İstatistiksel yakınsaklık / Statistical convergence

(1)

T.C.

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Ümit ÇETİNKAYA

Tez Yöneticisi Prof. Dr. Rifat ÇOLAK

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

(2)

T.C.

FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Ümit ÇETİNKAYA

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Bu tez ... tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından oybirliği/ oyçokluğu ile başarılı / başarısız olarak değerlendirilmiştir.

Danışman: Prof. Dr. Rifat ÇOLAK Üye: Prof. Dr. Mikail ET

Üye: Yrd. Doç. Dr. Mahmut IŞIK Üye:

Üye:

Bu tezin kabulü, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunun .../.../... tarih ve ... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

(3)

TEŞEKKÜR

Bana bu çalışmayı veren, bu çalışmanın planlanmasında ve düzenli bir şekilde yürütülmesinde yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Prof. Dr. Rifat ÇOLAK’a ve yine bu çalışma hazırlanırken gerekli tüm imkanları sağlayarak bana yardımcı olan değerli hocalarım Yrd. Doç. Dr. Yavuz ALTIN ve Dr. Hıfzı ALTINOK’a teşekkürlerimi sunarım.

(4)

İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER...I SİMGELER LİSTESİ...II ÖZET...III ABSTRACT...IV 1. GENEL KAVRAMLAR...1 1.1. Temel Tanımlar...1

1.2. Lacunary İstatistiksel Yakınsaklık...6

2. ∆-DİZİ UZAYLARI...13

2.1. _l_∞

( ) ( )

∆ ,c ∆ vec₀

( )

∆ Uzaylarının Bazı Özellikleri...13

2.2. Genelleştirilmiş Fark Dizi Uzayları...17

3. KAPSAMA TEOREMLERİ...21

3.1. Tanımlar ve Notasyonlar...21

3.2. Kapsama Teoremleri...22

(5)

SİMGELER LİSTESİ

IN : Doğal sayılar kümesi

IR : Reel sayılar kümesi

h.h.k. : hemen hemen her k

θ : Lacunary dizisi

( )

E

δ : E cümlesinin yoğunluğu

(

χ,∆

)

S : Tüm ∆-istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı

(

,∆

)

0 χ

S : Sıfıra ∆-istatistiksel yakınsak tüm dizilerin kümesi

(

χ,∆

)

θ

(6)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Ümit ÇETİNKAYA

Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

2006, Sayfa: 29

Üç bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümünde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanımlar ve teoremler ile lacunary istatistiksel yakınsaklık kavramı verilmiştir. İkinci bölümde; _l_∞

( ) ( )

∆ ,c∆ vec₀

( )

∆ uzaylarının bazı özellikleri ile

( ) ( )

_∆m _∆m

( )

_∆m

∞ ,c vec0

l genelleştirilmiş fark dizi uzayları verildikten sonra; çalışmanın orijinal kısmını oluşturan üçüncü bölümde S

(

χ,∆

)

ve S_θ

(

χ,∆

)

uzayları tanımlanarak bu

uzaylar arasındaki bazı kapsama bağıntıları verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Doğal yoğunluk, istatistiksel yakınsaklık, istatistiksel Cauchy

dizisi, kuvvetli Cesàro yakınsaklık, kuvvetli p-Cesàro yakınsaklık, lacunary istatistiksel yakınsaklık, fark dizi uzayları, genelleştirilmiş fark dizi uzayları.

(7)

ABSTRACT

Master Thesis

STATISTICAL CONVERGENCE

Ümit ÇETİNKAYA

Fırat University

Graduate School of Science and Technology Department of Mathematics

2007, Page: 29

In the first chapter of this thesis that consists of three chapters, we give some fundamental definitions, theorems which will be used in the later chapters and lacunary statistical convergence concept.

In the second chapter we give some properties of the difference sequence spaces

( ) ( )

∆ ∆

( )

∆

∞ ,c andc0

l , and we also give the generalised difference sequence spaces

( ) ( )

∆m ∆m

( )

∆m

∞ ,c andc0

l , m∈ΙΝ. In the third chapter which is the last and the original part of the thesis, we define the sequence spaces S

(

χ,∆

)

and S_θ

(

χ,∆

)

, and give some inclusion

relations between these spaces.

Key Words: natural density, statistical convergence, statistical Cauchy sequence,

strongly Cesàro convergence, strongly p-Cesàro convergence, lacunary statistical convergence, difference sequence spaces, generalised difference sequence spaces.

(8)

1. GENEL KAVRAMLAR

1.1. Temel Tanımlar

İstatistiksel yakınsaklık kavramı Fast [1] ve Schoenberg [2] tarafından birbirlerinden bağımsız olarak verildi. Yıllar sonra farklı isimler altında Fourier analiz teorisinde, ergodic teoride ve sayı teorisinde çalışıldı. Son zamanlarda, genelleştirilmiş istatistiksel yakınsaklık, kuvvetli integral toplanabilmede ve lokal kompakt uzaylar üzerinde tanımlı sınırlı sürekli fonksiyon ideallerinin yapısında görülmeye başlandı.

İstatistiksel yakınsaklık kavramının ihtimaliyetteki yakınsaklık kavramıyla da yakından ilişkisi vardır. Bu kavram ΙΝ doğal sayılar kümesinin altkümelerinin yoğunluğuna bağlıdır.

ΙΝ ’nin bir E altkümesinin doğal yoğunluğu ) ( 1 lim ) ( 1 k n E n k E n

∑

= ∞ → = χ δ

şeklinde tanımlanan δ(E) sayısı ile gösterilir. Burada χ_E, E’nin karakteristik fonksiyonudur. Açıktır ki ΙΝ ’nin sonlu herhangi bir altkümesi sıfır doğal yoğunluğa sahiptir ve

) ( 1 )

(Ec δ E

δ = − ’dir. Ayrıca, E kümesinin doğal yoğunluğu ({k ≤n:k∈E} notasyonu

E ’nin n’den büyük olmayan elemanlarının sayısını göstermek üzere)

} : { 1 lim ) ( k n k E n E n ≤ ∈ = ∞ → δ şeklinde tanımlanır.

Eğer bir P(k) özelliği sıfır yoğunluklu bir küme dışında sağlanırsa, P özelliği hemen hemen her k için sağlanır diyeceğiz ve bunu kısaca h.h.k. ile göstereceğiz.

Her bir J reel sayısı için 1 }) :

({k∈ΙΝ x_k > J =

δ

ise (xk) dizisi ∞ ’a ıraksaktır denir. Her bir Q reel sayısı için

< ΙΝ ∈ x_k k : ({ δ Q}) = 1

(9)

ise (x ) dizisi ∞_k − ’a ıraksaktır denir.

Eğer en az bir A reel sayısı için 0 }) :

({k∈ΙΝ x_k > A =

δ

ise (xk) dizisine istatistiksel sınırlıdır denir.

Tanım 1.1.1. x=(x_k) kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer her ε >0 için,

, 0 } : { 1 lim k ≤n x −L ≥ε = n k n

yani h.h.k. için xk −L<ε ise x = ( )xk dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir. Bu

durumda S- lim xk = L veya xk →L(S) yazılır. Burada küme sembolü dışındaki dikey çizgiler

kümenin eleman sayısını göstermektedir [3].

