Kompleks düzlemde yaklaşım teorisinin bazı problemleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

KOMPLEKS DÜZLEMDE YAKLAŞIM TEORİSİNİN BAZI PROBLEMLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Özlem ÖNSEL

ÖZET

KOMPLEKS DÜZLEMDE YAKLAŞIM TEORİSİNİN BAZI PROBLEMLERİ

Özlem ÖNSEL

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı

(Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı: Prof.Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV)

Balıkesir, 2010

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar ve gösterimler; ikinci bölümde ise ana teoremimizi ispatlamada kullanılacak teoremler ispatsız olarak verilmiştir.

Üçüncü bölüm, ana sonucun ispatında kullanılan bazı sonuçların ve çeşitli kaynaklardan elde edilen yardımcı sonuçların ispatına ayrılmıştır.

Son bölümde, tezin ana teoremi, kompleks düzlemde yaklaşım teorisinin bir düz teoremi ispat edilmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: Faber polinomu / Faber Laurent polinomu / Refleksif Smirnov Orlicz uzayı / sonlu iki bağlantılı bölge / n. dereceden rasyonel fonksiyon / Cauchy singüler operatörü / Dini düzgün eğri.

ABSTRACT

SOME PROBLEMS OF APPROXIMATION THEORY ON THE COMPLEX PLANE

Özlem ÖNSEL

Balıkesir University, Institue of Science, Department of Mathematics

Balıkesir-Turkey, 2010

This work consists of four chapters.

In the first chapter, basic definitions and notations which are used in following chapters; in the second chapter, theorems which are used to prove the essential theorem without giving proofs are given.

The third chapter is donated with auxiliary results, which are obtained for the proof of main result or get from different works and their proofs.

In the last chapter, the main results of this work, a direct theorem of approximation theory on the complex plane is proved.

KEY WORDS: Faber polynomial, Faber-Laurent polynomial, Reflexive Smirnov-Orlicz space, finite double connected domain, rational function of degree n, Cauchy singular operator, Dini smooth curve.

İÇİNDEKİLER

ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ii

ABSTRACT, KEY WORDS iii

İÇİNDEKİLER iv SEMBOL LİSTESİ v ÖNSÖZ vii 1. GİRİŞ 1 2. ÖN BİLGİLER 17 3. YARDIMCI SONUÇLAR 20 4. ESAS TEOREM 37 SONUÇ 48 KAYNAKÇA 49

SEMBOL LİSTESİ

Simge Adı

C Kompleks(karmaşık) Sayılar Kümesi

R

Reel Sayılar Kümesi

( )

f

V

ba f fonksiyonunun

[ ]

a, üzerinde toplam salınımı b Ω C’de İki Bağlantılı Bölge

Γ Ω ’nın dış sınırı olan sonlu uzunluklu Jordan eğrisi L Ω’nın iç sınırı olan sonlu uzunluklu Jordan eğrisi

G Sınırı Γ olan sınırlı basit bağlantılı bölge

G

−

G

_

’nin tümleyeni

B Sınırı L olan sınırsız basit bağlantılıbölge

B

−

B

_

’nin tümleyeni

T C’de birim çember veya

[

0,2π

]

D C’de birim disk

D

−

D

_

’nin tümleyeni

Φ

G

−’den

D

− üzerine konform dönüşüm

ϕ Φ’nin tersi

F B’den

_D

− üzerine konform dönüşüm

ψ F’nin tersi

( )

t,h

ω Bir h fonksiyonunun düzgünlük modülü

Φ

n

G

_

için n. dereceden Faber polinomu

F

n

B

_

için n. dereceden Faber Laurent polinomu

Q

_n,F

C

’de cebirsel polinom

( )

Γ

.

_p

L

p normu

( )

G

E

p G üzerinde Smirnov sınıfı

( )

L

L

M M * ,

Γ Γ üzerinde Orlicz uzayı ( )

.

_Γ

LM

L

M

( )

Γ Orlicz normu

M N fonksiyon

N M’nin tamamlayıcı fonksiyonu

( )

G

E

M G üzerinde Smirnov Orlicz sınıfı

( )

.

_G

EM

_E

_M

( )

G Smirnov Orlicz normu

( )

D

H

p D’de analitik fonksiyonların Hardy uzayı

(

X A

)

M

+ , X üzerinde negatif olmayan A−ölçülebilir fonksiyonlar kümesi

(

X K

)

BL , X normlu uzayı üzerindeki lineer ve sürekli

fonksiyonellerin kümesi

X

' X normlu uzayının normlu duali

X

'' X normlu uzayının normlu 2. duali

ω

M,Γ

( )

f; f ∈

L

M

( )

Γ fonksiyonunun düzgünlük modülü

ω

M,L

( )

f; f ∈

L

M

( )

L fonksiyonunun düzgünlük modülü

ω

M

( )

f; f ∈

E

M

( )

Ω fonksiyonunun düzgünlük modülü

S

Γ

L

1

( )

Γ üzerinde Cauchy singüler integrali

( )

θ

K

n

[

− ,Π Π

]

üzerinde trigonometrik polinom

( )

z f

P

n , n. dereceden cebirsel polinom

( )

z f

Q

_n , n. dereceden rasyonel fonksiyon

( )

z f

ÖNSÖZ

Bilimsel yolculuğum süresince bana önderlik eden danışmanım Prof. Dr.

Daniyal M. İSRAFİLOV’a teşekkürlerimi sunarım.

Hayatım boyunca bana, her yer ve her koşulda en büyük desteği veren sevgili anneme teşekkürlerimi bildiririm.

Balıkesir, 2010 Özlem ÖNSEL

1. GİRİŞ

Tanım 1.1:

[ ]

a,b ⊂R olmak üzere sürekli bir , γ :

[ ]

a,b →C

fonksiyonuna C düzleminde bir eğri denir. γ

( ) ( )

a =γ b ise γ ’ya kapalı eğri; γ

eğrisi sadece

_t

1=

_t

2 için γ

( ) ( )

t

1 =γ

t

2 oluyorsa γ ’ya Jordan eğrisi; γ' türevi var ve

sürekli ise γ’ya diferansiyellenebilir eğri; diferansiyellenebilir γ eğrisi için eğer,

( )

0

' ≠t

γ , t∈

[ ]

a,b oluyor ise γ’ya düzgün eğri denir. [1, s: 126].

Tanım 1.2: f,

[ ]

a,b üzerinde tanımlı, reel değerli bir fonksiyon, P=

{

x

0,

x

1,...,

x

n

}

,

[ ]

a, aralığının bir parçalanması ve Q , b

[ ]

a, aralığının tüm P b parçalanmalarının kümesi olsun. f ’nin

[ ]

a, üzerindeki toplam salınımı, b

( )

_∑

( ) ( )

= − ∈ − = n k k k Q P b a

x

x

V

f f f 1 1

sup

olarak belirlenir. Eğer,

_V

b

( )

f

a sonlu ise f fonksiyonu

[ ]

a, üzerinde sınırlı salınımlıdır denir. b [2, s: 125].

