Teta fonksiyonlarının periyotlarının 1/(2^{r}) katlarına göre değer değişimleri ve bu yolla elde edilen eliptik fonksiyon

T.C

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

TETA FONKSİYONLARININ PERİYOTLARININ KATLARINA

GÖRE DEĞER DEĞİŞİMLERİ VE BU YOLLA ELDE EDİLEN

ELİPTİK FONKSİYON

YÜKSEK LİSANS TEZİ

NİHAL ŞULE ERKOÇ

AĞUSTOS 2012

T.C

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ KABUL VE ONAY BELGESİ

Nihal Şule ERKOÇ tarafından hazırlanan, Teta Fonksiyonlarının Periyotlarının Katlarına Göre Değer Değişimleri ve Bu Yolla Elde Edilen Eliptik Fonksiyon, isimli Lisansüstü tez çalışması, Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun 29/08/2012 tarih ve 2012-237 sayılı kararı ile oluşturulan jüri tarafından Matematik Ana Bilim Dalı’nda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

(Tez Danışmanı) Prof. Dr. İsmet YILDIZ

Düzce Üniversitesi

Üye Üye

Yrd.Doç.Dr. Erhan SET Doç. Dr. Ahmet KÜÇÜK

Düzce Üniversitesi Kocaeli Üniversitesi

Tezin savunulduğu tarih: 29/08/2012

ONAY

Bu tez ile Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Nihal Şule ERKOÇ’un Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans derecesini almasını onaylamıştır.

Doç. Dr. Haldun MÜDERRİSOĞLU

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

29.08.2012

Anneannem Gülbeyaz Güven,

Dedem Tacettin Güven anısına

Ve Sevgili Aileme…

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimim ve bu tezin hazırlanması süresince gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Prof. Dr. İsmet YILDIZ’a en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Ortaöğretim, Lisans ve Lisansüstü öğrenimim boyunca ve sonrasında benden desteğini hiçbir zaman esirgemeyen ve esirgemeyecek olan sevgili arkadaşım Mehmet MUTLU’ya en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Hayatım boyunca benden yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili annem Zehra ERKOÇ’a, babam Necmettin ERKOÇ’a kardeşlerim Merve ve Neşe’ye sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Çocukluğumdan beri hep yanımda olan, benim bugünlere gelmemde en büyük paylardan birine sahip olan, bana maddi ve manevi her türlü imkanı ve desteği veren, zor günlerimi onların dualarıyla atlattığım anneannem Gülbeyaz GÜVEN ve dedem Tacettin GÜVEN’e teşekkürü bir borç bilirim. Ruhunuz şad, mekanınız cennet olsun.

ii

İÇİNDEKİLER Sayfa

TEŞEKKÜR SAYFASI………..………..…i

İÇİNDEKİLER.………...ii

SİMGELER ……….…...……..….iv

ÖZET………..………..………1

ABSTRACT………...….……….………2

EXTENDED ABSTRACT……….……….3

1. GİRİŞ…..….……….………4

..……….……….……….…..

. MATERYAL VE YÖNTEM. ….…………...………... ..

2.6. GENEL TETA FONKSİYONU ÖZDEŞLİĞİNİN KURULUŞU……...15

2.7. ÜÇ TERİMLİ TETA FONKSİYONU ÖZDEŞLİĞİNİN KURULUŞU....18

2.7.1 Jacobi Özdeşliğinin Elde Edilmesi………..………23

2.8. HİRSCHHORN - GARVAN - BORWEİN'in İKİ DEĞİŞKENLİ KÜBİK TETA FONKSİYONLARI İÇİN BAZI ÖZDEŞLİKLER………29

3. BULGULAR VE TARTIŞMA……….36

3.2. BİRİNCİ DERECEDEN GENELLEŞTİRİLMİŞ TETA FONKSİYONU37

4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER………...……...54

5. KAYNAKLAR….………...……...55

ÖZGEÇMİŞ

iv SİMGELER θ : Teta Fonksiyonu

θ₁ : Teta’nın İlk Fonksiyonu ℘ : Pe-fonksiyonu

ℝ : Reel Sayılar Kümesi ℕ : Doğal Sayılar Kümesi ℂ : Kompleks Sayılar Kümesi

ÖZET

TETA FONKSİYONLARININ PERİYOTLARININ KATLARINA

GÖRE DEĞER DEĞİŞİMLERİ VE BU YOLLA ELDE EDİLEN

ELİPTİK FONKSİYON

Nihal Şule ERKOÇ Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. İsmet YILDIZ Ağustos 2012, 57 sayfa

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin içeriği ve yapılan çalışmalar hakkında kısaca bilgi verildi. Ayrıca çalışma içerisinde kullanılmış olan tanımlar verildi. İkinci bölümde, Teta Fonksiyonunun tanımı ve q-Notasyonu verilerek Genel Teta Fonksiyonu Özdeşliği ve Kübik Teta Fonksiyonu Özdeşlikleri elde edildi. Üç Terimli Teta Fonksiyonu Özdeşlikleri elde edildi, Weierstrass Pe Eliptik fonksiyonu için toplam formülünün ispatı verildi. Üçüncü bölümde ise Teta fonksiyonlarının

     r r 

π πτ ,

2 2 periyot çiftlerine göre dönüşümleri elde edildi.

Anahtar sözcükler: İlk Teta Fonksiyonu, q-Notasyonu, Kübik Teta Fonksiyonu Özdeşlikleri, Weierstrass Pe Eliptik Fonksiyonu

ABSTRACT

TRANSFORMATIONS OF THE THETA FUNCTIONS FOR THE PERIODS AND THE ESTABLISHED ELLIPTIC FUNCTIONS

Nihal Şule ERKOÇ Duzce University

Graduade School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Prof. İsmet YILDIZ August 2012, 57 pages

Keywords : First Theta Functions, q-Notation, Cubic Theta Function İdentities Weierstrass Pe-elliptic Function

That Theta Function Identities consist of three part. First part includes about the study and it’s informed. And given definitons using in study. Second part given definition of Theta Function and q-Notation. Theta Function with Three Term Identities was obtained. Given summation formula for Weierstrass Pe-elliptic Function was obtained. In third part Transformations of the theta functions for the period pairs _ _

 r r 

π πτ ,

2 2 was obtained.

EXTENDED ABSTRACT

TRANSFORMATIONS OF THE THETA FUNCTIONS FOR THE PERIODS AND THE ESTABLISHED ELLIPTIC FUNCTIONS

Nihal Şule ERKOÇ Düzce University

Graduade School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master of Science Thesis

Supervisor: Prof. İsmet YILDIZ August 2012, 57 pages

1.INTRODUCTION

This thesis consist of three parts. In first part information given about thesis. And definitions was explained due to understood easily. In second part it was given integral represantations for continued fraction and some important theta functions. General theta function elliptic functions complex theory it’s obtained four factor. It’s given definition of Jacobi theta function and it used three factor theta function quintuple product identity that found Ramanujan’s lost notebook was used for find Eisenstein series. In third part Transformations of the theta functions for the period pairs _ _

 r r  π πτ , 2 2 was obtained.

1

G·

IR·

I¸

S

Bu tezin üçüncü bölümünde sürekli kesirler için integral gösterimi verildi. ·

Integral gösterimini verirken a¸sa¼g¬daki özde¸slik elde edildi. (q; q)4₁ ( q; q)4₁ = 1 8 1 X m=0 (4m + 1)q4m+1 1 q4m+1 2(4m + 2)q4m+2 1 q4m+2 + (4m + 3)q4m+3 1 q4m+3 (1) Daha sonra bu özde¸slik kullan¬larak, baz¬önemli teta fonksiyonu özde¸slikleri elde edildi. Genel teta fonksiyonu özde¸sli¼gi, eliptik fonksiyonlar¬n kompleks de¼gi¸sken teorisi kullan¬larak dört de¼gi¸sken ile kuruldu. Bunlar¬yaparkende Jacobi teta fonksiyonu özde¸sli¼ginden faydalan¬ld¬. Ayn¬zamanda, baz¬di¼ger kübik teta fonksiyonu özde¸slikleri de elde edilip

1

Y

n=1

(1 qn)10

’n¬n gösterimi verildi. Eliptik fonksiyonlar¬n kompleks de¼gi¸skenli teorisi kul-lan¬larak üç terimli teta fonksiyonu özde¸slikleri elde edildi. Be¸sli çarp¬m özde¸sli¼ginden ve be¸sinci dereceden modüler denklemlerle ve di¼ger teta fonksiy-onu özde¸slikleriyle alakal¬genel bir teta fonksiyonu özde¸sli¼ginden bu özde¸ s-likler elde edildi. Ayr¬ca Weierstrass } eliptik fonksiyonu için toplam teo-reminin ispat¬verildi. Dörtlü teta fonksiyonu çarp¬m¬n¬içeren özde¸slik ver-ildi. Shen ve McCullough bu özde¸slikten bir teta fonksiyonu özde¸sli¼gi elde etmi¸stir.

Dördüncü bölümde ise Teta fonksiyonlar¬n¬n ₂r;₂r periyot çiftlerine

1.1

KURAMSAL KAVRAMLAR

Bu k¬s¬mda tezin içeri¼gi ve yap¬lan çal¬¸smalar hakk¬nda k¬saca bilgi verip, çal¬¸sma içerisinde kullan¬lm¬¸s olan tan¬mlar verece¼giz.

1.1.1 Genel Kavramlar

Tan¬m 1.1.1.1 (Yak¬nsakl¬k): Kompleks say¬lar¬n bir fzng dizisi ve z0 2 C

verilsin. Her " > 0 say¬s¬için n> n0oldu¼gunda jzn z0j < " olacak biçimde

bir n0 do¼gal say¬s¬varsa, bu dizi z0 kompleks say¬s¬na yak¬ns¬yor denir. fz0g

dizisinin z0 noktas¬na yak¬nsamas¬zn ! z0 biçiminde gösterilir.

Tan¬m 1.1.1.2 (Süreklilik): A _{C, f : A ! C bir fonksiyon ve z}0 2 A

olsun. " > 0 key… olmak üzere z 2 A ve jz z0j < için

j f (z) f (z0)j < "

olacak biçimde (z0; ") > 0 say¬s¬mevcut ise f ye z0 noktas¬nda süreklidir

denir.

Tan¬m 1.1.1.3 (Seri):

a1+ a2+ a3+ ::: + an+ :::

ifadesine seri denir. a1; a2; ::: say¬lar¬na da serinin terimleri ad¬verilir.

Bir seriyi göstermek için

a1+ a2+ a3+ ::: + an+ ::: = 1 X n=1 an veya a1+ a2+ a3+ ::: + an+ ::: = X an kullan¬l¬r.

Tan¬m 1.1.1.4 (Analitik Fonksiyon): f , kompleks de¼gi¸skenli ve kompleks de¼gerli fonksiyonu z0 2 C noktas¬n¬n bir kom¸sulu¼gunda tan¬ml¬olsun.

E¼ger

lim

z!z0

f (z) f (z0)

z z0

limiti varsa, bu fonksiyona z0 noktas¬nda diferansiyellenebilirdir denir.

E¼ger f (z), z0 noktas¬n¬n bir kom¸sulu¼gunda diferansiyellenebilirse, f ye z0

noktas¬nda analitik fonksiyon denir.

Tan¬m 1.1.1.5 (Tam Fonksiyon): Bütün sonlu z düzleminde analitik olan fonksiyonlara tam fonksiyonlar denir.

