3-Elektrik Potansiyel

(1)

Elektrik potansiyel

Elektrik potansiyel enerji



Önceki çalışmalardan, potansiyel ve kinetik enerji

• a noktasından b noktasına hareket eden bir parçacık üzerindeki kuvveti düşünelim, Kuvvetin yaptığı iş Wa->b aşağıdaki gibi verilir:



 



  b a b a b a F d F d W  _ cos



_

• Kuvvet korunumlu ise, yani kuvvet tarafından yapılan iş sadece parçacığın ilk

ve son konumlarına bağlı fakat parçacığın yolu boyunca alınan yola bağlı değilse , F kuvveti tarafından yapılan iş her zaman U potansiyel enerjinin terimleri ile ifade edilebilir.

(2)

Elektrik potansiyel enerji

 Önceki çalışmalardan, potansiyel ve kinetik enerji

• Korunumlu kuvvet durumunda, kuvvet tarafından yapılan iş U potansiyel enerji terimleriyle ifade edilir:

i

U

W

i a b b a b a

point

at

energy

potential

the

:

)

(



















• Her bir yer değişimi sırasında K kinetik enerji değişimi parçacık üzerine yapılan toplam işe eşittir:

a b

b

a K K K

W _    

• Kuvvet korunumlu ise,

b b a a a b a b b a U K U K U U U K K K W                ( )

(3)

Elektrik Potansiyel Enerji



Düzgün bir alan içinde Elektrik potansiyel enerji

•Aşağı doğru düzgün bir elektrik alan oluşturan yüklü paralel plaka çifti ve q₀>0 olan deneme yükü düşünelim.

+ + + + + + + - - - -+ + + d

q

0

E



a b Korunumlu kuvvet Kuvvet deneme yükünün net yer değiştirmesi ile aynı yöndedir

• Genellikle kuvvet vektör olarak alınır:

0 , ; ) , , (   ₀    F_x F_y F_z F_y q E F_x F_z F

Bu kuvvet yerçekimi kuvveti ile benzerdir:

0 , ; ) , , ( _, _, _, _,   _,  _,   _g _x _g _y _g _z _g _y _g _x _g _z g F F F F mg F F F m g F_g

(4)

Elektrik potansiyel enerji



Düzgün alan içinde Elektrik potansiyel enerji

•Yerçekimi kuvveti ile kurulan analojide, potansiyel şu şekilde bulunabilir:

)

.

(

0

Ey

c

f

U

mgy

q

U



_g



• Deneme yükü y_a yüksekliğinden y_b yüksekliğine taşındığında , yük üzerinde alan tarafından yapılan iş

• Deneme yükü elektrik kuvvete zıt yönde(aynı yönde) hareket ederse U artar(azalır) + + a b E q F  ₀ 

E



U<0 + + b a E q F  ₀ 

E



U>0 -a b

E



U>0 E q F  ₀  -b aq E F  ₀ 

E



U<0

(5)

Elektrik potansiyel enerji

İki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi

• r uzaklığındaki deneme yükü üzerindeki kuvvet

+ q q₀ r_b r r_a 2 0 0 4 1 r qq F_r  

• Deneme yükü üzerinde yapılan iş



     b a b a r r b a r r r b a r r qq dr r qq dr F W ( 1 1 ) 4 4 1 0 0 2 0 0  

E



E



a b

(6)

Elektrik potansiyel enerji

İki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi

• Daha genel durumda

a b r





d

r

d

F



E









 b a b a b a r r r r r r b a

dr

r

qq

d

F

d

F

W

₂0 0

4

1 cos





_





Yolun eğimi

dr

 b a b a

U

r

qq

_

_

















1

4

₀ 0



Elektrik potansiyelin doğal ve uygun ifadesi

r

qq

U

0 0

4

1 



(7)

Elektrik potansiyel enerji



İki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi

•Elektrik potansiyel enerji ifadesi

r

qq

U

0 0

4

1 



•Elektrik potansiyel enerjinin referans noktası

Potansiyel enerji her zaman U=0 olduğu referans noktasına bağlı olarak ifade edilir. R sonsuza gittiğinde, U sıfıra gider.Bu yüzden

r= referans noktasıdır. Bunun anlamı U ,deneme yükünü başlangıç uzaklığı r den sonsuza hareket ettirmek için yapılan iş olarak tasvir edilir.



