Fark dizi uzaylarının köthe- teoplitz dualleri

ABSRACT Master Thesis

KÖTHE-TEOPLITZ DUALS OF

DIFFRENCE SEQUENCE SPACES _∆l∞( )p ,_∆c( p) and ∆c0(p)

Osman DUYAR Gaziosmanpaşa University

Graduate School of Natural And Applied Science Department Of Mathematics

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Osman ÖZDEMİR

In the first of chapter of this study, arranged as third chapters, fundamental definition and theorems used as long as the investigation have been given. In the second chapter, firstly the diffrence sequence spaces ∆l_∞( )p ,_∆c(p) ve ∆c0(p) have been introduced. And then the Köthe-Teoplitz duals of the sequence spaces _∆l∞( )p ,_∆c(p) and ∆c0(p) have been investigated. In the third chapter of the study, result and discussion has been given.

2008, 33 pages

Key Words: Diffrence sequence space, p=(p_k) bounded sequence of positive reals, The dual of Köthe-Teoplitz

( )p ∞ ∆l ,_∆c( p) ve ∆c0(p) FARK DİZİ UZAYLARININ KÖTHE-TEOPLITZ DUALLERİ Osman DUYAR Gaziosmanpaşa Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Osman ÖZDEMİR

Üç bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümünde, çalışma boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölüm ilk kısmında ∆c p( ), ∆c p₀( ) ve ∆l_∞( )p

fark dizi uzayları tanıtılmıştır. İknci kısmında ise , _∆c p( ), _∆c p₀( ) ve _∆l∞( )p fark dizi

uzaylarının Köthe-Teoplitz dualleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise tartışma ve sonuç

verilmiştir.

2008, 33 sayfa

Anahtar Kelimeler: Fark dizi uzayları, p=(pk) pozitif keyfi reel sayı dizisi, Bir dizi

1. GİRİŞ

w ile kompleks terimli bütün dizilerin cümlesi gösterilsin. w ’ nın herhangi bir alt

uzayına dizi uzayı denir.Dizi uzayları ile ilgili olarak yapılan nitelikli çalışmalar arasında;

a) Yeni bir dizi uzayı inşa etmek,

b) _{Bu uzayla standart dizi uzayı arasındaki kapsama bağıntılarını incelemek,} c) Bu uzayın α β, duallerini belirlemek,

d) Bu uzayla standart uzaylar arsında matris karakterizasyonları yapmak. gibi maddeler gösterilebilir.

Fark dizi uzayı kavramı literatüre ilk defa Kızmaz tarafından kazandırıldı. Kızmaz 1981 yılında “On Certain Sequence Spaces” künyeli çalışmasında c₀( ), ( )_∆ c _∆ ve l_∞( )_{∆ dizi}

uzaylarını tanımlayarak bu uzayların bazı özelliklerini inceledi. Et ve Çolak (1992) tarafından bu dizi uzayları pozitif bir m sayısı için genelleştirilmiş ve

0( ), ( ) ( )

m m m

c ∆ c ∆ ve l_∞ ∆ dizi uzayları tanımlanmış ve bu uzaylar arasındaki ilişkiler

Et tarafından doktora çalışması olarak sunulmuştur.

p=(pk) pozitif reel sayıların keyfi bir dizisi olsun. Verilen herhangi bir x∈w

dizisi için l_∞( ), ( )p c p , c p₀( ) ve l

_{( )}

p cümleleri Maddox tarafından ( )

{

:sup pk

}

k k p x w x ∞ = ∈ < ∞ l c p

{

x w x l pk l C için

}

k − → ∈ ∈ = : 0, ) ( ( )=

{

∈ : pk →0

}

k o p x w x c

_{( )}

1 : k p k k p x w x ∞ =     = ∈ < ∞   

∑

 l şeklinde tanımlandı.

Bu çalışmada, Ahmad ve Mursaleen (1987) tarafından tanımlanan _∆l∞( )p ,_∆c(p) ve )

(

0 p c

1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Bu kısımda, tez çalışması boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilecektir.

Tanım 1.1.1 S , sıralı bir cümle ve E_{⊂ olsun. Eğer, x E}S _{∀ ∈ için x≤}M olacak şekilde

bir M∈ mevcutsa, E cümlesine, üstten sınırlı bir cümle ve M ’ye da E ’nin üst sınırı S

denir. Eğer, x E_{∀ ∈ için m≤ olacak şekilde bir m S}x _{∈ mevcutsa o zaman E cümlesine} alttan sınırlı bir cümle ve m’ye de E ’nin bir alt sınırı denir. Hem alttan hem de üstten sınırl olan cümleye sınırlı bir cümle denir (Rudin,1976).

Teorem 1.1.1. E , üstten sınırlı bir cümle olsun. Bu takdirde; E ’nin üst sınırları içerisinde

bir en küçüğü vardır (Anderson, 1970).

Teorem 1.1.2. E , alttan sınırlı bir cümle olsun. Bu takdirde; E ’nin alt sınırları içerisinde bir

en büyüğü vardır (Anderson, 1970).

Teorem 1.1.3. E ⊆ , sınırlıdır ⇔ ∃ > ∋ ∀ ∈K 0 x E, x ≤K dır (Anderson, 1970).

Tanım 1.1.2. X ≠ ∅ olacak şekilde bir X cümlesi verilsin. :x _→X fonksiyonuna,

X

’de bir dizi denir ve x=

_{( )}

x_n ile gösterilir (Kreysig,1978).

Tanım 1.1.3. x=

_{( )}

x_n reel sayılarda keyfi bir dizi olsun. Eğer ,

( )

( )

n

0, N n N , x a

ε ε ε ε

∀ > ∃ ∈ ∋ ∀ > − <

kalıyorsa, bu taktirde

_{( )}

x_n ’ne yakınsak, a ∈ ’ye,

( )

x_n dizisinin limiti denir ve lim n n→∞x =a ile gösterilir (Anderson ,1970).

Teorem 1.1.4. 1 n n a ∞ =

∑

serisi, yakınsak ise, bu taktirde lim _n 0

n→∞a = dır (Anderson, 1970). Tanım 1.1.4. Eğer 1 n n a ∞ =

∑

serisi yakınsak ise, bu taktirde 1 n n a ∞ =

∑

serisine mutlak yakınsaktır denir ve 1 n n a ∞ = < ∞

Teorem 1.1.5. Eğer,

(

veya

)

de, 1 n n a ∞ =

∑

serisi, mutlak yakınsak ise, bu seri yakınsaktır (Anderson,1970). Teorem 1.1.6. 1 k k a ∞ =

∑

ve 1 k k b ∞ =

∑

pozitif terimli iki seri olsun. _{∀ ∈}n ve k_>0 için,

an≤k b. n ve 1 k k a ∞ =

∑

serisi yakınsak ise, 1 k k b ∞ =

∑

serisi de yakınsaktır (Anderson,1970). Tanım 1.1.5.X , boş olmayan bir cümle olsun.

