• Sonuç bulunamadı

Lineer Olmayan Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin İncelenmesi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Lineer Olmayan Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin İncelenmesi"

Copied!
60
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T.C.

ORDU ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LİNEER OLMAYAN

KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN

ÇÖZÜMLERİNİN İNCELENMESİ

EDA KAVUK

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

(2)

T.C.

ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

LİNEER OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL

DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN İNCELENMESİ

EDA KAVUK

YÜKSEK LİSANS TEZİ

(3)
(4)
(5)

II

ÖZET

LİNEER OLMAYAN KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN İNCELENMESİ

Eda KAVUK

ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ 48 SAYFA

(TEZ DANIŞMANI: Dr Öğr. Üyesi Tolga AKTÜRK)

Bu tez çalışmasında, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu kullanılarak incelenmiştir.Kadomtsev– Petviashvili (KP) ve Padé-II denklemleri üzerinde bu yöntem ile çalışılmış olup matematiksel program yardımıyla çözüm fonksiyonları oluşturulmuş ve iki ve üç boyutlu çizimleri yapılmıştır.

Bu çalışma 5 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tarihçesi ve kullanım alanları ile ilgili bilgi verilmiştir.

İkinci bölümde, tez çalışması için gerekli olan temel tanımlar ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, tez çalışmasında denklemlere uygulanacak olan geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu tanıtılmıştır.

Dördüncü bölümde, Kadomtsev–Petviashvili (KP) ve Padé-II denklemlerinin çözüm fonksiyonları geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu ile incelenmiştir. Bulunan çözümlerin iki ve üç boyutlu ve dış hat (contour) grafikleri Mathematica paket programı yardımıyla oluşturulmuştur.

Beşinci bölümde ise bu tez çalışmasında kullanılan metotların ortaya çıkardığı analitik, nümerik ve yaklaşık çözümler değerlendirilmiş ve elde edilen sonuçlara yer verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Kadomtsev–Petviashvili (KP) Denklemi, Padé-II denklemi, Lineer Olmayan Kısmi Difarensiyel Denklemler, Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodu

(6)

III

ABSTRACT

INVESTIGATION OF SOLUTIONS OF NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

EDA KAVUK

ORDU UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

MATHEMATICS

MASTER’S THESIS 48 PAGES

(SUPERVISOR: Dr. Instructor Tolga AKTÜRK)

In this thesis study, solutions of nonlinear partial differential equations were examined using the modified expansion function method. Kadomtsev–Petviashvili (KP) and Padé-II equations were studied with this method, solution functions were created by means of a mathematical program and two- and three-dimensional drawings were made.

This study consists of 5 parts.

In the first part, information about the history and uses of nonlinear partial differential equations was given.

In the second part, the basic definitions and concepts required for the thesis study were introduced.

In the third part, the developed exponential function method, which will be applied to equations in the thesis study, was introduced.

In the fourth part, solution functions of Kadomtsev–Petviashvili (KP) and Padé-II equations were examined with the modified expansion function method. The two-and three-dimensional and contour graphs of the solutions found were created by means of Mathematica package program.

In the fifth part, analytical, numerical and approximate solutions of the methods used in this thesis study were evaluated and the results obtained were given.

Keywords: Kadomtsev-Petviashvili (KP) Equation, Padé-II Equaiton, Nonlinear Partial Differential Equations, Modified Expansion Function Method

(7)

IV

TEŞEKKÜR

Lisansüstü eğitimim boyunca manevi desteğini esirgemeyen danışman hocam Dr.Öğr.Üyesi Tolga AKTÜRK’e teşekkür eder, saygılarımı sunarım.

Aynı zamanda, manevi desteklerini her an üzerimde hissettiğim annem, babam, ablam, eşim ve bu sürece zaman ayırdığımda sabırla bekleyen sevgili küçük kızıma teşekkürü bir borç bilirim.

(8)

V İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ BİLDİRİMİ ... I ÖZET ... II ABSTRACT ... III TEŞEKKÜR ... IV İÇİNDEKİLER ... V ŞEKİL LİSTESİ ... VI 1. GİRİŞ ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ... 5 3. METOD ... 7

3.1 Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodu ... 7

4. METODLARIN UYGULANMASI ... 10

4.1 Kadomtsev–Petviashvili (KP) Denklemine Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodunun Uygulanması ... 10

4.2 Padé-II Denklemine Denklemine Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodunun Uygulanması ... 26

5. SONUÇ ve ÖNERİLER ... 44

6. KAYNAKLAR ... 45

(9)

VI ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 4.1. 3, 1, 13, 0, 0.65 5 2, 1, k y EE av         iken (4.1.5) denkleminin

üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 11

Şekil 4.2. 3, 1, 13, 0, 0.65

5

2, 1, k y EE

av         ve t 1 iken (4.1.5)

denkleminin iki boyutlu grafiği ... 12

Şekil 4.3. 1, 3, 13, 0, 0.65

11

2, 1, k y EE

av         iken (4.1.6) denkleminin

üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 13

Şekil 4.4. 1, 3, 13, 0, 0.65

11

2, 1, k y EE

av         ve t 1 iken (4.1.6)

denkleminin iki boyutlu grafiği ... 13 Şekil 4.5. a3,v1, 1,0,k  2 7,y 0,EE0.65 iken (4.1.7) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 13 Şekil 4.6. a3,v1, 1,0,k  2 7,y 0,EE0.65ve t 1 iken (4.1.7) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 14 Şekil 4.7. a1,v1, 4,3,k1,y0,EE0.65 iken (4.1.10) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 15 Şekil 4.8. a1,v1, 4,3,k1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.10) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 16 Şekil 4.9. a1,v 5,  38,10,k 1,y 0,EE0.65 iken (4.1.11) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 16 Şekil 4.10. a1,v 5,  38,10,k 1,y 0,EE0.65 ve t 1iken (4.1.11) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 17 Şekil 4.11. a1,v1, 2,0,k 1,y0,EE0.65 iken (4.1.12) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 17 Şekil 4.12. a1,v1, 2,0,k 1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.12) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 18 Şekil 4.13. a1,v 3,2,1,B0 1,B1 1,k 1,y0,EE0.65 iken (4.1.13) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 18 Şekil 4.14. a1,v 3,2,1,B0 1,B1 1,k 1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.13) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 19 Şekil 4.15. a1,v 3, 0,0,B0 1,B1 1,k 1,y0,EE0.65 iken (4.1.14) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 19 Şekil 4.16. a1,v 3, 0,0,B0 1,B1 1,k 1,y0,EE0.65 ve t 1 iken

(10)

