Test 10 Bölünebilme

(1)

www

.krakademi.com

1.

Bilgi:

• Bir sayının 3 ile kalansız bölünebilmesi için, o sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katı olması gerekir.

• Bir sayının 4 ile kalansız bölünebilmesi için, o sayının son iki basamağındaki sayının 00 veya 4 ün katı olması gerekir.

• Bir sayının 5 ile kalansız bölünebilmesi için, o sayının birler basamağının 0 veya 5 olması gere-kir.

• Bir sayının 9 ile kalansız bölünebilmesi için, o sayının rakamları toplamının 9 veya 9 un katı olması gerekir.

• Bir sayının 11 ile kalansız bölünebilmesi için, o sayının birler basamağındaki sayıdan başlanarak sayılara sırasıyla (+) ve (–) işaretleri konur. (+) işareti konulan sayıların toplamından, (–) işareti konulan sayıların toplamı çıkarılır. Çıkan sonucun 0 veya 11 in katı olması gerekir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 5678 sayısının

• 3 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının rakamları toplamı 3 ile bölünür.

5678 " 5 + 6 + 7 + 8 = 26 dır. 26 24 2 3 8 –

O hâlde 5678 sayısının 3 ile bölümünden kalan yani x = 2 dir.

• 4 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının son iki basamağı 4 ile bölünür.

78 38 2 36 4 4 19 – – 56 78 &

O hâlde 5678 sayısının 4 ile bölümünden kalan y = 2 dir.

• 5 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının birler basamağındaki rakam 5 ile bölünür.

8 3 5 5 1 – 567 8 &

O hâlde 5678 sayısının 5 ile bölümünden kalan z = 3 tür.

• 9 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının rakamları toplamı 9 ile bölünür.

5678 " 5 + 6 + 7 + 8 = 26 dır. 26 18 8 9 2 –

O hâlde 5678 sayısının 9 ile bölümünden kalan t = 8 dir.

• 11 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının birler basamağından başlanarak (+) ve (–) konur.

( ) ( ) dir.

56 7 8 $_- 6 8+ - 5 7+ =14 12- =2

+ +

-O hâlde 5678 sayısının 11 ile bölümünden kalan v = 2 dir.

Buna göre, x + y + z + t + v toplamı x + y + z + t + v = 2 + 2 + 3 + 8 + 2

= 17 bulunur.

Cevap: A

2.

• Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, sayının birler basamağı 4 veya 9 olmalıdır. Bu durumda sayılar 3X454 ve 3X459 dur. Ancak rakamları farklı olduğundan 3X454 sayısı alın-maz.

• 3 ile bölünebilmesi için sayının rakamları topla-mına bakılır. Sayının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, 5 " . X k X k X k Kalan oldu undan Rakamlar farkl oldu undan al nmaz

X 3 459 3 4 9 3 2 21 3 2 19 3 2 5 € › › € › " + + + + = + " + = + +_. = 8 2

Buna göre, X yerine yazılabilecek rakamlar toplamı, 2 + 8 = 10 bulunur.

(2)

www

.krakademi.com

3.

9 ile bölünebilme için sayının rakamları toplamına bakılır. 1 x y k 4 -5 +8=9 . Bu durumda, 4 3 x y 4 -5 =1 . .

x = 4 ve y = 3 olmalıdır. O hâlde seçeneklerde x ve y değerleri yerine yazılarak 9 ile tam bölünen seçenek bulunur.

A) 5x + 4y + 1 = 5·4 + 4·3 + 1 = 33 B) 5x – 4y + 1 = 5·4 – 4·3 + 1 = 9

Bu durumda 5x – 4y + 1 ifadesi 9 ile tam bölünür.

Cevap: B

4.

Bilgi:

Bir sayının 15 ile bölünebilmesi demek 15 = 3·5 olduğundan o sayının 3 ve 5 ile tam bölünebilmesi demektir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için sayının birler

basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Bu durumda sayılar, 6A10 ve 6A15 tir. Ancak sayı bir tek sayı olduğun-dan 6A10 alınmaz.

• Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için sayının rakamları toplamı 3 veya 3 ün katı olmalıdır.

9 3 6 " 0 . A A k A k Rakamlar farkl oldu undan al nmaz

6 15 6 1 5 3 12 3 › › € › " + + + = +_. =

Buna göre, A sayısı 0, 3 ve 9 olmak üzere 3 farklı değer alır.

