• Sonuç bulunamadı

Kuark gluon plazma özelliklerinin yüksek sıcaklıklarda incelenmesi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Kuark gluon plazma özelliklerinin yüksek sıcaklıklarda incelenmesi"

Copied!
66
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

KOCAELĠ ÜNĠVERSĠTESĠ*FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

KUARK GLUON PLAZMA ÖZELLĠKLERĠNĠN YÜKSEK

SICAKLIKLARDA ĠNCELENMESĠ

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

ZEKĠ KUYTUL

Ana Bilim Dalı: FĠZĠK

DanıĢman: Prof.Dr. ElĢen VELĠ

(2)
(3)

ÖNSÖZ ve TEġEKKÜR

Bu çalıĢmada, Termal Kuantum Renk Dinamiği çerçevesinde Feynman ayarı ve Standart Feynman Kuralları kullanılarak kuark gluon plazmanın fiziksel özellikleri incelenmiĢtir.

ÇalıĢmamda beni sabırla yönlendiren danıĢmanım çok değerli hocam Prof.Dr. ElĢen VELĠ (VELĠEV)‟e (KOÜ F.E.F.), bu tezin hazırlanmasında desteğini ve tavsiyelerini esirgemeyen hocam Yrd.Doç.Dr. Jale YILMAZKAYA SÜNGÜ‟ye (KOÜ F.E.F.), bu konuda çalıĢma olanağı sağlayan değerli hocalarım Fen-Edebiyat Fakültesi Dekanı Prof.Dr. Yüksel GÜNEY‟e (KOÜ F.E.F.), Fizik Bölüm BaĢkanı Prof.Dr. Hüseyin DĠRĠM‟e (KOÜ F.E.F.) ve desteğini her zaman yanımda hissettiğim eĢim Leyla KUYTUL‟a teĢekkürlerimi sunarım.

(4)

ĠÇĠNDEKĠLER

ÖNSÖZ VE TEġEKKÜR ……… ... i

ĠÇĠNDEKĠLER … ... iii

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ………iv

TABLOLAR DĠZĠNĠ ………...v

SĠMGELER DĠZĠNĠ VE KISATLMALAR ... viii

TABLOLAR DĠZĠNĠ ... xiii

ÖZET……… ... ix

ABSTRACT… ... x

BÖLÜM 1. GĠRĠġ ... 1

BÖLÜM 2. KUANTUM RENK DĠNAMĠĞĠNĠN TEMEL ĠLKELERĠ ...11

2.1. Kuantum Renk Dinamiği Klasik Lagranjiyeni.... ...11

2.2. Abelyen Olmayan Alanların Kuantumlanması ...14

2.3. Kayan EtkileĢme Sabitleri ...17

2.4. Kuantum Renk Dinamiğinde Kiral Simetri ...21

2.5. Kuantum Renk Dinamiğinde Pertürbatif Olmayan Yöntemler ...23

BÖLÜM 3. KUARK GLUON PLAZMA ...31

3.1. Sonlu Sıcaklıklarda Kuarklar ve Gluonlar.... ...31

3.2. Sonlu Baryon Yoğunluklarında Kuarklar ve Gluonlar ...32

3.3. Termal Alan Teorilerine GiriĢ ...35

BÖLÜM 4. KUARK GLUON PLAZMANIN TERMAL ÖZELLĠKLERĠNĠN ĠNCELENMESĠ ...43

4.1. Serbest Propagatörler ...43

4.2. Termal Kuantum Renk Dinamiğinde Feynman Kuralları ...45

4.3. Kovaryant Olan ve Kovaryant Olmayan Ayarlar.... ...47

4.4. Gluon Özenerjisinin Tek YaklaĢımda Hesabı………...… 48

4.5. Feynman Ayarında Termodinamik Potansiyelin Ġki Ġlmekli YaklaĢımda Hesabı ...51

SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ...54

KAYNAKLAR ...55

(5)

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 1.1: EtkileĢme Sabitleri S ve e‟ nin KarĢılaĢtırılması ... 5

ġekil 1.2: Bir Kuark ve Bir KarĢıtkuark Arasındaki Potansiyel ... 5

ġekil 1.3: KGP Faz Diyagramı ... 9

ġekil 2.1: Ayar Yörüngeleri ...15

ġekil 2.2:  Bozunmasından Kayan EtkileĢme Sabiti ...19

(6)

TABLOLAR DĠZĠNĠ

Tablo 1.1: Kuark ÇeĢnileri ... 2 Tablo 2.1: M ġemasında Kayan Kütleler Ve Ölçekten Bağımsız Oranlar ...20 S Tablo 2.2: M ġemasında S Kayan Kütleler Ve Tılsımlı, Alt Ve Üst Kuarkların Kutup Kütleleri………..…….21

(7)

SĠMGELER DĠZĠNĠ ve KISALTMALAR

a

A : Gluon alanları (Yang Mills Alanları) c , b , a : Renk indisleri a a c , c : Ghost alanları abc

f : Antisimetrik yapı sabiti

a

F  : Alan Ģiddet tensörü

D : Kovaryant türev

s

,

g  : ġiddetli etkileĢme sabiti

 : Planck sabiti H : Hamiltonyen a a a J, , : DıĢ kaynaklar q , p , k : Dört boyutlu momentum L : Lagranjiyen eff L : Efektif Lagranjiyen m : Kütle c

N : Kuark renk sayısı

f

N : Kuark çeĢni sayısı

s

N : Kuark spin sayısı q q, : Kuark, karĢıtkuark Q : Elektrik yükü S : Etki T : Sıcaklık, Zaman a T : SU

 

3 grubu üreticileri Z : BölüĢüm fonksiyonu  , : Fermiyon alanları

 

x  : Basamak fonksiyonu

 

x a

 : x ‟e bağlı ayar parametreleri  , : Lorentz indisleri q  : Fermi momentumu  : Kimyasal potansiyel 0

 : Momentum transferi için etkileĢme sabiti a

 : 33 Ģeklinde Gell-Mann matrisleri

 : 44 Ģeklinde Dirac matrisleri

 : Ġmajiner zaman

W : OluĢum fonksiyoneli  : Dirac-Delta fonksiyonu

(8)

k : Boltzman sabiti

z

I : Ġzospinin z bileĢeni

BNL : Brookhaven Ulusal AraĢtırma Laboratuarı CERN : Avrupa Parçacık Fiziği AraĢtırma Laboratuarı

FP : Fadeev-Popov

HG : Hadron Gazı

ILC : Uluslararası Lineer ÇarpıĢtırıcısı MIT : Massachusetts Instutite Of Technology KED : Kuantum Elektrodinamiği

KGP : Kuark-Gluon Plazma KRD : Kuantum Renk Dinamiği LHC : Büyük Hadron ÇarpıĢtırıcısı

RHIC : Rölativistik Ağır Ġyon ÇarpıĢtırıcısı TKRD : Termal Kuantum Renk Dinamiği URHIC : Ultrarölativistik Ağır Ġyon ÇarpıĢtırıcısı

(9)

KUARK-GLUON PLAZMA ÖZELLĠKLERĠNĠN YÜKSEK SICAKLIKLARDA ĠNCELENMESĠ

Zeki KUYTUL

Anahtar Kelimeler: Termal Kuantum Renk Dinamiği, Asimtotik Özgürlük, Kuarkların Hapsolması, Kuark-gluon Plazma, termodinamik potansiyel, Feynman ayarı, standart termal Feynman Kuralları.

