Başlık: TAKİYÜDDİN'İN DELOS PROBLEMİ İLE İLGİLİ ÇALIŞMALARIYazar(lar):TEKELİ, SevimCilt: 6 Sayı: 0 Sayfa: 001-023 DOI: 10.1501/Felsbol_0000000055 Yayın Tarihi: 1968 PDF

İLGİLİ ÇALIŞMALARI

Bu yazı bundan önce yayınlanmış olan "İslâm Dünyasında Delos

Problemi Üzerindeki Çalışmalar." adlı bir makale 1 ile X I I inci Uluslar Arası İlim Tarihi Kongresinde verdiğim bir tebliğin2 devamıdır.

Kandilli Rasathanesinde, 56 numarada kayıtlı, Takiyüddin'in Sidret

ül-Müntehâ, Rasat Aletleri ve daha pek çok önemli yazılarını içine alan,

bir mecumua vardır. Bu yazılardan birinde Takiyüddin Delos Problemi ile ilgili üç çözüm yolu vermektedir. Bu kısmın Arapça edisyonu hazır­ lanmış, Türkçe, İngilizce tercümeleri ve açıklamaları yapılmıştır.

Zamanın Peygamberine3 vahyedilmiş olan sunak taşının hacminin iki katına eşit bir sunak taşı bulunmasına dair Eflatun'un çözüm yolu:

Bir düzlem üzerine RFTY şeklini çizelim (Şekil I). FR ve YT, R ve T

(Şekil I)

1. Sevim Tekeli, İslam Dünyasında Delos Problemi Üzerindeki Çalışmalar. Araştırma IV, 1966, S. 87 - 105.

2. Bu kongre 25-31 Ağustos tarihleri arasında yapılmıştır. Tebliğ kongre actes'ında çıkacak­ tır.

3. Delosta salgın hastalık çıktığı sırada tanrının isteklerini ileten rahibe.

t

R

F

2 SEVİM TEKELİ

yönüne doğru uzatılsınlar. RT bir cetveldir. Onun her durumda FY doğrusuna paralel kalmasını isteriz.

Bir düzlem üzerine (Şekil II) H noktasında dik açı altında kesişen iki doğru çizeriz. AH ve DH yönleri boyunca uzatılmışlardır. Ayrıca

2 BH = CH dir.

(Şekil II)

Sonra (yukarda söz konusu ettiğimiz) bu aleti o şekilde yerleştiririz ki B ve C birbirine paralel iki doğru üzerinde bulunurlar ve uzatılmış doğrular R ve F açılarından geçer.

A ile D yi işaretler ve onları birleştiririz. Aynı zamanda AC ve AD ve DB yi de birleştiririz. Aynı zamanda ve

<

CAD

CH

HA

AH

HD

CH

HB

<

= ADB

AH

~ HD

HD

HB

CH

HA

B

D

CH

CH

HA

HD HB

Şu hade _CH 3 HA3 HC HB Bu Eflâtun'un önçülünün sonucudur. Açıklama:

Heath'e 4 göre bu yanlış olarak Eflâtun'a atfedilmiştir. Bundan sa­

dece Eutocios5 sözetmektedir. Eğer Eflâtun'un böyle bir çözüm tarzı

olsaydı Archytas (dördüncü asrın yarısında yaşamıştır), Menaechmus6

ve Eudoxus (408-355 MÖ)'un bunu söz konusu etmeleri gerekirdi. Ayrıca bu bir mekanik çözümdür ve Eflâtun geometrinin mükemmelli-yetini bozduğu gerekçesiyle mekanik çözümlere karşıdır.

Bu gerçekte Menaechmus'un7 ikinci çözümünü mekanik bir

konstrüksüyon yardımı ile elde etmektir.

Meneachmus birbirini kesen iki parabolden yararlanarak bu prob­ lemi çözmüştür.

C H < H B olmak şartiyle CH ve HB doğruları H noktasında bir dik açı meydana getirseler. Bunlara iki orta terim HA, HD eklense. Burada HAPD dörtgeni meydana gelir (Şekil I I I ) .

4. H. L. Heath, Greek Mathemathics. Cilt I, S. 251 - 262.

5. 480 M. Ö. doğmuştur. Bizanslı bir matematikçidir. Archimedes ve Apollonios üzerine çalışmaları vardır. G. Sarton, Introduction to the History of Science. Cilt I. Baltimore 1927, S. 427.

6. Dördüncü asrın ortalarında yaşamıştır. Matematikçidir. Koni kesitlerini keşfeden ve bunun yardımı ile Delos problemini çözmeye teşebbüs eden kimsedir. H. L. Heath . S. 251 - 255.

