Harmonik Zorlama Etkisindeki Dairesel Boşluklu Yarım Düzlem Problemi

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ  FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ DAİRESEL BOŞLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Arzu ARPACI

MAYIS 2002

Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ

ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ  FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

HARMONĠK ZORLAMA ETKĠSĠNDEKĠ DAĠRESEL BOġLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Arzu ARPACI

(501991285)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 13 Mayıs 2002 Tezin Savunulduğu Tarih : 27 Mayıs 2002

Tez DanıĢmanı : Prof.Dr. Hasan ENGĠN

Diğer Jüri Üyeleri Doç.Dr. Necla KADIOĞLU (Ġ.T.Ü.) Yrd.Doç.Dr. Ġrfan COġKUN (Y.T.Ü.)

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın yönlendirilmesi ve yürütülmesinde, bilgi ve tecrübelerini esirgemeyen gerekli tüm olanakları sağlayan sayın hocam Prof. Dr. Hasan Engin’e derin teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca tüm eğitimim boyunca maddi, manevi destekleri ile yanımda olan annem Aynur Arpacı ağabeylerim İnş. Müh. M.Murat Arpacı, M.Vedat Arpacı ve eşim İnş. Müh. M.Emrah Şık’a teşekkür ederim. Sizi çok seviyorum.

İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ iv SEMBOL LİSTESİ vi ÖZET vii SUMMARY viii 1. GİRİŞ 1

2. DÜZLEM ELASTİSİTEDE TEMEL DENKLEMLER 4

3. ÇÖZÜM 8

3.1. Problemin Formülasyonu 8

3.2. Çözüm 11

3.3. Sınır Koşullarının Sağlatılması 19

3.3.1. Silindirik boşluğun iç yüzeyindeki sınır koşulları 19

3.3.2. Serbest yüzeydeki sınır koşulları 23

4. SONUÇLAR 25 4.1. Sayısal Veriler 25 4.2. Sayısal Sonuçlar 25 5. TARTIŞMA 28 KAYNAKLAR 29 EKLER 31 ÖZGEÇMİŞ 51

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa No Şekil 2.1 : Diferansiyel alan elemanındaki gerilmeler………..4 Şekil 3.1 : Yarım düzlemde  kayma gerilmesindeki silindirik oyuk……….……8 Şekil 3.3.1 : Serbest yüzeydeki sınır koşulları……….……9 Şekil A.1 : =60 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki xx gerilmesi………..32 Şekil A.2 : =60 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki xy gerilmesi………...32 Şekil A.3 : =60 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki u yer değiştirmesi….33 _x

Şekil A.4 : =60 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki u_y yer değiştirmesi….33 Şekil A.5 : =60 rad/sn, H =10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki _rr

gerilmesi………34 Şekil A.6 : =60 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki _r

gerilmesi………34 Şekil A.7 : =60 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u r

yer değiştirmesi……….35 Şekil A.8 : =60 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u_

yer değiştirmesi……….35 Şekil A.9 : =60 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki r

gerilmesi………....36 Şekil A.10 : =80 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki _r

gerilmesi………....36 Şekil A.11 : =80 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki _xx gerilmesi………..37 Şekil A.12 : =80 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki _xy gerilmesi………...37 Şekil A.13 : =80 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki u yer değiştirmesi….38 x Şekil A.14 : =80 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki uy yer değiştirmesi….38 Şekil A.15 : =80 rad/sn, H =10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u _r

yer değiştirmesi………..…...39 Şekil A.16 : =80 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u_

yer değiştirmesi………..…...39 Şekil A.17 : =100 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki _xx gerilmesi…..…..40 Şekil A.18 : =100 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki _xy gerilmesi……...40 Şekil A.19 : =100 rad/sn, H =10 m için serbest yuzeydeki u yer değiştirmesi…41 _x

Şekil A.20 : =100 rad/sn, H =10 m için serbest yuzeydeki u_y yer değiştirmesi...41 Şekil A.21 : =80 rad/sn, H=15 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u _r

Şekil A.22 : =100 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u_

yer değiştirmesi…….………42 Şekil A.23 : =100 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki _r

gerilmesi………....43 Şekil A.24 : =120 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki r

gerilmesi………....43 Şekil A.25 : =120 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki _xx gerilmesi………44 Şekil A.26 : =120 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki _xy gerilmesi……….44 Şekil A.27 : =120 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki u yer değiştirmesi...45 x Şekil A.28 : =120 rad/sn, H=10 m için serbest yuzeydeki uy yer değiştirmesi...45 Şekil A.29 : =120 rad/sn, H =10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u _r

yer değiştirmesi…….………46 Şekil A.30 : =120 rad/sn, H=10 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u

yer değiştirmesi………...46 Şekil A.31 : =80 rad/sn, H=15 m için serbest yuzeydeki _xx gerilmesi………..47 Şekil A.32 : =80 rad/sn, H=15 m için serbest yuzeydeki _xy gerilmesi…….…..47 Şekil A.33 : =80 rad/sn, H =15 m için serbest yuzeydeki u yer değiştirmesi….48 x Şekil A.34 : =80 rad/sn, H =15 m için serbest yuzeydeki uy yer değiştirmesi.…48 Şekil A.35 : =80 rad/sn, H=15 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u _r

yer değiştirmesi…….………49 Şekil A.36 : =80 rad/sn, H =15 m için silindirik boşluk yuzeyindeki u_

yer değiştirmesi……….49 Şekil A.37 : =80 rad/sn, H =15 m için silindirik boşluk yuzeyindeki _r

