmelerinin sıfır olması şartını sağlarlar ve herhangi bir kayma düzeltme faktörü gerektirmezler. HOPLT’de kayma deformasyonlarının plak kalınlığının koordinatına bağlı yüksek mertebe değişimini ifade etmek için “ f z( )” fonksiyonları kullanılmaktadır. Bu fonksiyonlar kübik, parabolik,

hiperbolik, trigonometrik ve eksponansiyel gibi dağılımları ifade etmektedir.

Birçok mühendislik probleminin çözümünde kapalı matematiksel çözüm elde etmek her zaman mümkün değildir. Bu nedenle karmaşık problemlerin çözümü için problemi temsil eden modeller kullanılır ve bu modeller yaklaşık ve yeterli sonuçlar veren sayısal çözüm yöntemleriyle çözülürler. Yaklaşık çözüm yöntemleri arasında sonlu eleman yöntemi diğerlerinin aksine karmaşık problemleri çözmek için sistemi parçalara ayırarak sistematik bir

geometrileri kolaylıkla dikkate alma olanağı verir. Sonlu eleman modelini elde etmek için çeşitli varyasyon ilkelerine bağlı olarak potansiyel enerji, varyasyonel formülasyon, Hu-Washizu, Hellinger-Reissner ve Gâteaux diferansiyel metodu gibi yöntemler kullanılmaktadır [7]. Basit problemlere ait fonksiyonelleri üretmek için Hu-Washizu, Hellinger-Reissner ve Gâteaux diferansiyel metodu yöntemleri ile benzer fonksiyoneller elde edilse de karmaşık problemlerin çözümünde Gâteaux diferansiyel metodu bazı avantajlara sahiptir [8]. Gâteaux diferansiyel metodu sayesinde alan denklemlerinin uyumluluğu kontrol edilmiş olmakta, alan denklemleri ve sınır koşulları sağlam olarak fonksiyonele yansıtılmaktadır. Son yıllarda Gâteaux diferansiyel metodu doğrusal, doğrusal olmayan, elastik, viskoelastik bünye yapılı birçok problemde kullanılmıştır.

Bu çalışmada, çapraz tabakalı kompozit plakların statik analizleri yüksek mertebe kayma deformasyon plak teorisine bağlı olarak karışık sonlu eleman yöntemi yardımıyla gerçekleştirilmiştir. Elemana ait kinematik denklemlerde, kayma deformasyonlarının kübik dağıldığını tanımlayan bir fonksiyon kullanılmıştır. Denge denklemlerini elde etmek için virtüel yer değiştirme prensibinden faydalanılmıştır. Eldeedilen alan denklemlerinde yapılan kabullere bağlı olarak normal eğilme ve burulma momentlerinin yanında yüksek mertebe terimleri içeren yüksek mertebe eğilme ve burulma momentleri de bilinmeyen değişken olarak elde edilmiştir. Alan denklemlerinin kendi içinde uyumlu olduğu gösterildikten sonra dinamik ve geometrik sınır koşullarını içeren HOPLT’ye bağlı kompozit plağa ait fonksiyonel türetilmiştir. Bu fonksiyoneli elde etmek için Gâteaux diferansiyel metodu kullanılmıştır. Sonlu eleman yöntemi ile çözülebilmesi için her bir düğüm noktasında yer değiştirme, dönme deformasyonları, eğilme momentleri, kesme kuvvetleri ve yüksek mertebeden momentlerin çeşitli sayıda bilinmeyen olarak tanımlandığı HOPLT44 isimli kompozit plak eleman elde edilmiştir. Daha önce yapılan çalışma ve edinilen tecrübelerden [9, 10], bütün bilinmeyenleri ve sınır koşullarını da içeren fonksiyoneller karışık sonlu eleman yönteminde kullanılırsa, işlem kolaylıklarının yanı sıra doğru sonuçlara hızla ulaşılmakta olduğu gözlendiği için karışık sonlu eleman yöntemi ile kompozit plaklara ait sonlu eleman matrisleri elde edilmiştir. Çalışmada FORTRAN 90 dilinde kodlanmış bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Geliştirilen bu program sayesinde elde edilmiş olan sonlu eleman matrisleri sistem matrislerine dönüştürülerek çeşitli problemler için çapraz tabakalı kompozit plak elemanların statik analizleri gerçekleştirilmiştir.