Özet: Bu çalıĢmada, pertürbatif Termal Kuantum Renk Dinamiği (TKRD) çerçevesinde Feynman ayarı kullanılarak sonlu sıcaklıklarda kuark ve gluonlardan oluĢan sistem incelenmiĢtir. Maddenin yeni hali olduğu düĢünülen Kuark Gluon Plazmanın (KGP) yüksek sıcaklıklarda incelenmesi KGP‟nin termal özelliklerinin incelenmesi bakımından oldukça önemlidir. TKRD‟ ne göre enerji yoğunluğu belirli bir kritik değeri aĢtığında hadronik madde durumundan KGP durumuna faz geçiĢi olur. Bu faz dönüĢümünün  0,72fm-3‟den daha büyük baryon yoğunluklarında yada Tc 150250MeV sıcaklıkta gerçekleĢtiği öngörülmektedir. TKRD‟nin öngörülerine göre büyük patlamadan yaklaĢık 10s sonra evrendeki maddenin KGP durumunda olduğu düĢünülür. Nötron yıldızlarının merkezindeki maddenin de KGP oluĢturabilecek kadar yüksek enerjiye sahip olduğu bilinmektedir. Ayrıca laboratuar ortamında yüksek enerjili ağır iyon çarpıĢmalarında da KGP oluĢturulabilmektedir. Ağır iyon çarpıĢma deney sonuçlarının anlaĢılabilmesi için KGP özelliklerinin incelenmesi gerekir. KGP‟nin sonlu sıcaklık ve kimyasal potansiyelde incelenmesi literatürde geniĢ Ģekilde yer almaktadır. Yüksek sıcaklıklarda etkileĢme sabitinin küçük olması diğer deyimle asimtotik özgürlüğün kendisini göstermesi pertürbatif yöntemlere olanak sağlamaktadır. Bakılan fiziksel niceliği S‟ye göre seriye açarak ve Feynman diyagramlarını kullanarak hesaplamalar güvenli bir Ģekilde yapılabilir. T = 250 MeV gibi bir sıcaklıkta  S 0.3 0.5 olması beklenir.

Bu tez çalıĢmasında amacımız Feynman ayarında ve tek ilmekli yaklaĢımda gluon özenerjisi tensörünü ve iki ilmekli yaklaĢımla KGP‟nin termodinamik potansiyelini hesaplamaktır. Hesaplarımızın sonunda KGP‟nin termodinamik potansiyeli

kuarkların katkısı da eklenerek 

        12 5 1 6 1 2 4 Nf T g V olarak bulunmuĢtur.

(10)

INVESTIGATION OF QUARK-GLUON PLASMA PROPERTIES AT HIGH TEMPERATURES

Zeki KUYTUL

Keywords: Thermal Quantum Chromodynamics, Asymptotic Freedom, Confinement, Quark-Gluon Plasma, Quantum Chromodynamics Classic Lagrange, Feynman Rules.

Abstract: Thermal Quantum Chromodynamics (TQCD) predicts a phase transition from a state of hadronic constituents to a plasma of deconfined quarks and gluons, as the energy density exceeds a critical value. This phase transition is predicted to occur at a baryon density of greater than  0,72fm-3 or at a temperature of

MeV 250 150

Tc   . It is believed that approximately 10safter the creation of the

universe in the Big Bang all matter was in state called quark-gluon plasma (QGP). Also QGP may possibly exist in the deep interior of neutron stars.

In order to understand the results of heavy ion collision experiments, it is necessary to investigate the properties of QGP. QCD at finite temperature and chemical potential is available in literature. Perturbative QCD at finite temperature is based on the fact that the temperature-dependent running coupling constant is small at high temperatures due to asymptotic freedom. At a typical temperature of T = 250 MeV it is expected that  S 0.3 0.5 . This corresponds to an expansion in S, which can be performed conveniently by using Feynman diagrams for hadronic scatterings. In this thesis, our aim is to calculate the gluon self energy in one loop approximation and QGP‟s thermodynamic potential in the two-loop approximation using standard thermal Feynman rules in covaryant gauge. At the end of our calculations, QGP‟s thermodynamic potential including quark contributions has been obtained as

         12 5 1 6 1 2 4 Nf T g V .

(11)

BÖLÜM 1. GĠRĠġ

Maddelerin yapıtaĢlarını incelemek fiziğin en temel problemlerinden biridir. BaĢta Rutherford olmak üzere fizikçiler atomun maddenin en küçük yapıtaĢı olmadığını, daha küçük alt parçacıklardan oluĢtuğunu düĢünmeye baĢladılar ve Rutherford‟un ince altın inceltilmiĢ levhalara gönderdiği alfa parçacıklarının saçılmaları deneyinin sonucunda atomun çekirdek ve onun etrafında dönen elektronlardan oluĢtuğu anlaĢıldı. Önceleri çekirdeğin maddenin en küçük ve bölünmez yapısı olduğu kanısı hakimdi. Ancak kısa bir süre sonra çekirdeğin proton ve nötrondan oluĢtuğu anlaĢıldı. 1964 yılında ise Murray Gell-Mann ve George Zweig çekirdeği oluĢturan proton ve nötronlarında kuark denilen daha küçük alt parçacıklardan oluĢtuğunu öngördü (Gell-Mann, 1964). Ancak parçacıklar hızlandırıcılarda ıĢık hızına yakın hızlara kadar hızlandırılıp büyük bir enerjiyle çarpıĢtırıldıklarında, ortaya çok sayıda yeni parçacık çıktığı gözlendi. Bugün bilinen 400‟ün üzerinde temel parçacık vardır. Aslında bu parçacıklar birkaç temel parçacığın değiĢik kombinasyonlarıdır.

Günümüz deneysel verilerine göre elektron nokta parçacıkken, proton üç kuarktan oluĢan bileĢik bir parçacıktır. Kuarklar /2 spine sahip fermiyonlardır. Kuarklar çeĢnileriyle tanımlanır ve diğer parçacıkları oluĢturan temel parçacıklardır. ġimdiye kadar, bilinen altı kuark çeĢidi bulunmaktadır. Bunlar sırasıyla u (yukarı), d (aĢağı), c (tılsımlı), s (acayip), b (alt), t (üst) kuarklardır. Bu birleĢim Ģemasında,

 

u,d kuark çifti ve

e,e

lepton çifti temel parçacıkların ilk neslini,

 

c,s kuark çifti ve

,

lepton çifti temel parçacıkların ikinci neslini,

 

t,b kuark çifti ve

,

lepton çifti temel parçacıkların üçüncü neslini oluĢturur. Ayrıca, üçüncü nesil parçacıkların varlığı CP (yük parite) bozulmasının tanımlanması için doğal bir referans sistemi oluĢturur. Tablo 1.1 de kuarkların yalın kütleleri listelenmiĢtir. Kuarkların hadronlar içerisinde hapsolmuĢ halinin kütlesine yalın kütle denir. Kuarklar hadronların içine hapsolduğunda, hapsolma potansiyelindeki kuarkların sıfır nokta enerjisinin etkisini içeren bir etkin kütleye gerek duyulur.

(12)

Hadronda hapsolmuĢ kuarkın kütlesine etkin kütlesi denir ve büyüklük olarak birkaç yüz MeV değerine sahiptir.

Kuarklar sadece çeĢni serbestlik derecesine sahip olmayan aynı zamanda renk serbestlik derecesine sahip fermiyonlardır. Her bir kuark 1/3‟lük baryon sayısı ve bir renk taĢır. Bir kuark üç farklı renk taĢıyabilir: (kırmızı (R), mavi (B), ve yeĢil (G)). Bugüne kadar yalıtılmıĢ renk deneysel olarak gözlenememiĢtir. Bu durum kuarkların beyaz renkli parçacıkları (hadronları) oluĢturmak için bir araya geldiklerini gösterir. Fenemolojik kuark modellerinde, mezonlar bir kuark ve antikuarkın, baryonlar ise üç kuarkın temel seviyesi olarak tanımlanır. Yani baryonlar (proton, nötron, ,  …) üç valans kuarktan ve mezonlar ise (, K, J/ …..) bir kuark ve bir karĢıtkuarktan oluĢur. Deneysel olarak henüz serbest bir kuark gözlenememiĢtir. Ayrık serbest kuarkın gözlenememesinin nedeni kuark ve gluonların uzun mesafeli etkileĢmelerinin güçlü olmasındandır. Bunlar hadronların mümkün olan en temel durumlarıdır. Elektrik yükleri arasındaki etkileĢmeye benzer Ģekilde kuarklar arasındaki etkileĢim kuarkların renklerine bağlıdır. Bu sebeple, bir kuarkın rengi “renk yükü” olarak adlandırılır. Bir renge sahip kuark baĢka bir renge sahip diğer bir kuarkla gluon değiĢ tokuĢ yaparak etkileĢir. Gluonlar renk yükü taĢıdığı için kendi aralarında gluon alıĢveriĢi yaparak etkileĢirler. Gluonlar çeĢni taĢımadıklarından etkileĢmeleri çeĢni serbestlik derecesine bağlı değildir.

Tablo 1.1: Kuark ÇeĢnileri

Kuarklar Q Iz C S T B Kütle(MeV) u 2/3 1/2 0 0 0 0 5.0 ± 1.1 d -1/3 -1/2 0 0 0 0 6.9 ± 1.1 s -1/3 0 0 -1 0 0 130 ± 33 c 2/3 0 1 0 0 0 1350 ± 50 b -1/3 0 0 0 0 -1 4200 t 2/3 0 0 0 1 0 179000

Güçlü etkileĢmenin teorisi kuark ve gluon alanları arasındaki etkileĢmeyi tanımlayan Kuantum Renk Dinamiği (KRD) olarak adlandırılır.

