Genelleştirilmiş fark dizi uzayları ve genelleştirilmiş istatistiksel yakınsaklık / Generalized difference sequence spaces and generalized statistical convergence

T.C.

FIRAT ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARI

VE

GENELLEŞTİRİLMİŞ İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Hakan ŞİMŞİR

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

Doç.Dr.Mikail ET

ELAZIĞ – 2006

T.C.

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARI

VE

GENELLEŞTİRİLMİŞ İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Hakan ŞİMŞİR

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez, .../.../2006 tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından oy birliği / oy çokluğu ile başarılı / başarısız olarak değerlendirilmiştir.

Danışman : Doç. Dr. Mikail ET

Üye : Prof. Dr. Rifat ÇOLAK

Üye : Yrd.Doç. Dr. Mahmut IŞIK

Bu tezin kabulü, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun .../.../... tarih ve ... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARI VE

GENELLEŞTİRİLMİŞ İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Hakan ŞİMŞİR

Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

2006, Sayfa: 32 + V

Bu çalışma beş bölümden oluşmuştur.

Birinci bölümde; temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde; istatistiksel yakınsaklık, istatistiksel Cauchy dizisi, Cesaro yakınsaklık ve kuvvetli p - Cesaro yakınsaklık incelenmiştir.

Üçüncü bölümde; genelleştirilmiş fark dizi uzayları incelenmiştir.

Dördüncü bölümde; genelleştirilmiş istatistiksel yakınsaklık, _∆m_{-istatistiksel Cauchy} dizisi ve m

p

∆ - Cesaro yakınsaklık incelenmiştir.

Beşinci bölümde; modülüs fonksiyonları yardımıyla tanımlanan fark dizi uzayları ve m

q

∆ -istatistiksel yakınsaklık incelenmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: İstatistiksel Yakınsaklık, Kuvvetli ∆m_p-Cesaro Yakınsaklık.

SUMMARY

Masters Thesis

GENERALIZED DIFFERENCE SEQUENCE SPACES AND

GENERALIZED STATISTICAL CONVERGENCE

Hakan ŞİMŞİR

Fırat University

Graduate School of Science Technology Department of Mathematics

2006, Page: 32 + V

This study is prepared as five chapter.

In the first chapter; the fundamental definitions and theorems are given.

In the second chapter; statistical convergence statistical Cauchy sequence and strong p- Cesaro summable are examined.

In the third chapter; generalized difference sequence spaces are examined.

In the fourth chapter;

∆

m- statistical convergence,

∆

m-statistical Cauchy sequence and strong ∆m_p- Cesaro summable are examined.

In the fifth chapter; Difference sequence spaces defined by using a modulus function and ∆m_q - statistical convergence are examined.

Key Words: Statistical convergence, strong m p

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanmasında ve düzenli bir şekilde yürütülmesinde gerekli bütün imkanlarını sağlayarak bana yardımcı olan, her zaman yakın ilgi ve imkanlarını esirgemeyen değerli hocam Doç.Dr. Mikail ET’ e minnet ve şükranlarımı sunarım, ayrıca bu çalışmanın oluşumunda desteğini gördüğüm değerli hocalarım Arş. Gör. Dr. Yavuz

ALTIN’ a ve Arş. Gör. Hıfsı ALTINOK’ a teşekkür ederim.

Hakan ŞİMŞİR

1. BÖLÜM

TEMEL TANIM VE TEOREMLER 1.1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1.1 : X ≠

φ

ve K reel veya kompleks sayılar cismi olsun. + : X x X → X ve . : K x X → X

fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X cümlesine K cismi üzerinde bir vektör uzayı ( lineer uzay ) adı verilir.

∀ x , y , z ∈ X ve ∀ λ , µ ∈K için

L1) x + y = y + x

L2) ( x + y ) + z = x + ( y + z )

L3) x + θ = x olacak şekilde θ ∈ X vardır.

L4) ∀ x ∈ X için x + ( - x ) = θ dır.

L5) 1 . x = x

L6) λ . ( x + y ) = λ .x + λ .y

L7) ( λ + µ ) . x = λ .x + µ .x

L8) λ . ( µ . x ) = ( λ .µ ). x dır [1].

Tanım 1.1.2 : X , K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun.

|| . || : X → IR

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa || . || fonksiyonuna X üzerinde bir norm ve ( X , || . || ) çiftine de bir normlu uzay denir.

∀ x , y ∈ X ve ∀α ∈K için

N1) || x || ≥ 0

N2) || x || = 0 ⇔ x = 0

N3)

α

x =

α

. x

Tanım 1.1.3 : X , K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun.

|| . || : X → IR

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa || . || fonksiyonuna X üzerinde bir yarı-norm ve ( X , || . || ) çiftine de bir yarı-normlu uzay denir .

∀ x , y ∈ X ve ∀α ∈K için

N1) || x || ≥ 0

N2) x = 0 ⇒ || x || = 0

N3)

α

x =

α

. x

N4) x+ y ≤ x + y dir [2].

Tanım 1.1.4 : ( X , || . || ) bir normlu uzay ve x = ( xn ) de X uzayında bir dizi olsun. Eğer ∀

ε

>0 için ∀ m, n > n0 iken xm −xn <

ε

olacak şekilde bir n0 =

n

0

(

ε

)

∈

IN

sayısı varsa x = ( xn ) dizisine bir Cauchy dizisi denir [2].

Tanım 1.1.5 : ( X , || . || ) bir normlu uzay ve x = ( xn ) de X uzayında bir dizi olsun. Eğer ∀

ε

>0 için ∀ n > n0 iken xn −x < ε olacak şekilde bir n0 =

n

0

(

ε

)

∈

IN sayısı

varsa x = ( xn ) dizisi x ‘ e yakınsaktır denir [2]. x = ( xn ) dizisi x ‘ e yakınsak ise n

lim

xn = x veya xn → x şeklinde yazılır.