7. Heath. S. 255-258

D

H

c

B

A

p

SEVİM TEKELİ

4

ve

Bu istenilenin çözümü demektir. Eğer CA, AD, DB yi birleştirirsek < <

CAD = ADB = 90°

Problem şu hale getirilebilir. HC ve HB doğruları dik açı ile birbirlerini keserlerse ve A ve D açıları da dik açı meydana getirecek olurlarsa çözüm elde edilir. Bu ise özel bir alet kullanmak suretiyle ayarlanabilir. RFY tahtadan yapılmış bir dik açı ve RT onun üzerinde kayan ikinci bir cetveldir. Bu kayma süresince RF daima FY ye paralel kalır. R F Y o şekilde yerleştirilirki tahta ayaklardan FY, B den geçer ve F açısı CH nin uzantısı üzerinde bulunur. Daha sonra hareketli ayak RT, FY ye paralel kalmak suretiyle kaydırılarak C den geçirilir. Burada ikinci şart A açı­ sının HB nin uzantısı üzerinde bulunmasıdır. Bu ancak alet döndürülmek suretiyle elde edilir.

"Mekanik Aletler" adlı kitabın yazarı Heron'un çözümü-} H merkezli

ABCD dörtgeni olsun (Şekil IV). AD ve BC yi birleştirir ve HT dikmesini çizeriz. AC ve CD, A ve D yönüne doğru uzatılır. Sonra cetvelin kenarı B noktası üzerine konur. R B F bir doğru üzerine gelinceye ve HR = HF oluncaya kadar kaydırılır.

8. Bu çözüm için bak. Sevim Tekeli, İslâm Dünyasında Delos Problemi Üzerindeki Çalış­ malar. Araştırma IV, S. 90 - 91.

PD PA HB

HC PD PA

Şu halde

HC. HD = HA2 = P D2

Burada da durum aynıdır. H parabolün tepesidir HD eksendir ve HC

latus rectumdur. P yi bulmak demek birbirini kesen iki parabol çizmek

demektir.

Bu P noktasının, tepesi H de bulunan bir parabolun üzerinde bulunduğu­ na işaret eder. HA eksen HB ise latus rectum dur. Aynı işlem tekrarlan­ mak suretiyle

Buradan

_{HB. HA = HD}

= PA

HA HD HB

AB ve DF doğruları CD ve AC doğruları arasında orta oran meydana getirirler. Mademki CD doğrusu ikiye bölünmüş ve ona DF parçası ek­ lenmiştir,

şuhalde CF.FD + TD2 = T F2

Her iki tarafa H T2 ekleriz.

CF.FD + TD2 + HT2 = TF2 + HT2

ve TD2 + HT2 = D H2

ve T F2 + HT2 = FH2

Şuhalde CF. FD + D H2 = F H2

Aynı şekilde eğer H noktasından AC üzerine HY dikmesini çıkarırsak CR. AR + ÂH2 = R H2 Mademki ve böylece ve Diğer taraftan

RH

= HF

ÂH

= HD

CR.AR = CF.FD

AR CF

DF =CR yani

AB DF

AR = BD

AB

AR

g.

R

H

F

A

€

D t

6 SEVİM TEKELİ

Eşitlik için muhtemel olarak ortasında işareti olan bir cetvel düşün­ düler. Cetvel bu işaretten itibaren iki yöne doğru bölünmüştür. Ortadaki nokta H noktası üzerine konur; HR ve HF nin eşitliğini tesbit etmek için kaydırılır.

Açıklama: Heron'a (2 inci Asır M.S) atfedilen bu çözüm Mekanik

adlı kitabında verilmiştir, ve çözüm son derece açıktır.

En yaklaşık tarz: Eflâtun'un veba salgınını bertaraf etmek için sunak

taşının hacminin iki katına çıkarılmasına ilişkin hikâyesi.9

2AC=BC olmak şartiyle istenilen herhangi bir uzaklıkta birbirine paralel iki doğru olsun. (Şekil V).

Bunlar CD < BD

olmak şartıyla, CD doğrusuna dikey olsunlar. BD doğrusunu H nok­ tasında orta oran üzere böleriz. CDBZ yüzeyini tamamlarız.

Sonra BZ doğrusunu aynı oranla F noktasından böleriz, ve BF < B H . BH doğrusundan BF ye eşit olan HT yi ayırırız.