(13)

Renk serbestlik derecesi bu parçacıkların etkileĢmesi için gerekli olan bir iç serbestlik derecesinin oluĢturur. EtkileĢmenin Ģiddeti etkileĢme durumlarına bağlı olduğu için kuark ve gluon sistemleri ile ilgili çalıĢmalar perturbatif KRD ve perturbatif olmayan KRD olarak ikiye ayrılır. Büyük uzay ölçekli sistemleri tanımlayan pertürbatif olmayan KRD için bir takım zorluklar içermektedir.

Kuarkların ve gluonların alan teorisi, alan teorilerinin özel bir sınıfını oluĢturan Ayar Alan Teorisi‟ne girer. Yani, alan teorisinde etkileĢme Yerel Ayar DönüĢümü altında değiĢmez olan Lagranjiyenle temsil edilir. Ayar alanın kuantası durgun kütleye sahipse, yerel ayar dönüĢümü altında lagranjiyen değiĢmez olmayacaktır. Ayar değiĢmezliğini korumak için ayar alanın kuantası olan gluonlar kütlesiz olmak zorundadır. Bu anlamda gluonlar elektromanyetik etkileĢimin ayar alanının kuantası olan fotonlara benzer. Fotonlar spini 1 olan kütlesiz parçacıklar olup bozon ailesindendir.

Kısa mesafeli ölçekte derin esnek olmayan saçılma deneyleriyle kuark-gluon etkileĢiminin doğasıyla ilgili daha ayrıntılı bilgi elde edilebilir. Bu deneylerde elektron hadron içindeki kuarkla etkileĢir ve elektrondan kuarka momentum transferi gerçekleĢir. ÇarpıĢma öncesi ve sonrası elektronun momentumunu ölçülmesi nükleon içindeki kuarkların momentum dağılımını incelememize imkan sağlar. Büyük momentum trasferlerinde hadronun içindeki kuarklar hemen hemen serbestmiĢ gibi davranır.

Abelyen olmayan ayar teorisi kısa mesafelerde zayıf, uzun mesafelerde güçlü etkileĢen sistemleri tanımlar. Abelyen olmayan ayar alan teorisinde, ayar alan operatörleri komutatif değildir. Bu durum abelyen olan elektromanyetik etkileĢmelerin tam tersidir. Yani abelyen olmayan ayar alan teorisi asimptotik özgürlük özelliğine sahiptir. Kuarklar ve gluonlar arası etkileĢmenin Ģiddeti etkileĢme koĢullarına bağlıdır. KRD etkileĢme sabiti momentum transferi q ‟ya aĢağıdaki gibi bağlıdır (Gross ve Wilczek 1973, Politzer 1973):

(14)

 

          2 2 0 2 ln 12 2 33 1     q N q f (1.1)

Burada 0,  momentum transferi için etkileĢme sabitidir ve Nf çeĢni sayısıdır.

EtkileĢme mesafesi küçük olduğunda yüksek momentuma sahip kuarkların etkileĢme sabiti küçüktür. Bu duruma asimtotik özgürlük denir. Böylece, etkileĢme sabiti küçük olduğu için pertürbatif çözümleme teorinin tanımlanması için iyi bir yöntemdir. Diğer taraftan, mesafe büyük olduğunda etkileĢmenin Ģiddeti büyür. EtkileĢme sabitinin kuvvet serisi açılımına dayanan pertürbatif çözümleme artık geçerli olmaz. Yalın kuarklar hapsolma kuvvetine maruz kalırlar ve pertürbatif olmayan düzeltmeye ihtiyaç duyulur (Wong, 1994).

KRD bize kuark ve gluon dinamiklerinin iki önemli özelliğini açıklar: Yüksek enerjilerde, etkileĢme küçük olduğundan kuark ve gluonlar zayıf etkileĢir. Abelyen olmayan ayar teorisinin abelyen ayar teorisinden en önemli farkı, renk yükünün karĢıt perdelenmesiyle iliĢkilidir. Ayar alanları renge sahip oldukları için yalın renk yükü uzayda gluonlar nedeniyle artmıĢ gibi gözükür. Bu yüzden yalın yükü bulmak için gluon bulutunun içine doğru girildiğinde yükün daha az olduğu anlaĢılır. Bu KED‟nin tam tersi bir durumdur. Çünkü yalın yükün perdelenmesi yükü çevreleyen elektron-pozitron bulutu sayesinde olur. ġekil 1.1‟ de sıcaklık, enerji, mesafeye karĢılık gelen KRD ve KED‟deki efektif (veya kayan) etkileĢme sabiti gösterilmektedir. KRD‟de uzunluk ölçeği azalırken ya da enerji ölçeği artarken etkileĢme Ģiddeti azalır. Yüksek sıcaklıklarda kuarkların ve gluonların termal enerjileri büyük olduğundan etkileĢmeleri zayıftır. Ayrıca Ģekil 1.1 ‟de düĢük enerjilerde ya da uzun mesafelerde KRD‟deki etkileĢmenin güçlü olacağını gösterir. Gerçekten de büyük mesafelerde bir kuark ve karĢıtkuark arasındaki fenomenolojik potansiyel Ģekil 1.2‟de gösterildiği gibi aralarındaki uzaklığa bağlı olarak lineer artar.

(15)

ġekil 1.1: EtkileĢme sabitleri S (KRD) ve e (KED)‟nin karĢılaĢtırılması (Hatsuda, 2004)

ġekil 1.2: Bir kuark ve bir karĢıtkuark arasındaki potansiyel enerji (Hatsuda, 2004)

Coulomb KRD Mesafe r (fm) V(r) Potansiyel Enerji (MeV) EtkileĢme ġiddeti KRD KED Uzun mesafe Yüksek enerji Yüksek sıcaklık Kısa mesafe DüĢük enerji DüĢük sıcaklık

(16)

Sonuç olarak, bir kuark ve bir karĢıtkuarkı ayırmaya çalıĢsak bile bu kuvvet onları birbirinden ayıramaz. Gerçekte kritik bir mesafeden sonraki potansiyel enerji o kadar büyük olur ki vakumda yeni bir kuark karĢıtkuark çifti oluĢur.

Sonra bu kuark karĢıtkuark çifti yeni parçacıkların oluĢmasına sebep olur. Bu yolla kuarklar her zaman hadronların içine hapsolur ve asla ayrı halde gözlenemezler.

KRD etkileĢme sabiti S uzun mesafelerde büyük olduğu için teknik bir zorluk

yaĢanır. Yani pertürbatif bir metodu uygulayamayız. Wilson‟un Örgü Ayar Teorisi bu problemi aĢmak için kullanılabilir. Teori dört boyutlu uzay zamanı sürekli olarak değil tıpkı kristallerdeki gibi örgüler olarak ele alır. Bu teoride ayar alanları örgü bağlantılarını oluĢtururken, düğüm noktalarında da kuarkların bulunduğu düĢünülür. Bu kesikli örgüyle Monte Carlo nümerik simülasyonları kullanılarak KRD hesaplamaları yapılabilir. Sonuçlar potansiyel enerjinin kuarklar arasındaki mesafeyle doğru orantılı olduğunu gösterir. Sicim (String) Modeliyle Örgü (Lattice) Modelinin birbiriyle uyumlu olması hapsolma özelliğine ıĢık tutar. (Hatsuda,2004)

Torba modeli gibi fenomolojik modeller güçlü etkileĢmeyi daha iyi anlamamız için iyi bir rehberdir. Hadronun içine kuarklar hapsolduğunda hadronlardaki kuarkları tanımlamak için Torba Modeli kullanılır. MIT Torba Modeli kuarkın hapsolmasını karakterize eden modellerden biridir. MIT Torba Modeli‟nde kuarklar sonlu boyutlu bir torba içinde kütlesiz, torbanın dıĢında ise sonsuz büyüklükte kütleli parçacıklar olarak ele alınır. Modeldeki hapsolma, içeriye doğru olan B torba basıncının kuarkların kinetik enerjilerinden kaynaklanan gerilmeyi dengelemesinin sonucudur. Torba basıncı B, KRD‟nin pertürbatif olmayan etkisini hesaba katmak için kullanılır. Kuarklar torbada hapsolursa gluonlar da torbada hapsolur. Bu tanımda Gauss Yasası gereği torbadaki maddenin toplam renk yükü renksiz (nötr) olmalıdır .