Tanım 1.3: Eğer, γ =γ

( )

t fonksiyonu sınırlı salınımlı ise bunun belittiği γ eğrisine rektifiye edilebilir(sonlu uzunluklu) eğri denir. [1, s: 128].

Tanım 1.4: Γ rektifiye edilebilir bir Jordan eğrisi; z∈Γ ve ε >0 için,

( )

ε =

{

∈Γ − <ε

}

Eğer, Γ

( )

<∞ Γ ∈ > ε ε ε , 1

sup

sup

0 z z

oluyor ise Γ ’ya Carleson eğrisi denir. [3].

Tanım 1.5: C içinde bir S kümesi verilsin. Eğer,

S

1=S∩

A

1≠ , ∅

S

2=S∩

A

2≠∅ ve S=

S

1∪

S

2 olacak şekilde C içinde ayrık ve açık

A

1 ve

A

2

kümeleri bulunamıyorsa S kümesine bağlantılı küme denir. [1, s: 26].

Tanım 1.6: Kompleks düzlemde bağlantılı ve açık bir kümeye bölge denir. [4, s:1].

Tanım 1.7: B , C düzleminde bir bölge ve

γ

₁:

[ ]

0,1 →B ,

γ

₂:

[ ]

0,1 →B

kapalı iki eğri olsunlar. Eğer, aşağıdaki iki koşulu gerçekleyen sürekli bir H:

[ ] [ ]

0,1× 10, →B

fonksiyonu bulunabilirse

γ

₁ ve

γ

₂ birbirine homotop eğridirler denir. [1, s: 150].

1. Her bir s∈

[ ]

0,1 için t→H

( )

t,s kapalı bir eğridir. 2.H

( )

t,0 =

γ

₁

( )

t , H

( )

t,1 =

γ

₂

( )

t , 0≤t≤1.

Tanım 1.8: A , C ’de bir bölge olsun. Eğer, A bağlantılı ve A içindeki her kapalı γ eğrisi yine A içinde sabit bir

z

0 noktasına homotop ise A ’ya basit

bağlantılı bölge denir. [1, s: 150].

Tanım 1.9: Bir bölgenin sınırını oluşturan bağlantılı bileşenlerin sayısına bu bölgenin bağlantılılık sayısı; bağlantılılık sayısı 1’den fazla olan bölgeye çok bağlantılı bölge denir. [5, s: 23].

Tanım 1.10:

{

w∈C:w =1

}

üzerinde bir trigonometrik polinom P ~

_∑

− = n n m n

e

a

int ,

_a

n∈ (a) R biçiminde bir ifadedir.

(a)’daki n tamsayılarına P ’nin dereceleri denir;

a

n +

a

−n ≠0 olmak üzere en büyük n tamsayısına P ’nin derecesi denir. [6, s: 2].

Tanım 1.11: B kompleks düzlemde bir bölge olmak üzere f :B→C sürekli dönüşümü verilsin. Eğer, bir

_z

0∈B noktasından geçen ve aralarında α açısı yapan herhangi iki düzgün

γ

₁ ve

γ

₂ eğrilerinin f

( )

γ

₁ ve f

( )

γ

₂ resim eğrileri de

w

0’da aralarında yön ve büyüklük bakımından α açısı yapıyorlarsa f fonksiyonuna

z

0’da bir konform dönüşümdür denir. [1, s: 309-310].

Ω , kompleks düzlemde dış sınırı ve iç sınırı sırasıyla rektifiye edilebilr Jordan eğrileri Γ ve L (saatin dönüş yönüne göre ters yönde yönlendirilmiş) olan iki bağlantılı bölge; G:= IntΓ ,

_G

−:=ExtΓ, B:= Int L,

B

−:= Ext L olsun. Genelliği kaybetmeden 0∈B olduğunu varsayacağız. T :=

{

w∈C: w =1

}

, D:=Int T ,

Ext

D

−:= T olsun.

Ayrıca, w=Φ

( )

z ,

G

−’den

D

− üzerine,

( )

∞ =∞ Φ , limΦ

( )

>0 ∞ → _z z z (1.1)

koşulları altında normalize edilen konform dönüşüm ve ϕ bunun tersi; w=F

( )

z , B ’den

D

− üzerine,

F

( )

0 =0 , lim

( )

0

0 > → zF z

z (1.2) koşulları altında normalize edilen konform dönüşüm, ψ de bunun tersi olsun.

( )

t,h :=sup

{

h

( ) ( )

t

1 −h

t

2 :

t

1,

t

2∈

[

0,2π

]

,

t

1−

_t

2 ≤t

}

ω , t≥0 olarak tanımlayalım. h fonksiyonuna, π

_∫

− ω

( )

<∞ 0 1 _{t,h dt}

t

koşulunu sağlıyorsa Dini süreklidir denir. [3].

Tanım 1.13: Γ eğrisine,

Γ:

ϕ

₀

( )

τ , 0≤τ ≤2π

öyle ki ϕ'₀

( )

τ Dini sürekli ve ≠ biçiminde bir parametrizasyona sahipse, Dini-0 düzgün eğri denir. [7, s: 48].

Ω ’nın sınırları olan Γ ve L eğrileri Dini-düzgün ise,

0<

c

₁≤ Φ'

( )

z ≤

c

₂<∞ , z∈Γ (1.3) 0<

c

₃≤ F'

( )

z ≤

c

₄<∞ , z∈ L (1.4) olur. [3].

( )

1 ’deki koşulları sağlayan Φ fonksiyonunun z=∞’un bir komşuluğunda Laurent açılımı,

( )

1 ₂2 ... ... 0+ + + + + + = Φ

z

z

k k z z z γ

γ

γ

γ

γ

formunda yazılabilir.

Şimdi, negatif olmayan bir n tamsayısı için,

( )

_











₊

₊

₊

₊

₊

Φ

= ₀ 1

...

...

z

z

z

k k n n _z

γ

γ

γ

γ

_(1.5)

ifadesini düşünelim. Parantez içindeki toplamın n. kuvvet açılımını yaptığımızda ilk olarak z’nin negatif olmayan kuvvetlerini içeren

(

n+1

)

terimden oluşan bir grup, daha

sonra da sonsuz sayıda negatif üslü terimleri elde ederiz.