M1: _∀x y, _∈X , d x y

₍

,

₎

_∈ +_∪

_{{ }}

0 M2: d x y

₍

,

₎

_{= ⇔ =}0 x y M3: _∀x y, _∈X , d x y

(

,

)

₌d y x

(

,

)

M4: ∀x y z, , ∈X , d x y

₍

,

₎

_≤d x z

₍

,

₎

₊d z y

₍

,

₎

aksiyomlarını sağlayan :d X×X →

fonksiyonuna, X için bir metrik,

₍

X d,

₎

ikilisine de bir metrik uzay denir (Kreyzsig,1978).

Tanım 1.1.6. X ≠ ∅ olacak şekilde bir X cümlesi verilsin. x: _→X fonksiyonuna X ’de bir dizi denir ve x=

_{( )}

x_n ile gösterilir (Kreysig,1978).

Tanım 1.1.7.

₍

X d,

₎

, bir metrik uzay ve x₌

_{( )}

x_n , X ’de bir dizi olsun. Eğer

∀ >ε 0, ∃N

_{( )}

ε ∈ ∋ ∀ >n N

_{( )}

ε , d x x

₍

_n, ₀

₎

<ε

kalıyorsa, bu taktirde

_{( )}

x_n ’ne yakınsak, x_0∈X’e,

_{( )}

x_n dizisinin limiti denir (Kreysig,1978).

Tanım 1.1.8.

₍

X d,

₎

, bir metrik uzay ve x₌

_{( )}

x_n , X ’de bir dizi olsun. Eğer

∀ >ε 0, ∃N

_{( )}

ε ∈ ∋ ∀n m, >N

_{( )}

ε , d x x

₍

n, m

₎

<ε

kalıyorsa,

_{( )}

x_n dizisine, X ’de bir Cauchy dizisi denir (Maddox,1988).

Teorem 1.1.7.

₍

X d,

₎

bir metrik uzay,

( )

x_n , X ’de yakınsak herhangi bir dizi olsun. Bu taktirde,

_{( )}

x_n bir Cauchy dizisidir (Maddox, 1988).

Tanım 1.1.9.

₍

X d,

₎

bir metrik uzay olsun. Eğer X ’de her Cauchy dizisi, X ’de bir

noktaya yakınsıyorsa, X ’e tam metrik uzay denir (Maddox, 1988)

Tanım 1.1.10. X, boş olmayan bir cümle ve K, bir cisim olsun.

₊: X X_{× →}X

₍

x y,

₎

_{→ +}

₍

x y,

_{) (}

₌ x₊ y

₎

ve

.

: K X_{× →}X

₍

λ,x

₎

→ ⋅

₍

λ,x

₎

=λx

İşlemleri verilmek üzere, eğer,

V1) _∀x y, _∈X, x y_{+ = +} y x

V2) _∀x y z, , _∈X ,

₍

x₊y

₎

_{+ = +}z x

₍

y₊z

₎

V3) x X_{∀ ∈} , x_{+ = olacak θ} x şekilde bir tek _{θ ∈ vardır} X

V4) Her bir x X_∈ , x_{+ −}

_{( )}

x _=θ olacak şekilde bir tek x X_{− ∈} vardır

V5) x X_{∀ ∈} , 1 x x_{⋅ =}

V6) _∀x y, _∈X ve _{∀ ∈α} K, α⋅

₍

x+y

₎

=αx+αy V7) _{∀ ∈}x X ve _{∀α β}, _∈K,

(

α β+

)

x=αx+βx V8) _{∀ ∈}x X ve _{∀α β}, _∈K, α β

( ) (

x = αβ

)

x

şartları sağlanıyorsa, X cümlesine K cismi üzerinde bir lineer uzay (vektör uzay) denir (Kreyzsig, 1978).

Teorem1.1.7. X , K cismi üzerinde bir lineer uzay ve Y , X’ in boş olmayan bir alt kümesi

olsun. Y’ nin Xlineer uzayının bir alt uzayı olması için gerek ve yeter şart _∀y y₁, _2∈Y ve 1, 2 K

α α

∀ ∈ için

α

1 1y +

α

2 2y ∈ olmasıdır (Kreyzsig, 1978). Y

Tanım 1.1.11. X ve Y , aynı bir K cismi üzerinde lineer uzaylar ve f X: _{→ tanımlı bir} Y

dönüşüm olsun. Eğer ∀x x₁, ₂∈X ve _∀

_{α β}

, _∈K skalerleri için,

f

₍

αx1+βx2

₎

=αf x

_{( )}

1 +βf x

_{( )}

2

ise f ’ye bir lineer dönüşüm denir (Maddox, 1988).

X’den Y ’ye olan bütün lineer dönüşümlerin cümlesi, L X Y

(

,

)

ile gösterilir. Özel olarak,

Y =K olarak alınırsa, f lineer dönüşümüne, X üzerinde bir lineer fonksiyonel denir

(Maddox, 1988).

Tanım 1.1.12. X , bir lineer uzay ve ⋅ : X → bir fonksiyon olsun. Eğer her ,x y_∈X ve her

_α

skaleri için;

N1: x X_{∀ ∈} için x ≥0

N2: x = ⇔ =0 x θ N3: αx =α x N4: x+y ≤ x + y

şartları sağlanıyorsa, bu taktirde; ⋅ fonksiyonuna X üzerinde bir norm ve

(

X, ⋅

)

ikilisine

de normlu uzay denir (Maddox, 1988).

Tanım 1.1.13. x=

_{( )}

x_n ,

(

X, _⋅

)

normlu uzayında bir dizi olsun. Eğer, _{∀ > için}

_ε

0

( )

N N ε n N

∃ = ∈ ∋ ∀ ≥ , xn−a <ε kalıyorsa

( )

xn dizisine a X∈ ’e norma göre

Tanım 1.1.14. x=

_{( )}

x_n ,

(

X, .

)

de bir dizi olsun. Eğer; n∀ ∈ için, x ≤M olacak şekilde

en az bir M +

∈ bulunabiliyorsa, x=

_{( )}

xn dizisine, sınırlı dizi denir (Kreysig, 1978).

Tanım 1.1.15.

₍

X, ⋅ , normlu bir uzay ve

₎

_{( )}

xn ’ de bu uzayda bir dizi olsun. Eğer,

(

)

0 ,

m n

x −x → m n→ ∞

ise, bu taktirde

_{( )}

x_n dizisine,

(

X, ⋅

)

normlu uzayında bir Cauchy dizisi denir

(Maddox, 1988).

Tanım1.1.16. Eğer X normlu uzayı tam ise, X ’e bir Banach uzayı denir (Maddox,1988).

