T.C.
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
MUTLAK TİPTE OLMAYAN BAZI YENİ FARK DİZİ
UZAYLARI ÜZERİNE
YÜKSEK LİSANS TEZİ
HÜSEYİN MUTOĞLU
T.C.
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
MUTLAK TİPTE OLMAYAN BAZI YENİ FARK DİZİ
UZAYLARI ÜZERİNE
YÜKSEK LİSANS TEZİ
HÜSEYİN MUTOĞLU
i
ÖZET
MUTLAK TİPTE OLMAYAN BAZI YENİ FARK DİZİ UZAYLARI ÜZERİNE
YÜKSEK LİSANS TEZİ HÜSEYİN MUTOĞLU
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
(TEZ DANIŞMANI:PROF.DR.MEHMET ALİ SARIGÖL) DENİZLİ, EKİM - 2018
Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde hazırlık amacıyla giriş verilmiştir.
İkinci bölümde diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde Mursaleen ve Noman (2010)’ın mutlak tipte olmayan ve BK- uzayı olan 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) dizi uzayları ifade edilerek bu uzayların sırasıyla 𝑐0 ve c uzaylarına lineer izomorf olduğu gösterilmiştir. Aynı zamanda bu uzaylarla ilgili bazı kapsama bağıntıları ile bunların dualleri ve bazları incelenmiştir.
Dördüncü bölümde ise 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) uzaylarını içeren bazı matris sınıfları karakterize edilmiştir.
ANAHTAR KELİMELER: Dizi uzayları, Dual uzaylar, Bazlar, Matris dönüşümleri
ii
ABSTRACT
ON SOME NEW DİFFERENCE SEQUENCE SPACES OF NON-ABSOLUTE TYPE
MSC THESIS
HÜSEYİNMUTOĞLU
PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATİCS
(SUPERVISOR:PROF.DR.MEHMET ALİ SARIGÖL) DENİZLİ, OCTOBER 2018
This thesis consists of four sections.
In the first chapter the introduction are stated for preparation.
In the second chapter the basic definitions used in other chapters are given. In the third chapter by expressing the spaces 𝑐0𝜆(Δ) and 𝑐𝜆(Δ) of Mursaleen ve Noman (2010) which are the BK-spaces of non-absolute type, it is shown that these spaces are linearly isomorphic to the spaces 𝑐0 ve c, respectively. Also, some inclusion relations about these spaces, their duals and bases are studied. In the fourth chapter some matrix classes concerning the spaces 𝑐0𝜆(Δ) and 𝑐𝜆(Δ) are characterized.
iii
İÇİNDEKİLER
Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii İÇİNDEKİLER ... iii SEMBOL LİSTESİ ... iv ÖNSÖZ ... v 1. GİRİŞ ... 11. TEMEL TANIMLAR VE LEMMALAR ... 3
2.1 Temel Tanımlar ... 3 2.2 Temel Lemmalar ... 8 3. FARK DİZİ UZAYLARI ... 11 3.1 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) Dizi Uzayları ... 11 3.2 Kapsama Bağıntıları ... 15 3.3 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) Uzaylarının Bazları ... 18 3.4 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) Uzaylarının Dualleri ... 21 4. MATRİS DÖNÜŞÜMLERİ ... 26 4.1 Matris Dönüşümleri ... 26
4.2 Matris Alanlarına Uygulamaları ... 33
5. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 37
6. KAYNAKLAR ... 38
iv
SEMBOL LİSTESİ
𝒘 : Tüm reel veya kompleks terimli diziler uzayı
𝓕 : ℕ de bütün sonlu alt kümelerin koleksiyonu
C : Yakınsak diziler uzayı
𝐜𝟎 : Sıfır diziler uzayı
𝒍∞ : Sınırlı diziler uzayı
𝒍𝟏 : Mutlak yakınsak seriler uzayı
𝒍𝒑 : p. dereceden mutlak yakınsak seriler uzayı
bv : Sınırlı salınımlı diziler uzayı
bs : Sınırlı seriler uzayı
cs : Yakınsak seriler uzayı
𝑵𝒒 : Nörlund dönüşümü veya matrisi
𝑪𝟏 : Cesàro dönüşümü veya matrisi
𝑹𝒕 :Riesz dönüşümü veya matrisi
𝑬𝒓 : Euler dönüşümü veya matrisi
A(x) : x’in dizisinin A-dönüşümü
(X:Y) : X ‘den Y ‘ye olan bütün matrislerin sınıfı
𝑿𝑨 : A matrisinin X uzayı içindeki toplama alanı
‖. ‖𝐗 : X uzayı üzerindeki norm
𝑿𝜶 : X dizi uzayının α- duali
𝑿𝜷 : X dizi uzayının 𝛽- duali 𝑿𝜸 : X dizi uzayının 𝛾- duali
v
ÖNSÖZ
Bu tez çalışması Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans programında hazırlanmıştır.
Çalışma konusunun belirlenmesinde ve çalışmanın hazırlanma sürecinin her aşamasında bilgisini, tecrübesini ve değerli zamanını esirgemeyerek bana her zaman yardımcı olan değerli hocam Sayın Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL’e teşekkürü bir borç bilirim.
Ayrıca tüm hayatım boyunca bana her zaman destek olan sevgili Anneme ve arkadaşlarıma en içten teşekkürlerimi sunarım.
1
1. GİRİŞ
Dizi veya seri kavramı Matematiğin en temel kavramlarından biridir. Seriler 17. ve 18. yüzyıl boyunca incelenmiş ve kullanılmıştır. Dönemin matematikçileri bu gün iyi bilinen yakınsaklık kavramının tanımlanmadığı periyotta rastgele dört işlemler yaparak serilerin toplamıyla ilgili çelişkili sonuçlar elde etmiş ve bu çelişkilerin üstesinden uzun süre gelememişlerdir. Gauss (1777-1855)’un kesirli bir 𝑛 sayısı için (1+x)n
ifadesinin serisel açılımını veren Binom teoremi ile mevcut çelişkilerin bir kısmının üstesinden gelinmiştir. Bu konunun öncü araştırmacılarından olan Cauchy (1789-1857) günümüzde halen kullanılan dizinin (serinin) yakınsaklık tanımını formülüze etmiştir. Cauchy’nin tanımı o dönemdeki birçok belirsizliği ortadan kaldırmasına rağmen beraberinde şu problemin doğmasına neden olmuştur: Acaba yakınsak olmayan seriler yani ıraksak seriler toplanabilir mi veya ıraksak seriye bir toplam karşılık getirilebilir miydi? Bu sorunun cevabı yakınsaklık kavramının genişletilmesiyle verilmiştir. Böylece toplanabilme teorisi doğmuştur. (Powel ve Shah 1988). Bu konuda öncü birçok dönüşüm kullanılmıştır. Abel, Ces𝑎̀ro, Riesz, Nörlund, Borel, Hölder, Hausdorff ve Euler dönüşümleri ilk akla gelenleridir. Örneğin, Euler
1 + 𝑥 + 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛 = 1
1−𝑥 (|x| < 1) formülünde 𝑥 = −1 koyarak
1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ =1 2
eşitliğini elde etmiştir. Bu ise esasında Cauchy anlamında yanlıştır, çünkü eşitliğin solundaki seri ıraksaktır. Ancak, serinin (𝑠𝑛) kısmi toplamlar dizisinin 1. mertebeden Ces𝑎̀ro ortalaması ile elde edilen dönüşüm dizisi
𝑡𝑛 = 1 𝑛 + 1∑ 𝑠𝑣 𝑛 𝑣=0 =1 2+ 1 4(𝑛 + 1)[1 + (−1) 𝑛]
olup bu dizi 1/2 sayısına yakınsaktır. Şu halde yukarıdaki ıraksak serinin bu metotla toplamı 1/2’dir. Bu örnek ıraksak serilerin toplanabileceğini göstermesi açısından büyük önem taşımasının yanında toplanabilme teorisinin doğmasıyla ilgili mihenk taşlarından biridir.
Dikkat edilirse sözü edilen dönüşüm bir lineer dönüşümdür ve bu dönüşüme aynı zamanda
2 𝑎𝑛𝑘 = { 1 𝑛 + 1 ; (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) 0 ; (𝑘 > 𝑛)
sonsuz matrisi karşılık gelmektedir. Bu örnekte olduğu gibi diziler arasındaki lineer dönüşümlere genel olarak sonsuz matrisler karşılık geldiğinden en önemli dönüşüm türleri matris dönüşümleridir. Bu kavramı ifade etmek gerekirse 𝑋 ile 𝑌 iki dizi uzayı ve 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) kompleks terimli sonsuz bir matris olsun. Eğer her 𝑛 ∈ ℕ için
𝐴𝑛(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑘𝑥𝑘 ∞
𝑘=0
(𝑛 ∈ ℕ)
serisi yakınsak ise 𝐴(𝑥) = (𝐴𝑛(𝑥)) dizisine 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑋 dizisinin dönüşüm dizisi denir. Eğer her 𝑥 ∈ 𝑋 için 𝐴(𝑥) ∈ 𝑌 ise A ya 𝑋 den 𝑌 ye matris dönüşümü denir ve X den Y ye olan bütün matris dönüşümlerinin sınıfı (𝑋, 𝑌) ile gösterilir. Bu bağlamda son yıllarda özel matris dönüşümlerinin toplama alanları göz önüne alınarak bir çok dizi ve seri uzayı tanımlanmış bunların cebirsel ve topolojik yapıları ile matris dönüşümleri incelenmiştir. Bu konuda önemli araştırma yapan bazı yazarlar Wang (1978), Ng ve Lee (1978), Malkowsky (1997), Altay ve Başar (2002, 2005), Altay, Başar ve Mursaleen (2006), Aydın ve Başar (2004, 2005), Şengönül ve Başar (2005), Sarıgöl (2011), Hazar ve Sarıgöl (2018, 2018), Gökçe ve Sarıgöl (2018) vb sayılabilir.
Bu çalışmada Mursaleen ve Noman (2010) tarafından verilen mutlak tipte
olmayan 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) dizi uzayları ile bunların izomorfi, dual ve baz gibi cebirsel ve topolojik özelliklerini inceleyeceğiz. Aynı zamanda bazı kapsama bağıntıları ile bu uzaylar üzerinde tanımlı belirli matris dönüşümlerinin karakterizasyonlarını vereceğiz.
3
2. TEMEL TANIMLAR VE LEMMALAR
Bu bölümde, bundan sonraki bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar ve lemmalar verilmiştir.
2.1 Temel Tanımlar
2.1.1 Tanım Boş olmayan bir X cümlesi, reel veya kompleks sayıların bir F cismi ve
𝑇: 𝑋 × 𝑋 → 𝑋 ve 𝑆: 𝐹 × 𝑋 → 𝑋
fonksiyonları verilmiş olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa X ‘e F cismi üzerinde bir lineer uzay veya vektör uzayı denir.