Yani,

( )

1.5 ’ten,

( )

( ) ( ) ( ) ( )

a

a

z

a

z

a

z

nn n n n n n n n n n z z 1 0 2 2 1 1 + +...+ + + = − − − −

Φ

γ

(1.6) + 1( )₊ ( )2_{2 +}...₊ ( )₊...

z

b

z

b

b

k n k n n z gösterimine ulaşırız.

Tanım 1.14:

( )

1.6 bağıntısının sağ tarafındaki ifadenin polinom kısmına

_G

_

için n.dereceden Faber polinomları denir. [8, s: 33-35].

Faber polinomları için,

( )

_z

_a

( )

_z

_a

( )n

_z

n

_a

( )n n n n n n n n z = + −1 −1+ −2 −2+...+ 0

Φ

γ

notasyonunu kullanacağız.

Φ’nin tersi olan z=ϕ

( )

w fonksiyonu

_D

−’yi

_G

− üzerine konform ve

univalent olarak resmeder. Faber polinomları ile ϕ fonksiyonu arasında,

( )

( )

∑ Φ

( )

∞ = + = − 0 1 ' k k k

w

z z w w ϕ ϕ _{, z∈G, w >1 (1.7)} bağıntısı vardır.

Şimdi de

( )

1.2 ’deki koşulları sağlayan w=F

( )

z dönüşümünü ele alalım. f fonksiyonu için orijin civarında,

( )

... ... 2 2 1 0+ + + + + + = z

z

k

z

k z z F α

α

α

α

α

[

( )

]

( )

z z

Q

F

z

F

n _nF n , 1 −       = , z∈ B bağıntısını buluruz. Burada , _      z

F

n 1

, z ’nin negatif kuvvetlerinin polinomunu gösterirken,

( )

z

Q

_n,F , z ’nin negatif olmayan kuvvetlerini içerir.

Q

_n,F

( )

z B içinde analitik bir fonksiyondur. Eğer z noktası L ’nin dışında yer alıyor ise L boyunca pozitif yönde integral alarak,

_      z

F

n 1 =

_∫

( )

− − L d z i

F

n _ζ ζ ζ π 2 1 =

( )

( )

t zdt t i t n

t

∫

= − − 1 ' 2 1 ψ π

ψ

elde ederiz. Bu formülden,

( )

( )

∑

∞ =  +     − = − 1 1 1 1 ' n n n

t

F

z z t t ψ ψ _{, t >1 ∈Ω} z , (1.8) bağıntısı elde edilir.

Tanım 1.15: z ’nin negatif kuvvetlerinin polinomu olan yukarıdaki _      z

F

n 1 polinomlarına

B

_

kümesi için Faber-Laurent polinomları denir. [8, s: 255-256].

Eğer, 0< p<∞ ve f bir X kümesi üzerinde kompleks ölçülebilir bir fonksiyon ise

















∫ = X p_d f p p

f

µ 1 ve

L

p

( )

µ ,

f

_p<∞

koşulunu gerçekleyen tüm f fonksiyonlarından oluşsun.

f

_p normuna f ’nin

L

p normu denir. [9, s: 67].

Tanım 1.16: Yukarıda bahsettiğimiz

(

L

p

( )

µ ,

.

_p

)

uzayına X üzerinde

L

p uzayı denir. [9, s: 67].

B , kompleks düzlemde rektifiye edilebir kapalı bir Γ Jordan eğrisi ile sınırlı sonlu küme olsun. ζ =

Φ

1

( )

z , B kümesini ζ <1 diski üzerine konform olarak resmeden fonksiyonu ve z=

ϕ

1

( )

ζ bunun tersini;

Γ

r, z=

ϕ

1

( )

ζ dönüşümü altında

r =

ζ çemberlerinin görüntüsü olan eğrileri göstersin.

Tanım 1.17: B içinde analitik olup

_∫

( )

<∞ Γ < < r ds

z

f

p r

sup

1 0

özelliğini sağlayan ve özdeş olarak sıfıra eşit olmayan tüm f fonksiyonlarının oluşturduğu kümeye

E

p Smirnov sınıfı denir. [10, s:438-439].

Tanım 1.18: Bir M

( )

u :R→

R

+ fonksiyonu R:=

(

−∞,∞

)

ve

R

+:=

( )

0,∞

olmak üzere,

M

( )

u =

_∫

up

( )

t dt

0

gösterimine sahipse bu M

( )

u fonksiyonuna bir N- fonksiyon denir.

Burada, p

( )

t sağdan sürekli, t≥0 için azalmayan, t>0 için pozitif ve

( )

0 =0

p ,

( )

=∞

∞

→ pt

t

lim

koşulunu sağlayan bir fonksiyondur. [11, s:6].

Tanım 1.19: N

( )

v =

_∫

vq

( )

s ds

0

: fonksiyonuna N-fonksiyonun tamamlayıcı fonksiyonu denir. Burada,

_{( )}

( ) t s q s t p sup : ≤ = , s≥ ’dir. [11, s.11]. 0

M bir N-fonksiyon ve N bunun tamamlayıcı fonksiyonu olsun.

_L

M

( )

Γ ile C

_∫

[

( )

]

ΓMα f z dz <∞

koşulunu sağlayan fonksiyonların vektör uzayını göstereceğiz.

( )

Γ

L

M uzayı, _{( )}

( ) ( )

( ) (

)

      _{∈ Γ ≤} =

_∫

Γ Γ : sup f z g z dz :g

L

, g;N 1

f

_L N M ρ

normu yardımıyla bir Banach uzayı haline gelir. Burada,

(

)

_∫

[

( )

]

Γ = N g z dz N g; : ρ ’dir. Tanım 1.20:

(

( )

,

.

_{( )}

)

Γ Γ L M M

L

Banach uzayına Γ üzerinde Orlicz uzayı;

( )

.

_Γ

LM

normuna da Orlicz normu denir. [3].

Tanım 1.21: f :Γ∪L−→C Lebesgue ölçülebilir fonksiyonu ve bir α >0 sayısı için,

_∫

[

( )

]

− ∪ Γ L dz z f Mα <∞

koşulunu sağlayan fonksiyonların,

₍

₎

( ) ( )

(

)

(

)

      ≤ ∪ Γ ∈ =

_∫

− − ∪ Γ − ∪ Γ L L f z g z dz g

L

L g N

f

_L N M 1 ; , : sup : ρ

normuyla oluşturduğu Banach uzayına Γ∪

L

− üzerinde Orlicz uzayı denir,

(

)

(

,

.

)

L L

L

M _Γ∪ − − ∪ Γ ile gösterilir.

Γ

r,

{

w∈C:w =r,0<r<1

}

çemberinin D ’den G üzerine bir konform dönüşüm altındaki görüntüsü ve M bir N-fonksiyon olsun.