SEMBOL LİSTESİ

 : Zorlama frekansı

t : Zaman

 : Kayma gerilmesi

0

 : Kayma gerilmesi genliği

 : Yarı sonsuz ortamın kütle yoğunluğu

,

 _{xx yy} : Şekildeğiştirme bileşenleri _xy : Kayma şekildeğiştirmesi

e : Düzlemsel hacim değiştirme oranı

E : Elastisite modülü

 : Poisson oranı

  : Lamé sabitleri x

n : Sınır eğrisinin dış normal birim vektörünün x bileşeni y

n : Sınır eğrisinin dış normal birim vektörünün y bileşeni ˆ

x

t : Sınır eğrisine etki eden dış kuvvetin x bileşeni ˆ

y

t : Sınır eğrisine etki eden dış kuvvetin y bileşeni r

U : Yerdeğiştirme vektörü ˆ

x

U : Sınırdaki yerdeğiştirmenin x bileşeni ˆ

y

U : Sınırdaki yerdeğiştirmenin y bileşeni x

u : Yer değiştirmenin x bileşeni y

u : Yer değiştirmenin y bileşeni r

u : Yer değiştirmenin radyal doğrultudaki bileşeni 

u : Yer değiştirmenin açısal doğrultudaki bileşeni  : Yer değiştirme potansiyelleri

H : Silindirik oyuk merkezinin serbest yüzeye olan derinliği

a : Oyuk yarıçapı 

r, : Kutupsal koordinatlar  

  _rr, , _r : Kutupsal koordinatlarda gerilme bileşenleri   _xx, _yy, _xy : Kartezyen koordinatlarda gerilme bileşenleri

1

k : Boyuna dalga sayısı 2

HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ DAİRESEL BOŞLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMİ

ÖZET

Elastik ortam içindeki yapıların dinamik etkiler altındaki davranışı geçmişte pek çok araştırmanın konusu olmuştur. Bu yapılar arasında tüneller, yeraltı boru hatları, yeraltı santralları ve su altı boru hatları temel problemler olarak karşımıza çıkmaktadır.

Elastik ortam araştırmaları ile ilgili literatür incelendiğinde, matematik modellemenin daha kolay olduğu sonsuz ortam ile ilgili çalışmaların oldukça eskiye dayandığı görülmektedir. Yarı sonsuz ortam modeli yeraltı yapıları için daha uygundur. Fakat sınır şartlarına bağlı olarak ortaya çıkan güçlükler yüzünden bu model geçmişte az kullanılmıştır.

Bu çalışmada elastik yarım uzay içinde bulunan silindirik boşluğun yüzeyinde harmonik zorlama etkisi göz önüne alınmıştır. Bu harmonik zorlama üniform yayılı kayma gerilmesi şeklindedir.

Birinci bölümde, konu ile ilgili çalışmalardan ve bu çalışmalarda kullanılan çözüm yöntemlerinden kısaca bahsedilmiştir. Ele alınan problem geniş olarak tanıtılmıştır. Çözüm yöntemi açıklanmış ve bulunan sonuçlardan bahsedilmiştir.

İkinci bölümde, çözüm için kullanılan temel denklemlerin elde edilişi açıklanmıştır. Gerilme-şekil değiştirme bağıntılarını, hareket denklemlerinde kullanılarak Navier denklemleri yerdeğiştirme bileşenleri cinsinden yazılmıştır.

Üçüncü bölümde, çözüm yapılmıştır. Navier denklemlerinin çözümü için gerekli formülasyonlar verilmiştir.  ve  yer değiştirme potansiyel fonksiyonlarının bilinen tanımları kullanılarak kutupsal koordinatlarda iki adet dalga denklemi elde edilmiştir.  ve  yer değiştirme potansiyelleri Bessel ve trigonometrik fonksiyonlar olarak elde edilmiştir. Sonsuz yarı düzlemin yüzeyinde ve silindirik dairesel boşluk içindeki sınır koşulları yazılmıştır. İntegrasyon sabitleri silindirik boşluğun iç yüzeyi ve serbest yüzeydeki sınır şartlarından hesaplanmıştır.

Dördüncü bölümde,  zorlama frekansı ve silindirik boşluğun merkezinin serbest yüzeyden olan derinliğine göre, silindirik boşluk ve serbest yüzey üzerindeki yer değiştirmeler ve gerilmelere ait analitik çözüm sonuçları gösterilmiştir.

HALF PLANE WITH A CIRCULAR CAVITY UNDER THE EFFECT OF HARMONIC FORCE

SUMMARY

The behaviour of the structures in an elastic medium under the dynamic effects has been the subject of a lot of research in the past. Among those structures, underground tunnels, underground pipelines, underground reactors and underground pipelines are appeared to be main problems of this field.

When the literature related to the research about elastic medium has been examined, the research about the infinite medium whose mathematical modelling is easier, are seen to have dated back to very earlier era. The model of semi infinite medium is more suitable for underground structures. But in the past this model is less used because of the arising diffuculties related to baundary conditions.

In this study, the behaviour of the half space with cylindrical cavity under the harmonic forcing has been examined. The harmonic forcing is an uniformly distributed shearing stress.

In the first chapter, the research related to the subject and the methods for solutions have been noted shortly. Then the problem has been introduced. The solution method and some results have been shortly explained.

In the second chapter, it was mentioned about how to find basic equation, which were used for solution. Substituting stress-strain relations in equations of motion. Navier equations have been written in terms of the components of the displacement vector.

In the third chapter, solution has been performed. Necessary formulations have been given for the solution of Navier equations. By using the definitions of displacement potential functions of  and  , two reduced wave equations in the polar coordinates have been obtained. The displacements potentials  and  have been found out in terms of Bessel and trigonometric functions. Boundary conditions have been written on the surface of half space and inside the cylindrical circular cavity. The integration constants have been calculated from boundary conditions written on free surface and on the inner surface of the cylindrical cavity.

In the fourth chapter, the displacements and stresses over the free surface and the cylindrical cavity were shown with respect to  forcing frequency and depth of the center of cylindrical cavity.

