Yarım Düzlem Üzerine Oturan Elastik Tabakanın Sürtünmesiz Ve Ayrılmalı Temas Problemi

(1)

XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ

24-28 Ağustos 2015, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon

586

YARIM DÜZLEM ÜZERİNE OTURAN ELASTİK TABAKANIN SÜRTÜNMESİZ VE AYRILMALI TEMAS PROBLEMİ Pembe Merve Karabulut1, Gökhan Adıyaman2, Erdal Öner3 ve Ahmet Birinci4

1,2,4 _{Karadeniz Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon} 3 _{Bayburt Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Bayburt}

ABSTRACT

In this study, symmetric receding contact problem for an elastic layer resting on an elastic half plane loaded by means of two rectangular rigid stamps is considered according to theory of elasticity. The problem is solved under the assumptions that all surfaces are frictionlesss, the effect of gravity forces is neglected. The problem is reduced a system of integral equation in which the contact pressures are unknown functions by using the integral transform tecnique and boundary conditions of the problem. The system of singular integral equation is solved numerically by making use of appropriate Gauss-Jacobi integration formulas. Numerical results for the contact pressures and contact areas are investigated for various dimensionless quantities.

ÖZET

Bu çalışmada, yarım düzlem üzerine oturan ve rijit iki dikdörtgen blok aracılığıyla yüklenmiş bir tabakanın simetrik ayrılmalı temas problemi elastisite teorisine göre incelenmiştir. Temas eden tüm yüzeyler sürtünmesiz olup, kütle kuvvetlerinin etkisi ihmal edilmiştir. Problem integral dönüşüm teknikleri ve sınır şartları kullanılarak temas gerilmelerinin bilinmeyen fonksiyonlar olduğu bir integral denklem sistemine indirgenmiştir. Uygun Gauss-Jacobi integrasyon formülleri yardımıyla integral denklem sistemi sayısal olarak çözülmüştür. Temas gerilmeleri ve temas uzunluklarına ait sayısal sonuçlar çeşitli boyutsuz büyüklükler için belirlenmiştir.

GİRİŞ

Mühendislikte pek çok durumda yükler yapının farklı elemanları veya bölümleri arasındaki temas ile aktarılırlar. Günlük hayatta temas çok rastlanan bir olgu olup; karayolları, havaalanı pistleri, demiryolları, tahıl ambarları, yakıt tankları, çelik birleşimler ve temeller gibi mühendislik yapılarında önemli rol oynar.

(2)

XIX. Ulusal Mekanik Kongresi 587 Temas mekaniği son yıllarda pek çok araştırmaya konu olmuştur. Erdoğan ve Gupta [1] temas ve çatlak problemlerinde sıkça karşılaşılan tekil integral denklemlerin sayısal çözüm yöntemleri incelemişlerdir. Erdoğan ve Çakıroğlu [2] rijit düzlem üzerine oturan elastik tabakanın sürtünmesiz temas problemini çözmüşlerdir. Özşahin ve Taşkıner [3] yarım düzlem üzerine oturan elastik tabakanın sürtünmesiz temas problemini ele almışlardır. Wang ve Lui [9] Airy gerilme fonksiyonu metoduyla sonlu sayıda fonksiyonel derecelendirilmiş tabakadan oluşan eğri kirişleri elastisite teorisine göre incelemişlerdir. El-Borgi ve Abdelmaula [8] homojen yarım düzlem üzerine oturan fonksiyonel derecelendirilmiş tabakanın sürtünmesiz temas problemini incelemişlerdir.

Rijit dikdörtgen blok problemlerinin zemin mekaniğinde özellikle temel güvenliğinin araştırılmasında önemli bir yeri vardır. Dikdörtgen pançlar zemin üzerine oturan temeller olarak düşünülebilirler.

Bu çalışmada elastik yarım düzlem üzerine oturan simetrik rijit iki dikdörtgen blok ile iletilen iki tekil yük ile yüklenmiş homojen izotrop bir tabakanın sürtünmesiz ve ayrılmalı temas problemi elastisite teorisine göre incelenmiştir ve tabaka ile blok arasındaki ve tabaka ile yarım düzlem arasındaki boyutsuz temas gerilmeleri çeşitli boyutsuz büyüklükler için elde edilmiştir.