Tanım 1.1.6: ( X , || . || ) normlu uzayında her Cauchy dizisi yakınsak ise bu normlu uzaya tam normlu uzay veya Banach uzayı denir [2].

Teorem 1.1.1 : Bir X Banach uzayının bir Y alt uzayının tam olması için gerek ve yeter şart;

Y uzayının X uzayında kapalı olmasıdır [2].

Bu çalışmada kompleks terimli tüm x = ( xk ) ( k = 1 , 2 , 3…) dizilerinin cümlesini

w ile göstereceğiz.

w ; x = ( xk) , y = ( yk ) ve α bir skaler olmak üzere

şeklinde tanımlanan işlemler ile bir lineer uzaydır. Bu çalışmada sık sık kullanacağımız

{

= <∞

}

= ∞ x xk k xk l ( ):sup sınırlı diziler uzayı, c =

{

x=(x_k):lim_k x_k mevcut

}

yakınsak diziler uzayı ve

c0 =

{

x

=

(

x

k

)

:

lim

k

x

k

=

0

}

sıfır diziler uzayı

k k x

x =sup

normu ile bir Banach uzayıdır.

Tanım 1.1.7 : X bir dizi uzayı olsun. X bir Banach uzayı ve Tk : X → C , Tk( x ) = xk , ( k = 1 , 2 , . . . ) dönüşümü sürekli ise X uzayına BK – uzayı denir [3].

Tanım 1.1.8 : X ⊂ w bir dizi uzayı olsun. x = ( xk ) , y = ( yk ) ∈ X olmak üzere

x . y = ( xk yk) ∈ X oluyorsa ; yani X noktasal çarpma işlemine göre kapalı ise X uzayına dizi cebiri denir [4].

Tanım 1.1.9 : a , b ∈ IR ve n ∈ IN olmak üzere

ifadesine iki terimlinin açılımı veya binom açılımı denir.

Tanım 1.1.10 : Bir f modülüs fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlayan [0 , ∞) aralığından [0 , ∞) aralığına tanımlı bir fonksiyondur.

( i ) f ( x ) = 0 ⇔ x = 0

( ii ) f ( x + y) ≤ f ( x ) + f ( x ) , ( x ≥ 0 , y ≥ 0 ) ,

( iii ) f artan bir fonksiyon

(

)

n n n n n r r r n n

b

n

b

a

n

b

a

n

a

n

b

a

r

n

b

a

_











+

+













+













+













=













=

+

− − = −

∑

...

₀

2

1

0

2 2 1 1 0

Yukarıdaki özelliklerden bir modülüs fonksiyonunun [0 , ∞) aralığında sürekli

olduğu anlaşılır. Bir modülüs fonksiyonu sınırlı veya sınırsız olabilir. I.J.Maddox [6] ve W.H.Ruckle [7] bir modülüs fonksiyonunu bazı dizi uzaylarını oluşturmak için kullanmıştır. Daha sonraları bir modülüs fonksiyonu yardımıyla tanımlanan dizi uzayları Bilgin [8], Öztürk ve Bilgin [9] tarafından verilmiştir.

Tanım 1.1.11 : x = ( xk )∈E olmak üzere eğer ∀ k ∈ IN için αk  ≤ 1 şartını sağlayan tüm α = ( αk ) skalar dizileri için ( αk xk ) ∈ E ise E dizi uzayına solid ( normal ) denir [4].

Tanım 1.1.12 : Eğer Π( k ) , IN ‘ nin bir permütasyonu olmak üzere ( xk ) ∈ E,

x

_Π(k)∈ E‘yi gerektirirse E dizi uzayına simetrik denir [4].

Teorem 1.1.2 : p = ( pk ) pozitif reel sayıların bir dizisi 0 < pk ≤ sup pk = H ,

(

₁

_,

₂

1

)

max

−

=

H

C

, a ,_k b_k∈C ve k ∈ IN olmak üzere i

{

i pi

}

k p k p k k b C a b a + ≤ + (1) dir [1].

2. BÖLÜM

İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK 2.1. İstatistiksel Yakınsaklık

İstatistiksel yakınsaklık kavramı en az 1913’ ten beri farklı görünüşler altında literatürde yer almaktadır. O zamandan beri Fourier analiz teorisinde, ergodic teoride ve sayılar teorisinde kullanılmıştır. İstatistiksel yakınsaklık tanımı ilk olarak 1951 yılında Fast [10] tarafından kısa bir not olarak verildi. 1959 yılında Schoenberg [11] istatistiksel yakınsaklığı toplanabilme metodu olarak inceledi ve istatistiksel yakınsaklığın bazı temel özelliklerini verdi. Her iki matematikçi de sınırlı istatiksel yakınsak bir dizinin Cesaro toplanabilir olduğunu gösterdiler. Daha sonra istatistiksel yakınsaklık Kolk [12], Fridy [13], Salat [14], Connor [15], Maddox [16] tarafından çalışıldı.

Tanım 2.1.1 : Pozitif tamsayılardan oluşan bir K cümlesinin doğal yoğunluğu

{

k n k K

}

n K n ≤ ∈ =lim 1 : ) (

δ

şeklinde tanımlanır ( Burada

{

k

≤

n

:

k

∈

K

}

, K cümlesinin n’den büyük olmayan elemanlarının sayısını göstermektedir ) [17]. Eğer

{

k n k K

}

n K n ≤ ∈ =lim 1 : ) (

δ

= 0

ise K cümlesine sıfır yoğunluklu cümle denir.

