Non-hamming (rosenbloom-tsfasman) metriğine göre kodların yapısı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ

ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2 : 253-258 (2004)

ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE

NON-HAMMING (ROSENBLOOM-TSFASMAN) METRİĞİNE GÖRE LİNEER

KODLARIN YAPISI

Mehmet ÖZEN

1

, İrfan ŞİAP

2

, Fethi ÇALLIALP

3

ÖZ

Bu çalışmada ρ metriğine göre lineer kodların yapıları incelendi. Kodların yapılarından faydalanılarak, bu met-riğe göre lineer ve devirli kodların minimum uzaklığının kolaylıkla tespit edilebildiği gösterildi. Bu metmet-riğe bağlı olarak lineer kodların dualleri incelendi ve MDS kodların ağarlık sayaçları bulundu.

Anahtar Kelimeler: Lineer Kodlar, Non-Hamming Metriği, MDS Kodlar

THE STRUCTURE OF LINEAR CODES WITH RESPECT TO A NON-HAMMING

(ROSENBLOOM-TSFASMAN) METRIC

ABSTRACT

We explore the structure of linear codes with respect to the ρ metric. Taking advantage of this structure, we show that the minimum distance of linear and cyclic codes can be determined easily. We investigate the dual of linear codes and the weight enumerator of MDS codes with respect to this metric.

Key Words: Linear Codes, Non-Hamming Metric, MDS Codes

q

1 _{Sakarya Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Serdivan, 54100,SAKARYA} E-Posta:ozen@sakarya.edu.tr.

2 _{Gaziantep Üniversitesi, Adıyaman Eğitim Fakültesi.}

3 _{Doğuş Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü.} Geliş: 02 Ocak 2002; Düzeltme: 18 Kasım2002; Kabul; 04 Mayıs 2004

1. GİRİŞ

ρ non-Hamming (Rosenbloom-Tsfasman) metriği

[4]’te yakın zamanda sunulmuş ve minimum uzaklık için üst sınırlar ispatlanmıştır. [1]’de bu metriğe göre Hamming ağırlık sayaçları incelenmiştir. Ayrıca, [5]’te yine bu non-Hamming metriğine göre tam ağırlık sa-yaçları tanımlanmış ve MacWilliams eşitlikleri ispat-lanmıştır. Birinci bölümde Hamming metriğine bağlı olarak bilinen bazı temel teorem ve sonuçları verile-cektir. İkinci bölümde, Hamming metriğinde bilinen ve tanımlanan bazı kavramlar, Hamming olmayan Rosenbloom-Tsfasman metriğinde incelenecektir. Ü-çüncü bölümde ise MDS kodlar ile ağırlık sayaçları incelenecektir. q bir asal sayının kuvveti olmak üzere,

Fq={α0,α1,...,αq-1}, q elemanlı sonlu bir cisim olsun.

, F ( , )

V n q q üzerinde n uzunluğundaki bütün

vektörle-rin kümesi olsun. Bu küme, bir vektör uzayıdır. ve C, V n nun k boyutlu bir alt vek-tör uzayı ise C ye n uzunluğunda, k boyutlu bir lineer

kod denir ve kısaca [n,k] ile gösterilir. C nin

elemanla-rına ise kodsöz denir. Bir kodsözdeki sıfırdan farklı bileşenlerin sayısına ise o kodsözün Hamming ağırlığı ya da kısaca kodsözün ağırlığı denir. İki kodsöz ara-sındaki Hamming uzaklığı ise; bu kodsözlerin farkları-nın Hamming ağırlığına eşittir. C deki kodsözlerin sıfırdan farklı en küçük ağırlığına C nin Hamming ağırlığı denir ve kısaca ile gösterilir. Diğer yan-dan, C deki sıfırdan farklı en küçük Hamming uzaklı-ğına ise C nin minimum uzaklığı denir. Lineer kodlarda

( , )

C⊂V n q ( , )

( )

( ) ( )

d C =w C dir. Bir vektör uzayı olarak tanımlanan bir C kodu için uzunluk, boyut parametreleri yanında minimum uzaklık parametresinin rolü çok önemlidir. Minimum uzaklığa göre bir kodun hata düzeltme özel-liği ölçülebilir [2]. C, [n,k] bir lineer kod olsun. Satırla-rı C nin bazından oluşan bir

G′

, matrisine C nin üreteç matrisi denir. Eğer bir C kodunun bileşenlerine bir permütasyon uygulanarak kodu elde ediliyorsa

C kodu ile kodu birbirine denktir denir. Dikkat edilirse C ile

C

nün üç temel parametreleri n, k, ve d aynıdır ve kodlama anlamında farklı yapılar değildir-ler.

k n

×

C′

C′

′

Teorem 1. [2] Fq üzerinde, C [n,k,d] lineer kodu

ve-rildiğinde; ilk k sütunu k boyutlu

I

_k birim matrisi olan stand art formdaki üreteç matrisine sa-hip bir koduna denktir.