PROBLEMİN FORMÜLASYONU

Problemde elastik tabaka ile simetrik rijit bloklar ( a, b) ve ( , )a b aralıklarında, elastik tabaka ile yarım düzlem ise ( , )c c aralığında temas halindedirler. Problemde h tabaka yüksekliğini G ,_i _i (i1, 2) tabaka ve yarım düzleme ait malzeme sabitlerini göstermektedir. Problemin geometrisi ve yükleme durumu simetrik olduğundan hesaplar (0, ) aralığında yapılmıştır. Problem düzlem hal için inceleneceğinden z ekseni doğrultusundaki kalınlık birim alınmıştır

(3)

588 XIX. Ulusal Mekanik Kongresi

Şekil 1. Simetrik rijit iki dikdörtgen blok aracılığıyla yüklenmiş ve yarım düzlem üzerine oturan elastik tabaka

Problemin çözümünde kullanılacak U x y , _i( , ) V x y yer değiştirme bileşenleri ve _i( , ) _xi( , )x y , ( , )

yi x y

 , _xyi( , )x y gerilme bileşenleri elastisitenin temel denklemleri ve Fourier dönüşüm teknikleri kullanılarak elde edilmiştir.

Elastik tabaka için yer değiştirme ve gerilme ifadeleri;

1 1 2 3 4 0 2 ( , ) ( ) y ( ) y sin( ) U x y A A y e  A A y e x d      



_    _ (1) 1 1 1 1 2 3 4 0 2 ( , ) ( ) y ( ) y cos( ) V x y A  y A e A  y A e x d            __   _   _  _ _      



(2) 1 1 1 1 2 2 3 4 4 1 0 3 3 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) 2 2 2 y y x x y A A y A e A A y A e x d G                     __   _ _   _ _      



(3) 1 1 1 1 2 2 3 4 4 1 0 1 1 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) 2 2 2 y y y x y A A y A e A A y A e x d G                      __   _  _   _ _      



(4) 1 1 1 1 2 2 3 4 4 1 0 1 1 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin( ) 2 2 2 y y xy x y A A y A e A A y A e x d G                      __   _ _   _ _      



(5) şeklindedir.

Yarım düzlem için yer değiştirme ve gerilme ifadeleri;

2 1 2 0 2 ( , ) ( ) y sin( ) U x y B B y e x d     



_  _ (6) 1 2 1 2 0 2 ( , ) ( ) ycos( ) V x y B  y B e x d   _ _  _   _  



(7) 2 2 1 2 2 2 0 3 1 2 ( , ) ( ) ( ) cos( ) 2 2 y x x y B B y B e x d G         _    _   _  



(8) 2 2 1 2 2 2 0 1 1 2 ( , ) ( ) ( ) cos( ) 2 2 y y x y B B y B e x d G         _    _   _  



(9) 2 2 1 2 2 2 0 1 1 2 ( , ) ( ) ( ) sin( ) 2 2 y xy x y B B y B e x d G         _    _   _  



(10)

(4)

XIX. Ulusal Mekanik Kongresi 589

şeklindedir. Yukarıdaki ifadelerde geçen _i (i1, 2) bir malzeme sabiti olup düzlem şekil değiştirme halinde _i  (3 4 )_i , düzlem gerilme halinde ise _i  (3 _i) /(1_i) olarak verilmektedir. i  (i1, 2) tabaka ve yarım düzleme ait Poission oranlarını temsil etmektedir. Problemin simetri özelliği de dikkate alınarak katsayıların belirlenmesinde kullanılacak olan sınır şartları aşağıdaki gibi yazılabilir. 1( , ) y x h   ₁ 0 ( ) 0 p x  0 x a a x b b x        (11) 1( , ) 0 xy x h   0  x (12) 1( , 0) y x   2( ) 0 p x  0 x c c x      (13) _y₁( , 0)x _y₂( , 0)x 0  x (14) _xy₁( , 0)x 0 0  x (15) _xy₂( , 0)x 0 0  x (16) V x₁

 

, 0 V₂

 

x, 0 0 x  _ _ __    0 x c (17) V x h₁

 

, 0 x  _ __    a x b (18)

Bu ifadelerde geçen p x blok ile elastik tabaka arasındaki, ₁( ) p x ise elastik tabaka ile ₂( ) yarım düzlem arasındaki bilinmeyen temas gerilmelerini göstermektedir. Problemin denge şartları aşağıda tanımlanmıştır. (19) (20)

 

1 1 1 b a p x dx P



 

2 2 2 2 c c p x dx P  



(5)