Sıfır yoğunluklu cümle tanımından esinlenerek istatistiksel yakınsak dizi tanımı aşağıdaki şekilde verilebilir:

Tanım 2.1.2 : x = ( xk ) kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer ∀

ε

>0 için,

{

:

}

0

1

lim k ≤ n x −L ≥

ε

=

n k

n

olacak şekilde bir L sayısı varsa x = ( xk ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir [13].

x = ( xk ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsak ise S- lim x = L veya

x

k

→

L

(

S

)

yazılır. İstatistiksel yakınsak dizilerin uzayı

S =

{

}

        = ≥ − ≤ =( ):lim 1 k n: x L

ε

0 n x x _{k k} ile gösterilir.

L = 0 olması halinde x = ( xk ) dizisine sıfıra istatistiksel yakınsak dizi denir.

x = ( xk ) dizisi sıfıra istatistiksel yakınsak ise

S

- lim x = 0 veya

x

k

→

0 S

(

)

yazılır. Sıfıra istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı

S0 =

{

}

        = ≥ ≤ =( _k):lim 1 k n: x_k

ε

0 n x x ile gösterilir.

Sonuç 2.1.1 : Yakınsak her dizi istatistiksel yakınsaktır. Fakat tersi doğru değildir. Gerçekten; k x =     ≠ = 2 2 , 0 , 1 m k m k

şeklinde tanımlanan x = ( xk ) dizisini göz önüne alalım. Her

ε

>0 için

{

k≤n: x_k ≥ε

}

≤

{

k≤n:x_k ≠0

}

≤ n olduğundan,

{

: 0

}

lim 0 1 lim ≤ ≠ ≤ = n n x n k n k n n

elde edilir. Bu S - lim x = 0 demektir. Fakat bu dizi yakınsak değildir.

Sonuç 2.1.2 : l_∞ ve S uzayları birbirlerini kapsamazlar, ancak ortak elemanları vardır. Gerçekten; k x =     ≠ = 2 2 , 1 , m k m k k

şeklinde tanımlanan x = ( xk ) dizisi için S- lim x = 1 dir, ancak x∉l∞ dur. x = (1,0,1,0,…)

dizisi sınırlıdır. Fakat istatistiksel yakınsak değildir.

Sonuç 2.1.3 : S - lim x = L1 , S - lim x = L2 ⇒ L1 = L2 dir.

Teorem 2.1.1 :

( i ) α∈ IR ve S - lim x = L1 ise S- lim (

α

x )=

α

L1

Tanım 2.1.3 : x = ( xk ) kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer ∀

ε

>0 için

{

:

}

0

1

lim ≤ _k − _N ≥

ε

=

n n k n x x

olacak şekilde bir N = N (

ε

) sayısı varsa x = ( xk ) dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir [13].

Teorem 2.1.2 : Bir x = ( xk ) dizisi istatistiksel yakınsak ise istatistiksel Cauchy dizisidir [13].

İspat :

ε

>0 ve S- lim xk = L olsun. Bu taktirde h.h.k. için

2

ε

<

− L

x

_k dir. Eğer N ,

2

ε

<

− L

x

_N

olacak şekilde seçilirse h.h.k. için

L x L x x L L x x x_k − _N = _k − + − _N ≤ _k − + _N −

≤

ε

+

ε

<

ε

2

2

elde edilir.

2.2. İstatistiksel Yakınsaklık ve Cesaro Yakınsaklık Arasındaki İlişki Tanım 2.2.1 : x = ( xk ) kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer

∑

=

=

n k k n

n

x

L

1

1

lim

olacak şekilde bir L sayısı varsa x = ( xk ) dizisi L sayısına Cesaro yakınsaktır denir [18]. x = ( xk ) dizisi L sayısına Cesaro yakınsak ise

σ

₁- lim x = L veya

x

_k

→

L

(

σ

₁

)

yazılır. Cesaro yakınsak dizilerin uzayı













∑

−

=

=

=

= n k k n k

x

L

en

az

bir

L

için

n

x

x

1 1

(

)

0

,

1

lim

:

)

(

σ

ile gösterilir.

Teorem 2.2.1 : x = ( xk ) dizisi L sayısına yakınsak ise x = ( xk ) dizisi L sayısına Cesaro yakınsaktır [18].

İspat:

ε

>0olsun, n≥ N₁ için

2

ε

<

− L

x

_k

olacak şekilde pozitif bir N1 tamsayısı mevcuttur. Bu taktirde n≥N2 için

2 ) ... ( 1 1 1 2 1 0 1 ε < − + + + +x x x ₋ N L x n N

olacak şekilde bir pozitif N2 tamsayısı mevcuttur. N=max

{

N1,N2

}

olsun. Eğer

n

≥

N

ise, _      + − + = − +

∑

=

∑

= n k k n k k x n L n L x n 0 0 ) 1 ( 1 1 1 1

∑

=

−

+

+

≤

n N k k

L

x

n

1

₁

(

)

1

2

ε

∑

=

−

+

+

<

n N k k

L

x

n

1

₁

(

)

1

2

ε

2

)

1

(

1

1

2

1

ε

ε

N

n

n

+

+

−

+

<

≤

ε

+

ε

=

ε

2

2

olur.

Teoremin tersi doğru değildir. Gerçekten

(

)

(

1

(

1

)

n

)

n

x

=

+

−

dizisi Cesaro yakınsaktır, ancak yakınsak değildir.

Teorem 2.2.2 : S - lim x = L ve ∀ k∈ IN için x_k <M ise

σ

₁- lim x = L dır [11].

İspat: Genelliği bozmaksızın L = 0 kabul edebiliriz.

