Özel fonksiyonlar yardımıyla tanımlanmış bazı yeni dizi uzayları

121  Download (0)

Tam metin

(1)

T.C.

˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U

¨

OZEL FONKS˙IYONLAR YARDIMIYLA TANIMLANMIS¸ BAZI YEN˙I D˙IZ˙I UZAYLARI

Murat CANDAN

DOKTORA TEZ˙I

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

MALATYA MART 2006

(2)

Fen Bilimleri Enstit¨us¨u M¨ud¨url¨u˘g¨u’ne,

Bu ¸calı¸sma, J¨urimiz tarafından Matematik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZ˙I olarak kabul edilmi¸stir.

Prof. Dr. Feyzi BAS¸AR ———————————–

Ba¸skan

Prof. Dr. ˙Ihsan SOLAK Do¸c. Dr. Mikail ET

———————————– ———————————–

¨

Uye Uye¨

Do¸c. Dr. H¨usamettin COS¸KUN Do¸c. Dr. A. Refik BAHADIR

——————————————– ——————————————–

¨

Uye Uye¨

————————————————————————————————— Onay

Yukarıdaki imzaların adı ge¸cen ¨o˘gretim ¨uyelerine ait oldu˘gunu onaylarım. ... / ... / 2006

(˙Imza)

Prof. Dr. Ali S¸AH˙IN Enstit¨u M¨ud¨ur¨u

(3)
(4)

¨

OZET

Doktora Tezi

¨

OZEL FONKS˙IYONLAR YARDIMIYLA TANIMLANMIS¸ BAZI YEN˙I D˙IZ˙I UZAYLARI

Murat CANDAN ˙In¨on¨u ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalı

111+vii sayfa 2005

Danı¸sman: Prof. Dr. ˙Ihsan SOLAK

Be¸s b¨ol¨umden meydana gelen bu ¸calı¸smada, (X, q) yarınormlu uzayı ¨uzerinde f mod¨ul¨us ve M Orlicz fonksiyonları kullanılarak w ˆA, p, f, q, s, w ˆA, p, M, q, s, w  ∆r, ˆA, p, M, q, s  ve w  ∆r, ˆA, p, f, q, s 

dizi uzayları tanımları verildi.

Birinci b¨ol¨umde, ileriki b¨ol¨umlerde kullanılacak olan temel kavramlar ve Fonksiyonel Analizin bazı ¨onemli ara¸cları yer almaktadır.

˙Ikinci b¨ol¨umde, ilk olarak mod¨ul¨us fonksiyonunun ¸calı¸smamızda kullandı˘gımız bazı ¨ozelikleri verildi. Daha sonra (X, q)’nun tam olması durumunda w0 ˆA, p, f, q, s

 nin tam paranormlu uzay oldu˘gu g¨osterilerek bazı kapsama ba˘gıntıları verildi. Son olarakta w ˆA, p, fv, q, s dizi uzayı olu¸sturulup, v, m ∈ N nin durumlarına g¨ore

w ˆA, p, fv, q, s ve w ˆA, p, fm, q, sdizi uzayları arasındaki ba˘gıntılar incelendi.

¨

U¸c¨unc¨u b¨ol¨um¨un ilk kısmında, M.A. Krasnosel’skii & Y.B. Rutickii’nin ve daha sonraları M.M. Rao & Z.D. Ren’in ayrıntılı olarak inceledi˘gi, konveks fonksiyonların ¨

ozel bir sınıfında yer alan Orlicz fonksiyonlarının bazı ¨ozelikleri sunuldu.

D¨ord¨unc¨u b¨ol¨umde r ∈ N, ∆xk = xk − xk+1, ∆rxk = ∆r−1xk − ∆r−1xk+1,

ve M Orlicz fonksiyonu olmak ¨uzere w0

 ∆r, ˆA, p, M, q, s, w∆r, ˆA, p, M, q, s, w∞  ∆r, ˆA, p, M, q, s 

genelle¸stirilmi¸s fark dizi uzayları tanımlanıp, bu uzayların bazı ¨ozelikleri incelenmi¸stir.

(5)

Son b¨ol¨umde r ∈ N, ∆xk = xk − xk+1, ∆rxk = ∆r−1xk − ∆r−1xk+1, ve f

mod¨ul¨us fonksiyonu olmak ¨uzere w0

 ∆r, ˆA, p, f, q, s  , w  ∆r, ˆA, p, f, q, s  , w∞ 

∆r, ˆA, p, f, q, sgenelle¸stirilmi¸s fark dizi uzayları tanımlanıp, bu uzayların bazı

¨

ozelikleri incelenmi¸stir.

ANAHTAR KEL˙IMELER: Dizi uzayı, Mod¨ul¨us fonksiyonu, Orlicz fonksiyonu, paranormlu uzay, fark dizi uzayı.

(6)

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

SOME NEW SEQUENCE SPACES DEFINED BY SPECIAL FUNCTIONS

Murat CANDAN ˙In¨on¨u University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

111+vii pages 2005

Supervisor: Prof. Dr. ˙Ihsan SOLAK

In this study, the definitions of the sequence spaces w ˆA, p, f, q, s, w ˆA, p, M, q, s, w∆r, ˆA, p, M, q, sand wr, ˆA, p, f, q, sare given by using f

modulus and M Orlicz functions on a semi-normed space (X, q) . This work consists of five chapters.

First chapter is devoted to the fundamental concepts and some Functional Analysis tools which will be used in the following chapters.

In the second chapter, some properties of modulus function are established. Furthermore in the case of (X, q) is complete, we showed that the sequence space w0 ˆA, p, f, q, s



is complete and in addition to this some inclusion relations are also given. Finally, by constructing the sequence spaces w ˆA, p, fv, q, s



, the relations between the sequence spaces w ˆA, p, fv, q, s and w ˆA, p, fm, q, s are examined,

where v, m ∈ N.

In the third chapter, certain attributes of Orlicz functions which are taken part in the special classes of convex functions and studied in detail by M.A. Krasnosel’skii & Y.B. Rutickii and later M.M. Rao & Z.D. Ren, are introduced. Most of the chapter devoted to investigation of the space w ˆA, p, M, q, s



which is a subspace of s defined by an Orlicz function.

In the fourth chapter, the generalized difference sequence spaces w0  ∆r, ˆA, p, M, q, s, wr, ˆA, p, M, q, s and w ∞  ∆r, ˆA, p, M, q, s are defined

(7)

and some of their properties are investigated, where ∆x = xk − xk+1, ∆rxk =

∆r−1x

k− ∆r−1xk+1, r ∈ N and M is an Orlicz function.

In the last chapter, the generalized difference sequence spaces w0



∆r, ˆA, p, f, q, s,

w∆r, ˆA, p, f, q, sand w



∆r, ˆA, p, f, q, sare defined and some of their properties

are investigated, where ∆x = xk− xk+1, ∆rxk = ∆r−1xk− ∆r−1xk+1, r ∈ N and f

is a modulus function.

KEY WORDS: Sequence space, Modulus function, Orlicz function, paranormed space, difference sequence space.

(8)

TES

¸EKK ¨

UR

Beni bu konuda ¸calı¸smaya te¸svik ederek, bilgi ve tecr¨ubeleriyle y¨onlendiren tez danı¸smanım Prof. Dr. ˙Ihsan Solak’a, B¨ol¨um Ba¸skanımız Prof. Dr. Sadık Kele¸s’e ve bu ¸calı¸smayı ba¸stan sona ayrıntılarıyla inceleyip tavsiyede bulunan hocam Prof. Dr. Rıfat C¸ OLAK’a, zaman zaman kar¸sıla¸stı˘gım problemleri tartı¸smak i¸cin bana zamanını ve bilgilerini sunan arkada¸slarım Dr. Kemal ¨Ozdemir’e ve Dr. Yılmaz Yılmaz’a, ayrıca bu ¸calı¸smanın bilgisayar ortamına alınmasında bana yardım eden t¨um arkada¸slarıma ve aileme te¸sekk¨urlerimi sunarım.

(9)

˙IC

¸ ˙INDEK˙ILER

¨ OZET i ABSTRACT iii TES¸EKK ¨UR v ˙IC¸ ˙INDEK˙ILER vi G˙IR˙IS¸ 1 1 TEMEL KAVRAMLAR 4

1.1 Bazı Topolojik Kavramlar . . . 4

2 MOD ¨UL ¨US D˙IZ˙I UZAYLARI 12 2.1 Banach Limitleri ve Hemen Hemen Yakınsaklık . . . 12

2.2 Mod¨ul¨us Fonksiyonu . . . 14

2.3 Mod¨ul¨us Fonksiyonu Yardımıyla Tanımlanmı¸s Yeni Dizi Uzayları . . . 18

2.4 w³A, p, fˆ v, q, s´ Uzayı ¨Uzerine Ba˘gıntılar . . . 37

3 ORLICZ D˙IZ˙I UZAYLARI 43 3.1 Orlicz Fonksiyonu . . . 43

3.2 lM Orlicz Dizi Uzayı . . . 45

3.2.1 lM Dizi Uzayı . . . 45

3.2.2 lM(p) Dizi Uzayı . . . 46

3.3 Orlicz Fonksiyonu Yardımıyla Tanımlanmı¸s Yeni Dizi Uzayları . . . . 47

3.4 w ³ ˆ A, p, Mv, q, s´ Uzayı ¨Uzerine Ba˘gıntılar . . . 60

4 w0(∆r, ˆA, p, M, q, s), w(∆r, ˆA, p, M, q, s), w∞(∆r, ˆA, p, M, q, s) FARK D˙IZ˙I UZAYLARI 66 4.1 Orlicz Fonksiyonu ˙Ile Tanımlanmı¸s ∆r− Fark Dizi Uzayları . . . 66

(10)

5 w0(∆r, ˆA, p, f, q, s), w(∆r, ˆA, p, f, q, s), w∞(∆r, ˆA, p, f, q, s) FARK D˙IZ˙I

UZAYLARI 84

5.1 Mod¨ul¨us Fonksiyonu ˙Ile Tanımlanmı¸s ∆r− Fark Dizi Uzayları . . . . 84 5.2 w³∆r, ˆA, p, fv, q, s´ D˙IZ˙I UZAYI . . . 103

KAYNAKLAR 107

¨

(11)

G˙IR˙IS

¸

Kompleks sayıların t¨um sonsuz dizilerinin w uzayı ¨uzerinde l, lp, l (p) ve

l (p, s) dizi uzayları tanımlanmı¸s ve bu uzaylar ¨uzerinde bir ¸cok ¸calı¸smalar yapılmı¸stır [6, 26, 39]. Di˘ger taraftan [c, 1] , [c, 1, p] , w (A), [A, p] , h ˆA, pi ve  ˆA, p toplanabilme metodları ¨uzerinde de bir hayli ¸calı¸smalar bulunmaktadır [7, 21, 29, 31, 34, 42]. Bir ¸cok matematik¸ci mod¨ul¨us ve Orlicz fonksiyonlarını kullanarak bu uzaylar ¨uzerinde yeni ¸calı¸smalar yapmaktadır.