Sınır şartlarının (1-6) nolu gerilme ve yer değiştirme ifadelerinde yerlerine yazılıp ters Fourier dönüşümleri alınması sonucu 6 bilinmeyenli 6 adet denklem elde edilmiş, bu denklem sisteminin çözümünden de gerilme ve yer değiştirme ifadelerinde geçen bilinmeyen katsayılar (A A A A B B ) hesaplanmıştır. Elde edilen katsayılar (17) ve (18) nolu sınır şartlarında ₁, ₂, ₃, ₄, ₁, ₂ yerlerine yazıldığında ve gerekli ara işlemler yapıldığında temas gerilmelerinin bilinmeyenler olduğu iki tane tekil integral denklemden oluşan bir integral denklem sistemi aşağıdaki gibi elde edilmiştir. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 b c a p t k x t dt p t k x t dt t x t x     _ _  _ _   _ _      



(21) 1 1 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 b c a c p t k x t dt p t k x t t x     _  _   



(22) Yukarıdaki ifadelerde geçen;

4 2 1 1 1 1 1 0 1 ( , ) (2 2 h 8 h ) 2 sin( ) cos( ) k x t e  h e  x t d     _    _ 



(23) 3 3 2 1 2 2 1 0 1 ( , ) (2 h 2 h 2 h 2 h ) sin( ( )) k x t e e  h e  h e   t x d       



(24) 3 3 3 2 1 2 1 0 1 1 ( , ) (4 4 4 4 ) sin( ) cos( ) 1 h h h h k x t e e  h e  h e  x t d       



 (25) 4 2 4 2 2 2 2 0 1 1 ( , ) (1 4 ) 1 sin( ( )) 1 h h k x t e  h e   t x d      _    _  



 (26) 2 4 2 2 2 (2_e h _eh 4_h _eh 1)      (27) 1 2 2 1 (1 ) (1 ) G G       (28) olarak tanımlanabilir.

İntegral denklemlerin sayısal çözümleri Gauss-Jacobi integrasyon formülasyonu ile gerçekleştirilecektir. Bu integral denklem sistemine Gauss-Jacobi metodunu uygulamak için öncelikle denklem takımının tanımlı olduğu integral aralığını ( 1,1) ’e normalize etmek gerekmektedir. Bunun için  z h/ değişken dönüşümü yapılmış ve aşağıdaki boyutsuz büyüklükler tanımlanmıştır.

(6)

XIX. Ulusal Mekanik Kongresi 591 1 1 2 2 b a b a x   s   x₂ cs₂ (29) 1 1 2 2 b a b a t   r   t₂ cr₂ (30) 1 1 1 1 ( ) 2 2 ( ) / b a b a p r g r P h  _   1 2 2 2 ( ) ( ) / p cr g r P h  (31)

Tanımlanan boyutsuz büyüklükler integral denklemlerde ve denge şartlarında yerlerine yazılırsa; 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 2 2 b a c r k s r dr r k s r dr b a h r s h r s b a             _ _  _ _   _ _            



(32) 1 1 1 1 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 2 b a c r k s r dr r k s r dr h h r s        _ _  _   



(33) (34) (35)

ifadeleri elde edilir. Burada;

1( , )1 1 1( , )1 1 k x t k s r (36) 2( , )1 2 2( , )1 2 k x t k s r (37) 3( , )2 1 3( , )2 1 k x t k s r (38) 4( , )2 2 4( , )2 2 k x t k s r (39) şeklindedirler.

Rijit bloğun kenarlarında temas gerilmeleri singülariteye sahip olduğu için (32) denkleminin indisi (+1) dir. Elastik tabaka ve yarım düzlem arasındaki temas gerilmesi iki ucunda sınırlı olduğu için ( 1) 0g   ve (33) denkleminin indisi de (-1) dir [1]. Buna göre,

1 2 2 2 1 ( )r dr 2   



1 1 1 1 1 ( )r dr 1   



(7)

592 XIX. Ulusal Mekanik Kongresi ( )_j ( ). ( )_j _j g r G r w r (40) ( ) (1 ) (1j ) j j j j w r  r  r  (41)

ifadelerinde ve katsayıları (32) denklemi için (  0.5), (33) denklemi için (   0.5) olarak belirlenmiştir. Sayısal çözüm yönteminin uygulanabilmesi için yukarıdaki eşitlikler kullanılarak denklemler aşağıdaki lineer denklem takımına dönüştürülmüştür.