[ , ]

_k

G

=

I A

C′

Hamming metriğinde iç çarpım, C nin herhangi

1 2

( , ,..., )

x x

x

_n

=

x

ve

y

=

( , ,...,

y y

_{1 2}

y

_n

)

kodsözleri için, 1 n i i i x y = =

∑

, x y şeklinde tanımlanır.

{

( , )

,

0,

}

C

⊥

₌

_∈

V n q

c

_{= ∀ ∈}

c

x

x

C

] kümesine C nin dual kodu denir.

Teorem 2. [3] standart formdaki üreteç matrise sahip C bir [ , lineer kod olsun. O zaman

,

[ , ]

_k

G

=

I A

] n k C⊥ [ T, n k

H = −A I ₋ üreteçli, [ , lineer kod

olur.

]

n n k−

Yukarıdaki teoremde adı geçen H matrisine C kodunun kontrol matrisi denir.

Rn= Fq[x]/ xn-1 , bir temel ideal halkasıdır. Ф:

ve Ф ise Ф, ile n

V(n,q) R

→

1 0 1 1 0 1 1 (( , ,..., )) ... n n n c c c c c x c x − − = + + + − ( , )

V n q

R

n arasında bir vektör uzayı

izomorfizma-sıdır. Eğer herhangi bir için ise ye bir devirli kod denir. C devirli kodu Ф(C) ile özdeşliğinde

0 1 1

( , ,...,

c c

c

_n−

)

∈

C

1 0 2

(

c

_n−

, ,...,

c

c

_n−

)

∈

C

C⊂V n q( , ) n

R

in bir ideali olduğu görülür.

Önerme 3. [3] C,

R

_n in bir ideali olsun. Bu durumda

( )

C

=

f x

ve olacak şekilde bir

vardır. C,

( )|

n

1

f x x

−

0 1 ( ) ... r, 1 r r f x =a +a x+ +a x a = f x( )

tarafından üretilen

n r k

− =

boyutlu ve

0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r k n a a a a G a a _× ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ L K L K M M L K

üreteç matrisli bir devirli koddur.

( ) |

n

1

f x x

−

olmak üzere

C

=

f x

( )

devirli bir kod (ideal) olsun.

_x

n

_{− =}

1

_{f x h x}

( ) (

₎

ise h(x) e, C nin kontrol polinomu denir

Teorem 4. [3] h(x), devirli C, [n,n-r] lineer kodunun,

n

R

deki kontrol polinomu olsun. O zaman kontrol matrisi, 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

n r n r n r

h

h

H

h

h

h

h

− − −

0

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

L

K

M

M

L

K

L

K

olur ve r boyutlu devirli dual kodunun üreteç polinomu

1 1

0

( )

n r

(

)

h x

⊥

₌

h x h x

− − − _dir.

Giriş bölümündeki temel bilgi ve teoremlerle ilgili olarak daha geniş bilgi için [2] ve [3] kaynaklarına bakılabilir.

2. NON-HAMMING METRİĞİNE GÖRE

LİNEER KODLARIN YAPISI

1 2

( , ,..., )

ξ ξ

ξ

_n

C

=

∈

x

kodsözünün non-Hamming ağırlığı,

{

}

max 0 , 0 ( ) 0 , 0 i N i w _{= ⎨}⎧⎪

ξ

≠ ≠ = ⎪⎩ x x x .

Herhangi x y, ∈C için

ρ

( , )

x y

=

w

_N

(

x

−

y

)

şek-linde tanımlanan ρ fonksiyonuna x ve y kodsözlerinin non-Hamming Rosenbloom-Tsfasman uzaklığı denir. ρ bir metriktir [4]. Non-Hamming metriğinde minimum uzaklık,

{

}

, ( ) min ( , ) ( , ) 0 N C d C = _{x y∈}

ρ

x y

ρ

x y ≠ şeklinde tanımlanır ve kısaca ile gösterilir. Non-Hamming metriğinde bir C kodunun minimum ağırlığı ise,

N

d

{

}

( ) min ( ) 0 N C N w C = x∈ w x x≠ şeklinde tanımlanır ve kısaca ile gösterilir. Hamming metriğinde olduğu gibi, C lineer bir kod ise

olur.