σ

₁- lim x = 0 ve x dizisi sınırlı olsun. Bu taktirde

∑

∑

= =

≤

n k k n k k

x

n

x

n

1 1

1

1

= ε ε ≥ < < ≤ ≤ <













_∑

₊

_∑

k k x xk n k n k k

x

x

n

1 1

1

≤ ε + M

{

k≤n x_k ≥ε

}

n n n : 1 1

yazabiliriz.

{

:

}

0 1 lim ≤ _k ≥ε = n n k n x olduğundan

∑

=

=

n k k n

n

x

1

0

1

lim

elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.

Teoremin karşıtı doğru değildir. Gerçekten x = ( 1,0,1,0,…) şeklinde tanımlanan dizinin aritmetik ortalaması

2

1

’ ye yakınsaktır. Fakat bu dizi istatistiksel yakınsak değildir.

2.3. İstatistiksel Yakınsaklık ve Kuvvetli p – Cesaro Yakınsaklık Arasındaki İlişki Tanım 2.3.1 : x = ( xk ) kompleks terimli bir dizi ve p > 0 reel bir sayı olsun. Eğer

∑

=

=

−

n k p k n

n

₁

x

L

0

1

lim

olacak şekilde bir L sayısı varsa x = ( xk ) dizisi L sayısına kuvvetli p-Cesaro yakınsaktır denir [1]. x = ( xk ) dizisi L sayısına kuvvetli p-Cesaro yakınsak ise

p

w

- lim x = L veya

x

_k

→

L

(

w

_p

)

yazılır. Kuvvetli p-Cesaro yakınsak dizilerin uzayı

      = − = =

∑

= için L bir az en L x n x x w n k P k n k p 1 , 0 1 lim : ) ( ile gösterilir. Teorem 2.3.1: p

∈

IR

ve 0< p <

∞

olsun.

1 ) Bir x = ( xk ) dizisi, L sayısına kuvvetli p-Cesaro yakınsak ise L sayısına istatistiksel yakınsaktır.

2 ) Sınırlı bir x = ( xk ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsak ise L sayısına kuvvetli p-Cesaro yakınsaktır [15].

İspat : 1 ) x∈w ve

ε

>0 olsun. Bu taktirde ;

{

ε

}

ε ε ε ≥ − ≤ ≥ − + − = −

∑

∑

∑

≥ − ≤ −≤ ≤ ≤ ≤ = L x n k L x L x L x p p _k n k k p n k k n k p k L k x L k x : 1 1 1

2 ) Sınırlı bir x = ( xk ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsak olsun ve K = x _∞ +L diyelim,

ε

≥0 verilsin. ∀

n

>

N

_ε için

N

_ε’u

p p k

K

L

x

n

k

n

:

(

2

)

2

1

ε

1

ε

<













_≤

₋

_≥

olacak şekilde seçelim ve













_≤

₋

_≥

=

p k n

k

n

x

L

L

)

1

2

(

:

ε

diyelim. Bu taktirde

n

>

N

_ε için

        − + − = −

∑

∑

∑

∈ ∉ = k Ln k Ln p k p k n k p k x L x L n L x n 1 1 1













₊

<

2

2

1

ε

ε

n

K

K

n

n

p p

ε

ε

ε

₊

₌

≤

2

2

elde edilir. Buradan x = ( xk ) dizisi L sayısına kuvvetli p-Cesaro yakınsaktır.

3. BÖLÜM

GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARI 3.1.

∆ l

m

(

_∞

)

_,

_∆

m

_(c

₎

_ve

₍

₎

0

c

m

∆

Dizi Uzayları

Tanım 3.1.1 : l_∞, c ve

c

₀ dizi uzaylarının birçok topolojik özellikleri bilinmektedir.

x = ( xk ) reel veya kompleks terimli herhangi bir dizi olmak üzere ) ( ) (∆ = − ₊₁ = ∆x x_k x_k x_k

şeklinde tanımlanan ∆ - operatörü lineer operatördür.

)

(

_∞

∆ l

,

∆

(c

)

ve

∆

(

c

₀

)

dizi uzayları Kızmaz [19] tarafından,

∆ l

(

_∞

)

= { x = ( xk ) : ∆x ∈ l∞ }

∆

(c

)

= { x = ( xk ) : ∆x ∈ c }

∆

(

c

₀

)

= { x = ( xk ) : ∆x ∈

c

₀ }

şeklinde tanımlandı. Kızmaz [19],

∆ l

(

_∞

)

,

∆

(c

)

ve

∆

(

c

₀

)

dizi uzaylarının bazı özelliklerini inceledi. Daha sonra

∆ l

(

_∞

)

,

∆

(c

)

ve

∆

(

c

₀

)

dizi uzayları Et ve Çolak [20] tarafından; m bir pozitif tam sayı ve

) ( ) ( 0 0 k k x x x= ∆ = ∆ ,

∆

x

=

(

∆

x

_k

)

=

(

x

_k

−

x

_k+1

)

, v k m v v k m k m k m k m k m m

_x

v

m

x

x

x

x

x

x

₊ = + − −

_∑













−

=

∆

=

∆

∆

−

∆

=

∆

=

∆

0 1 1 1

₎

_,

₍

₁

₎

(

)

(

olmak üzere ∆ (l_∞)={x=(x ):∆mx∈l_∞} k m (c) {x (x ): mx c} k m _{= = ∆ ∈} ∆ ∆m(c0)={x=(xk):∆mx∈c0} dizi uzaylarına genişletildi.

Teorem 3.1.1 :

∆ l

m

(

_∞

)

_,

_∆

m

_(c

₎

_ve

₍

₎

0

c

m

∆

dizi uzayları aşikar olarak birer lineer uzaydır [20].