İstatistiksel yakınsak dizilerin uzayı S ile gösterilir. L=0 olması halinde S , yani sıfıra ₀

istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı elde edilir. Bu uzaylar aşağıda gösterilmiştir:

S =

( )

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₌ 1 _≤ _: ₋ _≥ ₌₀ lim : k n x L ε n x x _k n k ,

( )

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₌ _≤ _≥ ₌ = :lim1 : 0 0 k ε n k k n x n x x S .

Açıkça görülebileceği gibi yakınsak her dizi istatistiksel yakınsaktır, ancak bunun tersi doğru değildir. Bunun için m = 1,2,3,… olmak üzere

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = m , k m , k x_k ₂ 2 0 1

şeklinde tanımlanan )x=(xk dizisini göz önüne alalım. Her ε >0 için

{

k ≤n: x_k ≥ε

}

≤

{

k ≤n:x_k ≠0

}

≤ n olduğundan,

{

: 0

}

lim 0 1 lim ≤ ≠ ≤ = n n x n k n k n n

elde edilir. Bu S – lim xk = 0 olması demektir. Diğer taraftan l∞ ve S uzayları birbirlerini

(10)

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 2₂ 1, k m m , k k xk

şeklinde tanımlanan x=

( )

xk dizisi için S – lim xk =1 ’dir, ancak x∉ l∞ ’dur. Bunun yanında

x=(1,0,1,0,…) dizisi sınırlıdır. Ancak istatistiksel yakınsak değildir.

Bir dizi istatistiksel yakınsak ise limiti tektir, yani S – lim xk = L1 ve S – lim xk = L2 ise 2

1 L

L = ’dir.

Teorem 1.1.2. S – lim xk = L1 , S – lim yk = L2 ve α∈ΙR olsun. Bu durumda

(i) S – lim

( )

αx_k =αL₁,

(ii) S – lim(xk+yk)=L1 +L2 ’dir.

(i) ve (ii) ’den istatistiksel yakınsak diziler uzayının lineer uzay olduğu anlaşılır.

Tanım 1.1.3. ε > 0 olsun. h.h.k. için x_k −x_N <ε olacak şekilde bir N=N(ε ) sayısı var ise, yani

{

:

}

0 1

lim ≤ k − N ≥ε =

n _n k n x x

ise )x=(xk dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir [3].

Teorem 1.1.4. Aşağıdaki önermeler birbirine denktir:

(i) x = (xk) bir istatistiksel yakınsak dizidir.

(ii) x = (xk) bir istatistiksel Cauchy dizisidir.

(iii) h.h.k. için x_k = y_k olacak şekilde yakınsak bir y = (yk) dizisi vardır[3].

İspat. (i)⇒ (ii) Burada “yakınsak bir dizi Cauchy dizisidir” teoreminin ispatına benzer bir yol takip edilecektir. S – lim xk = L ve ε > 0 olsun. Bu durumda, h.h.k. için

L x_k − < 2 ε dir. Eğer N, xN −L < 2 ε

olacak şekilde seçilirse, h.h.k. için

L x L x x L L x x xk − N = k − + − N ≤ k − + N − 2 2 ε ε + ≤ < ε

(11)

elde edilir. Böylece x bir istatistiksel Cauchy dizisidir.

(ii)⇒ (iii) (ii) sağlansın ve h.h.k. için x_k∈I =

[

x_N −1,x_N +1

]

olacak şekilde bir N

sayısı seçelim. Aynı şekilde h.h.k. için xk ∈I'=

[

xM −1/2,xM +1/2

]

olacak şekilde bir M sayısı seçelim. Burada h.h.k. için xk ∈I₁ =I ∩I' olduğunu belirtelim. Çünkü

{

k ≤n:x_k∉I∩I'

} {

= k≤n:x_k ∉I

} {

∪ k≤n:x_k ∉I'

}

olup, böylece

{

: '

}

lim1

{

:

}

lim1

{

: '

}

0 1 lim ≤ ∉ ∩ ≤ ≤ ∉ + ≤ ∉ = ∞ → ∞ → ∞ → _n k n x I I _n k n x I _n k n xk I n k n k n

dır. Bu nedenle I₁, h.h.k. için x ’yı ihtiva eden ve uzunluğu 1’den küçük veya 1 e eşit olan _k

kapalı bir aralıktır.

Benzer şekilde h.h.k. için xk∈I′′=

[

xN( )2 −1/2,xN( )2 +1/2

]

olacak şekilde N(2) sayısını

seçelim. Yukarıdaki düşünceye göre I₂, h.h.k. için x ’yı ihtiva eder ve uzunluğu k ≤1/2 olan

kapalı bir aralıktır. Bu şekilde devam edilirse her bir m için I_m ⊇I_m₊₁ olacak şekilde kapalı

aralıkların bir

{ }

Im ∞_m₌₁ dizisini oluşturabiliriz. I ’nin uzunluğu m

m

−

≤₂1 _{’dir ve h.h.k. için}

m k I

x ∈ ’dir. İç içe aralıklar teoremi gereğince _I∞_m₌₁ I_m =λ olacak şekilde bir λ sayısı vardır.

h.h.k. için xk ∈Im olduğu göz önüne alınırsa n >T için m

{

k n xk Im

}

n ≤ : ∉ 1 < m 1 , (1.1.1)

olacak şekilde pozitif artan bir

{ }

Tm ∞_m₌₁ tamsayı dizisini seçebiliriz.

Şimdi T < k < _m T_m₊₁ iken x_k ∉I_m ve x’in k > T olacak şekildeki tüm _m x _k

terimlerinden oluşan bir z alt dizisini tanımlayalım. Daha sonra y dizisini

⎩ ⎨ ⎧ = durumlarda diger , ise bir terimi nin ' , k k k x z x y λ

şeklinde tanımlayalım. Bu taktirde limyk =λ ’dir. Çünkü eğer ε > 1/m > 0 ve k > T ise m x k,

z’nin bir terimidir ki bu yk =λ anlamına gelir, ya da yk = xk∈Im ve yk −λ ≤Im’nin

uzunluğu ≤₂1−m_{’dir. Burada h.h.k. için}

k k y

x = ’dir. Şimdi bunu gösterelim: Eğer T < n <_m T_m₊₁

(12)

{

k ≤n:yk ≠ xk

} {

⊆ k ≤n:xk∉Im

}

dir ve (1.1.1)’den

{

k k

}

{

k n xk Im

}

n x y n k n ≤ ≠ ≤ ≤ : ∉ 1 : 1 < m 1

yazılabilir. Böylece n→∞ iken limit 0 ’dır ve h.h.k. için x_k = y_k ’dir. Bu nedenle (ii), (iii)’ü

gerektirir.

(iii)⇒ (i) Kabul edelim ki (iii) sağlansın. h.h.k. için xk = yk ve limyk = olsun ve L

ε >0 verilsin. Bu taktirde, her bir n için, limy_k = olduğundan L

{

k ≤n: x_k −L ≥ε

}

⊆

{

k ≤n:x_k ≠ y_k

}

∪

{

k≤n: y_k −L ≥ε

}

yazılabilir. Böylece h.h.k. için xk = yk olması sebebiyle

{

:

}

lim1

{

:

}

lim1

{

:

}

0 1 lim ≤ − ≥ε ≤ ≤ ≠ + k ≤n y −L ≥ε = n y x n k n L x n k n k n k k n k n

elde edilir. Bu nedenle h.h.k. için x_k −L < ε dir, bu yüzden (i) sağlanır ve ispat tamamlanmış olur.