VII

Şekil 4.17. 5, 23, 1, 0, 0.65

4

1, 5, k y EE

av         iken (4.1.15)

denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 21

Şekil 4.18. 5, 23, 1, 0, 0.65

4

1, 5, k y EE

av         ve t 1 iken (4.1.15) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 21 Şekil 4.19. a1,v5, 2,3,k 1,y0,EE0.65 iken (4.1.16) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 22 Şekil 4.20. a1,v5, 2,3,k 1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.16) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 22 Şekil 4.21. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE0.65 iken (4.1.17) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 23 Şekil 4.22. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.17) denkleminin iki boyutlu grafği ... 23 Şekil 4.23. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE0.65 iken (4.1.18) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 24 Şekil 4.24. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.18) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 24 Şekil 4.25. a1,v 3, 0,0,k2,y0,EE0.65 iken (4.1.19) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 25 Şekil 4.26. a1,v 3, 0,0,k2,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.19) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 25 Şekil 4.27. 1 3, 11, 0, 0.65

21

, c y EE

      iken (4.2.5) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 27 Şekil 4.28. 1 3, 11, 0, 0.65

21

, c y EE

      ve t 1 iken (4.2.5) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 28 Şekil 4.29. 4 2, 59 , 0, 0.65

119

, c y EE

       iken (4.2.6) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 28 Şekil 4.30. 4 2, 59 , 0, 0.65

119

, c y EE

       ve t 1 iken (4.2.6) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 29 Şekil 4.31. 0 3, 19, 0, 0.65

29

, c y EE

       iken (4.2.7) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 29 Şekil 4.32. 0 3, 19, 0, 0.65

29

, c y EE

       ve t 1 iken (4.2.7) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 30 Şekil 4.33.  1, 2,c1,y0,EE0.65 iken (4.2.8) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 30 Şekil 4.34.  1, 2,c1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.8) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 31 Şekil 4.35.  0, 0,c1,y0,EE 0.65 iken (4.2.9) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 31

(11)

VIII

Şekil 4.36.  0, 0,c1,y0,EE 0.65 ve t 1 iken (4.2.9) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 32 Şekil 4.37. 29 3, 1, 0, 0.65

14, c y EE

        iken (4.2.10) denkleminin üç

boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 33 Şekil 4.38. 29 3, 1, 0, 0.65

14, c y EE

        ve t 1 iken (4.2.10) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 33 Şekil 4.39.  3.94,2.4,c 0.5,y 0,EE0.65 iken (4.2.11) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 34 Şekil 4.40.  3.94,2.4,c 0.5,y 0,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.11) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 34 Şekil 4.41. 0 10, 2, 0.65

29

, c EE

      iken (4.2.12) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 35 Şekil 4.42. 0 10, 2, 0.65

29

, c EE

      ve t 1 iken (4.2.12) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 35 Şekil 4.43.  4, 4,c 1,EE0.65 iken (4.2.13) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 36 Şekil 4.44.  4, 4,c 1,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.13) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 36 Şekil 4.45.  0, 0,c1,EE0.65 iken (4.2.14) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 37 Şekil 4.46.  0, 0,c1,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.14) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 37 Şekil 4.47. 2 11 2 , 2, 0.65

29

, c EE

       iken (4.2.15) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafiği ... 38 Şekil 4.48. 2 11 2 , 2, 0.65

29

, c EE

       ve t 1 iken (4.2.15) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 38 Şekil 4.49. 3 358, 2, 0.65

29

, c EE

       iken (4.2.16) denkleminin üç boyutlu vedış hat(contour) grafiği ... 39 Şekil 4.50. 3 358, 2, 0.65

29

, c EE

       ve t 1 iken (4.2.16) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 40 Şekil 4.51. 1 3 14, 2, 0.65

29

, c EE

       iken (4.2.17) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafiği ... 40 Şekil 4.52. 1 3 14, 2, 0.65

29

, c EE

       ve t 1 iken (4.2.17) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 41

(12)

IX

Şekil 4.53.  1, 2,c1,EE0.65 iken (4.2.18) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 42 Şekil 4.54. 1, 2,c1,EE 0.65 ve t 1 iken (4.2.18) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 42 Şekil 4.55. 0, 0,c2,EE0.65 iken (4.2.18) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri ... 43 Şekil 4.56.  0, 0,c2,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.18) denkleminin iki boyutlu grafiği ... 43

(13)

1 1. GİRİŞ

Bir veya birden çok değişken ve bu değişkenlerin türevi arasındaki bağıntıyı açıklayan diferansiyel denklemlere dair ilk çalışmalar 17.yy’da yapılmıştır. Diferansiyel denklemlerin ilk ortaya çıkışı, Newton tarafından 1690 yılında birinci mertebeden diferansiyel denklemleri tanımlamak üzere dy / dx  f x, y

gösteriminin kullanması ile başlamıştır (Sevimli, 2016). Aynı zamanda Isaac Newton (1642–1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) “yerçekimine karşı vücudun hareketini” açıklamak için diferansiyel denklemlerden yararlanmıştır.

Daha sonraki zamanlar içerisinde; Daniel Bernoulli (1700–1782), Leonhard Euler (1707–1783) ve Joseph-Louis Lagrange’ın (1736–1813) katkılarıyla akışkanlar mekaniğindeki problem durumlarını açıklamak için çeşitli diferansiyel denklem sistemleri ve yöntemler geliştirilmiştir (Keene, 2007).

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) n. mertebeden homojen diferansiyel denkleminin genel çözümünün, n tane lineer bağımsız çözümün lineer kombinasyonu olduğunu göstermiştir. 1774 yılında parametrelerin varyasyonu olarak bilinen çalışmayı geliştirmiştir ve kısmi diferansiyel denklemler ile ilgili çalışmalarda bulunmuştur (Erdem, 2009).

Diferansiyel denklemlerin ilk ortaya çıktığı dönemde homojen ve değişkenlerine ayrılabilen adi diferansiyel denklemler üzerinde çalışılmıştır. 18.yy’da matematiğin fizikteki uygulama alanlarının gelişmesiyle beraber lineer olmayan, birden çok çözümü olan kısmi diferansiyel denklem türleri için hesap yöntemleri geliştirilmiştir. Diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanılan yaklaşımlar 18. yy’ın ortasına kadar analitik iken, denklemlerin çözümünde cebirsel yöntemlerin uygulanışının zor olması sebebiyle sayısal yöntemler de geliştirilmeye başlanmıştır. Özellikle yıllar içerisinde teknolojideki gelişime paralel olarak bilgisayar destekli hesaplama araçları geliştirilmiş ve diferansiyel denklemler daha detaylı analiz edilmeye başlanmıştır.

