IBIND1L : bir satır çevrimsel Chebyshev yarı iteratif difüzyon kodu

ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

Ç.N.A.E.M. A R 298

IBINDIL : BÎR SATIR ÇEVRİMSEL CHEBYSHEV YARI iTERATİF

DlFÜZYON KODU

Ulvi ADALIOĞLU

NÜKLEER MÜHENDİSLİK BÖLÜMÜ

Mayıs 1992 t I i !

P,K. 1, Hava A lanı, İSTANBUL

Basım ta rih i Ağustos 1992

ÇEKMECE NÜKLEER ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

ç

T

n

.A.E.M. A.R 298

IBINDIL : BÎR SATIR ÇEVRİMSEL CHEBYSHEV YARI iTERATÎF

DÎFÜZYON KODU

U lvi ADALIOĞLU

n ü k l e e r m ü h e n d i s l i k b ö l ü m ü

M ayıs

1992

P.K. 1, Hava A lam , İSTANBUL

B asım ta rih i Ağustos 1992

IBIND1L :

BİR SATIR ÇEVRİMSEL CHEBYSHEV YARI İTERATİF

DİFÜZYON KODU

Grup difüzyon denklemlerinin katsayılar matrisi 2-çevrimsel olup kafes noktaları satır bazında belli bir şekilde guruplandı- rılırsa gene 2-çevrimsel, küple olmıyan daha az boyutlu denklem­

ler elde edilebilir. Chebyshev yarı-iteratif metodunun bu çev­ rimsel indirgenmiş denklemlere tatbikiyle asimtotik yakınsama hızları eşdeğer SOR tekniğinin değerlerine eşit, buna mukabil effektif yakınsama hızları ise daha iyi olmaktadır. Simetrik katsayılar matrisi olması hâlinde yakınsama hızları daha da iyi olmaktadır. 1-satır grupland ı rinayla 2-çevrimsel matrisler elde edilememektedir. Fakat bu şekilde blok olarak bölünmüş denklem­

lere Chebyshev yarı iteratif tekniği uygulanabilmektedir.

Bu rapor "1-satır" bazında bölünmüş orijinal denklemlere Chebyhev yarı iteratif tekniğinin uygulanması sonuçlarını v e r ­ mektedir. Çeşitli benzer kodların, meselâ GEREBUS 1 un sonuçla­ rıyla karşılaştırmada IBIND1L ’in sonuçlarının oldukça iyi oldu­ ğu görülmüştür.

SUMMARY

IBIND1L : A ONE LINE CYCLIC CHEBYSHEV SEMI ITERATIVE

DIFFUSION CODE

The coefficient matricis of group diffusion equation are 2-cyclic and if a special grouping of mesh points is used, the reduced uncoupled equations may also be 2-cyclic, then the Chebyshev semi - i terat ive methods applied to the cyclically reduced matrix equations have same asymptotical rate of convergence with the corresponding SOR technique, but better average rates of convergences. If the coefficient matrix is symmetric, then the rate of convergences would be even better. 1-line grouping of mesh points does not produce 2-cyclic matricis. But Chebyshev semi iterative technique can also be applied to the block partitioned original equations obtained by doing so.

This report summarizes the results of the Chebyshev semi-i­ terative technique applied to the original equations which are partitioned according to the 1-line basis. Comparisons showed good agreements between the results of IBIND1L and the similar codes, such as GEREBUS which uses same accelaration method.

Sayf

a

1. GİRİŞ

1

2. TEORİ

1

2.1- Çevrimsel İndirgeme

1

e

2.2- A matrislerinin

partisyonu

4

2.3- Çözüm tekniği

7

3. PROGRAMIN TANITILMASI

10

4. UYGULAMALAR

11

5. SONUÇLAR

12

REFERANSLAR

14

Ek 1- Giriş datasının verilişi

Ek 2- Giriş parametreleri hakkında bilgi

Ek 3- Çıkışda verilen bazı değerlerin tarifi

TABLOLAR

Tablo 1- Test problem için elde edilen sonuçlar

16

ŞEKİLLER

Şekil 1- Sonlu fark denklemi için kafes yapısı

2

Şekil 2- 1-satır partisyon için kafes

noktalarının numaralandırılması

4

Şekil 3- TR-2 küçük kalp konfigürasyonu

12

ÇNAEM Nükleer Mühendislik Bölümünde Difüzyon denkleminin

çözümü için ardışık overrelaksasyon (SOR)

tekniğini kullanan

kodlar geliştirilmiş

(1,2,3) ve yakın zamanda yarı-iteratif

metodlara geçilmiştir (4).

Grup difüzyon denklemlerinin katsayılar matrisi uyumlu sıra­

lanmış (consistently ordered), nokta 2-çevrimsel

(2-cyclic)

ve

köşegene göre dominant indirgenemez bir matrisdir. Bu matris o

şekilde bölünebilir ki yeni matrisin köşegen blokları noktaların

bir satırdaki veya bir grup satırdaki noktalara olan kuplajını

gösterecektir. Elde edilen bu matris blok 3-köşegen ve ayrıca

blok 2-çevrimseldir.

A katsayılar matrisi ayrıca o şekilde bir

permütasyona uğratılabilir ki grup difüzyon denklemleri daha kü­

çük boyutlarda küple olmıyan bir denklem takımına indirgenebi­

lir. Böylece elde edilen indirgenmiş denklemin katsayılar matri­

si de blok 2-çevrimsel olabilir (5).

