Test 48 Kümeler

– 307 –

www

.krakademi.com

1.

Bilgi I: ( \A B) (, B A\ )=(A B, ) (\ A B dir+ ) . Bilgi II:

• n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n

ile bulunur.

• n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2n _{– 1 ile bulunur.}

• Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir ve her küme kendisinin bir alt kümesidir.

Bilgi III:

( \ )A B =(A B- ) ifadeleri A fark B şeklinde okunur. A – B nin anlamı ise A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları ifade eder.

Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; { , , , , , } { , , } A B a b c d e f A B a c e , + = =

olduğuna göre, A ve B kümelerinin simetrik farkı

( \ ) ( \ ) ( ) \ ( ) . { , , , , , } \ { , , } { , , , , , } { , , } { , , } . A B B A A B A B dir a b c d e f a c e a b c d e f olup a c e b d f olur kümesinde

kümesinde olmayan elemanlar

, = , +

=

=

3 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı,

. bulunur 2 1 2 1 8 1 7 n_{- =} 3 -= -= Cevap: C

2.

Bu tür sorularda pratik çözüm için B+{ , }c d ={ , }c d elemanları A kümesinden atılır. A kümesinde kalan elemanların alt kümesi kadar B elemanı yazılır. O hâlde, { , , , , , } ( ) . A a b c d e f s B bulunur 2 16 4 = = = Cevap: C

www

.krakademi.com

Test 48 Çözümler

3.

A • a • d • g • f • k • e • h • b • c B olduğuna göre, • ( ) ( ) { , , } { , , } { , , , , , } . C A B B A C a b c g h k C a b c g h k dir , , 3 3 3 -

-• A – C kümesinin eleman sayısı 3 olduğuna göre, A ve C kümelerinin ikisinde de var olan {a, b, c} elemanları dışında kalan {d, e, f} elemanları olacaktır. Yani C kümesinde {a, b, c} elemanları kesinlikle bulunmalıdır. Bu elemanların yanına {g, h, k} elemanları da gelebileceğinden 23 _{= 8 farklı}

C kümesi yazılabilir. C kümesi için,

C = {a, b, c}, {a, b, c, g}, {a, b, c, h}, {a, b, c, k}, {a, b, c, g, h}, {a, b, c, g, k}, {a, b, c, h, k}, {a, b, c, g, h, k} farklı küme yazılabilir.

Cevap: C

4.

Bilgi:

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı n’nin r’li kombinasyonuyla bulunur. n’nin r’li kombi-nasyonu ( , ) ( )! ! ! C n r n r n r r n $ = = -e o ile bulunur. • n . a n b &n a b dir = = + e o e o

Kombinasyonu bulmanın kısa yolu, n sayısı r sayısı kadar geriye doğru birer birer azaltılır ve çarpılarak paya yazılır. r sayısının faktöriyeli paydaya yazılır. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; A kümesinin eleman sayısı n olsun.

Üç elemanlı alt küme sayısı n 3

e o, dört elemanlı alt küme sayısına n

4

e o eşit olduğuna göre,

. n n n n dir 3 4 3 4 7 = = + = e o e o

A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı,

! . bulunur 7 2 2 7 6 2 42 21 kez 2 $ = = = e o C Cevap: C

– 309 –

www

.krakademi.com

5.

Bilgi:

Soruda karşılaşılabilecek semboller veya problem-lerde karşılaşacağımız ifadelerin karşılığı aşağıdaki gibidir. A a A \ B B \ A A Æ B b c d B E

• A dergisini okuyanların sayısı = s(A) = a + b • B dergisini okuyanların sayısı = s(B) = b + c • Yalnız (sadece) A dergisini okuyanların sayısı

s(A \ B) = a

• Yalnız (sadece) B dergisini okuyanların sayısı s(B \ A) = c

• A ve B dergisini okuyanların sayısı veya her ikisini okuyanların sayısı

s(A Æ B) = b

• A veya B dergilerini okuyanların sayısı s(A £ B) = a + b + c

• A dergisini okumayanların sayısı s(A') = c + d • B dergisini okumayanların sayısı s(B') = a + d • Hiç birini okumayanların sayısı = d

• En az bir dergi okuyanların sayısı = a + b + c • En çok bir dergi okuyanların sayısı = a + c + d Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;

M

a b c

d

T E

• Matematik dersini almayanların sayısı s(M') = c + d = 15 tir.

• Türkçe dersini almayanların sayısı s(T') = a + d = 18 dir.

• Matematik veya Türkçe derslerinden sadece birini alanların sayısı

a + c = 23 tür.