Tanım 1.1.17. E bir dizi uzayı olsun. Bu durumda;

( )

( )

( )

1 1 1 : : : sup k k k k k k k k n k k k n k a a x E için a x a a x E için a x yakınsak a a x E için a x ω ω ω ∞ = ∞ = =   = ∈ ∀ ∈ < ∞       = ∈ ∀ ∈       = ∈ ∀ ∈ < ∞    

∑

∑

∑

cümlelerine, sırasıyla, E uzayının ,α β ve γ− duali denir ve sırasıyla, Eα,Eβve Eγile gösterilir. Her hangi bir E dizi uzayı için, Eα _⊂Eβ _⊂Eγ dır. Ve ayrıca da, eğer,

{

, ,

}

ξ∈ α β λ ve E_⊂F ise Fξ _⊂Eξ dır (Garling, 1967).

Bir karışıklık olmadığı sürece bu çalışmada Eα yerine E† ve Eβ yerine E†’ yi kullanacağız.

2. ∆l_∞( )p ,_∆c( p) VE ∆c0(p) DİZİ UZAYLARININ KÖTHE-TOEPLITZ DUALLERİ

2.1. l_∞, ,c c₀, ( ),l p l_∞( ), ( )p c p ve c p , Dizi Uzayları . _{0( )}

Bu kısımda, l∞, ,c c0, ( ),l p l∞( ), ( )p c p ve c p0( ), dizi uzayları tanıtılmıştır.

Tanım2.1.1. w, bütün x₌(x_k) kompleks dizilerinin cümlesi olsun.w’ nin herhangi bir alt uzayına, dizi uzayı denir (Maddox, 1988).

Tanım2.1.2. x w_{∈ olmak üzere, sınırlı, yakınsak ve sıfıra yakınsayan dizi uzayları, sırasıyla,}

:sup n

}

n x w x ∞  = ∈ < ∞  l

{

:lim _n

}

n c x w x mevcut →∞ = ∈ ₀

{

:lim _n 0

}

n c x w x →∞ = ∈ =

şeklinde tanımlanır (Maddox, 1988).

Tanım2.1.3. p=(pk), pozitif reel sayıların keyfi bir dizisi olsun. Verilen herhangi bir

w

x∈ dizisi için, l_∞( ), ( )p c p , c p₀( ) ve ( )l p cümleleri; sırasıyla,

( )

{

: sup pk

}

k k p x w x ∞ = ∈ < ∞ l ( )

{

: , pk 0

}

k c p ₌ x_∈w _{∃ ∈}l için x ₋l _→ ( )=

{

∈ : pk →0

}

k o p x w x c

_{( )}

1 : k p k k p x w x ∞ =     = ∈ < ∞   

∑

 l

2.2. ∆l_∞( )p ,_∆c( p) ve ∆c0(p) Fark Dizi Uzaylar

Tanım2.2.1. . Verilen herhangi bir x_∈w dizisi için, ∆x=(xk −xk+1) olsun. X her hangi bir dizi uzayı olmak üzere,

∆X=

_{

x∈w:∆x∈X

_}

şeklinde tanımlanan dizi uzaylarına, “fark dizi uzayları” denir. X yerine c c, ₀ ve l_∞ dizi uzayları yazılarak, _∆c, _∆c₀, _{∆l dizi uzayları a∞} şağıdaki gibi

_∆c₌

_{

x_∈w:_∆x_∈c

_}

∆c₀=

_{

x∈w:∆x∈c₀

_}

∆l_∞=

_{

x∈w:∆ ∈x l_∞

_}

tanımlanır (Kızmaz, 1981).

2.3. _∆l∞( )p ,_∆c(p) ve ∆c0(p) Fark Dizi Uzaylarının Köthe-Toeplitz Dualleri

Tanım2.3.1. X boş olmayan herhangi bir cümle olsun,

1 : , _{k k} k a w x X a x yakınasak ∞ =   ∈ ∀ ∈    

∑

1 : , _{k k} . k a w x X a x ∞ =   ∈ ∀ ∈ < ∞    

∑

cümlelerine, sırasıyla X cümlelesinin Adi ve Mutlak Köthe-Toeplitz Dualleri denir ve sırasıyla †

X ve X† ile gösterilir. Benzer şekilde,

X ’ in II. Adi ve Mutlak Köthe-Toeplitz dualleri de, sırasıyla _X†† _ve ††

X ile gösterilir

Tanım2.3.2. p=(pk) pozitif reel sayıların keyfi bir dizisi olsun. Verilen herhangi bir

w

x∈ dizisi için ∆x=(xk −xk+1) olsun. Buna göre ∆c p( ), ∆c p0( ) ve ∆l∞( )p cümleleri

sırasıyla ∆l_∞( )p =

_{

x∈w:∆ ∈x l_∞( )p

_}

_∆c(p)₌

_{

x_∈w:_∆x_∈c(p)

_}

∆c₀(p)=

_{

x∈w:∆x∈c₀(p)

_}

şeklinde tanımlanır (Ahmad ve Mursaleen, 1987).

( )p ∞

∆l ve ∆c0(p) ‘nin mutlak Köthe-Toeplitz duallerini belirlerken anlaşılması zor bazı argümanlara başvurulmuştur.

(i) x_{∈ ∆}l_∞( )p olduğu, genelde, aşağıda bir sayıcı örneğin göstereceği gibi N >sup_k k−1x_k olacak şekilde sonlu bir N doğal sayısının varlığını gerektirmez,

Eğer, −1 = k p_k ve ( 2) k x_k = (k=1, 2, 3, . . .) ise, butaktirde, 1 2 2 1 1 ( 1) 2 1 (2 1) 2 1 1 . 2 1 lim lim 2 1 k k p _k k k k k k _k p _k k k k k x k k k k k k k x k k →∞ →∞ ∆ = − + = − − = + = + = + ∆ = + = olur. Bu yüzden

(

x pk

)

c k ∈ ∆ dir. c_{⊆ l olduğundan ∞}

(

pk

)

k x _∞

∆ ∈ l olur. Bu yüzden de, x_{∈ ∆l∞}( )p dir. Fakat,

_sup 1 _sup 1 2 _sup

k

k k k

olduğundan, 1

sup k

k

N _> k− x _{olacak şekilde bir N doğal sayısı yoktur. O halde,}

) ( p l x_{∈∆ ∞} ⇒ 1 sup _k k N k− x

> olacak şekilde bir N sonlu sayısı yoktur.

(ii) a=( )a_k , en az bir N >1 için,

∑

∞ = ∞ = 1 1 . . k p k k N a k

olacak şekilde bir dizi ise, bu taktirde, k

p

k kN a

x . k sgn 1

= ile tanımlı bir x dizisi, genelde

) ( p

l_∞

∆ de değildir.