Sonuç 1.1.5. Eğer (xk), S− limxk =L olacak şekilde bir dizi ise, bu taktirde

L yk =

lim olacak şekilde (xk) ’nın bir y=(yk) alt dizisi vardır.

Tanım 1.1.6. x=(x_k) kompleks terimli bir dizi olsun. Eğer

∑

= = − n k k n _n x L 1 0 1 lim

olacak şekilde bir L sayısı varsa x dizisi L ’ye kuvvetli Cesàro yakınsaktır denir. Kuvvetli Cesàro yakınsak dizilerin uzayı

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₌ ₋ ₌ =

∑

= n 1 k 1 0 en azbir için 1 lim : ) ( x L L n x x _k n k σ

ile gösterilir. Özel olarak L= 0 alınırsa bu uzay 0 1

σ ile gösterilir.

Tanım 1.1.7. x=

( )

xk kompleks terimli bir dizi ve p>0 reel bir sayı olsun. Eğer

∑

= = − n k p k n _n x L 1 0 1 lim

(13)

olacak şekilde bir L sayısı varsa x=

( )

x_k dizisi L ’ye kuvvetli p-Cesàro yakınsaktır denir.

Kuvvetli p-Cesàro yakınsak dizilerin cümlesi

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₌ ₋ ₌ =

∑

= n 1 k için bir az en 0 1 lim : x L L n x x w _k p n k p ile gösterilecektir [4].

Teorem 1.1.8. 0 < p < ∞ olsun. Bu taktirde,

(i) Bir L sayısına kuvvetli p-Cesàro yakınsak olan bir dizi L sayısına aynı zamanda

istatistiksel yakınsaktır.

(ii) Bir L sayısına istatistiksel yakınsak olan sınırlı bir dizi L sayısına aynı zamanda

kuvvetli p-Cesàro yakınsaktır [5].

1.2. Lacunary İstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 1.2.1. Pozitif tamsayıların artan bir dizisi θ =

( )

k_r olsun. Eğer 0k₀ = olmak

üzere r→∞ için hr =kr −kr₋₁ →∞ ise θ =

( )

kr dizisine lacunary dizisi denir [6].

) (kr

=

θ tarafından belirlenen aralıklar Ir =

(

kr−1,kr

]

ile gösterilecektir. Bu çalışmada

∑

+ = − r r k k i 1 1

∑

∈ = r I i i i x x

alınacak ve uygunluk için bu toplam kısaca

∑

r I i x ile ve 1 − r r k k

oranı da q_r ile gösterilecektir.

Tanım 1.2.2. θ bir lacunary dizisi olsun. Her ε > 0 için

{

:

}

0 1

lim k∈I x −L ≥ε =

hr r k

r (1.2.1)

ise )x=(xk dizisi L sayısına lacunary istatistiksel yakınsaktır denir.

Bir x=(xk) dizisi lacunary istatistiksel yakınsak ise Sθ − limxk =L veya xk →L

( )

Sθ ile

(14)

( )

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ≥ − ∈ = = :lim 1 : ε 0 θ k I x L h x x S _r _k r k ile gösterilecektir.

Tanım 1.2.3. Herhangi bir θ =

( )

kr lacunary dizisi için

∑

∈ = − r I k k r r _h x L 0 1 lim

olacak şekilde bir L sayısı varsa (xk) dizisi L sayısına kuvvetli lacunary yakınsaktır denir ve

kuvvetli lacunary yakınsak dizilerin uzayı

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − = =

∑

∈Ir k için bir az en , 0 1 lim : x L L h x x N k r r k θ

ile gösterilir [6]. N uzayı L = 0 olması durumunda_θ N ile gösterilir. _θ0

Teorem 1.2.4. σ₁ ⊆ N_θ olması için gerek ve yeter şart lim inf_r q_r >1 olmasıdır.

İspat. (Yeterlilik) lim infrqr >1 ise her r≥1 için 1+δ ≤qr olacak şekilde δ >0

sayısı vardır. 0 1 σ ∈ x için

∑

− = = − = = 1 1 1 1 1 1 r r r k i i r k i i r I i r r x h x h x h τ = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∑

− = − − = 1 1 1 1 1 1 1 r kr i i r r r k i i r r r x k h k x k h k yazabiliriz. h_r =k_r −k_r₋₁ olduğundan δ δ + ≤1 r r h k ve δ 1 1 _≤ − r r h k

elde ederiz. Böylece

∑

₌r r k i i k ₁x 1 _ve

∑

− − = 1 1 1 1 r r k i i

k x terimlerinden her ikisi de sıfıra yakınsar ve

0

θ

N

x∈ elde edilir. Buradan σ₁ ⊆ N_θ bağıntısı elde edilir.

(Gereklilik) Kabul edelim ki liminf_r q_r =1 olsun. θ lacunary dizisi olduğundan 2 1 + ≥ _j₋ j r r olmak üzere 1 − j r j r k k <₁+ ve 1_j _j j r j r k k > − − 1 1

olacak şekilde θ =

( )

k_r lacunary dizisinin bir

(15)

(

)

⎩ ⎨ ⎧ ∈ = = durumlarda diger , 0 ,... 3 , 2 , 1 , , 1 i I j x rj i

şeklinde tanımlayalım. Bu taktirde herhangi bir L sayısı için

∑

− = − j r j I i r L L x h 1 1 , j=1,2,3, … ve

∑

− = r I i r L L x h 1 , r≠ rj

olur. Bundan dolayı x∉N_θ fakat x kuvvetli Cesàro yakınsaktır. Eğer t yeteri kadar büyük bir tamsayı ise ₋₁ j r k < ≤ ₊₁₋₁ j r k

t olacak şekilde bir tek j bulabiliriz. Buradan

j j j k h k x t j j j r r r t i i 2 1 1 1 1 1 1 = + ≤ + ≤ − = −

∑

yazabiliriz. t →∞ iken j →∞ olur. Böylece x∈σ₁0 olur.

Teorem 1.2.5. N_θ ⊆ σ₁ olması için gerek ve yeter şart lim sup_r q_r <∞ olmasıdır [6].

Teorem 1.2.6. θ =

( )

k_r lacunary dizisi olsun. Bu durumda

(i) xk →L

( )

N_θ ise xk →L

( )

Sθ ,

(ii) x∈ l_∞ ve x_k →L

( )

S_θ ise x_k →L

( )

N_θ ,

(iii) S_θ ∩_l_∞ =N_θ ∩_l_∞ ,

dir[7].

İspat. (i) ε >0 ve xk →L

( )

N_θ olsun. Bu taktirde

{

ε

}

ε ε ≥ − ∈ ≥ − ≥ −

∑

≥ − ∈ ∈ L x I k L x L x _r _k L x I k k I k k k r r :

(16)

(i) ’deki içerme kesindir. Gerçekten, θ =

( )

k_r bir lacunary dizisi olsun. x=

( )

x_k dizisi I_r aralığında ilk

[ ]

hr tamsayılarında 1,2,3, …,

[ ]

hr ,diğer durumlarda 0 olarak tanımlayalım.