ALAN DENKLEMLERİ ve FORMÜLASYON

HOPLT’ye bağlı olarak plak eleman kesitinde bir noktanın yer değiştirme vektörü bileşenlerini Denklem (1)’de ki gibi yazabiliriz.

, 1 , 2

( , , ) _x ( ) ; ( , , ) _y ( ) ; ( , , )

u x y z  z w  f z  v x y z  z w  f z  w x y z w (1)

Burada  ve ₁  plağın enkesitlerinin kaymaları, ₂ f z( ) fonksiyonu ise plak yüzey koşullarını sağlamak üzere Denklem (2)’de gösterildiği gibidir.

2 2 4 ( ) (1 ) 3 z f z z h   (2)

Bu dağılım plak yüzeyinde sıfır kayma gerilmesi koşulunu sağlamaktadır. Denklem (1)’de ki yer değiştirme ifadelerine göre şekil değiştirme ifadeleri Denklem (3)’de ki şekilde hesaplanır.

HOPLT’ye bağlı kompozit plak elemanla ilgili detaylı bilgiler ve alan denklemlerine dair işlemler referans [x] de yer almaktadır. HOPLT’ye bağlı kompozit plak alan denklemleri





, , , , , , , 11 , 11 1, 12 , 12 2, 12 , 12 1, 22 , 22 2, 66 1, 2, 66 , 11 , 11 1, 12 , 12 2, 2 0 0 0 4 4 0 5 5 4 4 0 5 5 4 2 0 5 4 68 4 68 0 5 105 5 105 xx yy xy x y y x xx x yy y xx x yy y y x xy xx x yy y K M T q K T S M T Q K D w D D w D M D w D D w D T D D w K D w D D w D                                          





12 , 12 1, 22 , 22 2, 66 1, 2, 66 , 55 1 44 2 4 68 4 68 0 5 105 5 105 68 8 0 105 5 0 0 xx x yy y y x xy M D w D D w D T D D w S A Q A                       (3)

olarak elde edilmiştir. Burada (K M T, , ) plak elemana etkiyen momentler, (K M T, , ) plak elemana etkiyen yüksek mertebe terimler içeren momentler ve (S Q, ) kesme kuvveti büyüklükleridir ve Denklem (4-6)’de ifade edildiği gibidir.





2 2 2 2 2 2 h h h x y xy h h h K M T  zdz  zdz  zdz           







 (4) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) h h h x y xy h h h K M T  f z dz  f z dz  f z dz               







 (5)





2 , 2 , 2 2 ( ) ( ) h h xz z yz z h h S Q  f z dz  f z dz          





 (6)

Denklem (3)’de ki A_ij ifadesi uzama rijitliği, D_ij ifadesi eğilme rijitliği olarak tanımlanır ve aşağıda verildiği gibidir.

2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 , ( ) , 1, 2, 6; , 4, 5 h h i j i j h h k k i j pp _z D Q z dz A Q f z dz i j p p   







  (7)

Plaklar için sınır koşullarını da içerecek şekilde alan denklemleri operatör formda Q=Ly-f

şeklinde yazılabilir. Q operatörünün Gâteaux türevi dQ y y( , ) Q y( y)



 



tanımlanmaktadır. Eğer Q operatörü sürekliyse ve Gâteaux türevi varsa ve ayrıca

( , ), * ( , *),

Q y y y Q y y y

d  d eşitliği sağlıyorsa Q operatörü potansiyeldir. Bu durumda plak alan denklemlerine karşı gelen I fonksiyoneli Denklem (8)’de ki gibi hesaplanabilir [11].

 





1 0 , y Q y y y I  



_ s _ds (8) Bu çalışmada yüksek mertebe kayma deformasyon teorisine dayalı HOPLT44 plak elemanın alan denklemlerine karşı gelen fonksiyonel Denklem (9a)’da verildiği şekilde elde edilmiştir. Sınır koşulları için referans [12] ye bakılabilir.