Tanım 1.22: G ’de analitik olan bir f fonksiyonu için,

[

( )

]

< _Γ<∞ Γ

∫

c

dz z f M r , 0< r<1

koşulunu sağlayacak biçimde r ’den bağımsız bir

c

Γ>0 sabiti varsa f

E

M

( )

G Smirnov-Orlicz sınıfına aittir denir. [3].

Uyarı 1.23:

_E

_M

( )

G sınıfındaki her fonksiyon Γ üzerinde h.h.y açısal limitlere sahiptir ve sınır fonksiyonu

L

M

( )

Γ ’ya aittir.

( )

G f ∈

E

M ∀ için

E

M

( )

G normu,

f

_{( )}

f

_{( )} L EMG MΓ = : (1.9) olarak tanımlanabilir. [12].

L

r,

{

w∈C:w =r ,0<r<1

}

çemberinin D ’den

B

− _{üzerine bir konform}

dönüşüm altındaki görüntüsü olsun.

Tanım 1.24:

B

−’de analitik bir f fonksiyonu için

_∫

[

( )

]

< <∞ Lr L

c

dz z f M , 0< r<1

koşulunu sağlayacak şekilde r ’den bağımsız bir

c

L>0 sabiti varsa , f ,

E

M

( )

B

−

Smirnov-Orlicz sınıfına aittir denir.

Uyarı 1.23’te olduğu gibi

_E

M

( )

_B

− _{sınıfındaki her fonksiyon L üzerinde}

h.h.y. açısal limitlere sahiptir ve sınır fonksiyonu

L

M

( )

L ’ye aittir. Buna göre, (1.9)’da olduğu gibi, f

_E

M

( )

_B

− ∈ ∀ için,

_E

M

( )

_B

− _normu,

f

_{( )}

f

_{( )} L L B EM − = M : şeklinde tanımlanabilir.

Uyarı 1.25: Tanım 1.22 ve 1.24’teki M N-fonksiyonu _M

( )

_{x :=M}

( )

_{x,p :=}

_x

p _{1< p<∞ ,} olarak tanımlandığında elde ettiğimiz

_E

M

( )

G ve

E

M

( )

B

− _{Smirnov-Orlicz sınıfları}

sırasıyla

_E

_p

( )

G ve

E

p

( )

B

− _{Smirnov sınıflarıyla çakışır. [3].}

Tanım 1.26: Ω , çok bağlantılı bir bölge ve f Ω ’da analitik bir fonksiyon olsun. Eğer, Ω içinde

{ }

C

n sınırları , sonlu sayıda rektifiye edilebilir Jordan eğrilerinden oluşan

_∆

n (n

N

+

∈ ) kümelerinin bir dizisi, ∀ K Ω⊂ kompaktı verildiğinde K’ya bağlı ∃

_n

0∈N : n≥

n

0 için

∆

n⊃K , mes

C

n<∞ ve

_∫

( )

<∞ < <∞ ∞ → Cn p n p dz

z

f

, 1

sup

lim

olacak şekilde mevcutsa ,f

_E

_p

( )

Ω Smirnov sınıfına aittir denir. [13, s:182-183]. Tanım 1.27: M , bir N fonksiyon;Ω , çok bağlantılı bir bölge ve f , Ω ’da analitik bir fonksiyon olsun. Eğer, Ω içinde

{ }

C

n sınırları, sonlu sayıda rektifiye edilebilir Jordan eğrilerinden oluşan

_∆

n (n

N

+

∈ ) kümelerinin bir dizisi ∀ K Ω⊂ kompaktı verildiğinde K’ya bağlı ∃

n

0∈N : n≥

n

0 için

∆

n⊃K, mes

C

n<∞ ve

_∫

(

( )

)

<∞ ∞ → Cn n dz z f M

sup

lim

olacak şekilde mevcutsa ,f

_E

_M

( )

Ω Smirnov-Orlicz sınıfına aittir denir.

İleride göstereceğiz ki, ∀f ∈

E

M

( )

Ω için f ’nin sınır fonksiyonu

(

L

)

L

M

−

∪

Γ ’ye aittir. f fonksiyonunun Γ üzerindeki sınır değerlerinin oluşturduğu fonksiyon

L

M

( )

Γ ’ya ; L üzerindeki sınır değerlerinin oluşturduğu fonksiyon da

( )

L

Buna göre,

E

M

( )

Ω normu yukarıda söz ettiğimiz özellikten dolayı,

( )

Ω ∈ ∀f

E

M için (1.9)’dan, ( )

f

f

L L EM M      ∪Γ Ω:= − olarak tanımlanabilir.

Tanım 1.28: Tanım bölgesi bir X lineer uzayı (vektör uzayı) ve değer bölgesi bunun sayı cismi olan bir lineer dönüşüme lineer fonksiyonel adı verilir.

Bir X normlu uzayı için bu uzay üzerindeki lineer ve sürekli bütün fonksiyonellerin oluşturduğu Banach uzayı BL

(

X,K

)

, K:= R veya C notasyonu ile gösterilir. [14, s:168].

Tanım 1.29: BL

(

X,K

)

Banach uzayına X normlu uzayının normlu duali denir ve X ' ile gösterilir. [14, s:168].

Tanım 1.30: BL

(

X,K

)

normlu uzayının duali olan BL

( ) ( )

X ,'K = _X' ' uzayına da X normlu uzayının ikinci duali denir ve X '' ile gösterilir. [14, s: 204].

X normlu uzayı üzerinde belirli bir x∈ için, X g_x:X'→K , g_x

( )

f = f

( )

x lineer ve sürekli fonksiyonelini tanımlayalım.

Tanım 1.31: G:X →X '' , G

( )

x =

g

_x dönüşümüne X normlu

uzayından

_X

'' _{içine doğal dönüşüm denir. [14, s: 206-207].}

Tanım 1.32: X normlu uzayı için G dönüşümü örten yani, G

( )

X = X ''

Tanım 1.33: ζ ∈ için Γ

ζ

h∈Γ noktası

ζ

:=ϕ

(

Φ

( )

ζ

_e

ih

)

, h∈

[

0,2π

]

h olarak tanımlanır. [3].

Tanım 1.34: ζ ∈L için

ζ

_1h∈L noktası

ζ

₁ :=ψ

(

F

( )

ζ

_e

ih

)

, h∈

[

0,2π

]

h olarak tanımlanır.

Tanım 1.35:

ζ

h∈Γ noktası ve f ∈

L

M

( )

Γ için

T

h

( )

f fonksiyonu,

T

h f

( )

ζ := f

( )

ζ

_h , ζ ∈Γ (1.10) olarak tanımlanır. [3].

Tanım 1.36:

ζ

_1h∈L noktası ve f ∈

_L

M

( )

L için,

T

1hf

( )

ζ := f

( )

ζ

1h , ζ ∈L (1.11) olarak tanımlanır.