Şayet q ve q₀ aynı işarete sahipse, bu iş POZİTİF ; değilse İş NEGATİF tir. qq₀>0 qq₀<0 U U 0 0

(8)

Elektrik Potansiyel Enerji



Birçok nokta yükle elektrik potansiyel enerji

•Deneme yükü bir çok parçacığın elektrik alanı içine yerleştirilir.

(9)

Elektrik potansiyel

Örnek 23.2: Nokta yükler sistemi

+

q₁=-e q₂=+e q₃=+e

+

-x=0 x=a x=2a

a

e

a

e

a

e

r

q

r

q

U

W

0 2 0 23 2 13 1 0 3

8

2

4

4 











































a e a e e a e e a e e r q q r q q r q q r q q U j i ij j i 0 0 23 3 2 13 3 1 12 2 1 0 0 8 ) )( ( 2 ) )( ( ) )( ( 4 1 4 1 4 1              _  _           





(10)

Elektrik potansiyel enerji



Elektrik potansiyel enerjinin iki açıklaması

• Alan içinde hareket eden yüklü parçacık üzerinde elektrik alan bir iş yapar.

• Yüklü bir parçacığı yavaş bir şekilde başlangıç konumundan son konuma hareket ettirmek için elektrik kuvvete zıt bir dış kuvvet tarafından bir iş yapılması gerekir.

Parçacık a dan b ye hareket ettiğinde elektrik kuvvet tarafından yapılan iş

(11)

Elektrik Potansiyel



Elektrik potansiyel veya potansiyel

• Elektrik potansiyel V birim yük başına potansiyel enerjidir.

V

q

U

q

U

V

₀ 0

or



1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb ab b a b a b a

U

q

V

q

V

W

_







₀

(



)



₀

a ile b arasındaki potansiyel

Birim yük a dan b ye hareket ettiğinde elektrik kuvvet tarafından iş yapılır.

Birim yükü b den a ya yavaş bir şekilde hareket ettirmek için elektrik kuvvete karşı bir iş yapılması gerekir.

(12)

Elektrik potansiyel

 Elektrik potansiyel veya potansiyel

•Tek bir nokta yükten dolayı elektrik potansiyel;

r

q

U

V

0 0

4

1 



• Nokta yükler yığınından dolayı elektrik potansiyel;





i _i i

r

q

U

V

0 0

4

1 

• Sürekli yük dağılımından dolayı elektrik potansiyel;





r

dq

q

U

V

0 0

4

1 

(13)

Elektrik potansiyel



E den V ye

•Çoğu zaman bilinen bir elektrik alandan potansiyeli hesaplamak daha kolaydır.











 b a b a b a

F

d

q

E

d

W



_

₀



_













b a b a b a

V

E

d

E

d

V



_

cos



_











a b b a

V

E

d

V



_

Elektrik alan birimi şu şekilde ifade edilir:

(14)

Elektrik potansiyel

Örnekler 23.6:

_ _ _

_

f _ i i f V E ds V    V_f V_i   E  dr R 



 kq 1 r2



dr  kq1 r _R  2 r kq E  R kq V  0

4

1 



k

R r ile yer değiştirmiştir

r

q

V

0

4

1 





0 V

_i

 k

q

R

(15)

Elektrik Potansiyel

Örnekler 23.7:

+

-m, q₀ q₁ q₂ a b ₌ 0

qV

U

m

K



,



2

1 _

₂ b a

m

q

V

q

₀ 2 ₀

2

1

0 







m

V

q

(

_a _b

)

2

₀







(16)

Elektrik Potansiyel

Birim: Elektron volt (atomik ve nükleer fizikte kullanışlı)

• Şayet q yükü e yükü ile eşit büyüklüğe sahipse (1.602 x 10-19_{C) ve potansiyel fark V}

ab= 1 V ise, yükün enerjisi:

• Potansiyeli V_aolan noktadan V_b olan noktaya hareket eden q yüklü parçacığı düşünelim, yükün potansiyel enerjisi:

ab b a b a

U

q

V

qV

U





(



)



eV

1 J

10

602 .