 





_

_





 





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 , 2 2 , 0 N i i k i i i k i k N i i k i i b a W G r k s r b a h r s r s b a c W G r k s r h       _    _ _           _        



(42)

 





 





1 1 1 3 2 1 2 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 , , 0 2 N N i i k i i i k i i i i k b a c W G r k s r W G r k s r h h r s       _  _   



(43)

 

1 1 1 1 1 2 N i i i b a W G r h  

_

_ (44)

 

2 2 2 1 2 N i i i c W G r h  



(45) Bu ifadelerde geçen s ,₁ s ,₂ r ,₁ r ,₂ W ,_1i W sırasıyla _2i

1 1 cos 1 i i r N      _ _    (i1,... )N 2 cos 1 i i r N     _ _    (i1,... )N (46-47) 1 2 1 cos 2 2 k k s N      _ _    (k1,...N1) 2 2 1 cos 2 1 k k s N      _ _    (k 1,...N1) (48-49) 1 1 1 2 2 N i i W W N     1 1 i W N    (i2,...N1) (50-51) 2 2 2 1 1 N i i r W N    (i1,... )N (52) olarak ifade edilmektedir.

Elde edilen lineer denklem sisteminde G r ve ₁( )₁_i G r₂( )₂_i (i1,... )N temas gerilme değerleri ve ( / )c h boyutsuz temas uzunlukları olmak üzere (2N1) tane bilinmeyene karşılık (2N1) tane denklem bulunmaktadır. (42) da ( ).N denklem yerine (44) ifadesi yazılmıştır.

(8)

XIX. Ulusal Mekanik Kongresi 593 (43) deki (N/ 2 1). denklem uygunluk bağıntısına karşılık gelir ve sonucu otomatik olarak sağlayacağından denklem sisteminin dışına alınmıştır. Boyutsuz temas uzunlukları ( / )c h değerleri iterasyon yardımıyla elde edilmiştir.

SONUÇLAR

(b a ) /h blok genişliğini, (b a ) /(2 )h bloğun simetri ekseninden uzaklığını, G G kayma ₁/ ₂ modülü oranı elastik tabakanın yarım düzleme göre rijitliğini ifade etmek üzere, tabaka ile blok arasındaki ve tabaka ve yarım düzlem arasındaki boyutsuz temas gerilmeleri çeşitli boyutsuz büyüklükler için elde edilmiştir.

Şekil 2 ve 3’de sırasıyla G G malzeme oranının elastik tabaka ve blok arasındaki ₁/ ₂ 1( ) /( / )

P x P h ile elastik tabaka ve yarım düzlem arasındaki P x₂( ) /( / )P h temas gerilmelerinin dağılımlarına etkisi verilmiştir. G G malzeme oranının artmasıyla elastik tabaka ve blok ₁/ ₂ arasındaki temasın sağ uca yakın gerilme değerleri artmaktadır, sol ucuna yakın gerilme değerleri ise azalmaktadır. G G malzeme oranı arttıkça tabaka ve yarım düzlem arasındaki ₁/ ₂ temas uzunluğu da artmaktadır. Temas uzunluğu arttıkça temas gerilmesinin alacağı en büyük değer azalmaktadır ve bu değeri aldığı noktanın konumu simetri ekseninden uzaklaşmaktadır. Ayrıca elastik tabaka ve yarım düzlem arasındaki temas gerilmesinin simetri ekseni üzerinde

( /c h0) aldığı değerler artmaktadır.

_{Şekil 2. Rijit blok ve tabaka arasındaki}

boyutsuz temas gerilmesinin G G ₁/ ₂ malzeme oranına göre değişimi ( (b a ) /h1.25, (b a ) /(2 ) 1.25h  )

Şekil 3. Tabaka ve yarım düzlem arasındaki boyutsuz temas gerilmesinin

1/ 2

G G malzeme oranına göre değişimi ( (b a ) /h1.25, (b a ) /(2 ) 1.25h  )

(9)

Şekil 4 ve 5’de sırasıyla blok genişliğinin p x₁( ) /( / )P h ve p x₂( ) /( / )P h temas gerilme dağılımlarına etkisi incelenmiştir. Blok genişliği arttıkça p x₁( ) /( / )P h temas gerilmesi daha geniş bir alanda etki göstereceğinden ortalama değeri azalmaktadır. (b a ) /h oranı arttıkça elastik tabaka ve yarım düzlem arasındaki temas uzunluğu artmakta ve p x₂( ) /( / )P h gerilmesinin simetri ekseni üzerinde aldığı değerler azalmaktadır.

Şekil 6 ve 7’de ise sırasıyla blokların simetri ekseninden olan uzaklıklarının p x₁( ) /( / )P h ve 2( ) /( / )

p x P h boyutsuz temas gerilme dağılımlarına olan etkisi incelenmiştir. Bloklar simetri ekseninden uzaklaştıkça; elastik tabaka ve blok arasındaki temasın sağ ucuna yakın gerilme değerleri artmakta, sol uca yakın gerilme değerleri ise azalmaktadır. Blokların simetri ekseninden olan uzaklıklarının artması elastik tabaka ve yarım düzlem arasındaki temas uzunluğunu arttırmakta, p x₂( ) /( / )P h gerilmesinin simetri ekseni üzerinde aldığı değerleri önemli ölçüde azaltmaktadır.