Gerek blok 2-çevrimsel ve gerekse de çevrimsel

indirgenmiş

denklemlere tatbik edilecek Chebyshev yarı-iteratif hızlandırma

tekniği ile çözüm hızları çok arttırılabilir (5,6). Gösterilmiş­

tir ki nokta ve 1-satır bazında katsayılar matrisini

indirgemek

sonuçta 2-çevrimsel matris vermemektedir (5),

Bu çalışmada katsayılar matrisini 1 (bir) satır bazında blok

olarak partisyona uğratıp elde edilen küple denklemleri çözen

IBIND1L kodu tanıtılmaktadır. Orijinal denklemlerin bu yeni for­

muna Chebyshev yarı-iteratif metodu tatbik edilmektedir.

Kod

nokta Chebyshev yarı iteratif difüzyon kodu IBIND ve gene aynı

1-satır Chebyshev tekniğini kullanan GEREBUS (7) koduyla çeşitli

problemler üzerinde denenmiştir. IBIND1L ile oldukça tatminkâr

sonuçlar elde edilmiştir.

2. TEORİ

2.1- Çevrimsel indirgeme

Çözülecek olan beş nokta sonlu fark denklemi:

s

s

s

s

s

s

g g - b

+ a

- c

4>

- d

i ♦

j i -1 *

j

i ♦

j i i

J

i •

j i +1 •

j

i *

j i ,

j-1

S

s

- e 4>

i ,j

i ,

j + 1

S

X

g

S

---- K

+ K

= K

k

f i ,

j

si,j

i,j

eff

(2 . 1)

s

- 1

,

2

.

♦ G

dir ki G m a k s i m u m enerji g r u p sayısı ’ler s ı r a y l a (i ,j ) n o k t a s ı n d a k i t o p l a m saçı İma k a y n a k l a n d ı r . o l u p f i sy o n K ve f i ♦ j ve g r u p t a n K si , j g r u b a G ö z ö n ü n e a l ı n a n k a f e s n o k t a l a r ı y a p ı sı X - Y v e y a r-Z g e o m e t ­ rileri için Şe k i l 1 ’de v e r i l m e k t e d i r .

Z / Y |

i

Ş e kil 1 - S o n l u fark d e n k l e m i için k a f e s y a p ı s ı

(2.1) s o n l u f ark d e n k l e m l e r i a ş a ğ ı d a k i m a t r i s d e n k l e m i n e d ö ­ n ü ş t ü r ü l e b i l i r : g S g A 4> = K (2.2) S A m a t r i s l e r i M N x M N b o y u t l u üç k ö ş e g e n m a t r i s l e r o l u p a y r ı c a k ö ş e g e n i n alt ve ü s t ü n d e k ö ş e g e n dışı s ı f ı r d a n farklı e l e m a n l a r ı S 6 vardır. <î> ve K m a t r i s l e r i ise a r a n a n ç ö z ü m ve k a y n a k m a t r i s ­ lerini g ö s t e r m e k t e d i r . K a f e s n o k t a l a r ı n ı n o k t a v e y a 1 - s a t ı r b a z ı n d a g r u p l a n d ı r m a y l a k a t s a y ı l a r m a t r i s i n i n ç e v r i m s e l o l a r a k i n d i r g e n e m i y e c e ğ i y a n i g en e d a h a k ü ç ü k b o y u t l u k ü p l e o l m ı y a n d e n k l e m l e r e l d e e d i l e m i y e

-ceği g ö s t e r i l m i ş t i r (5). D o l a y ı s ı y l e b lok o l a r a k b ö l ü n m ü ş oriji nal d e n k l e m l e r e u y g u l a m a ü z e r i n d e d u r u l a c a k t ı r . 2 ç e v r i m s e l o l a n k a t s a y ı l a r m a t r i s i b l o k o l a r a k b ö l ü n e b i l i r ­ se elde e d i l e n k ü p l e d e n k l e m l e r e C h e b y s h e v t e k n i ğ i n i n t a t b ik at ı d ah a iyi o r t a l a m a y a k ı n s a m a hızı v e r e c e ğ i b i l i n m e k t e d i r (5,6). g İ k i - ç e v r i m s e l k a t s a y ı l a r m a t r i s i A (grup indisi a t ı l a r a k ) A A ^11 12 A r>JA 21 22 (2.3) ş e k l i n d e y a z ı l a b i l i r . A a 1 1matri s 1eri b l o k k ö ş e g e n m a t r i s l e r i i

dir. Bu yeni m a t r i s i n Jac o b i i t e r a s y o n m a t r i s i ise

J = ı_! 0 ı j L 21 J I 12 j 0 I

(2.4)

ş e k l i n d e d i r . <İ> ve K v e k t ö r l e r i de A m a t r i s i n i n b ö l ü n m e s i n e u y g u n o l a r a k b ö l ü n ü r s e r ı i 4> İ

--1

--1 II _{K = 1 ı 1 (2.5)} İ 4> _—| İ K i 1 CSJ _{L 2 J}

bu 1u n u r . Bu d e n k 1 emlere Chebyshev yarı- i tera t i f tekniği tatbik edilebil ir. m inci i terasyondaki çözüm için