(14)

2

Genel olarak bakıldığında kısmi diferansiyel denklemler mühendislik, doğa bilimleri ve ekonomi problemlerinin matematiksel modellemelerinde kullanılır. Özellikle fen ve mühendislik alanlarındaki problemlerin çoğunluğundan ortaya çıkan diferansiyel denklemlerin incelenmesi kısmi diferansiyel denklemler alanına girer (Upton, 2004). Bu alandaki problemlerle bağlantılı olarak ortaya çıkan diferansiyel denklemlerin günlük hayatla ilişkili durumlarından birkaçı;

• Roket, füze, gezegen ve uydu hareketlerinin belirlenmesi, • Kimyasal reaksiyonların incelenmesi,

• Geometrik özelliklere sahip eğrilerin bulunması, • Levhalarda ve çubukta ısı yayılması problemleri, • Elektrik devrelerinde akım ya da yükün bulunması, • Telin ya da levhanın titreşimleri,

• Radyoaktif cismin bozunması,

• Bir canlı topluluğunun nüfus artışı problemi,

• Plazmada, iyon akustiklerinde, sığ sularda oluşan dalga problemleri örnek olarak verilebilir (Aslan, 2007).

Genel olarak özetlenirse; kuvvet, kütle, konum, vb. fiziksel niceliklerin ve bunların arasındaki bağlantıların anlamlarını ortaya çıkarmak için diferansiyel denklemlerin çözümüne gereksinim duyulur. Bu açıdan bakıldığında diferansiyel denklemler, genellikle fiziksel modeli ifade ederler ve matematiksel model şeklinde adlandırılırlar. Diferansiyel denklemi çözmenin amacı ise bu modeller arasındaki bağıntıları anlamlandırmaktır.

Literatürde, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini elde etmek için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu yöntemlerden bazıları; deneme denklem metodu, yeni fonksiyon metodu, tanh fonksiyon metodu, geliştirilmiş tanh fonksiyon metodu, diferansiyel dönüşüm metodu, indirgenmiş diferansiyel dönüşüm metodu,

(15)

3

Deneme denklem metodu ilk kez 2005 yılında C. S. Liu tarafından literatüre kazandırılmıştır (Liu, 2005). Liu’nun bu metottaki temel fikri, bir diferansiyel denklemin tam çözümünün integrasyon alarak elde edilebilecek olmasıdır. Deneme denklem metodu 2012 yılında Pandır ve arkadaşlarının, Pandır ve ark., (2012-2013), yaptığı bir çalışma üzerinden geliştirilerek literatürlere genişletilmiş deneme denklem metodu kazandırılmıştır (Gurefe ve ark., 2018). Daha sonra tam polinomal diskriminat sistemine dayalı, Liu, (2010), bir deneme denklem yöntemi geliştirilmiştir (Jun, 2011). Yeni fonksiyon yöntemi ilk olarak üstel fonksiyonlar yardımıyla lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini elde etmek için tanımlanmış ve Dodd-Bullough denklemine uygulanmıştır (Shen ve ark., 2013). Daha sonra Sun yeni fonksiyon metodunu trigonometrik fonksiyon içeren Sine-Gordon denklemine uygulamıştır (Sun, 2014). Üstel ve trigonometrik fonksiyonları içeren lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere ait uygulamalar sayesinde trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonları içeren denklemlerin çözümlerine ilişkin bazı yeni yaklaşımlar oluşmuştur (Bulut ve ark., 2014-2015).

Başka bir yöntem olan tanh fonksiyon metodu W. Malfliet tarafından 1992 yılında ortaya atılmıştır (Malfliet, 1992). Geliştirilmiş tanh fonksiyon metodu ise H. Chen ve H. Zhang tarafından 2004 yılında literatüre kazandırılmıştır (Aydın ve ark., 1995). Diferansiyel dönüşüm metodu; lineer veya lineer olmayan, adi veya kısmi türevli bir çok diferansiyel denklemin çözümünde kullanılır. Diferansiyel dönüşüm metoduna ait çalışmalar ilk olarak Zhou (1986) tarafından tanıtılmıştır. Zhou çalışmasında elektrik devre analizinde karşılaşılan lineer ve lineer olmayan başlangıç değer problemlerini incelemiştir. Chen (1999) ise lineer ve lineer olmayan başlangıç değer problemleri için kapalı seri çözüm denklemleri ile Zhou‘nun metodunu geliştirmiştir. Bu metot yardımıyla diferansiyel denklemler cebirsel denklemlere dönüştürülmüştür. Elde edilen denklemler ise basit işlemler yardımıyla sistematik bir şekilde çözülür hale gelmiştir.

İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm metodu, diferansiyel dönüşüm metodunun bir türevi olarak Keskin ve Oturanç (2009) tarafından ortaya atılmıştır. Bu yöntem verilen diferansiyel denklemi tamamen cebirsel denklem haline getiren klasik dönüşümden

(16)

4

farklı olarak kısmi diferansiyel denklemi yarı cebirsel bir denklem şekline getirmektedir (Koç, 2015).

( '/G G)-açılım metodu 2008 yılında Wang ve arkadaşları tarafından incelenmiştir. Bu metodun tanh metodundan farkı Riccati diferansiyel denkleminin yerine ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem içermesidir. Bu metod başlangıçta lineer olmayan denklemlerin hareketli dalga dönüşümlerini elde etmek amacıyla ortaya atılmıştır. Bu metodun ana fikri lineer olmayan denklemlerin hareketli dalga çözümlerini ( '/G G)’nin bir polinomu olarak ifade edebilmektir (Gençoğlu,

2013).

Korteweg ve ögrencisi de Vries tarafından 1895 yılında (soliter dalgaların varlığına da kanıt olacak) sığ su dalgalarının davranışlarını modelleyen Korteweg-de Vries (KdV) denklemi tanıtılmıştır. Hirota 1971 yılında, multi-soliton çarpışmaları için KdV denkleminin çözümlerini Hirota Metodu adını verdiği yöntem yardımıyla ortaya çıkarmıştır. Hirota bu çalışma sonrasında geliştirilmiş KdV, sine-Gordon, lineer olmayan Schrödinger ve Toda latis denklemleri için de bu yöntemi kullanmış ve bu denklemlerin multi-soliton çözümlerini elde etmiştir (Kar, 2018).

Kadomtsev-Petviashvili denklemi ısı yayılımı ve dalga hareketi gibi temel fiziksel olayların modellerini açıklamak için ortaya çıkan denklemlerden birisidir (Özemir, 2012).

Padé-II denklemi ise, dağıtıcı ortamlarda uzun dalganın tek yönlü yayılımını modelleyen doğrusal olmayan dalga denklemidir (Yazhou ve ark., 2018). Doğrusal su dalgası teorisinde ortaya çıkan faz hızı Padé yaklaşımı kullanılarak elde edilir (Fetecau ve Levy, 2005).

Bu çalışmada ise geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu tanıtılmış, Kadomtsev-Petviashvili ve Padé -II denklemlerinin yürüyen dalga çözümleri bu metot yardımıyla elde edilmiştir.

(17)

5

2. TEMEL KAVRAMLAR Tanım 2.1

( )

yf x fonksiyonu ve

 

a b aralığında tanımlı ve , x0

 

a b, olsun.