1. GİRİŞ

BoĢluk veya farklı tipten bir malzeme içeren elastik bir ortamın dinamik etkiler altındaki davranıĢı geçmiĢte pek çok araĢtırmaya konu olmuĢtur. Yeraltı tünelleri, yeraltı santralleri, su altı boru hatları bu tip araĢtırmaların temel problemi olmuĢtur. BoĢluk içeren elastik ortam ile ilgili geçmiĢte yapılan araĢtırmalar incelendiğinde, sonsuz ortam ile ilgili çalıĢmaların çok eskiye dayandığı görülmektedir. ERĠNGEN ve ġUHUBĠ [1], GRAFF [2]. Buna karĢılık yarı sonsuz ortam ile ilgili çalıĢmalar yakın zamana dayanmaktadır.

Yarı sonsuz ortam kabulünün, yeraltı yapıları için sonsuz ortam kabulüne göre daha uygun olmasına karĢılık, analitik çözümlerde sınır koĢullarının sağlatılmasının güçlüğünden dolayı daha ağırdır. GeçmiĢte bu tür çalıĢmalar daha çok laboratuar ölçümlerine bağlı kalmıĢtır. Ancak günümüzde bilgisayarın karmaĢık matematik problemlerin çözümünde kullanılabilir olması ilginin yarı sonsuz ortam üzerinde yoğunlaĢmasını sağlamıĢtır.

Silindirik boĢluk, elastik silindirik kabuk v.s. gibi yapıları içeren elastik yarım uzayda P, S ve PH dalgaları altındaki davranıĢları DATTA [14] ve arkadaĢlarının pek çok çalıĢmasına konu olmuĢtur. Bu çalıĢmalarda yarım uzayda bulunan silindirik kabuğun harmonik dalga altındaki davranıĢı, asimptotik açılımların birbiri ile uyuĢturulması ve ardıĢık yansımalar metodları kullanılarak incelenmiĢtir.

Yarım düzlemde bulunan boru hattının etrafının farklı malzeme ile doldurulması halindeki dinamik davranıĢını DATTA, SHAH ve WONG [13,18] incelemiĢlerdir. Çözüm Bessel ve trigonometrik fonksiyonları yardımı ile temsil edilmiĢ, serbest yüzey ve dolgu bölgesi yüzeyinden dalgaların ardıĢık yansımaları göz önüne alınmıĢtır. WONG [13,18] geometrinin dairesel kabuktan farklı olması halini yaptığı

Yeraltı tünellerindeki trenlerin hareketi nedeniyle yerüstü yapılarına etkilerini BALENDRA [10,11] ve arkadaĢları incelemiĢlerdir. Ortamı viskoelastik, yerüstü yapısının temelini ve tüneli rijid cisim kabul etmiĢlerdir. Serbest yüzey üzerinde sonlu sayıda sınır Ģartları alınmıĢ ve sınır Ģartları sayısı bilinmeyen sayısından fazla olduğu için Trefftz metodu uygulanmıĢtır.

LUCO ve BARROS [16,17] kabuk eksenine eğri bir açıdan gelen harmonik düzlem dalgaları etkisinde olan ve katmanlı viskoelestik yarı uzayda gömülmüĢ dairesel kesitli sonsuz uzunluktaki silindirik kabuğun üç boyutlu harmonik davranıĢını incelemiĢlerdir. Bu çalıĢmada içteki boru hattı veya tünel için sadeleĢtirilmiĢ bir kabuk teorisi ile dıĢtaki zemin için dolaylı bir integral ifadesinin birleĢmesinden elde edilen çözüm fonksiyonları kullanılmıĢtır.

Silindirik boĢluk içeren yarım uzayda iç basınç etkisindeki titreĢim problemi BAYIROĞLU [8] tarafından incelenmiĢtir. ÇalıĢmada ortamın davranıĢı Bessel ve trigonometrik fonksiyon serilerin yardımı ile ifade edilmiĢtir. Serbest yüzeyde sınır koĢulları yaklaĢık olarak sağlatılmıĢtır. Analitik yoldan elde edilen sonuçlar sonlu elemanlar yöntemi ile kontrol edilmiĢtir.

ENGĠN ve COġKUN [15] dairesel silindirik bir boĢluk içeren elastik yarım uzayda harmonik titreĢimleri incelemiĢlerdir. Kutupsal koordinatlarda yazılan hareket denklemleri, Helmholtz potansiyellerinin kullanılmasıyla iki adet dalga denklemine indirgenmiĢtir. ĠndirgenmiĢ dalga denklemleri Bessel fonksiyonları ve trigonometrik fonksiyonlar çarpım serileri yardımıyla analitik olarak çözülmüĢtür.

Elastisite teorisinde rastlanan bazı problemleri kesin olarak çözmek mümkün değildir. Bu elastisite denklemlerinin integrasyonunun güçlüğünden veya sınır koĢullarının sağlatılmasının zorluğundan kaynaklanabilmektedir. Bu durumda probleme yaklaĢık çözümler aramak daha uygun olur. Burada hareket denklemleri, yerdeğiĢtirme ve Ģekil değiĢtirme bağıntıları, Hooke yasaları ve sınır koĢulları kullanılarak çözüme gidilir.