Kuarkların hapsolması, yüzeyde vektör akımı J   dik bileĢenin sıfır olmasını gerektirir. Bu Ģart kuarkın skaler yoğunluğunun r =R torba yüzeyinde sıfıra gitmesi Ģartıyla aynıdır.

(17)

0 0

2 

 

2

1 0

2 0    rR J p R  rJ p R ya da (1.2)

 

J0 p0R

2 

J1

 

p0R

2 0 burada p0dört boyutlu pmomentumunun sıfırıncı bileĢenidir.

Küresel bessel fonksiyonlarının tablolaĢtırılmıĢ değerlerinden (1.2) denklemi

04 . 2 0Rp ya da R p0  2.04

için sağlanır. Torbadaki N sayıda kuarktan oluĢan sistem için hapsolmuĢ kuarkların toplam kinetik enerjisi R ile ters orantılıdır. Torba yarıçapındaki artıĢ toplam kinetik enerjide azalma demektir.Torba modelinde hapsolmanın pertürbatif olmayan etkileri, torbanın dıĢından içine doğru oluĢan torba basıncı varlığıyla temsil edilir. Torbanın içindeki vakumun enerji yoğunluğu torbanın dıĢındakinden fazladır. Bu basnç farkı B ile ifade edilir. R yarıçaplı torbada N sayıda hapsolmuĢ kuarklardan oluĢan

sistemin enerjisi R B R E 3 3 4 04 . 2   dir.

Sistem bu basınç farkını dengelemek için R yarıçapını arttırır. Sistemin denge yarıçapı R, dE/dR0 ile elde edilir. Btorba basıncıyla yarıçap arasındaki iliĢki

R N B 1 4 04 . 2 1/4 4 / 1         (1.3) ile ifade edilir. Baryondaki üç kuark sisteminin hapsolma yarıçapı 0.8 fm alınırsa torba basıncı B1/4 206MeVolarak bulunur. (Wong, 1994)

Yüksek Tsıcaklığında ve yüksek  yoğunluk değerleri için KGP ‟ nin bulunabileceği üç mümkün durum Ģunlardır: i) Erken evrende ii) yoğun yıldızların merkezinde iii) yüksek enerjili ağır çekirdek çarpıĢmalarında.

(18)

i) Erken Evrende Einstein‟ın gravitasyonel eĢitliğinden Friedman‟ın çözümlemesine göre, evren büyük patlamadan yaklaĢık 5

10 s sonra t 0‟daki tekillikten geniĢlemeye baĢladı. Bu fikir, Hubble‟ ın uzak galaksilerin kırmızıya kayma formülasyonuyla doğrulamıĢtır. Eğer evren tersine büzülürse sonunda Gamow‟ un öne sürdüğü gibi madde ve radyasyon baĢlangıçtaki ateĢ topuna dönüĢür.

eV K

T 2,73 ~3.105 kozmik mikrodalga temel seviye radyasyonunun Penzias ve Wilson tarafından keĢfi evrenin bu sıcak çağının kalıntı ıĢımasını doğruladı. Ayrıca,

Büyük Patlama Teorisi çekirdek sentezi sonucu evrendeki döteryum, helyum ve lityum gibi hafif elementlerin fazlalığını açıklar. Patlamadan 5 4

10 ~

10  saniye sonrasına dönersek evrenin T 150~200MeVsıcaklıkta KGP fazında olduğunu ve

GeV

T ~200 ‟de elektrozayıf faz geçiĢi gerçekleĢtirdiğini söyleyebiliriz.

Ayrıca COBE (Kozmik Arkaalan KaĢifi) ve WMAP (Wilkinson Mikrodalga Anizotopi sondası) tarafından kozmik sıcaklığın çok küçük dalgalanmalarının keĢfi evrenin üstel olarak geniĢlemeye baĢlamadan önce ilksel bir ĢiĢme periyodunun varolduğunu göstermektedir.

ii) Nötron yıldızları ve kuark yıldızları gibi çok yoğun yıldızların merkezinde KGP‟ ye rastlanır. Bu yıldızların üç farklı durumu söz konusudur: beyaz cüceler, nötron yıldızları, kuark yıldızları. Nötron yıldızlarının büyük bir kısmı sıvı nötron sıvısı, proton ve elektronlardan oluĢurken, beyaz cüceler tümüyle elektron ve çekirdeklerden oluĢur. Ġlk nötron yıldızı 1967 yılında radyo sinyalleri üreten bir yıldız olarak keĢfedildi (Hevish, 1968). Nötron yıldızlarının merkez yoğunluğu nükleer madde yoğunluğunun (nm) 5-10 katına ulaĢırsa, nötronların soğuk kuark

maddesine doğru erime olasılığı vardır. Hemen hemen eĢit u,d,s kuark maddesi maddenin kararlı seviyesi olabilir. Bu acayip madde hipotezi olarak adlandırılır. Bu teori doğruysa kuark yıldızları tümüyle acayip maddesinden oluĢmuĢ demektir.

iii) Ağır iyon hızlandırıcılarında rölativistik çekirdek-çekirdek çarpıĢmalarıyla Küçük patlamanın ilk durumu oluĢturulabilir. Ġki ağır altın çekirdeği rölativistik ya da ultrarölativistik enerjilerle kafa kafaya çarpıĢtıklarını düĢünelim. Böyle

(19)

çarpıĢmalarda çekirdek Lorentz büzülmesine uğrar. Her bir çekirdeğin enerjisi kütle merkezi sisteminde yaklaĢık birkaç 100 GeV‟ tan büyük olduğunda çarpıĢan çekirdekler birbirlerin içinden geçmek ister ve maddenin yeni hali olarak düĢünülen KGP ortaya çıkar. Öte yandan her nükleon baĢına düĢen enerji birkaç on GeV ise çarpıĢan çekirdekler birbirlerine yapıĢıp kalmak eğilimindedirler. Bu durum yüksek

baryon yoğunluğu için de geçerlidir. KRD maddesinin faz diyagramı T sıcaklık ve baryon yoğunluğuyla Ģekil 1.3‟de verilmiĢtir.

ġekil 1.3: KGP Faz Diyagramı

Rölativistik ağır iyon çarpıĢmaları 10 fm uzunluk ve 10 fm / zaman boyutlarıyla c karakterize olunan dinamik süreçlerdir. ÇarpıĢmanın ilk anında KGP oluĢsa bile, KGP geniĢleyerek ve ıĢıma yaparak çok kısa sürede soğur ve KRD faz geçiĢi ile tekrar hadron gazına dönüĢür. Sonra sistem daha küçük renksiz hadron parçalarına ayrılır. Bu yüzden, KGP‟ yi ölçmek için gözlenen veriler kullanılarak KGP‟ nin baĢlangıçta oluĢma izini sürmeye ve bu zaman süresince yayınlanan parçacıklar ve ıĢımaları gözlemlemeye ihtiyaç duyarız. Bu durum erken evreni anlamak için kalıntıların kullanılmasına benzer bir durumdur.

KGP‟nin araĢtırılmasıyla ilgili olarak yapılması planlanan pek çok deney vardır. Bu deneylerde amaç Ģu ana kadar ulaĢılan enerjilerden daha da büyük enerjilere ulaĢarak KGP ile ilgili daha güçlü kanıtlar elde etmektir. önümüzdeki yıllarda CERN

Baryonik Kimyasal Potansiyel [MeV] 0 200 250 150 100 50 0 200 400 600 800 1000 1200 AGS SIS SPS

RHIC Kuark Gluon Plazma

Hadron

Gazı nötron yıldızları

Evrenin ilk aĢamaları

Hadronlaşma

kiral simetri restorasyonu

Örgü KRD

Atomik çekirdek

(20)

araĢtırma merkezi LHC‟de (Büyük Hadron ÇarpıĢtırıcısında) yapılması planlanan beĢ farklı deney vardır: ALICE (A Large Ion Collider Experiment), ATLAS (A Large Torodial LHC Apparatus), CMS (Compact Muon Solenoid), LHCb ve TOTEM (Total Cross Section) deneyleri. ALICE deneyinde Pb-Pb çekirdekleri nükleon baĢına 5,5 TeV enerjilerde çarpıĢtırılacaktır. ATLAS deneyi ile 14 TeV‟lik kütle enerjisine sahip iki proton demeti her 25 nanosaniyede bir dedektörün ortasında

buluĢturularak yaklaĢık 20 proton-proton çarpıĢmasının olması sağlanacak, bu da her saniyede 800 milyon proton-proton çarpıĢması demektir. Bu sayede daha önce düĢük enerjilerde gözlenemeyen büyük kütleli parçacıkların gözlenmesi tasarlanmaktadır. LHC‟de yapılması planlan LHCb deneyinde B mezonu üzerine, TOTEM deneyinde toplam tesir kesitinin ölçümü üzerine araĢtırmalar yapılacaktır. CMS deneyi ise Higgs bozonlarının görülmesi ve kütlesinin tespiti için yapılan daha genel amaçlı bir deney olacaktır.