Mod¨ul¨us fonksiyonunun tanımı ilk olarak 1953 yılında Nakano [37] tarafından verildi ve Ruckle [51] 1973 de f mod¨ul¨us fonksiyonu yardımıyla L (f ) dizi uzayını tanımladı. 1986 da Maddox [32] kuvvetli Ces`aro toplanabilme tanımının genelle¸stirmesi olan, mod¨ul¨use g¨ore kuvvetli Ces`aro toplanabilen dizilerin sınıfını w (f ) olarak tanımladı. 1989 da Connor [7], Maddox’un tanımındaki Ces`aro matrisi yerine, herhangi negatif olmayan bir reg¨uler matris toplanabilme metodu alarak, w (A, f ) toplanabilme metoduna genelle¸stirdi. Mod¨ul¨us fonksiyonu fikri bir ¸cok yazar tarafından ele alınmı¸s ve bu fonksiyonla elde edilen dizi uzayları incelenmi¸stir. Biz bu ¸calı¸smamızın birinci b¨ol¨um¨unde seminormlu uzay ¨uzerinde f bir mod¨ul¨us fonksiyonu p = (pk) pozitif terimli bir dizi ve A = (amk) terimleri negatif

olmayan sonsuz bir matris olmak ¨uzere ileride daha detaylı a¸cıklaması yapılan bazı toplanabilme metodlarının bir genelle¸stirmesi olan w0 ˆA, p, f, q, s



, w ˆA, p, f, q, s  ve w∞ ˆA, p, f, q, s



toplanabilme metodu tanımlarını ve ayrıca bu tanımlardan hareketle bir ¸cok teorem verdik. 1992 de Bilgin [4] v ∈ N olmak ¨uzere fv’nin de bir mod¨ul¨us fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterdi. Bu ger¸cekten hareketle birinci b¨ol¨um¨un ikinci kısmında w0 ˆA, p, fv, q, s  , w ˆA, p, fv, q, s  ve w∞ ˆA, p, fv, q, s  dizi uzaylarını tanımlamak suretiyle v’nin ¸ce¸sitli durumlarını i¸ceren teoremleri ifade ve ispat ettik.

(12)

1934 de G. Hardy & J. Littlewood & G. Polya tarafından yazılan, ”Inequalities” isimli eserde konveks fonksiyonlar ayrıntılı olarak incelenmi¸stir. 1931 yılında Z.W. Birnbaum & W. Orlicz, ” ¨Uber die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugierten Potenzen”isimli ¸calı¸smayla konveks fonsiyonların ¨ozel bir sınıfında yer alan N −fonksiyonları tanımlamı¸stır. N −fonksiyonların ayrıntılı bir incelemesi, 1961 de M. A. Krasnosel’skii & Y. B. Rutickii [20] tarafından ”Convex Functions and Orlicz Spaces” adlı ¸calı¸smayla yapılmı¸stır. 1991 de M. M Rao & Z. D. Ren [49] ,”Theory of Orlicz Spaces” adlı ¸calı¸smada, N −fonksiyonların daha kapsamlı ve sistematik bir incelemesini verdiler. Bir N −fonksiyon ile Orlicz fonksiyonu arasında ¸cok yakın bir ili¸ski vardır.

M (a) = 0 olacak ¸sekildeki her konveks fonksiyonun

M (u) =

u

Z

a

p (t) dt

¸seklinde bir integral g¨osterimine sahip olması, bu konveks fonksiyonun sahip oldu˘gu ¨

ozellikleri, p (t) fonksiyonu ile inceleme imkanı tanır.

W. Orlicz, lp uzayının in¸sasında tp fonksiyonunun rol oynamasından esinlenerek,

tp yerine daha genel bir M fonksiyonu alıp,

X

k=1

M (|ak|) serisi yakınsak olacak

¸sekildeki t¨um (ak) dizilerinin c¨umlesinde ¸calı¸sılabilece˘gi fikrini do˘gal bularak, bu

¸sekildeki dizilerin c¨umlesinin bir Banach uzayı yapısına sahip olması i¸cin M ¨uzerinde ne gibi kısıtlamalar yapılması gerekti˘gini ara¸stırmı¸stır. Bu y¨uzden, s¨oz konusu fonsiyon, Orlicz fonksiyonu ve bu fonksiyon ile tanımlanan uzay, Orlicz dizi uzayı olarak adlandırılmı¸stır.

S.D. Parashar & B. Choudhary [45], 1994 yılında, pozitif reel sayıların sınırlı bir (pk) dizisini kullanarak, lM uzayının, bir ρ > 0 reel sayısı i¸cin

∞ X k=1 h M  |ak| ρ ipk

serisi yakınsak olacak ¸sekildeki (ak) dizilerinin uzayı olan lM (p) ye genelle¸stirmesini

verdiler. Ayrıca ¨uzerinde tanımladıkları bir paranormla lM(p) uzayının tam oldu˘gunu

da g¨osterdiler.

Bu ¸calı¸smalardan yararlanarak ¨u¸c¨unc¨u b¨ol¨umde M bir Orlicz fonksiyonu, p = (pk) pozitif terimli bir dizi ve A = (amk) terimleri negatif olmayan sonsuz

bir matris olmak ¨uzere w0 ˆA, p, M, q, s



, w ˆA, p, M, q, s ve w∞ ˆA, p, M, q, s

(13)

toplanabilme metodu tanımlarını verip ¸ce¸sitli hipotezler altında teoremleri ifade ve ispat ettik. 2003 de ¨Ozdemir [43] v ∈ N olmak ¨uzere Mv’nin de bir Orlicz

fonksiyonu oldu˘gunu g¨osterdi. Biz de Mv Orlicz fonksiyonunu kullanarak ¨u¸c¨unc¨u

b¨ol¨um¨un son kısmında w0 ˆA, p, Mv, q, s



, w ˆA, p, Mv, q, sve w

∞ ˆA, p, Mv, q, s

 dizi uzaylarını tanımlayarak v’nin ¸ce¸sitli durumlarına g¨ore teoremleri ifade ve ispat ettik.

Kızmaz [18] ∆x = (∆xk) = (xk− xk+1) ve X = l∞, c veya c0 olmak ¨uzere

X (∆) = {x : ∆x ∈ X}

uzaylarını tanımladı ve kxk = supk≥0|xk| olmak ¨uzere, bu uzayların kxk = |x1| +

k∆xk normu ile Banach uzayı yapısına sahip oldu˘gunu ispatladı. Sonra Et ve C¸ olak [10] ∆rx = (∆rxk) = (∆r−1xk− ∆r−1xk+1) =   r X v=0 (−1)v   r v  xk+n  , ve X = l∞, c veya c0 olmak ¨uzere

∆r(X) = {x : ∆rx ∈ X}

uzaylarını tanımlayıp Kızmaz’ın tanımladı˘gı uzayları genelle¸stirdiler. 1999 da Mursaleen, Mushir A. Khan ve Qamaruddin [36], fark dizi uzaylarını Orlicz fonksiyonunu kullanarak genelle¸stirdiler. Bu ¸calı¸smaların do˘grultusunda tezin d¨ord¨unc¨u ve be¸sinci b¨ol¨um¨unde, ∆rfark operat¨or¨u yardımıyla, M Orlicz fonksiyonunu

kullanarak w0  ∆r, ˆA, p, M, q, s, wr, ˆA, p, M, q, s, w ∞  ∆r, ˆA, p, M, q, s dizi

uzaylarını ve f mod¨ul¨us fonksiyonunu kullanarak w0



∆r, ˆA, p, f, q, s,

w∆r, ˆA, p, f, q, s ve w



∆r, ˆA, p, f, q, s dizi uzaylarını tanımladık. r’nin

durumlarına g¨ore bu uzaylar arasındaki kapsama ili¸skilerinden bahsedip, parantez i¸cindeki parametrelerin ¸ce¸sitli durumlarına g¨ore teoremleri ifade ve ispat ettik.

(14)

B ¨

OL ¨

UM 1

TEMEL KAVRAMLAR

1.1

Bazı Topolojik Kavramlar

Bu b¨ol¨umde ¸calı¸smamız boyunca kullanaca˘gımız temel tanım, teorem, lemma ve e¸sitsizliklere yer verilmi¸stir.

Tanım 1.1.1. X bo¸s olmayan bir c¨umle ve F kompleks ya da reel sayıların bir cismi olmak ¨uzere

+ : X × X → X · : F × X → X

i¸slemleri her x, y, z ∈ X ve her α, β ∈ F i¸cin a¸sa˘gıdaki ¨ozelikleri ger¸cekliyor ise X c¨umlesine F skaler cisim ¨uzerinde bir vekt¨or uzayı (lineer uzay) denir.

i) x + y ∈ X (kapalı i¸slem)

ii) x + y = y + x (kom¨utatif i¸slem)

iii) (x + y) + z = x + (y + z) (asosiyatif i¸slem)

iv) x + 0 = x olacak ¸sekilde 0 ∈ X vardır (birim eleman) v) x + (−x) = 0 olacak ¸sekilde −x ∈ X vardır (ters eleman) vi) αx ∈ X (kapalı i¸slem)

vii) (αβ) x = α (βx) (asosiyatif i¸slem)

viii) (α + β) x = αx + βx, α (x + y) = αx + αy (distrib¨utif i¸slem) ix) 1 · x = x [56].

(15)

Tanım 1.1.2. X bir vekt¨or uzayı ve Y ⊆ X olsun. X deki i¸slemlere g¨ore Y alt c¨umlesi de bir vekt¨or uzayı ise Y c¨umlesi bir alt uzay adını alır. Alt uzaylar bazen lineer katman olarak da adlandırılırlar. [56]

Lemma 1.1.1. Bir Y ⊆ X alt c¨umlesinin bir alt uzay olabilmesi i¸cin gerek ve yeter ko¸sullar

i) Her x, y ∈ Y i¸cin x + y ∈ Y

ii) Her α ∈ F ve her x ∈ Y i¸cin αx ∈ Y dir.

Bu ko¸sullar her α, β ∈ F ve her x, y ∈ Y i¸cin αx + βy ∈ Y olmasına denktir [56].

Metrik uzay kavramı ilk olarak Fr`echet tarfından 1906 da ortaya atılmı¸stır. Ancak metrik uzay deyimini ilk kullanan Hausdorff olmu¸stur.

Tanım 1.1.3. X bo¸s olmayan bir c¨umle olsun. Her x, y, z ∈ X i¸cin i) d (x, x) = 0

ii) d (x, y) = 0 ⇒ x = y iii) d (x, y) = d (y, x)

iv) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) ¨

ozeliklerine sahip d : X × X → R fonksiyonuna metrik ve (X, d) ikilisine de metrik uzay denir. (i) , (iii) , (iv) ¸sartlarını sa˘glayan d fonksiyonuna bir yarı metrik denir [26].

Tanım 1.1.4. X, C cismi ¨uzerinde bir lineer uzay olsun. Her x, y ∈ X i¸cin i) g (0) = 0

ii) g (−x) = g (x)

(16)

iv) λn → λ0 (n → ∞) ve g (xn− x0) → 0 (n → ∞) iken g (λnxn− λ0x0) →

0 (n → ∞) (burada λn, λ0 ∈ F ve xn, x0 ∈ X dir.)

¸sartlarını sa˘glayan g : X → R fonsiyonuna bir paranorm, (X, g) ikilisine de paranormlu uzay denir [26].

Tanım 1.1.5. Paranorm ayrıca g (x) = 0 ⇒ x = 0 ¸sartını da sa˘glıyorsa paranorma totaldir denir [59].

Tanım 1.1.6. d yarımetri˘gi

d (x, y) = g (x − y)

¸seklinde bir paranormdan elde edilmi¸s ise d ye invaryant yarımetrik denir. [26] Tanım 1.1.7. Yarımetri˘gi bir paranormdan elde edilebilen lineer uzaya, lineer yarımetrik uzay ve yarımetri˘gi bir total paranormdan elde edilebilen lineer uzaya, lineer metrik uzay denir [26].

Tanım 1.1.8. X, C karma¸sık sayılar cismi ¨uzerinde bir lineer uzay olsun. Her λ ∈ C ve x, y ∈ X i¸cin

q (λx) = |λ| q (x) (mutlak homojenlik) q (x + y) ≤ q (x) + q (y) (¨u¸cgen e¸sitsizli˘gi)

¸sartlarını sa˘glayan q : X → R fonksiyonuna bir yarınorm, (X, q) ikilisine de yarınormlu uzay denir. (i) ve (ii) ¸sartlarının yanında q (x) = 0 ⇒ x = 0 ¸sartı da sa˘glanıyorsa, q = k·k fonksiyonuna norm, (X, k·k) ikilisine de normlu uzay denir [26].