(mil ) (m ) (m) (m) <l> _{= 0)} [ J 4> + K - 4* ] + 4> _V. . 3 IV 1 1 m+1/2 12 2 1 1 1 (2.6) ( m+ 1 ) (m+1 ) (m) (m ) <J> _{= U} [ J $ + K - 4* ] + 4> 0 2 m + 1 21 1 2 2 2 (1) (0) 4> = J <t> + K 1 12 2 1

d e n k l e m l e r i ile b u l u n a c a k t ı r . (2.6) d e n k l e m l e r i y l e v e r i l e n ç ö z ü m m e t o d u " B l ok Ç e v r i m s e l C h e b y s h e v y a r ı - i t e r a t i f M m e t o d u d u r . e 2 . 2- A m a t r i s l e r i n i n p a r t i s y o n u K a f es n o k t a l a r ı n ı n belli ş e k i l l e r d e g r u p l a n d ı r ı l m a s ı y 1a k a t ­ s a y ı l a r m a t r i s i b l ok o l a r a k b ö l ü n e b i l i r ve (2.6) da v e r i l e n d e n k l e m t a k ı m ı n a gelinir. Ş ek i l 2 de g ö r ü l e n k a f e s ü z e r i n d e k i n o k t a l a r s a t ı r b a z ı n d a

g r u p 1 and ı r ı 1 abi 1 i r . S o n r a bu g r u p l a r s ı r a y l a b i r ve bir "o"

ile i ş a r e t l e n e b i l i r . Bu ş e k i l d e g r u b l a n a n n o k t a l a r ı n her bir s a ­ tırı y e n i d e n n u m a r a 1a d ı r ı 1a c a k t ı r . ö n c e m e s e l â " y ı l d ı z " o l a r a k

i ş a r e t l e n e n s a t ı r l a r en alt s a t ı r d a n i t i ba r e n , d a h a s o n r a ise

" y u v a r l a k " i ş a r e tl i o l a n l a r " y ı ld ı z " i ş a r e t l i l e r i n n u m a r a l a r ı n ı n

bittiği y e r d e n b a ş l a m a k ü z e r e n u m a r a l a n d ı r ı l ı r . B ö y l e c e y ı l d ı z

işare t l i n o k t a l a r alt ve ü s t l e r i n d e k i y u v a r l a k i ş a r e t l i n o k t a l a ­ ra b a ğ l a n m ı ş o l m a k t a d ı r . Ş e k i l 2 deki ö r n e k "M = tek sayı" i ç i n ­ dir. r *___ 1 ! i ___ * ----2 I i * 3 1 i t 4 1 i * 5 I i i N-t * 1 N M I i O 1 i ! I o I i ! ! o rj___ o vJ -1 * U 2 t/ 3 4 5 N--1 N 2 i.! * I _ k! kI ki * i *i 4m 1 I 2 i 3 1 4 ! 5 1 N-1 1 N 1 1 r+1 i i o i _r\ 1 o i o 1 ! ___ _n _n 1 ! İ 2 | i 1 * I 4 1 i 5 1 i N-! -1 N ! I I 1 i t____ 1 i *.. . 1t 1 ! _ k . 1 * .. -! ! I 1 * * A 1 2 3 4 5 N--1 N i Şekil 2- 1 - s a t ır p a r t i s y o n için k a f e s n o k l a l a r ı n ı n n u m a r a l a n d ı rılması

Burada M r = --- ( M çift ise) 2 M + 1 --- ( M tek ise) 2 d i r .

Bu yeni kafes noktaları numaralandırmasına göre (2.2) S

lemindeki katsayılar matrisi, A

A A

1,1

0

1 ,

r +

1

A

0

•

2 ,

r+1

• O • • A

0

A A

r

, r

.

r ,M-1 r ,M

A A A

r+1.1 r+1,2

r+1,r

+ 1

0

.

.

•

0

A •

M-1,r .

.

0

0

.

A A

M, r

M,M

şeklinde blok olarak bölünmüş forma girer. Görülüyor ki deki matris formu elde edilmiştir. Bu form M çift isedir, ise köşegen dışı altmatrisler biraz değişecektir. Yani:

denk-(2.7)

(2.3) M tek

A 1 , r + 1 A 2 , r+1 O 1 O A j r - 2 , M - 1 j ! A A | r -l.M-l r - 1,M j I

A

i

r , M J (2.8a) A A r+1,1 r + 1 ,2 A A O M - l ,r-2 M - l .r-1 L A A j M. r-1 M. r -i (2.8b) olacaktır. K ö ş e g en de k i A m a t r i s l e r i 3 - k ö ş e g e n m a t r i s l e r o l u p i i (2.9) da v e r i l e n y a pı ya sahiptir. A i i a -c 1 , i 1 , i -b a -c 2 . i 2 . i 2 , i L . - c | N-l,i | -b a j N, i N,i J (2.9)

A m a t r i s l e r i ise k ö ş e g e n m a t r i s l e r o l u p e l e m a n l a r ı i j v e y a Me ” ’1 erdir. M e s e l â i j "d »I i J i > r için A i , J A i , j + 1 i < r için A i > J A i + 1 ı j K ö ş e g e n m a t r i s [ K ö ş e g e n m a t r i s [ K ö ş e g e n m a t r i s [ K ö ş e g e n m a t r i s [