 

0 0 0 0 ( ) ( ) ' ' lim , x f x h f x y f x h     

değeri varsa, bu limit değeri f fonksiyonununxx0 noktasındaki türevidir. Burada x değişkenine bağımlı değişken, ydeğişkenine bağımsız değişken denir.

Tanım 2.2

Bir diferansiyel denklemde bulunan bütün türevlerin dereceleri tam hale getirildikten sonra en yüksek mertebeden türevin derecesine o diferansiyel denklemin derecesi denir.

Tanım 2.3

Bir diferansiyel denklemde en yüksek mertebeden türevin mertebesine o diferansiyel denklemin mertebesi adı verilir.

Tanım 2.4

x değişkeni ile bu değişkene bağlı fonksiyonu yf x( ) ve bu fonksiyonun çeşitli mertebeden türevlerini içeren denkleme diferansiyel denklem denir. Bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin birden fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevlerini içeren diferansiyel denkleme kısmi diferansiyel denklem denir (Maden, 2013).

Tanım 2.5

Bir diferansiyel denklemde her bağımlı değişken ve her mertebeden türevler birinci dereceden ise ve aynı zamanda bağımlı değişkenler veya türevler çarpım halinde yer almıyorlarsa böyle denklemlere doğrusal (lineer) denklemler denir (Sezer ve Daşçıoğlu, 2014).

x bağımsız değişken ve y bağımlı değişken olmak üzere n. mertebeden lineer bir diferansiyel denklem en genel şekilde;

( ) ( 1) ( 2)

1( ) 2( ) ... ( ) ( ),

n n n

n

(18)

6 Tanım 2.6

Eğer bir diferansiyel denklemde bağımlı değişken ve türevlerinin katsayıları bağımsız değişken içeriyorsa bu diferansiyel denkleme değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem denir.

Tanım 2.7

Bir diferansiyel denklemde; bağımlı değişken üstel, trigonometrik ya da logaritmik olarak bulunuyorsa, bağımlı değişken ise kendisi veya türevleri ile çarpım yada bölüm durumundaysa veya bağımlı değişkenin herhangi bir türevinin derecesi iki ve ikiden büyükse bu diferansiyel denklemlere lineer olmayan diferansiyel denklem denir (Cesur, 2004).

Tanım 2.8

Bir diferansiyel denklemin belli koşullara göre çözümleri arandığında, eğer ek koşullar bağımlı değişken ve türevlerine göre tek bir noktada verilmişse probleme başlangıç-değer problemi, eğer koşullar en az farklı iki noktada tanımlanmışsa probleme sınır değer problemi denir.

Kavram 2.1

Dengeleme prensibi, lineer olmayan adi diferansiyel denklemde, en yüksek mertebeden türev içeren terim ile en yüksek dereceli lineer olmayan terimin birbirlerine eşitlenmesiyle hesaplanır (Uğurlu, 2010).

Kavram 2.2

Mathematica, üst boyutlarda ve yoğun içeriğe sahip olan verileri hızlı aynı zamanda kolaylıkla işleyebilen, diferansiyel denklemlerin elle hesaplanamayacak biçimde olan çözümlerini yapabilen ve denklemlerin iki ve üç boyutlu çizimlerini gerçekleştirebilen hazır araçlara sahip paket programıdır (Aktürk, 2015).

(19)

7 3. METOD

Bu bölümde, geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu tanıtılmış ve bu metodun bazı temel özellikleri verilmiştir.

3.1 Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodu

Geliştirilmiş üstel fonksiyon metodunda öncelikle lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem ele alınır (Baskonus ve ark., 2017). Bu denklem üzerinden bağımsız değişkenlerine (iki veya ikiden fazla) göre; uu x t

 

, veya uu x y t( , , ) şeklinde kapalı fonksiyonlar seçilir. Burada, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemine gerekli dalga dönüşümü uygulanarak, lineer olmayan adi diferansiyel denklem elde edilir. Lineer olmayan adi diferansiyel denkleme dengeleme prensibi uygulanarak u çözüm fonksiyonundaki toplam sembolünün üst sınırları arasında bir bağıntı bulunur. Elde edilen bu bağıntıdaki sabitlerin birine keyfi değer verilerek diğer sabit bulunur ve toplam sembolünün üst sınırları elde edilmiş olur. Lineer olmayan adi diferansiyel denklemindeki gerekli türev ifadeleri çözüm fonksiyonunda oluşturularak denklemde yerine yazılır. Bu denklemin çözülmesiyle cebirsel denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi Mathematica paket programı yardımıyla çözülerek u çözüm fonksiyonu için gerekli katsayılar elde edilir (Xu, 2008). Elde edilen katsayılar ve aşağıda verilen durumlardaki

değerleri de u çözüm fonksiyonunda yerine yazıldığında bir fonksiyon elde edilir. Elde edilen bu fonksiyonun lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemi sağlayıp sağlamadığı mathematica programı yardımıyla kontrol edilir. Eğer denklemi sağlıyorsa ele alınan u fonksiyonu lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemin çözüm fonksiyonudur.

Yukarıda verilen bilgilere göre geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu aşağıdaki gibi ifade edilirse;

Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin genel hali,

, x, ,t xxx, xxt

0,

P u u u u u  (3.1.1.a)

, x, ,t xx, yy, tx, xxx, xxxx

0,

(20)

8

şeklinde ele alınır. Burada uu x y t( , , ), uu x t( , ) bilinmeyen fonksiyon ve P ise lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemin en genel halidir (Yel ve Aktürk, 2018). Adım 1:

Lineer olmayan kısmi diferansiyel denkleme bağımsız değişkenlerine göre aşağıdaki gibi dalga dönüşümü uygulanır;

   

, , ,

u x tu    x ct (3.1.2.a)

, ,

  

, ( ).

u x y tu   k xayvt (3.1.2.b) (3.1.1.a) ve (3.1.1.b) denklemleri için gerekli olan türev ifadeleri (3.1.2.a) ve (3.1.2.b) denklemlerinden elde edilerek yerine yazılırsa, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler aşağıdaki gibi lineer olmayan adi diferansiyel denkleme dönüşür.

2

, , , 0.

N u u u u   (3.1.3) Adım 2:

Geliştirilmiş üstel fonksiyon metoduna göre kullanılan u çözüm fonksiyonu aşağıdaki gibidir: ( ) [ ] =0 0 1 ( ) = = , ( ) [ ] 0 1 =0 m m n n i m A ei A A e A e i u n j B B e B e B ej j           (3.1.4) buradaA Bi, j, 0

 i m, 0 j n

, An 0,Bm 0 ve ( ) ( ) '( ) =e   e  .      (3.1.5) (3.1.4) denklemindeki en yüksek dereceli lineer olmayan terim ile en yüksek mertebeli türevli terimin arasında dengeleme prensibi kullanılarak n ve m değerleri arasında bağıntı bulunur (Bulut ve ark., 2018).