Tanım 1.1.9. q1 ve q2, X ¨uzerinde iki yarınorm olsun. q1in q2 den kuvvetli olması

i¸cin gerek ve yeter ¸sart her u ∈ X i¸cin,

q2(u) ≤ M q1(u)

(17)

Yakınsak diziler bir noktaya ¸cok yakla¸stıklarından dizinin ¨uyeleri de giderek birbirlerine yakla¸smalıdır. Bu ¨ozeli˘gi ¨ol¸cmek i¸cin sistematik bir yakla¸sım ilk kez Fransız matematik¸cilerin en b¨uy¨uklerinden biri olan Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) tarafından geli¸stirildi˘ginden bu ¨ozeli˘ge sahip diziler Cauchy dizisi olarak adlandırılır.

Tanım 1.1.10. Bir (X, d) metrik uzayında bir (xn) dizisi, her  > 0 sayısına

kar¸sı gelen bir N () pozitif tamsayısı m, n ≥ N e¸sitsizli˘gini sa˘glayan t¨um m ve n tamsayıları i¸cin

d (xm, xn) < 

olacak ¸sekilde bulunabiliyorsa bir Cauchy dizisi adını alır. Cauchy dizilerinin yukarıdaki tanımda d (xm, xn) ≤  alarakta belirlenebilece˘gine dikkat edilmelidir.

Buna g¨ore Cauchy dizileri kabaca elemanları gittik¸ce birbirine yakla¸san diziler olarak yorumlanabilir [56].

Hemen g¨orebildi˘gimiz gibi yakınsak her dizi bir Cauchy dizisidir. Ancak bu ¨

ozelli˘gin tersi genelde do˘gru de˘gildir yani bir dizinin Cauchy dizisi olması her zaman yakınsadı˘gı anlamına gelmez. Bununla beraber Cauchy dizilerinin ilgin¸c bazı ¨

ozelliklerinin varlı˘gı kolayca g¨ozlenebilir.

Lemma 1.1.2. Bir metrik uzayda her Cauch dizisi sınırlıdır [26, 56, 58].

Lemma 1.1.3. Bir metrik uzayda bir Cauchy dizisinin yakınsak bir alt dizisi varsa kendisi de yakınsaktır [26, 56, 58].

Tanım 1.1.11. Bir metrik uzayda, her Cauchy dizisi metrik uzayın bir noktasına yakınsıyorsa metrik uzaya tamdır denir. Daha a¸cık ifade etmek gerekirse, i, j → ∞ i¸cin d (xi, xj) → 0 oldu˘gunda, i → ∞ i¸cin d (xi, x) → 0 olacak ¸sekilde bir x ∈ X

varsa metrik uzaya tamdır denir [26, 56, 58].

Tanım 1.1.12. k·k normuyla tam olan (X, k·k) normlu lineer uzayına Banach uzayı denir [26].

(18)

Tanım 1.1.13. X, F cismi ¨uzerinde bir lineer uzay olsun. X den F ye olan bir f d¨on¨u¸s¨um¨u her α, β ∈ F ve x, y ∈ X i¸cin

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) ¨

ozelli˘gini sa˘glarsa f ye X ¨uzerinde bir lineer fonsiyonel denir. E˘ger f (x + y) ≤ f (x) + f (y)

f (αx) = αf (x)

birlikte sa˘glanıyorsa f ye alt lineer fonsiyonel adı verilir [26, 56, 58].

Hahn-Banach teoremi kısıtlı bir kapsamda 1927 de Avusturya’lı matematik¸ci Hans Hahn (1979-1934), daha genel bir teorem olarak ta 1929 da Polonya’lı matematik¸ci Stefan Banach (1892-1945) tarafından g¨osterilmi¸stir.

Teorem 1.1.1. (Hahn-Banach Teoremi) g, X lineer uzayında her x ∈ X i¸cin tanımlı bir alt lineer fonksiyonel ise her x ∈ X i¸cin f (x) ≤ g (x) olacak ¸sekilde X de tanımlı bir f lineer fonsiyoneli vardır. Ayrıca X deki her x i¸cin g (−x) = −g (x) ise f fonsiyoneli, x0 ∈ X olmak ve a, 0≤ a ≤ g (x0) , g (x0) > 0 ko¸sulunu ger¸cekleyen

bir sayı olmak ¨uzere f (x0) = a olacak ¸sekilde se¸cebiliriz [59].

Hahn-Banach teoreminin reel de˘gerli b¨ut¨un sınırlı dizilerin l∞ lineer uzayına

uygulanması, Banach limiti kavramının do˘gmasına yol a¸cmı¸stır ve Banach limitleri ilk olarak 1932 de Banach [1] tarafından verilmi¸stir.

Tanım 1.1.14. Bir L : l∞→ R lineer fonsiyoneli a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glıyorsa, L

ye bir Banach limiti denir.

i) n = 0, 1, 2, · · · i¸cin xn≥ 0 ise L (x) ≥ 0,

ii) n = 0, 1, 2, · · · i¸cin xn≥ 0 ise L (xn+1) = L (xn) ,

iii) L (e) = 1, e = (1, 1, 1, · · · ) [1].

Tanım 1.1.15. w kompleks (ya da reel) terimli dizilerin uzayı ve E, w nin herhangi bir lineer alt uzayı olsun. Bu taktirde E nin ¸carpım uzayı

M [E] = {a ∈ w : ax ∈ E, her x ∈ E i¸cin} olarak tanımlanır [32].

(19)

Tanım 1.1.16. w kompleks ya da reel terimli dizilerin uzayı ve E, w nin herhangi bir lineer alt uzayı olsun. Bu taktirde E’nin β duali

Eβ = (

a ∈ w :X

k

akxk yakınsak, her x ∈ E i¸cin

)

olarak tanımlanır [26].

Tanım 1.1.17. w kompleks terimli b¨ut¨un dizilerin uzayını g¨ostermek ¨uzere, X ve Y , w nin iki alt uzayı ve A = (ank) (n, k = 1, 2, · · · ) sonsuz bir matris olsun.

E˘ger her x = (xk) ∈ X dizisi i¸cin An(x) = Pkankxk her n i¸cin yakınsak ve

Ax = (An(x)) ∈ Y ise A = (ank) matrisine X den Y ye bir matris d¨on¨u¸s¨um¨u

tanımlıyor denir ve bu A ∈ (X, Y ) ile g¨osterilir [38].

Tanım 1.1.18. Yakınsak bir diziyi, limiti koruyarak yakınsak bir diziye d¨on¨u¸st¨uren bir A matrisine reg¨ulerdir denir ve A ∈ (c, c, p) ile g¨osterilir [47].

(c, c, p) sınıfını karekterize eden sonu¸c ¨unl¨u Silverman-Toeplitz teoremidir. S

¸artların gereklili˘gini Alman matematik¸ci Otto Toeplitz (1881-1940) ¸sartların yeterlili˘gini Silverman ispatlamı¸stır.

Teorem 1.1.2. (Silverman-Toeplitz) Bir A = (amk) matrisinin reg¨uler olması i¸cin

gerek ve yeter ¸sartlar

i) Her m i¸cin

X

k=1

|amk| < K olacak ¸sekilde bir K sabiti var

ii) Her k i¸cin limm→∞amk = 0.

iii) limm→∞ ∞ X k=1 amk = 1 dir [47].

Tanım 1.1.19. (an) kompleks sayıların bir dizisi olsun. E˘ger

lim n→∞ 1 n + 1 n X k=0 ak= L

(20)

mevcut ise, (an) dizisi L ye Ces`aro yakınsaktır veya (C, 1) yakınsaktır denir. Benzer

¸sekilde kısmi toplamlar dizisi (sn) olan birP ak serisi verilmi¸s olsun. P ak serisinin

veya (sn) dizisinin ank =    1 n , k ≤ n 0 , k > n

olmak ¨uzere A = (ank) matrisi yardımıyla elde edilen (tn) d¨on¨u¸s¨um dizisi

tn= 1 n n X k=1 sk

olarak tanımlanır. Daha kısa s¨oylemek gerekirse bir serinin (C, 1) yakınsak olabilmesi i¸cin serinin kısmi toplamlar dizisinin (C, 1) yakınsak olması gerekir [48].

Bu tanım ˙Italyan matematik¸ci Ernesto Ces`aro (1859-1906) tarafından verilmi¸stir. Teorem 1.1.3. (Ortalama De˘ger Teoremi) q, I = [a, b] ¨uzerinde s¨urekli bir fonsiyon ve r, I ¨uzerinde integrallenebilen negatif olmayan bir fonsiyon olsun. Bu durumda

b Z a q (t) r (t) dt = q (c) b Z a r (t) dt

olacak ¸sekilde bir c ∈ I vardır [50].

Lemma 1.1.4. Her k i¸cin ak, bk ∈ C ve pk > 0 olsun. H = sup pk olmak ¨uzere

|ak+ bk| pk ≤ C {|a k| pk + |bk| pk}

e¸sitsizli˘gi sa˘glanır, burada C = max 1, 2H−1 dir [26].

Lemma 1.1.5. ak, bk ≥ 0, k = 1, 2, · · · , n olmak ¨uzere 0 < pk ≤ 1 ise n X k=1 (ak+ bk) pk n X k=1 apk k + n X k=1 bpk k dir [26, 56].

Uygulamada olduk¸ca yararlı bir e¸sitsizli˘gi Alman matematik¸ci Hermann Minkowski (1864 − 1909) elde etmi¸stir.

(21)

Lemma 1.1.6. (Minkowski E¸sitsizli˘gi) ak, bk ≥ 0, k = 1, 2, · · · , n ve pk ≥ 1 ise n X k=1 (ak+ bk) pk !pk1 ≤ n X k=1 apk k !pk1 + n X k=1 bpk k !pk1 dir [26, 56]. Tanım 1.1.20. α ∈ R ve n = 0, 1, 2, · · · i¸cin   α n  = α (α − 1) · · · (α − n + 1) n!

¸seklinde tanımlanan sayılara binom katsayıları denir. E˘ger n ve k birer do˘gal sayı ise n ≤ k i¸cin

  k n  = k! (k − n)!n! ve n > k ise   k n  = 0 dır [16].

Lemma 1.1.7. H (n) , n ye ba˘glı bir ¨onerme olsun. E˘ger H (n) ¨onermesi n = 1 i¸cin do˘gru ise ve ¨onermenin n i¸cin do˘grulu˘gu kabul edildi˘ginde n + 1 i¸cin de do˘grulu˘gu ispatlanabiliyorsa, H (n) ¨onermesi her n do˘gal sayısı i¸cin do˘grudur .

(22)

B ¨

OL ¨

UM 2

MOD ¨

UL ¨

US D˙IZ˙I UZAYLARI

2.1

Banach Limitleri ve Hemen Hemen Yakınsaklık

¨

Onemli ara¸stırmaların birisinde Lorentz, Banach limitleri kavramını kullanarak hemen hemen yakınsak dizilerin ˆc uzayını tanımlamı¸stır. E˘ger x ∈ l∞ ve infimum,

do˘gal sayıların b¨ut¨un n (1) , n (2) , · · · , n (r) c¨umleleri ¨uzerinden alınmak ¨uzere q (x) = inf lim sup

k r−1 r X i=1 xk+n(i) (2.1.1)

ise, bir L Banach limiti, her x ∈ l∞ i¸cin

L (x) ≤ q (x)

e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak ¸sekilde, l∞ ¨uzerinde bir lineer fonksiyonel olarak

adlandırılabilir. Bu tanıma g¨ore L (x) = L (xn) limitinin a¸sa˘gıdaki ¨ozeliklere sahip

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur:

i) xn ≥ 0 ise L (x) ≥ 0

ii) L (xn+1) = L (xn)

iii) e = (1, 1, 1, · · · ) olmak ¨uzere L (e) = 1 dir.

Bu limite ili¸skin olarak, Lorentz hemen hemen yakınsaklık tanımını a¸sa˘gıdaki ¸sekilde yapmı¸stır: x = (xn) dizisinin bir l sayısına hemen hemen yakınsak olması

i¸cin gerek ve yeter ko¸sul, b¨ut¨un L Banach limitleri i¸cin L (x) = l olmasıdır.