Tanım 1.37: f ∈

L

M

( )

Γ için düzgünlük modülü,

(

)

f

T

_h

( )

f

_{( )} L h M M f

−

_Γ ≤ Γ , :=

sup

, δ δ

ω

, δ ≥0 (1.12) olarak tanımlanır. [3]. Bu fonksiyon,

( )

0,f 0 , M = •

_ω

_Γ

(

,

)

0 , ≥ •

ω

MΓ δ f , δ >0

( )

, 0 , 0

lim

= • Γ →

ω

M δ f δ

(

f g

)

_M

(

f

)

_M

( )

g M, δ,

ω

, δ,

ω

, δ,

ω

Γ + ≤ Γ + Γ • , f,g∈

_E

_M

( )

G N n∈ • olmak üzere,

(

n f

)

n _M

(

f

)

M, δ,

ω

, δ,

ω

Γ ≤ Γ özelliklerine sahiptir.

Tanım 1.38: f ∈

_L

_M

( )

L için düzgünlük modülü,

(

)

f

T

h

f

_{L ( )L} h L M M f 1 , , :

sup

−

≤ = δ δ

ω

, δ ≥0 (1.13) biçiminde tanımlanır. Bu fonksiyon da,

( )

,0 0 , = •

_ω

M L δ

(

,

)

0 , ≥ •

ω

_{M L} δ f , δ >0

( )

, 0 , 0

lim

= • →

ω

ML δ f δ

(

f g

)

_{M L}

(

f

)

_{M L}

( )

g L M, δ,

ω

, δ,

ω

, δ,

ω

+ ≤ + • , f g

E

M

( )

B

− ∈ , N n∈ • olmak üzere,

(

n f

)

n _{M L}

(

f

)

L M, δ,

ω

, δ,

ω

≤ özelliklerine sahiptir.

Tanım 1.39: f ∈

E

M

( )

Ω için düzgünlük modülü,

ω

_M

(

δ, f

)

:=

ω

_M,Γ

(

δ, f

)

+

ω

_M,L

(

δ, f

)

(1.14) olarak tanımlanır.

Tanım 1.40: Γ , rektifiye edilebilir Jordan eğrisi, f ∈

L

1

( )

Γ olsun.

f

f

+_Γ, −_Γ fonksiyonları,

( )

_∫

( )

Γ − = + Γ _ζ ζ ζ π zd f i z

f

2 1 : , z∈ G (1.15)

( )

_∫

( )

Γ − = − Γ _ζ ζ ζ π zd f i z

f

2 1 : , z∈

_G

−

biçiminde tanımlanır.

f

+_Γ ve

f

−_Γ fonksiyonları sırasıyla G ve

G

− içinde analitiktir.

( )

∞ =0

− Γ

Tanım 1.41: ,Γ rektifiye edilebilir Jordan eğrisi olmak üzere f ∈

L

1

( )

Γ olsun.

( )

( )

{

∫

− ≥ } ∩ Γ → Γ − = ε ζ ζ ε ζ ζ z dz f f

z

z

S

0 : 0 0 0 :

lim

,

z

0∈Γ

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun

z

0 noktasında Cauchy singüler integrali

denir. [7].

f

+_Γ ve

f

_Γ− fonksiyonlarından biri Γ eğrisi üzerinde h.h.y açısal limitlere sahipse

S

Γ f

( )

z , Γ üzerinde h.h.y mevcuttur ve diğer fonksiyon da Γ üzerinde h.h.y açısal limitlere sahiptir. Tersine,

_S

_Γ f

( )

z , Γ üzerinde h.h.y mevcutsa

f

+_Γ ve

f

−_Γ herikisi de Γ üzerinde h.h.y açısal limitlere sahiptir.

Her iki durumda da ,

f

( )

z

S

f

( )

z f

( )

z 2 1 + = Γ + Γ , Γ üzerinde h.h.y. (1.16)

f

( )

z

_S

f

( )

z f

( )

z 2 1 − = Γ − Γ

eşitlikleri sağlanır. Buradan,

f =

f

+_Γ−

f

−_Γ , Γ üzerinde h.h.y.

elde edilir. [3].

Tanım 1.42:

_S

_Γ: f a

_S

_Γf lineer operatörüne Cauchy singüler operatörü denir. [3]. Tanım 1.43:

_∑

− = k k n

a

n

e

int _{toplamı sonlu ise ∀t T için tanımlı bir ∈}

( )

_∑

− = = k k n

a

n

e

t P int

=

_∫

( )

− T n Pt

e

dt

a

int 2 1 π olarak hesaplanabilir. [6, s:2].

Tanım 1.44: T üzerinde bir trigonometrik seri S

( )

t ~

∑

∞

−∞ =

n

a

n

e

int

formunda bir ifadedir. [6, s:3].

Tanım 1.45: f ∈

_L

1

( )

T olsun. ₌

_∫

( )

− T n Pt

e

dt

a

int 2 1 π

bağıntısından hareketle f ’nin n. Fourier katsayısını fˆ

( )

=

_∫

( )

− T dt t f n

_e

int 2 1 π biçiminde tanımlarız. [6, s: 3].

Tanım 1.46: f ∈

_L

1

( )

T fonksiyonunun S

[ ]

f Fourier serisi S

[ ]

f ~

∑

∞

( )

∞ −

e

n fˆ int (1.17) trigonometrik serisidir. [6, s: 3].

Tanım 1.47: Reel u değişkenine göre reel değerli M

( )

u fonksiyonu , M

u

u

[

M

( )

u

1 M

( )

u

2

]

2 1 2 1 2 _≤ +     + _,

u

u

1, 2 ∀ için

eşitsizliğini sağlıyorsa M

( )

u ’ya bir konveks fonksiyon denir. [11, s: 1]. Uyarı 1.48: N fonksiyonlar konvekstir. [11, s: 7].

Tanım 1.49: B,

_R

2’de bir bölge ve u:B→R ikinci mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip bir fonksiyon olsun. Eğer,

₂ 0 2 2 2 2 ₌ ∂ + ∂ =

∂

∂

∇

y

x

u u u

oluyorsa u , B ’de harmonik bir fonksiyondur denir.Burada 2

( )

₌0

∇

u denklemine Laplace denklemi denir. [1, s: 94].

Tanım 1.50: Eğer, U

( )

z z <R için harmonikse R>1 ve 0≤ r <1 ise,

( )

(

)

( )

(

)

∫

− + − − − = π π θ θ π r t dt U r U

r

e

r

e

it i cos 2 1 1 2 1 2 2

ifadesine U ’nun Poisson integral gösterimi denir.

Burada,

( )

θ θ cos 2 1 1 2 2 r

r

r

P

r − + − = , z <1 için Poisson çekirdeğidir. [15, s: 2].