Bu dizi sınırlı değildir, ancak lacunary istatistiksel yakınsaktır. Gerçekten ε >0 sayısı için,

{

: 0

}

[ ]

0, 1 _∈ ₋ _≥ ₌ _→ r r k r r h h x I k h ε

(

r→∞

)

dır. Yani

( )

xk dizisi sıfıra lacunary istatistiksel yakınsaktır. Diğer yandan

[ ][ ]

(

)

, 0 2 1 2 1 . 1 0 1 ≠ → + = −

∑

∈ r r r I k k r h h h x h _r

(

r →∞

)

olduğundan xk →0

( )

N_θ ’dır.

(ii) Kabul edelim ki xk →L

( )

S_θ ve x∈ l∞ olsun. Her k∈ΙΝ için xk −L ≤M

diyelim. ε >0 verilsin. Bu taktirde

∑

< − ∈ ≥ − ∈ ∈ − + − = − ε ε x L I k k r L x I k k r I k k r k r k r r L x h L x h L x h 1 1 1

{

∈ − ≥ε

}

+ε ≤ k I x L h M k r r :

dur. Buradan x_k →L

( )

N_θ elde edilir.

(iii) (i) ve (ii)’nin sonucudur.

Teorem 1.2.7. Herhangi bir θ =

( )

kr lacunary dizisi için Sθ ⊆S olması için gerek ve

yeter şart limsup_r q_r <∞ olmasıdır.

İspat. (Yeterlilik) Kabul edelim ki limsup_r q_r <∞ olsun. Bu durumda her r∈ΙΝ için

H

qr < olacak şekilde bir H>0 sayısı vardır. xk →L

( )

Sθ ve Nr =

{

k∈Ir : xk −L ≥ε

}

olsun. (1.2.1) göz önüne alınırsa herε >0 ve r > için r₀ <ε

r r

h N

olacak şekilde bir ∈

0

r ΙΝ vardır. Şimdi M =max

{

N_r :1≤r≤r₀

}

diyelim ve k_r₋₁ <n≤k_r olacak şekilde bir n seçelim. Bu taktirde

(17)

{

≤ − ≥ε

}

≤

{

≤ − ≥ε

}

− L x k k k L x n k n r r k k : 1 : 1 1

{

}

{

}

H r k M q r k M k k k r k M h h h N k r k M h N h h N h k r k M N N N N N k r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ε ε ε + ≤ + ≤ − + ≤ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + ≤ + + + + + + = − − − − + > − − + + + − − + − 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ... sup 1 ... 1 ... ... 1

yazabiliriz. Buradan S ⊆S_θ elde edilir.

(Gereklilik) Kabul edelim ki limsup_r q_r =∞ olsun. Bu taktirde q j

j

r > olacak şekilde

( )

kr

=

θ lacunary dizisinin bir (

j

r

k ) alt dizisini seçebiliriz ve x=

( )

x_i dizisini

(

)

⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = − − durumlarda diger 0, 3 2 1 2 1, k ₁ i k ₁, j , , ,... x rj rj i

şeklinde tanımlayalım. Bu durumda x∈N_θ fakat x∉σ₁ ’dir. (Teorem 1.2.6 (i)) ’den θ

S

x∈ ’dır. Fakat (Teorem 1.2.8) ’den x∉S ’dir. Bu da teoremin ispatını tamamlar.

Teorem 1.2.8. Herhangi bir θ =

( )

kr lacunary dizisi için S ⊆Sθ olması için gerek ve

yeter şart liminf_r q_r >1 olmasıdır.

İspat. (Yeterlilik) Kabul edelim ki liminf_r q_r >1 olsun. Yeterince büyük r için

δ

+ ≥ 1

r

q olacak şekilde δ >0 sayısı vardır. Buradan ≥₁₊δ_δ

r r

k h

elde edilir. x_k →L

( )

S ise

0 >

(18)

{

k≤k x −L ≥ε

}

kr r k : 1 ≥

{

k∈I x −L ≥ε

}

kr r k : 1 ≥

{

ε

}

δ δ _∈ ₋ _≥ + hr k Ir xk L : 1 1 elde edilir. Buradan S ⊆S_θ elde edilir.

(Gereklilik) liminf_rq_r=1 olsun. (Teorem 1.2.4.)’deki yol takip edilirse r_j ≥r_j₋₁+2

olmak üzere _kk _j j r j r ₁ 1 1 < + − ve rj j j r k k > − − 1 1

olacak şekilde θ =

( )

k_r lacunary dizisinin bir

( )

j

r

k alt dizisini seçelim ve x=

( )

x_i dizisini

(

)

⎩ ⎨ ⎧ ∈ = = durumlarda diger , 0 ,... 3 , 2 , 1 , , 1 i I j x rj i

şeklinde tanımlayalım. x’ in sınırlı olduğu aşikârdır. (Teorem 1.2.4)’den x∈σ₁ , fakat θ

N

x∉ ’dır. (Teorem 1.2.6 (ii))’den x∉S_θ ve (Teorem 1.2.8) ’den x∈S olduğu görülür. O halde S ⊄S_θ olur. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 1.2.9.

( )

x_k ∈S∩S_θ ise S_θ −limx_k =S−limx_k’dir. Böylece herhangi bir θ

lacunary dizisi için (xk) dizisinin Sθ −limiti tektir.

İspat. Kabul edelim ki S−limx_k =L, S_θ − limx_k =L′ ve L≠ L′ olsun. Bu taktirde

L L− ′ < ₂1 ε için

{

:

}

1 1 lim k≤n x −L′ ≥ε = n k n

elde ederiz. Bu durumda 1_n

{

k≤n: x_k −L′ ≥ε

}

istatistiksel limit ifadesinin k -inci terimini _m

göz önüne alalım. Bu taktirde,

{

}

_∑

{

}

= = − ≥ = ∈ − ′ ≥ ∪ ∈ m r k r m k r m r k I x L k L x I k 1 1 : 1 ' : ε ε =

∑

= − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m r r r m r r h t h 1 1 1 (1.2.2)

(19)

{

:

}

0 1 → ≥ ′ − ∈ = k I x L ε h t r k r r

dır. Çünkü x_k →L′

( )

S_θ idi. θ =

( )

k_r bir lacunary dizisi olduğundan (1.2.2) ifadesi t ’nin regüler ağırlıklı ortalama dönüşümüdür ve m→∞ için sıfır olur. Diğer taraftan

( 1

{

k∈∪ ₌₁I : x −L' ≥ε

}

k r k m r m ) dizisi

{

}

∞ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _≤ ₋ _′ _≥ 1 : 1 n k L x n k n ε

dizisinin bir alt dizisi olduğundan

{

:

}

1 1 _≤ ₋ _′ _≥_ε _→ L x n k n k

(20)

2. ∆-DİZİ UZAYLARI

2.1. _l_∞

( ) ( )

∆ ,c ∆ vec₀

( )

∆ Uzaylarının Bazı Özellikleri

Fark dizileri Kızmaz [8] tarafından tanımlandı. Bu bölümde _l_∞

( ) ( )

∆ ,c ∆ vec₀

( )

∆ dizi uzayları tanımlanacak, bu uzayların bazı özellikleri incelenecektir.