(21)

9 Durum 1:  ,0 24> 0, 2 4 2 4 ( ) = ( ( ( )) ). 2 2 2 ln  tanh   E            Durum 2:  ,0 24< 0, 2 4 2 4 ( ) = ( ( ( )) ). 2 2 2 ln  tan   E           Durum 3: 0, ,0 24> 0, ( ) = ( ). ( ) 1 ln E e        Durum 4: 0,  ,0 240, 2 ( ) 4 ( ) = ( ). 2( ) E ln E           Durum 5: 0, ,0 240, ( ) =ln( E).    Burada A A0, 1, ,A B BN, 0, 1, ,BM, , ,E   sabitlerdir.

ifadesi aşağıdaki durumlara göre yerine yazılarak çözüm fonksiyonunun lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemi sağladığı mathematica paket programı yardımıyla kontrol edilir. Böylece bu yöntemin kullanıldığı denklemlerin yürüyen dalga çözümleri elde edilir (He ve Wu, 2006).

Adım 3:

(3.1.3) denklemi için gerekli olan ifadeler (3.1.4) denkleminde elde edilerek yerine yazılırsa cebirsel denklem sistemi bulunur. Bu sistem, Mathematica paket programı yardımıyla çözülür. Elde edilen katsayılar, çözüm fonksiyonu ve gerekli olan türev kavramları lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemde yerine yazılarak denklemi sağlayıp sağlamadığı Mathematica paket programı yardımıyla kontrol edilir.

(22)

10

4. METODLARIN UYGULANMASI

Bu bölümde geliştirilmiş üstel fonksiyon metodu, Kadomtsev–Petviashvili (KP) denklemi ve Padé-II denklemine uygulanmış ve elde edilen çözüm fonksiyonlarının üç boyutlu, contour (dış hat) ve iki boyutlu grafikleri verilmiştir.

4.1 Kadomtsev–Petviashvili (KP) Denklemine Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodunun Uygulanması

Kadomtsev–Petviashvili (KP) denklemi verilsin:

u

t

6

uu

x

u

xxx

3

u

yy

0.

x

(4.1.1)

(4.1.1) denklemine bağımsız değişkenine göre aşağıdaki dalga dönüşümü uygulanır.

, ,

  

, ( ).

u x y tu   k xayvt (4.1.2) (4.1.1) denklemindeki türev ifadeleri (4.1.2) denkleminden elde edildikten sonra yerine yazıldığında, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem aşağıdaki gibi lineer olmayan adi diferansiyel denkleme dönüşür (Günaydın ve ark., 2018).

2 2 2

3U (3av U) k U0. (4.1.3) (4.1.3) denklemindeki U2 U terimlerine dengeleme prensibi uygulandığında,

2

m  şeklinde bir bağıntı elde edilir. n n  alınırsa 1 m  bulunur. 3 Elde edilen m ve n değerleri için (3.1.4) denklemi;

 

0 1 2 2 3 3 , 0 1 A A e A e A e u B B e             (4.1.4) şeklinde bulunur.

(4.1.3) denkleminde belirtilen türev ifadeleri (4.1.4) denkleminden elde edilip yerine yazıldığında cebirsel denklem sistemi bulunur. Ortaya çıkan bu denklem sistemi, Mathematica paket programı yardımıyla çözüldüğünde (4.1.4) denklemi için gerekli olan katsayılar elde edilmiş olur. Bu katsayılar ise (4.1.4) denkleminde yerine yazılırsa durumlara göre Kadomtsev–Petviashvili (KP) denkleminin çözüm fonksiyonları bulunmuş olur.

(23)

11 Durum-1: 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 3/ 4 2 0 1 1 2 2 2 3 2 2 2 2 1/ 4 (3 )(i ( 4 ) 8i ) , 6 ( 4 ) (3 )(12i (i ( 4 ) 8i ) ) , 6 ( 4 ) 2i(3 )( ) 2i(3 ) ( 1) 3 , , . ( ( 4 ) ) ( 4 ) ( 4 ) a v B A a v B B A a v B B a v B a v A A k                                                    

Yukarıdaki katsayıları kullanarak aşağıdaki çözüm fonksiyonları elde edilmiştir. Çözüm Ailesi 1:

0

 ,24> 0için (4.1.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri

aşağıdaki gibidir: (4.1.5) Burada ( ), 1 2 4 . 2 EE k                 Şekil 4.1. 3, 1, 13, 0, 0.65 5 2, 1, k y EE av         iken (4.1.5) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,1 (3 ) [ ] (2( 5i ( 4 ) 20i ) (6 ( 4 ) ( 4 [ ]) ) (i ( 4 ) 4i )(( 2 ) [2 ] 4 [2 ])) (6 ( 4 ) , ( 4 [ ]) , . ) u x a v Sech Tanh Cosh Sinh Tanh y t                                                            

(24)

12

Şekil 4.2. 3, 1, 13, 0, 0.65

5

2, 1, k y EE

av         ve t 1 iken (4.1.5) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 2: 0

 , 24< 0 için (4.1.1) denkleminin çözümü ve grafikleri aşağıdaki gibi elde

edilmiştir: (4.1.6) Burada ( ), 1 2 4 2 . EE k               

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,2 (3 ) [ ] (2( 5i ( 4 ) 20i ) (6 ( 4 ) ( 4 [ ]) ) (i ( 4 ) 4i )(( 2 ) [2 ] 4 [2 ])) (6 ( 4 ) ( 4 [ ]) , , ) a v Sec Tan u x Cos Sin Tan y t                                                                      

(25)

13

Şekil 4.3. 1, 3, 13, 0, 0.65

11

2, 1, k y EE

av         iken (4.1.6) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.4. 1, 3, 13, 0, 0.65

11

2, 1, k y EE

av         ve t 1 iken (4.1.6) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 3:

0, 0

  , 24> 0 (4.1.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri

aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.1.7)

Şekil 4.5. a3,v1, 1, 0,k  2 7,y 0,EE0.65 iken (4.1.7) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

2 2 4 2 2 4 4 1,3 , (e (3 )(5i (i ) [ ])) . (3 , ( 1 e ) ) u x y t a v Cosh                     

(26)

14

Şekil 4.6. a3,v1, 1, 0,k  2 7,y0,EE0.65ve t 1 iken (4.1.7) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 4: 2 0, 0, 4 0,      2 2 2 2 3 2 0 1 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 (3 )(i ( 4 ) 8i ) 2ie (3 ) 1 ( , , ) ( e 6 ( 4 ) ( 4 ) e (3 )(12i (i ( 4 ) 8i ) ) 2ie (3 )( ) ), ( 4 ) 6 ( 4 ) a v B a v B u x y t B B a v B B a v B B                                               (4.1.8) olduğundan (4.1.1) denkleminin çözümü elde edilememiştir.