Bu çalıĢmada elastik bir yarım uzay içinde bulunan silindirik boĢluğun yüzeyinde harmonik zorlama etkisi göz önüne alınmıĢtır. Bu harmonik zorlama uniform yayılı kayma gerilmesi Ģeklindedir. Yarı sonsuz düzlemdeki malzeme lineer elastik,

homojen ve izotrop olarak gözönüne alınmıĢtır.  ,  yer değiĢtirme

potansiyellerinin bilinen tanımları kullanılarak silindirik koordinatlarda iki adet ayrık dalga denklemi elde edilmiĢtir. Bu denklemler Bessel ve trigonometrik fonksiyonlar serisi yardımı ile çözülmüĢtür. Çözüm sonunda ortaya çıkan bilinmeyenler, delik iç yüzeyi ve serbest yüzey üzerinde yazılan sınır koĢulları yardımıyla hesaplanmıĢtır. Delik iç yüzeyindeki iki sınır koĢulundan bilinmeyenlerin yarısı, diğer yarısı cinsinden ifade edilmiĢtir. Serbest yüzeyin her noktasında normal gerilme ve kayma gerilmesi sıfıra eĢittirler. Yüksek mertebelerde ikinci nevi Bessel fonksiyonlarının özellikle küçük argümanlarda ekstrem değerler alması nedeniyle seri sonlu sayıda terim alınarak kesilmiĢtir. Bu durumda özellikle serbest yüzey üzerinde yazılan sınır koĢulları sayısı bilinmeyen sayısından çok fazla olmaktadır. Bunun için, serbest yüzeyde gerilmeler (dolayısıyla hata) minumum olacak Ģekilde En Küçük Kareler yöntemi kullanılmıĢtır.

Sayısal iĢlemlerde Mathematica 4.0 paket programı kullanılarak oyuk yüzeyindeki ve serbest yüzey boyunca yer değiĢtirme ve gerilme bileĢenlerinin çeĢitli parametrelere göre değiĢimleri grafiklerle gösterilmiĢtir.

2. DÜZLEM ELASTİSİTEDE TEMEL DENKLEMLER

Şekil 2.1. de görüldüğü gibi iki boyutlu lineer elastik bir cisim içinden alınan diferansiyel bir elemana etkiyen gerilme bileşenlerinin değişimi gösterilmiştir. Kütle kuvvetlerini ihmal ederek, bu eleman için x ve y eksenleri doğrultularında Newton’un ikinci hareket kanunu uygulanır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa aşağıdaki hareket denklemler elde edilir.

x xx xx dx x     xy xy dy y     yy yy yy dx dy x y        xy xy xy dy dx y x        xy  xy xy dy y     xx xx dy y     xx xx xx dx dy x y        xy xy xy dx dy x y        xy xy dx x     yy yy dx x     xy xy dx x     xy  xx  yy 

Şekil 2.1 Diferansiyel alan elemanındaki gerilmeler

yy yy dy y     x U y U y 0

Hareket denklemleri: 2 2 2 2 (2.1.a) (2.1.b) xy xx x xy yy y U x y t U x y t   _                   

Burada   _xx, _yy, _xy gerilme tansörünün bileşenleri, U_x veU_y ise yer değiştirme vektörünün kartezyen koordinatlardaki bileşenleridir.  kütle yoğunluğunu, t ise zamanı göstermektedir.

Gerilmeler cinsinden sınır koşulları:

ˆ (2.2.a) ˆ (2.2.b) xx x xy y x xy x yy y y n n t n n t        

Burada n_xve n_y sınır eğrisinin dış normal birim vektörüdür. ˆt_xvet ise sınırda etki ˆ_y

eden yüzey gerilmesinin bileşenleridir. Yer değiştirmeler cinsinden sınır koşulları:

ˆ _(2.3.a) ˆ _(2.3.b) x x y y U U U U  

Lineer izotropik ortamlar için gerilme şekil değiştirme bağıntıları (Hooke yasası): 2 (2.4.a) 2 (2.4.b) 2 (2.4.c) xx xx yy yy xy xy e e             

Burada  ve Lamé sabitleridir. Hacim değiştirme oranı olan e ise düzlem şekil değiştirme için aşağıdaki gibidir.

(2.5)

xx yy e 

ve

  Lamé sabitleri, E elastisite modülü,  Poisson oranı cinsinden,











(2.6.a) 1 1 2 (2.6.b) 2 1 E E            şeklinde yazılır.

Şekil değiştirme – Yer değiştirme bağıntıları:

(2.7.a) (2.7.b) 1 (2.7.c) 2 x xx y yy y x xy U x U y U U y x              _  _    

(2.7) denklemleri (2.4) denklemleri ile birlikte (2.1) denklemlerinde yerine yazılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa yer değiştirmeler cinsinden Navier denklemleri elde edilir.









2 2 2 2 2 2 (2.8.a) (2.8.b) x x y y U e U x t U e U y t                        

Burada 2_{kartezyen koordinatlarda Laplasyeni göstermektedir.}

2 2 2 2 2 (2.9) x y       

3. ÇÖZÜM

3.1. Problemin Formülasyonu

Şekil 3.1. Yarım düzlemde  kayma gerilmesi etkisindeki silindirik oyuk.

İncelemede kutupsal koordinatları kullanmak daha uygundur. z ekseni boyunca, oyuk geometrisi, malzeme ve yükleme değerlerinin değişmediği kabul edilirse problem düzlem şekil değiştirme hali olarak göz önüne alınabilir.

a H x y r  

Yarı sonsuz ortamda bulunan r=a yarıçaplı silindirik oyuk iç yüzey boyunca aşağıdaki gibi  harmonik zorlaması ile zorlanmaktadır.

0

i t e   _ 

(3.1.)

Burada ₀ harmonik zorlama genliğini,  zorlama frekansını, t de zamanı göstermektedir. Birinci mertebe teorisi kullanıldığı için ortamın davranışı da aynı şekilde harmonik fonksiyonlarla ifade edilebilir. Buna göre kutupsal koordinatlarda yer değiştirme ve gerilme bileşenleri,

rr θθ r ( , , ) ( , ) (3.2.a) ( , , ) ( , ) (3.2.b) σ ( , , ) ( , ) (3.3.a) σ ( , , ) ( , ) (3.3.b) ( , , ) ( , ) (3.3.c) i t r r i t i t rr i t i t r U r t u r e U r t u r e r t r e r t r e r t r e                                   olarak yazılabilir.