( )

N

w C

( )

( )

N N

d C

=

w C

2.1. Lineer Kodun Üreteç Matrisi

Satırları k boyutlu C nin bazından oluşan bir matrisi C nin üreteç matrisi olsun. Genel-liği bozmadan

G

matrisinin son sütununun sıfırdan farklı olduğu kabul edilir.

,

G′ k n×

′

Önerme 5. C, parametreli bir lineer kod ol-sun.C kodu, [ , ]n k 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 21 2 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k s s s s s s s s s k ks ks g g g g g g g g g g g G g g g − + − + − − + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ K K K K K K M M M M M M M M M M M K K K 0 ⎥⎦ k k (1) 2 1 1 2 3

...

k

1

1s 2s

...

ks_k

1

n s s

≥ > > > > ≥

s

s

ve g

=

g

= =

g

=

şeklindeki bir üreteç matrisine sahiptir.

Kanıt: matrisi lineer cebirden bilinen elemanter satır işlemleri ile (sütun işlemleri yapmadan) yukarı-daki gibi üçgensel formda olan

G

matrisine indirge-nir.

G′

Tanım 6. Yukarıdaki önermede verilen ve

non-Hamming metriğine göre yapılan incelemede temel teşkil edecek (1) matrisine bir kodun standart formdaki üreteç matrisi denir.

Önerme 7. Non-Hamming metriğine göre, (1) standart

formundaki G üreteç matrisine sahip C kodunun mi-nimum uzaklığı

d

_N

=

s

olur.

Kanıt: Standart forma getirilen matriste 1 2 bileşenleri sıfırdan farklıdır. Bütün

kodsözler bu üreteç matrisin satırlarının lineer kombi-nasyonlarından oluşur. Dolayısıyla k nıncı satırdakin-den daha küçük ağırlığa sahip kodsöz oluşamaz. Non-Hamming metriğine göre

1s

,

2s

,...,

ks_k

g

g

g

N

d

=

s

olur.

Önerme 8. [4] (Singleton Üst Sınırı) C, Fq üzerinde

bir

[ ,

n k d

,

N

]

lineer kod ise

d

N

≤ − +

n k

1

olur. Kanıt:. Burada standart formu kullanarak bağımsız ve

daha basit bir ispat verilir. üreteç matrisi elemanter satır işlemleri sonucu

G′

1

s

=

n

ve ,

ve olacak şekilde (1) deki standart forma indirgenir. Bir kodun kodsözleri bu matrisin lineer kombinasyonlarından oluştuğundan elde edilecek bütün kodsözlerin ağırlıkları n-k+1 den büyük olamaz. Dolayısıyla

1

1

i i

s

=

s

₋

−

2 i k

≤ ≤

s

k

≤ − +

n k

1

1

N

d

≤ − +

n k

olur. Tanım 9. [4] Singleton üst sınırını sağlayan kodlara

maksimum uzaklığa ayrışabilir (Maximum Distance Separable) kod denir.

G′

elemanter satır işlemleri ile

1

,

i i 1

1, 2

s

=

n s

=

s

₋

−

≤ ≤

i k

,

s

k

= − +

n k

1

ve A, (

k× n - k )tipinde bir matris olmak üzere;

0

1

,

1

0

G

A

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

L

O

L

(2)

standart formuna gelen üreteç matrisine sahip

kodu bir MDS kod olur.

G

C

2.2. Lineer Kodların Duali ve Dualinin Üreteç

Matrisi

Non-Hamming metriğinde iç çarpım,

C

nin her-hangi iki kodsöz

1 2

( , ,..., )

x x

x

n

=

x

ve

y

=

( , ,..., )

y y

_{1 2}

y

n için; 1 1 , n i n i i x y _{− +} = =

∑

x y şeklinde tanımlanır.[4]

Önerme 10. (1) deki G üreteçli C, [n,k] lineer

kodu-nun duali C⊥, bir

[

n n k

,

−

]

lineer kod olur.

Kanıt: C⊥ in lineerliği ve boyutunun

n k

−

olduğu Hamming metriğine benzer şekilde gösterilir.