Tan¬m 1.1.1.6 (Analitik Devam): Bir f (z) fonksiyonu, a merkezli C1

yak¬nsakl¬k çemberi içinde

a0 + a1(z a) + a2(z a)2+ :::

ile tan¬mlanan Taylor serisi ile gösterilebilir. C1 çemberi içinde seçilmi¸s

bir b noktas¬için; yukar¬daki aç¬l¬mdan, f (z) fonksiyonunun b noktas¬ndaki türevleri ve f (z) fonksiyonunun de¼geri bulunabilir. Böylece

b0+ b1(z b) + b2(z b)2+ :::

serisi yeni bir seri olup C2 yak¬nsakl¬k dairesine sahip olur. E¼ger C1’den

öteye bir C2 varsa o zaman f (z)’nin de¼geri ve türevleri bu parça uzamas¬

içinde bulunabilir ve böylece f (z) ile ilgili fazla bilgiye sahip oluruz. Bu durumda; f (z) fonksiyonunun analitikli¼ginin C1e¼grisinin ötesine geni¸

sleye-bildi¼gini söyleyebiliriz. Buna analitik devaml¬l¬k denir.

Tan¬m 1.1.1.7 (Rezidü): f (z) fonksiyonu, tek de¼gerli olmak üzere C içindeki bir z = z0 noktas¬ hariç, C’nin üzerinde ve içinde analitik olsun.

f (z) fonksiyonunun z = z0 noktas¬ndaki Laurent aç¬l¬m¬, n = 0; 1; 2; :::

için f (z) = 1 X n=0 an(z z0) n + 1 X n=1 bn(z z0) n ¸seklindedir.

Bu aç¬l¬mdaki negatif üslü ilk terimin katsay¬s¬ olan b1 terimine, f (z)

fonksiyonunun z = z0 noktas¬ndaki rezidüsü denir ve

Re z (f; z0) = b1

ile tan¬mlan¬r. Bu rezidü ayr¬ca b1 = 1 2 i Z C f (z) dz

integrali ile de hesaplanabilir. E¼ger bu nokta bir basit kutup ise o zaman f (z) = b1

z z0

+ a0+ a1(z z0) + a2(z z0) 2

+ :::

aç¬l¬m¬var olup burdan

b1 = lim z!z0

[(z z0) f (z)]

limiti ile de rezidü hesaplanabilir.

Tan¬m 1.1.1.8 (Meromorf Fonksiyon): Bir B bölgesinde kutup nokta-lar¬ndan ba¸ska singüler noktas¬olmayan fonksiyonlara meromorf fonksiyon-lar denir.

Tan¬m 1.1.1.9 (Eliptik Fonksiyon): Aç¬k z düzleminde meromor…k, çifte periyodik fonksiyonlar eliptik fonksiyonlard¬r.

Tan¬m 1.1.1.10 (Jacobi Teta Fonksiyonu): Jacobi teta fonksiyonu

1(zj ) = iq1=8 1 X n= 1 ( 1)nqn(n+1)=2e(2n+1)iz = 2q1=8 1 X n=0 ( 1)nqn(n+1)=2sin (2n + 1) z ¸seklinde tan¬mlanm¬¸st¬r

2

MATERYAL VE YÖNTEM

Bu bölümde fonksiyonunun tan¬m¬ ve q notasyonunu verilip, genel teta fonksiyonu özde¸sli¼ginin ve kübik teta fonksiyonu özde¸sliklerinin ispatlar¬ yap¬ld¬.

2.1

q-NOTASYONU

2.2

(z

j q)

FONKS·

IYONUNUN TANIMI

·

Ilk fonksiyonu 1(z j q) a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r; q = e2 i ve =( ) > 0

oldu¼gu yerde 1(z j q) = iq 1 8 1 X n= 1 ( 1)nqn(n+1)2 e(2n+1)iz (2) veya 1(zj q) = 2q 1 8 1 X n=0 ( 1)nqn(n+1)2 sin(2n + 1)z (3) ’d¬r.

1(z j q) a¸sa¼g¬da verildi¼gi gibi sonsuz çarp¬mlar cinsinden ifade edilebilir: 1(z j q) = 2q

1

8 sin z(q; q)

1(qe2iz; q)1(qe 2iz; q) (4)

= iq18(q; q)

2.3

ÖZDE¸

SL·

IKLER·

IN ·

ILK GRUBU

Burada ispatlanacak olan özde¸sliklerin ilk grubu 3+4i 2 01 1 (2 _{j q}4) 01 1 ( _{j q}4) +4 001 1 (2 _{j q}4) 001 1 ( _{j q}4) ; (6) = (q; q) 4 1 ( q; q)4 1 = q 5 2 ( 0₁(q))4 16 ( 1( j q4) 1(2 j q4)) 4 (7) ile verildi.

Yukar¬daki özde¸sliklerin ispat¬n¬ vermeden önce, bunlarla ilgili di¼ger sonuçlar¬ispatlayal¬m.

(5)’de q yerine q4 _{al¬n¬p, z = ve z = 2 yaz¬l¬rsa,}

1( j q4) = i(q4; q4)1 q; q4 ₁(q3; q4)1 (8) ve 1(2 j q4) = iq 1 2(q4; q4) 1 q2; q4 2₁ (9) elde edilir. (8) ve (9) çarp¬l¬rsa, 1( j q4) 1(2 j q4) = q 1 2(q4; q4)2 1 q; q 4 1(q 3_{; q}4₎ 1 q2; q4 2₁ = q 12(q; q) 1 q2; q4 ₁(q4; q4)1 q 1 2(q; q)2 1( q; q)1 (10) bulunur.

(4)’de z’ye göre türev al¬p, z = 0 yaz¬l¬rsa;

1(0j q) = 1(q) = 2q 1 8(q; q)3 1 (11) elde edilir. Ayn¬zamanda (2)’den e2iz 1(4z + j q4) = iq 1 2 1 X n= 1 ( 1)ne2izq2n2+2e(2n+1)i(4z+ ) = iq12 1 X n= 1 ( 1)ne2izq2n2 2e(2n 1)i(4z+ )

= i

1

X

n= 1

( 1)nq2n2 2e(8n 2)iz (12)

z’ye göre iki kez türev al¬n¬p, z yerine z = 0 yaz¬l¬rsa sol taraf = 4 1( j q4) + 16i 01( j q4) + 16 001( j q4)

z’ye göre iki kez türev al¬n¬p, z yerine z = 0 yaz¬l¬rsa, sa¼g taraf, Jacobi’nin üçlü çarp¬m özde¸sli¼gi kullan¬larak

= i 1 X n= 1 ( 1)n(8n 2)2q2n22 n (13) = i 4 + 32q d dq 1 X n= 1 ( 1)nq2n2 n = i 4 + 32q d dq (q; q 3_{; q}4_{; q}4₎ 1 elde edilir. Yine, (2)’den e4iz 1(4z + 2 j q4) = iq 1 2 1 X n= 1 ( 1)nq2n2ei8nz (14) bulunur.

Her iki taraf¬n z’ye göre iki kez türevi al¬n¬p, z = 0 yaz¬l¬rsa;

16 1(2 j q4) + 32i 01(2 j q4) + 16 001(2 j q4) (15) = iq 12 32q d dq q 2_{; q}2_{; q}4_{; q}4 1 elde edilir.

Sa¼g tarafa logaritmik türevi uygulayarak (13) ve (15) sadele¸stirilip, 4 16i 01 1 ( _{j q}4) 16 001 1 ( _{j q}4) (16) = 4 32 1 X n=1 4nq4n 1 q4n + (4n 1)q4n 1 1 q4n 1 + (4n 3)q4n 3 1 q4n 3 ve 16 32i 01 1 (2 _{j q}4) 16 001 1 (2 _{j q}4) (17) = 32 1 X n=1 4nq4n 1 q4n + 2(4n 2)q4n 2 1 q4n 2

’i elde etmek için (8) ve (9) kullanl¬r. (17)’den (16) ç¬kar¬l¬rsa, 12 + 16i 01 1 ( _{j q}4) 2 01 1 (2 _{j q}4) + 16 001 1 ( _{j q}4) 001 1 (2 _{j q}4) = 4 1 8 1 X n=1 (4n 1)q4n 1 1 q4n 1 2(4n 2)q4n 2 1 q4n 2 + (4n 3)q4n 3 1 q4n 3 ! veya 3+4i 2 01 1 (2 _{j q}4) 01 1 ( _{j q}4) + 4 001 1 (2 _{j q}4) 001 1 ( _{j q}4) = 1 8 1 X n=1 (4n + 1)q4n+1 1 q4n+1 2(4n + 2)q4n+2 1 q4n+2 + (4n + 3)q4n+3 1 q4n+3 (18) bulunur.

(1)’den, (6) özde¸sli¼gine, (10) ve (11)’den, (7) özde¸sli¼gine ula¸s¬l¬r.

2.4

D·

I ¼

GER ÖZDE¸

SL·

IKLER

(i) 01 1 0(2 j q) 01 1 0(4 j q) = 1 8 1 X m=1 (4m + 1)q4m+1 1 q4m+1 2(4m + 2)q4m+2 1 q4m+2 + (4m + 3)q4m+3 1 q4m+3 (19) = (q; q) 4 1 ( q; q)4 1 (20) (ii) 3+4i 2 01 1 (2 _{j q}4) 2 01 1 ( _{j q}4) +4 001 1 (2 _{j q}4) 001 1 ( _{j q}4) = 01 1 0(2 j q) 01 1 0(4 j q)

(i)’nin ·Ispat¬: A¸sa¼g¬daki özde¸slikle ba¸slayal¬m 01 1 0(z j q) = cot z + 4 1 X n=1 qn 1 qnsin 2nz (21)

Her iki taraf¬n z’ye göre türevi al¬n¬rsa 01 1 0(z j q) = csc2z + 4 1 X n=1 2nqn 1 qncos 2nz (22) bulunur.

(22) ’de art arda z = ₄ ve z = 2

4 yaz¬l¬rsa ve birinden di¼geri ç¬kar¬l¬rsa;

01 1 0(4 j q) 01 1 0(2 j q) = 1 + 8 1 X n=1 nqn 1 qn cos n 2 cos n

n, mod 4’e göre al¬n¬rsa; sonuçta ortaya ç¬kan ifadelerin toplanmas¬yla, 01 1 0(4 j q) 01 1 0(2 j q) 1 + 8 1 X m=0 (4m + 1)q4m+1 1 q4m+1 2(4m + 2)q4m+2 1 q4m+2 + (4m + 3)q4m+3 1 q4m+3 elde edilir.

Bu (19)’u ispatlar ve (1)’den (20) elde edlir.

(ii)’nin ·Ispat¬: (6) ve (19) birle¸stirilerek (ii) elde edilir.

2.5

D·

I ¼

GER

ÖZDE¸

SL·

IKLER·

I

(i) 001 1 ( 4 j q) 001 1 ( 2 j q) (23) = 16 1 X m=1 q4m+1 (1 q4m+1₎2 2q4m+2 (1 q4m+2₎2 + q4m+3 (1 q4m+3₎2 (ii) 01 1 0( j q 4 ) 01 1 00(2 j q 4 ) = 4 1 X m=1 q4m+1 (1 q4m+1₎2 2q4m+2 (1 q4m+2₎2 + q4m+3 (1 q4m+3₎2 (24) (iii) 001 1 ( 4 j q) 001 1 ( 2 j q) = 4 01 1 0( j q 4₎ 01 1 00(2 j q 4_{) (25)}

(i)’nin ·Ispat¬: A¸sa¼g¬daki, bilinen özde¸slikte 001 1 (z _{j q) = 1 + 16} 1 X n=1 qn (1 qn₎2cos 2nz + 8 1 X n=1 nqn 1 qn art arda z = ₄ ve z = 2

4 al¬narak, birinci ba¼g¬nt¬dan ikinci ba¼g¬nt¬ç¬kar¬l¬rsa,

001 1 ( 4 j q) 001 1 ( 2 j q) = 16 1 X n=1 cosn 2 cos n qn (1 qn₎2 bulunur.