-d

J

k, r + i e ] k, r + i (2 .1 0) e ] k, i d ] k, i k = 1,2, --- N dır. B u r a d a d i k k a t e d i l m e l i d i r ki k ö ş e g e n dışı b l o k m a t r i s l e r i n ayni k ö ş e g e n ç i z g i s i ü z e r i n d e o l a n l a r ı n e l e m a n l a r ı h e p d v ey a i j e o l a c a k tır. i j 2 .3- Ç ö z ü m t e kn i ğ i K a t s a y ı l a r m a t r i s i (2.7) ş e k l i n d e b ö l ü n m ü ş o l a n (2.3) d e n k ­ l e m i n i n ç ö z ü m ü i ç i n 3 - k ö ş e g e n A m a t r i s l e r i n i n t e r s l e r i n e ihti-i ihti-i yaç v a r d ı r . T e r s m a t r i s l e r i n b u l u n m a s ı y e r i n e m a t r i s l e r i n f a k t o - r i z a s y o n u t e k n i ğ i k u l l a n ı l a c a k t ı r . Ç ö z ü l e c e k d e n k l e m l e r : A i i i A 4> i i i 1 < i < r r < i < M dir. A m a t r i s l e r i n i n f a k t ö r i z a s y o n u i i T A = S S (2.12) i i i i i i

matris bölünmesini verir. Buradan R = Köşe. mat. [ (s ) (s ) .... (s ii ii 11 ii 22 i ( s i i ler S i i

matrisinin köşegen elemanlarıdır.)

N = -1

R

T S S -1

R

i i i i i i i i i i N = -1

R

A

-1

R

i J i i i j j j k = -1

R

K i i i i Y =

R

i i i i

tarifleri yapılarak (2.11) denklemleri

M

N Y = - 2 N i i i 4 = r i j Y t k r ı J J N Y i i i N Y t k

i J

j

i

1 < i < r < i <

formuna girer. Bu normalize denklem takımına Blok Chebyshev yarı iteratif metodu tatbik edilebilir. m sayısını göstermek üzere:

( m+ 1 ) N Y = i i i

j*r>|

_{m > 1} (m +1 ) Y i (m ) (m + 1) Y + 60 ( Y i m + 1/2 i (m ) Y ) 1 < i ) ı

i NN

ve (2.13) (2.14)

M

çevrimsel i t erasyon ( 2 . 15a) < r

(m+1 ) N Y i i i (m+1 ) Y O- 1 i j j + k i m > O ( 2 . 15b) (m+1 ) Y i (m ) Y + U) ( i m+1 (m + 1) (m ) Y - Y ) i i r +1 < i < M ve b a ş l a n g ı ç i t e r a s y o n u n d a k i ç ö z ü m ise d ) N Y i i i k i 1 < i < r (2.16) dir. (*) h ı z l a n d ı r m a p a r a m e t r e s i n i n a r d ı ş ı k d e ğ e r l e r i (A) = 1 1 / 2 2 Q = _____________ 1 2 P 2 - ^ (J ) co (k + 1 ) /2 1 2 P P (J ) 1 - _L--- . W 4 k/2 (2.17) k > 2 P

ile v e r i l m e k t e d i r . J p r o b l e m e ait J a c o b i m a t r i s i ^ (3 ise bu m a t ­

risin s p e k t r a l y a r ı ç a p ı d ı r . P S p e k t r a l y a r ı ç a p o(J k a y n a k terimi sı f ı r a l ı n a r a k (2.14) ^ ( m ) veya (2.15) d e n k l e m l e r i n d e n h e s a p l a n a b i l i r . Eğer Y h o m o j e n d e n k l e m i n m inci i t e r a s y o n d a k i ç ö z ü m ü ise bu i t e r a s y o n d a k i y a r ı ­ ç a p t a h m i n i : T (m ) (m) (m) ( Y , Y ) 2 P > = ---= <> (J ) (2.18) T ( m ) (m- 1 ) ( Y , Y )

T

ile bulunabilir. Burada (Y ,Y) ifadesi matris büyüklüklerin ç a r ­ pımı ve bu çarpımın integralini göstermektedir.

(2.15) denklem takımını bu hâlile çözmek için N matrisinin i i

faktör izasyonuna ihtiyaç vardır. (2.13) deki N tarifinden i i

(2.19)

bulunur. Buradaki S matrisi dikkat edilirse üst üçgen ve köşe-i köşe-i

gen ile sadece ona bitişik köşegen dışı elemanları sıfır olmıyan bir matrisdir. Ayrıca R 'nin tarifini gözönüne alırsak bu

mat-i mat-i

risin köşegen elemanlarının 'T' olması icap eder. Bu özellikler ve N matrislerinin de köşegen matris olması algoritmanın zaman

i j

kazanacak şekilde yazılabilmesine imkân tanımaktadır. Burada kullanılan fak to r izasyon tekniği ile çözüm vektörünün bulunması­ nı sağlıyan kare kök metodu hakkında ayrıntılı bilgi R e f . (5)

’de verilmektedir.

Gerçek akı çözüm vektörü Y ’den -1 <l> = R Y i i i i ile hesaplanacaktır. A N = s S i i i i i i A. S = S - 1 R i i i i i i

3. PROGRAMIN TANITILMASI

IBIND1L kodu şu özelliklere sahiptir:

1. Kod en fazla 5 grup ve 70x80 boyutlarındaki problemleri gözehilecek şekilde yazılmıştır. Maksimum bölge sayısı 100, ma- teryel sayısı ise 40 d i r .