Tanım 2.1.1. ∆x=

(

x_k −x_k₊₁

)

olmak üzere _l_∞

( ) ( )

∆ ,c ∆ vec₀

( )

∆ dizi uzayları

( )

{

( )

∞

}

∞ ∆ = = ∆ ∈l l x x_k : x ,

( )

{

( )

: c

}

c ∆ = x= xk ∆x∈ ,

( )

{

( )

₀

}

0 : c c ∆ = x= x_k ∆x∈ şeklinde tanımlanır [8].

Teorem 2.1.2. _l_∞

( ) ( )

∆,c ∆ vec₀

( )

∆ dizi uzayları, x _∞ =supx_k olmak üzere

∞ ∆ = x + ∆x

x ₁ (2.1.1)

normu ile birer normlu uzaydır [8].

İspat. X; _l_∞

( ) ( )

∆ ,c ∆ vec₀

( )

∆ dizi uzaylarından birini göstermek üzere x,y∈X ve α

bir skaler olsun.

N1) x _∆ = x₁ + ∆x _∞ ≥0

N2) x _∆ = x₁ + ∆x _∞ =0 olsun. Bu taktirde x₁ =0 ve her k∈ΙΝ için 0

1 =

− k₊ k x

x dır. Buradan her k∈ΙΝ için xk =0 elde edilir. O halde x=0 dır. Tersine

0 =

x olması halinde x _∆ =0 olduğu aşikârdır.

N3)

(

1

)

1 sup ₊ ∆ = + k − k k x x x x α α α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ = ₁ sup k k₊₁ k x x x α

(21)

∆ = α x N4)

(

) (

1 1

)

1 1 sup + + − − ₊ − ₊ = + k k k k k y x y x y x y x 1 1 1 1 +sup − + + +sup − + ≤ k k k k k k y y y x x x ∆ ∆ + ≤ x y

Teorem 2.1.3. l_∞

( )

∆ dizi uzayı (2.1.1) normu ile bir Banach uzayıdır.

İspat. s =

(

₁s, ₂s, ₃s,...

)

∈_l_∞

( )

∆

x x x

x olmak üzere

( )

xs ,l_∞

( )

∆ da bir Cauchy dizisi olsun.

Bu durumda s,t→∞ için

(

)

0 1 1 − + ∆ − → = − ∞ ∆ t s t s t s x x x x x x

olur. Buradan s,t →∞ için 0 1 1 − → t s x x ve her k∈ΙΝ için

(

−

) (

− ₊₁− t₊₁

)

→0 k s k t k s k x x x x dır. Buna göre

( )

s

x₁ , C de bir Cauchy dizisidir.

(

) (

)

t k s k t k s k t k s k t k s k x x x x x x x x ₊₁− ₊₁ ≤ − − ₊₁ − ₊₁ + −

olması nedeniyle her k∈ΙΝ ve s,t→∞ için, 0 → − t k s k x x

elde edilir. Buna göre

(

1, 2, 3,...

)

k k k s

k x x x

x = dizisi her sabit k =1,2,3,... için C de bir Cauchy

dizisidir. C tam olduğundan

( )

s k x , C de yakınsaktır. limx = xk,

(

k =1,2,3,...

)

s k s diyelim.

( )

s ,_l_∞

( )

∆

x da bir Cauchy dizisi olduğundan her ε >0 için s,t≥ N iken − ≤ε

∆

t s

x x olacak şekilde bir N =N

( )

ε doğal sayısı vardır. O halde her s,t ≥N için

ε < − t s x x₁ ₁

(22)

ve her bir k için

(

−

) (

− ₊ − t₊

)

<ε k s k t k s k x x x x ₁ ₁

olur. Bu son iki ifadede t→∞ için limit alınırsa her s≥N için

ε < − = − ₁ ₁ ₁ 1 limxs xt xs x t

(

−

) (

− ₊₁− ₊₁

) (

= −

) (

− ₊₁ − ₊₁

)

<ε lim k s k k s k t k s k t k s k t x x x x x x x x

bulunur. Buradan s≥N için

(

) (

)

2ε sup ₁ ₁ 1 1 − + − − − < = − ₊ ₊ ∆ k s k k s k k s s x x x x x x x x

elde edilir. Bu ise xs x

s =

lim demektir. Şimdi de x=

( )

x_k ∈_l_∞

( )

∆ olduğunu gösterelim.

N k N k N k N k k k k k x x x x x x x x − ₊₁ = − ₊₁ − + − ₊₁ + ₊₁

(

) (

)

N k N k N k k N k k x x x x x x − − ₊₁ − ₊₁ + − ₊₁ ≤ ≤ − + − ₊₁ →0 ∆ N k N k N x x x x

olması nedeniyle x=

( )

xk ∈_l_∞

( )

∆ elde edilir. O halde

(

l∞

( )

∆ , . _∆

)

bir Banach uzayı olur.

Sonuç 2.1.4. c

( )

∆ ve c₀

( )

∆ uzayları, _l_∞

( )

∆ uzayının birer kapalı altuzayı

olduklarından (Teorem 2.1.3) den dolayı (2.1.1) deki norm ile birer Banach uzayıdır.

X herhangi bir dizi uzayı olsun. X

( )

∆ =

{

x=

( )

xk :∆x∈X

}

yazılır. Teorem 2.1.5. X ⊂ ise Y X

( )

∆ ⊂Y

( )

∆ dır [8].

Teorem 2.1.6. X bir vektör uzayı ve A⊂ X olsun. A konveks ise A

( ) ( )

∆ X, ∆ da konvekstir [9].

Teorem 2.1.7. X, . normu ile bir Banach uzayı ise X

( )

∆ x

x x _∆ = ₁ + ∆

normu ile Banach uzayıdır [9].

(23)

Sonuç 2.1.9. c₀

( ) ( )

∆ c, ∆ ve _l_p

( )(

∆ 1≤ p<∞

)

uzayları ayrılabilirdir [9]. Tanım 2.1.10. x=

( )

xk kompleks sayıların bir dizisi olsun. Eğer her ε >0 için

{

:

}

0 1

lim k≤n ∆x −L ≥ε =

n k

n

yani h.h.k için ∆xk −L <ε ise x=

( )

xk dizisi L sayısına ∆ istatistiksel yakınsaktır −

denir.∆ istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı − S

( )

∆ ile gösterilir. L=0 olması halinde S₀

( )

∆ ,

yani sıfıra ∆ istatistiksel yakınsak dizilerin uzayı elde edilir [10]. −

Teorem 2.1.11. S

( )

∆ lineer uzaydır [10].

Tanım 2.1.12. x=

( )

xk kompleks terimli bir dizi ve p > 0 reel bir sayı olsun. Eğer

∑

= = − ∆ n k p k n _n x L 1 0 1 lim

olacak şekilde bir L sayısı varsa x dizisi L ye kuvvetli ∆ Cesàro yakınsaktır denir. − Kuvvetli ∆ Cesàro yakınsak dizilerin cümlesi −

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ₌ _∆ ₋ ₌ _> = ∆

∑

= n k p k n k p x L p L n x x w 1 için bir az en , 0 , 0 1 lim :

ile gösterilecektir. x∈wp

( )

∆ olması durumunda xk →L

(

wp

( )

∆

)

yazacağız [10].

Teorem 2.1.13. p∈ΙR,ve0< p<∞ olsun.

(i) x_k →L

(

w_p

( )

∆

)

ise x_k → SL

(

( )

∆

)

dir.