Şekil 4. Rijit blok ve tabaka arasındaki boyutsuz temas gerilmesinin bloğun genişliğine göre değişimi

( (b a ) /(2 ) 1.25h  ,G G₁/ ₂4)

Şekil 5. Tabaka ve yarım düzlem arasındaki boyutsuz temas gerilmesinin bloğun genişliğine göre değişimi ( (b a ) /(2 ) 1.25h  ,G G₁/ ₂4)

(10)

XIX. Ulusal Mekanik Kongresi 595

KAYNAKLAR

[1] Erdogan F., Gupta G.D., On The Numerical Solution of Singular Integral Equations, Quarterly Journal of Applied Mathematics. 29 (1972) 525-534

[2] M.B. Civelek, F. Erdoğan, A.O. Çakıroğlu, Interface seperation for an elastic layer loaded by a rigid stamp, Journal of Applied Mechanics. 43(98) (1976) 175-177

[3] T.S. Ozsahin, O. Taskıner, Contact problem for an elastic layer on an elastic half plane loaded by means of three rigid flat punches, Mathematical Problems in Engineering. 13427 (2013) 14 pages doi: 10.1155/2013/137427

[4] I. Comez, A. Birinci, R. Erdol, Double receding contact problem for an rigid stamp and two elastic layers, European Journal of Mechanics A/Solids. 23 (2004) 301-309 doi: 10.1016/j.euromechsol.2003.09.006

Şekil 6. Rijit blok ve tabaka arasındaki boyutsuz temas gerilmesinin bloğun simetri ekseninden uzaklığına göre değişimi ( (b a ) /h1.25, G G₁/ ₂4)

Şekil 7. Tabaka ve yarım düzlem arasındaki boyutsuz temas gerilmesinin bloğun simetri ekseninden uzaklığına göre değişimi ( (b a ) /h1.25, G G₁/ ₂4)

(11)

[5] V. Kahya, T.S. Ozsahin, A. Birinci, R. Erdol, A receding contact problem for an anisotropic elastic medium consisting of a layer and a half plane, International Journal of Solids and Structures. 44 (2007) 5695-5710 doi : 10.1016/j.ijsolstr.2007.01.020

[6] M.A. Guler, F. Erdogan, Contact mechanics of graded coatings, International Journal of Solids and Structures, 41(2004) 3865-3889.doi:10.1016/j.ijsolstr.2004.02.025

[7] M.R. Gecit, Axisymmetric contact problem for a semi infinite cylinder and a half space, International Engineering Science, (1986) 1245-1256

[8] S. Er-Borgi, R. Abdelmaula, L. Keer, A receding contact plane between a funtionally graded layer and a homogeneus substrate, International Journal of Solids and Structures, 43(2006) 658-674 doi:10.1016/j.ijsolstr.2005.04.017

[9] M. Wang,Y. Lui, Elasticity solution for orthotrophic funtionally graded curved beams, European Journal of Mechanics A/Solids, 37(2013) 8-16. doi:10.1016j.euromechsol.2012.04.005

[10] A. Birinci, F.L. Cakıroglu, Partial closure of a crack located in an infinite elastic layer, Europan Journal of Mechanics A/Solids, 22(2003) 583-590, doi:10.1016/S0997-7538(03)00053-6

[11] E. Oner, A. Birinci, Continuous contact problem for two elastic layers resting on an elastic half infinite plane, Journal of Mechanics of Materials and Structures,(2014) 105-119. Doi:10.2140/jomms.2014.9.105

[12] Hertz, H., Gesammelte Werke Von Heinrich Hertz, Volume 1, Leipzig, 1895

[13] Galin, L.A., Contact Problems in the Theory of Elasticity, North Carolina State Collage Translation Series, North Carolina, 1961

[14] Uffliand, I.S., Survey of Articles on the Application of Integral Transforms in The Theory of Elasticity, North Carolina State Collage Translation Series, North Carolina, 1965

[15] Sneddon, I.N., Fourier Transforms, Mc Grow-Hill, New York, 1951

[16] Çakıroğlu, A.O., Elastik Yarım Düzleme Oturan Plaklarda Temas Problemi, Doçentlik Tezi, KTÜ, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Trabzon, 1979.