1948 de Lorentz, x in l ye hemen hemen yakınsak olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun, 1 m m X k=1 xn+k → l (m → ∞) n’ ye g¨ore d¨uzg¨un (2.1.2)

oldu˘gunu ispatlamı¸stır. Yani ˆ c = ( x : lim m 1 m m X k=1

xn+k mevcut, n’ ye g¨ore d¨uzg¨un

(23)

dir [23]. Das, Mısra [8], Duran [9], King [19], Nanda [40, 41], Sava¸s [54] ve daha bir¸cok matematik¸ci hemen hemen yakınsak dizileri incelediler.

Bir x = (xk) dizisi i¸cin

lim m 1 m m X k=1 |xk− l| = 0

ise x = (xk) dizisine, kuvvetli Ces`aro toplanabilirdir denir. Kuvvetli Ces`aro

toplanabilen dizilerin uzayı Kuttner [21] tarfından incelendi ve Maddox [29, 34, 35] bu kavramı genelle¸stirdi.

Yakınsaklı˘gın, kuvvetli yakınsaklı˘ga yol a¸cması gibi hemen hemen yakınsaklı˘gın da yeni bir tip yakınsaklık olan, kuvvetli hemen hemen yakınsaklı˘ga yol a¸cması beklentisi, (2.1.1) de toplam i¸cindeki xk+n(i) yerine bunun mutlak de˘gerinin

konulması halinde ortaya ¸cıkan durumun incelenmesini d¨u¸s¨und¨urm¨u¸s ve bu nedenle

Q (x) = inf lim sup

k r−1 r X i=1 xk+n(i)

ifadesi g¨oz¨on¨une alınmı¸stır. Bu ise (2.1.2) yi buna g¨ore uyarlamayı ve 1

m

m

X

k=1

|xn+k− l| → 0 (m → ∞) n’ye g¨ore d¨uzg¨un (2.1.3)

limitini incelemeyi d¨u¸s¨und¨urmekte ve kuvvetli hemen hemen yakısaklık olarak adlandırılan kavrama y¨onelten (2.1.3) ifadesi olmaktadır.

Maddox [24, 30], kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin c¨umlesini

[ˆc] = ( x : lim m 1 m m X k=1

|xn+k− l| = 0, n’ye g¨ore d¨uzg¨un

)

ile ve sıfıra kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin c¨umlesini de

[ˆc0] = ( x : lim m 1 m m X k=1

|xn+k| = 0, n’ye g¨ore d¨uzg¨un

)

olarak g¨osterdi ve inceledi. [ˆc0] ⊂ [ˆc] oldu˘gu a¸cıktır.

l∞ ile kxk = sup |xk| olmak ¨uzere b¨ut¨un sınırlı kompleks x = (xk) dizilerinin

Banach uzayını g¨osterece˘giz. c ve ˆc ile de, sırasıyla, yakınsak ve hemen hemen yakınsak dizilerin uzaylarını belirtece˘giz. Kompleks bir x = (xk) dizisinin bir l

(24)

tanımlandı˘gını ve [ˆc] ile de kuvvetli hemen hemen yakınsak b¨ut¨un dizilerin uzayının g¨osterildi˘gi hatırlanırsa

[ˆc] ⊂ ˆc

oldu˘gu a¸cıktır. Ayrıca i¸cermenin kesinli˘gi kolayca g¨osterilebilir. Bununla birlikte [ˆc], l∞ un kapalı bir altuzayı olup, kesin i¸cerme ba˘gıntısıyla

c ⊂ [ˆc] ⊂ ˆc ⊂ l∞

yazabiliriz.

Kuvvetli hemen hemen toplanabilen dizilerin uzayı Nanda [41] tarafından genelle¸stirildi. p = (pk) pozitif reel sayıların bir dizisi olmak ¨uzere [ˆc, p]0, [ˆc, p] ,

[ˆc, p] sırası ile sıfıra kuvvetli hemen hemen toplanabilen, kuvvetli hemen hemen toplanabilen ve kuvvetli hemen hemen sınırlı dizilerin uzayı g¨osterilmektedir. Nanda [41], bahsi ge¸cen uzayları a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımladı.

[ˆc, p]0 = ( x : lim m 1 m m X k=1 |xn+k|

pk = 0, n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) [ˆc, p] = ( x : lim m 1 m m X k=1

|xn+k− l|pk = 0, n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) [ˆc, p] = ( x : sup m 1 m m X k=1

|xn+k|pk < ∞, n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) .

Nanda’nın [ˆc, p] uzayında her k i¸cin pk = 1 alınırsa Maddox’un [ˆc] uzayı

elde edilir.

2.2

Mod¨

ul¨

us Fonksiyonu

Tanım 2.2.1. f : [0, ∞) → [0, ∞) fonsiyonu a¸sa˘gıdaki ¨ozelikleri sa˘glıyorsa f ye bir mod¨ul¨us fonksiyonu denir. Her x, y ∈ [0, ∞) i¸cin

i) f (x) = 0 ⇔ x = 0 ii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) iii) f artandır

(25)

iv) f sıfırda sa˘gdan s¨ureklidir.

(ii) den |f (x) − f (y)| ≤ f (x − y) ve (iv) den f nin [0, ∞) ¨uzerinde her yerde s¨urekli oldu˘gu ¸cıkar. Mod¨ul¨us fonksiyonu sınırlı veya sınırsız olabilir [51].

¨

Ornek 2.2.1. 0 < r ≤ 1 i¸cin f (t) = tr fonksiyonu bir mod¨ul¨us fonksiyonudur

[4, 12].

Lemma 2.2.1. Herhangi iki f ve g mod¨ul¨us fonksiyonu i¸cin

i) f ◦ g, fv = f ◦ f ◦ f ◦ · · · ◦ f (f ’nin v defa bile¸skesi), a ≥ 0 i¸cin af, f

1+f, f + g

fonksiyonları birer mod¨ul¨us fonksiyonudur.

ii) f−1, f · g, fg ve f − g fonksiyonları birer mod¨ul¨us fonksiyonu olmak zorunda de˘gildir. Bunu g¨ormek i¸cin f (x) = x12 ve g (x) = x mod¨ul¨us fonksiyonu almak

yeterlidir [4, 12, 57].

Lemma 2.2.2. f bir mod¨ul¨us fonksiyonu ve 0 < δ < 1 olsun . Bu taktirde v ∈ N ve t ∈ [0, ∞) i¸cin fv−1(t) > δ ise

fv(t) ≤ 2f (1) δ f

v−1(t)

olur. Burada f0 = I ¨ozde¸slik d¨on¨u¸s¨um¨ud¨ur [32].

Mod¨ul¨us fonksiyonu tanımı ilk kez 1953 de Nakano tarafından verilmi¸stir [37]. ”Albert Wilansky’nin (ek) koordinat vekt¨orleri dizisinin sınırlı oldu˘gu en k¨u¸c¨uk bir

FK-uzayı var mıdır? sorusunu cevaplamak i¸cin W. H. Ruckle mod¨ul¨us fonksiyonu ile olu¸sturulan L (f ) skaler FK-uzaylarını kullandı ve sorunun cevabının olumsuz oldu˘gunu g¨osterdi. W. H. Ruckle 1973 de f mod¨ul¨us fonksiyonu yardımıyla

l1 = ( x :X k |xk| < ∞ ) dizi uzayını L (f ) = ( x :X k f (|xk|) < ∞ )

(26)

Maddox 1986 da kuvvetli Ces`aro toplanabilen dizilerin uzayını bir mod¨ul¨use g¨ore kuvvetli Ces`aro toplanabilen dizilerin uzayına genelle¸stirdi. Yani

w0 = ( x : 1 m m X k=1 |xk| → 0 (m → ∞) ) w = ( x : 1 m m X k=1 |xk− l| → 0 (m → ∞) ) w∞= ( x : sup m 1 m m X k=1 |xk| < ∞ (m → ∞) )

uzaylarını [34], f bir mod¨ul¨us fonksiyonu olmak ¨uzere

w0(f ) = ( x : 1 m m X k=1 f (|xk|) → 0 (m → ∞) ) w (f ) = ( x : 1 m m X k=1 f (|xk− l|) → 0 (m → ∞) ) w∞(f ) = ( x : sup m 1 m m X k=1 f (|xk|) < ∞ (m → ∞) ) uzaylarına genelle¸stirdi [27, 32].

Connor 1989 da A matrisini negatif olmayan reel reg¨uler bir matris alarak, kuvvetli A-toplanabilen dizilerin

w0(A) = ( x : lim m X k amk|xk| = 0 ) w (A) = ( x : lim m X k amk|xk− l| = 0 ) uzaylarını w0(A, f ) = ( x : lim m X k amkf (|xk|) = 0 ) w (A, f ) = ( x : lim m X k amkf (|xk− l|) = 0 )

uzaylarına genelle¸stirdi [7]. Sonra da Bilgin, p = (pk) pozitif reel sayıların bir dizisi,

(27)

matrisi olmak ¨uzere [A, f, p]0 = ( x : ∞ X k=1 amk[f (xk)]pk → 0, m → ∞ ∃l ) [A, f, p] = ( x : ∞ X k=1 amk[f (xk− l)] pk → 0 m → ∞ ∃l ) [A, f, p]= ( x : sup m ∞ X k=1 amk[f (xk)]pk < ∞ )

uzaylarını tanımladı ve ¸ce¸sitli ¨ozelliklerini inceledi [5]. Burada her k i¸cin pk = 1 ve

A negatif olmayan matris toplanabilme metodu alınırsa

[A, f, p] = w (A, f ) ve [A, f, p]0 = w (A, f )0

elde edilir. Yine [A, f, p] , [A, f, p]0, [A, f, p] uzaylarında f (x) = x alınırsa Maddox [31] tarafından tanımlanan [A, p] , [A, p]0, [A, p]dizi uzaylarını elde ederiz. Yani

[A, f, p] = [A, p] , [A, f, p]0 = [A, p]0, [A, f, p]= [A, p]

dir. [A, f, p] , [A, f, p]0, [A, f, p] uzaylarında A = (amk) = (C, 1) Ces`aro matrisi

alırsak ¨Ozt¨urk ve Bilgin [44] tarafından tanımlanan [C, 1, p] , [C, 1, p]0, ve [C, 1, p] dizi uzaylarının bir genelle¸stirmesi olan w (f, p) , w0(f, p) , w∞(f, p) dizi uzaylarını

elde ederiz.

1990 da Pehlivan, kuvvetli hemen hemen yakınsak dizilerin [F ]0 = ( x = (xk) : 1 m m X k=1

|xk+n| → 0 (m → ∞), n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) [F ] = ( x = (xk) : 1 m m X k=1

|xk+n− l| → 0 (m → ∞), n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) [F ] = ( x = (xk) : sup n,m 1 m m X k=1 |xk+n| < ∞ )

uzaylarını f mod¨ul¨us fonksiyonu kullanarak [F (f )]0 = ( x = (xk) : 1 m m X k=1

f (|xk+n|) → 0 (m → ∞), n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) [F (f )] = ( x = (xk) : 1 m m X k=1

f (|xk+n− l|) → 0 (m → ∞), n’ye g¨ore d¨uzg¨un

) [F ] = ( x = (xk) : sup n,m 1 m m X k=1 f (|xk+n|) < ∞ )

(28)

uzaylarına genelle¸stirdi ve bu uzayların ¸ce¸sitli ¨ozelliklerini inceledi [46].

f mod¨ul¨us fonksiyonu ve A negatif olmayan reg¨uler matris ve p = (pk) pozitif

reel sayıların bir dizisi olmak ¨uzere, Sava¸s [53]

w0 ˆA, f, p  = ( x : lim m X k amk[f (|xn+k|)] pk = 0, n’ g¨ore d¨uzg¨un ) w ˆA, f, p= ( x : lim m X k amk[f (|xn+k− l|)]pk = 0, n’ g¨ore d¨uzg¨un ) w∞ ˆA, f, p  = ( x : sup m,n X k amk[f (|xn+k|)]pk = 0, n’ g¨ore d¨uzg¨un ) olarak tanımladı. w0 ˆA, f, p  , w ˆA, f, p, w∞ ˆA, f, p 

c¨umlelerine sırası ile f mod¨ul¨us¨une g¨ore sıfıra kuvvetli hemen hemen toplanabilen, f mod¨ul¨us¨une g¨ore kuvvetli hemen hemen toplanabilen ve f mod¨ul¨us¨une g¨ore kuvvetli hemen hemen sınırlı dizi uzayları denir.