Bunu görmek için, p_k = ve k ak =(−1)k (k=1, 2, 3, …) alalım. Bu takdirde,

∑

∞ = = 1 1 . . k p k k N a k

∑

− =

∑

=∞ ∞ = ∞ = 1 1 1 1 . . ) 1 ( . k k k k k _{N kN} k

elde edilir. Bununla beraber,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . .sgn ( 1) .sgn . .sgn( 1) ( 1) .sgn( 1) . ( 1). 1 1 1 k k k k k p p k k k p p p k k k k k k k k k k k k _{k k} x x x k N a k N a k N k N k N k N k N N k + + + + + + − + ∆ = − = − + = − − + −   = + +        =  + +       1 ( 1) 1 1 1 k k k k k N N k − +  _{ }  = _ + +  _     olduğundan ∆ pk →∞ k x ’dır. Bu yüzende x∉ ∆l_∞( )p ’dır.

Tanım2.3.3. a=( )ak , kompleks terimli bir dizi olsun. Buna göre aşağıdaki cümleler 1 1 (1) 2 _{1 1} ( ) : j k p k N _{k j} D p a w a N ∞ − ∞ ∞ = _{= =}     =  ∈ < ∞  _ 

∑ ∑

I 1 1 1 (2) 2 2 ₁ ( ) :sup j k p k k N _j D p a w a N − − ∞ ∞ ≥ = ₌  _{ }    =  ∈   < ∞    _{ } _ 

∑

U 1 1 (1) 0 2 _{1 1} ( ) : j k p k N _{k j} D p a w a N ∞ − − ∞ = _{= =}     =  ∈ < ∞  _ 

∑ ∑

U 1 1 1 (2) 0 2 2 ₁ ( ) :sup j k p k k N _j D p a w a N − − − ∞ ≥ = ₌  _{ }    =  ∈   < ∞    _{ } _ 

∑

I

ifade edilmiştir (Malkowsky, 1989).

Teorem2.3.1. p₌(p_k), kesin pozitif reel sayıların herhangi bir dizisi ise, bu taktirde _{( ( ))}† (1)_{( )} l_∞ p D_∞ p ∆ = dır (Malkowsky, 1989). İspat : (1)( ) p D

a_{∈ ∞} ve x_{∈ ∆}l_∞( )p keyfi olsunlar. max(1,sup pk)

k k N _{> ∆}x seçelim.

∑

∑

∞ = ∞ = + − − = 1 1 1 1 ) ( k k k k k k kx a x x xa a =

∑

∞

∑

= − = + + − − 1 1 1 1 1) ( ( k k k j j j k x x xa a

∑

∞

∑

= − =         + ∆ ≤ 1 1 1 1 k k k j j k x x a a

∑

∑

∑

∞ = ∞ = − = + ∆ ≤ 1 1 1 1 1 k k k k j j k x x a a (2.3.1)

∑ ∑

∑

∞ = ∞ = − = + ≤ 1 1 1 1 1 1 k k k k j p k N x a a j ∞ < (2.3.2) elde edilir. O halde, a_{∈ ∆l}( _∞( ))p † dir. ∀a∈D_∞(1)(p) için, a_{∈ ∆l}( _∞( ))p † olduğundan,

(1) † ( ) ( ( )) D_∞ p _{⊆ ∆l∞} p (2.3.3) elde edilir. Tersine olarak, N > , 1 (1)( ) p D

a∉ _∞ olduğunu kabul edelim. Bu durumda,

∑

∑

=∞

− = ∞ = 1 1 1 1 k j p k k j N a olur. x dizisini,

∑

− = = 1 1 1 k j p k j N

x şeklinde tanımlayalım vex_{∈ ∆l∞}( )p olduğunu gösterelim .

x x x N N k k k p p k k p k = − = − = ∆ + 1 1 olduğundan, x_{∈ ∆l∞}( )p dır. Böylece,

∑

₌

∑ ∑

₌

∑ ∑

∞ _=∞ = − = ∞ = ∞ = − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k j p k k k k j p k k k j j N a N a x a

olduğundan, a_{∉ ∆l}( _∞( ))p † dır. O halde, her (1)( )

p D a_{∉ ∞} ⇒ a_{∉ ∆l}( _∞( ))p † olduğundan, † ( ( )) a_{∈ ∆l∞} p ⇒ (1)( ) p D a_{∈ ∞} olur. Bu yüzdende, (_∆l∞( ))p † _⊆ D_∞(1)(p) (2.3.4) 2.3.3 ile 2.3.4 birleştirilirse, (_∆l∞( ))p † =D_∞(1)(p) elde edilir.

Teorem 2.3.2 p =(pk), kesin pozitif reel sayıların herhangi bir dizisi ise, bu taktirde, _{( ( ))}†† (2)_{( )} p D p ∞ ∞ ∆l = dır (Malkowsky,1989). İspat : (2)( ) p D

a_{∈ ∞} ve x_{∈ ∆l}( _∞( ))p † , keyfi olsunlar. Teorem2. 3. 2 den dolayı, † (1) (_∆l_∞( ))p ₌D_∞ ( )p olduğundan, (1)( ) p D x_{∈ ∞} ’ dir. Bu taktirde, 1 1 1 2 1 sup j k p k k _j a N − − ≥ ₌   < ∞     

∑

 ve

∑

∑

− _<∞ = ∞ = 1 1 1 2 k j p k k j N x

olduğundan, en az bir N >1 için,

∑

∑

∞ = ∞ = = 2 1 k k k k k kx a x a = k k j p k j p k k N N x a j j 1 1 1 1 1 1 1 2 − − = − = ∞ =                

∑

∑

∑

≤ 1 1 1 1 1 2 1 2 1 sup j j k k p p k k k _{j k j} a N x N − − ∞ − ≥ _{= = =}     < ∞         

∑



∑



∑

 1 k k k a x ∞ = ⇒

∑

_{< ∞}

elde edilir. Bu yüzdende, a∈ ∆l( _∞( ))p †† dır .

_{∀ ∈} ⇒ ∞ ( ) ) 2 ( p D a a_{∈ ∆l}( _∞( ))p †† olduğundan , ∞ ( )⊆ ) 2 ( p D (_∆l∞( ))p †† (2.3.5) yazılabilir .

Tersine olarak , (2)( )

p D

a_{∉ ∞} keyfi olsun . Bu taktirde ∀N >1 ,

1 1 1 2 1 sup j k p k k _j a N − − ≥ =   = ∞      

∑

yazılabilir. Buradan da , ∀m∈

_{

2,3,4,...