1. 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 işlemine göre 𝑋 kümesi değişmeli gruptur yani ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 için 𝑖. 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑋
𝑖𝑖. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
𝑖𝑖𝑖. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
𝑖𝑣. 𝑥 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑥 = 𝑥 olacak şekilde bir tek 𝑒 ∈ 𝑋 birim elemanı vardır. 𝑣. ∀𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑥 + (−𝑥) = 𝑒 olacak şekilde bir tek −𝑥 ∈ 𝑋 mevcuttur. 2. 𝑆(𝛼, 𝑥) = 𝛼 ∗ 𝑥 skalerle çarpma işlemi göre, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 ve ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹 için 𝑖. 𝛼 ∗ 𝑥 ∈ 𝑋
𝑖𝑖. (𝛼 + 𝛽) ∗ 𝑥 = 𝛼 ∗ 𝑥 + 𝛽 ∗ 𝑥 𝑖𝑖𝑖. (𝛼 ∗ 𝛽) ∗ 𝑥 = 𝛼 ∗ (𝛽 ∗ 𝑥) 𝑖𝑣. 1. 𝑥 = 𝑥
4
2.1.2 Tanım X boştan farklı bir küme ve 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → 𝐹 fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑌 için
(𝑀1) ∶ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦 (𝑀2) ∶ 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) (𝑀3) ∶ 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)
şartları sağlanıyorsa d’ye metrik, X’ e metrik uzay denir ve (X,d) ile gösterilir.
2.1.3 Tanım (𝑋, 𝑑) bir metrik uzay ve 𝑥 = (𝑥𝑛) bu uzayda bir dizi olsun. Eğer her 𝜀 > 0 için 𝑛, 𝑚 > 𝑁 olduğunda
𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜀
olacak şekilde bir 𝑁 = 𝑁(𝜀) sayısı varsa 𝑥 = (𝑥𝑛) dizisine (𝑋, 𝑑) metrik uzayında Cauchy dizisi denir.
X deki her 𝑥 = (𝑥𝑛) Cauchy dizisi yakınsak ise (𝑋, 𝑑) metrik uzayına tam metrik uzay veya kısaca tam uzay denir.
2.1.4 Tanım X, F cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer ‖. ‖ ∶ 𝑋 → ℝ fonksiyonu ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 ve ∀𝛼 ∈ 𝐹 için
(𝑁1) ∶ ‖𝑥‖ = 0 ⟺ 𝑥 = 𝜃 (𝑁2) ∶ ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|. ‖𝑥‖ (𝑁3) ∶ ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖
şartlarını sağlıyorsa ‖. ‖ fonksiyonuna X üzerinde bir norm, (𝑋, ‖. ‖) ikilisine de normlu lineer uzay denir.
5
2.1.5 Tanım X normlu bir uzay ve (bn) bu uzayda bir dizi olsun. Eğer her 𝑥 ∈ 𝑋 için
lim
𝑛 ‖𝑥 − (𝛼0𝑏0+ 𝛼1𝑏1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑏𝑛)‖ = 0
olacak şekilde skalerlerin bir tek (𝛼𝑛) dizisi bulunabiliyorsa (𝑏𝑛)’e X uzayı için Schauder bazı (veya kısaca baz) adı verilir ve 𝑥 = ∑ 𝛼𝑘𝑏𝑘 şeklinde yazılır
2.1.6 Tanım X ve Y aynı F cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. Eğer ∀ 𝛼 , 𝛽 ∈ 𝐹 ve ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 için
𝐴(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) = 𝛼𝐴(𝑥) + 𝛽𝐴(𝑦)
şartı sağlanıyorsa 𝐴: 𝑋 → 𝑌 dönüşümüne bir lineer dönüşüm (veya lineer operatör) denir.
Özel olarak kompleks değerli lineer dönüşümlere lineer fonksiyonel adı verilir.
2.1.7 Tanım X ve Y iki normlu uzay ve 𝑇: 𝑋 → 𝑌 lineer dönüşümü olsun. Eğer ∀𝑥 ∈ 𝑋 için
‖𝑇(𝑥)‖𝑌 ≤ 𝑀. ‖𝑥‖𝑋
olacak şekilde 𝑀 > 0 sayısı varsa T’ye sınırlı lineer dönüşüm denir. Bir sınırlı lineer dönüşümün normu ‖𝑇‖ = sup 𝑥≠𝜃 ‖𝑇(𝑥)‖𝑌 ‖𝑥‖𝑋 ile tanımlanır.
2.1.8 Tanım 𝑤 kompleks terimli bütün dizilerin uzayı, X ve Y , 𝑤’nin keyfi iki alt kümesi ve 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) , reel veya kompleks terimli sonsuz matrisi olsun. Eğer 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑋 dizisi için
6 𝐴𝑛(𝑥) = ∑𝑎𝑛𝑘𝑥𝑘
𝑘
(𝑛 ∈ ℕ)
serisi yakınsak ise 𝐴𝑥 = {𝐴𝑛(𝑥)} ’e 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑋 dizisinin A-dönüşümü denir. Aynı zamanda her 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑋 için 𝐴𝑥 = {𝐴𝑛(𝑥)} ∈ 𝑌 ise A’ya X’ten Y’ye bir matris dönüşümü denir ve 𝐴: 𝑋 → 𝑌 şeklinde gösterilir.
2.1.9 Tanım X dizi uzayı ve A sonsuz bir matris olsun. Bu durumda
𝑋𝐴 = {𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑤 ∶ 𝐴𝑥 ∈ 𝑋} biçiminde tanımlı kümeye A matrisinin X uzayındaki toplama alanı adı verilir.
Dikkat edelim ki, 𝑋𝐴 bir dizi uzayıdır.
2.1.10 Tanım X ve Y iki dizi uzayı olsun. Bu durumda
𝑀(𝑋, 𝑌) = {𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ 𝑤: Her 𝑥 ∈ 𝑋 için 𝑎𝑥 = (𝑎𝑘𝑥𝑘) ∈ 𝑌}
biçiminde tanımlanan 𝑀(𝑋, 𝑌) kümesine X ve Y uzaylarının çarpım uzayı adı verilir. Tanımdan açık olarak görüldüğü gibi 𝑌 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑋 ise 𝑀(𝑋, 𝑌) ⊂ 𝑀(𝑋, 𝑍) ve 𝑀(𝑋, 𝑌) ⊂ 𝑀(𝑍, 𝑌) dır. Öte yandan 𝑋𝛼 = 𝑀(𝑋, 𝑙 1) = {𝑎 ∈ 𝑤: ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 için ∑|𝑎𝑘𝑥𝑘| 𝑘 < ∞} 𝑋𝛽 = 𝑀(𝑋, cs) = {𝑎 ∈ 𝑤: ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 için ∑𝑎 𝑘𝑥𝑘 𝑘 yakınsaktır} 𝑋 𝛾 = 𝑀(𝑋, bs) = {𝑎 ∈ 𝑤: ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 için sup 𝑛 |∑𝑎𝑘𝑥𝑘 𝑛 𝑘=1 | < ∞} kümelerine sırasıyla X kümesinin 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 duali adı verilir.
2.1.11 Tanım X bir dizi uzayı ve ℕ = {0,1,2, … } olsun. Eğer E bir Banach uzayı ve 𝑝𝑖(𝑥) = 𝑥𝑖 olarak tanımlanan 𝑝𝑖: 𝑋 → ℂ koordinat dönüşümü sürekli ise X’ e BK-uzayı denir.
7
Bütün sınırlı, yakınsak ve sıfıra yakınsayan dizilerin uzayını sırasıyla 𝑙∞, 𝑐, 𝑐0 ile gösterelim, yani
𝑙∞= {𝑥 ∈ 𝑤: sup
𝑘 |𝑥𝑘| < ∞ } 𝑐 = {𝑥 ∈ 𝑤: (𝑥𝑘) yakınsak } 𝑐0 = {𝑥 ∈ 𝑤: 𝑥𝑘 → 0 (𝑘 → ∞) } olsun. Bu uzaylar aynı zamanda
‖𝑥‖𝑙∞ = sup
𝑘 |𝑥𝑘| normu ile BK-uzaydırlar.
Ayrıca 1 ≤ 𝑝 < ∞ için p. dereceden mutlak yakınsak serilerin uzayını 𝑙𝑝 ile göstereceğiz, yani 𝑙𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑤: ∑|𝑥𝑘|𝑝 𝑘 < ∞ } olacaktır. Bu uzay ‖𝑥‖𝑙𝑝 = (∑|𝑥𝑘|𝑝 𝑘 ) 1 𝑝 ⁄ (1 ≤ 𝑝 < ∞) normuyla BK-uzaydır.
Gösterimin basitliği için burada ve takip eden kısımlarda toplamlar 0 dan ∞′a alınacaktır.
Aynı şekilde kısmi toplamlar dizileri sınırlı ve yakınsak bütün dizilerin uzayını sırasıyla 𝑏𝑠 ve 𝑐𝑠 ile göstereceğiz. Bu durumda
𝑏𝑠 = {𝑥 ∈ 𝑤: sup 𝑘 |∑ 𝑥𝑛 𝑘 𝑛=1 | < ∞ } 𝑐𝑠 = {𝑥 ∈ 𝑤: lim 𝑘 ∑ 𝑥𝑛 𝑘 𝑛=1 mevcut }
8 olup ‖𝑥‖𝑏𝑠 = sup 𝑘 |∑ 𝑥𝑛 𝑘 𝑛=1 | ‖𝑥‖𝑐𝑠= sup 𝑘 |∑ 𝑥𝑛 𝑘 𝑛=1 |
normlarına göre normlu uzaylardır.
2.2 Temel Lemmalar
Aşağıdaki matris sınıflarının karakterizasyonları ile ilgili lemmalar ispatlarımızda önemli rol oynayacaktır.
2.2.1 Lemma 𝐴 ∈ (𝑙∞∶ 𝑐0) ⇔ lim 𝑛 ∑|𝑎𝑛𝑘| 𝑘 = 0 (Stieglitz ve Tietz 1977). 2.2.2 Lemma 𝐴 ∈ (𝑐0 ∶ 𝑙1) = (𝑐 ∶ 𝑙1) ⟺ sup 𝐾∈ℱ ∑ |∑ 𝑎𝑛𝑘 𝑘∈𝐾 | 𝑛 < ∞ (Stieglitz ve Tietz 1977).