(3.2) ifadelerini (2.8) Navier denklemlerinde yerine yazıp gerekli düzenlemeler yapılırsa, Navier denklemleri aşağıdaki gibi vektör formunda ifade edlebilir.

2 2 (     ) .ur  ur  ur 0 (3.4) Burada (3.5) r r ur u er u e_{ }r

Helmholtz ayırma teoremi kullanılarak ur yerdeğiştirme vektörü (r,) skaler ve

 

r,

 

r, e_z

r    r vektörel potansiyel fonksiyonları cinsinden aşağıdaki yapıda yazılabilir.



_z



(3.6)

ur    r r er

Burada tek çözüm elde edilebilmesi için r vektörel potansiyelinin diverjansı sıfır olmalıdır.



e_z



0

r r 

Potansiyel fonksiyonlarla yazılan yer değiştirme vektörüne ait (3.6) ifadesi (3.4) Navier denkleminde yerine yazılıp gerekli işlemlerden sonra aşağıdaki indirgenmiş dalga denklemleri elde edilir.

2 2 1 2 2 2 0 (3.7.a) 0 (3.7.b) k k           1 1 2 2

/ Boyuna dalga sayısı,

/ Enine dalga sayısı,

k c k c    





1 2 2 Boyuna dalga hızı, Enine dalga hızı, c c        

Yer değiştirme vektörünün kutupsal koordinatlardaki bileşenleri (3.6) ifadesi kullanılarak potansiyel fonksiyonlar cinsinden aşağıdaki gibi elde edilir.

1 (3.8.a) 1 (3.8.b) r u r r u r r                    .

Gerilme yer değiştirme bağıntılarının kutupsal koordinatlardaki ifadesi aşağıdaki gibidir.









2 (3.9.a) 1 2 (3.9.b) (3.9.c) r rr r r r r r u u u r r u u u r r u u r u r r                           _  _            _  _          _   _     3.2. Çözüm

Çarpanlara ayırma yönteminin kullanılmasıyla (3.7) hareket denklemlerinin çözümü Bessel –trigonometrik fonksiyonlar serisi olarak aşağıdaki gibi elde edilmektedir.









1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( ( ) ( )) cos ( ( ) ( )) sin ( , ) ( ( ) ( )) cos ( ( ) ( )) sin n n n n n n n n n n n n n n n n n n r J k r Y k r n J k r Y k r n r J k r Y k r n J k r Y k r n                    





A B C D E F G H

n tam sayı olduğundan, J_n 

 

1 nJ_n, Y_n  

 

1 nY_n Bessel fonksiyonlarının tanımları kullanılarak bu sonsuz serileri - yerine sıfırdan başlatmak mümkündür. Böylece 

 

r, ve 

 

r, fonksiyon serileri aşağıdaki şekli alır.









1 1 1 1 0 2 2 2 2 0

( , ) ( ( ) ( )) cos ( ( ) ( )) sin (3.10.a)

( , ) ( ( ) ( )) cos ( ( ) ( )) sin (3.10.b) n n n n n n n n n n n n n n n n n n r A J k r B Y k r n C J k r D Y k r n r E J k r F Y k r n G J k r H Y k r n                    





Burada A B C D E F G H_n, _n, _n, _n, _n, _n, _n, _n bilinmeyen değişmezler olup, sınır koşullarının sağlatılmasıyla elde edilecektir.

(3.10) ifadeleri (3.8) de yerine yazılırsa aşağıdaki yer değiştirme ifadeleri elde edilir.

1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin r n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u A J k r k J k r B Y k r k Y k r r r n n G J k r H Y k r n r r n n C J k r k J k r D Y k r k Y k r r r n n E J k r F Y k r n r r               _{ }  _ _  _               _{ }  _ _  _        _



(3.11.a)   

1 1 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u A J k r B Y k r G J k r k J k r r r r n H Y k r k Y k r n r n n n C J k r D Y k r E J k r k J k r r r r n F Y k r k Y k r n r             _   _  _         _  _      _   _  _        _  _  



(3.11.b) _ 

Yer değiştirmelere ait (3.11) bağıntılarını, (3.9) gerilme yer değiştirme bağıntılarında yerine yazarsak gerilmelerin kutupsal koordinatlardaki bileşenleri aşağıdaki gibi olur.

























2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 0.5 ( ) ( ) rr n n n n n n n n n n n n n n n n A n n k r J k r k rJ k r r B n n k r Y k r k rY k r G n n J k r nk rJ k r H n n Y k r nk rY k r n C n n k r J k r k rJ k r            _{ }  _{ }    _     _    _    _   _    _   _    



















2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin (3.12.a) n n n n n n n n n D n n k r Y k r k rY k r E n n J k r nk rJ k r F n n Y k r nk rY k r n           _    _    _    _     _    _{ } 





















2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 0 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 0.5 n n n n n n n n n n n n n n A n n k r k r J k r k rJ k r r B n n k r k r Y k r k rY k r G n n J k r nk rJ k r H n n Y k r nk rY k r n C n n k r k            _{ }  _{ }      _     _      _    _    _    _    _     























2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin (3.12.b) n n n n n n n n n n n r J k r k rJ k r D n n k r k r Y k r k rY k r E n n J k r nk rJ k r F n n Y k r nk rY k r n      _       _      _    _   _     _   _{ } 



























2 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) sin ( ) ( ) r n n n n n n n n n n n n n A n n J k r nk rJ k r r B n n Y k r nk rY k r G n n k r J k r k rJ k r H n n k r Y k r k rY k r n C n n J k r nk rJ k r            _{ }  _{ }    _    _    _    _     _    _     _    _   _













2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) cos (3.12.c) n n n n n n E n n k r J k r k rJ k r F n n k r Y k r k rY k r n      _     _     _     _{ } 