Sa¼g taraftaki n toplam¬n¬mod 4’te n’e bölelim. Buradan (i)’yi ispat-layan 001 1 ( 4 j q) 001 1 ( 2 j q) = 16 1 X m=1 q4m+1 (1 q4m+1₎2 2q4m+2 (1 q4m+2₎2 + q4m+3 (1 q4m+3₎2 elde edilir.

(ii)’ nin ·Ispat¬: (5)’_{in logaritmik türevi al¬n¬p, q ! q}4 yaz¬l¬p art arda z = ve z = 2 yaz¬l¬rsa; 01 1 0( j q 4_{) = 4} 1 X n=0 q4n+1 (1 q4n+1₎2 + 4 1 X n=0 q4n+3 (1 q4n+3₎2 (26) 01 1 0(2 j q 4 ) = 4 1 X n=0 q4n+2 (1 q4n+2₎2 + 4 1 X n=0 q4n+2 (1 q4n+2₎2 (27)

(26)’den (27) ç¬kar¬l¬rsa (ii)’yi ispatlayan 01 1 0( j q 4₎ 01 1 0(2 j q 4_{) = 4} 1 X n=0 q4n+1 (1 q4n+1₎2 2q4n+2 (1 q4n+2₎2 + q4n+3 (1 q4n+3₎2 bulunur.

(iii)’ün ·Ispat¬: (23) ve (24)’in sol tara‡ar¬birbirine e¸sitlenerek (iii)’ ü bulunur.

Im ( ) > 0 için exp (2 i )’yu q ile gösterece¼giz. Benzer notasyon olan (z; q)₁ =

1

Y

n=0

’i kullan¬ld¬. Bunun yan¬nda bazende (28) (a; b; c; :::; q)₁ = (a; q)₁(b; q)₁(c; q)₁::: (29) yaz¬ld¬. Her m > 0 tamsay¬s¬için z; zq; :::; zqm 1; qm 1= (z; q)1 (30) oldu¼gu görülür.

E¼ger !, ! = exp 2 i₃ ile verilen birle¸simin basit küpkökü olarak tan¬m-lan¬rsa, (1 x) (1 x!) (1 x!2) = 1 x3 özde¸sli¼gi kullan¬larak

z; z!; z!2; q = z3; q3

1 (31)

bulunur. Bilinen Jacobi üçlü çarp¬m özde¸sli¼gi (q; z; q=z; q)₁= 1 X n= 1 ( 1)nqn(n 1)=2zn (32) ’dir.

Jacobi teta fonksiyonu 1(z j ) 1(zj ) = iq1=8 1 X n= 1 ( 1)nqn(n+1)=2e(2n+1)iz = 2q1=8 1 X n=0 ( 1)nqn(n+1)=2sin (2n + 1) z (33) ile tan¬ml¬ Jacobi teta fonksiyonu 1(z j )’ nun baz¬ temel durumlar¬na

ihtiyac¬m¬z var. Buradan 1(z + j ) = 1(z j ) ve 1(z + j ) = q 1 2e 2iz 1(z j ) (34) elde edilir. ·

Iyi bilinen Jacobi üçlü çarp¬m özde¸sli¼gi kullan¬larak (q; z; q=z; q)₁=

1

X

n= 1

bulunur.

1(z j ) için sonsuz çarp¬m gösterimini anlayabiliriz. Yani, 1(z j ) = 2q

1

8(sin z)(q; qe2iz; qe 2iz; q)

1

= iq18e iz(q; e2iz; qe 2iz; q)

1 (36)

01(z j ), 01(z j )’nun z’ye göre k¬smi türevini göstermek için

kul-lan¬ld¬. (36)’n¬n z’ye göre türevi al¬n¬p z = 0 yaz¬l¬rsa, 01(0j ) = 2q

1 8(q; q)3

1 (37)

elde edilir.

Genel teta fonksiyonu özde¸sliklerini olu¸sturmak için, eliptik fonksiyon-lar¬n kompleks de¼gi¸sken teorisini kullan¬l¬r. Be¸sinci dereceden modüler e¸ sit-liklerle ili¸skili baz¬ önemli teta fonksiyonu özde¸slikleri türetilip; özellikle, Rogers-Ramanujan sürekli kesirleri ile kar¸s¬lanan iki temel özde¸sli¼gin yeni ispatlar¬n¬verece¼giz.

2.6

GENEL TETA FONKS·

IYONU ÖZDE¸

SL·

I ¼

G·

IN·

IN

KURULU¸

SU

Teorem 2.6.1: Kabul edelimki f (z)

f (z + ) = f (z) ve f (z + ) = q 3=2e6izf (z) (38) fonksiyonel e¸sitlikleri sa¼glayan tam fonksiyonlar olsun. Böylece a¸sa¼g¬daki özde¸slikler sa¼glan¬r.

ff(z) f ( z)_g 1(xj ) 1(y j ) 1(x + y j ) 1(x yj )

=_ff(y) f ( y)_g 1(xj ) 1(z j ) 1(x + zj ) 1(x z j )

Teorem 2.6.1’in ·Ispat¬:

Teoremi ispatlamak için a¸sa¼g¬daki Lemma2.6.1’e ihtiyac¬m¬z var. Lemma2.6.1 eliptik fonksiyonlar¬n esas teoremidir.

Bir çok önemli teta fonksiyonu özde¸sli¼gini olu¸sturmak için Lemma2.6.1’i kuland¬k.

Lemma 2.6.1: Eliptik fonksiyonun tüm rezidülerinin toplam¬, periyo-dik paralelkenarda s¬f¬rlan¬r.

·

Ispat: Kabul edelim ki f (u), (38)’deki fonksiyonel e¸sitlikleri içeren bir fonksiyon olarak verilsin. O zaman

g(u) = 1(2uj ) f(u)

1(uj ) 1(u xj ) 1(u + xj ) 1(u yj ) 1(u + y j ) 1(u z j ) 1(u + zj )

(40) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

Burada biz geçici olarak 0 < x; y; z < ’nin 1(2uj ) f(u)’nun s¬f¬r

noktalar¬ndan farkl¬, ayr¬parametreler oldu¼gunu kabul edelim.

1(z + j ) = 1(z j ) ve 1(z + j ) = q 1=2e 2iz 1(zj ) (41)

fonksiyonel e¸sitliklerini kullanarak g(u + ) = g(u) ve g(u + ) = g(u) oldu¼gunu do¼grulayabiliriz. Buradan g(u), ve periyodlu eliptik fonksiyon-dur. Sadece x, x, y, y, z, z’nin bunun kutuplar¬oldu¼gunu ve tüm kutuplar¬n¬n basit kutup oldu¼gunu kolayca bulabiliriz. Bu çal¬¸smada, g’nin ’daki rezidülerini; res(g : ) ile gösterece¼giz. Böylece Lemma2.6.1 res(g; x)+res(g; x)+res(g; y)+res(g; y)+res(g; z)+res(g; z) = 0

(42) ’ü verir.

Bu çal¬¸_{smada u’ ya göre k¬smi türevi göstermek için u0 kullanaca¼}g¬z. ¸

Simdi a¸sa¼g¬daki basit hesaplama vard¬r. res(g; x) = lim u!x(u x)g(u) = lim u!x 1(2uj ) f(u) 1(uj ) 1(u + x j ) 1(u yj ) 1(u + y j ) 1(u z j ) 1(u + zj ) lim u!x u x 1(u xj )

= f (x) 01(0j ) 1(xj ) 1(x yj ) 1(x + y j ) 1(x z j ) 1(x + zj ) (43) Ayn¬yoldan res(g; x) = f (x) 01(0j ) 1(xj ) 1(x yj ) 1(x + yj ) 1(x z j ) 1(x + z j ) (44) oldu¼gunu gösterebiliriz.

res(g; y) = f (y) 01(0j ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + yj ) 1(y z j ) 1(y + z j ) (45) ve res(g; y) = f ( y) 01(0j ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + y j ) 1(y z j ) 1(y + z j ) (46) ’yi elde etmek için, g(u)0nun x, y ve z’ye göre simetrik oldu¼gunu belirterek, (43) ve (44)’de x ve y’yi de¼gi¸stoku¸s ettik.

Benzer ¸sekilde; res(g; z) = f (z) 01(0j ) 1(z j ) 1(x z j ) 1(x + zj ) 1(y z j ) 1(y + z j ) (47) ve res(g; z) = f ( z) 01(0j ) 1(zj ) 1(x z j ) 1(x + z j ) 1(y z j ) 1(y + z j ) (48) ’u buluruz.

(42)’de, (43) ve (48)’u yerine koyarak, baz¬sadele¸stirmelerden sonra, (40)’ i elde ederiz. Analitik devam ile (40)’ in tüm x, y ve z’ ler için sa¼glanaca¼g¬n¬biliyoruz. Buda Teorem2.6.1’in ispat¬n¬tamamlar.

Teorem 2.6.2: 1(z j ) (33) ile tan¬mlanan Jacobi teta fonksiyonu

olsun. Böylece her x, y, z için

1 y j

1 xj

3 1(y j ) 1(z j ) 1(y z j ) 1(y + zj ) = 1 z j

3 1(xj ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + y j ) (49) ’u elde ederiz.

·

Ispat: 1(x j ₃)’ün Teorem2.6.1’in tüm ko¸sullar¬n¬sa¼glad¬¼

g¬n¬kan¬t-lamak kolayd¬r. Teorem2.6.1’de f (x) = 1(x j ₃) alarak, Teorem2.6.2’yi

çabucak elde ederiz; ve böylece Teorem2.6.2’nin ispat¬n¬tamamlar¬z.

2.7

ÜÇ TER·

IML·

I TETA ÖZDE¸

SL·

I ¼

G·

IN·

IN

KURULU¸

SU

Teorem 2.7.1:

f (z); f (z + ) = f (z)vef (z + ) = q 2e 8izf (z) (50) fonksiyonel e¸sitliklerini sa¼glayan tam fonksiyonlar olsun.

O halde z’den ba¼g¬ms¬z bir C sabiti vard¬r öyle ki

f (z) f ( z) = C 1(2z j ) (51)

Teorem 2.7.2:

h(z); h(z + ) = h(z)veh(z + ) = q 32e 6izh(z) (52)

fonksiyonel e¸sitliklerini sa¼glayan tam fonksiyonlar olsun. O halde,

h(z) + h( z) = 1(2zj )

1(z j )

h(0) (53) ’d¬r.

Buradan be¸sli çarp¬m özde¸sli¼ginin ve baz¬önemli teta fonksiyonu özde¸ s-liklerinin türevini bu teorem sayesinde al¬r¬z.

Teorem 2.7.1 ’in ·Ispat¬:

Teoremi ispatlamak için, a¸sa¼g¬daki Lemma 2.7.1’i verece¼giz. Lemma 2.7.1, eliptik fonksiyonlar¬n temel teoremidir.

Lemma 2.7.1: Herhangi bir periyodik paralelkenar üzerinde bir elip-tik fonksiyonun kendi kutuplar¬nda ki rezidüleri toplam¬ s¬f¬rd¬r. ¸Simdi Lemma2.7.1’i kullanarak Teorem2.7.1’i ispatlamaya ba¸slayabiliriz.

·

Ispat: f (u)ile verilen fonksiyon, (50)’deki fonksiyonel e¸sitlikleri sa¼glas¬n. g(u) = f (u)

1(u yj ) 1(u + y j ) 1(u z j ) 1(u + zj )

(54) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

Burada, geçici olarak, 0 < y; z < ’nin f (u) ’nun s¬f¬r noktalar¬nda farkl¬iki parametre oldu¼gunu kabul edece¼giz.(34) ’deki fonksiyonel e¸sitlikleri kullanarak, g(u + ) = g(u) oldu¼gunu do¼grulayabiliriz. Bundan dolay¬g(u), ve periyotlu bir eliptik fonksiyondur. y, y, z, z ’nin onun kutuplar¬oldu¼gu ve bütün kutuplar¬n¬n basit kutup oldu¼gu aç¬kt¬r.