Bu tez çalıĢmasında KGP‟nin özellikleri yüksek sıcaklıklarda incelenmiĢtir. Standart Feynman kuralları kullanılarak KGP‟nin termodinamik potansiyeli ve basıncı hesaplanmıĢtır.

(21)

BÖLÜM 2. KUANTUM RENK DĠNAMĠĞĠ’ NĠN TEMEL ĠLKELERĠ

2.1 Kuantum Renk Dinamiği’ nin Klasik Lagranjiyeni

KRD ‟nin klasik lagranj yoğunluğu, kuark ve gluon alanlarını içerir. Ayrıca, yerel renk SU

 

3 simetrisine sahip olacak Ģekilde oluĢturulmuĢtur. KRD‟nin Lagrange yoğunluğu,

      a a klasik q iD m q F F L 4 1     (2.1)

Ģeklindedir. Kuark alanı q , SU

 

3 üçlüsüne aittir. Bu yüzden a , 1‟den 8‟e kadar değer alabilir. Burada tekrar eden indisler üzerinden toplam yapılır ve D D Ģeklinde tanımlanır. D renk triplet kuark alanı üzerine etkiyen kovaryant türevdir:

a a

A igt

D  . (2.2)

olup g, KRD‟deki boyutsuz etkileĢme sabitini, t ise a SU

 

3 Lie cebirinin temel temsilini gösterir. a

t ‟lar aĢağıda komütasyon iliĢkisini ve normaliasyonu sağlayan 3

3 Ģeklinde izsiz hermitsel matrislerdir.

, (2.3) a b c abc t t i f t      ve tr

 

tatbab 2 1  Kolaylık için renk alanı üzerine etkiyen kovaryant türevi

a a A igT D  (2.4) diye tanımlarız. a

T , SU

 

3 Lie cebirinin ek temsilidir. Bunlar

 

bc abc a

if T  tarafından verilen 88ĢeklĢinde izsiz hermitsel matrislerdir.

(22)

a

F  gluon alan Ģiddet tensörü olup

c b abc a a a A A f g A A F   (2.5) Ģeklinde tanımlanır. a a A t

A ve FtaFa olduğunu göz önüne alarak (2.5) eĢitliğini daha da basit hale getirebiliriz:

 

 

     D D g i A A ig A A F    ,  , . (2.6)

Renk elektrik ve manyetik alanları standart elektromanyetik alana benzer Ģekilde elde edilebilir. 0 i i F E  , ijk jk i F B  2 1   (2.7)

burada ijk, 1231 olan tam antisimetrik bir tensördür. EĢitlik (2.1)‟den klasik hareket denklemi,

iD m

q0, (2.8)

D,F

g j,

ya da DabFb  gja (2.9)

Ģeklinde yazılabilir. Burada  aa j t j  ve ja q taq   . Bu denklemler sırasıyla

Dirac denklemi ve kuark - gluonlar için Yang-Mills denklemleridir.

(23)

 

x V(x)q(x)

q  , gA

 

xV

 

x

gA

 

xi

Vt

 

x (2.10) burada V

 

x exp

ia

 

x ta

Ģeklinde ifade edilir.Ayar değiĢmezliğini göstermek için F  ve D‟nün kovaryant olarak dönüĢtüğü unutulmamalıdır:

 

x V

     

x F x V x

F t , D

 

xV

     

x D x Vt x (2.11) Sonsuz küçüklükteki ayar dönüĢümü altında küçük bir değiĢim aĢağıdaki Ģekilde ifade edilebilir:

 

x i

   

x q x , q   

 

gA x

D

 

x

, (2.12)

Prensipte yukarıdaki son eĢitlik a

i a i a a F E B F   

 ayar değiĢmezliği terimini

içerir. Böyle bir terimin varlığı, zamanın tersinmezliğini ya da eĢdeğer olarak CP(yük+ parite eĢleniği) değiĢmezliğini bozar. Güçlü etkileĢmede nötronun elektrik dipol momentinin ölçümü CP bozulumu ile ilgili hiçbir ipucu vermemesine rağmen CP bozulmasının görülmemesinin temel sebebi hala tam olarak belli olmayıp bu durum CP problemi olarak adlandırılırmaktadır.

Ayar değiĢmezliği nedeniyle aa

A

A gibi terimler yasaklanmıĢtır. Bu sebeple gluonlar kütlesizdir. Öte yandan kuark kütleleri ayar simetrisi tarafından kısıtlanmamıĢ olup sonludurlar. Farklı çeĢnili kuarklar farklı kütlelere sahiptir. N çeĢnileri için f

denklem (2.1)‟deki kuark alanı q ‟yu (m kuark kütlesi) Nf bileĢenli bir vektör

olarak ele alırız. Standart modelde kuark kütlelerinin kökeni kuarkların Higgs alanıyla Yukawa etkileĢmelerine dayanır. Buna rağmen, kuark kütlelerinin çok farklı değerler almasının sebebi henüz anlaĢılamamıĢtır.

(24)

2.2 Abel Olmayan Alanların Kuantumlanması

Klasik Lagranj yoğunluğu düĢük enerjilerde KRD‟nin dinamikleri hakkında çok fazla bilgi vermez. Oysa, KED‟in klasik limiti olan Maxwell denklemlerinin günlük hayatımızda çok sayıda uygulama alanlarına sahiptir. KRD ve KED arasındaki temel fark KRD‟de düĢük enerjilerde kuantum etkilerin daha çok önem kazanmasıdır. Bu farkı tamamen görmek için KRD‟yi kuantumlu yapıda düĢünmek ve vakum polarizasyonunun etkilerini anlamak gerekir. BaĢlangıçta fonksiyonel integral metodunda bölüĢüm fonksiyonu, JdıĢ kaynağına bağlı olarak yazılır .

 

J    

dAdq dq

id x

LJ

Z klasik J 4 exp 0 0 (2.13)

 

J

Z ‟nin fiziksel anlamı t  daki vakumdan t  daki vakuma geçiĢ genliğidir. Fonsiyonel integral Aa

 

x gluon alanları ve q

 

x , q

 

x Grassmann

alanları üzerinden alınır. DıĢ kaynak a

A     q q Ja J    olarak tanımlanır, burada  ve  iki bağımsız Grassmann dıĢ kaynağı temsil ederken, Ja

 

x gluonlar için dıĢ kaynaktır. Ġntegrasyonun ölçüsü dAdqdq ve etki S

d4x Lklasik ayar değiĢmez olduğundan açıkça görüldüğü gibi Z

 

0 ‟da ayar değiĢmezdir. Bu yüzden her bir ayar alanı ayar dönüĢümleriyle bağlantılı sonsuz sayıda iliĢkiye sahiptir. Bu bağıntıların tümü Z

 

0 ‟a aynı ağırlıkta katkı yaptığından fonksiyonun integrali yakınsak olur. Böyle çoklu sayımlardan kaçınmak için, ayar alanlarından birini sabitlemek gerekir.