Yer değiştirmelerin ve gerilmelerin kartezyen koordinatlardaki değerleri kutupsal koordinatlardaki değerleri cinsinden aşağıdaki dönüşüm formülleri yardımıyla elde edilir.

cos sin (3.13.a)

sin cos (3.13.b)

cos 2 sin 2 (3.14.a)

2 2 cos 2 sin 2 (3.14.b) 2 2 sin 2 cos 2 (3.14.c) 2 x r y r rr rr xx r rr rr yy r rr xy r u u u u u u                                                     

(3.12) bağıntılarını (3.14) bağıntılarında yerine koyup gerekli düzenlemeler yapılırsa kartezyen koordinatlarında  _xx, _yy ve _xy gerilmeleri için Bessel ve trigonometrik fonksiyonlara bağlı aşağıdaki ifadeler elde edilir,





 





 

 









 

 







 





 

 









 

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0.5 0.5 0.5

cos 2 cos sin 2 sin

0.5 0.5 0.5 cos 2 cos xx n n n r n n n n n n n r n n A k r k r J k r n n k r J k k rJ k r r n n n J k r nk rJ k r n B k r k r Y k r n n k r Y k k rY k r n n n Y k r                  _    _     _  _     _  _    _   



 







 

 







 

 







 

 







 

 



1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 2 sin cos 2 cos 0.5 sin 2 sin cos 2 cos 0.5 sin 2 sin 0.5 n n n n n n n n n n n n nk rY k r n G n n J k r nk rJ k r n n n k r J k r k rJ k r n H n n Y k r nk rY k r n n n k r Y k r k rY k r n C k                 _       _   _      _  _    _   _      _  _ 







 





 

 







 

 







 





 

 









 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0.5 0.5

cos 2 sin sin 2 cos

0.5 0.5 0.5

cos 2 sin sin 2

n n r n n n n n n r n n n r k r J k r n n k r J k k rJ k r n n n J k r nk rJ k r n D k r k r Y k r n n k r Y k k rY k r n n n Y k r nk rY k r             _    _    _   _     _  _    _   _   _







 

 







 

 







 

 



2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 cos cos 2 sin 0.5 sin 2 cos cos 2 sin n n n n n n E n n J k r nk rJ k r n n n k r J k r k rJ k r n F n n Y k r nk rY k r n               _    _      _  _    _    _





 





 

 









 

 







 





 

 









 

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0.5 0.5 0.5

cos 2 cos sin 2 sin

0.5 0.5 0.5 cos 2 cos yy n n n r n n n n n n n r n n A k r k r J k r n n k r J k k rJ k r r n n n J k r nk rJ k r n B k r k r Y k r n n k r Y k k rY k r n n n Y k r                  _    _     _  _     _  _    _   



 







 

 







 

 







 

 







 

 



1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 2 sin cos 2 cos 0.5 sin 2 sin cos 2 cos 0.5 sin 2 sin 0.5 n n n n n n n n n n n n nk rY k r n G n n J k r nk rJ k r n n n k r J k r k rJ k r n H n n Y k r nk rY k r n n n k r Y k r k rY k r n C k                 _       _   _      _  _    _   _      _  _ 







 





 

 







 

 







 





 

 









 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0.5 0.5

cos 2 sin sin 2 cos

0.5 0.5 0.5

cos 2 sin sin 2

n n r n n n n n n r n n n r k r J k r n n k r J k k rJ k r n n n J k r nk rJ k r n D k r k r Y k r n n k r Y k k rY k r n n n Y k r nk rY k r             _    _    _   _     _  _    _   _   _







 

 







 

 







 

 







 

 



2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos cos 2 sin 0.5 sin 2 cos cos 2 sin 0.5 sin 2 cos (3.15.b) n n n n n n n n n n n E n n J k r nk rJ k r n n n k r J k r k rJ k r n F n n Y k r nk rY k r n n n k r Y k r k rY k r n                  _    _      _  _    _    _      _  _





 

 







 

 







 

 







 

 







 

2 2 2 1 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 0.5 sin 2 cos cos 2 sin 0.5 sin 2 cos cos 2 sin xy n n n n n n n n n n n n n n A n n k r J k r k rJ k r n r n n J k r nk rJ k r n B n n k r Y k r k rY k r n n n Y k r nk rY k r n G n n J k r nk rJ k                     _    _     _  _    _    _     _  _   



 







 

 







 

 







 

 







 

 







 

2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 sin 2 cos 0.5 cos 2 sin sin 2 cos 0.5 cos 2 sin 0.5 sin 2 sin n n n n n n n n n n n r n n n k r J k r k rJ k r n H n n Y k r nk rY k r n n n k r Y k r k rY k r n C n n k r J k r k rJ k r n n n J k r                        _  _    _   _      _  _    _    _  

 







 

 







 

 







 

 







 

 







1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 cos 2 cos 0.5 sin 2 sin cos 2 cos sin 2 sin 0.5 cos 2 cos n n n n n n n n n n n n nk rJ k r n D n n k r Y k r k rY k r n n n Y k r nk rY k r n E n n J k r nk rJ k r n n n k r J k r k rJ k r n F n n                        _    _   _   _    _    _      _  _ 



   Y k rn

 

₂ nk rY₂ n₁

 

k r₂ sin 2 sin n

3.3.Sınır Koşullarının Sağlatılması

Çözümde kullanılan Bessel ve trigonometrik serilerindeki n sayısı sayısal işlemlerde sonlu bir N sayısına kadar alınabilir. Ayrıca ikinci neviden Bessel fonksiyonu olan Yn

özellikle küçük argümanlarda, büyük indisler için çok büyük değerler aldığından N sayısı belli bir değerin üzerinde alınamamaktadır.