2. Kodun giriş data listesi Ek 1 ’de verilmektedir. 3. Giriş parametreleri hakkındaki bilgi Ek 2 ’dedir.

4. Kodun çıkışında her iterasyondaki k-eff değerleri ve iç iterasyon sayıları yanında ayrıca

- kalp üzerinde ortalanmış akı değerleri,

- gruplara göre ve toplam nötron üretim ve kayıp h e s a b ı , - her grup ve bölge için güce göre normalize integral ve or­

talama akılar, absorpsiyon, gruptan saçılma ve fisyonla o- lan kayıplar ile üretilen güç değerleri

bulunmaktadır. Bunlara ait izahat Ek 3 ’dedir.

5. Kod spektral yarıçap hesabını ayrı bir altprogramla yap­ mamaktadır. Gerek homojen gerekse de homojen olmıyan denklemleri beraberce çözüp yarıçap ve hızlandırma hesablarını yapmaktadır, îstenen yarıçap ve neticede optimum hızlandırma parametresi bu­ lunduktan sonra program yeni bir altprogramda homojen olmıyan denklemi çözmektedir. Böylece bilhassa büyük boyutlu problemler için yaklaşık 1 dakikanın üzerinde bir CPU zaman tasarrufu sağ- la n m a k t a d ı r .

6. İç iterasyonda yakınsama kriteri, € dış iterasyonun

ya-1

kınsama kriteri £ ’e göre ayarlanmaktadır. Başlangıçda iç ite-3

rasyon hassasiyetinin çok iyi olmasına ihtiyaç yoktur. Bu sebep- den £ kaba bir değerden, meselâ 0.02 gibi bir değerden başlayıp

1

her dış iterasyonda 0.1 küçülerek £ ’den küçük değerlere gel-3

inektedir ki bu istenen yakınsamayı temin etmektedir.

7. İç iterasyonun maksimum iterasyon sayısı, ITMAX problemin büyüklüğüne göre seçilebilmektedir. Bu sınır değer iyi seçilirse CPU zaman kazancı arttırılabilir.

4. UYGULAMALAR

IBINDJL kodu gerek bu koda esas olan IBIND koduyla gerekse de aynı çözüm tekniğini kullanan GEREBUS koduyla beraber çeşitli problemlere tatbik edilmiştir.

Test için kullanılan problemler şunlardır:

i- Birinci problem Şekil 3 de görülen TR-2 reaktörü küçük kalp k o n f i g ü r a s y o n u d u r . Reaktör kâlbi bir taraftan Be bloklar ile yansıtılmış olup karşı kenarın köşelerine birer Alüminyum blok konmuştur. BC-2 kontrol çubuğu kâlbe tamamen girmiş olup diğer üç çubuk tamamen d i ş a r d a d ı r .

Bu problem X-Y geometride 4 grup ve 48x58 kafes yapısı ile modellenip kritiklik hesabı yapılmıştır. Modelde 53 bölge ve 10 materyel tarifi yapılmıştır.

Y I Su reflektör Be

j

Be Be Be | BSl _L . BS2 BC1 Al BC2 Al Be Al BC BS Boş yak X Be blok Al blok Kontrol çubuğu Ayar çubuğu kareler standart t elemanlarıdır.

Şekil 3- TR-2 küçük kalp konfigürasyonu

ii- İkinci problem Şekil 4 de gösterildiği gibi r-Z g e o m e ­ tride homojen bir kalp bölgesinin arka arkaya konulmuş iki fark­ lı cinsten reflektör ile yansıtılmasından elde edilen konfigü- rasyo n d u r . Kafes noktaları yapısı 44x82 olup grup sayısı 2 dir. Bölge sayısı 6, materyel sayısı ise 3 dür.

5. SONUÇLAR

Test problemlerinin her üç kodla yapılan çözümlerinde k a r ş ı ­ laşılan problem ve elde edilen sonuçlar şunlardır:

1. Yakınsama kriterleri ayni alındığı zaman IBIND1L ve IBIND kodu sonuçlarında

- integral ve nokta değerler en kötü dördüncü hanede de- ğişmektedi r .

2. Aynı yakınsama kriterleri kullanılarak GEREBUS ve IBIND1L sonuçlarında ise şunlar gözlenmiştir:

Z (C m ) 273 223 Ağır su H o m o j e n k a l p 7 0 5 0 0 G r a f i t 0 84 104 154 r (Cm) Ş e ki l 4- T e st p r o b l e m 2 k o n f i g ü r a s y o n u - k - e f f M e r ü ç ü n c ü h a n e d e d e ğ i ş m e k t e d i r . G E R E B U S k af e s n o k t a l a r ı n ı h ü c r e k e n a r l a r ı n d a , I B I N D 1 L ise h ü c r e m e r k e z i n d e a l ­ m a k t a d ır . Y a p ı l a n ç e ş i tl i t e s t l e r d e G E R E B U S ’un h e s a p l a d ı ğ ı

k-^eff in f a z l a b ü y ü k b u n a m u k a b i l I B I N D 1 L ’in v e r d i ğ i k - e f f ise