Ayarı sabitlemek için

 

 

 

1

V

FP A G A

dV  (2.14)

yazılabilir, burada AVVAVt,G

 

A ayar sabitleme fonsiyonu olup, FP

 

A integrali 1‟e eĢitleyen Fadeev-Popov (FP) Jakobiyenidir; dV grup uzayında

(25)

   

VV d VV

d    olmasını sağlayan değiĢmezlik ölçüsüdür (Creutz,1985; Gilmore 1994). Yukarıdaki eĢitlik kısaltılıp, ters ayar dönmesi yapılırsa

ġekil 2.1: Ayar Yörüngeleri (Hatsuda,2004)

 

J

 

dV

dAdqdq

FP

 

A

G

 

A

id xLklasik

Z  exp 4 (2.15)

 

G A

 , Ģekil 2.1‟de verilmiĢ ayar yörüngesinden elde edilen bir gösterimdir. FP açık Ģekli:

 

A FP  =det

 

V1 V V A G   , (2.16)

olup burada determinant hem renk hem de uzay zaman indisleri için alınır. (2.15) eĢitliğinin sağındaki ilk faktör sonsuz uzay zaman hacmiyle çarpılan sonlu ayar hacmidir. Bu faktör izole edildiği ve Z

 

J ‟ deki çarpan olduğu için basitçe alan çarpanlarının vakum beklenen değerlerini etkilemeksizin kaldırılabilir. G temsili değerleri korumak Ģartıyla keyfi olarak seçilebilir. Genelde kullanılan

  A n G  , n20 eksenel ayar; {Av1} {Av2} {Av3} {Av4} Ayar Yörüngesi A1 A2 A3 A4 A V G(A)=0

(26)

 

A n

G  , n2 0 IĢık koni ayarı;

  A x G  Fock-Schwinger ayarı; i i A G Coulomb ayarı; 0 A G Temporal ayar ; ve G

 

A Af

 

x Kovaryant ayarlardır. Kovaryant ayarı f

 

x uzay ve zamanın keyfi fonksiyonudur. Yukarıdaki eĢitlik

durumunda eĢitliği 

 

 2/2

1 df e if ile çarparız ve böylece f

 

x ortadan kaldırılabilir. Burada  ayar parametresidir. FP determinantı birbirinden bağımsız

 

x

ca ve ca

 

x ghost ve karĢıtghost alanları olarak adlandırılan Grassmann alanları ile üstel ifade haline getirilebilir. Sonuçta

 

J  



exp ( ) Z eJ dAdqdq dcdc i d4x Lklasik J (2.17)

2 2 1 4 1 a b ab a a a A c D c F F q m D i q L               (2.18)

elde edilir. L ayarı sabitlenmiĢ lagranj klasik ayar dönüĢümü altında artık değiĢmez olmamasına rağmen, Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST) dönüĢümü BRST altında

kuantum ayar değiĢmezliğine sahiptir (Becchi, 1976; Tyutin, 1976). DönüĢümler aĢağıdaki Ģekilde verilir:

q BRST  =igcq ,

c D A BRST   ,   (2.19) BRST A c   , BRSTc= i g

 

c,c 2   (2.20)

Burada ccata ve  uzay ve zamandan bağımsız Grassmann sayısıdır.

 

x i

   

x q x

q

  ‟te  gc konulursa yukarıdaki dönüĢümler kolayca elde edilir. Yani BRST2 =0 ‟dir.

(27)

KRD‟nin kanonik kuantizasyonu BRST simetrisiyle yapılabilir. Z

 

J ya da W

 

J ‟yi elde etmek için standart pertürbasyon teorisinde L ‟yi serbest ve etkileĢme kısmı olarak ikiye ayırabiliriz.

etkilesme

L L

L0  (2.21)

 

J

W indirgenemeyen tek parçacık için Green fonksiyonunun oluĢum fonksiyonelidir. Bu durumda Legendre dönüĢümü yapılarak efektif etki

 

 W

 

JJ

 tanımlanabilir. Burada  W/J ; 

 

 tek parçacık indirgenemez köĢesi için oluĢum fonksiyonelidir.

2.3 Kayan EtkileĢme Sabiti

‟nın bir fonksiyonu olarak kayan etkileĢme sabiti g‟nin davranıĢı nedir? Bu soruyu aĢağıdaki denkleminin çözümüne bakarak yanıtlayabiliriz.

     g (2.22)

(2.22) eĢitliğinin sağı  fonksiyonu olarak adlandırılır ve g yeterince küçükse pertürbasyon teorisi kullanılarak hesaplanabilir. Boyutsal düzenlemeyle tekrar düzenlenen minumum çıkartma Ģemasını

 

MS uygularsak bütün manipülasyonlar basitleĢir (Muta, 1998). Bu Ģemada  fonksiyonu sadece g‟ye bağlıdır ve bir seri açılımına sahiptir (Gross, 1981; Muta 1998).

 

1 5 ... 3 0     g g g    , (2.23) , (2.24)

 

     Nf 3 38 102 4 1 4 1   . (2.25)

 

       Nf 3 2 11 4 1 2 0

(28)

Burada, 0 ve 1 faktörleri çıkartma metodundan bağımsız olup Nf 8 için pozitiftir. Negatif bir  fonksiyonu, artarken g

 

 ‟nın azalacağını ifade eder. Bu durum morötesi asimtotik özgürlük olarak adlandırılır (Gross ve Wilczek, 1973; Politzer, 1973; „t Hooft, 1985) . KED‟de  fonksiyonu

 

 

... 64 12 4 5 2 3       e e e

ile ifade edilir. arttıkça e

 

 ‟nın azalacağını gösterir. Dört boyutlu uzay zamanda renormalize edilebilir kuantum alan teorileri arasında sadece abelyen olmayan ayar teorileri asimtotik özgürlüğe sahiptir. 0 ve 1 değerlerini alarak en düĢük mertebedeki g

 

 ‟nin tam ifadesi çıkarılabilir (Coleman ve Gross, 1973) :

 

          2 22 22 0 1 2 2 0 ln / / ln 1 / ln 4 1 KRD KRD KRD g        (2.25)

burada KRD ölçek parametresi olup deneysel olarak belirlenir. KRD,  

 

 g

eĢitliğin integrasyon sabitine bağlından KRD, ‟dan bağımsızdır.

KRD

 ‟nin gerçek değerinden bahsedildiğinde aktif çeĢnilerin sayısı ve çıkartma Ģemasını belirlemek önemlidir; örneğin Nf

MeV

S

M 217 24

5  

(Eidelman, 2004). (2.25) eĢitliğine göre, arttığında etkileĢme sabiti logaritmik olarak azalır. Bu nedenle, yeterince büyük olduğundan pertürbasyon teorisi güvenilir bir Ģekilde kullanılabilir. Ancak bu ‟nın büyük değerleri için g‟ye bağlı açılımın yakınsak olduğu anlamına gelmez. Bunun yerine, açılımın asimtotik olduğu söylenebilir. Deneyler sonucunda elde edilen verilerden çıkarılan etkileĢme sabiti Ģekil 2.2‟de gösterilmiĢtir. ‟nın tipik değerleri içinS güçlü etkileĢme sabiti Ģu değerleri

(29)

100GeV

0.11560.0020 S  S

10GeV

0.17620.0048

2GeV

0.3000.015 S  S

1GeV

0.500.06 (2.26) Kuark kütlesi m etkileĢme sabiti g‟ye benzer bir parametredir ve akıĢkan denklemine uyar:

 

g m mm      , (2.27)

 

g m  =

 

2 0 4 1 2 0 4 8 ...,    m gm gm  . (2.28)

ġekil 2.2  Bozunmasından kayan etkileĢme sabiti (Hatsuda,2004) 0 0.1 0.2 0.3 0.4  (GeV) 1 2 5 10 20 50 100 200

 

S

(30)

Bu denklemin çözümü

 

0/2 0 2 2 / ln 2 1    m KRD m m      

ile verilir. Burada m

integrasyon sabiti olup, ‟dan bağımsızdır. m0 /20 12/

332Nf

olduğundan kayan kütle <0 olduğu sürece arttıkça logaritmik olarak azalır. m

 

 KRD‟nin basit bir parametresi olup propagatörun kutuplu olmasına karĢılık gelmez. Kuarklar hapsolmalarına ve tam pertürbatif olmayan propagatörde kutba sahip olmamalarına rağmen pertürbasyon teori kütleden bahsedebiliriz. Bu kütle kutup kütlesi olarak adlandırılır ve ağır kuarkların fenomelojisinde faydalıdır. Kayan kütle ve kutup kütlesi pertürbasyon teorinin ilk mertebelerinde birbirleriyle iliĢkilidir

  

1 4/3 ( 

/ ...

mm   m

mkutup S . Hafif kuarkların kayan kütleleri ve

oranları tablo 2.1‟de özetlenmiĢtir. Ağır kuarkların kayan kütleleri ve kutup kütleleri tablo 2.2 ‟de özetlenmiĢtir.