2.3

Mod¨

ul¨

us Fonksiyonu Yardımıyla Tanımlanmı¸

s Yeni Dizi

Uzayları

X, kompleks veya reel lineer uzay ve X = (X, q) , q yarınormu ile yarınormlu bir uzay olsun. w ile b¨ut¨un dizilerin uzayını g¨osterirsek w, x = (xk) , y = (yk) ve λ

bir skaler olmak ¨uzere

x + y = (xk+ yk)

λx = (λxk)

¸seklinde tanımlanan i¸slemler altında bir lineer uzaydır. f herhangi bir mod¨ul¨us fonksiyonu ve p = (pk) pozitif terimli reel bir dizi, A = (amk) negatif olmayan

sonsuz bir matris olmak ¨uzere n’e g¨ore d¨uzg¨un olarak

wo ˆA, p, f, q, s  = ( x : lim m→∞ X k amkk−s[f (q (xk+n))] pk = 0, s ≥ 0 )

(29)

w ˆA, p, f, q, s= ( x : lim m→∞ X k amkk−s[f (q (xk+n− le))] pk = 0, s ≥ 0 ) w∞ ˆA, p, f, q, s  = ( x : sup m,n X k amkk−s[f (q (xk+n))]pk < ∞, s ≥ 0 )

¸seklinde tanımlayalım. E˘ger x−le ∈ wo ˆA, p, f, q, s



ise x dizisi l ye w ˆA, p, f, q, s toplanabilirdir diyece˘giz ve xk → l

h

w ˆA, p, f, q, si ile g¨osterece˘giz. Burada e = (1, 1, 1, · · · ) dir. wo ˆA, p, f, q, s  , w ˆA, p, f, q, s, w∞ ˆA, p, f, q, s  dizi uzaylarında, parametrelerden bir veya bir ka¸cını ¨ozel se¸cecek olusak, giri¸s kısmında tanımlanan dizi uzaylarından bir kısmını ve Esi [12] de tanımlanan wo ˆA, p, f, s



, w ˆA, p, f, s, w∞ ˆA, p, f, s



dizi uzaylarını elde edebiliriz.

Yine f mod¨ul¨us fonksiyonu yerine F mod¨ul¨uslerin bir dizisi ve s = 0 konursa Esi [13] de tanımlı wo[A, p, f ], w[A, p, f ], w∞[A, p, f ] dizi uzaylarını elde ederiz.

Teorem 2.3.1. f herhangi bir mod¨ul¨us fonksiyonu ve A = (amk) reg¨uler bir matris

olsun. Bu taktirde wo ˆA, p, f, q, s  ⊂ w ˆA, p, f, q, s  ⊂ w∞ ˆA, p, f, q, s  dir. ˙Ispat. wo ˆA, p, f, q, s  ⊂ w ˆA, p, f, q, s 

kapsaması a¸cıktır. Burada sadece w ˆA, p, f, q, s⊂ w∞ ˆA, p, f, q, s



oldu˘gunu g¨osterece˘giz. x ∈ w ˆA, p, f, q, solsun. f ve q nun ¨ozelliklerini kullanarak

I =X k amkk−s[f (q (xk+n))]pk =X k amkk−s[f (q (xk+n− l + l))] pk ≤X k amkk−s[f (q (xk+n− l)) + f (q (l))]pk ≤ C ( X k amkk−s[f (q (xk+n− l))] pk+X k amkk−s[f (q (l))] pk )

(30)

yazabiliriz. q yarınorm oldu˘gundan q (l) ≤ R olacak ¸sekilde bir R tamsayısı bulabiliriz. O halde I ≤ C ( X k amkk−s[f (q (xk+n− l))]pk+ X k amkk−s[Rf (1)]pk ) ≤ C ( X k amkk−s[f (q (xk+n− l))] pk + [Rf (1)]HX k amkk−s )

elde edilir. A nın reg¨ulerli˘gi ve x ∈ w ˆA, p, f, q, s olmasından dolayı sup

m,n

X

k

amkk−s[f (q (xk+n))]pk < ∞

olur. B¨oylece istenilen elde edilir.

S¸imdi faydalı bir ka¸c teorem verelim. Teorem 2.3.2. wo ˆA, p, f, q, s



, w ˆA, p, f, q, s ve w ˆA, p, f, q, s c¨umleleri C kompleks sayılar cismi ¨uzerinde lineer uzaylardır.

˙Ispat. Biz burada sadece w ˆA, p, f, q, s nin C ¨uzerinde lineer uzay oldu˘gunu g¨osterece˘giz di˘gerleri benzer olarak g¨osterilebilir. xk → l

h w ˆA, p, f, q, si, yk → l´ hw ˆA, p, f, q, si ve λ, µ ∈ C olsun. I =X k amkk−sf q λxk+n+ µyk+n− λl + µl´ pk =X k amkk−sf q (λxk+n− λl) + µyk+n− µl´ pk =X k amkk−sf q λ (xk+n− l) + µ yk+n− l´ pk ≤X k amkk−sf q (λ (xk+n− l)) + q µ yk+n− l´ pk =X k amkk−sf |λ| q (xk+n− l) + |µ| q yk+n− l´ pk ≤X k amkk−sf (|λ| q (xk+n− l)) + f |µ| q yk+n− l´ pk

(31)

bulunabilir. Buna g¨ore I ≤X k amkk−sMλf (q (xk+n− l)) + Nµf q yk+n− l´ pk ≤X k amkk−sCMλpk[f (q (xk+n− l))]pk + Nµpkf q yk+n− l´ pk ≤ CX k amkk−s  sup k Mpk λ [f (q (xk+n− l))] pk + sup k Npk µ f q yk+n− l´ pk 

e¸sitsizli˘gi elde edilir. Burada m → ∞ i¸cin limite ge¸cilirse x = (xk) , y = (yk) ∈

w ˆA, p, f, q, soldu˘gundan λx + µy ∈ w ˆA, p, f, q, soldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 2.3.3. w0 ˆA, p, f, q, s



ve w ˆA, p, f, q, s, T = max (1, H) olmak ¨uzere

G (x) = sup m,n ( X k amkk−s[f (q (xk+n))]pk )T1

ile bir paranormlu uzaydır.

˙Ispat. Biz burada w0 ˆA, p, f, q, s



dizi uzayı i¸cin ispat yapaca˘gız. w ˆA, p, f, q, s dizi uzayı i¸cin ispat benzer ¸sekilde yapılabilir. G : w0 ˆA, p, f, q, s



→ R ye bir fonksiyon ve Tanım 1.1.4 deki ¸sartları sa˘gladı˘gını g¨ostermek yeterlidir. Teorem 2.3.1 den, her x ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



i¸cin G (x) mevcuttur, yani G (x) ∈ R. S¸imdi f mod¨ul¨us fonksiyonunun ve q yarınormunun ¨ozelliklerini dikkate alarak paranorm ¸sartlarının sa˘glandı˘gını g¨osterece˘giz.

G (0) = sup m,n ( X k amkk−s[f (q (0k+n))]pk )T1 = sup m,n ( X k amkk−s[f (0)]pk )T1 = sup m,n ( X k amkk−s0pk )T1 = 0

(32)

olur. G (−x) = sup m,n ( X k amkk−s[f (q (−xk+n))] pk )T1 = sup m,n ( X k amkk−s[f (|−1| q (xk+n))]pk )T1 = sup m,n ( X k amkk−s[f (q (xk+n))]pk )T1 = G (x) I1 = {Pkamkk−s[f (q (xk+n+ yk+n))]pk} 1

T kısaltmasını yaparsak; T ≥ 1 ve her k

i¸cin pk

T ≤ 1 oldu˘gundan Lemma 1.1.5 den

I1 = ( X k amkk−s[f (q (xk+n+ yk+n))]pk )T1 ≤ ( X k amkk−s[f (q (xk+n) + q (yk+n))] pk )T1 ≤ ( X k amkk−s[f (q (xk+n)) + f (q (yk+n))]pk )T1 = ( X k n a 1 T mkk −s T [f (q (xk+n)) + f (q (yk+n))] pk T oT )T1 ≤ ( X k n a 1 T mkk −s T h (f (q (xk+n))) pk T + (f (q (y k+n))) pk T ioT )T1 = ( X k n a 1 T mkk −s T [f (q (x k+n))] pk T + a 1 T mkk −s T [f (q (y k+n))] pk T oT )T1 ≤ ( X k n a 1 T mkk −s T [f (q (xk+n))] pk T oT )T1 + ( X k n a 1 T mkk −s T [f (q (yk+n))] pk T oT )T1 = ( X k amkk−s[f (q (xk+n))] pk )T1 + ( X k a 1 T mkk −s T [f (q (y k+n))] pk )T1

(33)

elde edilir. Burada m ¨uzerinden supremum alınırsa G (x + y) ≤ G (x) + G (y)

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Yine I2 =Pkamkk−sf q λtxtk+n− λ0x0k+n

pk T1 diyip , |λt| <

Kλ olacak ¸sekilde Kλ tam sayısının bulunabilece˘gi akılda tutularak, T ≥ 1 ve her k

i¸cin pk T ≤ 1 oldu˘gundan I2 = ( X k amkk−sf q λtxtk+n− λ 0x0 k+n pk )T1 = ( X k amkk−sf q λtxtk+n− λ t x0k+n+ λtx0k+n− λ0x0k+npk )T1 ≤ ( X k amkk−sf q λtxtk+n− λtx0k+n + q λtx0k+n− λ0x0k+n pk )T1 = ( X k amkk−sf q λt xtk+n− x 0 k+n + q λ t− λ0 x0 k+n pk )T1 = ( X k amkk−sf λt q xtk+n− xk+n0  + q λt− λ0 x0k+n pk )T1 ≤ ( X k amkk−sf λt q xtk+n− xk+n0  + f q λt− λ0 x0k+n pk )T1 ≤ ( X k amkk−sKλf q xtk+n− x 0 k+n + f q λ t− λ0 x0 k+n pk )T1 ≤ ( X k n a 1 T mkk −s T h Kλf q xtk+n− x 0 k+n pkT + f q λt− λ0 x0 k+n pkT ioT T1 ≤ ( X k n a 1 T mkk −s T Kλf q xt k+n− x 0 k+n pkT +a 1 T mkk −s T f q λt− λ0 x0 k+n pkT oT T1

(34)

≤ ( X k n a 1 T mkk −s T K λf q xtk+n− x0k+n pkT oT )T1 + ( X k n a 1 T mkk −s T f q λt− λ0 x0 k+n pkToT )T1 ≤ KHT λ ( X k amkk−sf q xtk+n− x 0 k+n pk )T1 + ( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 olur. G λtxt− λ0x0 = sup m ( X k amkk−sf q λtxtk+n− λ 0x0 k+n pk )T1

ifadesinde yukarıdaki son e¸sitsizlik kullanılırsa

G λtxt− λ0x0 ≤ KHT λ G x t− x0 + sup m ( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 (2.3.1) elde edilir. Burada K

H T

λ sabit ve G (xt− x0) → 0 (t → ∞) oldu˘gundan birinci ifade

sıfıra gidecektir. S¸imdi ikinci ifadeyi inceleyelim. λt → λ0 (t → ∞) oldu˘gundan

her t ∈ N i¸cin |λt− λ0| ≤ D olacak ¸sekilde D > 0 sayısı vardır. Teorem 2.3.2 den