9. Bu hikâye için bak. Sevim Tekeli, İslâm Dünyasında Delos Problemi Üzerindeki Çalış­ malar. Araştırma IV, S. 87 - 88,

B

M F R Z

A

S

E

t

O Ş M G

Bu

AB

AR

AR

DF

DF

BD

AR

AB

AR DF BD

AB AR DF

BD

AR

K

H

Sonra BT doğrusunu bu orana göre K noktasında böleriz. Yalnız BK daha uzundur. B ile A yı birleştirir ve BZ ye paralel ve BD ye dikey olan KL yi çizeriz AB yi L noktasında keser.

Sonra NLŞ doğrusunu çıkarır, B ile Ş yi birleştiririz. KL doğrusunu I noktasında keser.

LI = NR yi ayırırız.

NLŞ ve RSM yi BD ye paralel olarak çizer ve LM ve SC yi birleş­ tiririz. SP yi BZ ye paralel olarak çizeriz. Ayrıca işlemde PS doğ­ rusu MC doğrusuna eşit olarak ayarlanır. Bu şartlar altında SC doğrusu LM ye paraleldir. Aynı zamanda Ayrıca Şu halde Gine Fakat Aynı zamanda

BDŞ

LŞM

SMC

BLŞ

LMS

SAC

BLI

BD

LPS

DŞ

LŞ

LŞ

ŞM

DŞ

ŞM

BD

LŞ

LŞ

SM

Her iki oran

Bu bizim istediğimizdir. ye eşit oduğundan

LM

sc

AC

AC

BD

8 SEVİM TEKELİ

Açıklama: Üçüncü çözüm yolu Eflâtun'a atfedilmiştir. gerçekte bu

Eratosthenes'e (273-192 M.Ö) atfedilir.10 Kısaca bu çözümün nasıl yapıldığı üzerinde duralım.

BD = 2AC CD > BD

BD ve BZ orta orana göre N ve F noktalarında bölünmüştür. B F < B H

H K = B F KL | | BZ

L noktası KL doğrusu ile BA doğrusunun kesişme noktasıdır. NLŞ | | BD

LI = NR RSM II BD

Ayrıca bu çizim için şart PS = MC olmasıdır. Böyle olunca LM I I SC

10 F. Sherwood and Taylor, A Short History of Science and Scientific Thought, New York, 1949. Şu halde ve ve Diğer taraftan

BDŞ

LMŞ

SMC

BD DŞ

ŞM

SM MC

BD BS

LŞ LM

LŞ BŞ

BD LŞ

I

Diğer taraftan

LM SM SC AC

ve LM LŞ _{SC SM}

Şu halde Şartta şu idi

LŞ SM AC

BD = 2AC

BD LŞ SM

_{LŞ SM}

Il

SMC

LŞM

TAQI AL DIN'S WORK ON THE DUPLICATION

OF THE CUBE

SEVİM T E K E L İ

This article is the sequel to my previous article, The works on

the Duplication of the Cube in Islamic world,1 and to my paper read

at the X I I th International Congress of History of Sciense held in Paris in 25-31 August in 1968.2

There is a Majmua' registered No. 56 in Kandilli Observatory. This Majmua' includes beside Taqi al Din's Sidra al Muntahâ, Alät-i

Raşadîya li Zïj-i Shahinshähiya (Astronomical Instruments for the Zij of Emperor) and many other important articles, a text related with the

duplication of the cube. The Arabic edition of this text with its Turkish and English translations and with their commentaries are prepared.

Plato''s solution about constructing an altar double of the existing one, which revealed to the oracle. Let the figure RFYT be drawn on a plate and

the lines FR and YT being produced in the directions R and T (Figure I). Let RT be a rular remaining always parallel to FY.

We draw two lines forming a right angle at the point H, AH and DH being produced and BH = 2CH. Then we put the instrument on this plate so that produced lines pass on the angles R and F and points C and B are encompased by two paralleles of the instrument. We mark points A and D and join them. We join also AC, AD and BD.

CAD = ADB = 90 °

1. Sevim Tekeli, The Works on the Duplication of the Cube in Islamic World. Araştır­ ma IV, 1966, P. 87-105.

and

CH AD

HA HD

AH DH

HD HB

CH CH

HB HA

CH

HA

CH HA HD

HA HD HB

AH

BH

This is the result of the introduction of Plato.

The commentary: According to H. L. Heath it is wrongly attri­

buted to Plato3. No one but Eutocius4 mentions it, and there is no reference to it in Eratosthenes of Cyrene's (B. C. 273 -192) epigram. This solution is mechanical and we know that Plato objected to mechanical solutions as destroying the good of geometry.

This is, in reality, the solution of Menaechmus (flourished about the middle of the fourth century B.C.). He solved this problem by the aid of two parabolas.