Cevap: B

5.

Bilgi:

Bir sayının 55 ile bölünebilmesi demek 55 = 5·11 olduğundan o sayının 5 ve 11 ile tam bölünebilmesi demektir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; • Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için sayının birler

basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Bu durumda sayılar, 345a0 ve 345a5 tir.

• Bir sayının 11 ile bölünebilmesi için sayının birler basamağından başlanarak sırasıyla (+) ve (–) işaretleri konur. ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ç ) ü . a a k a k k i in a a r a a k a k k i in a a t r du 3 3 4 5 3 5 4 11 4 11 0 0 4 5 0 3 5 0 4 11 8 4 11 0 4 0 4 5 5 13 9 9 ç " " + + - + = - - = = - = = + + - + = - - = = - = = + + + - + - + - -+

Buna göre, a nın alabileceği değerler toplamı 9 + 4 = 13 bulunur.

(3)

www

.krakademi.com

6.

Bilgi:

Bir sayının 45 ile bölünebilmesi demek 45 = 9·5 (çar-panların aralarında asal olması gerekir.) olduğundan o sayının 5 ve 9 ile tam bölünebilmesi demektir. Ancak kalanlı sorularda

• Eğer kalan sayı bölen sayının (yani 45 in) çarpan-larından (5 ve 9 dan) küçük ise kalan sayılar ayrı ayrı çarpanların kalanı olarak kullanılır.

• Eğer kalan sayı bölen sayının çarpanlarından büyük ise, kalan sayı bölen sayının çarpanlarına ayrı ayrı bölünür.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; Sayının 45 ile bölümünden kalan 11 olduğundan, kalan sayı 45 sayısının çarpanlarından büyük demek-tir. O hâlde 11 sayısı 45 sayısının çarpanlarına bölü-nerek yeni kalanlar bulunur.

11 10 1 5 2 – 11 9 2 9 1 – O hâlde oluşan yeni durum;

• A73B sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir. • A73B sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 dir. Bu durumda,

• Bir sayının 5 ile bölümünden kalan 1 ise o sayının birler basamağı 1 veya 6 olmalıdır. Bu durumda sayılar A731 ve A736 dır.

• Bir sayının 9 ile bölümü için rakamları toplamına bakılır. Sayının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğu-na göre, 9 0 4 A A k A k A k A A k A k A k Kalan oldu undan 731 7 3 1 9 2 11 9 2 9 9 736 7 3 6 9 2 16 9 2 14 9 2 € " " " + + + = + + = + + = + + + = + + = + + = . .

olur. Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı 0 + 9 + 4 = 13 bulunur.

Cevap: C

7.

527ab sayısının 17 eksiği 30 ile tam bölünebildiğine göre,

527ab – 17 = 30k 527ab = 30k + 17 dir.

Yani 527ab sayısının 30 ile bölümünden kalan 17 dir. Bir sayının 30 ile bölünebilmesi demek 30 = 3·10 (Çarpanların aralarında asal olması gerekir.) oldu-ğundan o sayının 3 ve 10 ile tam bölünebilmesi demektir.

Sayının 30 ile bölümünden kalan 17 olduğundan, kalan sayı 30 sayısının çarpanlarından büyük demek-tir. O hâlde 17 sayısı, 30 sayısının çarpanlarına bölü-nerek yeni kalanlar bulunur.

17 15 2 3 5 – 17 10 7 10 1 – O hâlde oluşan yeni durum:

• 527ab sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 dir. • 527ab sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 dir.

Bilgi:

Bir sayının 10 ile bölümünebilmesi için sayının birler basamağı 0 olmalıdır. Bir sayının 10 ile bölümünden kalan o sayının birler basamağındaki rakama eşittir. • Sayının 10 ile bölümünedn kalan 7 ise sayının

bir-ler basamağı 7 olmalıdır. Bu durumda sayı 527a7 dir.

• Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için sayının rakam-ları toplamına bakılır. Sayının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,

5 a a k a k a k 527 7 5 2 7 7 3 2 21 3 2 19 3 " + + + + = + + = + + = . 8 2

olur. Buna göre, a nın alabileceği en büyük değer 8 dir.

(4)

www

.krakademi.com

8.