9 2.2.3 Lemma
𝐴 ∈ (𝑐0 : 𝑐) ⟺ {
Her 𝑘 ∈ ℕ için lim
𝑛 𝑎𝑛𝑘 mevcut (2.1) sup 𝑛 ∑|𝑎𝑛𝑘| 𝑘 < ∞ (2.2) (Stieglitz ve Tietz 1977). 2.2.4 Lemma 𝐴 ∈ (𝑐 : 𝑐) ⟺ { (2.1), (2.2) sağlanır ve lim 𝑛 ∑ 𝑎𝑛𝑘 𝑘 mevcuttur (2.3) (Stieglitz ve Tietz 1977). 2.2.5 Lemma 𝐴 ∈ (𝑐0 ∶ 𝑙∞) = (𝑐 ∶ 𝑙∞) ⟺ (2.2) sağlanır (Stieglitz ve Tietz 1977). 2.2.6 Lemma
10 2.2.7 Lemma 𝐴 ∈ (𝑐 ∶ 𝑙𝑝) ⇔ sup 𝐹∈ℱ ∑ |∑ 𝑎𝑛𝑘 𝑘∈𝐹 | 𝑝 𝑛 < ∞ (1 ≤ 𝑝 < ∞) (Stieglitz ve Tietz 1977). 2.2.8 Lemma 𝐴 ∈ (𝑐 ∶ 𝑐0) ⇔ { sup 𝑛 ∑|𝑎𝑛𝑘 | 𝑘 < ∞ (2.4) lim 𝑛 𝑎𝑛𝑘 = 0 (Her 𝑘 ∈ ℕ için ) (2.5) lim 𝑛 ∑ 𝑎𝑛𝑘 𝑘 = 0 (2.6) (Stieglitz ve Tietz 1977). 2.2.9 Lemma 𝐴 ∈ (𝑐0 ∶ 𝑐0) ⇔ (2.4) ve (2.5) sağlanır (Stieglitz ve Tietz 1977).
11
3. Fark Dizi Uzayları
Bu kısımda Mursaleen ve Noman tarafından verilen bazı fark dizi uzaylarını ifade ederek bu uzayların mutlak tipte olmadığını, BK-uzayı olduğunu ve sırasıyla 𝑐0 ve 𝑐 uzaylarıyla lineer izomorf olduğunu göstereceğiz.
Tez çalışmamız boyunca 𝜆 = (𝜆𝑘)𝑘=0∞ dizisinin pozitif reel sayıların kesin artan ve ∞′a gittiğini yani
0 < 𝜆0< 𝜆1 < ⋯ ve 𝑘 → ∞ için 𝜆𝑘 → ∞ (3.1) olduğunu varsayacağız.
3.1 𝒄𝟎𝝀(𝚫) 𝐯𝐞 𝒄𝝀(𝚫) Dizi Uzayları
Son zamanlarda Mursaleen ve Noman (2010) tarafından 𝑐0𝜆 = {𝑥 = (𝑥 𝑘) ∈ 𝑤 ∶ lim 𝑛 1 𝜆𝑛 ∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). 𝑥𝑘 = 0 𝑛 𝑘=0 } ve 𝑐𝜆 = {𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑤 ∶ lim 𝑛 1 𝜆𝑛∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). 𝑥𝑘 𝑛 𝑘=0 mevcut}
uzayları tanımlanarak bu uzaylar ile temel uzaylar arasında 𝑐0 ⊂ 𝑐0𝜆 , 𝑐 ⊂ 𝑐𝜆 ve 𝑐0𝜆 ⊂ 𝑐𝜆 kapsama ilişkilerinin bulunduğu gösterilmiştir.Şimdi aynı yazarlar tarafından türetilen ve bu uzayların devamı niteliğinde olan aşağıdaki uzayları göz önüne alalım: 𝑐0𝜆(Δ) = {𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑤 ∶ lim 𝑛 1 𝜆𝑛 ∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). (𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) = 0 𝑛 𝑘=0 } ve 𝑐𝜆(Δ) = {𝑥 = (𝑥 𝑘) ∈ 𝑤 ∶ lim𝑛 1 𝜆𝑛∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). (𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) 𝑛 𝑘=0 mevcut}
12
Burada negatif indisli terimler yani 𝜆−1 ve 𝑥−1 terimleri 0 dır.
Dikkat edelim ki, Δ fark operatörünü göstermek üzere yani her 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑤 için Δ𝑥 = (𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) olmak üzere toplama alanı gösterimiyle
𝑐0𝜆(Δ) = (𝑐0𝜆)Δ ve 𝑐𝜆(Δ) = (𝑐𝜆)Δ (3.2) yazılabilir. Dolayısıyla (3.2) nedeniyle 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) dizileri toplam ve skaler çarpım işlemlerine göre lineer uzaydır.
Öte yandan Λ̅ = (𝜆̅𝑛𝑘) matrisini 𝜆̅𝑛𝑘 = { (𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘) 𝜆𝑛 ; (𝑘 < 𝑛) 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛 ; (𝑘 = 𝑛) 0 ; (𝑘 > 𝑛) (3.3)
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda her 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑤 ve her 𝑛 ∈ ℕ için
Λ̅𝑛(𝑥) = 1 𝜆𝑛∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). (𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) 𝑛 𝑘=0 (3.4)
eşitliğinin sağlandığı kolayca gösterilebilir. Bu ise toplama alanı tanımından dolayı
𝑐0𝜆(Δ) = (𝑐0)Λ̅ ve 𝑐𝜆(Δ) = 𝑐Λ̅ (3.5)
eşitliğini verir.
Burada açıktır ki her 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ için 𝜆̅𝑛𝑛 ≠ 0 ve 𝜆̅𝑛𝑘 = 0 (𝑘 > 𝑛) olduğundan Λ̅ = (𝜆̅𝑛𝑘) bir üçgensel matristir.
Ayrıca herhangi bir 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑤 dizisinin Λ̅(x) − dönüşümünü 𝑦(𝜆) = {𝑦𝑘(𝜆)} ile göstereceğiz yani 𝑦(𝜆) = Λ̅(𝑥) alacağız ve bu eşitliği ileride sıkça kullanacağız. Bu durumda
13 𝑦𝑘(𝜆) = ∑(𝜆𝑗− 𝜆𝑗−1) − (𝜆𝑗+1− 𝜆𝑗) 𝜆𝑘 𝑥𝑗 𝑘−1 𝑗=0 +𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1 𝜆𝑘 𝑥𝑘 ; (𝑘 ∈ ℕ) (3.6)
olacaktır. Dolayısyla (3.4) ve (3.6) göz önüne alınırsa
𝑦𝑘(𝜆) = ∑ (𝜆𝑗 − 𝜆𝑗−1 𝜆𝑘 ) . (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1) 𝑘 𝑗=0 , (𝑘 ∈ ℕ) yazılabilir.
Bu ön hazırlıktan sonra 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) fark dizi uzaylarının BK-uzay olduğunu gösterelim:
3.1.1 Teorem 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) fark dizi uzayları ‖𝑥‖𝑐
0𝜆(Δ) = ‖𝑥‖𝑐𝜆(Δ) = supn |Λ̅(𝑥)|
normuyla BK-uzaydır.
İspat (3.5) ‘in sağlanması, 𝑐0 ve 𝑐 uzaylarının, doğal normlarına göre BK-uzayı ve Λ̅ nın bir üçgensel matris olması nedeniyle Wilansky (1984), Teorem 4.3.12 den 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) uzayları verilen normlarına göre BK-uzaydır. Bu, ispatı tamamlar.
Açıktır ki 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) fark dizi uzayları mutlak özellikleri sağlamaz yani bu uzaylardaki en az bir |𝑥| = (|𝑥𝑘|) dizisi
‖𝑥‖𝑐
0𝜆(Δ) ≠ ‖|𝑥|‖𝑐0𝜆(Δ) ve ‖𝑥‖𝑐𝜆(Δ) ≠ ‖|𝑥|‖𝑐𝜆(Δ)
dır.
Şimdi de bu uzayların sırasıyla 𝑐0 ve 𝑐 uzaylarına lineer izomorf olduğunu gösterelim:
3.1.2 Teorem Mutlak tipte olmayan 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐𝜆(Δ) fark dizi uzayları sırasıyla 𝑐0 ve 𝑐 uzaylarına lineer izomorftur yani
𝑐0𝜆(Δ) ≅ 𝑐0 𝑣𝑒 𝑐𝜆(Δ) ≅ c dir.
14 İspat İspat için 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐
0 uzayları arasında birebir, örten ve normu koruyan bir lineer dönüşümün varlığını göstermek yeterlidir. Bunun için 𝑐0𝜆(Δ) dan 𝑐0‘a (3.6) eşitliği ile tanımlı 𝑥 → 𝑦(𝜆) = 𝑇𝑥 dönüşümü göz önüne alalım. Bu durumda her 𝑥 ∈ 𝑐0𝜆(Δ) için
𝑇𝑥 = 𝑦(𝜆) = Λ̅(𝑥) ∈ 𝑐0
olur. T dönüşümünün lineerliği açıktır. Öte yandan 𝑇𝑥 = 0 için 𝑥 = 0 olduğu da açıktır ve böylece T birebirdir.
Şimdi de T dönüşümünün örten olduğunu göstermek için keyfi bir 𝑦 = (𝑦𝑘) ∈ 𝑐0 verilsin ve 𝑥 = {𝑥𝑘(𝜆)} dizisini 𝑥𝑘(𝜆) = ∑ ∑ (−1)𝑗−𝑖. 𝑗 𝑖=𝑗−1 𝑘 𝑗=0 𝜆𝑖 𝜆𝑗− 𝜆𝑗−1 . 𝑦𝑖 ; (𝑘 ∈ ℕ) (3.7)
şeklinde alalım. Bu durumda
𝑥𝑘(𝜆) − 𝑥𝑘−1(𝜆) = ∑ (−1)𝑘−𝑖. 𝑘 𝑖=𝑘−1 𝜆𝑖 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1 . 𝑦𝑖; (𝑘 ∈ ℕ)
elde edilir. Böylece her 𝑛 ∈ ℕ için (3.4) eşitliği göz önüne alınırsa
Λ ̅𝑛(𝑥) = 1 𝜆𝑛 ∑ ∑ (−1)𝑘−𝑖. 𝑘 𝑖=𝑘−1 𝑛 𝑘=0 𝜆𝑖. 𝑦𝑖 = 1 𝜆𝑛 ∑(𝜆𝑘. 𝑦𝑘− 𝜆𝑘−1. 𝑦𝑘−1) 𝑛 𝑘=0 = 𝑦𝑛 olduğu görülür, yani Λ̅(𝑥) = 𝑦 olur. Bu ise T dönüşümünün örten olması demektir. Son olarak her 𝑥 ∈ 𝑐0𝜆(Δ) için
‖𝑇𝑥‖𝑐0 = ‖𝑇𝑥‖𝑙∞ = ‖𝑦(𝜆)‖𝑙∞ = ‖Λ̅(𝑥)‖𝑙∞ = ‖𝑥‖𝑐
0𝜆(Δ)
olduğundan T dönüşümü normu korur. Şu halde 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐0 uzayları lineer izomorftur.