(ii) x∈_l_∞

( )

∆ ve x_k → SL

(

( )

∆

)

ise x_k →L

(

w_p

( )

∆

)

dır [10]. Sonuç 2.1.14.

(i) S∩_l_∞ ⊂S

( )

∆ ∩_l_∞

( )

∆

(ii) S

( )

∆ ∩_l_∞

( )

∆ =wp

( )

∆ ∩_l_∞

( )

∆ dır [9].

Tanım 2.1.15. x=

( )

xk ∈w olsun. Eğer her ε >0 için

{

:

}

0

1

lim ≤ ∆ k −∆ N ≥ε =

(24)

olacak şekilde N =N

( )

ε sayısı varsa x=

( )

x_k dizisine −∆ istatistiksel Cauchy dizisi denir [9]. Teorem 2.1.16. Eğer x=

( )

xk dizisi −∆ istatistiksel yakınsak ise x=

( )

xk dizisi

−

∆ istatistiksel Cauchy dizisidir [9].

İspat. Kabul edelim ki xk → SL

(

( )

∆

)

ve ε >0olsun. Bu taktirde h.h.k. için 2 ε < − ∆xk L yazabiliriz. N sayısını 2 ε < −

∆x_N L olacak şekilde seçelim. Bu taktirde h.h.k. için

ε ε ε ₊ ₌ < − ∆ + − ∆ < ∆ − ∆ 2 2 L x L x x x_k _N _k _N

olup x, −∆ istatistiksel Cauchy dizisidir.

Teorem 2.1.17. y=

( )

yk , ∆ istatistiksel yakınsak dizi olsun. Eğer − x=

( )

xk dizisi

h.h.k. için ∆x_k =∆y_k olacak şekilde bir dizi ise x, −∆ istatistiksel yakınsak bir dizidir [9]. İspat. h.h.k. için ∆xk =∆yk ve S

( )

∆ −limyk =L olsun. ε >0 verilsin. Bu taktirde

için n her

{

k ≤n: ∆x−L ≥ε

}

⊂

{

k≤n:∆xk ≠∆yk

}

∪

{

k ≤n: ∆x−L ≥ε

}

yazabiliriz. Eşitsizliğin ikinci yanındaki son cümle sonlu sayıda eleman içerir. Bunu g=g

( )

ε ile gösterelim. h.h.k. için∆xk =∆yk olduğundan

{

}

{

}

n g y x n k n L x n k n n k k n n : lim 1 lim : 1 lim ≤ ∆ − ≥ε ≤ ≤ ∆ ≠∆ + yazabiliriz. Bu x_k → SL

(

( )

∆

)

demektir.

2.2. Genelleştirilmiş Fark Dizi Uzayları

m∈ ΙΝ ve ∆0x=

( )

x_k ,∆x=

(

x_k −x_k₊₁

)

, ∆mx=

(

∆mx_k

)

,∆mx_k =∆m−1x_k −∆m−1x_k₊₁ olmak

(25)

( )

{

( )

}

( )

{

( )

}

( )

{

( )

₀

}

0 : : : c x x x c c x x x c x x x m k m m k m m k m ∈ ∆ = = ∆ ∈ ∆ = = ∆ ∈ ∆ = = ∆ _∞ ∞ l l

dizi uzaylarını tanımladılar ve bu uzayların

( )

∑

= ⎟⎟⎠ + ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∆ m v v k v k m x v m x 0 1 olmak üzere

∑

= ∞ ∆ = + ∆ m i m i x x x 1 (2.2.1)

normu ile birer BK-uzayı olduğunu gösterdiler.

Teorem 2.2.1.

( ) ( )

m m

( )

m

c

c∆ ∆

∆

∞ , ve 0

l dizi uzayları (2.2.1) normu ile birer Banach uzayıdırlar [11].

İspat. Her bir s∈ΙΝ için

( ) (

is s s

)

( )

m

s

x x x

x = = ₁, ₂,... ∈_l_∞ ∆ olmak üzere

( )

xs , _l_∞

( )

∆m

uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Bu durumda s ,t→∞ için

(

)

0 sup 1 → − ∆ + − = −

∑

= ∆ t k s k m k m i t i s i t s x x x x x x

dır. Bu durumda her bir k∈ΙΝ için s ,t→∞ iken 0 → − t k s k x x

elde edilir. Buradan da

( ) (

1, 2,...

)

k k s

k x x

x = dizisinin her bir k için C kompleks sayılar kümesinde

bir Cauchy dizisi olduğu sonucu çıkar. C tam olduğundan bu dizilerin her biri yakınsaktır. Her bir k∈ΙΝ için k s k s x =x lim alalım.

( )

s

x bir Cauchy dizisi olduğundan her bir ε >0 için ∀ ,s t ≥N olduğunda

ε < − ∆ t s x

x olacak şekilde birN = N

( )

ε vardır. Böylece ∀k∈ΙΝ ve ∀ ,s t≥ N için

∑

= ≤ − m i t i s i x x 1 ε ve

( )

_⎟⎟

(

−

)

≤ε ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

∑

= + + m v t v k s v k v x x v m 0 1

(26)

sağlanır. Buradan ∀s≥N için, ε ≤ − = −

∑

= = i m i s i m i t i s i t x x x x 1 1 lim ve

(

−

)

= ∆

(

−

)

≤ε ∆ k s k m t k s k m t x x x x lim

elde edilir. Bu ∀s≥N için − <2ε

∆

x

xs , yani x=

( )

x_k olmak üzere s→∞ için xs → x

olmasını gerektirir.

( )

(

)

( )

(

)

( )

1 1 1 1 1 0 0 0 0 O x x x x v m x x v m x x x v m x v m x N k m N m v N v k v m v v k N v k v m v N v k N v k v k v m v v k v k m = ∆ + − ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∆ ∆ = + = + + = + + + = +

∑

olduğunda

( )

m

x∈_l_∞ ∆ elde edilir. O halde _l_∞

( )

∆m bir Banach uzayıdır.

( )

m

c∆ ve c₀

( )

∆m uzaylarının _l_∞

( )

∆m nin birer kapalı altuzayları olduğu gösterilebilir.

Bu nedenle bu dizi uzayları da (2.2.1) de tanımlı norm’a göre birer Banach uzayıdır. Aşağıda bu dizi uzayları arasındaki bazı kapsama bağıntılarını vereceğiz.

Lemma 2.2.2. (i)

( )

1 , 0 0 ∆ ⊂ ∆ + m m c c (ii) c

( ) ( )

∆m ⊂c∆m+1 , (iii) _l_∞

( )

∆m ⊂ _l_∞

( )

∆m+1

ve bu kapsama bağıntıları kesindir [11].

İspat.

( )

m c x∈ ₀ ∆ olsun.

(

→∞

)

→ ∆ + ∆ ≤ ∆ − ∆ = ∆ + + + k , 0 1 1 1 k m k m k m k m k m x x x x x olduğunda

( )

1 0 + ∆ ∈ m c

x elde ederiz. Böylece c₀

( )

∆m ⊂c₀

( )

∆m+1 olur. Örneğin x=

( )

km

dizisi

( )

1 0

+

∆m

c ’e ait fakat c₀

( )

∆m ’e ait olmadığından bu kapsamalar kesindir.

(ii) ve (iii)’nin ispatları (i)’nin ispatına benzer şekilde yapılabilir.