Non-Hamming metriğine göre H kontrol matrisinin bulunuşu:

Standart formdaki üreteç matrisi

σ

₂

, n

-li sütun permütasyonu ile,

σ

₂

( )

G

=

G

′′

,

G

′′

=

[

A I

,

_k

]

Hamming anlamında standart formuna getirilir. Bun-dan yararlanarak Hamming metriğine göre

[ n k, ]

H′′ = I ₋ −AΤ kontrol matrisi elde edilir.

1

2

(

H

)

H

σ

−

_{′′ = ′}

_{olsun. G de herhangi bir i inci satırı}

ve

,...

in

)

g g

_{i1 i2}

g

(

,

H ′ nün herhangi

j

inci satırı 1

1

2

2 , ( )

, (1)

(

h

′′

_jσ−

,...,

h

′′

_jσ− _n

)

olsun.

G′′

ile H ′′ Hamming anlamında birbirine diktir.

(

)

0.

G H

′′

′′ =

Τ

G

nin i inci satır

σ

₂ altında,

2(1) 2 2

g g

i1

g

in

(

g

σ

g

σ ( )n

)

G

′′

ve ( ,...,

h

j

′′

1

h

′′

jn

)

σ

(

,

_i2

,...,

) =

_i,

,...,

_i,

∈

∈

olsun. 2(1) 2( ) , 1 , n

0,

i j i jn

g

_σ

h

′′

+ +

L

g

_σ

h

′′

=

2(1) 2( ) , , 1

(

g

iσ

,...,

g

iσ _n

),(

h

′′

j

,...,

h

′′

jn

)

=

0.

Her iki çarpana ayrı ayrı

σ

₂−1 permütasyonu uygulanıp skaler çarpılırsa skaler çarpımın değerinde bir değişme

olmayacağıdan, olur. Dolayısıyla G ile 1 1 2 2 1 _{, (1)}

...

_{, ( )}

0

i _j in _j

g h

′′

_σ−

+ +

g h

′′

_σ− _n

=

H ′ Hamming anlamında diktir. H ′ ye permütasyonu uygulana-rak satırlar ters çevrildiğinde

(

1 2 1 1 n n n

σ

₋ 1

)

K K = 1(H )

σ

′ , elde edlir. olsun. ye non-Hamming anla-mında dik olur.

0

1

(

H

)

H

σ

′ =

_{H G}

0

_,

0

σ

satır permütasyonu ile, stan-dart forma getirilerek

0

H

0

0(H ) H, (n k)

σ

= − ×n

tipindeki H kontrol matrisi bulunur.

Önerme 11. Yukarıdaki paragrafta geçen tanım ile ve

ifadeler altında, üreteç matrisli bir kodun non-Hamming metriğine göre kontrol matrisi;

G

1

0( (1 2 (H ))) H

σ σ σ

− _{′′ = olur.}

Örnek 1. Bir

C

kodunun non-Hamming ağırlığa gö-re standart formdaki matrisi,

0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 G =

⎡

⎤

⎢

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎥

olsun. Önerme 7. ye göre olur. ye uygulandığında

3

N

d

=

2

1234567

,

1276435

G

σ

_{= ⎜}

⎛

⎞

_⎟

⎝

⎠

[

,

3

]

G

′′ =

A I

olur. Bundan yararlanarak

1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0

H

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

′′ =

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

yazılır. H ′′ ye öncelikle

σ

₂−1 uygulanır, sonra

σ

₁ ile satırları ters çevirip, satır permütasyonu kullanılarak, 0

1234

1243

σ

_{= ⎜}

⎛

⎞

⎝

⎠

⎟

⎥

⎥

1 0 1 2

0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0

( (

(

)))

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

H

H

σ σ σ

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

′′

=

=

⎢

⎢

⎣

⎦

bulunur.

2.3. Devirli Kodların Duali ve Minimum

Uzaklık

Önerme 12. 0 1 ( ) ... r, 1 ( ) r r f x =a +a x+ +a x a = ve f x fonksiyonu _xn₋1 i bölsün.

_C

₌

_{f x}

_{( )}

_devirli

kodu-nun non-Hamming ağırlığına göre standart formdaki üreteç matrisi, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r a a a a G a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ K K K K M M K K ve rank( )G = − =n r k olduğundan

( )

1

N

d C

= − +

n k

olur.

Kanıt: Elemanter satır işlemleri ile

G

standart formu bulunur.

a

_r

=

1

ve rank( ) olduğu için non-Hamming ağırlığına göre

G

standart formdaki üreteç matrisinden

G = k

1

N

w

= − +

n k

olduğu çıkar. Aşağıdaki sonuç tanımlardan kolayca elde edilir. Sonuç 1. Devirli kodlar non-Hamming metriğinde MDS kodlardır.