_}

, 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( m m a m k j p m k j >         − − =

∑

(2.3.5*)

olacak şekilde, k(m)≥2 şartını sağlayan, pozitif tam sayıların kesin artan bir ( mk( )) dizisi

vardır. m_{∈ −}

_{

1

_}

olmak üzere, 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) k m k a k k m x k k m −  ₌  =  ≠  ) (xk

x₌ dizisini tanımlayalım. Buna göre,

∑

∑

=

∑

∑

+

∑

+ − = − = − = − = ∞ = 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 1 1 1 ) 2 ( 1 1 1 1 1 k j p k k j p k k k k j p k k j j j N x N x N x

∑

∑

₊

∑

₊ − = − = − + = 1 ) 3 ( 1 1 ) 3 ( 1 1 1 1 ) 3 ( 1 ) 2 ( k j p k k j p k k k k j j N x N x . . . ... 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 ) 1 ( + + +

∑

∑

∑

− = − = − + − = m k j p m k k j p m k m k k k j j N x N x =

∑

+ − = 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( k j p k j N x

∑

₊ − = 1 ) 3 ( 1 1 ) 3 ( k j p k j N x . . . +

∑

+ − = 1 ) ( 1 1 ) ( m k j p m k j N x . . . =

∑

∑

− = ∞ = 1 ) ( 1 1 2 ) ( m k j p m m k j N x

=

∑

∑

− = ∞ = − ( ) 1 1 1 2 1 ) ( m k j p m m k j N a =

∑

∑

− ₊ = − = − ( ) 1 1 1 1 2 1 ) ( m k j p N m m k j N a

∑

∑

− = ∞ = − ( ) 1 1 1 1 ) ( m k j p N m m k j N a _≤

∑

∑

− ₊ = − = − ( ) 1 1 1 1 2 1 ) ( m k j p N m m k j N a

∑

_<∞ ∞ = − N m m 2

elde edilir. Bu yüzden de 2.3.5* dan, †

( ( )) x_{∈ ∆l∞} p dır. Bununla beraber , 1 k k k a x ∞ = =

∑

∑

+ + − = ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 k k k k k kx a x a

∑

_{+ +} − + = ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) (! k k k k k k kx a x a . . . = ak(1)xk(1) + ak(2)xk(2) + . . . + ak(m)xk(m) + . . . = (1) (1) 1 − k k a a + (2) (2) 1 − k k a a + . . . + ( ) ( ) 1 − m k m k a a + . . . = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . =

∑

= ∞ ∞ =1 1 k olduğundan †† ( ( ))

a_{∉ ∆l∞} p elde edilir. Buradan da,

_[

(2) ( ) a∉D_∞ p ⇒ ††

_]

( ( )) a_{∉ ∆l∞} p ⇔

[

a_{∈ ∆l}( _∞( ))p †† ⇒ a_∈D_∞(2)( )p

]

olacağından, †† (_∆l∞( ))p _⊆ D_∞(2)(p) (2.3.6)

elde edilir. 2.3.5 ve 2.3.6 birleştirilirse,

(∆l_∞( ))p †† = (2)( )

p

D_∞

Teorem 2.3.3. p=(pk), kesin pozitif reel sayıların herhangi bir dizisi ise bu taktirde † (1) 0 0 (_∆c p( )) ₌D ( )p dır (Malkowsky,1989). İspat : (1)( ) 0 p D a_∈ keyfi olsun .

∑

− ₌ = − 1 1 1 1 1 k j p p j N N 1 1 p N ( 1 1 p N − + 2 1 p N − + . . . + 1 1 − − k p N ) = 1 + 2 1 1 2 p p p p N − + 3 1 1 3 p p p p N − + . . . + 11 1 1 p p p p k k N − −− >1 ve ak ≥0 olduğundan , _k k j p p k N N a a j ≥

∑

− = − 1 1 1 1 1 (2.3.7)

elde edilir. Bu yüzdende, Teorem1.1.6(mukayese testi) dan dolayı ,

∑

∑

−

= − ∞ = 1 1 1 1 1 1 k j p p k k j N N a

serisi yakınsak olduğundan,

∑

∞

=1

k k

a serisi de yakınsaktır.

Şimdi de x∈∆c0(p) , keyfi olsun . Bu taktirde, ( x ) c0 k p k ∈ ∆ olduğundan, ∀ε > 0,∃ k0(ε)∈Ν ∋ ∀k> k0(ε), _∆ pk _<

_ε

k x (2.3.8)

kalır . _ε keyfi olduğundan özel olarak N

1 =

Bu yüzdende, 0(1) N k k _> ∀ , N x pk k 1 <

∆ kalır. Buradan da,

∋ Ν ∈ ∃ 0(1) N k       > ∆ : 0(1) N k k x pk k cümlesi, N 1

ile üstten sınırlı olduğundan,

Teorem1.1.1 den, ∃ 0(1)∈Ν ∋ N k N N k k x pk k 1 ) 1 ( : sup 0 ≤       > ∆ _∃ 0(1)_{∈Ν ∋} N k 0 1 sup pk k k k x N > ∆ ≤ kalır. 0 1max k p k k k M x ≤ ≤ = ∆ ve 0 1mink k k m p ≤ ≤

= olmak üzere, L ₌ (M₊1).N olsun.

) (y_k y ₌ dizisi de, 1 ( ) m k k

y = x L− k∈ olarak tanımlansın. Butaktirde k_{∀ ∈ ,}

k k k k p k m p p k m p k L x L x y _{= ∆ = ∆} ∆ − ( ) − 1

yazılabilir . k ∈ olduğundan 1≤k≤k0 yada k >k0 dır. 0 1_≤k_≤k ise, k k k p k m p p k L x y _{= ∆} ∆ − pk k x L _∆ ≤ −1 0 1 sup pk k k k y ≤ ≤ ∆ ≤ 0 1 1 sup pk k k k L− x ≤ ≤ ∆ = 0 1 1 sup pk k k k M L x L − ≤ ≤ ∆ = 0 1 sup pk k k k y ≤ ≤ ∆ ≤ N N M M L M 1 ) 1 ( + < = 0 1 sup pk k k k y ≤ ≤ ∆ ≤ N 1 (2.3.9) elde edilir.