Dx0 = (Dx0k) ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



dir. B¨oylece her  > 0 i¸cin en az bir m0 vardır

¨

oyle ki her m > m0 i¸cin

( X k amkk−sf q Dx0k+n pk )T1 <  2 ve dolayısıyla her m, n i¸cin

( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 ≤ ( X k amkk−sf q Dx0k+n pk )T1

olaca˘gından her m, n ve  > 0 i¸cin m > m0 iken

( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 <  2 (2.3.2)

olur. Ayrıca her t ve m ≤ m0 i¸cin

( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 < ∞

(35)

oldu˘gu g¨oz¨on¨une alınırsa, aynı  > 0 i¸cin en az bir k0 vardır ¨oyle ki her t ve m ≤ m0 iken ( X k>k0 amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 <  4 (2.3.3)

kalır. Yine her m ≤ m0 i¸cin λt→ λ0 (t → ∞) iken

I = lim s→∞ ( k 0 X k=1 amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 = ( k0 X k=1 amkk−s h f  lim s→∞ λt− λ0 q x0k+n ipk )T1 = 0

olaca˘gından her m ≤ m0 ve aynı  > 0 i¸cin en az bir t0 sayısı vardır ¨oyle ki t > t0

i¸cin ( k0 X k=1 amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 <  4 (2.3.4)

kalır. B¨oylece (2.3.3) ve (2.3.4) den her  > 0 ve m ≤ m0 i¸cin en az bir t0 vardır

¨

oyle ki t > t0 oldu˘gunda

( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 <  2 olur. Bu ve (2.3.2) den her m ve  > 0 i¸cin t > t0 iken

( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 <  2 elde ederiz ki buradan da

sup m ( X k amkk−sf q λt− λ0 x0k+n pk )T1 → 0 (t → ∞)

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. B¨oylece (2.3.1) e¸sitsizli˘gindeki ikinci ifadenin de sıfıra gitti˘gini g¨ostermi¸s oluruz. Yani

G λtxt− λ0x0 → 0 (t → ∞)

dır. O halde G bir paranorm fonksiyonu olup,w0 ˆA, p, f, q, s



, Gbir paranormlu uzaydır.

(36)

G paranormunun total olmadı˘gı f ve q nun tanımları dikkate alınırsa kolayca g¨or¨ulebilir.

Teorem 2.3.4. (X, q) tam ise w0 ˆA, p, f, q, s



dizi uzayı da Teorem 2.3.3 deki G paranormuna g¨ore tamdır.

˙Ispat. xi = (xi

m) = (xi1, xi2, · · · , xim, · · · ) olmak ¨uzere (xi), w0 ˆA, p, f, q, s

 dizi uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Bu taktirde

G xi− xj → 0 i, j → ∞

olur. Yani i, j → ∞ iken

G xi− xj = sup m,n ( X k amkk−sf q xik+n− x j k+n pk )T1 → 0 (2.3.5)

dır. Buradan i, j → ∞ iken her k ve n i¸cin lim

i,j→∞k −s

f q xik+n− xjk+n = 0 ve f mod¨ul¨us fonksiyonu oldu˘gundan

lim i,j→∞k −s f q xik+n− xjk+n = k−s f  lim i,j→∞q x i k+n− x j k+n   = 0 e¸sitli˘gi lim i,j→∞q x i k+n− x j k+n = 0

olmasını gerektirir. Bu da her bir k ve n i¸cin xi

k+n dizisinin (X, q) da bir Cauchy

dizisi oldu˘gunu verir. (X, q) tam oldu˘gundan her bir k ve n i¸cin q xik+n− xk+n → 0 (i → ∞)

olacak ¸sekilde X de bir (xk+n) dizisi mevcuttur. (2.3.5) den  > 0 i¸cin bir B do˘gal

sayısı vardır ¨oyle ki i, j > B oldu˘gunda her m ve n i¸cin ( X k amkk−sf q xik+n− x j k+n pk )T1 <  (2.3.6)

(37)

kalır. Herhangi bir sabit N do˘gal sayısı i¸cin (2.3.6) den her m, n ve i, j > B i¸cin ( X k≤N amkk−sf q xik+n− x j k+n pk )T1 <  (2.3.7) elde edilir. q xik+n− xjk+n − q xi k+n− xk+n  ≤ q xik+n− xk+n  ve q xik+n− xk+n → 0 (i → ∞) oldu˘gundan q xik+n− xjk+n → q xi k+n− xk+n  (j → ∞) olur. Her m, n ve i > B i¸cin (2.3.7) de j’yi ∞’a g¨ot¨ur¨ursek

( X k≤N amkk−sf q xik+n− xk+n pk )T1 < 

olur. N sabit oldu˘gundan N → ∞ i¸cin her m, n ve i > B oldu˘gunda ( X k amkk−sf q xik+n− xk+n pk )T1 < 

elde edilir. Yani i → ∞ iken

G xi− x → 0 oldu˘gu g¨or¨ulm¨u¸s olur. S¸imdi de x ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



oldu˘gunu g¨osterelim. Her bir i i¸cin G (xi) ≤ K olacak ¸sekilde pozitif bir K sayısı mevcuttur. Ayrıca

amkk−sf q xik+n− xk+n

pk

→ 0 (i → ∞) olur. O halde her bir k ve n i¸cin

amkk−sf q xik+n− xk+n

pk

≤ γkiamkk−sf q xik+n

pk

olacak ¸sekilde 0 < γi

k ≤ 1 ve γki → 0 (i → ∞) olan bir γk dizisi bulabiliriz. Buna

g¨ore

q (xk+n) ≤ q xik+n− xk+n + q xik+n

(38)

oldu˘gundan,

[f (q (xk+n))]pk ≤ Cf q xik+n− xk+n

pk

+f q xik+npk

elde edilir. Burada C = max 1, 2H−1 dir. E¸sitsizli˘gin her iki tarafı amkk−s ile

¸carpılırsa amkk−s[f (q (xk+n))] pk ≤ Ca mkk−sf q xik+n− xk+n pk +f q xik+npk ≤ C γi k+ 1 amkk−sf q xik+n pk ≤ 2Camkk−sf q xik+n pk

sonucuna ula¸sılır ki, bu x ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



anlamına gelmektedir.

Teorem 2.3.5. A = (amk) reg¨uler olsun. Bu taktirde inf pk > 0 ise

xk → u h w ˆA, p, q, si oldu˘gunda xk → u h w ˆA, p, f, q, si dir. ˙Ispat. inf pk = h > 0 ve xk → u h

w ˆA, p, q, si olsun. f sıfırda sa˘gdan s¨urekli oldu˘gundan 0 <  < 1 i¸cin 0 < δ < 1 olacak ¸sekilde en az bir δ > 0 vardır ¨oyle ki 0 ≤ t ≤ δ iken f (t) <  dur.

I1 = {k ∈ N : q (xk+n− u) ≤ δ}

I2 = {k ∈ N : q (xk+n− u) > δ}

dersek Lemma 2.2.2 den I =X k amkk−s[f (q (xk+n− u))] pk =X k∈I1 amkk−s[f (q (xk+n− u))] pk +X k∈I2 amkk−s[f (q (xk+n− u))] pk ≤X k amkk−s[] pk +X k amkk−s  2f (1) δ (q (xk+n− u)) pk

yazabiliriz. Burada inf pk = h ve sup pk = H oldu˘gundan

d1 =  2f (1) δ h ve d2 =  2f (1) δ H denirse I ≤ HX k amkk−s+ max (d1, d2) X k amkk−s[q (xk+n− u)]pk (2.3.8)

elde ederiz. (2.3.8) e¸sitsizli˘ginde m → ∞ i¸cin limit alınırsa n’ye g¨ore d¨uzg¨un olarak xk → u

h

w ˆA, p, q, si oldu˘gunda xk → u

h

(39)

Teorem 2.3.6. A = (amk) reg¨uler bir matris ve inf pk > 0 olsun. Bu taktirde f

mod¨ul¨us fonksiyonu i¸cin β = lim

t→∞ f (t) t > 0 ise w ˆA, p, f, q, s  = w ˆA, p, q, s  dir.

˙Ispat. Herhangi bir f mod¨ul¨us fonksiyonu i¸cin β ile verilen pozitif limitin varlı˘gı 1987 de Maddox [27] ¨Onerme 1 de verilmi¸stir.

w ˆA, p, q, s⊂ w ˆA, p, f, q, s

oldu˘gu bir ¨onceki teoremden a¸cıktır. ˙Ispatın bu kısmında β = lim

t→∞ f (t)

t > 0 ko¸suluna

gerek duymadık.

˙Ispatın di˘ger kısmı i¸cin β = lim

t→∞ f (t)

t > 0 ve x ∈ w ˆA, p, f, q, s



olsun. β > 0 oldu˘gundan her t ≥ 0 i¸cin f (t) ≥ βt dir. Dolayısıyla her m, n, k i¸cin

X k amkk−s[f (q (xk+n− l))] pk ≥ βX k amkk−s[q (xk+n− l)] pk

dır. m → ∞ i¸cin n’ye g¨ore d¨uzg¨un olarak birinci taraf sıfıra gitti˘ginden m → ∞ i¸cin

X

k

amkk−s[q (xk+n− l)]pk → 0

elde edilir. Bu ifadeden x ∈ w ˆA, p, q, s oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Bu da ispatı tamamlar.

Teorem 2.3.7. A = (amk) negatif olmayan reg¨uler bir matris ve 0 < pk ≤ tk ve ptk

k sınırlı ise w∞ ˆA, t, f, q, s  ⊂ w∞ ˆA, p, f, q, s  dir. ˙Ispat. wk,n = [f (q (xk+n− l))] tk, λ k = ptk k ¨oyle ki 0 < λ ≤ λk ≤ 1 diyelim. uk ve vk dizilerini uk,n =    wk,n , wk,n ≥ 1 0 , wk,n < 1

(40)

vk,n =    0 , wk,n≥ 1 wk,n , wk,n < 1 olarak alırsak, wk,n = uk,n+ vk,n olup wλk k,n = u λk k,n+ v λk k,n dir. Maddox, [34] de X k amkwk,nλk ≤ X k amkwk,n+ X k amkvkn !λ kAk1−λ

e¸sitsizli˘gini ispatladı. Bu e¸sitsizlik kullanılarak x ∈ w∞ ˆA, t, f, q, s

 ise x ∈ w∞ ˆA, p, f, q, s



elde edilir.

Teorem 2.3.8. A = (amk) reg¨uler, f sınırlı ve s > 0 olsun. Bu taktirde x ∈

w0 ˆA, p, f, q, s  oldu˘gunda X k akxk yakınsaktır ⇔ ak ∈ Φ dir

Burada Φ ile sonlu sayıda terimleri sıfırdan farklı b¨ut¨un dizilerin uzayı g¨osterilmektedir.

˙Ispat. x ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



i¸cin X

k

akxk yakınsak fakat (ak) /∈ Φ oldu˘gunu kabul

edelim. Bu taktirde pozitif tamsayıların artan bir (mk) alt dizisi vardır ¨oyle ki

k = 1, 2, 3, · · · i¸cin

|amk| > 0

dır. S¸imdi q (u) > 0 olacak ¸sekilde u ∈ X sabit vekt¨or¨u i¸cin (yk) dizisini

yk=    u q(u)amk , k = mk 0 , k 6= mk

olarak tanımlayalım. f sınırlı oldu˘gundan her t ∈ [0, ∞) i¸cin f (t) ≤ K olacak ¸sekilde K > 1 sabiti bulunabilir. Her k,n ve xk+n ∈ X i¸cin q (xk+n) ∈ [0, ∞)

oldu˘gundan her k, n ve xk+n∈ X i¸cin

(41)

ve dolayısıyla (yk) dizisi i¸cin de her m i¸cin X k amkk−s[f (q (yk+n))] pk X k amkk−s[K] pk ≤ KHX k amkk−s < ∞

olur ki m → ∞ i¸cin limit alınırsa, KH sabit s > 0 ve A = (a

mk) reg¨uler oldu˘gundan lim m→∞ X k amkk−s[f (q (yk+n))]pk = 0 elde edilir. Bu da y ∈ w0 ˆA, p, f, q, s  demektir. Fakat I1 = {mk : k = 1, 2, 3, · · · } dersek X k akyk = X k∈I1 amk u amkq (u) = u q(u) X k∈I1 1 olaca˘gından X k akyk

ıraksaktır. Bu kabul¨um¨uzle ¸celi¸sir. O halde (ak) ∈ Φ dir.