Çözüm Ailesi 5: 2

0, 0, 4 0

     şartları altında aşağıda elde edilen çözüm fonksiyonu tanımsızdır. 2 2 2 2 3 2 0 1 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 (3 )(i ( 4 ) 8i ) 2ie (3 ) 1 ( , , ) ( e 6 ( 4 ) ( 4 ) e (3 )(12i (i ( 4 ) 8i ) ) 2ie (3 )( ) ). ( 4 ) 6 ( 4 ) a v B a v B u x y t B B a v B B a v B B                                               (4.1.9)

(27)

15 Durum-2: 2 2 2 0 0 1 0 1 2 2 2 2 0 1 3 1 2 2 2 2 ( 3 4 ), 2 ( 3 4 ), 2 4 , . , 3 A k B A k a v k B k B A k kB a v k B A k B a v k k                       

Elde edilen katsayılar kullanılarak aşağıdaki çözüm fonksiyonları bulunmuştur.

Çözüm Ailesi 1: 0

 ,24> 0şartları altında (4.1.1) denkleminin çözümü, üç boyutlu,

contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki biçimde elde edilmiştir:

(4.1.10) Burada ( ), 1 2 4 2 . EE k               

Şekil 4.7. a1,v1, 4,3,k1,y0,EE0.65 iken (4.1.10) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

2 2 2 2 2 2 2 2,1 (2 ( ( 4 ) [ ] 2( 3 4 )( 4 [ ]))) , , . ( 4 [ ]) k k Sech k a v k Tanh Tan x h u y t                         

(28)

16

Şekil 4.8. a1,v1, 4, 3,k 1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.10) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 2: 0

 ,24< 0 için (4.1.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri

aşağıdaki gibidir: (4.1.11) Burada 3 2 4 2 ( ), 1 2 4 . 2 a v k ve EE k                    

Şekil 4.9. a1,v 5,  38, 10,k 1,y 0,EE 0.65 iken (4.1.11) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

  2,2 2 2 2 2 (2 ( ( 4 ) 2 2 4 ( ) [ ] ( 4 ) [ ] )) 2 2 ( 4 ]) , , [ k k k Tan k T u x y t an Tan                              

(29)

17

Şekil 4.10. a1,v 5,  38,10,k 1,y 0,EE0.65 ve t 1iken (4.1.11) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 3:

0, 0

  , 24> 0 için (4.1.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu,

contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.1.12)

Şekil 4.11. a1,v1, 2,0,k1,y0,EE 0.65 iken (4.1.12) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

22 2,3 2 ( ( 1 e ) 3 ) . ( 1 e ) , ,t k a k u x y v              

(30)

18

Şekil 4.12. a1,v1, 2,0,k 1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.12) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 4:

0, 0

    , 2

4 0

    için (4.1.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.1.13)

Burada 

EEk 

,  3a2v 4k2.

  

Şekil4.13. a1,v 3, 2,1,B0 1,B1 1,k 1,y 0,EE0.65 iken (4.1.13) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

2 2 4 3 6 0 1 0 1 1 0 3 2 2 1 0 2,4 ( ) ( ) (2 ( )) (4 2 ) 4 2 (4 , , 2 ) . ( ) 4 2 u B k B k B B k B k k y t B B B x                                

(31)

19

Şekil 4.14. a1,v 3,2, 1,B0 1,B1 1,k 1,y 0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.13) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 5:

0, 0

   , 24 0 için (4.1.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.1.14) Burada

 

EEk

.

Şekil 4.15. a1,v 3, 0,0,B0 1,B1 1,k 1,y 0,EE0.65 iken (4.1.14) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

2 2 2,5 2 ( 3 , . , k k a ) u x y t v     

(32)

20

Şekil 4.16. a1,v 3,0,0,B0 1,B1 1,k 1,y0,EE 0.65 ve t 1 iken (4.1.14) denkleminin iki boyutlu grafiği

Durum-3: 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 3 1 2 , , 1 1 (3 3 ) 2 (3 3 ) 6 6 3 2 ( ), 2 , . 4 A a v k B A k B a v k B a v k A k B B A k B k                       

Bu katsayılar yardımıyla aşağıdaki çözüm aileleri elde edilmiştir. Çözüm Ailesi 1:

0

 ,24> 0için (4.1.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu,

contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.1.15) Burada ( ), 1 2 4 (3 2 3 2( 2 4 )) 2 . EE k ve a v k                      

2 2 2 2 2 22 2 2 3,1 (3 3 ( 4 ) [ ](2 4 [ ])) (6( 4 [ ] , , ) . ) a v k Tanh Tanh T u x y t anh                         

(33)

21

Şekil 4.17. 5, 23, 1, 0, 0.65

4

1, 5, k y EE

av         iken (4.1.15) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.18. 5, 23, 1, 0, 0.65

4

1, 5, k y EE

av         ve t 1 iken (4.1.15) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 2: 0

 , 24< 0 için (4.1.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri

aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.1.16) Burada ( ), 1 2 4 (3 2 3 2( 2 4 )) 2 . EE k ve a v k                      

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3,2 (3 3 ( 4 ) [ ](2 4 [ ])) (6 ( 4 [ ]) , , ) a v k Tan Tan T n u x y t a                           

(34)

22

Şekil 4.19. a1,v5, 2,3,k 1,y0,EE0.65 iken (4.1.16) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.20. a1,v5,2, 3,k1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.1.16) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 3:

0, 0

  , 24> 0 için (4.1.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri

aşağıdaki gibidir: (4.1.17) Burada

 (EEk) .

2 2 2 2 3,3 1 1 ( 3 3 [ ] 2 , ). 6 , a v k Coth u x y t       

(35)

23

Şekil 4.21. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE0.65 iken (4.1.17) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.22. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE 0.65 ve t 1 iken (4.1.17) denkleminin iki boyutlu grafği

Çözüm Ailesi 4:

0, 0

    , 2

4 0

    için (4.1.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(4.1.18) Burada

 (EEk) .

2 2 2 2 2 2 2 3,4 (4(3 ) 4(3 ) (12 (3 ) ) ) . (6( , , 2 ) ) a v a v k a u x yt   v             

(36)

24

Şekil 4.23. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE0.65 iken (4.1.18) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.24. a1,v 4, 1,0,k1,y0,EE 0.65 ve t 1 iken (4.1.18) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 5:

0, 0

   , 240 için (4.1.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu, contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.1.19) Burada

 (EEk) .