Bu çal¬¸smada g ’nin ’daki rezidüsünü res(g; ) ile gösterece¼giz. Böylece Lemma2.7.1

res(g; y) + res(g; y) + res(g; z) + res(g; z) = 0 (55) ’yi verir.

¸

Simdi rezidüleri hesaplamaya ba¸slayal¬m. L’Hospital kural¬ile, res(g; y) = lim

u!y(u y)g(u) = limu!y

f (u) 1(u + y j ) 1(u z j ) 1(u + zj ) lim u!y u y 1(u y j ) = f (y) 01(0j ) 1(2y j ) 1(y z j ) 1(y + zj ) (56) yyerine yyaz¬p, elde edilen denklemde f ( y) = f ( y), 1(2 2y) = 1(2y j ), 1(y z j ) = 1(y+z j ), 1(y +zj ) = 1(y z j )

ba¼g¬nt¬lar¬n¬kullanarak

res(g; y) = f ( y)

01(0j ) 1(2y j ) 1(y z j ) 1(y + z j )

’ü buluruz.

g(u)’nun y ve z’de simetrik oldu¼gunu unutmayal¬m. (42) ve (43)’de y ve z’nin yerlerini de¼gi¸stirirsek, s¬ras¬yla

res(g; z) = f (z) 01(0j ) 1(2zj ) 1(y z j ) 1(y + z j ) (58) res(g; z) = f (z) 01(0j ) 1(2y j ) 1(y z j ) 1(y + z j ) (59) ’ya ula¸s¬r¬z. (56) ve (59)’y¬(55)’de yerine koyup sonrada

01(0j ) 1(y z j ) 1(y + z j ) faktörünü sadele¸stirisek f (z) f ( z) 1(2zj ) = f (y) f ( y) 1(2y j ) (60) ’yi elde ederiz.

Bu özde¸slik f (z) f ( z)= 1(2z j )’nun z’den ba¼g¬ms¬z oldu¼gunu

gös-terir. O halde bu sabit olmal¬d¬r. Bu sabite C diyelim. Böylece (36)’y¬elde ederiz. Analitik devam ile (36)’n¬n her z için sa¼gland¬¼g¬n¬biliyoruz. Bu da Teorem2.7.1’in ispat¬n¬tamamlar.

Teorem 2.7.2’nin ·Ispat¬: h(z) fonksiyonu (52)’daki e¸sitlikleri sa¼glar ve 1(z j )’da (34)’deki e¸sitlikleri sa¼glar. Bu nedenle

h(z) 1(z j )’nun (50)’deki fonksiyonel e¸sitlikleri sa¼glad¬¼g¬n¬biliyoruz. 1(zj ) (h(z) + h( z)) = C 1(2zj ) (61)

’i elde etmek için f (z) = h(z) 1(z j ) olarak alabiliriz.

Her iki taraf¬ 1(zj )’ya bölerek

h(z) + h( z) = C 1(2zj )

1(z j )

(62) ’yi buluruz.

Bu e¸sitlikte z = 0 yazarak C = h(0)’¬buluruz. (62)’de C = h(0)0_¬yerine

yazarak (53)’e ula¸s¬r¬z ve buda Teorem2.7.2’nin ispat¬n¬tamamlar. Teorem 2.7.3: E¼ger ,f1(z)ve f2(z) iki farkl¬,

fonksiyonel e¸sitliklerini sa¼glayan tam fonksiyonlar ise z’den ba¼g¬ms¬z bir C sabiti vard¬r öyle ki

C 1(zj ) 1(2zj ) = f2(0) (; f1(z) + f1( z)) f1(0) (; f2(z) + f2( z))

(64) ’d¬r.

·

Ispat: f1(z) ve f2(z)’nin (63)’deki fonksiyonel e¸sitlikleri sa¼glad¬¼g¬n¬

varsayal¬m. O halde ff2(0)f1(z) f1(0)f2(z)g = 1(z j )’da (50)’deki

e¸sit-likleri sa¼glar. Böylece Teorem2.7.1’de

f (z) = _ff2(0)f1(z) f1(0)f2(z)g = 1(z j ) alabiliriz ve Teorem2.7.1’deki

(51) Teorem2.7.3’deki (64)’e dönü¸sür. Buda Teorem2.7.3’ün ispat¬n¬tamam-lar. Teorem 2.7.4: (q; q)₁ 1(2z j ) 1(zj ) = 2 1 X 1 ( 1)nq(3n2+n)=2cos(6n + 1)z (65) ’dür. ·

Ispat: (34)’ü kullanarak e2iz

1(3z + j 3 )’nun (52)’u sa¼glad¬¼g¬n¬

söyleyebiliriz, böylece (53)’de h(z) = e2iz 1(3z+ j 3 ) alabiliriz. 1(zj )

için sonsuz çarp¬m gösterimini ve do¼grudan hesaplamay¬kullanarak h(0) = 1( j 3 ) = iq

1 8(q; q)

1

’u buluruz. Buradan iq 18(q; q) 1 1(2zj ) 1(z j ) = e2iz 1(3z + j 3 ) e 2iz 1(3z j 3 ) (66) olur. 1(z j ) = 2q1=8 1 X n=0 ( 1)nqn(n+1)=2sin (2n + 1) z

’de 1(z j ) için seri aç¬l¬m¬n¬kullanarak

e2iz 1(3z + j 3 ) = iq 1 8 1 X 1 ( 1)nq(3n2+n)=2e (6n+1)zi (67)

sonucuna ula¸s¬r¬z. z yerine z yazarak e 2iz 1(3z j 3 ) = iq 1 8 1 X 1 ( 1)nq(3n2+n)=2e(6n+1)zi (68)

’y¬buluruz. Euler özde¸sli¼gi 2 cos z = eiz _{+ e} iz _{’yi kullanarak}

e2iz 1(3z + j 3 ) e 2iz 1(3z j 3 ) = 2iq 18 1 X 1 ( 1)nq(3n2+n)=2cos(6n + 1)z (69)

’yi kolayca buluruz. (65)’ü elde etmek için (66)’ün sa¼g taraf¬n¬n yerine (69)’yi yaz¬p iq 18 faktörünü sadele¸stiririz.

Böylece Teorem2.7.4’ün ispat¬n¬tamamlam¬¸s oluruz. Teorem 2.7.5:

1(z + x1 j ) 1(z + x2 j ) 1(z + x3 j ) 1(z x1 x2 x3 j ) 1(z x1 j ) 1(z x2 j ) 1(z x3 j ) 1(z + x1+ x2+ x3 j )

= 1(x1+ x2 j ) 1(x1+ x3 j ) 1(x2+ x3 j ) 1(2zj ) (70)

’dür.

Teorem 2.7.5’in ·Ispat¬:

1(u + x1 j ) 1(u + x2 j ) 1(u + x3 j ) 1(u x1 x2 x3 j )

fonksiyonu (50)’deki fonksiyonel e¸sitlikleri sa¼glar ve böylece (51)’da

f (u) = 1(u + x1 j ) 1(u + x2 j ) 1(u + x3 j ) 1(u x1 x2 x3 j ) (71)

alabiliriz. Buradan

1(z + x1 j ) 1(z + x2 j ) 1(z + x3 j ) 1(z x1 x2 x3 j ) 1(z x1 j ) 1(z x2 j ) 1(z x3 j ) 1(z +x1+x2+x3 j ) = C 1(2zj )

z = x1 dersek ve 1(0j ) = 0 ’¬kullan¬rsak

1(2x1 j ) 1(x1+x2 j ) 1(x1+x3 j ) 1(x2+x3 j ) = C 1(2x1 j ) (73)

’ü buluruz. Buradan

C = 1(x1+ x2 j ) 1(x1+ x3 j ) 1(x2+ x3 j ) (74)

’ü buluruz. Bunu (71) ile birle¸stirerek (70)’e ula¸s¬r¬z. Bu da Teorem2.7.5’in ispat¬n¬tamamlar.

¸

Simdi logaritmik türev metodunu ve Teorem2.7.5’i kullnarak Teorem2.7.1.1’i ispatlamaya geldik. (70)’deki özde¸slik a¸sa¼g¬daki biçimde yaz¬labilir.

2.7.1 Jacobi Özde¸sli¼ginin Elde Edilmesi

Teorem 2.7.1.1: 01 1 (x1 j ) + 0 1 1 (x2 j ) + 0 1 1 (x3 j ) 0 1 1 (x1+ x2+ x3 j ) = ₀1(0j ) 1(x1+ x2 j ) 1(x1+ x3 j ) 1(x2+ x3 j ) 1(x1 j ) 1(x2 j ) 1(x3 j ) 1(x1+ x2+ x3 j ) (75) Bu, Sezgö taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸s halkan¬n çekirde¼gi olan, Shen ve McCul-lough’un özde¸sli¼gidir.

Teorem 2.7.1.1’in ·Ispat¬:

f (z) ve C’nin s¬ras¬yla (71) ve (74) ile tan¬ml¬oldu¼gu yerde,

f (z) f ( z) = C 1(2zj ) (76)

Yukar¬daki e¸sitli¼gin z’ye göre türevini al¬p, z = 0 dersek;

f_{0(0) = C 0}1(0j ) (77)

sonucuna var¬r¬z. Logaritmik türev metodunu kullanarak f_{0(z) = f(z)} 01 1 (z + x1 j ) + 0 1 1 (z + x2 j ) + 0 1 1 (z + x3 j ) + 0 1 1 (z x1 x2 x3 j ) (78)

’yi buluruz. Bunu f_{0(0) = f(0)} 01 1 (x1 j ) + 0 1 1 (x2 j ) + 0 1 1 (x3 j ) 0 1 1 (x1+ x2+ x3 j ) (79) takip eder. (71)’den

f (0) = 1(x1 j ) 1(x2 j ) 1(x3 j ) 1(x1+ x2+ x3 j ) (80)

’u kolayca elde ederiz.

(74), (77), (79) ve (80)’u birle¸stirerek (70)’e ula¸s¬r¬z. Teorem2.7.1.1’in ispat¬tamamlanm¬¸s olur. Teorem 2.7.1.2: (q; z; q=z; q)₁(z2q; q=z2; q2)₁ = 1 X 1 qn(3n+1)=2(z 3n z3n+1) (81) ’dir.

(34)’ü kullanarak, 1(z + x j ) 1(z + y j ) 1(z x y j )’nun

Teo-rem2.7.2’nin ¸sartlar¬n¬sa¼glad¬¼g¬gösterilir. Teorem2.7.2’de

h(z) = 1(z + x j ) 1(z + y j ) 1(z x y j ) alarak a¸sa¼g¬dakini elde

ederiz. Teorem 2.7.1.3: 1(z+xj ) 1(z+y j ) 1(z x y j ) 1(z xj ) 1(z y j ) 1(z+x+yj ) = 1(xj ) 1(y j ) 1(x + y j ) 1(2z j ) 1(z j ) (82) f (z) = 3₁(z + _{3 j )’nun Teorem2.7.2’nin tüm ¸sartlar¬n¬sa¼}glad¬¼g¬n¬kontrol edebiliriz. 1(z j ) için sonsuz çarp¬m gösterimini kullanarak

1( 3 j ) = 2 p 3q18(q3; q3) 1

oldu¼gunu görmek kolayd¬r. Buradan sonraki özde¸sli¼gi elde ederiz. Teorem 2.7.1.4: 3 1(z + 3 j ) 3 1(z 3 j ) = 3 2 p 3q38(q3; q3) 1 1(2z j ) 1(z j ) (83)

’dur.