 



 



















, , , , , , , , 1, 44 1, 2, 1 2 2, 66 66 , , , , , ( ), , , , , 2 , , , , 105 85 , , , , 2 2 , , 2 x x y y x y y x x y HOPLT y x y I K w M w w T w T K T S Q M K K K M K M K K M M M M M K T T T T D D K K K M                    _{ }_{  } _{ } __{ }     _  _  _{ }        _{ }   _{ } _{ }       _{ } _{ }     _{ } 







  

66 55 44 , 2 525 1 1 , , , , sınır koşulları 8 2 2 M M T T S S Q Q q w D A A            _{ }    (9a)

Fonksiyonelde ki katsayılar Denklem (9b)’de verilmiştir.

12 12 12 12 12 12 12 12 12 22 11 22 2 2 2 22 11 22 11 22 11 22 11 12 2 2 2 22 11 22 11 22 11 12 11 12 2 2 2 22 11 22 11 22 11 85 85 525 ( ) ( ) 4( ) 105 525 105 ( ) 4( ) ( ) 85 105 525 ( ) ( ) 4( ) D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D                                     (9b)

Dikdörtgen geometrili dört düğüm noktalı plak elemanlarda  şekil fonksiyonları Denklem i

(10)’da ki gibi hesaplanabilir.





1











, 1 1 1, 1 1,..., 4

4

i i i i i i

             (10)

Bir düğüm noktasındaki bilinmeyenler



[ ],[ ],[w 1 2],[ ],[K M],[ ],[ ],[T K M],[ ],[ ],[ ]T S Q



olmak üzere toplam 44 bilinmeyen vardır. Eleman matrisleri ile ilgili detaylı bilgi için referans [x] bakılabilir. HOPLT ye dayalı her bir düğüm noktasında toplam 11 serbestlik derecesi olmak üzere toplam 44 serbestlik derecesi olan HOPLT44 isimli kompozit plak elemanın eleman matrisi

1 2 5 4 6 6 2 3 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T T T w K M T K M T S Q k k k k k k k k k k k k k k k k k                                                                                _{ }  _{ }                                    1 1 66 66 1 1 1 1 66 1 55 1 44 0 0 0 85 105 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 525 0 0 4 1 0 1 k k D D k k k k D k A k A                            _     _{     }           _{   }       _{ }     _{ }         _{ }   _{ }         _{ }         

olarak elde edilmiştir.

SAYISAL SONUÇLAR

Düzgün yayılı yüke maruz karşılıklı bütün kenarları SSSS basit mesnetli olan tabaka dizilimine sahip çapraz tabakalı kompozit kare bir plağın eğilme analizi gerçekleştirilmiştir. Malzeme özellikleri Çizelge 1.’de verilmiştir.

Çizelge 1. Malzeme özellikleri

1 2

E E 12 G12 G13 G23

25 0.25 0.5 E2 0.5 E2 0.2 E2

Elde edilen sonuçlar Denklem (11) kullanılarak boyutsuz hale dönüştürülmüştür.

 

 

 

* 2 2 3 2 4 0 * * * * * .100 2 , , 2 , 2 , , , xx yy xy xz yz xx yy xy xz yz b h b h b E h w w q     

  

 

                   (11)

Boyutsuz çökme değerleri, 2 /a h _{oranına bağlı olarak, plak teorileri için Çizelge 2.’de} referans sonuçları ile karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Çapraz tabakalı kompozit plak elemanın çeşitli tabaka koordinatlarındaki boyutsuz normal ve kayma gerilmeleri sonuçları Çizelge 3.’de gösterilmiştir.

Çizelge 2. SSSS



0 / 90 / 0



çapraz tabakalı kompozit plak eleman maksimum boyutsuz çökme

 

w* değeri Teori 2a h 10 20 100 HOPLT44 1.0970 0.7787 0.6709 [13] 1.0900 0.7760 0.6705 [14] 1.0910 0.7763 0.6708 [15] 1.1237 --- 0.6709 [16] 1.1055 0.7694 --- [17] 1.1533 --- 0.6712

Çizelge 3. SSSS



0 / 90 /0



lamine kompozit plak eleman tabaka yüksekliği boyunca belli kotlarda ki boyutsuz gerilme değerleri

a _{Birinci mertebe kayma deformasyon teorisi} b _{Klasik plak teorisi}

SONUÇLAR

Bu çalışma kapsamında yapılanlar özetlenecek olursa:

• HOPLT’ye dayalı elde edilen hesaplamalarda plak kalınlığı boyunca etkili olan kayma deformasyonlarının dağılımı her hangi bir kayma düzeltme faktörü kullanılmadan, plak alt ve üst yüzeyinde gerilmelerin sıfır olmasını sağlayacak şekilde elde edildi.