0 k k > ise, k k k k p k m p p k m p k L x L x y = ∆ = ∆ ∆ − ( ) − 1 olduğundan , 0 sup pk k k k y > ∆ ≤ 0 1 sup pk k k k L− x > ∆ ≤ 0 1 sup pk k k k x N > ∆ ≤ 0 sup pk k k k y > ∆ ≤ N 1 (2.3.10)

elde edilir. Bu yüzden de, 2.3.9 ve 2.3.10 birleştirilirse,

sup pk k k y ∈ ∆ ≤ N 1 elde edilir. 1 . m ( ) k k y ₌ x L− k_∈ olduğundan, 1 . m k k

x ₌ y L elde edilir. Buradan da,

∑

= ∞ =1 k k kx a m _k k k L y a 1 1

∑

∞ = = _k k k m _{a y} L

∑

∞ =1 1 =

∑

∞ =1 1 k k k m _{a y} L (2.3.11) yazılır . ( ) x∈ ∆l_∞ p ve (1)( ) (1)( ) 0 p D p D ⊆ _∞ olduğundan, a∈ ∆l( _∞( ))p † dır. Bu yüzden de,

∑

∞ _<∞ =1 k k ky a dır. 2.3.11 den dolayı da ,

∑

_{< ∞} ∞ =1 k k kx a dır.Yani, † 0 ( ( )) a∈ ∆c p dır. O halde ∀a∈D0(1)(p) için † 0 ( ( )) a∈ ∆c p olduğundan, (1)( )⊆ 0 p D (∆c p0( ))† (2.3.12)

Tersine olarak, (1)( )

0 p D

a∉ olsun. Bu taktirde k( =1) 1 _{ve s ∈ için,}

( 1) 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( > + =

∑

∑

− = − − + = k j p s k s k k k s j s a M

olacak şekilde kesin artan bir

₍

k s( )

₎

dizisi vardır. x dizisi , ( )k s ≤ ≤k k s( + −1) 1 ,s∈ Ν olmak üzere,

∑

∑

∑

− = − − + = − − = + + + = 1 ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( k s k j p l k l k j p s l k j j s l x

olarak tanımlansın. Bu taktirde,

∑

∑

∑

− = − − + = − − = + + + = 1 ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( k s k j p l k l k j p s l k j j s l x ve

∑

∑

∑

= − − + = − − = + = + + + k s k j p l k l k j p s l k j j s l x ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 1 1 ( 1) ( 1) olduğundan, pk k k k x x s x 1 1 ( 1) − + =− + − = ∆ 1 1 1 1 + = + = ∆ − s s x_k pk ( ( )k s ≤ ≤k k s( + −1) 1ve s∈ ) elde edilir . ∞ → s iken k(s)→∞ ve k(s)≤k≤k(s+1)−1 olduğundan ∞ → ) (s k iken k _→∞ dır. O halde, 0 1 1 lim lim ₌ + = ∆ →∞ ∞ → s x_k p _s k k

olacağından, x∈∆c0(p) dir. ( ) ( 1) 1 k s _{≤ ≤}k k s_{+ −} ve s_∈ olmak üzere,

∑

∑

∑

− = − − + = − − = + + + = 1 ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( k s k j p l k l k j p s l k k k j j s l a x a olduğundan,

∑

− = − + ≥ 1 ) ( 1 ) 1 ( k s k j p k k k j s a x a

elde edilir. Buradan da, 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) ( ) 1 ( 1) j k s k s k p k k k s k k s k k s j a x a s M + − + − − − = = = ≥ + =

∑

∑

∑

elde edilir. Bu yüzdende,

∑ ∑

_≥

∑

_>

∑

∞ _{= ∞} = ∞ = ∞ = − + = 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 s s s s s k s k k k kx M a

∑ ∑

=

∑

>∞ ∞ = ∞ = − + = 1 1 1 ) 1 ( ) ( k k k s s k s k k k kx a x a

∑

= ∞ ∞ =1 k k kx a

elde edilir. O halde, †

0

( ( ))

a_{∉ ∆}c p dir. Buradan da,_∀a_∉D0(1)(p)⇒

† 0 ( ( )) a_{∉ ∆}c p olduğundan, (∆c p0( ))† ( ) ) 1 ( 0 p D ⊆ (2.3.13)

elde edilir. 2.3.12 ve 2.3.13 birleştirilirse,

† 0 (_∆c p( )) = (1)( ) 0 p D elde edilir.

Teorem 2.3.4. p=(pk), kesin pozitif reel sayıların herhangi bir dizisi ise butaktirde, †† (2) 0 0 (_∆c p( ) ₌D ( )p dır (Malkowsky,1989). İspat : _{∀ N∈Ν−}

{

1

}

için,         ∞ < ∈ =

∑

∑

− = − ∞ = 1 1 1 1 : k j p k k N j N a w a E ve 1 1 1 2 ₁ : sup j k p N k k j F a w a N − − − ≥ =  _{ }    = ∈   < ∞    _{ } _ 

∑

olsun. † N N

F ₌ E olduğunu gösterelim.

Garling (1967) Teorem1.3 kullanılarak ,

† † 2 N 2 N 2 N N N N E E F ∞ ∞ ∞ = = =   = =    U  I I † 1 1 2 : _{1 1} j k p k N _{k j} a w a N ∞ − − ∞ = _{= =}  _ _  _{ ∈ < ∞}  _{ }   

∑ ∑

U = 1 1 1 2 2 : sup ₁ j k p k N _j a w a N − − − ∞ ≥ = ₌  _{ }    ∈   < ∞      _{ } _ 

∑

I (1) † (2) 0 0 (D ( ))p ₌ D ( )p

yazılır. Teorem2.3.3’ ü kullanarak da, (∆c p0( ))†† =

(2) 0 ( )

D p elde edilir.

Teorem 2.3.5. Her kesin pozitif p =(pk) dizisi için † (1) (1) 0 1 ( ( )) ( ) ( ) : _k k c p D p D p a w a k ∞ =   ∆ = =  ∈ < ∞  

∑

I dır (Malkowsky,1989). İspat : 1 ( ) ,k ( ) , ( ) ,k ( )

a₌ a D p de x₌ x _∆c p de keyfi iki dizi olsun. Bu taktirde,

(

)

0 k p k l x l c ∃ ∈ ∋ ∆ − ∈ (2.3.14) kalır. _{∀ ∈}k , y_{k =} x_{k +}l k. olacak şekilde, y=(yk) dizisi verilsin. Butaktirde, ∀ ∈k , yk = xk +l k. için, ∆ =yk yk−yk+₁=xk−xk+₁+l k( − − = ∆ − k 1) xk l k pk k p k x l y _{= ∆ −} ∆

2.3.14 den (∆yk)∈c0(p)olur. Bu yüzdende y∈∆c0(p) dir.

∑

∞ =1 k k kx a =

∑

∞ = − − − 1 1 1 ( k k k x x x a =

∑

∞

∑

= − = + + − − 1 1 1 1 1) ( k k k j j j k x x a x a =

∑

∞

∑

= − = + ∆ − 1 1 1 1 k k k j j k x a x a =

∑

∞

∑

= − = − + − − ∆ − 1 1 1 1 ) ( ) 1 ( k k k k j j k x a k a y l a =

∑

∞

∑

= − = + − ∆ − 1 1 1 1 k k k k j j k x a kl a y a

≤ 1 1 1 1 1 1 y a kl a y a k k k k k j j k k

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = − = ∞ = + + ∆ ≤

∑

∑

∑

∑

∞ = ∞ = − = ∞ = + + ∆ 1 1 1 1 1 1 k k k k k j j k k y l a k y a a (2.3.15) yazılır . (1)( ) p D a_∈ olduğundan, 1 k k a k ∞ = ⋅ < ∞