Tersine x ∈ w0 ˆA, p, f, q, s  olsun. (ak) ∈ Φ iken X k akxk

sonlu toplama d¨on¨u¸sece˘ginden yakınsaktır.

Sonu¸c 2.3.1. A = (amk) reg¨uler bir matris, f sınırlı bir mod¨ul¨us fonksiyonu

ve s > 0 olsun. Bu taktirde h w0 ˆA, p, f, q, s iβ = Φ dir.

˙Ispat. ˙Ispat bir ¨onceki teoremden elde edilir.

Teorem 2.3.9. A = (amk) reg¨uler bir matris ve f herhangi bir mod¨ul¨us fonksiyonu

olsun. Bu taktirde l∞⊂ M h w∞ ˆA, p, f, q, s i ⊂ w∞ ˆA, p, f, q, s  dir.

(42)

˙Ispat. a = (ak) ∈ l∞ olsun. Bu taktirde her k i¸cin |ak| ≤ K olacak ¸sekilde bir K

pozitif tamsayısı bulunabilir. B¨oylece

f (q (ak+nxk+n)) = f (|ak+n| q (xk+n)) ≤ Kf (q (xk+n)) olur. Dolayısıyla X k amkk−s[f (q (ak+nxk+n))]pk ≤ X k amkk−s[Kf (q (xk+n))]pk ≤ KHX k amkk−s[f (q (xk+n))] pk

olur. Buradan her x ∈ w∞ ˆA, p, f, q, s

 i¸cin sup m,n X k amkk−s[f (q (ak+nxk+n))]pk < ∞

elde edilir ki, bu da a = (ak) ∈ M

h w∞ ˆA, p, f, q, s i demektir, yani l∞⊂ M h w∞ ˆA, p, f, q, s i

dir. ˙Ikinci kapsamayı elde etmek i¸cin b = (bk) ∈ M

h w∞ ˆA, p, f, q, s i ve e = (1, 1, 1, · · · ) ∈hw∞ ˆA, p, f, q, s i

dizisini almak yeterlidir.

Teorem 2.3.10. A = (amk) reg¨uler bir matris olsun. E˘ger f sınırlı ise

w∞ ˆA, p, f, q, s  = w dir. ˙Ispat. w∞ ˆA, p, f, q, s 

nin tanımından ¨ot¨ur¨u w∞ ˆA, p, f, q, s



⊂ w oldu˘gu g¨or¨ulmektedir. f sınırlı oldu˘gundan her m, n ve x ∈ w i¸cin

X k amkk−s[f (q (xk+n))] pk X k amkk−s[K] pk ≤ [K]HX k amkk−s

(43)

e¸sitsizli˘gi elde edilir. [K]H sabit ve A = (amk) reg¨uler oldu˘gundan, m ve n ¨uzerinden supremum alınırsa sup m,n X k amkk−s[f (q (xk+n))]pk < ∞

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur ki, bu da x ∈ w∞ ˆA, p, f, q, s



demektir. Buna g¨ore w ⊂ w∞ ˆA, p, f, q, s



olur. Sonu¸c olarak

w = w∞ ˆA, p, f, q, s

 elde edilir.

Teorem 2.3.11. f ve g herhangi iki mod¨ul¨us fonksiyonu, A = (amk) reg¨uler bir

matris ve s > 1 ise w0 ˆA, p, f, q, s  ⊂ w0 ˆA, p, f ◦ g, q, s  dir.

˙Ispat. f mod¨ul¨us fonksiyonu sıfırda sa˘gdan s¨urekli oldu˘gundan  > 0 i¸cin 0 < δ < 1 olacak ¸sekilde en az bir δ > 0 vardır ¨oyle ki 0 ≤ u ≤ δ iken f (u) <  dur. S¸imdi

I1 = {k ∈ N : g (q (xk+n)) ≤ δ}

I2 = {k ∈ N : g (q (xk+n)) > δ}

dersek Lemma 2.2.2 kullanılırsa g (q (xk+n)) > δ iken

f (g (q (xk+n))) ≤

2f (1)

δ g (q (xk+n)) elde edilir. B¨oylece

I =X k amkk−s[f (g (q (xk+n)))] pk =X k∈I1 amkk−s[f (g (q (xk+n)))]pk + X k∈I2 amkk−s[f (g (q (xk+n)))]pk ≤X k amkk−s[]pk + X k amkk−s  2f (1) δ f (g (q (xk+n))) pk

(44)

yazabiliriz. Burada inf pk = h ve sup pk = H oldu˘gundan  2f (1) δ h = d1 ve  2f (1) δ H = d2 denirse I ≤ H X k amkk−s+ max (d1, d2) X k amkk−s[f (q (xk+n))] pk

→ 0 (m → ∞, n’ye g¨ore d¨uzg¨un olarak.) olur. Yukarıdaki son e¸sitsizlikten x ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



iken x ∈ w0 ˆA, p, f ◦ g, q, s

 oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.

Teorem 2.3.12. Herhangi f ve g mod¨ul¨us fonksiyonları i¸cin w0 ˆA, p, f, q, s  ∩ w0 ˆA, p, g, q, s  ⊂ w0 ˆA, p, f + g, q, s  dir.

˙Ispat. Her k ve n i¸cin q (xk+n) ≥ 0 oldu˘gundan Lemma 1.1.4 den

[(f + g) (q (xk+n))] pk = [f (q (xk+n)) + g (q (xk+n))] pk ≤ Cn[f (q (xk+n))] pk + [g (q (xk+n))] pko = C [f (q (xk+n))] pk + C [g (q (xk+n))] pk , her m ve k i¸cin amkk−s > 0 oldu˘gundan

amkk−s[(f + g) (q (xk+n))] pk ≤ Ca mkk−s[f (q (xk+n))] pk + Camkk−s[g (q (xk+n))] pk

elde edilir. Burada ilk ¨once k = 1 den ∞’a toplam alınıp, sonra da m → ∞ i¸cin limite ge¸cilirse x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, f, q, s  ∩ w0 ˆA, p, g, q, s  iken x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, f + g, q, s  elde edilir.

Teorem 2.3.13. Herhangi q1 ve q2 yarınormları i¸cin

w0 ˆA, p, f, q1, s  ∩ w0 ˆA, p, f, q2, s  ⊂ w0 ˆA, p, f, q1+ q2, s  dir.

(45)

˙Ispat. Bir ¨onceki teoremin ispatındakine benzer olarak [f ((q1+ q2) (xk+n))] pk ≤ C [f (q 1(xk+n))] pk + C [f (q2(xk+n))] pk

yazabiliriz. Buradan da her m ve k i¸cin amkk−s > 0 oldu˘gundan

amkk−s[f ((q1+ q2) (xk+n))] pk ≤ Ca mkk−s[f (q1(xk+n))] pk +Camkk−s[f (q2(xk+n))] pk

olur.Yine k = 1 den ∞’a toplam alınıp, sonra da m → ∞ i¸cin limite ge¸cilirse x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, f, q1, s  ∩w0 ˆA, p, f, q2, s  iken x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, f, q1+ q2, s  elde edilir.

Teorem 2.3.14. q1 kuvvetli q2 ise

w0 ˆA, p, f, q1, s



⊂ w0 ˆA, p, f, q2, s



dir.

˙Ispat. q1 yarınormu q2 den kuvvetli ise Tanım 1.1.9 gere˘gi her k, n ve xk+n ∈ X

i¸cin

q2(xk+n) ≤ Kq1(xk+n)

olacak ¸sekilde bir K pozitif tamsayısı bulunabir. B¨oylece x ∈ w ˆA, p, f, q1, s

 ise X k amkk−s[f (q2(xk+n))] pk X k amkk−s[f (Kq1(xk+n))] pk ≤ KHX k amkk−s[f (q1(xk+n))] pk

ve KH sabit oldu˘gundan m → ∞ i¸cin limite ge¸cersek x ∈ w0 ˆA, p, f, q2, s



oldu˘gunu g¨or¨ur¨uz.

Teorem 2.3.15. Herhangi f ve g mod¨ul¨us fonksiyonları i¸cin lim sup t→∞ f (t) g (t) < ∞ ise w0 ˆA, p, g, q, s  ⊂ w0 ˆA, p, f, q, s  dir.

(46)

˙Ispat. lim supt→∞ f (t)

g(t) < ∞ olsun. Bu taktirde her t ∈ [0, ∞) i¸cin f (t)

g(t) ≤ K olacak

¸sekilde K > 1 sabiti bulabiliriz. Her k, n ve xk+n ∈ X i¸cin q (xk+n) ∈ [0, ∞)

oldu˘gundan f (q (xk+n)) g (q (xk+n)) ≤ K ve dolayısıyla [f (q (xk+n))] pk [g (q (xk+n))] pk ≤ Kpk ≤ KH veya [f (q (xk+n))] pk ≤ KH[g (q (x k+n))] pk

olur ki, buradan da her m ve k i¸cin amkk−s> 0 oldu˘gundan

amkk−s[f (q (xk+n))]

pk

≤ KHamkk−s[g (q (xk+n))]

pk

olur. Yine k = 1 den ∞’a toplam alınıp, sonra da m → ∞ i¸cin limite ge¸cilirse x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, g, q, s



iken x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Teorem 2.3.16. s1 ≤ s2 ise w0 ˆA, p, f, q, s1



⊂ w0 ˆA, p, f, q, s2

 dir.

˙Ispat. s1 ≤ s2 olsun. Her k i¸cin 0 < k−1 ≤ 1 oldu˘gundan her k i¸cin k−s2 < k−s1 ve

her m ve k i¸cin amk > 0 oldu˘gundan amkk−s2 < amkk−s1 olur. B¨oylece

amkk−s2[f (q (xk+n))]

pk

≤ amkk−s1[f (q (xk+n))]

pk

elde edilir. Buradan da X k amkk−s2[f (q (xk+n))] pk ≤X k amkk−s1[f (q (xk+n))] pk

yazılabilir. m → ∞ i¸cin limit alınırsa istenilen elde edilmi¸s olur.

Teorem 2.3.17. p = (pk) ve r = (rk) sınırlı diziler ve her k ∈ N i¸cin 0 < pk ≤ rk

olsun. Bu taktirde herhangi bir f mod¨ul¨us fonksiyonu i¸cin w0 ˆA, p, f, q, s



⊂ w0 ˆA, r, f, q, s



(47)

˙Ispat. x = (xk) ∈ w0 ˆA, p, f, q, s



olsun. Bu taktirde her 0 <  < 1 i¸cin en az bir m0 do˘gal sayısı vardır ¨oyle ki m > m0 ve her n i¸cin

X

k

amkk−s[f (q (xk+n))]

pk

<  < 1

dir. Buradan m > m0 ve her n i¸cin

amkk−s[f (q (xk+n))]

pk

<  < 1

yazabiliriz. Her k i¸cin pk ≤ rk oldu˘gundan m > m0 ve her n i¸cin

amkk−s[f (q (xk+n))] rk ≤ amkk−s[f (q (xk+n))] pk olur. Buradan X k amkk−s[f (q (xk+n))] rk ≤X k amkk−s[f (q (xk+n))] pk

elde edip, m → ∞ i¸cin limit alacak olursak, x = (xk) ∈ w0 ˆA, r, f, q, s



oldu˘gunu g¨or¨ur¨uz.