Teorem 2.7.1.5 : 1(xj ) (33)’daki gibi tan¬ml¬Jacobi teta fonksiyonu

olsun ve a(q)’da a (q) := 1 + 6 1 X n=0 q3n+1 1 q3n+1 q3n+2 1 q3n+2 (84)

ile tan¬ml¬Ramanujan fonksiyonu olsun. Böylece

3 1 x + 3 j + 3 1 x 3 j 3 1(xj ) = 3a (q) 1(3xj 3 ) (85) ve 3 1(xj 3 ) q 1=2 e2ix 3₁(x + _{j 3 ) q} 1=2e 2ix 3₁(x _{j 3 ) = a (q)} 1(xj ) (86) ’ü elde ederiz.

Teorem 2.7.1.5’in ·Ispat¬: 1(z j ) için (z; zq; zq2; q3)₁ = (z; q)₁ ve

sonsuz çarp¬m gösterimini kullan¬rsak,

1(z j 3) = q1=3_{; q}1=3 1 (q; q)3₁ 1(z j ) 1(z + 3 j ) 1(z 3 j ) (87) ’i ve 1( 3 j ) = iq 1=(24) _q1=3_{; q}1=3 1 ve 1( 2 3 j ) = iq 5=(24) _q1=3_{; q}1=3 1 (88) ’yi kolayca bulabiliriz.

a (q) := 1 + 6 1 X n=0 q3n+1 1 q3n+1 q3n+2 1 q3n+2 (89)

Ramanujan fonksiyonunu hat¬rlayal¬m.

1(z j ) = 2q1=8(sin z) q; qe2iz; qe 2iz; q ₁= iq1=8e 2iz q; qe2iz; qe 2iz; q ₁

’de logaritmik türevi uygularsak, 01 1 (z _{j ) = i} 2i 1 X qne2iz 1 qn_e2iz + 2i 1 X qne 2iz 1 qn_e 2iz (90)

’ü elde ederiz.

Yukar¬daki iki e¸sitli¼gi kar¸s¬la¸st¬r¬rsak, a (q) = 2 + 3i 01

1

( _{j 3 )} (91) sonucuna var¬r¬z.

1(z j )’nun logaritmik türevi için trigonometrik seri aç¬l¬m¬n¬n

01 1 (z _{j ) = cot z + 4} 1 X n=1 qn 1 qnsin 2nz (92)

oldu¼gu iyi bilinir. Böylece 01 1 ( 3 j ) 1 p 3a(q) (93) vard¬r. ¸

Simdi Teorem2.7.1.5’i ispatlamak için haz¬r¬z. ·

Ispat: (39)’un her taraf¬n¬n z’ye göre türevini al¬p z = 0 yazarsak 01(0j ) ff(y) f ( y)g 31(xj ) 01(0j ) ff(x) f ( x)g 31(y j )

= 2f₀₍₀₎ 1(xj ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + y j ) (94)

’i elde ederiz. Yukar¬daki e¸sitli¼_{ge 0}1(0j ) = 2q1=8(q; q)3₁ ’u eklersek

q1=8(q; q)3_1ff(y) f ( y)_g 3₁(x_{j )} q1=8(q; q)3_1ff(x) f ( x)_g 3₁(y _{j )} = f₀₍₀₎ 1(xj ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + yj ) (95)

’u buluruz.

3

1(x+3 j )’nun (38)’i kar¸s¬lad¬¼g¬n¬do¼grulamak kolayd¬r, o halde (95)’da

f (x) = 3₁(x + _{3 j ) alabiliriz.} 1 ₃ j = p 3q1=8_(q3_{; q}3_{), (93) ve direkt} hesaplama ile f_{0(0) = 3} 3₁ 3 j 01 1 3 j = 3q3=8 q3; q3 3 1a(q) (96)

’u buluruz ve böylece q1=8 q3; q3 3

1a(q) 1(xj ) 1(y j ) 1(x y j ) 1(x + yj ) (97)

’i elde ederiz.

Yukar¬daki e¸sitlikte y = ₃ alarak ve 1 ₃ j = 1 2₃ j =

p

3q1=8_(q3_{; q}3₎ 1

oldu¼gunu belirterek

3 1(xj ) 3 1 x + ₃ j 3 1 x ₃ j = 3a(q) (q3_{; q}3₎ 1 (q; q)3₁ 1(xj ) 1 x + 3 j 1 x 3 j (98)

’yi elde ederiz.

1(3z j 3 ) = (q3; q3)₁ (q; q)3₁ 1(z j ) 1 z + 3 j 1 z 3 j ’den 1(3xj 3 ) = (q3; q3)₁ (q; q)3₁ 1(xj ) 1 x + 3 j 1 x 3 j (99) ’ü buluruz. (85)’yi elde etmek için (98)’nin sa¼g taraf¬n¬n yerine yukar¬daki e¸sitli¼gi yazar¬z.

Ancak daha önce oldu¼gu gibi ayn¬ad¬mlarla ilerleyerek, (95)’da f (x) = e2ix 3

1 x + 3 j al¬rsak ve sonra y = 3 yazarsak ve (87), (88) ve

(91)’i kullan¬rsak; 3 1(xj ) q 1=6_e2ix 3 1 x + ₃ j q 1=6_e 2ix 3 1 x ₃ j = a(q1=3) 1 xj 3 (100) ’ü buluruz.

q yerine q3 _{yazarak, (86)’ü elde ederiz. Böylece Teorem2.3.5’in ispat¬n¬}

tamamlar¬z.

Teorem 2.7.1.6 :

(q; q)3₁ 3₁(x_{j )} 3₁(3y _{j 3 )} (q; q)3₁ 3₁(y _{j )} 3₁(3x_{j 3 )}

ve (q; q)3₁ 3₁(x_{j )} 1 yj 3 (q; q) 3 1 3 1(y j ) 1 xj 3 = q 1=(12) q1=3; q1=3 3 1 1(xj ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + y j ) (102) ’e sahibiz.

Teorem 2.7.1.6’n¬n ·Ispat¬: Teorem2.6.1’de z = ₃ alarak ve

1(3z j 3 ) = (q3_{; q}3₎ 1 (q; q)3₁ 1(z j ) 1 z + 3 j 1 z 3 j ve 1 3 j = 1 2 3 j = p 3q1=8 q3; q3 1 ’u kullanarak p 3q1=8(q; q)3_1ff(x) f ( x)_g 1(3yj 3 ) = p 3q1=8(q; q)3_1ff(y) f ( y)_g 1(3xj 3 ) +nf ( 3) f ( 3) 1(xj ) 1(y j ) 1(x + y j ) 1(x yj ) o (103) ’i elde ederiz.

3

1(x j )’nun Teorem2.6.1’in tüm ¸sartlar¬n¬ sa¼glar. f (x) = 3 1(x j ) seçer ve sonra 1 3 j = 1 2 3 j = p 3q1=8 q3; q3 1

’yi çözüm e¸sitli¼ginde kullanarak (101)’ü elde ederiz.

Teorem2.1.1’de z = ₃ al¬p ve (87) ve (88)’yi kullanarak;

iq 1=(24)(q; q)3_1ff(x) f ( x)_g 1(y j 3) = iq 1=(24)_{(q; q)}3 1ff(y) f ( y)g 1(xj 3) n f ( 3 ) f ( 3 ) 1(xj ) 1(y j ) 1(x + y j ) 1(x yj ) o (104) ’yi elde ederiz.

f (x) = 3₁(x_{j ) seçip ve (88)’yi çözüm e¸sitli¼}ginde kullan¬rsak, (102)’i elde ederiz. Buda Teorem2.8.6’n¬n ispat¬n¬tamamlar.

Teorem 2.7.1.7 : Her x, y için q1=(12)(q; q)2_{1 1}(x_j

3) 1(3y j 3 ) q

1=(12)_{(q; q)}2

= 1(xj ) 1(y j ) 1(x yj ) 1(x + yj ) (105)

özde¸sli¼gi vard¬r.

(33)’n¬n her iki taraf¬n¬n z’ye göre diferansiyelini al¬p, sonra z = 0 dersek; 01(0j ) = q1=8

1

X

n= 1

( 1)n(2n + 1)qn(n+1)=2 (106) oldu¼gunu kolayca buluruz, ve ard arda al¬nan diferansiyellerle

0001(0j ) = q1=8 1

X

n= 1

( 1)n(2n + 1)3qn(n+1)=2 (107) ’i elde ederiz.

1(z j ) = 2q1=8(sin z) q; qe2iz; qe 2iz; q ₁= iq1=8e 2iz q; qe2iz; qe 2iz; q ₁

’un diferansiyeli

01(0j ) = 2q1=8(q; q)3₁ (108)

’y¬verir.

(106) ve (108)’y¬kar¸s¬la¸st¬rarak (q; q)3₁= 1 2 1 X n= 1 ( 1)n(2n + 1)qn(n+1)=2 (109) Jacobi özde¸sli¼gini elde ederiz.

2.8

H·

IRSCHHORN - GARVAN - BORWE·

IN’in ·

IK·

I

DE ¼

G·

I¸

SKENL·

I KÜB·

IK TETA FONKS·

IYONLARI

·

IÇ·

IN BAZI ÖZDE¸

SL·

IKLER

1(x yj ) = 1(y xj ) oldu¼gunu belirterek, (105)’ü

q1=(12)(q; q)2_{1 1}(y _j

3) 1(3xj 3 ) q

1=(12)_{(q; q)}2

1 1(xj ₃) 1(3y j 3 )

olarak yeniden yazabiliriz.

1(z j ) = 2q1=8(sin z) q; qe2iz; qe 2iz; q ₁= iq1=8e 2iz q; qe2iz; qe 2iz; q ₁

’nin ikinci e¸sitli¼gini yukar¬daki e¸sitlikte kullanarak ve çözüm e¸sitli¼ginde e2ix _{= xve e}2iy _{= y de¼gi¸sken de¼gi¸stirmesi yaparak a¸sa¼g¬daki sonsuz çarp¬m}

özde¸sli¼gini elde ederiz. Teorem 2.8.1: (q; q)2₁ q1=3; x; q1=3=x; q1=3 1 q 3_{; y}3_{; q}3_=y3_{; q}3 1 yx 1(q; q)2₁ q1=3; y; q1=3=y; q1=3 1 q 3 ; x3; q3=x3; q3 1

= (q; x; q=x; q)₁(q; y; q=y; q)₁(q; y=x; qx=y; q)₁(q; xy; q=xy; q)₁ (111) Jacobi’nin üçlü çarp¬m özde¸sli¼gine ba¸svurarak

(q; q)2₁ q1=3; x; q1=3=x; q1=3 1 1 X n= 1 ( 1)nq3n(n 1)=2y3n yx 1(q; q)2₁ q3; x3; q3=x3; q3 1 1 X n= 1 ( 1)nqn(n 1)=6yn = (q; x; q=x; q)₁ 1 X n= 1 ( 1)nqn(n 1)=2yn ! (112) 1 X n= 1 ( 1)nqn(n 1)=2ynx n ! ₁ X n= 1 ( 1)nqn(n 1)=2ynxn !