1 V)

1 )(

C

10

602 .

1 (

19 19













  b a

U

(17)

Elektrik potansiyelin hesaplanması



Örnek 23.8: Yüklü iletken bir küre

+ + + + + + + + E V 0 0 R r r 0  E 2 0 4 1 R q E   2 0 4 1 r q E   R q V 0 4 1   r q V 0 4 1  

Gauss kanununu kullanarak örnek 22.5 deki elektrik alanı hesaplarız.Şimdi potansiyeli hesaplamak için bu sonucu kullanabiliriz ve sonsuzda V=0

alabiliriz. 4 1 : 0 r q V r R  

 Nokta yükün potansiyeline

benzer olarak 4 1 : 0 R q V r R    4 1 : 0 R q V r R    İletken içinde E sıfırdır. Bu yüzden potansiyel sabit kalır ve yüzeydeki kadardır

(18)

Eş potansiyel yüzey



Eş potansiyel yüzey

• İki farklı potansiyelde olan nokta yoktur, bunun için farklı potansiyeller için Eş potansiyel yüzeyler hiçbir zaman kesişmez.

• Bir eş potansiyel yüzey, elektrik potansiyeli her noktada aynı olan 3-d yüzeydir.

• Bir eş potansiyel yüzey boyunca hareket eden deneme yükü için potansiyel enerji değişmediğinden,elektrik alan iş yapmaz.

• E her noktada yüzeye diktir.

(19)

Eş potansiyel yüzey

(20)

Eş potansiyel yüzey



Eş potansiyeller ve iletkenler

•İletken içinde her yerde

- İletken içinde herhangi bir noktada E nin yüzeye teğet bileşeni sıfırdır. - Aynı zamanda E nin teğetsel bileşeni yüzey dışındada sıfırdır.

• Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletkenin yüzeyi her zaman eş potansiyel yüzeydir. iletken 0  E E // E  E

vakum Şayet böyle olmasaydı, bir yük dikdörtgen yol etrafında

bir kısmı içerde bir kısmı dışarda olacak şekilde hareket ederdi üzerine yapılan net bir iş miktarıyla başladığı noktaya geri dönerdi.

•Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletken dışındaki elektrik alan her noktada yüzeye dik olmalıdır.

(21)

Eş potansiyel yüzey



Eş potansiyeller ve iletkenler

•İçerisinde herhangi bir yük olmayan oyuklu iletkeni düşünelim

- İletken oyuk yüzeyi eş potansiyel bir A yüzeyidir.

- Farklı potansiyelde oyuk içinde bir P noktası alalım ve bu B potansiyelinden farklı potansiyelde olsun

- Alan yüzey B den A ya ya da A dan B ye ilerler.

- Oyuk içindeki B yüzeyini çevreleyen bir gauss yüzeyi çizilir.

İletken

Oyuk yüzeyi Gauss yüzeyi

P den geçen eş potansiyel yüzey P

A B

- Bu gauss yüzeyinden geçen net akı sıfır değildir çünkü elektrik alan yüzeye diktir.

- Gauss kanunu içerisinde herhangi bir yük olmadığından bu akının, sıfır olduğunu söyler.

- Bundan A ve B potansiyelleri aynı potansiyeldedir.

• Elektrostatik konumda, şayet bir iletken bir oyuk içeriyorsa ve oyuk içerisinde yük mevcut değilse, oyuk yüzeyi üzerinde herhangi bir yerde net yük