k ü ç ü k o l d u ğ u m ü ş a h e d e e d i lm i ş t ir . E ğ e r k a f e s ya p ı s ı i n c e l t i l i r s e her iki k- e f f b i r b i r i n e h ı z l a y a k l a ş m a k t a d ı r . O r t a l a m a s e r b e s t yo l a u y g u n k a f e s a r a l ı k l a r ı s e ç i l d i ğ i t a k d i r d e k- e f f ’1er aynı ç ı k m a k t a d ı r . B u r a d a k u l l a n ı l a n test p r o b l e m l e r d e s e ç i l e n k a f e s y ap ı s ı b i r a z k a ba o l d u ğ u n d a n elde e d i l e n bu fa r k n o r m al o l a r a k g ö r ü l m e k t e d i r . - Bazı p r o b e m l e r d e i n t e gr a l d e ğ e r l e r d e n m e s e l â b ö l g e s e l

integral ve o r t a l a m a akılar, b ö l g e s e l a b s o r p s i y o n ve f i s y o n gibi d e ğ e r l e r ikinci hanede, b ö l g e l e r ü z e r i n d e t o p l a n m ı ş g r u p l a r a ait s e r b e s t y ü z e y k a ça kl a r ı , a b s o r p s i y o n , e k s e n e l kaçak, f i s y o n gibi

d e ğ e r l e r d e ise d e ğ i ş i m ikinci veya ü ç ü n c ü h a n e l e r d e o l m a k t a d ı r .

N o k t a s a l a k ı l a r m e r k e zi n o k t a l a r d a ikinci h a n e d e d e ğ i ş m e k t e o lu p s e r b e s t y ü z e y l e r e y a k ı n n o k t a l a r d a k a f e s y a p ı s ı n a bağlı o l a r a k I B I N D 1 L d a ha y ü k s e k akı d e ğ e r l e r i v e r m e k t e d i r .

- B a s i t p r o b l e m l e r d e ise her iki kod t a r a f ı n d a n b u l u n a n

bu d e ğ e r l e r b i r b i r i n e çok y a k ı n o l m a k t a d ı r . (Bak. T a b l o 1)

O h a l d e d e n i l e b i l i r ki eğer k a f e s y a p ı s ı o r t a l a m a s e r b e s t

y o l l a r a u y g u n a l ı n ı r s a her iki k o d u n s o n u ç l a r ı d a h a iyi bir u yu m g ö s t e r e c e k t i r .

3. IBIND1L bazı problemlerde bazı grup akılarının hesabında yakınsamada zorluk çekmekte ve iterasyon sınırına kadar da y a n ­

maktadır. Küçük ITMAX değerlerinde hesaplanan akılar kafi d ere­ cede iterasyon sayısı bulunmadığından bu durum ortaya çıkıyor kabul edilmiş ve ITMAX artırılmıştır. Fakat sonuçda her seferin­ de ITMAX sınırına kadar iterasyon gitmiş ve hesap sonuçlarının hemen hemen hiç değişmediği görülmüştür. Buna mukabil CPU zamanı tabii ki ITMAX ile artmıştır. Bu duruma sebep olarak düşünülebi- len şudur: sonuç değerler bilhassa nokta akılar küçük de olsa bir osilasyon yapmakta ve kriteri sağlatmamaktadır.

Böyle bir durumla ikinci test probleminde karşılaşılmıştır. ITMAX 'ın 250 ’ye kadar arttırılması hesap sonuçlarını çok az etkilemekte fakat harcanan zamanı çok arttırmaktadır. Ayrıca bu problem için ITMAX=30 değerinin gerek zaman gerekse de sonuçlar bakımından GEREBUS 1 la elde edilenlere hemen hemen eşit sonuçlar verdiği müşahede edilmiştir.

Kodla yapılan nümerik test sonuçları Tablo 1 ’de özetlenmiş­ tir. Görülmektedir ki IBIND1L kodu GEREBUS ’la aynı CPU zamanını harcamaktadır ki bu da beklenmesi icap eden bir sonuçtur. Zira her iki kodda ayni metodu kullanmaktadır. Hesaplanan p a r ametre­

ler GEREBUS * un değerlerinden kötü değildir. Her iki kod sonuç­ ları arasındaki bazı farkların

- kodların farklı kafes yapısına sahip, yani biri hücre m e r ­ kezinde kafes noktası diğerinde ise hücre sınırında kafes n o k t a ­ sı kullanmakta olmasından,

- kafes aralıklarının her yerde ortalama serbest yoldan k ü ­ çük o]m a m a s ı ndan,

dolayı olduğu tahmin edilmektedir. Kafes aralıkları ne kadar o r ­ talama serbest yola yakın ise iki kodun sonuçları o kadar birbi­ rine yakın olmaktadır.

REFERANSLAR

1. R. T u n ç e l , U. Adalıoğlu, ”IBD kodu - İki boyutlu, çok gruplu nötron difüzyon kod u ” , ÇNAEM-R-190, 1978.

2. U. Adalıoğlu, R. Tunçel, ’’IBD-1L : One Line O v errelaxati­ on Code for Diffusion Theory Calculations (An improved version of IBD-1 cod e ) ” , Ç N A E M - A R - 2 6 3 , June 1989.