Burada 𝑐0𝜆(Δ) ve 𝑐0 uzayları yerine sırasıyla 𝑐𝜆(Δ) ve c uzayları yazılırsa bu uzayların da lineer izomorf yani 𝑐𝜆(Δ) ≅ c olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Böylece ispat tamamlanır.
15
3.2 Kapsama Bağıntıları
Bu kısımda 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzaylarına ilişkin bazı kapsama bağıntılarını içeren teoremleri vereceğiz :
3.2.1 Teorem 𝑐0𝜆(∆) ⊂ 𝑐𝜆(∆) bağıntısı kesin olarak sağlanır.
İspat 𝑐0𝜆(∆) ⊂ 𝑐𝜆(∆) bağıntısının sağlandığı açıktır. Bu bağıntının kesin olarak sağlandığını gösterelim. Her 𝑘 ∈ ℕ için 𝑥𝑘 = 𝑘 + 1 ile tanımlı 𝑥 = (𝑥𝑘) dizisini göz önüne alalım. Bu durumda 𝑒 = (1,1, … ) için (3.4) den
Λ̅𝑛(𝑥) = 1 𝜆𝑛 ∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) 𝑛 𝑘=0 = 1 ; (𝑛 ∈ ℕ)
olur yani Λ̅(𝑥) = 𝑒 dir. Bu demektir ki 𝑛 → ∞ için Λ̅𝑛(𝑥) → 1 yani Λ̅(𝑥) ∈ 𝑐 𝑐⁄ 0 dır. Böylece x dizisi 𝑐𝜆(∆) uzayında fakat 𝑐
0𝜆(∆) uzayında değildir. Bu, ispatı tamamlar.
3.2.2 Teorem 𝑐 ⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısı kesin olarak sağlanır.
İspat 𝑥 ∈ 𝑐 olsun. Bu durumda ∆𝑥 = (𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) ∈ 𝑐0 dir ve 𝑐0 ⊂ 𝑐0𝜆 bağıntısı sağlandığından ∆𝑥 ∈ 𝑐0𝜆 olur. Bu, 𝑥 ∈ 𝑐
0𝜆(∆) olduğunu gösterir. Sonuç olarak 𝑐 ⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısı sağlanır. Ayrıca
𝑦𝑘= √𝑘 + 1 ; (𝑘 ∈ ℕ)
ile tanımlanan 𝑦 = (𝑦𝑘) dizisini düşünelim. Bu durumda 𝑦 ∉ 𝑐 olduğu aşikardır. Diğer yandan ∆𝑦 ∈ 𝑐0 dir ve buradan ∆𝑦 ∈ 𝑐0𝜆 olduğunu görmek kolaydır. Bu ise 𝑦 ∈ 𝑐0𝜆(∆) anlamına gelir. Böylece 𝑦 , 𝑐0𝜆(∆) uzayındadır fakat c uzayında değildir. Bu nedenle 𝑐 ⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısı kesin olarak sağlanır. Bu da ispatı tamamlar
Dikkat edelim ki Teorem 3.2.1 ve 3.2.2 den kolayca görüldüğü gibi Λ̅ = (𝜆̅𝑛𝑘) matrisi yakınsaklıktan daha kuvvetlidir. Böylece aşağıdaki sonuç ifade edilebilir:
16
Ayrıca Teorem 3.2.2 de tanımlanan y dizisi 𝑐0𝜆(∆) uzayına aittir fakat 𝑙∞ uzayına ait değildir.Bu nedenle aşağıdaki sonuç elde edilir.
3.2.4 Sonuç 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑙
∞ uzayları örtüşmemesine rağmen 𝑙∞ uzayı 𝑐0𝜆(∆) uzayını kapsamaz.
3.2.5 Teorem 𝑙∞⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısı kesin olarak sağlanır ⇔ 𝑧 ∈ 𝑐0𝜆 Burada
𝑧𝑘 = |1 −
𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘
𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1| ; (𝑘 ∈ ℕ) dir.
İspat 𝑙∞ ⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısının sağlandığını varsayalım. Bu durumda her 𝑥 ∈ 𝑙∞ için Λ̅(𝑥) ∈ 𝑐0 olur ve dolayısıyla Λ̅ = (𝜆̅𝑛𝑘) matrisi (𝑙∞∶ 𝑐0) matris sınıfına ait olur. Buradan da, Lemma 2.2.1 nedeniyle
lim
𝑛 ∑|𝜆̅𝑛𝑘|
𝑘
= 0 (3.8)
elde edilir. Şimdi (3.3) ile verilen Λ̅ = (𝜆̅𝑛𝑘) matrisinin tanımı kullanılırsa her 𝑛 ∈ ℕ için ∑|𝜆̅𝑛𝑘| 𝑘 = 1 𝜆𝑛 ∑|(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘)| + 𝑛−1 𝑘=0 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛 (3.9)
elde edilir. Öte yandan (3.8) şartı göz önüne alınırsa lim 𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛 = 0 (3.10) ve lim 𝑛 1 𝜆𝑛 ∑|(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘)| = 0 𝑛−1 𝑘=0 (3.11)
bulunur. Şimdi her 𝑛 ≥ 1 için 1 𝜆𝑛 ∑|(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘)| = 𝑛−1 𝑘=0 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛 [ 1 𝜆𝑛−1 ∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). 𝑧𝑘 𝑛−1 𝑘=0 ]
17 ve (3.10) dan dolayı lim 𝑛 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛 = 1 olduğundan (3.11) den lim 𝑛 1 𝜆𝑛−1∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). 𝑧𝑘 𝑛−1 𝑘=0 = 0 (3.12)
olur. Bu da 𝑧 = (𝑧𝑘) ∈ 𝑐0𝜆 olduğunu gösterir.
Tersine 𝑧 = (𝑧𝑘) ∈ 𝑐0𝜆 olduğunu varsayalım. Bu durumda (3.12) sağlanır. Ayrıca her 𝑛 ≥ 1 için
1 𝜆𝑛∑|(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘)| = 𝑛−1 𝑘=0 1 𝜆𝑛∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). 𝑧𝑘 𝑛−1 𝑘=0 ≤ 1 𝜆𝑛−1∑(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1). 𝑧𝑘 𝑛−1 𝑘=0
yazılabilir. Bu eşitsizlik ile (3.12) birleştirilirse (3.11) sağlanır. Diğer yandan her 𝑛 ≥ 1 için |𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1− 𝜆0 𝜆𝑛 | = | 𝜆𝑛−1− (𝜆𝑛 − 𝜆0) 𝜆𝑛 | = |1 𝜆𝑛∑[(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘)] 𝑛−1 𝑘=0 | ≤ 1 𝜆𝑛∑|(𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1) − (𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘)| 𝑛−1 𝑘=0
yazılabilir. Dolayısıyla (3.11) göz önüne alınarak
lim 𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛 = lim𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1− 𝜆0 𝜆𝑛 = 0
18
bulunur bu ise (3.10) eşitliğinin sağlandığını gösterir. Buradan (3.8) ve (3.9) bağıntılarının sağlandığı görülür. Bu sonuç, Lemma 2.2.1 ile birlikte Λ̅ ∈ (𝑙∞∶ 𝑐0) olmasını gerektirir. Şu halde 𝑙∞⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısı sağlanır ve bu kapsama sonuç 3.2.4 den dolayı kesindir. Bu da ispatı tamamlar.
Bu bölümü Teorem 3.2.5 ‘in aşağıdaki sonucuyla bitirelim.
3.2.6 Sonuç Eğer lim 𝑛 𝜆𝑛+1− 𝜆𝑛 𝜆𝑛 − 𝜆𝑛−1 = 1
ise bu durumda 𝑙∞⊂ 𝑐0𝜆(∆) bağıntısı kesin olarak sağlanır.
3.3 𝒄𝟎𝝀(∆) ve 𝒄𝝀(∆) Uzaylarının Bazları
Bu bölümde 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzaylarının bazlarını veren teoremleri ifade ve ispat edeceğiz.
3.3.1 Teorem Her 𝑘 ∈ ℕ sabiti için 𝑏(𝑘)(𝜆) = {𝑏𝑛(𝑘)(𝜆)}𝑛=0∞ dizisini
𝑏𝑛(𝑘)(𝜆) = { 0 ; (𝑛 < 𝑘) 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1 (𝑛 ∈ ℕ); (𝑛 = 𝑘) 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1− 𝜆𝑘 𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘 ; (𝑛 > 𝑘) (3.13)
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda {𝑏(𝑘)(𝜆)} 𝑘=0
∞ dizisi 𝑐
0𝜆(∆) uzayı için bir bazdır ve her 𝑘 ∈ ℕ için 𝛼𝑘(𝜆) = Λ̅𝑘(𝑥) olmak üzere her 𝑥 ∈ 𝑐0𝜆(∆) dizisinin
𝑥 = ∑ 𝛼𝑘(𝜆). 𝑏(𝑘)(𝜆) 𝑘
(3.14)
19 İspat
Λ̅ (𝑏(𝑘)(𝜆)) = 𝑒(𝑘)∈ 𝑐
0 (𝑛 ∈ ℕ) (3.15) olduğundan {𝑏(𝑘)(𝜆)} ⊂ 𝑐
0𝜆(∆) bağıntısının sağlandığı açıktır. Ayrıca 𝑥 ∈ 𝑐0𝜆(∆) verilsin. Negatif olmayan her m tamsayısı için
𝑥(𝑚)= ∑ 𝛼
𝑘(𝜆). 𝑏(𝑘)(𝜆) 𝑚
𝑘=0 olsun. Bu durumda (3.15) den dolayı
Λ̅(𝑥(𝑚)) = ∑ 𝛼𝑘(𝜆). Λ̅ (𝑏(𝑘)(𝜆)) 𝑚 𝑘=0 = ∑ Λ̅𝑘(𝑥) 𝑚 𝑘=0 . 𝑒(𝑘) ve buradan da Λ̅𝑛(𝑥 − 𝑥(𝑚)) = { 0 ; (0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚) Λ̅𝑛(𝑥) ; (𝑛 > 𝑚) (𝑛, 𝑚 ∈ ℕ)
elde ederiz. Şimdi 𝜀 > 0 verilsin. Bu durumda negatif olmayan bir 𝑚0 tamsayısı vardır öyle ki her 𝑚 ≥ 𝑚0 için
|Λ̅𝑚(𝑥)| < 𝜀 2 kalır. Böylece her 𝑚 ≥ 𝑚0 için
‖𝑥 − 𝑥(𝑚)‖ 𝑐0𝜆(∆) = sup𝑛>𝑚|Λ ̅𝑛(𝑥)| ≤ sup 𝑛≥𝑚0 |Λ̅𝑛(𝑥)| ≤ 𝜀 2< 𝜀 elde edilir. Bu ise lim𝑚‖𝑥 − 𝑥(𝑚)‖𝑐
0𝜆(∆) = 0 demektir yani 𝑥 ∈ 𝑐0
𝜆(∆) dizisinin (3.14) ile temsil edilmesi demektir.