Yukar¬daki e¸sitli¼gin, sa¼g taraf¬nda y’nin katsay¬s¬n¬n (q; x; q=x; q)₁

1

X

m;n= 1

qm2+mn+n2 m nxn m (113)

oldu¼gu ve sol taraf¬nda y’nin katsay¬s¬n¬n

x 1(q; q)2₁ q3; x3; q3=x3; q3

1 (114)

oldu¼gu kolayca görülür. Yukar¬daki iki say¬y¬e¸sitleyerek;

1 X m;n= 1 qm2+mn+n2 m nxn m= (q; q)₁ q3; q3 1 1 + x + x 1 (q3x3; q3=x3; q3)₁ (qx; q=x; q)₁ (115)

’ya ula¸s¬r¬z ·

Indislerde m ! m ve n ! n de¼gi¸simleri yaparak

1 X m;n= 1 qm2+mn+n2+m+nxn m= (q; q)₁ q3; q3 1 1 + x + x 1 (q3x3; q3=x3; q3)1 (qx; q=x; q)₁ (116) ’yi elde ederiz.

(112)’de y’den ba¼g¬ms¬z terimleri e¸sitleyerek,

1 X m;n= 1 qm2+mn+n2xm n = q1=3(q; q)₁ q3; q3 1 1 + x + x 1 (q3x3; q3=x3; q3)1 (qx; q=x; q)₁ + (q; q)₁ q1=3; q1=3 1 q1=3_{x; q}1=3_=x 1_{; q}1=3 1 (qx; q=x; q)₁ (117) ’i buluruz. Yukar¬daki iki e¸sitli¼gi birle¸stirerek

(q; q)₁ q1=3; q1=3 1 q1=3_{x; q}1=3_=x 1_{; q}1=3 1 (qx; q=x; q)₁ (118) = 1 X m;n= 1 qm2+mn+n2xm n q1=3 1 X m;n= 1 qm2+mn+n2+m+nxn m ’u buluruz. !, ! = exp 2 i

3 ile verilen birle¸simin basit küpkökü olsun. (118)’un sa¼g

taraf¬n¬n

1

X

m;n= 1

q(m2+mn+n2)=3xn!m n (119)

’a e¸sit oldu¼gunu kolayca buluruz. Dolay¬s¬yla

1 X m;n= 1 q(m2+mn+n2)=3xn!m n = (q; q)₁ q1=3; q1=3 1 q1=3_{x; q}1=3_=x 1_{; q}1=3 1 (qx; q=x; q)₁ (120) vard¬r. q yerine q3 _yazarak,

1 X m;n= 1 qm2+mn+n2xn!m n = (q; q)₁ q3; q3 1 (q3_{x; q}3_=x 1_{; q}3₎ 1 (q3_{x; q}3_{=x; q}3₎ 1 (121) ’yi elde ederiz.

E¼ger; a (q; x) = 1 X m;n= 1 qm2+mn+n2xm n (122) b(q; x) = 1 X m;n= 1 qm2+mn+n2xn!m n (123) c(q; x) = q1=3 1 X m;n= 1 qm2+mn+n2+m+nxm n (124)

ise, Hirschhorn, Garvan ve Borwein’in önemli özde¸sli¼ginden elde edilebilen (117) a (q; x) = c (q; x) + b q1=3; x (125) olarak yaz¬labilir. Teorem 2.8.2: a3(q; x) = c3(q; x) + b2(1; x) + b q; x3 (126) vard¬r.

2.9

W·

IERSTRASS

} FONKS·

IYONU ·

IÇ·

IN TOPLAM

TEOREM·

I

·

Ilk olarak Teorem2.7.1.3’ü ve logaritmik türev tekni¼gini kullanarak a¸sa¼ g¬-daki lemmay¬ispatlayaca¼g¬z. Lemma 2.9.1: 01 1 (x_{j ) +} 01 1 (y _{j )} 01 1 (x + y_{j )} 2 = 1 + 24 1 X n=1 nqn 1 qn 01 1 0(x j ) 01 1 0(y j ) 01 1 0(x + y j ) (127) ’dir. · Ispat: f1(z) = 1(z + x j ) 1(z + y j ) 1(z x y j ) (128)

f2(z) = 1(z xj ) 1(z yj ) 1(z + x + y j ) (129)

f3(z) =

1(2zj )

1(z j )

(130) . Teorem6’da (82) özde¸sli¼gini

f1(z) f2(z) = 1(xj ) 1(y j ) 1(x + yj )f3(z) (131)

formunda yazar¬z. (131)’nin z’ye göre iki kez türevini al¬p z = 0 yazarsak; f₀₀1(0) f002(0) = 1(xj ) 1(y j ) 1(x + y j )f003(0) (132)

’y¬elde ederiz. ¸

Simdi f 001(0),f 002(0) ve f 003(0)’¬hesaplamaya ba¸slayal¬m. f1(z)’nin z’ye

göre iki kez türevini al¬p, logaritmik türev metodunu kullanarak (z) = 01 1 (z + x_{j ) +} 01 1 (z + y _{j )} 01 1 (z x y_{j )} (133) oldu¼gu yerde f₀₀1(z) = f1(z) (z)2+ 0(z) (134)

’yi kolayca buluruz. Bunu f₀₀1(0) = 1(xj ) 1(y j ) 1(x + yj ) 01 1 (x_{j ) +} 01 1 (y _{j )} 01 1 (x + y _{j )}2+ 01 1 0(x j ) + 01 1 0(y j ) + 01 1 0(x + y j ) (135) takip eder.

Do¼grudan hesaplama yöntemi ile

f₀₀2(0) = f001(0) (136)

’u buluruz.

(134)’deki gibi ilerleyerek f₀₀3(z) = 1(2z j ) 1(z j ) ( 2 01 1 (2z_{j )} 01 1 (z_{j )} 2 + 2 01 1 (2z _{j )} 01 1 (z _{j ) 0} ) (137)

’i elde ederiz. 01 1 (z _{j ) =} 1 z + 1 X k=1 ( 1)k B2k (2k)!E2k( ) z 2k 1 ’den 2 01 1 (2z _{j )} 01 1 (z _{j ) = E}2( ) z + O z3 (138)

’yi buluruz. Bundan dolay¬

f₀₀3(0) = E2( ) (139)

’dür.

(127)’i elde etmek için (135), (136) ve (139)’ü (132)’ya yerle¸stiririz ve

1(x j ) 1(y j ) 1(x + y j )’yi sadele¸stiririz. Buda Lemma2.9.1’in

ispat¬n¬tamamlar.

Weierstrass} fonksiyonunun ve periyotlar¬n¬n gösterimi için }(z _{j )’yu kullnaca¼g¬z. Böylelikle }(z j ) için a¸sa¼}g¬daki toplam formülünü buluruz. Teorem 2.9.1: }(x_{j ) + }(y j ) + }(x + y j ) =} 1 4 }_{0(x j )} }_{0(y j )} }(x_{j )} }(y _{j )} (140) · Ispat: }(z _{j ) = csc}2 8 1 X n=1 nqn 1 qncos 2nz 1 3E2( ) = 1 3E2( ) 01 1 0(z j ) (141) ’dir ve böylece 01 1 0(x j ) 01 1 0(y j ) = 0 1(0j )2 1(x yj ) 1(x + y j ) 1(xj )2 1(y j )2 , }(x_{j )} }(y_{j ) = 0}1(0j )2 1(x + yj ) 1(x yj ) 2 1(xj ) 2 1(y j ) (142)

¸seklinde yeniden yaz¬labilir.

x yerine x + z ve y yerine y + z yazarak }(x + z_{j )} }(y + z_{j ) = 0}1(0j )2 1(x y j ) 1(x + y + 2z j ) 2 1(x + zj ) 2 1(y + zj ) (143) ’yi elde ederiz. z civar¬nda logaritmik türev

}_{0(x + z j )} }_{0(y + z j )} }(x + z_{j )} }(y + z _{j )} = (144) 2 01 1 (x + z_{j ) +} 01 1 (y + z_{j )} 01 1 (x + y + 2z _{j )} ’i verir. z = 0 yazarsak, e¸sitlik;

}_{0(x j )} }_{0(y j )} }(x_{j )} }(y_{j )} = 2 01 1 (x_{j ) +} 01 1 (y _{j )} 01 1 (x + y_{j )} (145) haline gelir.

(141) ¬¸s¬¼g¬nda, (127)’deki özde¸slik 01 1 (x_{j ) +} 01 1 (y _{j )} 01 1 (x + y_{j )} 2 = E2( ) 0 1 1 0(x j ) 01 1 0(y j ) 01 1 0(x + y j ) = }(x_{j ) + }(y j ) + }(x + y j )} (146) ¸seklinde yaz¬labilir.

Yukar¬daki e¸sitlikleri birle¸stirerek (140)’e ula¸s¬r¬z. Buda teoremin is-pat¬n¬tamamlar.

3

BULGULAR VE TARTI¸

SMA

3.1

TETA SER·

ILER·

I

P (n) key… bir polinom; a, b, c; n’den ba¼g¬ms¬z olmak üzere

1 X n= 1 Tn= 1 X n= 1 P (n) exp An2+ Bn + C (147)

serilerini göz önüne alal¬m. E¼ger Re(A) < 0 ise, Tn+1

Tn

= Pn+1 Pn

exp_{f(2n + 1) Re(A) + Re(B)g} (148) ve lim n!1 Pn+1 Pn = 1 (149) oldu¼gu için lim n!1 Tn+1 Tn = 0 (150) ve benzer ¸sekilde lim n!1 Tn 1 Tn = 0 (151) olur. Böylece (147) ile tan¬ml¬seri mutlak yak¬nsakt¬r.

P (n)’deki katsay¬lar ve A, B, C farkl¬ de¼gi¸skenlerin fonksiyonlar¬ ise, bu katsay¬lar¬n s¬n¬rl¬oldu¼_{gu ve S 2 R}+ olmak üzere Re(A) < oldu¼gu de¼gi¸sken uzay¬n herhangi bir bölgesinde tan¬ml¬ seriler mutlak ve düzgün yak¬nsakt¬r. Bizim ¸simdi çal¬¸saca¼g¬m¬z serilerde ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenler ve u olup; A = i ; B ve C; ve u de¼gi¸skenlerine göre yaz¬lm¬¸s lineer polinom-lard¬r. E¼ger Im( ) > 0 ise Re(A) < 0 olur ki ve u de¼gi¸skenlerinin s¬n¬rl¬ oldu¼_{gu ve herhangi bir S 2 R}+ _{için Im( ) > oldu¼gu uzay¬n herhangi bir}

bölgesinde seri düzgün yak¬nsakt¬r. Bu seri u, C kompleks düzleminin el-eman¬; , H üst yar¬düzlemin eleman¬olmak üzere analitik bir fonksiyon tan¬mlar. Bu tip serilere Teta serileri denir.

Herhangi iki , 0 reel say¬s¬için genelle¸stirilmi¸s Teta fonksiyonu 2 4 0 3 5 (u; ) =X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + 0 2 (152)

¸seklinde tan¬mlan¬r. Burada 2 4

0

3

5 gösterimine Teta fonksiyonunun karak-teristi¼gi ve (Im( ) > 0) de¼gerine de fonksiyonun periyodu denir. Yukar¬-daki e¸sitlikte q = e i _{al¬rsak Teta fonksiyonu}

2 4 0 3 5 (u; q) =X n q(n+2) 2 e2i(n+2) u 0 2 ₍₁₅₃₎ olur.

a ve b say¬lar¬ reel say¬lar olmak üzere = a + bi al¬rsak, Im( ) > 0 için q = e i = ea+bi i = ea ie b olaca¼_{g¬için jqj = e} b < 1 e¸sitsizli¼gi elde edilir. Buradan u C, Im( ) > 0 olmak üzere C ve q, 0 < jqj < 1 olan birim çemberin yak¬nsakl¬k bölgesinde bulunmak üzere (152) ile tan¬ml¬ Teta fonksiyonu analitiktir.