Tablo 2.1: MS ġemasında Kayan Kütleler Ve Ölçekten Bağımsız Oranlar

GeV

m

GeV

mu,d,s  1 1.35 u,d,s  2

Kayan Kütle Kütle Oranı

Yukarı:m 1.5 – 4.5 MeV (u  =2 eV)

AĢağı : m 5.0 – 8.5 MeV (d  =2 eV)

Acayip: m 80 – 55 MeV(s  = 2GeV)

d u m m / 0.553±0.043 d s m m / = 18.9±0.8

(31)

Tablo 2.2: MS ġemasında Kayan Kütleler Ve Tılsımlı, Alt ve Üst Kuarkların Kutup Kütleleri

Kayan Kütle Kutup Kütlesi

Tılsım: m 1.0 – 1.4 GeV (c  mc) Alt : m 4.0 – 4.5 GeV (b  mb) Üst : mt ~ 175 GeV

 mt

1.5 – 1.8 GeV 4.6 – 5.1 GeV ~ 175 GeV

2.4 Kuantum Renk Dinamiği’nde Kiral Simetri

Klasik Lagrange yoğunluğu SU

 

3 yerel ayar simetrisinden baĢka, diğer global simetrilere de sahiptir. Ġlk olarak 5 kiral operatörünün iki öz durumu olarak

 

1 sol elli ve sağ elli kuarkları ele alalım:

q qL 1 5 2 1   , qR

1 5

q 2 1   . (2.29)

Serbest kütlesiz kuarklar için kiralite p helisiteye eĢittir. ġimdi, KRD‟yi

f

N çeĢnili ve kuark alanını N bileĢenlerine sahip bir vektör olarak ele alalım: f

u,d,s,...

q (2.30)

Sonra kuark kütlesi m , NfNf‟li matrise dönüĢür ve Lklasik Ģekildeki gibi

yazılabilir:

L

klasik

R

 

L R R L

klasik

klasik L q A L q A q mq q mq

L  ,  ,   (2.31)

Bu ifadeden m0 için denklem (2.1)‟deki Lklasik ve denklem (2.18)‟daki L‟nin

 

F R

 

F

L N U N

(32)

L i L e q q  jLj , R i R e q q  jRj , (2.32)

altında değiĢmez olduğu görülür.

Burada Lj,R

j0,1,2,3,...,N2f 1

olup uzay ve zamandan bağımsız parametrelerdir ve 0  2/Nf , j 2tj

j 1,2,...,Nf2 1

‟dir. Bu simetri kiral simetri olarak tanımlanır.

Vektör ve eksenel vektör dönüĢümü aĢağıdaki Ģekilde tanımlamak

q e

q ijj , qeijAj5q (2.33)

kolaylık sağlar. Burada  L R ve  L R ‟dir.

Yukarıda iki U

 

1 dönüĢümü vardır:  0, Aj 0

j

j  

baryon sayısı ile iliĢkili olan

 

1

B

U ve çeĢni singlet eksenel dönmesiyle iliĢkili olan UA

 

1 dönüĢümü. Simetri ve korunum yasalarıyla iliĢkili olan Noether teoreminden vektör ve eksenel akımlar için

q q

Jj  j ve Jj5q5jq aĢağıdaki eĢitlikler elde edilir:

 

m q q i Jjj  ,   ,

j 0,1,2...,N2f 1

(2.34)

 

m q q i Jj5 ,j 5   ,

j1,2...,N2f 1

(2.35) f N J05  2/         a a f F F g N q m q i     ~ 32 2 2 2 2 5 (2.36) Burada F aFa 2 1 ~

,

01231

dual alan Ģiddet tensörüdür. (2.36) eĢitliğinde görüldüğü gibi 0

5

J çeĢni singlet eksenel akımın korunumu sadece m kuark kütle matrisi ile değil ayrıca eksenel anormallik olarak adlandırılan kuantum etkisiyle de

(33)

bozulur (Bertlemann, 1996). Bu durum fonksiyonel integral bakıĢ açısından, UA

 

1 dönüĢümü altında yol integralinin ölçüsünün

d ,q dq

değiĢmezliğinden kaynaklanır. 2.5 Kuantum Renk Dinamiğinde Pertürbatif Olmayan Yöntemler

Kızılötesi (IR) bölgesinde etkileĢme sabiti g büyük olduğunda kuarklar ve gluonlar düĢük enerjilerde pertürbatif olmayan türde bir etkileĢme gösterirler. Bu sebepten KRD vakumu farklı bir yapı kazanır.

KRD spektral toplam kuralları kullanılarak elde edilen charmonyum kütle spektrumu analizleri gluonların pertürbatif olmayan yoğunlaĢmaya sahip olduklarını gösterir (Shifman,1979; Colangelo, Khodjamirian,2001) :

4 300 ~ MeV F F vakum a a s     . (2.37)

Ġlk olarak enerji momentum tensörünün vakum beklenen değeri Lorentz değiĢmezliği kullanılarak T vakumg

vakum  olarak yazılabilir. Burada vakum KRD

vakumunun enerji yoğunluğudur. Kolaylık için kiral limitte

m0

 

g ‟nin seriye açılımındaki ilk birkaç terim alınarak

3 3 . 0 ~ 32 3 / 2 11 ~          N F F GeV fm vakum a a s f vakum      (2.38) elde edilir.

KRD vakumu pertürbatif vakumdan daha az bir enerji yoğunluğuna sahiptir. Çoğunlukla vakum= B olarak alınır ve B torba sabiti olarak adlandırılır. Renk

hapsolması pertürbatif olmayan vakumun gluonik yapısıyla iliĢkili olmak zorundadır.

Bu bağıntıyı oluĢturacak köprüyü inĢa etmek için birçok giriĢim olsa da tatmin edici ve net bir açıklamaya ulaĢılamamıĢtır. Pertürbasyon teorisinde karĢılaĢtığımız karĢıt

(34)

perdeleme özelliği  1 ve 1 renk hapsolmasının zaten bir iĢareti niteliğindeydi. Gerçekte KRD vakumu mükemmel karĢıtdielektrik olabilir veya mükemmel bir paramanyetik madde olabilir. Örneğin,

 

vakum

vakum

 0, . (2.39)

Kiral simetriyle elde edilen Gell-Mann-Oakes (GOR) iliĢkisi;

 

2 2 2 ˆ 0 ˆ uu dd m m m f vakum       (2.40)

 

2 2 2 ˆ 0 0 m uu dd m m f vakum u       (2.41)

/2 ˆ mu md

m  , u ve d kuarklarının ortalama kütlesidir. f 93MeV olup, pion bozulma sabiti ve m ~140MeV ,

m0 ~135MeV

sırasıyla yüklü ve nötr pion

kütlesidir. Tablo 2.1‟den elde edilen kuark kütleleri kullanıldığında

GeV

MeV

mˆ  1 ~5.6 olarak elde ederiz.

GeV 1   ‟de

3 250 2 / MeV d d u u vakum  (2.42)

olacaktır. Buna göre KRD vakumu kuark-karĢıtkuark çifti yoğunlaĢmalarını içerir. Kiral simetrinin dinamik bozulması teorisini ilk ortaya atan, metallerdeki süperiletkenlik ve Cooper çiftleri arasında benzerlik kuran Nambu olmuĢtur (Nambu ve Jona Lasinio, 1966).

Buna göre (2.33)‟de verilen SUL

 

NfSUR

 

Nf dönüĢümleri altında L R R Lq q q q q

q   invaryant olmadığından, bu kiral simetrinin bozulma mertebesine bir katkı sağlar. Aslında, KRD vakumunda kiral simetrinin bozulması:

 

f R

 

f V

 

f

L N SU N SU N

(35)

Ģeklinde ifade edilebilir. Burada SUV

 

Nf vakumda bulunan bir vektör simetrisidir. Çok yüksek sıcaklıklarda kiral simetrisi restore olur. Çok yüksek baryon yoğunluğundaysa sistem çok farklı bir simetri bozulma Ģekli gösterir (renk süper iletkenliği)

KRD vakumunun enerji yoğunluğu mertebe parametresinin bir fonksiyonu dur. q

q ‟nun genlik dalgalanmaları bir kütle uyarılmasına karĢılık gelir, bu da  mezon olarak adlandırılır (Hatsuda ve Kunihiro, 2001). Öte yandan, qq ‟nun faz değiĢkenliği kiral limitte hiçbir enerji değiĢimine sebep olmaz ve kütlesiz pionların oluĢmasına sebep olur.

n iç serbestlik dereceli birbiriyle ekileĢmeyen kütleli bozonların büyük kanonik bölüĢüm fonksiyonu aĢağıdaki gibidir:

 

 

 

             k n k n l B l E k T E k T Z exp / 1 exp / 0   (2.44)

Burada sonsuz çarpım mümkün tüm momentum durumları üzerinden alınır ve ,

 

2 2

m k k

E   enerjiyle doldurulabilecek her bir kuantum durumunu iĢgal etme sayısıdır. KarĢıt parçacıklar için  yerini ‟ye bırakır. EĢitlikteki Z faktörü B

m

 olduğu sürece sonludur. m durumu Bose-Einstein istatisliğiyle bağlantılıdır.