• abc sayısı 5 ile tam bölünebildiğine göre, sayının birler basamağı yani c sayısı 0 veya 5 olmalıdır. Ancak cab sayısı üç basamaklı oldu-ğundan c = 0 alınamaz. O hâlde c sayısı 5 tir. • acb sayısı 4 ile tam bölünebildiğine göre, sayının

son iki basamağı 00 veya 4 ün katı olmalıdır. c = 5 olduğundan, 6 2 ü › › › . b n kat olmal d r 5 "4 . olur. Yani b = 2 ve b = 6 dır.

• cab sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre, sayının rakamları toplamı 9 veya 9 un katı olmalıdır. c = 5 ve b = 2 için sayı 5a2 dir.

2 a a k a k 5 2 5 2 9 7 9 " + + = +_. =

c = 5 ve b = 6 için sayı 5a6 dır. a a k a k 5 5 9 9 6 6 11 " + + = + = . 7

Buna göre, a nın alabileceği değerler toplamı 2 + 7 = 9 bulunur.

Cevap: A

9.

Bilgi:

Bölünebilme sorularında sayının yerine kalan sayı ile işlem yapılabilir.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; x sayısının 7 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, x = 3 alınabilir. O hâlde, . x x dir 5 8 3 5 3 8 9 15 8 32 2₊ ₊ ₌ 2₊ _$ ₊ = + + =

32 sayısının 7 ile bölümünden kalan 32 28 4 bulunur. 7 4 – Cevap: D

(5)

www

.krakademi.com

10.

Bölünebilme sorularında sayının yerine kalan sayı kullanılacağından tek tek sayıların 9 ile bölümünden kalanlar kullanılır.

9 ile bölünebilme için sayının rakamları toplamına bakılacağından, • 1907 " 1 + 9 + 0 + 7 = 17 17 9 8 9 1 – • 3131 " 3 + 1 + 3 + 1 = 8 • 2017 " 2 + 0 + 1 + 7 = 10 10 9 1 9 1 – • 2014 " 2 + 0 + 1 + 4 = 7 Buna göre, . olur 1907 3131 2017 2014 8 8 1 7 64 7 71 $ $ $ $ + = + = + = . . . .

71 sayısının 9 ile bölümünden kalan 71 63 8 bulunur. 9 7 – Cevap: A

11.

a bc a bc 8 7 -. d r 100 ü Yani

a8bc – a7bc = 100 olur.

Sayının yerine kalan sayı kullanılabileceğinden 100 sayısının 15 ile bölümünden kalana bakılır.

100 90 10 15 6 –

a8bc sayısının 15 ile bölümünden kalan x olsun. a7bc sayısının 15 ile bölümünden kalan 9 olduğuna göre,

. a bc a bc x x olur 8 7 100 9 10 19 - = - = = . . .

Ancak bir sayının 15 ile bölümünden kalan 19 olama-yacağına göre tekrar bölme işlemi yapılır.

19 15 4 15 1 –

Buna göre, a8bc sayısının 15 ile bölümünden kalan 4 bulunur.

(6)

www

.krakademi.com

12.

7a + 5 ifadesi 3 ile kalansız bölünebildiğine göre,

a k 7 5 3 4 7 10 13 16 + = . 1 19

a nın alabileceği 20 den küçük değerler 7 tanedir.

Cevap: C

13.

İki basamaklı sayı ab olsun.

Bu sayının sağına ve soluna kendisi bir kez yazıldı-ğında elde edilen yeni sayı ababab sayısı olur. Elde edilen yeni sayının rakamları toplamına bakı-lırsa,

ababab " a + b + a + b + a + b = 3a + 3b olacağından, yani rakamları toplamı 3 ün katı olaca-ğından sayı 3 ile tam bölünür.

Cevap: B

14.

Hiç bir kısıtlama olmasa 120. sayı 120 olacaktı. Ancak 120 sayıda

5 120 ₂₄

= tane 5 olacaktır.

Bu durumda 24 sayı silinmiştir. Silinen 24 sayı sona eklenirse yeni sayı 120 + 24 = 144 olur.

Ancak yazılan bu sayılar arasında 125, 130, 135, 140 olduğundan 4 sayı silinecektir. Silinen bu 4 sayı sona eklenecektir. Eklenen sayılar 5 ile bölünemeyen sayılar olacağından sayılar (145 olamaz.)

146, 147, 148, 149 olur. O hâlde 120. sayı 149 bulunur.