∑

ve a∈D0(1)(p) dir. Teorem 2.3.3 den ,

† 0

( ( ))

a_{∈ ∆}c p dır. Buradan da, y∈∆c0(p) olduğundan,

∑

∞ = ∞ < 1 k k ky a (2.3.16) dır. Bu yüzdende _{∀ ∈}k , 1 1 1 1 ( ) k k j k k k k k j a y a y y a y a y − = ∆ = − ≤ +

∑

ve 1 k k a k ∞ = ⋅ < ∞

∑

olduğundan, Teorem1.1.6’ den dolayı ,

1 1 1 k k j k j a y ∞ − = = ⋅ ∆ < ∞

∑

∑

(2.3.17) dır. Bu yüzdende 2.3.16 ve 2.3.17 birleştirilirse,

∑

∞ _{< ∞} =1 k k kx a

olduğu elde edilir. Buradan da , t

p c a∈(∆ ( )) ’ dir. _∀a_∈D(1)(p) için a∈(∆c(p))t olduğundan, (1) † ( ) ( ( )) D p _{⊆ ∆}c p (2.3.18) dir.

Tersine olarak , t

p c

a∈(∆ ( )) keyfi olsun. Garling (1967) Teorem1.2 den dolayı ⇒

∆ ⊆ ∆c0(p) c(p)

†

(_∆c p( )) ⊆ (∆c p0( ))† ve Teorem 2.3.3 den dolayı,

t p c ( )) (∆ 0 = ( ) ) 1 ( 0 p D

olduğundan, a∈D0(1)(p) dir. ∀ k∈Ν , xk = ile tanımlı k x=(xk) dizisi, göz önüne

alınırsa, 1 1 −= − − = ∆x k k olduğundan, lim pk 1 k

k→∞ ∆x = elde edilir. Buradan da x=(k)∈∆c(p)

dir. † ( ( )) a_{∈ ∆}c p ve x_∈∆c( p) olduğundan,

∑

∞ ₌ =1 k k kx a

∑

∞ = ∞ < 1 k k k a dır. Yani

∑

∞ =1 k k k

a serisi, yakınsaktır. Bu yüzden de,a∈D0(1)(p) ve

∑

∞ = ∞ < 1 k k k a olduğundan , (1)( ) p D

a_∈ dir. Ohalde _{∀ ∈ ∆}a ( c p( ))† , a_∈D(1)(p) olduğundan, † (_∆c p( )) _⊆ D(1)(p) (2.3.19) 2.3.18 ve 2.3.19 birleştirilirse, (_∆c p( ))† = D(1)(p) elde edilir. Lemma 2.3.1. Eğer 1 k k k P a ∞ =

∑

serisi yakınsak ise,

1 lim _{n k} 0 n k n P a ∞ →∞ = + =

∑

dır (Kızmaz, 1981).

Lemma 2.3.2. k N_{∀ ∈} , P_{k > ve} 0

_{( )}

1 1 2 : pk k k N M p a w a N ∞ ∞ ∞ = =     =  ∈ < ∞   

∑



I

olsun. Bu taktirde, †

_{( )}

_{( )}

p M p ∞ = ∞ l

dir (Lascarides and Maddox , 1970).

Teorem 2.3.6. Her kesin pozitif p =(pk) dizisi için,

1 , ( ) k k k n R a n ∞ = + =

∑

∈ olmak üzere, 1 1 1 † 2 _{1 1 1} ( ( )) ( ) : j k k p p k k N _{k j k} p D p a w a N yakınsak ve N R ∞ − ∞ ∞ ∞ ∞ = _{= = =}     ∆ = =  ∈ < ∞  _ 

∑ ∑

∑

l I dır (Malkowsky,1989).

İspat: a_∈D_∞( )p ve x_{∈ ∆l∞}( )p keyfi diziler olsunlar. sup pk

k k x ∆ < ∞ olduğundan, max(1,sup pk) k k

N _{> ∆}x _{olacak şekilde en az bir N ∈ vardır.}

1 1 1 ( ) n n k k k k k k k a x R₋ R x = = = −

∑

∑

= 1 _{1 1} 1 1 1 ( ) ( ) n k n k j j j j k j j x R R x R R − − − = = = ∆ − + −

∑

∑

∑

= 1 0 0 1 ( ) ( ) n k k n n k x R R x R R − = ∆ − + −

∑

= 1 1 0 0 1 1 ( ) n n k k k n n n k k x R R x x R x R − − = = −

∑

∆ +

∑

∆ + − = 1 0 1 0 1 ( ) ( ) n k k n n n n k x R R x x x R x R − = −

∑

∆ + − + − = 1 0 1 ( ) n x R R x x R − −

∑

∆ + −

= 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n k k n n n k x R R R x R x x − = −

∑

∆ + − + − = 1 1 0 1 1 1 ( ) ( ) n n k k n j n k j x R R x R R x − − = = −

∑

∆ +

∑

∆ + − 1 n k k k a x =

∑

= 1 1 ₁ 1 1 1 ( ) n n n k k n j j k j j x R R x x a − − = = = −

∑

∆ +

∑

∆ +

∑

(2.3.20)

2.3.20’ nin sağ tarafının ikinci teriminin sıfıra yakınsaklığı, Lemma2.3.1 yardımıyla aşağıda gösterilmiştir: 1 1 1 j n p n j P N − = =

∑

olsun. 1 1 1 1 j n p k k j a N ∞ − = =

∑ ∑

yakınsak oluğundan, 1 n n n P a ∞ =

∑

yakınsaktır. Lemma2.3.1’ den dolayı

1 lim _{n k} 0 n k n P a ∞ →∞ = + =

∑

dır. Yani, lim n n 0 n→∞P R = 1 1 1 lim lim j 0 n p n n n n n j P R R N − →∞ →∞ = =

∑

= elde edilir.

N sayısının tanımından dolayı, k_{∀ ∈} için k

k p x N ∆ ≤ olduğundan, 1 k k p x N ∆ ≤ (2.3.21) yazılır. Buradan da, 2.3.21 in her iki yanını toplayarak,

1 1 1 1 1 k k n n p k k x N − − = = ∆ ≤

∑

∑

(2.3.22) elde ederiz. 2.3.22 nin her iki tarafını R_n ile çarparsak,

1 1 1 1 1 k k n n p n n k k R x R N − − = = ∆ ≤

∑

∑

⇒ 1 1 n n k k R x − = ∆ ≤

∑

1 1 1 1 1 k k n n p n n k k R x R N − − = = ∆ <

∑

∑

⇒ 1 1 n n k k R x − = ∆ ≤

∑

1 1 1 k n p n k R N − =

∑

elde edilir. Sıkıştırma teoremi kullanılarak

1 1 lim _nn _k 0 n k R x − →∞ = ∆ =

∑

⇒ 1 1 lim _nn _k 0 n k R x − →∞ = ∆ =

∑

elde edilir.