Sonuç 2. Devirli C⊥ _{dual kodunun H üreteç matrisi}

olsun ve rank H( )= −n k ise dN⊥ = +k 1 olur.

Kanıt: Devirli

C

lineer kodunun üreteç matrisi standart formdadır ve burada

G

, ( )

A k x n k− bo-yutlu bir matristir.

0

1

,

1

0

G

A

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

K

O

K

G

matrisinin satırları yer değiştirilerek

[ , ]

A I

′

k full

(son sütuna birimin oturması) formuna getirilir. Bundan yararlanarak Hamming anlamında diki yazı-lıp satırlar ters çevrilip non-Hamming anlamında dik olan

k

H kontrol matrisi yazılır. full formdadır. Satırlar yer değiştirilerek standart forma getirilir ve dolayısı ile olduğu

[ ,

n k

]

H

=

B I

₋ 1 N d⊥ _{= +}k _H matri-sinden çıkar.

3. MDS KODLAR VE AĞIRLIK

SAYAÇLARI

Teorem 13. ,

C

[

n k d

, ,

_N

]

lineer kodu MDS ise duali olan C⊥ _{de MDS dir.}

Kanıt. C⊥_{, lineer kodunun minimum uzaklığı}

N

d⊥

ol-sun. lineer kodu MDS olduğundan üreteç matrisi (2) deki standart formundadır ve

C

ol-duğundan, dir. C lineer kod

oldu-ğundan ve buradan da

olur.

G

matrisinin satırları yer değiştirile-rek formuna getirilir. Bundan yararlanarak. Hamming anlamında diki yazılıp satırlar ters çevrilip non-Hamming anlamında dik olan

1

N

d

= − +

n k

⊥ ( N d⊥ _{≤ −}n n k_{− −1)} 1 N d⊥ _{≤ +}k

[ , ]

A I

′

k H kontrol matrisi yazılır. full formundadır. Dolayısıyla

olur. C in MDS olduğu gösterilmiş olur.

[ ,

I

n k−

]

H

=

B

1

N

d⊥ = +k ⊥

Tanım 14. bir kod ve , kodundaki non-Hamming ağırlığında olan kodsözlerin sayısı olsun.

C

A C

_i i ( ) 0 ( ) i wN c C i i c C n W z A z z = ∈ =

∑

=

∑

polinomuna kodunun non-Hamming ağırlık sayacı denir.

C

Teorem 15.Fq, elemanlı sonlu bir cisim ve q

C

, bir

[

n k n k

, ,

− +

1

]

MDS kod olsun. , ağırlığındaki kodsözlerin sayısını göstermek ve , ol-mak üzere; i

A

i i

d

N

≤ ≤ n

i

( 1) i dN i A = q− q− olur.

Kanıt. olduğundan , MDS kodunun üreteç matrisi elemanter satır işlemleri ile (2) deki standart formuna getirilir. Burada

1

N

d

= − +

n k

C

, ( )

A k× −n k ti-pinde bir matrisdir. nıncı satır için ağırlığındaki kodların sayısı tane olur. inci satırda

ağırlığındaki kodlarının sayısı ise nıncı sa-tırla lineer kombinasyonunda, ağırlığı değiş-meyeceğinden tane olur. inci satırda

ağırlığındaki kodlarının sayısı ise

olur. Tümevarım ile 1 inci satırda ağırlığındaki kodların sayısı da olur. Dolayısıyla

için ,

k

d

_N 1 q−

k

−

1

1

N

d

+

k

1

N

d

+

( 1 q q− )

)

)

n

2

k

−

2

N

d

+

₍

_q

₋

₁₎₍

_q

2

n

1

(

1)(

k

q

−

q

− N

d

≤ ≤

i

( 1) i dN i A = q− q− olur.

Sonuç 3. Fq, q elemanlı sonlu bir cisim ve ,

C

[

n k n k

, ,

− +

1

]

MDS kodunun duali C olmak üzere ,

⊥

C⊥

[

_{n k k}

_{, ,}

₊

₁

]

_{MDS kodu olur. Ayrıca üreteç}

mat-risi,

0

1

,

1

0

H

B

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

K

O

K

olduğundan standart formdadır. Burada

n

−

k

×

k

tipinde bir matristir. , i ağırlığındaki kodsözlerin

sayısını göstersin. ⊥ n İ A N d⊥ _{≤ ≤}i _{olmak üzere,}

(

1)

N i i d

A

⊥

₌

q

₋

q

− ⊥ _olur.