3.2

B·

IR·

INC·

I DERECEDEN GENELLE¸

ST·

IR·

ILM·

I¸

S

TETA FONKS·

IYONU

u kompleks say¬s¬, di¼ger kompleks say¬s¬ Im( ) > 0 olacak ¸sekilde üst yar¬ düzlemde ve elemanlar¬ tamsay¬lardan olu¸san

2 4

0

3

5 2 1’lik -Teta karakteristi¼gi verilsin. Argümenti u olan, -Teta periyodu , karateristi¼gi 2

4

0

3

5 olan birinci dereceden -Teta fonksiyonu a¸sa¼g¬daki e¸sitlikle tan¬ml¬ olsun. 2 4 0 3 5 (u; ) =X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 (154) Teta fonksiyonunun i¸sareti; ve 0 _{de¼gerlerinin rezidü s¬n¬‡ar¬ile belirlenir.}

Teorem 3.2.1: E¼ger = 2 0+ E ve 0 = 2 0 + E0 ise 2 4 0 3 5 (u; ) = ( 1) 0 2 4 E E0 3 5 (u; ) (155) e¸sitli¼gi elde edilir.

· Ispat: (154)’den 2 4 2 0 3 5 (u; ) =X n exp i n + 2 1 2 + 2 n + 2 1 u + 0 2 = 2 4 0 3 5 (u; ) (156) e¸sitli¼gi bulunur. Buradan

2 4 0 3 5 (u; ) = 2 4 E E0 3 5 (u; ) (157) ’ya ula¸s¬l¬r. 2 4 0 ₂ 3 5 (u; ) = X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 1 = X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 expf i (2n + )g = ( 1) 2 4 0 3 5 (u; ) (158) e¸sitli¼gi bulunur. Böylece (155) e¸sitli¼gi bulunmu¸s olur.

2 4

0

3

5 (u + ; ) = q 1exp_{f 2uig exp f} 0ui_g 2 4 0 3 5 (u; ) = exp_f i + 0 i 2ui_g 2 4 0 3 5 (u; )

ile tan¬ml¬teta fonksiyonlar¬n¬n u ve ’nun analitik fonksiyonlar¬oldu¼gunu ispatlamak için (154) ile verilen serinin yak¬nsakl¬¼g¬n¬göstermeliyiz. u dü-zleminin ve üst yar¬düzleminin kompakt alt kümelerinde u ve Im ( ) > 0

e¸sitsizli¼gini sa¼glayan için (154) ile verilen serinin düzgün yak¬nsak oldu¼gunu kabul edelim. O halde a¸sa¼g¬daki teorem vard¬r.

Teorem 3.2.2: u_{2 C ve 2 H olmak üzere,} 2 4

0

3

5 (u; ) fonksiyonu kompleks analitik bir fonksiyondur.

·

Ispat: Weierstrass M- testi ile M > 0, > 0 _{olmak üzere juj} M, Im ( ) > olan (154) ile tan¬ml¬serinin terimlerinin, yak¬nsak pozitif serinin terimlerinden mutlak de¼gerce küçük oldu¼gunu göstermeliyiz.

jexp izj = jexp fi Re z Im z_{gj = jexp f Im zg exp fi Re zgj} = _{jexp f Im zgj jexp fi Re zgj}

= _{jexp f Im zgj}

= exp_{f Im zg} (159) e¸sitli¼gini serideki her bir terime uygularsak

exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 = exp Im n + 2 2 + 2 n + 2 Im u = exp Im n + 2 2 expn( 2 ) n + 2 Im u o (160) e¸sitli¼gini elde ederiz. Im oldu¼gundan

Im n + 2 2 n + 2 2 (161) veya Im n + 2 2 n + 2 2 (162) ve 2 n + 2 Im u 2 n + 2 Im u = 2 r n + 2 2 jIm uj 2 r n + 2 2 M (163)

e¸sitsizlikleri vard¬r. M ve de¼gerlerine ba¼gl¬sonlu say¬da n hariç n + 2 = r n + 2 2 > 4M (164) e¸sitsizli¼gi sa¼gland¬¼g¬nda

1 _q2M n + ₂ 2

> 1

2 (165)

olmak üzere üstel fonksiyonunun monotonluk özelli¼gi kullan¬l¬rsa, (154) ile tan¬ml¬serinin n. teriminin mutlak büyüklü¼gü için üst s¬n¬ra ula¸s¬r¬z.

exp ( n + 2 2 2M r n + 2 2!) = exp 8 < : n + 2 2 2 41 _q2M n + ₂ 2 3 5 9 = ; exp 2 n + 2 2 (166) e¸sitsizli¼gini elde ederiz. O halde (154) ile tan¬ml¬serinin her bir teriminin mutlak de¼gerce büyüklü¼gü için bir üst s¬n¬r buldu¼gumuzdan ve

X exp

2 n + 2

2

(167) serisi Cauchy n. kök testi ile yak¬nsak oldu¼gundan Weierstrass M testine göre (154) ile tan¬ml¬seri yak¬nsak olur.

Teorem 3.2.3: Teta fonksiyonu için a¸sa¼g¬daki fonksiyonel denklemler sa¼glan¬r. a) ₂ 4 0 3 5 (u + 1; ) = ( 1) 2 4 0 3 5 (u; ) (168) b) ₂ 4 0 3 5 (u + ; ) = ( 1)0 e i( 2u ) 2 4 0 3 5 (u; ) (169)

· ISPAT: a) (154)’den 2 4 0 3 5 (u + 1; ) = X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 1 + 0 2 = X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 expf i (2n + )g ( 1) X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 (170) e¸sitli¼gini buluruz. (154) ve (170) e¸sitliklerinden,

2 4 0 3 5 (u + 1; ) = ( 1) 2 4 0 3 5 (u; ) (171) e¸sitli¼gini elde ederiz.

b) (154) ile tan¬ml¬seride n yerine n + 1 yazarsak, 2 4 0 3 5 (u; ) =X n exp i n + 1 + 2 2 + 2 n + 1 + 2 u + 0 2 = X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 + 2 n + 2 u + 0 2 (172) exp_{f i ( + 2u +} 0)_g

e¸sitli¼gini buluruz. (154) ile tan¬ml¬seride u yerine u + yazarsak, 2 4 0 3 5 (u + ; ) =X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + + 0 2 =X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 + 2 n + 2 u + 0 2 (173) e¸sitli¼gini buluruz. (172) ve (173) e¸sitliklerinden

2 4 0 3 5 (u + ; ) = exp f i ( + 2u + 0_)g 2 4 0 3 5 (u; ) = ( 1)0e i( 2u) 2 4 0 3 5 (u; ) e¸sitli¼gini buluruz.

3.3

TETA FONKS·

IYONLARININ

;

PER·

IYOT

Ç·

IFTLER·

INE GÖRE DÖNܸ

SÜMLER·

I

Teorem 3.3.1: ₂ 4

0

3 5 (u; ) fonksiyonu a¸sa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lar¬sa¼glar.

a) ₂ 4 0 3 5 (u + ; ) = ( 1) 2 4 0 3 5 (u; ) (174) b) ₂ 4 0 3 5 (u + ; ) = ( 1) 0e ( i +2iu) 2 4 0 3 5 (175) c) 2 4 0 3 5 (u + + ; ) = ( 1) 0exp_{f (2ui +} i)_g 2 4 0 3 5 (u; ) (176) ·

Ispat: a) Birinci mertebeden teta fonksiyonu 2 4 0 3 5 (u; ) =X n exp i n + 2 2 + 2 n + 2 u + 0 2 (177) veya 2 4 0 3 5 (u; ) =X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u 0 2 (178)

ile tan¬ml¬d¬r. Bu seride u yerine u + yazarsak, 2 4 0 3 5 (u + ; ) = X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + 0 2 = X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u 0 2 + 2in + i = ( 1) X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u 0 2 = ( 1) 2 4 0 3 5 (u; ) olur. Böylece (174) e¸sitli¼gini elde etmi¸s oluruz.

b) (178)’de u yerine u + yazarsak, 2 4 0 3 5 (u + ; ) =X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + 0 2 =X n exp 8 < : n2 _{i + n i +} 2 4 i + 2uni + u i +2n i + i in ₂0 i 9 = ; (179) e¸sitli¼gi bulunur. (178)’de n yerine n + 1 yazarsak,

2 4 0 3 5 (u; ) = X n exp n + 1 + 2 2 i + 2i n + 1 + 2 u 0 2 = X n exp 8 < : n2 _{i + i +} 2 4 i + 2 n + n 2 +2 i + 2uni + 2ui +u i n 0 _{i i} 0 0 2 i 9 = ; = X n exp 8 < : n2 _{i + i +} 2 4 i + 2n i + n i + i +2uni + 2ui + u i n 0 _{i i} 0 0 2 i 9 = ; = ( 1)0e(2ui+ i)X n exp 8 < : n2 _{i +} 2 4 i + 2n i + n i + i +2uni + u i n 0_{i n} 0 _i 0 2 i 9 = ; (180) e¸sitli¼gini buluruz. (179) ve (180)’den

2 4 0 3 5 (u + ; ) = ( 1) 0e ( i +2iu) 2 4 0 3 5

elde ederiz.

c) (178)’de u yerine u + + yazarsak, 2 4 0 3 5 (u + + ; ) = X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + + 0 2 = X n exp 8 < : n2 _{i + n i +} 2 4 i + +2uni + 2n i +2n i n 0 _{i + u i + i + i} 0 2 i 9 = ; = ( 1) X n exp 8 < : n2 _{i + n i +} 2 4 i + 2uni + 2n i n 0 _{i + u i + i} 0 2 i 9 = ; (181) e¸sitli¼gini buluruz. (178)’de n yerine n + 1 yazarsak,

2 4 0 3 5 (u; ) = X n exp n + 1 + 2 2 i + 2i n + 1 + 2 u 0 2 = X n exp 8 < : n2 i + i + ₄2 i + 2 n + n₂ +₂ i +2uni + 2ui + u i n 0 _{i i} 0 0 2 i 9 = ; = X n exp 8 < : n2 i + i + ₄2 i + 2n i + n i + i +2uni + 2ui + u i n 0 _{i i} 0 0 2 i 9 = ; = ( 1)0exp_{f2ui +} i_gX n exp 8 < : n2 i + ₄2 i + 2n i + n i + i +2uni + u i n 0_i 0 2 i 9 = ; (182) e¸sitli¼gini buluruz. (181) ve (182)’den

2 4 0 3 5 (u + + ; ) = ( 1) 0exp_{f (2ui +} i)_g 2 4 0 3 5 (u; ) elde ederiz.

Teorem 3.3.2: r_{2 N}+_{olmak üzere}

2 4

0

3

5 (u; ) fonksiyonu a¸sa¼g¬daki ba¼g¬ny¬t¬sa¼glar.