Two straight lines CH, HB form, a right angle at H, being C H < HB. Let the two mean proportionals HA, BD be added to them. The rectangle HAPD is produced (Figure I I I ) .

HC HA HD

HA HD HB

HB. HA = HD

= BA

P lies on a parabola which has H for vertex, HA for axis, and HB for

latus rectum.

3. H. L. Heath, Greek Mathemathics. Vol I I , Oxford 1921, P. 255

4. Born 480 B. C. Byzantine mathematician. Wrote commentaries on the works of Archimedes and on the first four books of Apollonios. G. Sarton, Introduction to the History of Science, Vol. I Baltimore 1927. P.

T A K İ Y Ü D D İ N ' İ N DELOS PROBLEMİ 13 The similar relation

HC. H D = HÂ2 = BD2

P lies on a parabola which has H for vertex, HA for axis and HB for

latus rectum. To find B means to construct two parabolas.

So

HC PD PA

PD PA HB

This is the solution of the problem. If we join CA, AD, DB

So CAD = ADB = 90°

The problem is, given HC and HB at right angle to each other and the angles H and D are right angles. This position can be obtained by using an instrument. R F Y is a right angle made of wood and RT is a ruler which slides on it remaining always parallel to FY.RFY is placed so that the wooden leg FY passes through B and the angle F lies on CH produced.

Then the movable leg RT slides so that it passes through C.

The solution attributed to Heron who wrote to book named Mechanics.

Let there be the figure ABCD and its center H. We join AD and and SC and erect the perpendicular HT. The lines AC and CD are pro­ duced in the direction A and D.

Then we place a rular so that its edge passes through D and move it until HR becomes equal to H F . As the line CD is bisected and DF is added to it,

CF. FD + TD2 = T F2 HT2 is added to both sides.

CF. F D + TD2 + TH2 = T P + H T2 TD2 + HT2 = D H2 T F2 + HT2 = F H2 result of it CF. F D + DH2 = F H2, CF. F D = F H . D H As and As a so

If we erect a perpendicular HY at the point H, CR. AR + AH2 = R H2, CR. AR = R H AH R H2 = H F2 Ä S2 = H D2 As a result CR.AR = C F . F D AB AR

For the equation of the lines they might use a ruler having a mark in the middle and divided beginning from that point in two directions. This mark comes on the point H and ruler slides to produce HR = HF

Plato's solution about the story constructing an altar double of the existing one, to get rid of the plaque.

Let there be two parallel lines AC and BD, being 2AC = BD. Let these two lines be perpendicular to the line CD, being

CD < BD

BD is divided at H in extreme and mean ratio and BZ at F in the same ratio. We complete the rectangle CDBZ.

And BF < BH We cut HT = BF from the line BH.

Then we divide BT at K in extreme and mean ratio. HT == BT

and and also

AB

AR

AR CF

DF

On the other hand

AB DF

AR BD

AB AR FD

AR DF BD

AR

AB AR DF

AR DF BD

AB

AB

T A K İ Y Ü D D İ N ' İ N DELOS PROBLEMİ 15 We join BA and draw

KL II BZ

and KL perpendicular to BD It cuts AB at the point L.

Then the line NLŞ is drawn. We join BŞ cutting the line KL at the point I.

We take and draw and join

On the other hand As a result of it

At the same time

In addition to that In that case and But and

LI = NR

NLŞ || RSM || BD

LM and SC

SP || BZ

PS = MC

SC || LM

BDŞ

LŞM

SMC

BLŞ

LMS

SAC

BLI

LPS

BD DŞ

ŞM

ŞM MC

BD LŞ

LŞ SM

As both ratios are equal to LM/SC

AC3 AC

BD3 = SM

The commentary: It is attributed to Eratosthenes of Cyrene. The

solution as the following:

BD = 2AC CD > BD

BD and BZ are divided according to the extreme and mean ratio at the points N and F respectively.

B F < BH HK = B F K L | | BZ

L is the intersection point of the lines KL and BA. NLŞ || BD LI = NR RSM ll BD Beside PS = MC given. so LM | | SC so and and

On the other hand

so

BDŞ

LMŞ

SMC

BD DŞ

LŞ ŞM

LŞ

ŞM

LŞ BŞ

BD LŞ

LŞ SM

I

On the other hand and so and being T A K İ Y Ü D D İ N ' İ N DELOS PROBLEMİ 17 LM SM SC AC as

LSM

SAC

LŞM

SMC

II

LŞ SM

BD LŞ SM

LŞ SM AC

BD = 2 AC

20 SEVİM TEKELİ

(Şekil III) (Şekil II)

yazılmış yazılmış

1)

2)