20
Şimdi bu temsilin tekliğini gösterelim. Bunun için 𝑥 = ∑ 𝛽𝑘(𝜆). 𝑏(𝑘)(𝜆) 𝑘
şeklinde farklı bir temsil bulunduğunu varsayalım. Teorem 3.1.2 nin ispatındaki 𝑐0𝜆(∆) dan 𝑐0’a tanımlı T lineer dönüşümü sürekli olduğundan
Λ̅𝑛(𝑥) = ∑ 𝛽𝑘(𝜆). Λ̅𝑛(𝑏(𝑘)(𝜆) 𝑘
) = ∑ 𝛽𝑘(𝜆). 𝛿𝑛𝑘 𝑘
= 𝛽𝑛(𝜆) ; (𝑛 ∈ ℕ)
elde edilir. Bu ise her 𝑛 ∈ ℕ için Λ̅𝑛(𝑥) = 𝛼𝑛(𝜆) eşitliği ile çelişir. Şu halde 𝑥 ∈ 𝑐0𝜆(∆) nın (3.14) temsili tektir. Bu da ispatı tamamlar.
3.3.2 Teorem {𝑏, 𝑏(0)(𝜆), 𝑏(1)(𝜆), … } dizisi 𝑐𝜆(∆) uzayı için bir bazdır ve her 𝑥 ∈ 𝑐𝜆(∆) dizisinin
𝑥 = 𝑙𝑏 + ∑[𝛼𝑘(𝜆) − 𝑙]. 𝑏(𝑘)(𝜆) 𝑘
(3.16) biçiminde bir tek gösterimi vardır.
Burada 𝑘 ∈ ℕ için 𝛼𝑘(𝜆) = Λ̅𝑘(𝑥), 𝑏 = (𝑏𝑘) dizisi her 𝑘 ∈ ℕ için 𝑏𝑘= 𝑘 + 1 ve 𝑏(𝑘)(𝜆) = {𝑒
𝑛(𝑘)(𝜆)}𝑛=0∞ dizisi her 𝑘 ∈ ℕ için (3.13) ile tanımlı ve lim
𝑘 Λ̅𝑘(𝑥) = 𝑙 (3.17) dır.
İspat {𝑏(𝑘)(𝜆)} ⊂ 𝑐
0𝜆(∆) ve Λ̅(𝑏) = 𝑒 ∈ 𝑐 olduğuna göre {𝑏, 𝑏(𝑘)(𝜆)} ⊂ 𝑐𝜆(∆) bağıntısının sağlandığı aşikardır. Ayrıca 𝑥 ∈ 𝑐𝜆(∆) verilsin. Bu durumda (3.17) eşitliğini sağlayan bir tek 𝑙 mevcuttur. Böylece 𝑦 = 𝑥 − 𝑙𝑏 dizisi 𝑐0𝜆(∆) nın elemanıdır. Bu nedenle
𝛽𝑘(𝜆) = Λ̅𝑘(𝑦) = Λ̅𝑘(𝑥 − 𝑙𝑏 ) = Λ̅𝑘(𝑥) − 𝑙 = 𝛼𝑘(𝜆) − 𝑙 ; (𝑘 ∈ ℕ)
olmak üzere Teorem 3.3.1 den y’nin
𝑦 = ∑ 𝛽𝑘(𝜆). 𝑏(𝑘)(𝜆) 𝑘
21
Son olarak Teorem 3.1.1 den 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzayları, doğal normlarına göre Banach uzaydır. Bu bizi Teorem 3.3.1 ve Teorem 3.3.2 ile birlikte aşağıdaki sonuca götürür.
3.3.3 Sonuç 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) fark dizi uzayları ayrılabilirdir.
3.4 𝒄𝟎𝝀(∆) ve 𝒄𝝀(∆) Uzaylarının Dualleri
Bu kısımda mutlak tipte olmayan 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzaylarının 𝛼, 𝛽 ve 𝛾 − duallerini belirleyen teoremlerin ispatlarını vereceğiz. Ayrıca 𝑥 = (𝑥𝑘) ve 𝑦 = (𝑦𝑘) dizilerinin (3.6) ile bağlantılı olarak alacağız.
İlk olarak bu uzayların 𝛼 − dualini belirten teorem ile başlıyoruz: 3.4.1 Teorem 𝐵𝜆 = (𝑏
𝑛𝑘𝜆 ) matrisini 𝑎 = (𝑎𝑛) dizisi yardımıyla
𝑏𝑛𝑘𝜆 = { ( 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1− 𝜆𝑘 𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘) 𝑎𝑛 ; (𝑘 < 𝑛) 𝜆𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝑎𝑛 ; (𝑘 = 𝑛) , (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ) 0 ; (𝑘 > 𝑛)
biçiminde tanımlayalım. Bu taktirde 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzaylarının 𝛼 − duali
𝑏1𝜆 = {𝑎 = (𝑎𝑛) ∈ 𝑤 ∶ sup 𝐾∈ℱ ∑ |∑ 𝑏𝑛𝑘𝜆 𝑘∈𝐾 | 𝑛 < ∞} kümesidir.
İspat 𝑎 = (𝑎𝑛) ∈ 𝑤 olsun.Bu durumda (3.6) ve (3.7) bağıntıları dikkate alınırsa 𝑎𝑛𝑥𝑛 = ∑ ∑ (−1)𝑘−𝑗 𝑘 𝑗=𝑘−1 𝜆𝑗 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1 𝑎𝑛𝑦𝑗 𝑛 𝑘=0 = 𝐵𝑛𝜆(𝑦) ; (𝑛 ∈ ℕ) (3.18)
22
eşitliği yazılabilir. Böylece (3.18) den dolayı 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑐0𝜆(∆) veya 𝑐𝜆(∆) olduğunda 𝑎𝑥 = (𝑎𝑛𝑥𝑛) ∈ 𝑙1 dır ancak ve yalnız 𝑦 = (𝑦𝑘) ∈ 𝑐0 veya c olduğunda 𝐵𝜆𝑦 ∈ 𝑙1 olur. Bu demektir ki, 𝑎 = (𝑎𝑛) dizisi 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzayının 𝛼 − dualine aittir ancak ve yalnız 𝐵𝜆 ∈ (𝑐
0 ∶ 𝑙1) = (𝑐 ∶ 𝑙1) dir. Şu halde Lemma 2.2.2 de A’nın yerine 𝐵𝜆 koyarsak 𝑎 ∈ {𝑐
0𝜆(∆)} 𝛼
= {𝑐𝜆(∆)}𝛼= 𝑏1𝜆 elde ederiz ancak ve yalnız sup 𝐾∈ℱ ∑ |∑ 𝑏𝑛𝑘𝜆 𝑘∈𝐾 | 𝑛 < ∞
olur. Bu da {𝑐0𝜆(∆)}𝛼= {𝑐𝜆(∆)}𝛼 = 𝑏1𝜆 olduğunu gösterir. Böylece ispat tamamlanır.
3.4.2 Teorem 𝑎̅𝑘(𝑛) = 𝜆𝑘[ 𝑎𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1+ ( 1 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1− 1 𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘) ∑ 𝑎𝑗 𝑛 𝑗=𝑘+1 ] ; (𝑘 < 𝑛) olmak üzere 𝑏2𝜆, 𝑏
3𝜆, 𝑏4𝜆 ve 𝑏5𝜆 kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım
𝑏2𝜆 = {𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ 𝑤 ∶ Her 𝑘 ∈ ℕ için ∑ 𝑎𝑗 ∞ 𝑗=𝑘 mevcut} 𝑏3𝜆 = {𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ 𝑤 ∶ sup 𝑛 ∑|𝑎̅𝑘(𝑛)| 𝑛−1 𝑘=0 < ∞} 𝑏4𝜆 = {𝑎 = (𝑎 𝑘) ∈ 𝑤 ∶ sup 𝑘 | 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1𝑎𝑘| < ∞} 𝑏5𝜆 = {𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ 𝑤 ∶ ∑(𝑘 + 1)𝑎𝑘 𝑘 yakınsak} Bu durumda {𝑐0𝜆(∆)}𝛽 = 𝑏 2𝜆∩ 𝑏3𝜆∩ 𝑏4𝜆 ve
23 {𝑐𝜆(∆)}𝛽 = 𝑏3𝜆∩ 𝑏4𝜆∩ 𝑏5𝜆 dir. İspat Şimdi 𝑇𝜆 = (𝑡 𝑛𝑘𝜆 ) matrisini 𝑡𝑛𝑘𝜆 = { 𝑎̅𝑘(𝑛) ; (𝑘 < 𝑛) 𝜆𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝑎𝑛 (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ) ; (𝑘 = 𝑛) 0 ; (𝑘 > 𝑛)
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda
∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘 𝑛 𝑘=0 = ∑ {∑ [ ∑ (−1)𝑗−𝑖 𝑗 𝑖=𝑗−1 𝜆𝑖 𝜆𝑗− 𝜆𝑗−1 𝑦𝑖] 𝑘 𝑗=0 } 𝑎𝑘 𝑛 𝑘=0 = ∑ 𝜆𝑘[ 𝑎𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1+ ( 1 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1− 1 𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘) ∑ 𝑎𝑗 𝑛 𝑗=𝑘+1 ] 𝑦𝑘+ 𝜆𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑛−1 𝑘=0 = ∑ 𝑎̅𝑘(𝑛) 𝑛−1 𝑘=0 𝑦𝑘+ 𝜆𝑛 𝜆𝑛 − 𝜆𝑛−1 𝑎𝑛𝑦𝑛 = 𝑇𝑛𝜆(𝑦) ; (𝑛 ∈ ℕ) (3.19)
yazılabilir. Buna göre (3.19) ifadesi göz önüne alınırsa 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑐0𝜆(∆) olduğunda 𝑎𝑥 = (𝑎𝑘𝑥𝑘) ∈ 𝑐𝑠 ancak ve yalnız 𝑦 = (𝑦𝑘) ∈ 𝑐0 olduğunda 𝑇𝜆𝑦 ∈ 𝑐 olur. Buna göre
𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ {𝑐0𝜆(∆)}𝛽 ⇔ 𝑇𝜆 ∈ (𝑐0 ∶ 𝑐)
24 ∑ 𝑎𝑗 ∞ 𝑗=𝑘 mevcut (∀𝑘 ∈ ℕ için) (3.20) sup 𝑛 ∑|𝑎̅𝑘(𝑛)| 𝑛−1 𝑘=0 < ∞ (3.21) ve sup 𝑘 | 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1𝑎𝑘| < ∞ (3.22)
elde edilir. Bu ise {𝑐0𝜆(∆)}𝛽 = 𝑏
2𝜆∩ 𝑏3𝜆∩ 𝑏4𝜆 demektir.