Teorem 3.1.2 :

_∆

m

(c

)

_ve

₍

₎

0

c

m

∆

dizi uzayları,

∆ l

m

(

_∞

)

_{dizi uzayının kapalı bir alt} uzayıdır [20].

Teorem 3.1.3 : 1 )

_∆

m

(

c

₀

)

_⊂

₍

₎

0 1

_c

m+

∆

ve

_∆

m

(

c

₀

)

_≠

₍

₎

0 1

_c

m+

∆

dır. 2 )

_∆

m−1

(

_c

)

_⊂

_∆

m

_(c

₎

_ve

_∆

m−1

₍

_c

₎

_≠

_∆

m

_(c

₎

_dir. 3 ) 1

(

)

∞ −

∆

m

l

_⊂

₍

₎

∞

∆ l

m _ve 1

₍

₎

∞ −

∆

m

l

_≠

₍

₎

∞

∆ l

m _{dur [20].} İspat :

1 ) x ∈

_∆

m

(

c

₀

)

_{olsun. Bu taktirde k → ∞ için ∆ →∞} k m_{x dır.} 0 1 1 1 _{= ∆ −∆ ≤ ∆ + ∆ →} ∆ + _{+ +} k m k m k m k m k m _{x x x x x ( k → ∞ )} olduğundan x ∈

_∆

m+1

(

_c

₀

)

_dır.

)

(

c

₀ m

∆

≠

_∆

m+1

(

_c

₀

)

_{olduğunu bir örnekle gösterelim :}

x = ( xk ) =

(

k

m

)

dizisini seçelim. Bu durumda ∀ k ∈IN için 0 ) ( 1 ₌ ∆m+ _km _{ve ∆}m_(km₎₌₍₋₁₎m_m! dir.

İspatı tümevarımın ikinci prensibi gereğince yapalım:

a ) x = ( xk ) =

(

k

m

)

için ∆m+1(km)=0 dır.

m = 1 için x = ( k ) ve _∆2_{x =k−}2(_k+1)_+k+2₌0

k

m = n-1 için x =

(

k

n−1

)

ve ∀ k ∈IN için ∆n_xk =0 _olsun.

m = n için _∆n+1(_kn)₌0 _{olduğunu göstereceğiz:} 0 1 1 _{=∆ −∆ =} ∆ + ₊ k n k n k n _{x x x} b ) x = ( xk ) =

(

k

m

)

için ∆mxk =(−1)mm! dir. m = 1 için x = ( xk ) = ( k ) ve ∆xk =k−(k +1)=−1=( -1 ) .1!

m = n-1 için x =

(

k

n−1

)

ve ∀ k ∈IN için _∆ −1_{x =}(₋1)n−1(_n−1)! k

n _olsun.

m = n için x = ( xk ) =

(

)

n

∆

n

x

_k

=

∆

n−1

(

∆

( )

k

n

)

=

∆

n−1

(

k

n

−

(

k

+

1

)

n

)













∆













+

+

∆













+

∆













−

=

− − −

₍

−

₎

_...

−

₍

₁

₎

2

)

(

1

1 2 1 1 1 n n n n n

n

n

k

n

k

n

=

−

n

∆

n−1

(

k

n−1

)

=

−

n

[

(

−

1

)

n−1

(

n

−

1

)!

]

=

(

−

1

)

n

n

!

O halde x = ( xk ) =

(

k

m

)

∈ m 1

(

c

0

)

+

∆

-

_∆

m

(

c

₀

)

_dır.

2 ) x ∈

_∆

m−1

(

_c

)

_{olsun. Bu taktirde en az bir l için} k m−1_x ∆ → l dir ( k → ∞ ). Buradan l x l x x x x m _k k m k m k m k m _{= ∆ −∆ ≤ ∆ − + ∆ −} ∆ − − ₊ + − − 1 1 1 1 1 1 _{→ 0} olur ki bu

_∆

m

x

_∈

c

_⊂

c

0 demektir. O halde x ∈

(c

)

m

∆

dir.

)

(

1

_c

m−

∆

≠

_∆

m

(c

)

_{olduğunu bir örnekle gösterelim:}

x = ( xk ) =

(

)

m

k

dizisini seçelim. Bu durumda ∀ k ∈IN için

!

)

1

(

m

x

m k m

₌

₋

∆

ve













₊

−

−

=

∆

− +

2

1

!

)

1

(

1 1

_x

m

_m

_k

m

k m dir. a) x = ( xk ) =

(

k

m

)

için

x

k

(

1

)

m

m

!

m

₌

₋

∆

dir.

Gerçekten (1)’ den x = ( xk ) =

(

k

m

)

için

x

(

1

)

m

!

m k m

₌

₋

∆

dir. O halde x∈

∆

m

( )

c

−

∆

m−1

(

c

)

dir. b) x = ( xk ) =

(

k

m

)

için













₊

−

−

=

∆

− +

2

1

!

)

1

(

1 1

_x

m

_m

_k

m

k m dir.

m = 1 için x = ( xk ) = ( k ) ve

x

k

k



=

k











₊

−

−

=

∆

2

1

1

!

1

)

1

(

2 0 m = n için

(

)

(

n

)

k

k

x

x

=

=

ve ∀ k ∈ IN için













−

+

−

=

∆

− +

2

1

!

)

1

(

1 1

_x

n

_n

_k

n

k n _olsun. m = n+1 için x = ( xk ) =

(

1

)

+ n

k

ve











 +

+

−

=

∆

+

2

)!