Bu üç eşitlik taraf tarafa toplanırsa,

( ) . c d a d a c a c d a c d a c d olur 15 18 23 2 2 2 56 2 56 28 $ + = + = + = + + + = + + = + + =

Buna göre, matematik veya Türkçe dersini almayan-ların sayısı, s(M£T)' = d dir. Bu durumda, . a c d d d bulunur 28 23 28 5 + + = + = = Cevap: B

www

.krakademi.com

Test 48 Çözümler

6.

A a b c B • s(A Æ B) = b = 3 tür. • ( ) ( ) ( ) ( ) ü . s A s B a b b c a c a c a c t r 2 2 3 2 3 3 6 2 2 3 $ $ $ = + = + + = + + = + = + • ( ) ü . s A B a b c c c c c c t r 18 2 3 3 18 3 6 12 3 4 , = + + = + + + = + = = Buna göre, s(B – A) = c = 4 bulunur. Cevap: C

7.

Türkçe ve Matematik bölümlerinden en az biri tercih edildiğinden dışardaki eleman yani d yoktur.

T

a b c

M

• Her ikisini tercih edenlerin sayısı, s(T Æ M) = b = 20 dir.

• Sadece Türkçe dersini tercih edenlerin sayısı (yani s(T \ M) = a), sadece matematik dersini tercih edenlerin sayısının (yani s(M \ T) = c) 2 katı olduğuna göre,

a = 2·c dir.

Buna göre, öğrenci sayılarının toplamı . a b c c c c dir 2 20 3 20 + + = + + = +

O hâlde 3c + 20 öğrenci sayısı olduğunda c bir tam sayı olmalıdır. Buna göre, seçenekler incelenirse;

) ( .) ) ( .) ) ( .) ) ) ( .) ( .) A c c c olabilir c c c olabilir c c c olabilir c c c B c c c olabilir C D E olamaz 3 20 23 3 3 1 3 20 3 3 1 3 20 3 3 20 3 3 20 35 3 15 5 8 8 6 41 21 7 48 28 3 28 & & & & & & & & & & + = = = + = = = + = = = + = = = + = = = Cevap: E

– 311 –

www

.krakademi.com

8.

M a b c d T E

• Sadece Türkçe dersini 20 öğrenci aldığına göre,

s(T \ M) = c = 20 dir.

• Matematik ve Türkçe derslerinden hiçbirini

alma-yan 60 öğrenci olduğuna göre, d = 60 tır.

• Sadece matematik dersini alan öğrenci sayısı

(yani s(M \ T) = a), Türkçe dersini alan öğrenci sayısının (yani b + c) 2 katı olduğuna göre, ( ) . a b c b c a dir 2 2 $ = + + =

• Okulda 240 öğrenci olduğuna göre,

. a a dir 60 240 120 + + = = a b c d a a a a a a 240 2 1 2 1 180 2 2 2 360 3 360 ( )2 ( )1 ( )2 + + + = + = + = = . ; O hâlde, ( ) ( ) › . a b c b b b b t r 2 120 2 20 120 2 40 80 2 40 $ $ = + = + = + = =

Hem Türkçe hem matematik dersini alan öğrenci sayısı yani b = 40 bulunur.

Cevap: E

9.

F

a b c

B

• Öğrenci sayısı 100x olsun. O hâlde, a + b + c = 100x tir. • _. ö€ › › Futbol x x tir oynayan renci say s 100 100 65 65 $ = = a + b = 65x tir. Buna göre, . a b c x x c x c x tir 100 65 100 35 + + = + = = . ; • oynayan _.

renci say s x x tir

Basketbol 100 100 5 ₅ 5 ₅ ö€ › › = $ = . . b c x x x x tir x b x x b x tir a b a a 5 5 55 35 55 20 6 20 6 45 + + = + = = = + = = . .

Hem futbol hem de basketbol oynayan kişi sayısı (yani b) 8 olduğuna göre,

. x x tir 20 8 20 8 5 2 = = =

Sadece futbol oynayan öğrenci sayısı,

. a x bulunur 45 45 5 2 18 $ = = = Cevap: B

www

.krakademi.com

10.

İ

a b c

A

• Her iki dili bilen 4 kişi olduğuna göre, b = 4 tür. • Sınıfta 41 öğrenci olduğuna göre,

. a b c a c a c dir 41 4 41 37 + + = + + = + =

• İngilizce bilenlerin sayısı (a + b), Almanca bilen-lerin sayısının (b + c) 2 katı olduğuna ve b = 4 olduğuna göre, ( ) ( ) ü . a b b c a c a c a c t r 2 4 2 4 4 8 2 2 4 $ $ + = + + = + + = + = +

Bu eşitlik denklemde yerine yazılırsa,

. a c c c c c olur 37 2 4 37 3 33 11 + = + + = = =

Yalnız İngilizce bilenlerin sayısı (yani a),

. a c a a bulunur 37 11 37 26 + = + = = Cevap: E

11.