• Gâteaux diferansiyel metodu sayesinde, alan denklemlerinin uyumluluğu kontrol edildi, geometrik ve dinamik sınır koşulları terimleri kolaylıkla elde edildi.

• Karışık sonlu elemanlar metodu sayesinde serbestlikler tek seferde elde edildi.

KAYNAKLAR

[1] Ventsel E, Krauthammer T. Thin plates and shells: theory: analysis, and applications: CRC press, 2001.

[2] Sayyad AS, Ghugal YM. On the free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates: A review of recent literature with some numerical results. Composite Structures. 2015;129:177-201.

[3] Berktay I. Plak teorisi ve uygulamaları. Yıldız Teknik Universitesi Muh Fak Insaat Muh Bolumu, Istanbul. 1992:237.

[4] Ochoa OO, Reddy JN. Finite element analysis of composite laminates. Finite Element Analysis of Composite Laminates: Springer; 1992. p. 37-109.

2a h Teori * 2 ( , , )h xx a b  * 4 ( , , )h yy a b  * 2 (2 , 2 , )h xy a b



* 2 ( , 0, )h xz a



* 4 (0, , )h yz b



HOPLT44 0.80702 0.1917 0.0423 0 0.2466 [18]a _{0.8072 0.1925 0.0426 0.7744 0.2842} [18]b _{0.8075 0.1912 0.0425 0.7191 0.3791} HOPLT44 0.8186 0.2299 0.0428 0 0.2536 [16] 0.8125 0.2300 0.0458 1.070 0.3570 [18]a _{0.7983 0.2227 0.0453 0.7697 0.2902} HOPLT44 0.8434 0.3393 0.0436 0 0.2772 [16] 0.7660 0.2900 0.0484 0.660 0.285 [18] 0.7719 0.3072 0.0514 0.7548 0.3107

[5] Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. 1945.

[6] Mindlin RD. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates. 1951.

[7] Özütok A, Aköz Y. Genel Kabuklara Ait Fonksiyonel İle Parabolik ve Dairesel Silindirik Kabuklar İçin Karma Sonlu Eleman Formülasyonu. Teknik Dergi. 2002;13.

[8] Özütok A. Genel Kabuklara Ait Fonksiyonel Ve Parabolik Silindir Kabuklar İçin Karma Sonlu Eleman Formülasyonu: Fen Bilimleri Enstitüsü, 1999.

[9] Özütok A, Madenci E. Free vibration analysis of cross-ply laminated composite beams by mixed finite element formulation. International journal of structural stability and dynamics. 2013;13:1250056.

[10] Özütok A, Madenci E, Kadioglu F. Free vibration analysis of angle-ply laminate composite beams by mixed finite element formulation using the Gâteaux differential. Science and Engineering of Composite Materials. 2014;21:257-66.

[11] Oden JT, Reddy JN. On mixed finite element approximations. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1976;13:393-404.

[12] Madenci E. YÜKSEK MERTEBE KAYMA DEFORMASYON TEORİSİNE DAYALI ÇAPRAZ TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN KARIŞIK SONLU ELEMAN YÖNTEMİ İLE ANALİZİ [Doktora]. Fen Bilimleri Enstitüsü: Selçuk Üniversitesi, 2016. [13] Reddy JN. A simple higher-order theory for laminated composite plates. Journal of Applied Mechanics. 1984;51:745-52.

[14] Sheikh A, Chakrabarti A. A new plate bending element based on higher-order shear deformation theory for the analysis of composite plates. Finite Elements in Analysis and Design. 2003;39:883-903.

[15] Sahoo R, Singh B. A new inverse hyperbolic zigzag theory for the static analysis of laminated composite and sandwich plates. Composite Structures. 2013;105:385-97.

[16] Xiao J, Gilhooley D, Batra R, Gillespie J, McCarthy M. Analysis of thick composite laminates using a higher-order shear and normal deformable plate theory (HOSNDPT) and a meshless method. Composites Part B: Engineering. 2008;39:414-27.

[17] Pagano N, Hatfield HJ. Elastic behavior of multilayered bidirectional composites. AIAA Journal. 1972;10:931-3.

[18] Reddy JN. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis: CRC press, 2004.