3.3.1. Silindirik boşluğun iç yüzeyindeki sınır koşulları

Silindirik boşluğun iç yüzeyinde ’nın her değeri için _r kayma gerilmesi, ₀ kayma gerilmesine, _rr radyal gerilmesi de sıfıra eşit olmalıdır. Buna göre,

0 0 rr r r a r a        

|

|

























2 2 2 2 1 1 1 1 2 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 0.5 ( ) ( ) rr n n n n n n n n n n n n n n n n A n n k r J k r k rJ k r r B n n k r Y k r k rY k r G n n J k r nk rJ k r H n n Y k r nk rY k r n C n n k r J k r k rJ k r            _{ }  _{ }    _     _    _    _   _    _   _    



















2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 0 (3.16) n n n n n n n n n D n n k r Y k r k rY k r E n n J k r nk rJ k r F n n Y k r nk rY k r n           _    _    _    _     _    _{ } 

(3.16) denkleminin’nın her değerinde sağlanabilmesi için n ’nin her değerinde

cos n ve sin n’nın çarpanı sıfıra eşit olmalıdır. Buna göre (3.16) ifadesinden,







2 2



2 2





0 2 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 0 için: 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0 (3.17) n n n A k a J k a k aJ k a B k a Y k a k aY k a   _{ } _  _{ }  _    





















2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 0 için: 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1, 2,.., (3.18) n n n n n n n n n n n n n A n n k a J k a k aJ k a B n n k a Y k a k aY k a G n n J k a nk aJ k a H n n Y k a nk aY k a n N       _{  }       _    _    _   _    _   _  





















2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1, 2,.., n n n n n n n n n n n n C n n k a J k a k aJ k a D n n k a Y k a k aY k a E n n J k a nk aJ k a F n n Y k a nk aY k a n N        _    _    _    _    _    _    _    _  



























2 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) sin ( ) ( ) r n n n n n n n n n n n n n n n n A n n J k r nk rJ k r r B n n Y k r nk rY k r G n n k r J k r k rJ k r H n n k r Y k r k rY k r n C n n J k r nk rJ k r             _{ }  _{ }    _     _    _    _     _    _     _    _   _

















2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) cos (3.20) n n n n n n n n n D n n Y k r nk rY k r E n n k r J k r k rJ k r F n n k r Y k r k rY k r n        _   _    _     _     _     _{ } 

(3.20) denkleminin ’ nın her değerinde sağlanabilmesi içincos n’ nın çarpanı olan

ifade n0 da ₀’ a eşit olmalı, n ’ nin diğer bütün değerlerindecosn ve sinn’ nın çarpanı sıfıra eşit olmalıdır. Buna göre (3.20) ifadesinden,



2 2





2 2





0 2 0 2 2 1 2 0 2 0 2 2 1 2 0 0 için: 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) (3.21) n E k a J k a k aJ k a F k a Y k a k aY k a        _  _ _  _ 





















2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 için: ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0 1, 2,.., (3.22) n n n n n n n n n n n n n A n n J k a nk aJ k a B n n Y k a nk aY k a G n n k a J k a k aJ k a H n n k a Y k a k aY k a n N                _    _    _     _    _     _  



















2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0 1, 2,.., (3.23) 2N+1adet denklem elde edilir.

n n n n n n n n n n n n C n n J k a nk aJ k a D n n Y k a nk aY k a E n n k a J k a k aJ k a F n n k a Y k a k aY k a n N        _   _    _   _    _     _    _     _ 

Seri çözümlerde pratik olarak sonsuz terim alınması mümkün olmamaktadır. Bununla beraber ikinci nevi Bessel fonksiyonları Yn özellikle büyük mertebelerinde

küçük argüman olması halinde sayısal işlemlerde sorun çıkarmaktadır. Bu nedenle seriler N gibi sonlu bir sayıda kesilmiştir. Bu durumda toplam bilinmeyen sayısı 8N+4 olmaktadır. Burada normal gerilmeye ait (3.16) ifadesinde 2N+1 ve kayma

3.3.2. Serbest yüzeydeki sınır koşulları

Şekil 3.3.1. Serbest yüzeydeki sınır koşulları.

Serbest yüzey üzerinde,

0 0 (3.24) xx xy x H x H      

|

|

olmalıdır.

Oyuk üzerindeki sınır koşulların sağlatılması sonucu geriye kalan 4N+2 adet bilinmeyen serbest yüzey üzerindeki (3.24) koşullarından sağlatılarak bulunacaktır. Ancak sonlu sayıda koşula ihtiyacımız olduğundan bu durumda (3.24) sınır koşullarının yüzeyin her noktasında sağlatılması mümkün değildir. Buradaki sınır koşullarının yerine “En Küçük Kareler Yöntemi” kullanılacaktır. En küçük kareler yöntemine göre, serbest yüzey üzerinde hesapla elde edilen ve sınırda verilen gerilmelerin farkının karelerinin toplamının minimum olması gerekmektedir.

a H x y r 0 xx   0 xy    

   





2



   



2 1 ˆ ˆ (3.25) M k k k k xx xx xy xy k d         _    _  



Burada M serbest yüzey üzerinde alınan nokta sayısını, xx(k) ve xy(k) serbest yüzeyde

herhangi bir k noktasında hesaplanan gerilme bileşenlerini, ˆ_xx k veˆ_xy k ise serbest yüzeye herhangi bir k noktasında dışardan etkiyen gerilme bileşenlerini göstermektedir. Serbest yüzeyde gerilme etkimediği için ˆ _xxk veˆ _xyk her ikisi de sıfırdır. Kutupsal koordinatlarda yazmış olduğumuz (3.12.a) (3.12.c) gerilme bağıntılarının (3.14) dönüşüm formüllerinde kullanılması sonucu serbest yüzeydeki gerilme bileşenlerinin ifadeleri elde edilmiş olur. Serbest yüzey üzerindeki bu toplamı minimize etmek için geri kalan serbest bilinmeyenlere göre türev alırsak, (3.25) koşuldan aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.