Lemma 2.2.3. (i)

( )

m

c₀ ∆ ⊂

( )

m

c ∆

(27)

ve bu kapsamalar kesindir.

İspatı (Lemma 2.2.2) ye benzer şekilde yapılabilir.

Ayrıca

( ) ( )

m m

( )

m

c

c ∆ ∆

∆

∞ , ve 0

l uzayları koordinatsal sürekliliğe sahip, yani

0 → − ∆ x xs olmasının, − k →0 s k x

x olmasını ∀k∈ΙΝ ve s→∞ için gerektirecek şekilde Banach uzayları olduklarından,

( ) ( )

m m

( )

m

c

c∆ ∆

∆

∞ , ve 0

l uzayları aynı zamanda birer

(28)

3. KAPSAMA TEOREMLERİ

3.1. Tanımlar ve Notasyonlar

Bir topolojik gruptaki bir dizinin istatistiksel yakınsaklığı ile lacunary istatistiksel yakınsaklığı Çakallı tarafından verilmiştir ([12],[13]). Bu bölümde biz ∆-istatistiksel yakınsaklığı ve ∆-lacunary istatistiksel yakınsaklığı vereceğiz.

Bu bölümde χ bir abel topolojik Hausdorff grubunu gösterecektir. Ayrıca χ toplamsaldır ve sayılabilirliğin ilk aksiyomu sağlanır.

Tanım 3.1.1. Bir χ topolojik grubundaki bir

( )

x_k dizisine, eğer 0’ın her bir U

komşuluğu için

{

:

}

0 1 lim ≤ ∆ − ∉ = ∞ → _m k m xk U m l

ise χ’nin _l elemanına ∆-istatistiksel yakınsak denir. Burada dikey çizgiler o kümenin eleman sayısını göstermektedir.

(

χ,∆

) (

,S₀ χ,∆

)

S sırasıyla tüm ∆-istatistiksel yakınsak dizilerin ve χ’de sıfıra

∆-istatistiksel yakınsak tüm dizilerin kümesini gösterecektir.

Şimdi topolojik gruplarda ∆-lacunary istatistiksel yakınsaklık tanımını aşağıdaki gibi vereceğiz:

Tanım 3.1.2.

( )

xk , χ topolojik grubunda bir dizi ve θ =

( )

kr bir lacunary dizisi olsun.

Eğer 0’ın her bir U komşuluğu için

{

:

}

0 1 lim ∈ ∆ − ∉ = ∞ → _h k Ir xk U r r l

ise

( )

xk dizisi l sayısına ∆-lacunary istatistiksel yakınsaktır denir. Eğer

( )

xk dizisi l

sayısına ∆-lacunary istatistiksel yakınsak ise bunu

(

∆

)

− =_l

∞ → k

k x

S_θ χ, lim veya xk →l

(

S_θ

(

χ,∆

)

yazarak göstereceğiz. Yukarıdaki tanım anlamında ∆-lacunary istatistiksel yakınsak olan dizilerin sınıfı S_θ

(

χ,∆

)

ile gösterilir, yani

(

) ( )

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _∃ _∆ ₋ ₌ = ∆ ∞ → l l k k k S x x S_θ χ, : için _θ χ, lim

(29)

(

) ( )

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _∆ ₋ ₌ = ∆ ∞ → 0 lim , : , 0 k k k S x x S_θ χ _θ χ tanımlayacağız. 3.2. Kapsama Teoremleri

Bu bölümde tüm ∆ istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi ile tüm −− ∆ lacunary istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi arasındaki bazı kapsama bağıntılarını vereceğiz.

Teorem 3.2.1. Herhangi bir θ lacunary dizisi için S_θ

(

χ,∆

)

⊂S

(

χ,∆

)

olması için gerek ve yeter şart lim sup_rq_r <∞ olmasıdır.

İspat (Yeterlilik) Kabul edelim ki limsupr qr <∞ olsun. Bu taktirde her r∈ΙΝ için H

qr < olacak şekilde bir H >0 sayısı vardır.

( )

∆xk , Sθ

(

χ,∆

)

’nın herhangi bir elemanı

olsun, yani S_θ

(

χ,∆

)

−limx_k =_l diyelim. 0’ın herhangi bir U komşuluğunu alalım. ε herhangi bir pozitif sayı olsun. N_r =

{

k∈I_r :∆x_k −_l∉U

}

yazalım. Lacunary istatistiksel yakınsaklığın tanımı gereğince her r > için r₀

( )

−1 _<

( )

₂ −1

H h

N_r _r ε

olacak şekilde bir r₀∈ΙΝ vardır.

Şimdi de M =max

{

N_r :1≤r ≤r₀

}

olsun ve n sayısı k_r₋₁ <n≤k_r eşitsizliğini sağlayan herhangi tamsayı olsun. Bu taktirde

{

}

H q k Mr U x n k n r r k 2 : 1 1 0 ₊ε ≤ ∉ − ∆ ≤ − l yazabiliriz. Böylece r >r₁ için

{

≤ ∆ − ∉

}

<ε +ε =ε 2 2 : 1 U x n k n k l

(30)

(Gereklilik) Kabul edelim ki limsup_rq_r =∞ olsun. χ’nin 0 ’dan farklı bir x elemanını alalım. θ =

( )

kr ’nin qr( )j > j ve kr( )j > j+3 olacak şekilde bir

( )

kr( )j alt dizisini seçelim.

Şimdi de bazı j=1,2,… ler için ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = ∆ − durumlarda diger , 0 ,... 3 , 2 , 1 2 , k i k ₁ j x x_i r j r j

şeklinde bir dizi tanımlayalım. U, 0’ın ∆x’i ihtiva etmeyen simetrik bir komşuluğu olsun. Bu taktirde j>1 için ( )

{

( )

}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 : 1 1 1 1 − < − = < ∉ ∆ ≤ − − − j k k k h k U x k k h r j r j j r j r j r k j r j r

yazabiliriz. Böylece

( )

x_k ∈S_θ

(

χ,∆

)

’dır. Fakat

( ) (

x_k ∉S χ,∆

)

’dir. Çünkü

( )

x_k ∈S_θ

(

χ,∆

)

olma-sından dolayı ( )

{

( )

}

( )

[

( ) ( ) ( )

]

2 1 ... 2 1 : 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 > + + + = ∉ ∆ ≤ − − − − − − j r r r j r k j r j r k k k k U x k k k

olur ki buradan x∉S

(

χ,∆

)

’dır. Bu da teoremin ispatını tamamlar.

Teorem 3.2.2. Herhangi bir θ lacunary dizisi için S

(

χ,∆

)

⊂S_θ

(

χ,∆

)

olması için gerek ve yeter şart lim infrqr >1 olmasıdır.

İspat (Yeterlilik) Kabul edelim ki lim infrqr >1 olsun ve lim infrqr =α diyelim.

(

−1

)

= α

β 2 yazalım. Bu taktirde r≥n₀ için q_r ≥ 1+β olacak şekilde bir n pozitif ₀

tamsayısı vardır. Böylece r≥n₀ için

1 1 1 1 1 1 1 1 + = + − ≥ − = − = − β β β r r r r r q k k k h yazılabilir.