1

(

)

1

(

2

_n

_k

n

x

n k n olduğunu göstereceğiz:

( )

(

1

)

1 + −

_∆

∆

=

∆

n n k n

_x

_k

))

)

1

(

(

1 1 1 + + −

₋

₊

∆

=

n

_k

n

_k

n













∆













+

+

+

+

∆











 +

+

∆











 +

+

∆











 +

−

=

− − − − − −

₍

₁

₎

1

1

...

)

(

3

1

)

(

2

2

)

(

1

1

_{n 1 n n1 n 1 n 1 n 2 n 1}

n

n

k

n

k

n

k

n













₋

₋

−

+

+













₊

−

−

+

−

=

+

₍

₁

₎

−

₍

₁

_)!

!

2

)!

1

(

)!

1

(

2

1

!

)

1

)(

1

(

1 1

_n

n

n

n

k

n

n

n n











 +

+

−

=

+

2

)!

1

(

)

1

(

n 2

_n

_k

n

olup, x ∈

∆

m

(

c

)

−

∆

m−1

(

c

)

dir. 3 ) x ∈ 1

(

)

∞ −

∆

m

l

_{olsun. Bu taktirde ∀ k ∈IN için}

k m−1_x

∆ ≤ K olacak şekilde en az bir K > 0 vardır. Böylece ∀ k ∈IN için

K x x x x x m _k k m k m k m k m ₂ 1 1 1 1 1 1 _{−∆ ≤ ∆ + ∆ ≤} ∆ = ∆ − − ₊ + − −

ve buradan x ∈

∆ l

m

(

_∞

)

_{elde edilir.}

)

(

1 ∞ −

∆

m

l

_≠

₍

₎

∞

∆ l

m _{olduğunu bir örnekle gösterelim :}

x =

(

k

m

)

dizisini seçelim. Bu durumda ∀ k ∈IN için

!

)

1

(

m

x

m k m

₌

₋

∆

ve













₊

−

−

=

∆

− +

2

1

!

)

1

(

1 1

_x

m

_m

_k

m

k m dir. x ∈

_∆

m

(

_l

)

₋

_∆

m−1

(

_l

)

dir.

a) x = ( xk ) =

(

k

m

)

için

x

k

(

1

)

m

m

!

m

₌

₋

∆

dir.

Gerçekten (1)’ den x = ( xk ) =

(

)

m

k

için

∆

m

x

_k

=

(

−

1

)

m

m

!

dir. O halde

x ∈

(

)

1

(

)

∞ − ∞

−

∆

∆

m

l

m

l

dir. b) x = ( xk ) =

(

)

m

k

için













₊

−

−

=

∆

− +

2

1

!

)

1

(

1 1

_x

m

_m

_k

m

k m dir.

Gerçekten (2)’ den x = ( xk ) =

(

k

m

)

için













₊

−

−

=

∆

− +

2

1

!

)

1

(

1 1

_x

m

_m

_k

m

k m dir. O halde x ∈

(

)

1

(

)

∞ − ∞

−

∆

∆

m

l

m

l

dir. Teorem 3.1.4 : 1 )

_∆

m

(

c

₀

)

_⊂

_∆

m

(

c

)

_ve

₍

₎

₍

₎

0

c

c

m m

_≠

_∆

∆

2 )

∆

m

(

c

)

⊂

∆

m

(

l

_∞

)

_ve

₍

₎

₍

₎

∞

∆

≠

∆

m

c

m

l

_{dur [20].} İspat :

1 ) x = ( xk ) ∈

∆

m

(

c

0

)

olsun. Bu taktirde

∆

m

x

∈

c

0

⊂

c

olup x ∈

∆

m

(c

)

dir.

)

(

)

(

c

₀ m

c

m

_≠

_∆

∆

olduğunu gösterelim: x = ( xk ) =

(

k

m

)

seçersek

∆

m

x

k

=

(

−

1

)

m

.

m

!

dir.

Gerçekten Teorem 3.1.3’den x = ( xk ) =

(

k

m

)

için

∆

m

x

k

=

(

−

1

)

m

.

m

!

dir. Böylece

0

c

c

x

m

_∈

₋

∆

olduğundan

_∆

m

(

c

₀

)

_≠

_∆

m

(

c

)

_dir. 2 ) x ∈

_∆

m

(c

)

_{olsun. Bu taktirde} ∞

⊂

∈

∆

m

x

c

l

_{olup x ∈}

₍

₎

∞

∆ l

m _dur.

)

(

)

(

≠

∆

_∞

∆

m

c

m

l

_{olduğunu gösterelim:} x = ( 1,0,1,0,… ) seçersek

_∆

₌

(

₋

1

)

k+1

2

m−1 k m

_x

_{dir. Gerçekten} m = 1 için

_∆

₌

(

₋

1

)

k+1 k

x

olur. m = n için

_∆

₌

(

₋

1

)

k+1

.

2

n−1 k n

_x

_olsun.

1 1 + +

₌

_∆

₋

_∆

∆

n _k k n k n

_x

_x

_x

[

]

n k n k n k n k

2

)

1

(

)

1

(

1

2

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

1 1 1 1 2 1 1 + − + − + − +

−

=

−

−

−

=

−

−

−

=

elde edilir.

Sonuç 3.1.1 : l_∞, c ve

c

₀ dizi uzayları birer dizi cebiri oldukları halde

∆ l

m

(

_∞

)

_,

_∆

m

₍

_c

₎

ve

_∆

m

(

c

₀

)

_{dizi uzayları birer dizi cebiri değildir.}

İspat: l_∞, c ve

c

₀ dizi uzaylarının birer dizi cebiri oldukları bilinmektedir.