0 

 için termodinamik potansiyel

(2.45)

 

 

  1 1 3 1 2 3 v k eEk /T d n    k (2.46) burada m0 limit durumunda

 

 

  B Ek T e T d n V V T / 3 ln1 2 0 , ,  k

(36)

4 2 90 0 , , T n V V T B    (2.47) elde edilir.

burada vE/k/E parçacığın hızıdır. Basınç, birim zamanda kabın duvarının birim alanına transfer edilen ortalama momentumdur.

n iç serbestlik dereceli etkileĢmeyen kütleli fermiyonlar için büyük kanonik bölüĢüm fonksiyonu    

   

 

             k n T k E k n l T k E l F e e Z / 1 , 0 / 1   (2.48)

n spinleri ve diğer iç serbestlik derecelerini belirler. KarĢıt parçacıklar için  yerini 

 ‟ye bırakır.  0 olduğunda, büyük potansiyel

(2.49)

 

 

  1 1 3 1 2 3 v k eEk /T d n    k (2.50)

V V T F , ,0  = 4 2 90 8 7 T n   (2.51)

ile ifade edilir.

Bu, fermiyonlar için Stefan Boltzmann yasasıdır. EĢitlik (2.51)‟deki 7/8 faktörü sabit E

 

k değerleri için n ‟nin B 0, 0‟daki n ‟den daha büyük olacağını F gösterir.

 

  1 1 /   Ek T B e k n ,

 

  1 1 /   Ek T F e k n , (2.52)

 

 

   F Ek T e T d n V V T / 3 ln1 2 0 , ,  k

(37)

I

t anında m durumundan t anında n durumuna geçiĢ genliği (Feynman Kernel) F

  m e n t t K iHtF tI I F nm , ˆ ,   (2.53)

ile verilir. Bu genliğin yol integrali gösterimi tIttF zaman aralığını çok küçük

parçalara bölmekle ve tam setler dahil etmekle elde edilir. Öte yandan, büyük kanonik bölüĢüm fonksiyonu aĢağıdaki Ģekilde yazılabilir::

Z = n eH NT n n / ˆ ˆ

. (2.54) (2.54) eĢitliğinde tFtIi/T , Hˆ Hˆ Nˆ ve mn yerdeğiĢtirmeleri yapılarak Z fonksiyonu elde edilebilir. Yol integral gösterimi için, kompleks zaman düzleminde

t RetImt

ilk t baĢlangıç zamanı ve I t son zamanına bağlı olan F

bir C yolu seçilmesi gerekir. C‟deki Im ‟nin artan bir fonksiyon olmaması gerekir t (Mills, 1969; Landsman ve Weert, 1987). Böyle bir özellikliğe sahip olan tipik bir yol Ģekil 2.3‟de gösterildiği gibidir.

ġekil 2.3: Kompleks zaman düzleminde tipik bir yol (Hatsuda,2004)

Ġmajiner eksen üzerindeki tI 0‟ı ve tF i/T‟e bağlayan düz hat en kullanılıĢlı yoldur.

(38)

Bu yol Matsubara Yolu olarak adlandırılır (Matsubara, 1955 ve Ezawa, 1957). Matsubara yolu reel parametre 

0 1/T

ile karakterize edilebilir. 

 

x skaler alanı için bölüĢüm foksiyonu

 

  

   

d Td d LE x x Z / 1 0 , , , exp     x (2.55)

ile ifade edilir. 

 

,x ve L sırasıyla öklit uzay zamanında skaler alan ve Lagranj E yoğunluğu olarak tanımlanır.  üzerinden integral 

1/T ,x

=

 

0,x sınır Ģartıyla gerçekleĢir. Çünkü ilk durum ve son durum aynı olmak zorundadır. Denklem (2.55) dört boyutlu düzlemde alan teorisi olarak yorumlanabilir. Sıcaklık boyutu 1/T iken uzaysal boyutu sonsuzdur. T 0 limiti sıfır sıcaklıktaki Öklit Alan Teorisi‟ne karĢılık gelir. EĢitlik (2.56) ve Minkowski uzayındaki bölüĢüm foksiyonu arasındaki bağlantı çok nettir: ti , 

 

t,x 

 

,x ve LM LE‟dir. Fermiyon alanları için 

 

,x sıcaklık sınır koĢulu yerine karĢıt-periyodik 

1/T,x



 

0,x Ģartı kullanılmalıdır. Bu Grassmann değiĢkenlerine göre yazılan eĢitlik (2.54)‟deki izin yapısından kaynaklanır.

(2.55) eĢitliği genelleĢtirilerek büyük kanonik bölüĢüm fonksiyonu ZgenelleĢtirilir.

Öncelikle öklit vektörlerinin açık Ģeklini yazalım:

 

x

 

x E ,  

 

 E

,

 

4 i0,

, E 

  

a E a A iA A A4  0,

 

a a

E E igt A D 

 

D E

igTaAa

E

 

E

D D

E

g F  1 , (2.56) burada

 

 

      , E 2 E

yukarıdaki eĢitliklerde g‟nin önündeki zıt iĢaret

 

 

i M

E

i D

D  ‟den gelmektedir. Yukarıdaki ifadede ti dönüĢümü yapılırsa:

(39)

         

dAdqdqdcdc Td d L Z / 1 0 exp  x (2.57)

2 4 2 1 4 1           D m i q F F c D c A i q L         (2.58) elde edilir.

Buradan sınır koĢulları aĢağıdaki Ģekilde yazılabilir:

T x

q

 

x q 1/ ,  0, , q

1/T,x

q

 

0,x (2.59)

T x

A

 

x A 1/ ,  0, (2.60)

1/T,x

  

c0,x, cc

1/T,x

  

c 0,x (2.61) Grassmann alanları olmasına rağmen ghost alanları da periyodiklik sınır koĢullarına uyar. Bu durum  ‟yu periyodik olan A‟lerin bir fonksiyonu olan Fadeev-Popov determinantının eksponansiyel Ģekilde yazılmasını söyler.

Referanslar

Benzer Belgeler

Annesi kaybolur kaybol­ maz, Türkân ayağa kalktı, terliksiz ayak­ larının ucuna basa basa mutfağa koştu.. Kapıda Meliha Şoray elektrikçiyle konuş­ maya

Kurt deli¤inin bo¤az›na bir parça &#34;egzotik madde&#34;, yani ayn› hacimdeki bofl uzay›n enerji- sinden daha az enerji tafl›yan madde kondu¤unda, uzay yolcusu olay ufku-

Do¤ada bilinen dört etkileflmeden (elektromanyetik çekim, kütleçekimi, kuvvetli etkileflme, zay›f etkileflme) biri olan kuvvetli etki- leflmeye duyarl› olduklar›ndan,

Dört temel do¤a kuvvetinden biri olan güçlü etkileflmenin kuram› Kuan- tum Renk Dinami¤i’ne göre, kritik bir s›cakl›¤›n ve baryon yo¤unlu¤unun üstünde madde,

denen ve yukar› ve afla¤› kuarklarla anti kuarklar ve baz› gluonlarda oluflan bileflimler, gerçekten de kuark- gluon plazmas› gibi yap›flkan ve yumuflak bir ortam

Tüm spektrumun dendrogramında Malassezia türleri belirgin iki ana gruba (M1 grubu; M.globosa, M.obtusa, M.sympodialis, M.dermatis ve M.pachy- dermatis ile M2 grubu;

Ara bağlayıcılı olan numunelerin gerek altlık malzemeye daha iyi bağlanma göstermesi ve gerekse porozitelerinin daha az olmasından dolayı sertlik ve mekanik

SATE protokolüne ek güvenlik önlemi olarak verilerin daha güvenli gönderilebilmesi için simetrik anahtarlı sistemlerindeki blok şifreleme algoritmalarından TEA