Benzer şekilde Lemma 2.2.4’ ü kullanarak (3.19) dan dolayı
𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ {(𝑐𝜆(∆)}𝛽⇔ 𝑇𝜆 ∈ (𝑐 ∶ 𝑐)
bulunur. Buradan da (2.1) ve (2.2) dikkate alınarak (3.20) , (3.21) ve (3.22)’nin sağlandığı görülür.
Ayrıca kolayca görüleceği gibi
∑(𝑘 + 1)𝑎𝑘 𝑛 𝑘=0 = ∑ 𝑎̅𝑘(𝑛) 𝑛−1 𝑘=0 + 𝜆𝑛 𝜆𝑛− 𝜆𝑛−1 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) (3.23) olduğuna göre ∑(𝑘 + 1)𝑎𝑘 𝑛 𝑘=0 = ∑ 𝑡𝑛𝑘𝜆 𝑘 (𝑛 ∈ ℕ)
yazılabilir. (2.3) nedeniyle {(𝑘 + 1)𝑎𝑘} ∈ 𝑐𝑠 elde edilir. Ayrıca (3.20) daha zayıf şart olduğu için atılabilir. Bu nedenle
{𝑐𝜆(∆)}𝛽 = 𝑏3𝜆∩ 𝑏4𝜆∩ 𝑏5𝜆 eşitliğinin sağlandığı görülür.
25
Uyarı : Dikkat edelim ki, eğer (3.21) , (3.22) ve (3.23) şartları birleştirilirse her 𝑎 = (𝑎𝑘) ∈ {𝑐0𝜆(∆)}𝛽 dizisi için {(𝑘 + 1)𝑎
𝑘} ∈ 𝑏𝑠 olur.
Son olarak 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzaylarının 𝛾 − dualini belirleyen teoremle bu bölümü tamamlayalım.
3.4.3 Teorem 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzaylarının 𝛾 − duali 𝑏
3𝜆 ∩ 𝑏4𝜆 kümesidir.
İspat Bu sonuç, Lemma 2.2.3 yerine Lemma 2.2.5 koyarak Teorem 3.4.2 nin ispatına benzer olarak ispatlanabilir.
26
4. Matris Dönüşümleri
Bu bölümde Mursaleen ve Noman (2010)’a ait olan belli özellikteki sınıfların karakterizasyonlarını veren teoremlerini inceleyeceğiz.
4.1. 𝒄𝟎𝝀(∆) ve 𝒄𝝀(∆) Uzayları İle İlgili Matris Dönüşümleri Bu bölümde 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ için (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙
𝑝), (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑙𝑝), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐) (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐
0 ) ve (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐0) matris sınıflarını karakterize eden teoremlerin ispatları verilecektir. Ayrıca temel bir lemma yardımıyla Euler, fark, Riesz ve Cesaro dizi uzaylarını içeren bazı önemli matris sınıfları da karakterize edilecektir.
Bu bölümde de 𝑥 = (𝑥𝑘) ve 𝑦 = (𝑦𝑘), (3.6) bağıntısıyla ilişkili dizileri gösterecektir. Ayrıca sonsuz bir 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) matrisi için 𝑛, 𝑘, 𝑚 ∈ ℕ olmak üzere
𝑎̅𝑛𝑘(𝑚) = 𝜆𝑘[ 𝑎𝑛𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1+ ( 1 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1− 1 𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘) ∑ 𝑎𝑛𝑗 𝑚 𝑗=𝑘+1 ] ; (𝑘 < 𝑚) ve 𝑎̅𝑛𝑘 = 𝜆𝑘[ 𝑎𝑛𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1+ ( 1 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1− 1 𝜆𝑘+1− 𝜆𝑘) ∑ 𝑎𝑛𝑗 ∞ 𝑗=𝑘+1 ] yazacağız.
27
Şimdi matris dönüşümleri ile ilgili aşağıdaki teoremleri ispatlayalım. 4.1.1 Teorem
(i) 1 ≤ 𝑝 < ∞ olsun.Bu durumda
𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙 𝑝) ⇔ { sup 𝐹∈ℱ ∑ |∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘∈𝐹 | 𝑝 𝑛 < ∞ (4.1) sup 𝑚 ∑ |𝑎̅𝑛𝑘(𝑚)| 𝑚−1 𝑘=0 < ∞ (𝑛 ∈ ℕ) (4.2) {(𝑘 + 1)𝑎𝑛𝑘}𝑘=0∞ ∈ 𝑐𝑠 (𝑛 ∈ ℕ) (4.3) lim 𝑘 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1𝑎𝑛𝑘 = 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) (4.4) (𝑎𝑛 ) ∈ 𝑙𝑝 (4.5) (ii) 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙∞) ⇔ { (4.3) ve (4.4) sağlanır sup 𝑛 ∑|𝑎̅𝑛𝑘| 𝑘 < ∞ (4.6) (𝑎𝑛 ) ∈ 𝑙∞
İspat (4.1) - (4.5) şartlarının sağlandığını varsayalım ve herhangi 𝑥 = (𝑥𝑘) ∈ 𝑐𝜆(∆) alalım. Bu durumda Teorem 3.4.2 ile her 𝑛 ∈ ℕ için {𝑎𝑛𝑘}𝑘∈ℕ ∈ {𝑐0𝜆(∆)}𝛽 ve x’in A-dönüşümü olan Ax mevcuttur. Ayrıca c uzayında 𝑦 = (𝑦𝑘) dizisi c ye aittir ve dolayısıyla 𝑘 → ∞ için 𝑦𝑘 → 𝑙 olacak şekilde bir 𝑙 sayısı mevcuttur. Öte yandan 1 ≤ 𝑝 < ∞ olmak üzere (4.1) ile Lemma 2.2.7 birleştirilirse 𝐴̅ = (𝑎̅𝑛𝑘) matrisi (𝑐 ∶ 𝑙𝑝) sınıfında olur.
Şimdi (3.6) bağıntısını kullanarak ∑ 𝑎𝑘 𝑛𝑘𝑥𝑘 serisinin m. kısmi toplamı dikkate alınırsa 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ için
∑ 𝑎𝑛𝑘𝑥𝑘 𝑚 𝑘=0 = ∑ 𝑎̅𝑛𝑘(𝑚)𝑦𝑘 𝑚−1 𝑘=0 + 𝜆𝑚 𝜆𝑚− 𝜆𝑚−1 𝑎𝑛𝑚𝑦𝑚 (4.7) yazılabilir. Bu durumda 𝑦 ∈ 𝑐 ve 𝐴̅ ∈ (𝑐 ∶ 𝑙𝑝) olduğundan 𝐴̅𝑦 mevcuttur ve bu yüzden her 𝑛 ∈ ℕ için ∑ 𝑎̅𝑘 𝑛𝑘𝑦𝑘 serisi yakınsaktır. Üstelik (4.3) nedeniyle 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ için ∑∞𝑗=𝑘𝑎𝑛𝑗 serisi yakınsaktır ve böylece 𝑚 → ∞ için 𝑎̅𝑛𝑘(𝑚) → 𝑎̅𝑛𝑘 dır. Bu nedenle eğer (4.7) ifadesinde 𝑚 → ∞ için limite geçilirse (4.4) nedeniyle
28 ∑ 𝑎𝑛𝑘𝑥𝑘 𝑘 = ∑ 𝑎̅𝑛𝑘𝑦𝑘 𝑘 + 𝑙𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) (4.8)
elde edilir, yani
𝐴𝑛(𝑥) = 𝐴̅𝑛(𝑦) + 𝑙𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) (4.9)
olur. Buradan 𝑙𝑝− normu alınırsa
‖𝐴𝑥‖𝑙𝑝 ≤ ‖𝐴̅𝑦‖𝑙𝑝 + |𝑙|. ‖(𝑎𝑛)‖𝑙𝑝 < ∞
bulunur. Bu demektir ki 𝐴𝑥 ∈ 𝑙𝑝 yani 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙𝑝) dir.
Tersine 1 ≤ 𝑝 < ∞ olmak üzere 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙𝑝) olduğunu varsayalım.Bu durumda her 𝑛 ∈ ℕ için {𝑎𝑛𝑘}𝑘∈ℕ ∈ {𝑐0𝜆(∆)}𝛽 olur. Bu, Teorem 3.4.2 ile birlikte (4.2) ve (4.3) şartlarının gerekliliğini verir.
Diğer yandan 𝑐𝜆(∆) ve 𝑙
𝑝 BK-uzayı olduğundan Lemma 2.2.6 dan dolayı her 𝑥 ∈ 𝑐𝜆(∆) için
‖𝐴𝑥‖𝑙𝑝 ≤ 𝑀. ‖𝑥‖𝑐𝜆(∆) (4.10)
olacak şekilde bir 𝑀 > 0 sabiti vardır. Şimdi 𝐹 ∈ ℱ olsun. Bu durumda her 𝑘 ∈ ℕ sabiti için (3.13) ile tanımlanan 𝑏(𝑘)(𝜆) = {𝑏
𝑛(𝑘)(𝜆)}𝑛∈ℕ dizisi için 𝑧 = ∑ 𝑏(𝑘)(
𝑘∈𝐹 𝜆) dizisi 𝑐𝜆(∆) uzayına aittir. Ayrıca (3.15) nedeniyle
‖𝑧‖𝑐𝜆(∆) = ‖ Λ̅ (𝑧)‖𝑙 ∞ = ‖∑ Λ̅ (𝑏 (𝑘)( 𝑘∈𝐹 𝜆)) ‖ 𝑙∞ = ‖∑ 𝑒(𝑘) 𝑘∈𝐹 ‖ 𝑙∞ = 1
elde edilir. Üstelik her 𝑛 ∈ ℕ için (3.13) den 𝐴𝑛(𝑧) = ∑ 𝐴𝑛(𝑏(𝑘)( 𝑘∈𝐹 𝜆)) = ∑ ∑ 𝑎𝑛𝑗𝑏𝑗(𝑘)(𝜆) 𝑗 𝑘∈𝐹 = ∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘∈𝐹
29
bulunur. Böylece (4.10) eşitsizliği 𝑧 ∈ 𝑐𝜆(∆) dizisi için sağlandığından herhangi bir 𝐹 ∈ ℱ için (∑ |∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘∈𝐹 | 𝑝 𝑛 ) 1⁄𝑝 ≤ 𝑀
olur. Bu ise (4.1) in gerekliliğini verir. Böylece Lemma 2.2.7 den 𝐴̅ = (𝑎̅𝑛𝑘) ∈ (𝑐 ∶ 𝑙𝑝) olur.