Tanım 1.51: z <1 diskinde analitik bir fonksiyon 0< p≤∞ olmak üzere

( )

_

<∞











∫ → π _θ

θ

π

2 0

2

1

lim

1 1

f

r

e

d

i p p r

koşulunu sağlıyorsa f

H

p sınıfındandır denir. [13, s: 1-2].

Tanım 1.52: M

( )

u bir N fonksiyon olmak üzere, M

( )

2u ≤kM

( )

u ,

(

u≥

u

0

)

olacak şekilde bir k >0 sabiti ve

u

0≥0 varsa M

( )

u , u ’nun büyük

2. ÖN BİLGİLER

Teorem 2.1: (Genelleştirilmiş Parseval Özdeşliği)

Eğer, f

( )

x ∈

L

2 , ϕ

( )

x ∈

L

2 öyle ki

a

n,

b

n f

( )

x için Fourier katsayıları ve

_α

_n,

_β

_n ϕ

( )

x için Fourier katsayıları ise

( ) ( )

(

)

∫

∑

− ∞ = + + = π π

α

β

α

ϕ π 1 0 0 2 1 n

a

n n

b

n n

a

dx x x f

Parseval Özdeşliği’ni elde ederiz. [16, s: 225-228].

Uyarı 2.2: f , sınırlı salınımlı ve ϕ∈

L

1 ise bu özdeşlik yine geçerlidir.

[16, s:225-228].

Teorem 2.3: (Hölder Eşitsizliği) Bir u

( )

x

_L

M

*

∈ ve v

( )

x

_L

N

*

∈ fonksiyon çifti için

( ) ( )

u

v

N M G dx x v x u ≤

∫

0 eşitsizliği gerçekleşir. [11, s: 74].

Teorem 2.4: (Fatou Lemması)

(

X, A,µ

)

bir ölçü uzayı ve

f

_n de

_M

+

(

X,A

)

’daki fonksiyonların bir dizisi ise

∫

∫

∞ → ∞ → ≤ X n n X n n d d

f

f

µ

lim

inf

µ

inf

lim

. [2, s: 66].

Teorem 2.5: (Fubini Teoremi) R

Y X

f : × → bir µ×υ−integrallenebilir fonksiyon olsun. Bu durumda,

(

)

_∫∫

_∫∫

∫

f d µ×υ = f dµdυ = f dυdµ

Teorem 2.6: (Jensen Eşitsizliği)

µ, bir A kümesi üzerinde tanımlı Μ σcebiri üzerinde pozitif bir ölçüm olsun öyle ki µ

( )

A =1. Eğer, f ,

L

1

( )

µ içinde bir reel değerli fonksiyonsa ∀x∈A

için a< f

( )

x <b ise ve ϕ,

( )

a,b üzerinde konveks ise

_∫

≤

_∫

(

)

     A A d f d f µ ϕ µ ϕ o . [9, s: 63].

Uyarı 2.7: Bu teorem, a =−∞ , b=∞ durumları haricen geçerlidir. [9, s:63].

Teorem 2.8: Bir M N fonksiyonu için,

( )

( )

<∞ ∞ → M x x M x 2

sup

lim

oluyorsa M

_∆

2 koşulunu sağlar. [3].

Teorem 2.9:

L

M

( )

Γ Orlicz uzayının refleksif olması için gerek ve yeter koşul M N fonksiyonu ve bunun tamamlayıcı fonksiyonunun her ikisinin de

∆

2 koşulunu

sağlamasıdır. [18, s: 113].

Teorem 2.10: f , z <1 içinde analitik bir fonksiyon olsun. f ∈

_H

1 olması için gerek ve yeter koşul

( )

=

_∫

π

(

θ−

) ( )

ϕ π 2 0 2 1 dt t t z f

_P

_r (2.1) olacak şekilde bir ϕ∈

L

1 fonksiyonunun bulunmasıdır. Bu durumda,

( )

( )

e

it f t =

ϕ

h.h.y. [13, s: 34].

Teorem 2.11: f

( )

z , z <1 içinde analitik bir fonksiyon olsun. f ∈

_H

p olması için gerek ve yeter koşul f fonksiyonunun, bir ϕ∈

L

p

(

1≤ p≤∞

)

fonksiyonunun Poisson integrali biçiminde ifade edilebilmesidir. [13, s: 34].

Teorem 2.12: Γ , sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi ve

L

M

( )

Γ , Γ üzerinde refleksif bir Orlicz uzayı olsun. Öyleyse,

_S

_Γ singüler operatörü

L

M

( )

Γ üzerinde sınırlıdır; yani, ∀f ∈

L

M

( )

Γ ve bir

c

5>0 sabiti için,

( )

c

f

( )

f

S

L LMΓ MΓ ≤ Γ 5 (2.2) olur. [19]

3.YARDIMCI SONUÇLAR

Teorem 3.1: Γ , Dini düzgün bir eğri ve

f ∈

L

1

( )

Γ ise f oϕ∈

L

1

( )

T ’dir. (3.1)

İspat 3.1: (1.1)’den z=ϕ

( )

w , z∈Γ,w∈T olmak üzere

(

)( )

(

) ( )

(

)

( )

∫

∫

Γ Φ Φ = T z d z f dw w f oϕ oϕ =

_∫

( ) ( )

_Φ

Γ dz z z f '

( )

1.3 ’ten ve f ∈

L

1

( )

Γ olduğundan,

_∫

( )

Γ <∞ ≤ f z c dz Buradan, f oϕ∈

_L

1

( )

T elde edilir.

Teorem 3.2: Γ , kompleks düzlemde rektifiye edilebilir bir Jordan eğrisi olmak üzere,

L

M

( )

Γ ⊂

L

1

( )

Γ ’dir. [18, s: 50]. (3.2) İspat 3.2: f ∈

L

M

( )

Γ olsun. Bu durumda, bir α >0 için

( )

[

]

∫

Γ ≤ c<∞ dz z f Mα olur.

M, konveks bir fonksiyon olduğundan ba, sabitleri için, M

( )

x ≥ax+b dir. ⇒aα f

( )

z +b≤M

[

α f

( )

z

]

_∫

(

( )

)

_∫

[

( )

]

Γ + ≤Γ ⇒ aα f z b dz M α f z dz

_∫

( )

_∫

_∫

[

( )

]

Γ Γ Γ ∞ < ≤ + ⇒aα f z dz b dz M α f z dz

Buradan, f ∈

L

M

( )

Γ ve

∫

= Γ<∞

Γ

mes

dz olup f ∈

_L

1

( )

Γ ’dır.