3. U. Adalıoğlu, ’’IBD-2L Two Line Overrelaxation Code for Diffusion Theory Calculations” , ÇNAEM A.R.-284, O c t . 1990. 4. U. Adalıoğlu, ” IBIND Nokta çevrimsel, Chebyshev yarı

iteratif difüzyon k o d u ” , Ocak 1992, (ÇNAEM raporu olarak basılmak üzere teslim edilmiştir.)

5. L. A. Hageman, "Block Iterative Methods for Two-Cyclic Matrix Equations with Special Application to the Numeri­ cal Solution of the Second-Order Self-Adjoint Elliptic Partial Differential Equation in Two Dimension", WAPD-TM-327, Apr. 1962.

6. R. S. Varga, "Matrix Iterative Analysis", Prentice-Hall, 1962 .

7. M. Console, A. Daneri, and E. Salina, "EREBUS A M u l t i ­ group Diffusion Program in Two Dimension", FN-E-88 (Fiat 1967), (GEREBUS, EREBUS kodundan GKSS ’de geliştirilmiş­ tir.)

TEŞEKKÜR

İhtiyaç duyulan referansların temininde yardımlarını esirge- miyen Dr. Necmi DAYDAY ’a teşekkürü borç bilirim.

Ü ^ s. ip ld n jn d e ğ e ri m i I i LO LO oo LO uO 1 CM t-H t-Ht-H ▼-H —Ho e 1 1 CO i •oo H- -f- a- co t-H 1 i i o : ı ı CO 1 1 1 1 1 C— <=> LO oo co lO t-H co o> ao J ! ! OD ! I ı 1 1 cm OO co LO OO ao ası ■''T . I 1 UJ i ı OO ı ı OO oo co co oo

1 ı pe i ı ı CO ı ı I I 1 OO co OO co CNİ co ası ası "O

LO t-h I ; ı — î •o r~ — ■ oo >-H LO co I₁ ! 1 ---

---CZ

QO

co «o 1-0 oo oo oo LO LO LO LO H- -t-CS5 CNJ LO ao t-h co t-h ^ r C\ -V CN OD O OO LO LO r-H t-H t-H LO OO ^ ^ t H O O L O L O ^ -'-> — i*~4 T—I —I 0> ■ -H H - H - H - H - H-a o m o c N c ^ ı o - c OO 'X) oo cr, oo oo esi a c c— -— ( C O Cni G O <0>l OM : 0 ... - O C'O t-H L O C— CT5 lo t-h ao lolo r-H T-^ t-h t-H < 0 a oo m o cnj t— 3 O ) ^ O O X I O O X . O O O O CM O O 71 Cû C\ CO CM CNJ . oo t-h lo co* Ovi —- —ı ao lolo t-H t—H t-H T—jo> H- H - H - H H -o -o l -o -o c\ > co -«*- oo co ao co oo ası ao a -C O CSJ C O ONi CM ao —î lo r—* aö ao lo H3- Hj-o> o oo ----cr co aot OM rH OO OM -> -O c - ao o LO LO CO »—I CO t-h -o :— ■;nj co o lo ao ac ^ x r LO LO LO O ^H X -a- ao co ro X ' CO O LO ao lo ao t-h ao ao co co a - co ao C O u O n r L O 'CO ■CO CO CO 0> co co a a om om :o> ao -O -O a c âo _{a o o} ■05 O)

-O

■a 'S s cı o . 3 V. 03 0- 0. 0. yÖ 4b il 4 - 4 .9 B4 bf c+ 14

1.

kart

:

BAŞLIK

20A4

2. kard :

IRRX1,IRRX2,IRHZİ,IRHZ2

415

3. kart :

NRZ,

ITMAX

415

4. kard :

EPS1,EPS2,EPS3

3F10.7

5. kard :

IB,İCAP,IGEO,IAD,IGUC,IBAK,ICEY,

KMAX,IMAX,JMAX,KOMSA,IBIS

1213

6. kard :

(ISI(I),IS2(I

),JS1(I ).JS2(I),

1=1,IB

1814

( 6 +

IB).

kard :

KK (K ),IMAT(K ) ,

K=1,IB

1814

(6+2IB).

kard :

DELRI(I), I=1,IMAX

8F10.5

( • . . )

kard :

DELZJ(I), I=1,JMAX

8F10.5

( • • • )

kard :

X(K), K=1,KMAX

8F10.5

( • • • )

kard :

((XNU(K ,N

)

,DF (K ,N ),SA(K .N ),SF(K ,N

)

8fl0.7

< - • • )

kard :

(SS(K.M.N), M=1,KMAX),

N=l,KOMSA). K=1,KMAX)

8F10.7

( . . . )

kard :

P

E14.7

i ... t

kard :

HYUK

El 4.7

< . • • )

IB bölge sayısı IGEO rH

O

M

II _{kartezyen geometri için}silindir geometri için

NRZ = 2 # 2

normalize a k ı l a n yazar, normalize a k ı l a n yazmaz. ITMAX : maksimum iç iterasyon sayısı EPS1 (e )

1 <e )

2

iç iterasyonda akı yakınsama kriteri EPS2 : k-eff ’1er ve fisyon kaynak oranları

için kriter EPS 3 (G )

3

dış iterasyonda akı yakınsama kriteri İCAP # 1 + ICEY # 1 : kartezyen geometride bütün kalp

[CAP = 1 + ICEY # 1 kartezyen geomtride yarım kâlp (Y ekseni simetrisi), veya si­ lindir geometride tam kâlp