Şimdi 𝑦 = (𝑦𝑘) ∈ 𝑐 𝑐⁄ olsun ve her 𝑘 ∈ ℕ için (3.7) ile tanımlı 𝑥 = (𝑥𝑘0 ) dizisini göz önüne alalım. Bu durumda 𝑦 = Λ̅(𝑥) olacak şekilde 𝑥 ∈ 𝑐𝜆(∆) vardır. Yani x ve y dizileri (3.6) bağıntısıyla ilişkilidir. Böylece 𝐴𝑥 ve 𝐴̅𝑦 dönüşümleri mevcuttur. Bu ise her 𝑛 ∈ ℕ için ∑ 𝑎𝑘 𝑛𝑘𝑥𝑘 ve ∑𝑘𝑎̅𝑛𝑘𝑦𝑘 serilerinin yakınsaklığını verir. Buradan da lim 𝑚 ∑ 𝑎̅𝑛𝑘(𝑚)𝑦𝑘 𝑚−1 𝑘=0 = ∑ 𝑎̅𝑛𝑘𝑦𝑘 𝑘 ; (𝑛 ∈ ℕ)
bulunur. Sonuç olarak 𝑚 → ∞ için (4.7) den
lim 𝑚 𝜆𝑚 𝜆𝑚− 𝜆𝑚−1 𝑎𝑛𝑚𝑦𝑚 ∶ (𝑛 ∈ ℕ) mevcuttur ve 𝑦 = (𝑦𝑘) ∈ 𝑐 𝑐⁄ olduğundan 0 lim 𝑚 𝜆𝑚 𝜆𝑚− 𝜆𝑚−1 𝑎𝑛𝑚 ∶ (𝑛 ∈ ℕ) mevcuttur. Bu da 𝑙 = lim
𝑘 𝑦𝑘 olmak üzere (4.4) ün gerekliliğini gösterir ve dolayısıyla (4.9) sağlanır.
30
Nihayet 𝐴𝑥 ∈ 𝑙𝑝 ve 𝐴̅𝑦 ∈ 𝑙𝑝 olduğundan (4.9) dan (4.5) in gerekliliği sağlanır. Bu ispatın (i) kısmını tamamlar.
(ii) nin ispatı (i) kısmının ispatına benzer yolla Lemma 2.2.7 yerine Lemma 2.2.5 kullanılarak yapılabilir.
Uyarı (4.6) dan açıktır ki her 𝑛 ∈ ℕ için
lim 𝑚 ∑ |𝑎̅𝑛𝑘(𝑚)| 𝑚−1 𝑘=0 = ∑|𝑎̅𝑛𝑘| 𝑘
limiti mevcuttur. Bu ise (4.2) şartının (4.6) şartını gerektirdiğini gösterir.
Şimdi 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ için (𝑐0 ∶ 𝑙𝑝) = (𝑐 ∶ 𝑙𝑝) olduğunu belirtiyoruz (Stieglitz ve Tietz 1977). Böylece Teorem 3.4.2, Lemma 2.2.5 ve 2.2.7 yardımıyla aşağıdaki teoremi elde ederiz.
4.1.2 Teorem
(i) 1 ≤ 𝑝 < ∞ olsun.Bu durumda
𝐴 ∈ (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑙𝑝) ⇔ { (4.1) ve (4.2) sağlanır ∑ 𝑎𝑛𝑗 ∞ 𝑗=𝑘 mevcut (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ) (4.11) { 𝜆𝑘 𝜆𝑘− 𝜆𝑘−1 𝑎𝑛𝑘} 𝑘=0∞ ∈ 𝑙∞ (𝑛 ∈ ℕ) (4.12) (ii) 𝐴 ∈ (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑙∞) ⇔ (4.6), (4.11) ve (4.12) sağlanır.
İspat Bu teoremin ispatı Teorem 4.1.1 in ispatında kullanılan teknikle kanıtlanabileceğinden bu ispatı atlıyoruz.
31 4.1.3 Teorem 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐) ⇔ { (4.3) , (4.4) ve (4.6) sağlanır lim 𝑛 𝑎𝑛 = 𝑎 (4.13) lim 𝑛 𝑎̅𝑛𝑘 = 𝛼𝑘 (𝑘 ∈ ℕ) (4.14) lim 𝑛 ∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘 = 𝛼 (4.15)
İspat A matrisinin (4.3) , (4.4), (4.6), (4.13), (4.14) ve (4.15) şartlarını sağladığını varsayalım ve herhangi bir 𝑥 ∈ 𝑐𝜆(∆) alalım. Bu durumda (4.2) şartı (4.6) şartını gerektirdiğinden Teorem 3.4.2 den her 𝑛 ∈ ℕ için {𝑎𝑛𝑘}𝑘∈ℕ ∈ {𝑐𝜆(∆)}𝛽 olup Ax mevcuttur. Ayrıca (4.6) ve (4.14) nedeniyle her 𝑘 ∈ ℕ için
∑|𝛼𝑗| 𝑘 𝑗=0 ≤ sup 𝑛 ∑|𝑎̅𝑛𝑗| 𝑗 < ∞
sağlanır. Buradan (𝛼𝑘) ∈ 𝑙1 ve dolayısıyla 𝑦 = (𝑦𝑘) ∈ 𝑐 ve 𝑥 = (𝑥𝑘) dizileri (3.6) bağıntısıyla tanımlı ve 𝑘 → ∞ için 𝑦𝑘 → 𝑙 olmak üzere ∑ 𝛼𝑘 𝑘(𝑦𝑘− 𝑙) serisi yakınsaktır. Ayrıca Lemma 2.2.4 ile (4.6), (4.14) ve (4.15) şartları birleştirildiğinde 𝐴̅ = (𝑎̅𝑛𝑘) matrisinin (𝑐 ∶ 𝑐) sınıfına ait olduğu açıktır.
Şimdi Teorem 4.1.1 in ispatındaki ispat tekniği uygulanırsa (4.8) bağıntısının sağlandığını görülür. Dolayısıyla aşağıdaki eşitlik yazılabilir:
∑ 𝑎𝑛𝑘𝑥𝑘 𝑘 = ∑ 𝑎̅𝑛𝑘(𝑦𝑘− 𝑙) 𝑘 + 𝑙 ∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘 + 𝑙𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) (4.16)
Bu durumda (4.16) da 𝑛 → ∞ için limite geçilirse (4.6) ve (4.14) nedeniyle eşitliğin sağındaki ilk terimin ∑ 𝛼𝑘 𝑘(𝑦𝑘− 𝑙) ye, (4.15) nedeniyle ikinci terim 𝑙𝑎 ‘ya ve (4.13) nedeniyle son terimin 𝑙𝛼’ya gittiği görülür. Sonuç olarak, 𝑛 → ∞ için
𝐴𝑛(𝑥) → ∑ 𝛼𝑘(𝑦𝑘− 𝑙) 𝑘
+ 𝑙(𝛼 + 𝛼)
32
Aksine 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐) olduğunu varsayalım. Bu durumda 𝑐 ⊂ 𝑙∞ bağıntısı sağlandığından 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙
∞) yazabilir. Teorem 4.1.1 dikkate alınırsa (4.3), (4.4) ve (4.6) şartlarının gerekliliği görülür. Şimdi her 𝑘 ∈ ℕ sabiti için (3.13) de tanımlanan 𝑏(𝑘)(𝜆) = {𝑏
𝑛(𝑘)(𝜆)}𝑛∈ℕ ∈ 𝑐𝜆(∆) eşitliğini göz önüne alalım. Bu durumda 𝐴𝑏(𝑘)(𝜆) = {𝑎̅𝑛𝑘}𝑛∈ℕ olduğu açıktır ve böylece her 𝑘 ∈ ℕ için {𝑎̅𝑛𝑘}𝑛∈ℕ ∈ 𝑐 olur. Bu ise (4.14) ün gerekliliğini gösterir. Ayrıca 𝑧 = ∑ 𝑏𝑘 (𝑘)(𝜆) olsun. Bu durumda Teorem 3.1.2 in kanıtındaki gibi 𝑇: 𝑐𝜆(∆) → 𝑐 lineer dönüşümü sürekli olduğundan (3.15) den dolayı Λ̅𝑛(𝑧) = ∑ Λ̅𝑛 𝑘 (𝑏(𝑘)(𝜆)) = ∑ 𝛿𝑛𝑘 𝑘 = 1 ; (𝑛 ∈ ℕ)
elde edilir. Buradan da Λ̅(𝑧) = 𝑒 ∈ 𝑐 ve dolayısıyla 𝑧 ∈ 𝑐𝜆(∆) olur. Diğer taraftan 𝑐𝜆(∆) ve 𝑐 birer BK-uzayı olduğundan Lemma 2.2.6 dan 𝐴: 𝑐𝜆(∆) → 𝑐 matris dönüşümü süreklidir. Böylece her 𝑛 ∈ ℕ için
𝐴𝑛(𝑧) = ∑ 𝐴𝑛 𝑘
(𝑏(𝑘)(𝜆)) = ∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘
elde ederiz. Bu ise (4.15)’in gerekliliğini gösterir.
Şimdi Lemma 2.2.4 ile (4.6), (4.14) ve (4.15)’den dolayı 𝐴̅ = (𝑎̅𝑛𝑘) ∈ (𝑐 ∶ 𝑐) olur. Bu ise (4.3),(4.4) ile birlikte her 𝑥 ∈ 𝑐𝜆(∆) ve 𝑦 ∈ 𝑐 dizileri için (4.9) bağıntısının sağlandığını gösterir. Burada x ve y dizileri (3.6) bağıntısıyla tanımlı olup 𝑘 → ∞ için 𝑦𝑘 → 𝑙 dir.
Nihayet 𝐴𝑥 ∈ 𝑐 ve 𝐴̅𝑦 ∈ 𝑐 olduğundan (4.13), doğrudan (4.9) dan elde edilir. Bu da ispatı tamamlar. 4.1.4 Teorem 𝐴 ∈ (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐0) ⇔ { (4.3) , (4.4) ve (4.6) sağlanır lim 𝑛 𝑎𝑛 = 0 lim 𝑛 𝑎̅𝑛𝑘 = 0 (𝑘 ∈ ℕ) lim 𝑛 ∑ 𝑎̅𝑛𝑘 𝑘 = 0 (4.17)
33
İspat Bu teorem, Lemma 2.2.4 yerine Lemma 2.2.8 alınarak Teorem 4.1.3 nin ispatına benzer olarak ispatlanabileceğinden bu ispatı atlıyoruz.
4.1.5 Teorem
𝐴 ∈ (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐) ⇔ (4.6) , (4.11), (4.12) ve (4.14) sağlanır.
İspat Bu sonuç Teorem 4.1.3 ve 4.1.4 (ii) da Lemma 2.2.3 kullanılarak benzer şekilde ispatlanabilir.