S T a d b e c f g h D

• Herkes en fazla bir oyun oynayacağından iki ve üç oyun oynayan elemanlar {b, d, e, f} kümeden atılır. O hâlde kümenin yeni hâli aşağıdaki gibidir:

S T a c g h D

• Hiçbir oyunu oynamayanlar 2 kişi olduğuna göre, h = 2 dir.

• Satranç oynamayanlar 13 kişi olduğuna göre, . c g h c g c g dir 13 2 13 11 + + = + + = + =

• Dama oynamayanlar 25 kişi olduğuna göre, . ü g h g a a a g t r 2 25 25 23 + + = + + = + =

• Tavla oynamayanlar 32 kişi olduğuna göre, . a h a a c c c dur 2 32 32 30 + + = + + = + =

Bu üç eşitlik taraf tarafa toplanırsa,

( ) . c g a g a c a c g a c g a c g olur 11 23 30 2 2 2 64 2 64 32 $ + = + = + = + + + = + + = + + =

Test 48 Çözümler

– 313 –

www

.krakademi.com

12.

İ F a d b e c f g A

• Yalnız İngilizce bilen turist sayısı 5 olduğuna göre, a = 5 tir.

• Yalnız Fransızca bilen turist sayısı 4 olduğuna göre,

g = 4 tür.

• Yalnız Almanca bilen turist sayısı 7 olduğuna göre,

c = 7 dir.

• İngilizce ve Fransızca bilen turist sayısı 3 olduğu-na göre,

d + e = 3 tür.

• İngilizce ve Almanca bilen turist sayısı 3 olduğuna göre,

b + e = 3 tür.

• Fransızca ve Almanca bilen turist sayısı 3 olduğu-na göre,

e + f = 3 tür.

Bu kafiledeki öğrenci sayısının en az olması için 3 kümenin kesişiminin yani e değerinin en büyük seçil-mesi gerekir.

Buna göre, e = 3 alınırsa, . . . d e d d r b b d r e f f d r e 3 0 3 0 3 0 › › › + = = + = = + = =

O hâlde kafiledeki öğrenci sayısı en az, . a b c d e f g bulunur 5 0 7 0 3 0 4 19 + + + + + + = + + + + + + = Cevap: A

13.

A C a d b e c f g B

Şekildeki taralı bölge A ve B kümelerinin kesişiminin C kümesinden farklı olduğu bölgeyi temsil eder. ( ) \ { , , , } { , , , } \ { , , , } { , } \ { , , , } { } . A B C a b d e b c e f d e f g b e d e f g b dir + = + = = ` j

Dolayısıyla (A Æ B) \ C kümesinin elemanı b dir. Bu da taralı bölgeyi temsil eden elemandır.

www

.krakademi.com

Test 48 Çözümler

14.

Bu tarz sorularda 4 değişken olduğundan (kız, erkek, gözlüklü, gözlüksüz) tablo yöntemi kullanılarak çözüm yapılır.

• Gözlüksüz kız öğrenci sayısı x olsun.

Gözlüksüz erkek öğrenci sayısı, gözlüksüz kız öğren-ci sayısının (yani x) 4 katından 4 eksik olduğuna göre,

Gözlüksüz erkek öğrenci sayısı = 4x – 4 tür. • Gözlüklü erkek öğrenci sayısı y olsun.

Gözlüksüz erkek öğrenci sayısı (yani 4x – 4), gözlüklü erkek öğrenci sayısının (yani y) 2 katı olduğuna göre,

. x y y x dir 4 4 2 2 2 $ - = =

-Bu bilgiler tabloya yerleştirilirse;

Kız Erkek Gözlüklü a 2x – 2 Gözlüksüz x 4x – 4 • Gözlüksüz tüm öğrencilerin sayısı (yani 5x – 4), gözlüklü tüm öğrencilerin sayısının (yani a + 2x – 2)

2 katı olduğuna göre,

( ) . x a x x a x x x a x a a x dir 5 4 2 2 2 5 4 2 4 4 5 4 4 4 2 2 2 $ - = + -- = + -- -- + = = =

• Sınıf mevcudu 54 kişi olduğuna göre,

. x _{x x x} x _x x x x x x x bulunur 2 2 2 4 4 54 2 7 6 54 2 1 7 1 60 2 14 2 120 15 120 8 ( ) ( )2 2 + - + + - = + - = + = + ₌ = =

Buna göre, gözlüklü erkek öğrenci sayısı,

ü . x t r 2 2 2 8 2 16 2 14 $ - = -= -= Cevap: C