Örnek 2. F3 cismi üzerinde

C

,

[

7, 4, 4

]

MDS

kodu-nun standart formdaki üreteç matrisi,

0 0 2 0 0 0 1

2 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0

G

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

olsun.

d

N

= − + =

n k

1 4

tür. tane kodsöz vardır. 4

3

= 1

8

7

4

N

d

= ≤ ≤

i

ağırlıkları 4 olan,

A

₄

=

2

tane vardır. Ağırlıkları 5 olan , tane vardır. Ağırlık-ları 6 olan ,

5

6

A

=

6

18

A

=

tane vardır. Ağırlıkları 7 olan

7

54

A

=

tane vardır. Sıfır kodsözü ile toplam 81 tane kodsöz olur. Duali için ;

0 0 0 1 0 0 1

0 2 0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0

H

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1 5 7 N d⊥ = + = ≤ ≤k i için, A₅⊥ =2 tane, A6 6 ⊥ _{= ,}

tane A₇⊥ =18, tane olmak üzere sıfır, kodsözü ile top-lam 27 tane kodsöz olur.

Makalenin düzeltmesinde katkıda bulunan hakeme teşekkürü bir borç biliriz.

KAYNAKÇA

[1]Dougherty, S. T. and Skriganov, M. M, (2002) MacWilliams Duality and the Rosenbloom-Tsfasman Metric, Moscow Mathematical

Journal, Vol. 2, Number (2) 1, 83-99.

[2]MacWilliams, F.J. and Sloane N.J.A. (1977), The Theory of Error-Correcting Codes, North Holland.

[3]Roman, S. (1992),Coding and Information Theory, Springer-Verlag.

[4]Rosenbloom, M. Yu. and Tsfasman M. A. (1997), Codes for the m-metric, Problems of Information Transmission , Vol. 33, (1), 45-52. [5]Siap, I. (2001), The Complete Weight Enumerator

for Codes over 8th IMA Conference on Cryptography and Codes, Cincester, UK,

) ( q s

n F

Lecture Notes on Computer Sciences Vol. 2260,

pp. 20-26 .

Fethi ÇALLIALP, 1970 yılında Çapa Yüksek Öğretmen Okulunu ve İstanbul Üniversitesi Fen Fa-kültesi Matematik Bölümünü bitirdi. 1973 yılında, Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi Mate-matik Bölümüne Asistan ola-rak,1978 yılında Doktorasını ve 1982 yılında Doçentliğini aldı. 1984-1992 yılları arasında 19 Mayıs Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde Bölüm Başkanı olarak çalıştı. 1988 yılında Profesör olarak atandı. 1992–1998 yılları arasında İTÜ Fen- Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde Prof. olarak çalışırken 1993-1996 yılları arasında Sakarya Üniversitesi Fen–Edebiyat Fakültesi Dekanı olarak atandı. 1998-2000 yılları arasında Marmara Üniversi-tesi Eğitim FakülÜniversi-tesinde Bölüm Başkanı olarak çalışır-ken emekli oldu ve Doğuş Üniversitesi Fen–Edebiyat Fakültesi Profesör kadrosuna atandı. Halen Matematik ve Fen Bilimleri Bölüm Başkanı olarak görev yap-maktadır.

Araştırma alanları; Cebirsel Sayılar Teorisi, Halkalar Teorisi ve Modül Teori üzerinedir

İrfan Şiap, 1992 İstanbul Üni-versitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü mezunudur. 1994-1999 yıllarında Ohio State Üniversitesi (A.B.D) Matematik alanında sırasıyla Yüksek lisans ve Doktora derecelerini almıştır. 2000-2002 yılları arasında Sa-karya Üniversitesinde çalışmış. 2003 yıllından itibaren Doçent olarak Gaziantep Üniversitesi Adıyaman Eğitim Fa-kültesi’nde çalışmaktadır. Çalışma alanı ağırlıklı ola-rak kodlama teorisi ve matematik eğitimi üzerinedir.

Mehmet Özen, 1994 yılı Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Mate-matik mezunudur. 1998 yılında Yüksek Lisansını ve 2002 yılında da Doktorasını Sakarya Üniver-sitesi’nde tamamlamıştır. Halen Sakarya Üniversitesi’nde Yrd. Doç. Dr. olarak görev yapmakta-dır. Çalışma alanı Cebirsel Kod-lama Teorisi dir.