Teorem 3.3: G , kompleks düzlemde basit bağlantılı bir bölge olmak üzere,

E

M

( )

G ⊂

E

1

( )

G . (3.3) İspat 3.3: f ∈

E

M

( )

G olsun. Bu durumda, Tanım 1.22’den,

∫

[

( )

]

≤ Γ<∞ Γ

c

r dz z f M .

Teorem 3.2’dekine benzer şekilde M bir konveks fonksiyon olduğundan, b a, sabitleri için,

( )

x ax b M ≥ +

( )

[

f z

]

a f

( )

z b M ≥ + ⇒

( )

(

)

[

( )

]

∫

∫

Γ Γ ∞ < ≤ + ⇒ r r dz z f M dz b z af

( )

_Γ

_∫

[

( )

]

∫

Γ Γ ∞ < ≤ ≤ + ⇒ Γ r r

c

dz z f M mes b dz z f a r

Yine, f ∈

_E

M

( )

G ve mes

Γ

r<∞ olduğundan,

( )

∫

Γ ∞ < ≤ Γ r

c

dz z f elde edilir. Buradan, f ∈

_E

1

( )

G ’dir.

Teorem 3.4: G , kompleks düzlemde basit bağlantılı bir bölge ve Γ bunun Dini düzgün sınırı olsun. O halde, ∀f ∈

_E

_M

( )

G için f ’nin sınır fonksiyonu

( )

Γ

İspat 3.4: f ∈

_E

_M

( )

G olsun. Yine tanım 1.22’den,

_∫

[

( )

]

Γ ∞ < ≤ Γ r

c

dz z f M olur. G D→ : 1

ϕ

Riemann konform dönüşümü ve

_Φ

1 bunun tersi olmak üzere,

( )

w

z=

ϕ

₁ değişken değiştirmesi yaparak,

_∫

[

( )

]

_∫

[

(

( )

)

]

( )

= Γ = 1 1 ' 1 w dw w w f M dz z f M

ϕ

ϕ

=

_∫

=₁ →1 inf lim w r

(

)

( )

[

f rw

]

( )

rw dw M o

ϕ

₁

r

ϕ

₁' Fatou Lemması’ndan,

(

)

( )

[

]

( )

∫

= → ≤ 1 1 ' 1 1

inf

lim

w dw rw r rw f M r

ϕ

ϕ

o

( )

z

rw=

Φ

1 değişken değiştirmesi yapıldığında, f ∈

E

M

( )

G olduğundan,

( )

[

]

[

( )

]

∫

∫

Γ Γ ∞ < ≤ → _r dz z f M dz z f M r

inf

lim

1

olur. Bu ise α =1 için f ’nin sınır fonksiyonunun

L

M

( )

Γ ’ya ait olması demektir. Teorem 3.5: f ∈

_L

_M

( )

T ve

_L

_M

( )

T refleksif olsun. Bu durumda,

( )

_∫

( )

− = + T d w f i w

f

τ τ τ π 2 1 : , w∈ D fonksiyonu

_E

M

( )

D Smirnov-Orlicz sınıfındandır.

İspat 3.5: f ∈

_L

M

( )

T olsun. Bu durumda,

L

M

( )

T refleksif bir Orlicz uzayı olduğundan,∃p,q:1< p<q<∞ vardır ki,

_L

_q

( )

T ⊂

_L

_M

( )

T ⊂

_L

_p

( )

T olup buradan da

( )

T

[20]’den,

( )

_∫

( )

∈ − = + T D w d w f i w

f

, 2 1 : τ τ τ π

( )

D

H

p sınıfından bir fonksiyondur ve teorem 2.10 ile 2.11’den,

f

+

( )

w =

_∫

π +

( )

(

_θ−

)

π 2 0 2 1 dt t

P

e

f

r it _{, t∈}

[

_0,2π

]

Poisson integral gösterimine sahiptir. Buradan,

( )

t =

_∫

t

_P

_r

(

−t

)

dt 0 2 1 : θ π

µ

θ için,

f

+

( )

w :=2

_∫

π +

( )

µ

_θ

( )

0 t d

e

f

it yazılabilir.

Bu en son bağıntıda, her iki tarafın mutlak değerini alarak M N fonksiyonu için,

[

( )

]

( )

( )

_      =

_∫

+ + π θ

µ

2 0 t d M w M

f

f

_e

it elde edilir.

Bu bağıntıda da w=r

e

iθ , 0< r<1 , θ∈

[

0,2π

]

değişken değiştirmesi yapıp her iki tarafta 0’dan 2 ’ye integral alarak, π

2

_∫

π

[

+

( )

θ

]

θ 0 d r M

f

e

i =

∫

∫

( )

( )

_      + π π θ θ

µ

2 0 2 0 d t d M

f

e

it elde edilir.

Şimdi, Jensen Eşitsizliği’nden,

( )

( )

θ π π θ

µ

t d d M

f

e

it

∫

_

∫

+ _ 2 0 2 0

[

( )

]

( )

∫ ∫

      ≤2π π +

µ

_θ θ 0 2 0 d t d M

f

e

it bulunur.

Burada,

µ

_θ

( )

t ’nin tanımından,

( )

[

]

∫

π + θ θ 2 0 d r M

f

_e

i

[

( )

]

(

)

∫

∫

_    ₋ ≤ π π + _{θ θ} π 2 0 2 0 2 1 d dt t M

f

_e

_P

r it _. Fubini Teoremi’nden

( )

[

]

(

)

∫

∫

      + ₋ π π θ θ π 2 0 2 0 2 1 d dt t M

f

e

P

r it

[

( )

]

(

)

∫

∫

− = π + π _{θ θ} π 2 0 2 0 2 1 d t dt M

f

_e

_P

r it olup,

_∫

π

(

θ −

)

θ = π 2 0 1 2 1 d t

P

r olduğundan, 2

_∫

π

[

+

( )

θ

]

_θ ≤

_∫

π

[

+

( )

]

0 2 0 dt M d r M

f

e

i

f

_e

it elde edilir.

Şimdi, 1.16’dan görmek mümkündür ki,

f

( )

τ = f

( )

τ +

S

f

( )

τ

+

2 1

, τ ∈T.

Bu bağıntıda her iki tarafta

_L

_M

( )

T üzerinden norm alınırsa, ( )

f

( )

S

( )

f

f L L L T MT MT M + ≤ + 2 1 olduğu görülür. (2.2)’den,

( )

f

( )

S

( )

f

_f L L L T MT MT M + ≤ + 2 1 ≤

f

_{( )}

f

_{( )} T T L LM M c + 2 1 ≤

f

_{( )} T LM k . Buna göre, 2

_∫

π

[

+

( )

θ

]

θ 0 d r M

f

_e

i _{= M}

[

( )

_rτ

]

_dτ T

f

∫

+ ,

e

iθ =τ ≤ M

[

( )

τ~

]

dτ~ T

f

∫

+ ,

e

it=τ~ ≤ M

[

k f

( )

τ~

]

dτ~ T

∫

∞ < ≤

c

T k>0. Bu ise,

f

∈

_E

M

( )

D +

olduğunu ispat eder.