Herhangi bir

( ) (

x_k ∈S χ,∆

)

alalım ve S

(

χ,∆

)

−limx_k =_l olsun. S_θ

(

χ,∆

)

−limx_k =_l

(31)

{

}

{

}

{

}

{

k I x U

}

h U x I k h k U x I k k U x k k k k r r k r r r k r r k r r ∉ − ∆ ∈ + ≥ ∉ − ∆ ∈ = ∉ − ∆ ∈ ≥ ∉ − ∆ ≤ l l l l : 1 1 : 1 1 h : 1 : 1 r β β

elde edilir. Bu nedenle S_θ

(

χ,∆

)

−limx_k =_l’dir.

(Gereklilik) Kabul edelim ki lim infrqr =1 olsun. İstatistiksel yakınsak fakat lacunary

istatistiksel yakınsak olmayan bir dizi bulmaya çalışacağız. θ ’nın r

( )

j ≥ r

(

j−1

)

+2 olmak üzere ( ) ( ) ( ) ( ) j k ve 1 1 1 1 j r 1 > + < − − − r j j r j r k j k k

olacak şekilde bir

( )

k_r_{( )}_j alt dizisini seçebiliriz. χ’nin 0’dan farklı bir x elemanını alalım.

Şimdi j=1,2,... için ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ = ∆ durumlarda diger , 0 ise I k x, x_k r j

şeklinde bir dizi tanımlayalım. Bu taktirde

( ) (

x_k ∈S χ,∆

)

’dir

(

Gerçekte

( )

x_k ∈S₀

(

χ,∆

)

.

Bunu görmek için 0’ın herhangi bir U komşuluğunu alalım. Bu taktirde W ⊂U ve x∈W

olacak şekilde 0’ın herhangi bir W komşuluğunu seçebiliriz. Diğer yandan her bir m için ( )j−1 ≤ ≤ r(j+1)−1

r n k

k olacak şekilde pozitif bir j sayısı bulabiliriz. Bu taktirde her bir _m

için m

{

}

( )

{

}

( )

{

( )

}

{

( )

}

( )

{

( )

}

( )

(

( ) ( )

)

m m m m j r j r j r k j r j r k j r k j r j r k j r k j j j j k k k W x k k k W x m k k W x k k k W x m k k U x m k m m m m m m m m m m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : 1 : : 1 : 1 : 1 1 + + < − + + + < − + ∉ ∆ ≤ ≤ ∉ ∆ ≤ < + ∉ ∆ ≤ ≤ ∉ ∆ ≤ ≤ ∉ ∆ ≤ +

(32)

elde edilir. Bu nedenle

( )

x_k ∈S₀

(

χ,∆

)

dır. Şimdi de

( )

x_k ∉S_θ

(

χ,∆

)

olacağını gösterelim. χ

bir Hausdorff uzay olduğundan x∉V olacak şekilde 0 ’ın bir V komşuluğu vardır. Buna göre

( )

{

( ) ( )

}

( )

(

( ) ( )

)

( ) ( ) 1 1 lim 1 lim : 1 lim ₁ ₁ = = − = ∉ ∆ ≤ < ∞ → − ∞ → − ∞ → j r j r j j r j r j r j k j r j r j r j h h k k h V x k k k h ve ( )

{

:

}

1 0 lim ₁ ,... 2 , 1 , − < ≤ ∆ − ∉ = ≠ = ≠ →∞ V x x k k k_r _r _k j j r r r

olur. Böylece ne x ne de 0,

( )

x_k dizisinin lacunary istatistiksel limiti olabilir. χ’nin diğer

hiçbir noktası da dizinin lacunary istatistiksel limiti olamaz. Buna göre

( )

xk ∉S_θ

(

χ,∆

)

’dır. Bu da ispatı tamamlar.

Sonuç 3.2.3. θ bir lacunary dizisi olsun. Bu taktirde S

(

χ,∆

)

=S_θ

(

χ,∆

)

olması için gerek ve yeter şart

∞ < ≤ < qr qr r r limsup inf lim 1 olmasıdır.

Şüphesiz ki S_θ

(

χ,∆

)

−limiti tektir. Bununla birlikte farklı θ ’lar için farklı

(

χ,∆

)

−

θ

S limitlerinin olması da mümkündür. =χ C durumunda buna bir örnek Fridy ve

Orhan [7] da gösterilmiştir. Teorem 3.2.4, x∈S

(

χ,∆

)

iken bu durumun vuku bulmayacağını göstermektedir.

Teorem 3.2.4. Eğer

( ) (

x_k ∈S χ,∆

)

∩S_θ

(

χ,∆

)

ise S

(

χ,∆

)

−limx_k =S_θ

(

χ,∆

)

−limx_k

dır.

İspat. Herhangi bir

( ) (

x_k ∈S χ,∆

)

∩S_θ

(

χ,∆

)

için

(

,∆

)

−lim =_l₁

∞ → k k x S χ ve

(

,∆

)

−lim_→_∞ k =l2 k x

S_θ χ diyelim. Kabul edelim ki _{l ≠}₁ _l₂ olsun. χ bir Hausdorff uzay

olduğundan l₁−l₂∉U olacak şekilde 0’ın bir simetrik U komşuluğun vardır. Bu durumda U

W

W + ⊂ olacak şekilde 0’ın simetrik bir W komşuluğunu seçebiliriz. Buna göre her ΙΝ

∈

(33)

{

}

{

}

{

k k x W

}

W x k k k U z k k k k m k m m k m m ∉ ∆ − ≤ + ∉ − ∆ ≤ ≤ ∉ ≤ 2 m 1 : k 1 : 1 : 1 l l

eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlikten

{

}

{

k k x W

}

k W x k k k k m m k m m ∉ ∆ − ≤ + ∉ − ∆ ≤ ≤ 2 1 : 1 : 1 1 l l

elde edilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafındaki ikinci terim m→∞ iken 0’a gider. Bunu görmek için t

{

k I_r x_k W

}

h r r ∉ ∆ − ∈ = 1 _{: l}₂ _{olmak üzere}

{

}

{

}

{

}

∑

= − = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∉ ∆ − ∈ = ∉ ∆ − ∪ ∈ = ∉ ∆ − ≤ m r r r m r r m r k r m k r m r m k m m t h h W x I k k W x I k k W x k k k 1 1 1 1 2 2 1 2 : 1 : 1 : 1 l l l yazalım.

(

,∆

)

−lim =_l₂ ∞ → k k x

S_θ χ olduğundan limt_r =0 olduğunu biliyoruz. Bu nedenle

( )

t_r ’nin regüler ağırlıklı ortalama dönüşümü de sıfıra gider, yani

{

:

}

0 1 lim ≤ ₂ −∆ ∉ = ∞ → k_m k km xk W m l (3.2.1)

olur. Diğer yandan,

(

,∆

)

−lim =_l₁

∞ → k k x S χ olduğundan

{

:

}

0 1 lim ≤ ∆ − ₁∉ = ∞ → k_m k km xk W m l (3.2.2)

yazabiliriz. (3.2.1) ve (3.2.2)’den dolayı

{

:

}

0 1 lim ≤ ∉ = ∞ → _k k km zk U m m

elde edilir. Bu çelişki ispatı tamamlar.

İstatistiksel Cauchy dizisi kavramı kompleks terimli diziler için Fridy ve Orhan tarafından [14] de ve bir topolojik gruptaki diziler için Çakallı tarafından [13] de verilmiştir.