2.4

w

 ˆ

A, p, f

v

, q, s



Uzayı ¨

Uzerine Ba˘

gıntılar

T. Bilgin [4] mod¨ul¨us fonksiyonlarının bile¸skelerinin de bir mod¨ul¨us fonksiyonu oldu˘gunu ispatladı. Burada bu teoremi ifade ve ispat edelim.

Teorem 2.4.1. f bir mod¨ul¨us fonksiyonu ise fv, v = 1, 2, · · · de mod¨ul¨us

fonksiyonudur. Burada fv = f ◦ f ◦ f ◦ · · · ◦ f (f ’nin v defa bile¸skesi ¸seklindedir) [4].

˙Ispat. ˙Ispatı t¨umevarım metodu ile yapaca˘gız.

v = 1 i¸cin fv = f oldu˘gundan do˘grudur. v i¸cin do˘grulu˘gunu kabul edelim.

Bu taktirde fv Tanım 2.2.1 in ¸sartlarını sa˘glar. v + 1 i¸cin do˘grulu˘gunu g¨osterelim. f : [0, ∞) → [0, ∞) ve fv : [0, ∞) → [0, ∞) oldu˘gundan fv+1: [0, ∞) → [0, ∞) olur.

S

(48)

i) fv+1(t) = 0 ⇔ f (fv(t)) = 0 ⇔ fv(t) = 0 ⇔ t = 0 ii) t ≥ 0, z ≥ 0 olsun. fv+1(t + z) = f (fv(t + z)) ≤ f (fv(t) + fv(z)) = fv+1(t) + fv+1(z) iii) t ≥ z ise fv+1(z) = f (fv(z)) ≤ f (fv(t)) = fv+1(t) iv) lim t→0+f v+1(t) = lim t→0+f (f v(t)) = f  lim t→0+f v(t)  = f (0) = 0

¸sartları sa˘glanır. O halde fv+1 de bir mod¨ul¨us fonksiyonudur. B¨oylece ispat

tamamlanmı¸s olur [4]. w0 ˆA, p, f, q, s  , w ˆA, p, f, q, s, w∞ ˆA, p, f, q, s  dizi uzaylarında f mod¨ul¨us fonksiyonu yerine, f ye v ∈ N defa bile¸ske i¸sleminin uygulanmasıyla

(49)

elde edilen fv mod¨ul¨us fonsiyonu alınırsa n’ye g¨ore d¨uzg¨un olarak w0 ˆA, p, fv, q, s  = ( x : lim m→∞ X k amkk−s[fv(q (xk+n))] pk = 0, s ≥ 0 ) w ˆA, p, fv, q, s= ( x : lim m→∞ X k amkk−s[fv(q (xk+n− le))]pk = 0, s ≥ 0 ) w∞ ˆA, p, fv, q, s  = ( x : sup m,n X k amkk−s[fv(q (xk+n))]pk < ∞, s ≥ 0 )

dizi uzaylarını elde ederiz. w0 ˆA, p, f, q, s



, w ˆA, p, f, q, s, w∞ ˆA, p, f, q, s

 dizi uzaylarında ge¸cerli olan t¨um ifadeler sırası ile w0 ˆA, p, fv, q, s



, w ˆA, p, fv, q, s,

w∞ ˆA, p, fv, q, s



uzaylarında da ge¸cerlidir. Orne˘¨ gin v ∈ N olmak ¨uzere w ˆA, p, fv, q, s ¨uzerindeki paranorm Gv(x) = sup m,n ( X k amkk−s[fv(q (xk+n))]pk )T1

¸seklinde olacaktır. Bu kısımda amacımız v do˘gal sayısının durumuna g¨ore w ˆA, p, fv, q, s



uzayını incelemektir.

Teorem 2.4.2. inf pk> 0, A = (amk) reg¨uler ve t < v, t, v ∈ N olmak ¨uzere

xk → u h w ˆA, p, ft, q, s i ise xk → u h w ˆA, p, fv, q, s i (2.4.1) dir.

˙Ispat. ˙Ispatı t¨umevarım metodu ile yapalım. v − t = r dersek r ∈ N ve r ≥ 1 olur. S

¸imdi r = 1 i¸cin (2.4.1) ifadesinin do˘gru oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin xk → u

h

w ˆA, p, ft, q, si iken xk → u

h

w ˆA, p, ft+1, q, si

oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. f sıfırda sa˘gdan s¨urekli oldu˘gundan 0 <  < 1 i¸cin 0 < δ < 1 olacak ¸sekilde en az bir δ > 0 vardır ¨oyle ki 0 ≤ t ≤ δ iken f (t) <  kalır.

I1 =k ∈ N : ft(q (xk+n− u)) ≤ δ

I2 =k ∈ N : ft(q (xk+n− u)) > δ

(50)

ve inf pk = h dersek Lemma 2.2.2 den her 0 <  < 1 i¸cin I =X k amkk−sft+1(q (xk+n− u)) pk =X k amkk−sf ft(q (xk+n− u)) pk =X k∈I1 amkk−sf ft(q (xk+n− u)) pk +X k∈I2 amkk−sf ft(q (xk+n− u)) pk ≤X k amkk−s[]pk+ X k amkk−s  2f (1) δ f t(q (x k+n− u)) pk

olur. Yine burada

 2f (1) δ h = d1 ve  2f (1) δ H = d2 denirse I ≤ HX k amkk−s+ max (d1, d2) X k amkk−sft(q (xk+n− u)) pk

olur. Burada m → ∞ i¸cin limit alınırsa xk → u

h w ˆA, p, ft, q, si iken xk → u h w ˆA, p, ft+1, q, s i

oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. S¸imdi (2.4.1) ifadesinin r i¸cin do˘gru oldu˘gunu kabul edelim, yani

xk → u

h

w ˆA, p, ft, q, si iken xk → u

h

w ˆA, p, ft+r, q, si olsun. ft+r+1(z) = f (ft+r(z)) oldu˘gundan r = 1 durumuna benzer ¸sekilde

xk → u

h

w ˆA, p, ft, q, si iken xk → u

h

w ˆA, p, ft+r+1, q, si

oldu˘gu kolayca g¨or¨ulebilir. Bu da r+1 i¸cin (2.4.1) ifadesinin do˘gru oldu˘gunu g¨osterir. B¨oylece ispat tamamlanmı¸s olur.

Sonu¸c 2.4.1. inf pk > 0, A = (amk) reg¨uler ve v ∈ N ise

i) xk → u h w ˆA, p, f, q, s i ise xk → u h w ˆA, p, fv, q, s i ii) xk → u h w ˆA, p, q, si ise xk → u h w ˆA, p, fv, q, si dir.

˙Ispat. t = 1 i¸cin bir ¨onceki teorem kullanılarak (i) kolayca elde edilir. Bu sonucun (i) durumu ve Teorem 2.3.5 dikkate alındı˘gında (ii) nin do˘grulu˘gu hemen g¨or¨ul¨ur.

(51)

Teorem 2.4.3. t < v, t, v ∈ N ve f bir mod¨ul¨us fonksiyonu olsun. Bu durumda i) f (z) < z ise w ˆA, p, q, s⊆ w ˆA, p, ft, q, s⊆ w ˆA, p, fv, q, s

ii) f (z) ≥ z ise w ˆA, p, fv, q, s⊆ w ˆA, p, ft, q, s⊆ w ˆA, p, q, s dir.

˙Ispat. i) f (z) < z ve x ∈ w ˆA, p, q, s olsun. f artan oldu˘gundan

fv(z) ≤ fv−1(z) ≤ fv−2(z) · · · ≤ f2(z) ≤ f (z) < z

ve her k, n i¸cin xk+n ∈ X olup q (xk+n− u) ≥ 0 oldu˘gundan yukarıdaki e¸sitsizliklerde

z = q (xk+n− u) alırsak fv(q (xk+n− u)) ≤ fv−1(q (xk+n− u)) ≤ fv−2(q (xk+n− u)) ≤ · · · ≤ f2(q (xk+n− u)) ≤ f (q (xk+n− u)) < q (xk+n− u)

yazabiliriz. s ≥ 0, her k i¸cin pk> 0 ve her m, k i¸cin amkk−s > 0 oldu˘gundan

amkk−s[fv(q (xk+n− u))]pk ≤ amkk−sfv−1(q (xk+n− u)) pk ≤ amkk−sfv−2(q (xk+n− u)) pk ≤ · · · ≤ amkk−sf2(q (xk+n− u)) pk ≤ amkk−s[f (q (xk+n− u))]pk < amkk−s[q (xk+n− u)]pk

elde edilir. k = 1 den ∞’a kadar toplam alıp sonra m → ∞ i¸cin limit alınırsa w ˆA, p, q, s⊆ w ˆA, p, ft, q, s⊆ w ˆA, p, fv, q, s

(52)

ii) f (z) ≥ z ve x ∈ w ˆA, p, fv, q, solsun.(i) dekine benzer olarak amkk−s[fv(q (xk+n− u))] pk ≥ a mkk−sfv−1(q (xk+n− u)) pk ≥ amkk−sfv−2(q (xk+n− u)) pk ≥ · · · ≥ amkk−s[f (q (xk+n− u))] pk ≥ amkk−s[q (xk+n− u)] pk yazabiliriz. Bu e¸sitsizlikten w ˆA, p, fv, q, s⊆ w ˆA, p, ft, q, s⊆ w ˆA, p, q, s oldu˘gu a¸cık bir ¸sekilde g¨or¨ulmektedir.

(53)

B ¨

OL ¨

UM 3

ORLICZ D˙IZ˙I UZAYLARI

3.1

Orlicz Fonksiyonu

Konveks fonksiyonlar teorisinin temeli, 1906 da J. Jensel ile olu¸sturulmu¸s, 1934 de G. Hardy & J. Littlewood & G. Polya, ”Inequalities” isimli eserde konveks fonksiyonları ayrıntılı olarak incelemi¸slerdir. 1931 de Z.W. Birnbaum & W. Orlicz, ” ¨Uber die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugierten Potenzen” isimli ¸calı¸smayla konveks fonsiyonların ¨ozel bir sınıfında yer alan N -fonksiyonları tanımlamı¸stır. N -fonksiyonların ayrıntılı bir incelemesi, 1961 de M. A. Krasnosel’skii & Y. B. Rutickii [20] tarafından ”Convex Functions and Orlicz Spaces” adlı ¸calı¸smayla yapılmı¸stır. 1991 de M. M Rao & Z. D. Ren [49] ,”Theory of Orlicz Spaces” adlı ¸calı¸smada, N −fonksiyonların daha kapsamlı ve sistematik bir incelemesini verdiler. Bir N −fonksiyon ile Orlicz fonksiyonu arasında ¸cok yakın bir ili¸ski vardır.

M (a) = 0 olacak ¸sekildeki her konveks fonksiyonun

M (u) =

u

Z

a

p (t) dt

¸seklinde bir integral g¨osterimine sahip olması, bu konveks fonksiyonun sahip oldu˘gu ¨

ozellikleri, p (t) fonksiyonu ile inceleme imkanı tanır.

W. Orlicz, lp uzayının in¸sasında tp fonksiyonunun rol oynamasından esinlenerek,

tp yerine daha genel bir M fonksiyonu alıp,

X

k=1

M (|ak|) serisi yakınsak olacak

¸sekildeki t¨um (ak) dizilerinin c¨umlesinde ¸calı¸sılabilece˘gi fikrini do˘gal bularak, bu

¸sekildeki dizilerin c¨umlesinin bir Banach uzayı yapısına sahip olması i¸cin M ¨uzerinde ne gibi kısıtlamalar yapılması gerekti˘gini ara¸stırmı¸stır. Bu y¨uzden, s¨oz konusu fonsiyon, Orlicz fonksiyonu ve bu fonksiyon ile tanımlanan uzay, Orlicz dizi uzayı olarak adlandırılmı¸stır.

Şekil

Updating...

Referanslar

Updating...

Benzer konular :