                            1 1 1 2 0, 0,1, 2,..., 2 0, 1, 2,..., 2 0, 0,1, 2,..., 2 k k M k xx k xy xx xy k n n n k k M k xx k xy xx xy k n n n k k M k xx k xy xx xy k n n n k k xx xx n n d n N A A A d n N B B B d n N E E E d F F                   _{ }   _{   }    _   _  _{ }   _{   }    _   _  _{ }         _   _   _  







    1 0, 1, 2,..., (3.25) k M k xy xy k n n N F     _           



Yukarıdaki (3.25) bağıntılarından 4N+2 adet koşul elde edilir. Bu işlem sonunda 4N+2 bilinmeyen için 4N+2 denklem elde edilmiş olur. Bu cebirsel

4.SONUÇLAR

4.1.SAYISAL VERİLER

Harmonik iç zorlama etkisindeki silindirik oyuk bulunduran elastik yarım uzay ile ilgili sayısal işlem sonuçları bilgisayar yadımı ile çizilen çeşitli grafikler yardımıyla açıklanmaya çalışılmıştır.

Sayısal uygulamalarda kullanılan malzeme sabitleri ve harmonik zorlama genliği,  = 2665 kg/m3 , E =7.567x109 N/m2 ,  = 0,25 ,  =  =30268x105 N/m2

0 = 100000 N/m2

4.2. SAYISAL SONUÇLAR

Yukarıdaki veriler kullanılarak En Küçük Kareler yöntemi yardımı ve Mathematica 4.0 programı ile bilinmeyen katsayılar,  zorlama frekansı, ve H oyuk merkezinin derinliğinin çeşitli değerleri için sayısal olarak hesaplanmıştır. Bu hesap sonunucunda yer değiştirme ve gerilme bileşenlerinin değişimi aşağıdaki grafikler yardımı ile gösterilmiştir. Sayısal hesaplarda N 6 ve a5m olarak alınmıştır.

Şekil 4.1 ve 4.2 de =60 rad/sn, H=10 m için serbest yüzey üzerinde gerilme bileşenlerinin değişimi görülmektedir. Bu değerlerin sıfır olması gerekirken yapılan yaklaşık çözüm nedeniyle sıfırdan farklı sonuç elde edilmiştir. Ancak yapılan en büyük hata %13 mertebesindedir. Grafiklerden gerilmelerin en büyük değerlerinin delik çapının iki misli bir bölgede olduğu, uzaklaştıkça hızla söndüğü görülmektedir.

Şekil 4.3 ve 4.4 de =60 rad/sn, H=10 m için serbest yüzey üzerinde yer değiştirmelerin değişimi verilmektedir.

Şekil 4.5 ve 4.6 da =60 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyinde _rrve_r gerilme bileşenlerinin değişimi verilmektedir. Grafiklerden sınır koşullarının tam olarak sağlatıldığı görülmektedir.

Şekil 4.7 ve 4.8 de =60 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki yer değiştirmelerin değişimi verilmektedir.

Şekil 4.9 da =60 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki _ gerilmesinin değişimi verilmektedir.

Şekil 4.10 da =80 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki _ gerilmesinin değişimi verilmektedir.

Şekil 4.11 ve 4.12 de =80 rad/sn, H=10 m için serbest yüzey üzerinde gerilme bileşenlerinin değişimi görülmektedir. Burada da görüldüğü gibi hata en fazla %12 mertebesindedir.

Şekil 4.13 ve 4.14 de =80 rad/sn, H=10 m için serbest yüzey üzerinde yer değiştirmelerin değişimi verilmektedir. Görüldüğü gibi frekansın artması yer değiştirmeleri azaltmıştır.

Şekil 4.15 ve 4.16 de =80 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki yer değiştirmelerin değişimi verilmektedir. Burada da frekansın artmasıyla yer değiştirmeler azalmıştır. Şekil 4.17 ve 4.18 de =100 rad/sn, H=10 m için serbest yüzey üzerinde gerilme bileşenlerinin değişimi görülmektedir. Burada görüldüğü gibi hata en fazla %13 mertebesindedir.

Şekil 4.21 ve 4.22 de =100 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki yer değiştirmeler verilmiştir. Frekansın artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır.

Şekil 4.23 de =100 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki _ gerilmesinin değişimi verilmektedir.

Şekil 4.24 de =120 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki _ gerilmesinin değişimi verilmektedir.

Şekil 4.25 ve 4.26 da =120 rad/sn, H =10 m için serbest yüzey üzerinde gerilme bileşenlerinin değişimi görülmektedir. Burada görüldüğü gibi hata en fazla %14 mertebesindedir.

Şekil 4.27 ve 4.28 de =120 rad/sn, H=10 m için serbest yüzey üzerinde yer değtirmelerin değişimi verilmektedir. Frekansın artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır.

Şekil 4.29 ve 4.30 da =120 rad/sn, H=10 m için oyuk yüzeyindeki yer değiştirmeler verilmiştir. Frekansın artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır.

Şekil 4.31 ve 4.32 de =80 rad/sn, H =15 m için serbest yüzey üzerinde gerilme bileşenlerinin değişimi verilmektedir. Derinliğin artmasıyla hata azalmıştır. Görüldüğü gibi en fazla %6 mertebesindedir.

Şekil 4.33 ve 4.34 de =80 rad/sn, H=15 m için serbest yüzey üzerinde yer değiştirmelerin değişimi verilmektedir. Derinliğin artmasıyla yer değiştirmeler azalmıştır.

Şekil 4.35 ve 4.36 da =80 rad/sn, H=15 m için oyuk yüzeyindeki yer değiştirmeler verilmiştir. Derinliğin artmasıyla yer değiştirmeler azalmıştır.

Şekil 4.37 de =80 rad/sn, H=15 m için oyuk yüzeyindeki _ gerilmesi değişimi verilmektedir.