Teorem 3.6: f ∈

L

M

( )

Γ ve

L

M

( )

Γ refleksif olsun. O halde,

( )

_∫

( )

Γ − ∈ = + G z d z f i z

f

, 2 1 : ζ ζ ζ π

fonksiyonu

E

M

( )

G Smirnov-Orlicz sınıfına aittir.

İspat 3.6:

_ϕ

₁:D→ Riemann konform dönüşümü, G

_Φ

1 bunun tersi ve

( )

Γ ∈

L

M

f olsun. Bu durumda,

f

0

( )

w := f

(

ϕ

1

( )

w

)

∈

_L

M

( )

T olduğu görülür.

L

M

( )

Γ refleksif olduğundan

L

q

( )

Γ ⊂

L

M

( )

Γ ⊂

L

p

( )

Γ olacak şekilde 1<q< p<∞ koşulunu sağlayan p, sayıları bulunabilir. Böylece, q f ∈

_L

M

( )

Γ ise f ∈

L

p

( )

Γ olur. Bu takdirde, [20]’den,

f

∈

_E

p

( )

G + olup h.h. z∈Γ için,

f

( )

z = f

( )

z +

_S

f

( )

z + 2 1 ve (2.2)’den, ( )

f

( )

S

f _L LM M c Γ Γ ≤ olduğundan,

f

+ ≤ 1

f

_{( )Γ} + ( )

S

f

≤ 2 1 ( )

f

LMΓ +

f

_{( )} LM c Γ ≤

f

_{( )} LM k Γ

elde edilir. Böylece,

f

+∈

L

M

( )

Γ olduğu görülür. Eğer, Γ Dini düzgün ise

( )

w

f

(

( )

w

)

_L

( )

T

f

= ∈ M

+ +

ϕ

1

0 : olup teorem 3.5’ten ve tanım 1.40’tan

f

+

0∈

E

M

( )

D olur. Bunun sonucu olarak da,

( )

[

]

∫

+ ≤ <∞ < < π θ _θ 2 0 0 0

sup

1 0 r

c

f d r M

f

_e

i

sup

1 0< < ⇒ r

∫

₌

[

( )

]

∞ < ≤ + r f w

c

dw w M

f

0 0

( )

(

)

[

]

( )

∫

Φ

Γ Φ <∞ ⇒ + < <r _r dz z z M

f

0 1 '1

sup

1 0

( )

[

]

∫

Γ <∞ ⇒ + < <r _r dz z M

f

sup

1 0 Buradan,

f

∈

E

M

( )

G + elde edilir.

Not: Teorem 3.5 ve 3.6’da

S

f , f ’nin tanım 1.41’de vermiş olduğumuz Cauchy singüler integralidir.

Teorem 3.7: M bir N fonksiyon ; G , kompleks düzlemde basit bağlantılı bir bölge ; Γ , G ’nin sınırı ve Γ~, G içinde kapalı bir eğri öyle ki Γ ve Γ~ rektifiye edilebilir Jordan eğrileri olsunlar.

Öyleyse, ∀f ∈

E

M

( )

G için,

f

_{( )}

f

_{( )} L LM M k _Γ Γ ≤ ~ . (3.4)

İspat 3.7: f ∈

_E

_M

( )

G olsun. (3.3)’ten f ∈

_E

1

( )

G olup,

( )

_∫

( )

Γ − ∈ = d z G z f i z f , 2 1 ζ ζ ζ π

Cauchy integral gösterimine sahiptir. Buradan z∈Γ~ için,

( )

z = f

_∫

( )

Γζ − ζ ζ π zd f i 2 1

_∫

( )

Γ − ≤ ζ ζ ζ π z d f 2 1 Hölder Eşitsizliği’nden, ( ) ( )

z

f

L L N M

−

Γ Γ ≤

ζ

π

1

2 1 ∞ < ≤ −z k ζ 1 olduğundan, ( )

k

( )

f

L LMΓ NΓ ≤ π 2 1

f

_{( )}

_M

LM 0 2 1 Γ ≤ π ,

M

0>0 sabit

Eşitsizliğin her iki tarafını ρ

(

g;N

)

≤1 özelliğindeki g∈LN

( )

Γ~ fonksiyonlarının

mutlak değeri ile çarparak ve L üzerinden integral alarak,

( ) ( )

_∫

_{( )}

( )

∫

Γ Γ~ ≤ ~2 Γ 0 1 dz z g dz z g z f

f

_M

LM π

elde edilir. Her iki tarafta ρ

(

g;N

)

≤1 üzerinden supremum aldığımızda, ( ) sup~ = Γ

f

LM

∫

( ) ( )

Γ ~ f z g z dz ≤

_∫

_{( )}

( )

Γ Γ ~ ₂ sup 0 dz z g

f

M

LM π

= π 2 0

M

( )

f

LMΓ sup

_∫

( )

Γ~ dz z g π 2 0

M

≤

f

_{L ( )}

M

MΓ 1 ,

M

1>0 sabit. Buradan,

f

_{( )}

f

_{( )} L LM M k Γ Γ ≤ ~ elde edilir.

Teorem 3.8: Ω , sonlu iki bağlantılı ve sınırları rektifiye edilebilir LΓ , eğrileri olan bölge olsun. ∀f ∈

E

M

( )

Ω fonksiyonunun sınır fonksiyonu

(

L

)

L

M

−

∪

Γ ’ye aittir.

İspat 3.8: Tanım 1.27’den, f ∈

E

M

( )

Ω ise,

_∫

[

( )

]

<∞ ∞ → Cn dz z f M n

sup

lim

.

Buna göre, γ := Γ∪L− için,

_∫

[

( )

]

= γ dz z f M

_∫

[

( )

]

∞ → _C n dz z f M n

inf

lim

≤

_∫

[

( )

]

<∞ ∞ → _Cn dz z f M n

sup

lim

,

C

n n

L

n − ∪ =

_Γ

: Bu durumda α =1 için

_∫

[

( )

]

<∞ γ dz z f M koşulu gerçekleştiğinden, f

L

M

( )

f

L

M

(

L

)

− ∪ Γ ∈ ⇒ ∈ γ olur. Teorem 3.9:

E

M

( )

Ω ⊂

E

1

( )

Ω .

İspat 3.9: f ∈

E

M

( )

Ω olsun. Tanım 1.27’den,

_∫

[

( )

]

<∞ ∞ → Cn dz z f M n

sup

lim

. M konveks olduğundan, ax+b≤M

( )

x