4.1.6 Teorem
𝐴 ∈ (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐0) ⇔ (4.6) , (4.11), (4.12) ve (4.17) sağlanır.
İspat Teorem, Teorem 3.4.2 ,Teorem 4.1.5 ve Lemma 2.2.9 dan kolayca ispatlanabilir.
4.2. Matris Alanlarına Uygulamaları
Bu kısımda bir önceki başlıkta incelenen teoremlerin matris alanlarıyla ilgili uygulamalarından söz edeceğiz. Öncelikle bu bağlamdaki bazı matris sınıflarının karakterizasyonlarının incelenmesinde önemli rol oynayan Başar ve Altay tarafından verilen aşağıdaki temel lemmayı ifade edeceğiz.
4.2.1 Lemma X ile Y iki dizi uzayı, A herhangi sonsuz bir matris ve B bir üçgensel matris olsun. Bu durumda
𝐴 ∈ (𝑋 ∶ 𝑌𝐵) ⇔ 𝐵𝐴 ∈ (𝑋 ∶ 𝑌) bağıntısı geçerlidir.
34
Şimdi klasik dizi uzaylarından, Λ̅ = (𝜆̅𝑛𝑘) üçgensel matrisinin 𝑐0 ve 𝑐 uzaylarındaki matris alanları olan 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzayları içine olan matris karakterizasyonlarını Lemma 4.2.1 den faydalanarak inşa edeceğiz.
4.2.2 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) sonsuz bir matris olsun ve 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) 𝑐𝑛𝑘 = 1
𝜆𝑛∑(𝜆𝑗− 𝜆𝑗−1)(𝑎𝑗𝑘− 𝑎𝑗−1,𝑘) 𝑛
𝑗=0
; (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ)
ile tanımlansın. Bu durumda A matrisinin (𝑐0 ∶ 𝑐0𝜆(∆)) , (𝑐 ∶ 𝑐0𝜆(∆)) , (𝑙𝑝 ∶ 𝑐0𝜆(∆)) ,(𝑐0 ∶ 𝑐𝜆(∆) ), (𝑐 ∶ 𝑐𝜆(∆) ) ve (𝑙𝑝∶ 𝑐𝜆(∆) ) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şart C matrisinin sırasıyla (𝑐0 ∶ 𝑐0), (𝑐 ∶ 𝑐0), (𝑙𝑝 ∶ 𝑐0), (𝑐0∶ 𝑐), (𝑐 ∶ 𝑐) ve (𝑙𝑝 ∶ 𝑐) sınıflarına ait olmasıdır. Burada 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ dır.
Uyarı Yukarıda sonuçta adı geçen klasik dizi uzayları arasındaki matris dönüşümlerinin karakterizasyonları için Stieglitz ve Tietz (1977) ‘yi tavsiye ediyoruz.
4.2.3 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) sonsuz bir matris ve 𝜆′= (𝜆𝑘′) pozitif reel sayıların ∞ a giden kesin artan bir dizisi olsun. Ayrıca 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) matrisini
𝑐𝑛𝑘 = 1
𝜆𝑛′ ∑(𝜆𝑗′− 𝜆𝑗−1′ )(𝑎𝑗𝑘− 𝑎𝑗−1,𝑘) 𝑛
𝑗=0
; (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ)
biçiminde tanımlayalım. Bu durumda A matrisinin (𝑐0𝜆 ∶ 𝑐 0𝜆 ′ (∆)), (𝑐𝜆 ∶ 𝑐 0𝜆 ′ (∆)), (𝑐0𝜆 ∶ 𝑐𝜆′(∆)) ve (𝑐𝜆 ∶ 𝑐𝜆′(∆)) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şart C matrisinin sırasıyla (𝑐0𝜆 ∶ 𝑐
0) , (𝑐𝜆 ∶ 𝑐0) , (𝑐0𝜆 ∶ 𝑐) , (𝑐0 ∶ 𝑐) ve (𝑐𝜆 ∶ 𝑐) sınıflarına ait olmasıdır.
Burada 𝑐0𝜆 ve 𝑐𝜆, Bölüm 3’de tanımlanan ve Mursaleen ve Noman (2010) tarafından incelenen uzaylardır.
Uyarı Yukarıda adı geçen (𝑐0𝜆 ∶ 𝑐
0) , (𝑐𝜆 ∶ 𝑐0) , (𝑐0𝜆 ∶ 𝑐) , (𝑐0∶ 𝑐) ve (𝑐𝜆 ∶ 𝑐) matris sınıflarının karakterizasyonları için Mursaleen ve Noman (2010)’ı öneriyoruz.
35
Açık olarak görüleceği üzere Lemma 4.2.1 çeşitli sonuçları vardır. Bunların bazıları 𝑐0𝜆(∆) ve 𝑐𝜆(∆) uzayından iyi bilinen bazı üçgensel matrislerin alanlarının içine olan matris dönüşümleri için gerek ve yeter şartları verir. Gerçekten, Lemma 4.2.1 ile Teorem 4.1.1-4.1.6 birleştirilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilir.
4.2.4 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) ve 𝜆′ = (𝜆 𝑘
′), Sonuç 4.2.3 deki gibi olsun ve 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) matrisini 𝑐𝑛𝑘 = 1 𝜆𝑛′ ∑(𝜆𝑗 ′− 𝜆 𝑗−1′ )𝑎𝑗𝑘 𝑛 𝑗=0 ; (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ)
biçiminde tanımlayalım. Bu durumda A matrisinin (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐𝜆′), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐 0𝜆 ′ ), (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐𝜆′) ve (𝑐 0𝜆(∆) ∶ 𝑐0𝜆 ′
) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şartlar A matrisinin yerine C matrisi alınarak sırasıyla Teorem 4.1.3-4.1.6 dan elde edilir.
4.2.5 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘), 𝜆′= (𝜆𝑘′) ve 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘), Sonuç 4.2.3 deki gibi tanımlanmış olsun. Bu durumda A matrisinin (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐𝜆′(∆) ) , (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐
0𝜆 ′ (∆) ), (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐𝜆′(∆) ) ve (𝑐 0𝜆(∆) ∶ 𝑐0𝜆 ′
(∆) ) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şartlar Teorem 4.1.3-4.1.6 dan sırasıyla A yerine C matrisi alınarak elde edilir.
4.2.6 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) sonsuz bir matris ve 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) matrisi
𝑐𝑛𝑘 = 1 𝑛 + 1∑(1 + 𝑟 𝑗)𝑎 𝑗𝑘 𝑛 𝑗=0 ; (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ)
ile tanımlansın. Bu durumda, A matrisinin (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑎
𝑝𝑟) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑎𝑝𝑟 ), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑎𝑐𝑟 ), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑎0𝑟 ) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑎𝑐𝑟 ) ve (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑎0𝑟 ) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şartlar Teorem 4.1.1-4.1.6 dan sırasıyla A matrisinin yerine C matrisi alınarak elde edilir. Burada 0 < 𝑟 < 1 olmak üzere 𝑎𝑝𝑟, 𝑎
0𝑟 ve 𝑎𝑐𝑟, 𝐴𝑟− dönüşüm dizilerinin sırasıyla 𝑙𝑝 , 𝑐0 ve 𝑐′ ye ait olan uzayları göstermektedir.
36
4.2.7 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) sonsuz bir matris ve 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) matrisi 𝑐𝑛𝑘 = ∑ (𝑛 𝑗) (1 + 𝑟) 𝑛−𝑗𝑟𝑗𝑎 𝑗𝑘 𝑛 𝑗=0 ; (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ)
ile tanımlansın.Bu durumda A matrisinin (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑒
𝑝𝑟) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑒𝑝𝑟 ), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑒𝑐𝑟 ), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑒
0𝑟 ) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑒𝑐𝑟 ) ve (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑒0𝑟 ) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şartlar Teorem 4.1.1-4.1.6 dan sırasıyla A yerine C matrisi alınarak elde edilir. Burada 0 < 𝑟 < 1 olmak üzere 𝑒𝑝𝑟, 𝑒
0𝑟 ve 𝑒𝑐𝑟, 𝐸𝑟− Euler dönüşüm dizilerinin sırasıyla 𝑙𝑝 , 𝑐0 ve 𝑐′ ye ait olan uzaylarını göstermektedir.
Bu uzaylar Altay Başar ve Mursaleen (2006), Altay ve Başar (2005) tarafından incelenmiştir.
4.2.8 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) sonsuz bir matris ve 𝑡 = (𝑡𝑘) pozitif sayıların bir dizisi olsun. Ayrıca 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) matrisi her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑇𝑛 = ∑𝑛𝑘=0𝑡𝑘 olmak üzere
𝑐𝑛𝑘 = 1 𝑇𝑛 ∑ 𝑡𝑗. 𝑎𝑗𝑘 𝑛 𝑗=0 ; (𝑛, 𝑘 ∈ ℕ)
ile tanımlansın. Bu durumda A matrisinin (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑟
𝑝𝑡) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑟𝑝𝑡 ), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑟𝑐𝑡), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑟0𝑡 ) , (𝑐
0𝜆(∆) ∶ 𝑟𝑐𝑡) ve (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑟0𝑡) sınıflarından herhangi birine ait olması için gerek ve yeter şartlar Teorem 4.1.1-4.1.6 dan sırasıyla A yerine C matrisi alınarak elde edilir. Burada 0 < 𝑟 < 1 olmak üzere 𝑟0𝑡 , 𝑟
𝑐𝑡 ve 𝑟𝑝𝑡, 𝑅𝑡− Riesz dönüşüm dizilerinin sırasıyla 𝑙𝑝 , 𝑐0 ve 𝑐′ ye ait olan Riesz uzaylarını göstermektedir.
Bu uzaylar Malkowsky (1997) ve Altay ve Başar (2002) tarafından incelenmiştir.
Uyarı 𝑟0𝑡 , 𝑟
𝑐𝑡 ve 𝑟𝑝𝑡 uzayları 𝑡 = 𝑒 özel durumunda sırasıyla mutlak tipte olmayan 𝑐̃ , 𝑐 0 ̃ve 𝑋𝑝 Cesàro dizi uzaylarına indirgenir. Aynı zamanda Sonuç 4.2.8, (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑋𝑝) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑋𝑝 ), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐̃), (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑐̃ ) , (𝑐0 0𝜆(∆) ∶ 𝑐̃) ve (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑐̃ ) matris sınıflarının karakterizasyonlarını içerir. 0
4.2.9 Sonuç 𝐴 = (𝑎𝑛𝑘) sonsuz bir matris ve 𝐶 = (𝑐𝑛𝑘) matrisi her 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ
için 𝑐𝑛𝑘 = 𝑎𝑛𝑘− 𝑎𝑛+1,𝑘 ile tanımlanmış olsun. Bu durumda A matrisinin (𝑐𝜆(∆) ∶ 𝑙∞(∆)) , (𝑐0𝜆(∆) ∶ 𝑙