2.3.20’ nin sağ tarafındaki birinci terimin yakınsaklığı aşağıda gösterilmiştir:

( ) a_∈D_∞ p olduğundan 1 1 k p k k N R ∞ = < ∞

∑

dır. Aynı zamanda, x_{∈ ∆l∞}( )p olduğundan,

1

N

∃ > öyle ki max(1,sup pk)

k k

N _{> ∆}x kalır. Burada, k_{∀ ∈} için k k p x N ∆ ≤ olduğundan 1 k k p x N ∆ ≤ (2.3.23) yazılır. 2.3.23’ ün her iki yanını R_k ile çarparsak, _{∀ ∈}k için

1 k k p k k R _∆x _≤N R elde edilir. Teorem1.1.6’ den dolayı,

1 k k k R x ∞ = ∆

∑

serisi mutlak yakınsaktır. Dolayısıyla, Teorem1.1.5’ den, 1 k k k x R ∞ = ∆

∑

serisi yakınsaktır.

Şimdi 2.3.20’ nin son teriminin yakınsaklığını gösterelim;

1 1 1 k n p k k N R − = < ∞

∑

olduğundan, Teorem1.1.4’ den dolayı

1 lim pk 0 k k→∞N R = 1 1

1 k p k k R _<N R elde edilir. Buradan da sıkıştırma teoremi kullanılarak

1 0 lim lim pk 0 k k k→∞ R k→∞N R ≤ ≤ = 0 lim _k 0 k→∞ R ≤ ≤

olduğundan, lim _k 0

k→∞R = elde edilir. Kalan terim bir sıfır dizisi olduğundan , 1 k k a ∞ =

∑

yakınsaktır. Dolaysıyla 2.3.20’ nin son terimi yakınsaktır.

Böylece 2.3.20’ nin sağındaki her bir terimin yakınsak olduğu gösterilmiş olduğundan,

solundaki terim de yakınsaktır. Bu yüzdende , † ( ( ))

a_{∈ ∆l∞} p olur. Dolayısıyla ,

( )

a D_∞ p

∀ ∈ için, a_{∈ ∆l}( _∞( ))p † olduğundan ,

D_∞( )p _{⊆ ∆l}( _∞( ))p † (2.3.24) dır.

Tersine olarak, †

( ) (k ( ))

a₌ a _{∈ ∆l∞} p keyfi olsun. e₌(1,1,1,...,1,...) için

1 k k p p k k k e e e₊ ∆ = − 1 1pk = − ₌0

olduğundan, sup pk 0

k k e ∆ = < ∞ dır. Dolayısıyla e_{∈ ∆l∞}( )p dir. 1 1 1 ( ) j k p k j x x N − =     = _{=  } 

∑

 için, 1 1 1 1 1 k k j j p k k p p p k j j x N N − = = ∆ =

∑

−

∑

1 1 1 1 1 1 1 k j j k p k k p p p j j N N N − − = = =

∑

−

∑

− 1 k k p p N = − ₌N

olduğundan , sup pk

k k

x N

∆ = dir. Buradan da, x=

( )

xk ∈ ∆l∞( )p ’dir.

†

( ( ))

a_{∈ ∆l∞} p

olduğundan, _{∀ =}x

( )

x_{k ∈ ∆l∞}( )p için 1 k k k a x ∞ =

∑

serisi yakınsaktır. Özel olarak,

(1,1,1,...,1,...) e_{= ∈ ∆l∞}( )p ve 1 1 1 ( ) j k p k j x x N − =     = _{=  } 

∑

 ( )p ∞ ∈ ∆l için 1 k k k a x ∞ =

∑

= 1 .1 k k a ∞ =

∑

= 1 k k a ∞ =

∑

(2.3.25) 1 k k k a x ∞ =

∑

= 1 1 1 1 j k p k k j a N ∞ − = =

∑ ∑

(2.3.26) serileri de yakınsaktır. Buradan da,

Lemma2.3.1 den 1 1 1 j n p n j P N − = =

∑

içinde, 1 1 1 1

lim lim lim j 0

n p n k n n n n n n k n j P a R P R N ∞ − →∞ →∞ →∞ = + = = = =

∑

∑

(2.3.27)

elde edilir. Buradan da, 1 1 n n k j R x − = ∆

∑

=Rn

₍

xn−x0

₎

= 1 1 0 1 j n p n n j R N R x − = −

∑

(2.3.28) olduğundan, 2.3.28, 2.2.27 ve 1 k k a ∞ =

∑

yakınsak olduğundan ,

1 1 lim 0 n n k n j R x − →∞ = ∆ =

∑

(2.3.29) elde edilir. Buradan da 2.3.25, 2.3.26, 2.3.29 ve 2.3.20 den dolayı

1 k k j x R ∞ = ∆

∑

serisi yakınsaktır. ∀ =x

_{( )}

xk ∈ ∆l∞

_{( )}

p için, x₌

_{( )}

x_{k ∈ ∆}l_∞

_{( )}

p _{⇔ ∆ = ∆}x

₍

x_k

₎

_∈l_∞

_{( )}

p

dır. Bu önerme özel olarak, 1 1 1 ( ) j k p k j x x N − =     = _{=  } 

∑



( )

p ∞

∈ ∆l içinde geçerlidir. Bu yüzden de,

1 k k j x R ∞ = ∆

∑

serisi yakınsak olduğundan R=

( )

R_k ∈ l†_∞( )p dir. Lemma2.3.2’ den dolayı, †

_{( )}

_{( )}

p M p

∞ = ∞

l _olduğundan R_∈M_∞

( )

p olur. Yani,

1 1 1, pk k k N R N ∞ = ∀ >

∑

< ∞ dır. Buradan da 1 1 1 1 j k p k k j a N ∞ − = =

∑ ∑

ve 1 1 k p k k R N ∞ =

∑

serileri yakınsak olduğundan

( )

k

( )

a₌ a _∈D_∞ p dir. _{∀ =}a

( )

a_{k ∈ ∆l}( _∞( ))p † için a₌

( )

a_{k ∈}D_∞

( )

p olduğundan

_{( ( ))}†

_{( )}

p D p

∞ ∞

∆l ⊆ (2.3.30) elde edilir. 2.3.24 ve 2.3.30 sonuçları birleştirilirse

_{( ( ))}†

_{( )}

p D p

∞ ∞

∆l =

3. TARTIŞMA VE SONUÇ

Üç bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümünde, çalışma boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde ilk olarak ∆c p( ), ∆c p₀( ) ve ∆l_∞( )p dizi uzayları tanıtılmış, daha sonrada, _∆c p( ), _∆c p₀( ) ve _∆l∞( )p dizi uzaylarının

Köthe-Teoplitz dualleri incelenmiş ve araştırmacılar için kullanılacak bazı önemli sonuçlar verilmiştir.