I CAP # 1 ICEY = 1 kartezyen geometride yarım kâlp (X ekseni simetrisi)

I CAP = 1 + ICEY = 1 kartezyen geometride çeyrek kâlp, veya silindir geometride yarım kâlp I AD - 0 akı ve adjoint akı hesabı

> _{2 sadece akı hesabı}

IGUC = 1 güç ve kaynak dağılımı hesabı # 1 : sadece İzafî akı

I BAK - 1 X-Y geometride B 2» kullanılmakta = 0 silindirik geometri hâli

KM AX : enerji grub sayısı

1 MAX : X veya r ekseni üzerindeki kafes n o k ­ tası sayısı

JMAX Y veya Z ekseni üzerindeki kafes n o k ­ tası sayısı

KOWSA : kompozisyon sayısı IBIS - 0 : sadece İzafî akı

I S I (I ) : Bölge I ’nin sol sınırı IS2 ( I ) : Bölge I 'nin sag sınırı J S 1 (I ) Bölge I ’nin alt sınırı J S 2 ( I > : Bölge I ’nin üst sınırı IRRX1 : kalp bölgesinin sol sınırı IRRX2 kalp bölgesinin sağ sınırı IRHZ1 : kalp bölgesinin alt sınırı IRHZ2 kalp bölgesinin üst sınırı KK ( K ) : Bölge K ’nin no. su

IMAT(K ) : Bölge K *daki kompozisyon no. su

D E L R I (I ) X veya r eksenindeki kafes aralıkları D E L Z J (I ) : Y veya Z eksenindeki kafes aralıkları X ( K ) : Grup K da doğan fisyon nötronları kesri X N U (K ,N ) : grup K ve kompozisyon N için ortalama

fisyon nötronları sayısı

D F (K ,N ) : grup K ve kompozisyon N için difüzyon kat say ısı

S A (K ,N ) grup K ve kompozisyon N için E« S F ( K , N ) : grup K ve kompozisyon N için Eı

SS(K.M.N') : kompozisyon N için grup K dan grup M ye E B

P : Watt olarak reaktör gücü (IGUC =1 ve IBIS=1 hâlleri için, aksi hâlde P ’ye ihtiyaç yoktur.) IGEO=0 için

’’toplara güç/HYUK” verilecektir.

HYUK X-Y geometride reaktör kâlp yüksekliği (Cm olarak), IGEO^l için ihtiyaç yok. BKARE eksenel akıbükümü (Cm*2 )

A) Gruplara ve bölgelere ait integral değerler

K grup i n d i s i , NK bölge indisi ve Y fisyondan çıkan ener-j i o ]mak üzere:

1. BOL.

HAC.

(N K ) = ^

V

LjjeNfc * J

2. INT.

AKI (K.NK) =

<

t

>

(K) V

ıjeNK * J

3 . ORT. AKI

(K ,N K ) =

INT. AKI

< K ,NK ) / BÖL. HAC. (NK)

4 . ABSORPS

(K ,N K ) =

E (K ,N K )

a

* INT.

AKI (K.NK)

5 . REMOVAL

(K ,N K ) =

E (K ,N K ) * INT.

AKI (K.NK)

R

6 . FISSION

(K ,N K )

=

*/(K) * E (K.NK)

* INT. AKI (K.NK)

f

7. FIS. KAYN (K.NK) = --- ) FISSION ( k', N K ) k-eff c==7

8. GUC ÜRET./CM (K.NK) = X E (K ,N K ) * INT. AKI (K .N K )

f

(Silindir geometride GUC Ü R E T .(K ,N K ) hesaplanmaktadır.)

B)

1 .

Gruplara

Ü r e t i l e n

PRODXNU

göre ve toplam nötron kayıp

nötron miktarı

(K) = > F I S S I O N (K.NK)

ve kazançı

2. G r u p l a r a d ü ş e n n ö t r o n m i k t a r ı / k - e f f X P R O D K (K) = > FIS. KAYN (K ,N K)

Nfc

3. G r u b a s a ç ı l a n n ö t r o n l a r I N S C A T (K+l) 7 R E M O V A L (K ,NK) HK* 4. T o p l a m n ö t r o n k a z a n c ı K A Z A N Ç L A R (K) = X P R O D K (K) 4 I N S C A T (K) 5. A b s o r p s i y o n k a y ı p l a r ı A B S O R P (K) A B S O R P S (K ,N K ) HK 6. G r u p t a n s a ç ı l m a l a r O U T S C A T (K ) = > R E M O V A L (K ,N K ) 7. E k s e n e l k a ç a k l a r D B L O S S (K) D(K,NK) t B a t I N T . AKI (K,NK) 8. Sol s ı n ı r d a n k a ç a k l a r : S O L L I K (K) 9. Sa ğ s ı n ı r d a n k a ç a k l a r : S A Ğ L I K (K) 10. Üst s ı n ı r d a n k a ç a k l a r : U S T L I K (K) 11. Alt s ı n ı r d a n k a ç a k l a r : A L T L I K (K) 12. K A Y I P L A R = ( 5 de n 12 ’ye k a d a r k i t e r i m l e r i n toplamı) T o p l a m n ö t r o n k a z a n ç ve k a y ı p l a r ı g r u p ve genel t o p la m r a k eşit o l m a l ı d ı r .