∆ l

m

(

_∞

)

_,

)

(

c

m

∆

ve

_∆

m

(

c

₀

)

_{dizi uzaylarının birer dizi cebiri olmadıklarını birer örnekle gösterelim:}

x = ( xk ) = ( k ) ve y =

(

y

k

)

=

(

)

1 −

m

k

dizilerini seçelim. x , y ∈

_∆

m

(

c

₀

)

_olduğu halde (_∆m(km))_∉c_{0 ; yani x . y ∉}

₍

₎

0

c

m

∆

dır. x = ( xk ) = ( k ) ve y =

(

y

k

)

=

(

)

m

k

dizilerini seçelim. x , y ∈

_∆

m

(

c

)

_olduğu halde _(∆m₍km+1_))∉c _{; yani x . y ∉}

_∆

m

₍

_c

₎

_dir.

x = ( xk ) = ( k ) ve y =

(

y

k

)

=

(

)

m

k

dizilerini seçelim. x , y ∈

∆ l

m

(

_∞

)

_olduğu halde ₍∆m₍km+1₎₎∉l_{∞ ; yani x . y}

₍

₎

∞

∆

∉

m

l

_dur.

Şimdi l_∞, c ve

c

₀ dizi uzayları yerine daha genel bir X dizi uzayı alarak

)

(

X

m

∆

dizi uzayını tanımlayalım ve X uzayı ile

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayı arasındaki ilişkileri ve}

)

(

X

m

∆

dizi uzayının bazı topolojik özelliklerini verelim:

X herhangi bir dizi uzayı ve m∈ IN olsun.

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayını}

{

x

x

x

X

}

X

m k m

₌

₌

_∆

₌

_∈

∆

(

)

(

)

:

şeklinde tanımlayalım.

Teorem 3.1.5 : X bir lineer uzay ise

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayı da bir lineer uzaydır [21].}

İspat :

i) x ∈

_∆

m

(

X

)

_{ve y ∈}

_∆

m

₍

_X

₎

_ise

_∆

m

_x

_{∈X ve}

_∆

m

_y

_{∈X dir. X lineer uzay} olduğundan

_∆

m

x

₊

_∆

m

y

_∈

X

_ve

_∆

m_{- operatörü lineer olduğundan}

_∆

m

₍

_x

₊

_y

₎

_∈

_X

yazılabilir. Buradan

(

x

₊

y

)

_∈

_∆

m

(

X

)

_{elde edilir.}

ii) x ∈

_∆

m

(

X

)

_ve

_α

_{bir skaler olsun. Bu taktirde}

_∆

m

_x

_{∈ X dir. X lineer uzay} olduğundan

_α

_∆

m

x

_∈

X

_ve

_∆

m_{- operatörü lineer olduğundan}

_∆

m

₍

_α

_x

₎

_∈

_X

_{yazılabilir.} Buradan

_α

x

_∈

_∆

m

(

X

)

_{elde edilir.}

Teorem 3.1.6 :

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayı}

x

x

x

m m i i m

=

∑

+

∆

= ∆ 1

normu ile bir normlu uzaydır [21].

İspat : N 1 )

x

m

x

m

x

i i m

=

∑

+

∆

= ∆ 1 ≥ 0 N 2 )

x

m

x

m

x

i i m

=

∑

+

∆

= ∆ 1 = 0 olsun. Bu taktirde

0

...

2 1

=

x

=

=

x

m

=

x

ve ∀ k ∈IN için

0

)

1

(

...

1

0

1



_

=









−

+

+













−













+ + k m m k k

_m

x

m

x

m

x

m

olduğundan ∀ k ∈IN için

x

_k

=

0

elde edilir ki buradan x = θ bulunur.

N 3 ) _{k v} m v v k m i i

x

v

m

x

x

₊ = = ∆













−

+

=

∑

α

∑

α

0 1

)

1

(

sup

∆ = + =

=

























−

+

=

∑

∑

x

x

v

m

x

m v v k v k m i i

α

α

0 1

)

1

(

sup

N 4 )

x

y

m

x

y

m

x

m

y

i

∑

i

+

i

+

∆

+

∆

=

+

= ∆ ₁

x

x

m

y

m

y

i i m m i i

+

∆

+

∑

+

∆

∑

≤

= =1 1 ≤ x _∆ + y _∆

Teorem 3.1.7: X , . normu ile bir Banach uzayı ise

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayı}

x

x

x

m m i i m

=

∑

+

∆

= ∆ 1

normu ile Banach uzaydır [21].

Teorem 3.1.8 : X , . normu ile bir BK - uzayı ise

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayı}

x

x

x

m m i i m

=

∑

+

∆

= ∆ ₁

normu ile bir BK – uzayıdır [21].

İspat : X , . normu ile bir Banach uzayı olduğundan ve

∆ − x xn _{→ 0 ( n →∞ )} ∀ k∈ IN için k n k x

x − → 0 ( n → ∞ ) olması gerektiğinden

_∆

m

(

X

)

_{dizi uzayı bir} BK - uzayıdır.

Teorem 3.1.9 :

X

⊂

Y

ise

_∆

m

(

X

)

_⊂

_∆

m

(

Y

)

_{dir [21].}

Teorem 3.1.10 : X herhangi bir dizi uzayı olmak üzere n < m ise

_∆

n

(

X

)

_⊂

_∆

m

(

X

)

_dir [21].

4. BÖLÜM

GENELLEŞTİRİLMİŞ İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK 4.1.