2 4 0 3 5 u + 2r + ₂r; = exp i (1 + ) 2r X n exp 2n i (1 + ) 2r (183) exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u 0 2

·

Ispat: (178)’de u yerine u +₂r + ₂r yazarsak,

2 4 0 3 5 u + 2r + ₂r; = X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + 2r + ₂r 0 2 = X n exp 8 < : n + ₂1r 1 2r +₂ 2 i +2i n + 1 2r 1 2r + ₂ u + ₂r + ₂r 0 2 9 = ; = X n exp 8 > > > < > > > : n +₂1r 1 2r +₂ 2 i +2i n + 1 2r ₂1r + ₂ u 0 2 +2n i₂r + 2n i 2r + i 2r + i 2r 9 > > > = > > > ; = X n exp 8 < : n + ₂ 2 i + 2i n + ₂ u ₂0 +2n i₂r (1 + ) + i 2r(1 + ) 9 = ; = exp i (1 + ) 2r X n exp 2n i (1 + ) 2r exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u 0 2

e¸sitli¼gini buluruz. Bu e¸sitlikte 2 4 0 3 5 = 2 4 1 1 3 5 yazarsak, 2 4 1 1 3 5 u + 2r + ₂r; = X n exp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u +2r + ₂r 1 2 ) = X n exp 8 < : n + 1₂ 2 i + 2i n + 1₂ u +₂r + ₂r +2i n +1₂ 1₂ 9 = ; = X n exp 8 < : n2 _{i +} i 4 + n i + 2uni + 2 ni 2r + 2 n i 2r ni + ui + ni₂r + 2 i 2r i 2 9 = ; = exp 1 2 i X n exp( in ) exp 8 < : n + 1₂ 2 i +2i n + 1 2 u + 2r + ₂r 9 = ; = iX n ( 1)nexp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u + 2r + ₂r ) (184)

e¸sitlii¼gini elde ederiz. (183)’de 2 4 0 3 5 = 2 4 1 0 3 5 yazarsak, 2 4 1 0 3 5 u + 2r + ₂r; = X n exp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u + 2r + ₂r ) (185) e¸sitli¼gini buluruz. (184) ve (185) e¸sitliklerinden,

2 4 1 1 3 5 u + 2r + ₂r; = 8 > > > > > > < > > > > > > : i 2 4 1 0 3 5 u +₂r + ₂r; , n = 2k, k 2 Z i 2 4 1 0 3 5 u +₂r + ₂r; , n = 2k + 1, k 2 Z (186) dönü¸sümlerini elde ederiz.

(183)’de 2 4 0 3 5 = 2 4 0 1 3 5 yazarsak, 2 4 0 1 3 5 u + 2r + ₂r; = X n expnn2 i + 2in u + 2r + ₂r ₂ o = X n

exp_f ni_{g exp n}2 i + 2uni + 2 ni 2r + 2 n i 2r = ( 1)nX n exp n2 i + 2uni + 2 ni 2r + 2 n i 2r (187)

e¸sitli¼gini elde ederiz. (183)’de 2 4 0 3 5 = 2 4 0 0 3 5 yazarsak, 2 4 0 1 3 5 u + 2r + ₂r; = X n expnn2 i + 2in u + 2r + ₂r o =X n exp n2 i + 2uni + 2 ni 2r + 2 n i 2r (188)

elde ederiz. (187) ve (188) denklemlerinden 2 4 0 1 3 5 u + 2r + ₂r; = 8 > > > > > > < > > > > > > : 2 4 0 0 3 5 u +₂r + ₂r; , n = 2k, k 2 Z 2 4 0 0 3 5 u +₂r + ₂r; , n = 2k + 1, k 2 Z (189) dönü¸sümleri elde ediilir.

(183)’de r = 3 yazarsak, 2 4 0 3 5 u + 8 + 8 ; = X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + 8 + 8 0 2 (190)

e¸sitli¼gini buluruz. (178)’de u yerine u + ₈ yazarsak, 2 4 0 3 5 u + 8 ; = X n exp n + 2 2 i + 2i n + 2 u + 8 0 2 (191) e¸sitli¼gini buluruz.

(190)’da 2 4 0 3 5 = 2 4 0 0 3 5 yazarsak, 2 4 0 0 3 5 u + 8 + 8 ; = X n expnn2 i + 2in u + 8 + 8 o = X n exp n2 i + 2uni + ni 4 + n i 4 = X n exp ni 4 exp n 2 i + 2uni + n i 4 =X n exp ni 4 exp n 2 _{i + 2uni +} n i 4 (192) e¸sitli¼gini buluruz.

(191)’de 2 4 0 3 5 = 2 4 0 0 3 5 yazarsak, 2 4 0 0 3 5 u + 8 ; = X n expnn2 i + 2in u + 8 o =X n exp n2 i + 2uni + n i 4 (193) e¸sitli¼gini buluruz.

(192) ve (193) e¸sitliklerinden, 2 4 0 0 3 5 u + 8 + 8 ; = 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 1, k 2 Z} i 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 2, k 2 Z} p 2 2 (1 i) 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 3, k 2 Z} 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 4, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 5, k 2 Z} i 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 6, k 2 Z} p 2 2 (1 i) 2 4 0 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 7, k 2 Z} (194) dönü¸sümlerini elde ederiz.

(190) e¸sitli¼ginde, 2 4 0 3 5 = 2 4 0 1 3 5 yazarsak, 2 4 0 1 3 5 u + 8 + 8 ; = X n expnn2 i + 2in u + 8 + 8 2 o = X n exp n2 i + 2uni + ni 4 + n i 4 ni = X n exp 3 ni 4 exp n 2 _{i + 2uni +} n i 4 =X n exp 3 ni 4 exp n 2 _{i + 2uni +} ni 4 + n i 4 (195) e¸sitli¼gini buluruz.

(191) e¸sitli¼ginde 2 4 0 3 5 = 2 4 0 1 3 5 yazarsak, 2 4 0 1 3 5 u + 8 ; = X n expnn2 i + 2in u + 8 2 o = X n exp n2 i + 2inu + ni 4 ni = X n

exp_f ni_{g exp n}2 i + 2uni + n i 4

=X

n

( 1)nexp n2 i + 2uni + n i

4 (196) e¸sitli¼gi bulunur.

(195) ve (196) e¸sitliklerinden 2 4 0 1 3 5 u + 8 + 8 ; = 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 1, k 2 Z} i 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 2, k 2 Z} p 2 2 (1 i) 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 3, k 2 Z} 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 4, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 5, k 2 Z} i 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 6, k 2 Z} p 2 2 (1 i) 2 4 0 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 7, k 2 Z} (197) dönü¸sümleri elde edilir.

(190) e¸sitli¼ginde 2 4 0 3 5 = 2 4 1 0 3 5 yazarsak, 2 4 1 0 3 5 u + 8 + 8 ; = X n exp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u + 8 + 8 ) = X n exp 8 < : n2 i + n i + ₄i + 2inu + ₄ni + ₄ni+ ui + ₈i + ₈i 9 = ; = exp i 8 X n exp ni 4 exp 8 < : n2 i + n i + 3₈ i +2inu + ₄ni+ ui 9 = ; exp i 8 X n exp ni 4 exp 8 < : n2 _{i + n i +} 3 i 8 +2inu + ₄ni + ui 9 = ; (198)

e¸sitli¼gini buluruz. (191)’de 2 4 0 3 5 = 2 4 1 0 3 5 yazarsak, 2 4 1 0 3 5 u + 8 ; = X n exp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u + 8 ) X n exp n2 i + n i +3 i 8 + 2inu + ui + n i 4 (199) e¸sitli¼gini elde ederiz. (198) ve (199) e¸sitliklerinden

2 4 1 0 3 5 u + 8 + 8 ; = exp i 8 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 1, k 2 Z} i 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 2, k 2 Z} p 2 2 ( 1 + i) 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 3, k 2 Z} 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 4, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 5, k 2 Z} i 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 6, k 2 Z} p 2 2 (1 i) 2 4 1 0 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 7, k 2 Z} (200)

dönü¸sümleri elde edilir. (190) e¸sitli¼ginde 2 4 0 3 5 = 2 4 1 1 3 5 yazarsak, 2 4 1 1 3 5 u + 8 + 8 ; = X n exp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u + 8 + 8 2 ) = X n exp 8 < : n2 _{i + n i +} i 4 + 2inu + ni 4 + ₄ni + ui + ₈i + ₈i n i ₂i 9 = ; = X n exp 8 < : n2 i + 5n₄ i +3₈i +2inu 3 ni₄ + ui 3 i₈ 9 = ; = exp 3 i 8 X n exp 3n i 4 exp 8 < : n2 i + 5n₄ i +3₈i +2inu + ui 9 = ; = exp 3 i 8 X n exp 3n i 4 exp 8 < : n2 _{i +} 5n i 4 + 3 i 8 +2inu + ui 9 = ; (201) e¸sitli¼gini elde ederiz. (191) e¸sitli¼ginde

2 4 0 3 5 = 2 4 1 1 3 5 yazarsak, 2 4 1 1 3 5 u + 8 ; = X n exp ( n + 1 2 2 i + 2i n + 1 2 u + 8 2 ) = X n exp 8 < : n2 _{i + n i +} i 4 + 2uni +n i₄ n i + ui + ₈i ₂i 9 = ; = X n exp 8 < : n2 _{i +} 5n i 4 + 3 i 8 + 2uni n i + ui ₂i 9 = ; = i 2 X n exp_{f n ig exp n}2 i + 5n i 4 + 3 i 8 + 2uni + ui = i 2 X n ( 1)nexp n2 i + 5n i 4 + 3 i 8 + 2uni + ui (202)

(201) ve (202) e¸sitliklerinden 2 4 1 1 3 5 u + 8 + 8 ; = exp 3 i 8 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : i 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k, k 2 Z} p 2 2 ( 1 + i) 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 1, k 2 Z} 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 2, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 3, k 2 Z} i 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 4, k 2 Z} p 2 2 (1 i) 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 5, k 2 Z} 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 6, k 2 Z} p 2 2 (1 + i) 2 4 1 1 3 5 u + ₈ ; _{, n = 8k + 7, k 2 Z} (203)

4

SONUÇLAR VE ÖNER·

ILER

(1) Özde¸sli¼gi kullan¬larak, önemli fonksiyonlar¬ özde¸slikleri elde edildi. Genel teta fonksiyonu özde¸sli¼gi kullan¬larak Hirschhorn-Garvan ve Bor-wein’in kübik teta fonksiyonlar¬ ile ilgili baz¬ önemli özde¸slikleri yeniden elde edildi.

Eliptik fonksiyonlar¬n kompleks de¼gi¸skenli teorisi kullan¬larak üç terimli teta fonksiyonu özde¸slikleri olu¸sturuldu. Bu ¸sekilde basit özde¸slikler tama-men kullan¬¸sl¬hale geldi.

- Teta fonksiyonlar¬n¬n katlar¬ kullan¬larak çe¸sitli eliptik fonksiyonlar elde edilebilir.

KAYNAKLAR

T.M.Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number The-ory, Springer, New York, 1976.

W.N. Bailey, A note on two of Ramanujan’s Formula, Quart. J. Math. Oxford Ser.3 (1952)29-31

W.N. Bailey, A Further note on two of Ramanujan’s formula, Quart. J.Math Oxford Ser. 3 (1952) 158-160

Z.-G. Liu, Some theta functions identities associated with modular equa-tions of degree 5, Integer 1 (A3)(2001) 1-14 (elektronik)

L.-C.Shen, On the logaritmik derivative of a theta function and a fun-damental identity of Ramanujan, J. Math. Anal. Appl. 177 (1993) 299-307 B. Srivastava, a note on an analogous continued fraction of Ramanu-jan,Kyungpook. Math. J. 45 (2005) 603-607

E.T.Whittaker, G.N.Watson, A Course of Modern Analysis, Fourth edi-tion., Cambridge University Press, Cambridge, 1966

G.E Andrews,”The Theory of Partions”, Addison- Wesly , Reading MA 1976. MR 58:27738

B.C. Berndt , A.J. Yee, A page on Eisenstein series in Ramanujan’s Lost Notebook, Glasg. Math. J. 45 (2003) 123-129

H.H.Chan, On the equivalance of Ramanujan’s partition identities and a connection with the Rogers Ramanujan continued fraction, J. Math. Anal. Appl. 198 (1996) 111-120.

H.M. Farkas, I. Kra, On the quintuple product identity, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999) 771-778

R.P. Lewis, Z.-G. Liu, On two identities of Ramanujan, Ramanujan J. 3(1999) 335-338

Z.-G.Liu, An identity of Ramanujan and the represantation of integers as sums of triangular numbers, Ramanujan J. 5(2003) 407-434