2 22 3,5 , , 2 . 2 6 u x y t a v k     

(37)

25

Şekil 4.25. a1,v 3, 0,0,k2,y0,EE0.65 iken (4.1.19) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.26. a1,v 3, 0,0,k2,y0,EE 0.65 ve t 1 iken (4.1.19) denkleminin iki boyutlu grafiği

(38)

26

4.2 Padé-II Denklemine Denklemine Geliştirilmiş Üstel Fonksiyon Metodunun Uygulanması

Padé-II denklemi verilsin:

9 19

0. 10 10

u u uu u u

t x xxxxxxt  (4.2.1)

(4.2.1) denklemine bağımsız değişkenine göre aşağıdaki dalga dönüşümü uygulanır.

   

, , .

u x tu     (4.2.2) x ct (4.2.1) denkleminde olan türev ifadeleri (4.2.2) denkleminden elde edildikten sonra yerine yazıldığında, lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem aşağıdaki gibi lineer olmayan adi diferansiyel denkleme dönüşür.

2

5U  ( c1)10UU( 9 19c)0. (4.2.3) (4.2.3) denklemine dengeleme prensibi uygulandığında, m  şeklinde bir bağıntı n 2 elde edilir. n  için 1 m  bulunur. 3

Elde edilen m ve n değerleri için (3.1.4) denklemi;

 

0 1 2 2 3 3 0 1 A A e A e A e u B B e             , (4.2.4) şeklinde bulunur.

(4.2.3) denklemindeki türevli ifadeler (4.2.4) denkleminden elde edilip yerine yazıldığında cebirsel denklem sistemi bulunur. Bulunan denklem sistemi, Mathematica paket programı yardımıyla çözüldüğünde (4.2.4) denkleminde gerekli olan katsayılar elde edilir. Bu katsayılar ise (4.2.4) denkleminde yerine yazılır ve aşağıdaki şartlar altında Padé-II denkleminin durumlara göre çözüm fonksiyonları ortaya çıkmış olur (Aktürk ve Günaydın, 2018).

(39)

27 Durum-1: 2 2 0 0 1 0 1 0 2 1 2 2 2 2 1 3 2 2 20( 2 ) 20(6 ( 2 ) ) 120( ) , , , 10 19 76 10 19 76 10 19 76 120 10 9 36 , . 10 19 76 10 19 76 B B B B B A A A B A c                                           

Elde edilen katsayılar kullanılarak aşağıdaki çözüm fonksiyonları bulunmuştur. Çözüm Ailesi 1:

0

 ,24> 0 için (4.2.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri

aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(4.2.5) Burada ( ), 1 2 4 2 . b EEb           Şekil 4.27. 1 3, 11, 0, 0.65 21 , c y EE

       iken (4.2.5) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

 

1,1 2 2 2 2 (20 ( 4 ) [ ] ( 4 ( 2 ) [2 ] 4 [2 ])) 2 2 2 ((10 19 7 . 6 )( 4 [ ]) )

, Sech Cosh Sinh

Tanh u x t                         

(40)

28

Şekil 4.28. 1 3, 11, 0, 0.65 21

, c y EE

       ve t 1 iken (4.2.5) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 2: 0

 ,24< 0 için (4.2.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu,

contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.2.6) Burada ( ), 1 2 4 2 . b EE   b             Şekil 4.29. 4 2, 59 , 0, 0.65 119 , c y EE

      iken (4.2.6) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

 

2 2 2 2 2 22

1,2

(20( 4 ) [ ] (4 ( 2 ) [2 ] 4 [2 ]))

((10 19 76 ) ( 4 [ ]) )

, Sec Cos Sin .

Ta u x t n                                   

(41)

29

Şekil 4.30. 4 2, 59 , 0, 0.65

119

, c y EE

       ve t 1 iken (4.2.6) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 3:

0, 0

  , 24> 0 için (4.2.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri

aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.2.7) Burada

b(EE) .

Şekil 4.31. 0 3, 19, 0, 0.65 29

, c y EE

       iken (4.2.7) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

 

2 2 2 3,1 1 10 (2 3 [ ] ) 2 . 10 , 19 Cs b x ch u t       

(42)

30

Şekil 4.32. 0 3, 19, 0, 0.65 29

, c y EE

       ve t 1 iken (4.2.7) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 4: 0, 0

  , 2

4 0

 

için (4.2.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.2.8)

Burada

b(EE) .

Şekil 4.33. 1, 2,c1,y0,EE0.65 iken (4.2.8) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

 

1,4 2 2 10 ( 8 (4 )) 40(2 ) 2 2 (2 ) (10 1 . 9 7 ) , 6 b b b b u x t                 

(43)

31

Şekil 4.34. 1, 2,c1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.8) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 5: 0, 0

  , 2 4

0 için (4.2.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu, contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.2.9) Burada

b(EE) .

Şekil 4.35. 0, 0,c1,y0,EE0.65 iken (4.2.9) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

 

2 1,5 12 , . u x t b    

(44)

32

Şekil 4.36.  0, 0,c1,y0,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.9) denkleminin iki boyutlu grafiği Durum-2: 2 2 0 0 2 1 0 1 2 0 1 3 1 2 3 ( 10 9 (10 19 )) 10 3 (4( 9 19 ) ( 10( 1 ) ( 9 19 ) ) ), 10 6 6 ( 9 19 )( ), ( 9 19 ) 5 5 1 10( 1 ) , , ( ). 4 9 19 A c B A c B c c B A c B B A c B c c                                       

Bu katsayılar yardımıyla aşağıdaki çözüm aileleri elde edilmiştir. Çözüm Ailesi 1:

0

 ,24> 0 için (4.2.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri

aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.2.10) Burada ( ), 1 2 4 2 . b EEb          

 

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,1 (3(( 9 19 ) 16( 9 19 ) 2 (5 5 36 76 ) (10( 4 [ ]) ) 2 4 (10 9 ( 10 19 76 ) 36 ) [ ] (10( 4 [ ]) ) ( 10( 1 ) ( 9 19 ) )( 4 ) [ ] )) (10( 4 [ ]) , c c c c Tanh c Tanh u Tanh c c Tanh n t Ta h x                                                            2) .                      

(45)

33

Şekil 4.37. 29 3, 1, 0, 0.65

14, c y EE

       iken (4.2.10) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.38. 29 3, 1, 0, 0.65

14, c y EE

        ve t 1 iken (4.2.10) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 2: 0

 , 24< 0 için (4.2.1) denklemi için çözüm fonksiyonu ve grafikleri

aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(4.2.11) Burada

b(EE) .

 

2 2 2 2,2 5 5 3( 1 ) ( (10 10 ) ( 9 19 ) ) [ ] 18 38 5 5 ( 9 19 10(1 ) [ ]) 18 3 , 8 . c c c c Sec b c c b c c Tan c u x t                   

(46)

34

Şekil 4.39. 3.94, 2.4,c0.5,y 0,EE0.65 iken (4.2.11) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.40.  3.94,2.4,c 0.5, y 0,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.11) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 3:

0, 0

  , 24> 0 için (4.2.1) denkleminin çözümleri ve elde edilen grafikler

aşağıdaki gibidir: (4.2.12) Burada

b(EE) .