∆

m - İstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 4.1.1 : x = ( xk) kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer ∀

ε

>0 için

{

:

}

0 1 lim k ≤n ∆ x −L ≥

ε

= n k m n

olacak şekilde bir L sayısı varsa x = ( xk) dizisi L sayısına

∆

m - istatistiksel yakınsaktır denir [21]. x = ( xk) dizisi L sayısına

∆

m - istatistiksel yakınsak ise

∆

m

(

S

)

- lim x = L veya

x

L

(

m

(

S

))

k

→

∆

yazılır.

m

∆

- istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı

{

}

        = ≥ − ∆ ≤ = = ∆ ( ) ( ):lim 1 k n: x L

ε

0 n x x S m _k n k m ile gösterilir

L = 0 olması halinde x = ( xk ) dizisine sıfıra

∆

m - istatistiksel yakınsak dizi denir.

x = ( xk ) dizisi sıfıra

∆

m - istatistiksel yakınsak ise

∆

m

(

S

)

- lim x = 0 veya

x

k

→

0

(

∆

m

(

S

))

yazılır. Sıfıra istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı

{

}

        = ≥ ∆ ≤ = = ∆ ( ₀) ( ):lim1 : k

ε

0 m n k m _{k n x} n x x S ile gösterilir.

Teorem 4.1.1 :

_∆

m

(

S

)

_{lineer uzaydır [21].}

4.2.

∆

m - İstatistiksel Yakınsaklık ve ∆m_p - Cesaro Yakınsaklık Arasındaki İlişki Tanım 4.2.1 : x = ( xk) kompleks terimli bir dizi ve

p

>

0

reel bir sayı olsun. Eğer

lim

1

0

1

=

−

∆

∑

= n k p k m n

n

x

L

olacak şekilde bir L sayısı varsa x = ( xk) dizisi L sayısına kuvvetli ∆mp - Cesaro yakınsaktır denir [21]. x = ( xk) dizisi L sayısına kuvvetli ∆m_p - Cesaro yakınsak ise

) ( _p m _w ∆ - lim x = L veya ( m( _p)) k L w x → ∆ yazılır. Kuvvetli m p ∆ - Cesaro yakınsak

















=

−

∆

=

=

∆

∑

=

için

L

bir

az

en

L

x

n

x

x

w

n k p k m n k p m

₍

₎

₍

₎

_:

_lim

1

₀

_,

1 ile gösterilir. Teorem 4.2.1 :

p

∈

R

,

0

<

p

<

∞

olsun. ( i ) x L( (w )) ise x L( m(S)) k p m k → ∆ → ∆ dir. ( ii ) ( ) ( ( )) ( m( _p)) k m k m _{l ve x L S ise x L w} x∈∆ _∞ → ∆ → ∆ dir [21]. İspat : ( i ) x = ( xk) ∈∆m(w_p) ve

ε

>0 olsun. Bu taktirde

{

ε

}

ε

ε ε

≥

−

∆

≤

≥

−

∆

+

−

∆

=

−

∆

∑

∑

∑

≥ − ∆ ≤ − ∆ ≤ ≤ ≤ ≤ =

L

x

n

k

L

x

L

x

L

x

p p m _k n k k m p n k k m p n k k m L k x m L k x m

:

1 1 1 elde edilir. ( m( _p)) k L w x → ∆ olduğundan

x

L

(

m

(

S

))

k

→

∆

dir. ( ii )

x

L

(

m

(

S

))

k

→

∆

olsun.

x

∈

∆

m

(

l

∞

)

olduğundan M = ∆mx _∞ + L yazabiliriz.

0 ≥

ε

verilsin.

N

_ε sayısını p p k m M L x n k n : (2) 2 1

ε

1

ε

≤         ≥ − ∆ ≤

olacak şekilde seçelim ve

















≥

−

∆

≤

=

p k m n

k

n

x

L

L

1

)

2

(

:

ε

diyelim. Bu taktirde

n

>

N

_ε için

         

_∑

_{∆ − +}

_∑

_{∆ −} ∉ ∈ n L k p k m n L k p k m n n L x L x n 1













₊

<

2

2

1

ε

ε

n

M

M

n

n

p p

ε

ε

ε

₊

₌

≤

2

2

elde edilir. Böylece ( m( _p))

k L w

Tanım 4.2.2 : x = ( xk) ∈w olsun. Eğer ∀

ε

>0 için

{

:

}

0

1

lim

≤

∆

−

∆

m _N

≥

ε

=

k m n

n

k

n

x

x

olacak şekilde bir N = N ( ε ) sayısı varsa x = ( xk) dizisine

∆

m- istatistiksel Cauchy dizisi denir.

Teorem 4.2.2 : Eğer x = ( xk) dizisi

∆

m- istatistiksel yakınsak ise x = ( xk) dizisi m

∆

- istatistiksel Cauchy dizisidir [21].

İspat : Kabul edelim ki

x

∈

∆

m

(

S

)

ve

ε

>

0

_{olsun. Bu taktirde h.h.k. için}

2

ε

<

−

∆

m

x

_k

L

yazabiliriz. N sayısını h.h.k. için

2

ε

<

−

∆

m

x

_N

L

olacak şekilde seçelim. Bu taktirde h.h.k. için

L

x

L

x

x

x

m _N k m N m k m

₋

_∆

_<

_∆

₋

₊

_∆

₋

∆

<

ε

+

ε

=

ε

2

2

olur. Buradan

x

=

(

x

_k

)

dizisi

∆

m- istatistiksel Cauchy dizisidir.

Teorem 4.2.3 :

( i )

_∆

m

(

c

)

_⊂

_∆

m

(

S

)

_{ve bu kapsama kesindir.}

( ii )

∆

m

(

S

)

ve

∆

m

(

l

_∞

)

_{birbirlerini kapsamazlar, ancak ortak elemanları vardır.}

( iii )

∆

m

₍

S

₎

ve

l

_{∞ birbirlerini kapsamazlar, ancak ortak elemanları vardır.}

( iv )

S

ve

_∆

m

(

c

₀

)

_{birbirlerini kapsamazlar, ancak ortak elemanları vardır.}