 

2 2 2,3 3 1 3 3 ( 9 19 ) [ ] 10 , . 2 c c u x t        Coth b

(47)

35

Şekil 4.41. 0 10, 2, 0.65 29

, c EE

     iken (4.2.12) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.42. 0 10, 2, 0.65 29

, c EE

      ve t 1 iken (4.2.12) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 4: 0, 0

  , 2

4 0

 

için (4.2.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.2.13)

 

3 2 2 2 2 2 2 2,4 (60( 1 ) 60( 1 ) 3(18 5 5( ) 5 (2 2 ) 5(2 ) ( 38 5 ( 2 ))) ) 5( , . 2 ) c c b c t EE x c t EE t x b c b EE t x b u x t                                    

(48)

36

Burada

b(EE) .

Şekil 4.43. 4, 4,c1,EE0.65 iken (4.2.13) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.44.  4, 4,c1,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.13) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 5: 0, 0

  , 2 4

0 için (4.2.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu, contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.2.14)

 

2 2,5 6( 9 19 ) 3( 1 ) 5 , c c . b u x t          

(49)

37

Burada

b(EE) .

Şekil 4.45. 0, 0,c 1,EE0.65 iken (4.2.14) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafikleri

Şekil 4.46.  0, 0,c1,EE0.65 ve t 1 iken (4.2.14) denkleminin iki boyutlu grafiği

Durum-3: 0 0 1 0 1 2 0 1 3 1 6 6 ( 9 19 ) ( 18 38 5 18 (5 38 ) (9 19 ) ), 5 5 6 6 ((9 19 ) 18 38 5 18 (5 38 ) ), ( 9 19 ) 5 5 2 5 18 (5 38 ) . 9 , 19 , A c B A c c B c B A c B c c B A c B c c                                           

(50)

38

Çözüm Ailesi 1: 0

 ,24> 0 için (4.2.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri

aşağıdaki gibidir: (4.2.15) Burada ( ), 1 2 4 , 5 18 (5 38 ) . 2 bEE b        c           Şekil 4.47. 2 11 2 , 2, 0.65 29 , c EE

       iken (4.2.15) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafiği

Şekil 4.48. 2 11 2 , 2, 0.65 29

, c EE

       ve t 1 iken (4.2.15) denkleminin iki boyutlu grafiği

 

2 2 2 2 2 2 3,1 (6 [ ] (4( 9 19 ) 18 38 (5( 4 [ ]) ) (( 9 19 ) 18 38 )( [2 ] 4 [2 ]))) (5( 4 [ ] , ) . ) Sech c c Tanh c c Cosh Sinh Ta u x t nh                                              

(51)

39

Çözüm Ailesi 2: 0

 , 24< 0 için (4.2.1) denkleminin çözüm fonksiyonu, üç boyutlu,

contour(dış hat) ve iki boyutlu grafikleri aşağıdaki gibi bulunmuştur:

(4.2.16) Burada ( ), 1 2 4 5 18 (5 38 ) . 2 b EE   b   ve  c             Şekil 4.49. 3 358, 2, 0.65 29 , c EE

       iken (4.2.16) denkleminin üç boyutlu vedış hat(contour) grafiği

 

2 2 2 2 2 2 3,2 (6 [ ] (4( 9 19 ) 18 38 (5( 4 [ ]) ) (( 9 19 ) 18 38 )( [2 ] 4 [2 ]))) (5( 4 [ ]) ) , . u x t Sec c c Tan c c Cos Sin Tan                                                      

(52)

40

Şekil 4.50. 3 358, 2, 0.65 29

, c EE

       ve t 1 iken (4.2.16) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 3:

0, 0

  , 24> 0 için (4.2.1) denkleminin çözümü ve grafikleri aşağıdaki

gibi bulunmuştur: (4.2.17) Burada

b(EE) .

Şekil 4.51. 0 10, 2, 0.65 29 , c EE

       iken (4.2.17) denkleminin üç boyutlu ve dış hat(contour) grafiği

 

2 3,3 6 ( 10 1 9 19 ( 1 e ) (9 19 ) ) . 5( e ) , 1 b b u xt c c c                       

(53)

41

Şekil 4.52. 0 10, 2, 0.65

29

, c EE

       ve t 1 iken (4.2.17) denkleminin iki boyutlu grafiği

Çözüm Ailesi 4: 0, 0

  , 2

4 0

 

için (4.2.1) denkleminin çözümü ve elde edilen grafikleri aşağıdaki gibidir:

(4.2.18) Burada

   5 18c(5 38 )   ve    18 38c

.

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3,4 (6(25( 1 ) ( ) 2( 9 19 )(18 ( 38 5( 1 ) ) 10( 1 ) 5( 1 ) ) (5(2 9 19 2( ) ) ) 10 10 10 10 5( 1 ) (5(2 9 19 2( ) ) ) 10( 1 ) (5 (( 1 ) ) 5 2( 9 1 , c c c c ct c ctx c x c EE c t c t c x c EE c EE c EE c c t x x u x t                                                            2 9 )( ) ))) (5(2 . 9 19 2( ) ) ) c c EE                                 

Referanslar

Outline

Benzer Belgeler

Daha önce bu anlamda çalıĢılmamıĢ dördüncü mertebeden doğrusal olmayan parabolik kısmi diferansiyel denklem içeren bir Cauchy probleminin lokal ve global

Each panel reports, for several horizons ( h , reported in the …rst column), the values of the Mincer and Zarnowitz (1969) forecast e¢ ciency test (labeled &#34;MZ p-value&#34;),

BAŞ, Ersan, “Çanakkale Zaferleri ve Çanakkale’de Üne Ulaşan Mustafa Kemal Atatürk’ün Önderliğinde Kurulan Yeni Türk Devleti’nin Oluşumuna Etkileri Üzerine

Willian Faulkner, Erski _ ne Caldwell gibi güneyli yazarlar bu tür öyküler yazmışlardır.. İkinci Dünya Savaşından günümüze kadar uzanan öyküler cok

Şekil 6.28 AD844 kullanan (6.22) denklemini çözen devrenin pspice çıkış eğrisi... Her iki integratör devresi eleman değerleri R=1.52k ohm ve

Anahtar kelimeler: Yaklaşık Çözüm, Newton Metodu, Freshe Türevi, Gato Türevi Bu çalışmada Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümünde Newton

Aşağıda verilen lineer olmayan dalga denklemi için başlangıç sınır değer problemi ilk olarak 1980 yılında Webb tarafından Canadian Journal of Mathematics

Bu bölümde belirlenmiş birer Riccati ve Bernoulli denklemlerinin Euler, Runge- Kutta ve Picard Ardışık Yaklaşımlar Yöntemleri ile yukarıda tanımını verdiğimiz