Ders_2_Bulanık Kümeler

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

2.1 Gİriş

Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir:

A= { x | x > 6 } ,

Kapalı sınır noktası burada 6 ‘dır .Burada olduğu gibi ; eğer x bu sayıdan büyükse öyleyse x A kümesine aittir aksi takdirde x bu kümeye ait değildir. Klasik kümelere göre bulanık kümeler , adından da anlaşılacağı gibi kesin limitleri olmayan bir kümedir. Yani, " kümeye ait olan" dan "kümeye ait olmayana" geçiş aşamalı olur ve bulanık kümelere "su sıcak " veya "sıcaklık çok yüksek" gibi tanımlarda olduğu gibi modellemede çoğunlukla dilsel açıklamalara esneklik kazandıran bu düzgün geçiş üyelik fonksiyonları olarak tanımlanmaktadır.

2.2 Basit tanımlamalar ve terminoloji

X bir nesneler uzayı, x de bu uzaya ait bir eleman olsun. A kümesi de bu X’in alt kümesi olan bir klasik küme olsun. Bu durumda her bir x için bu A kümesine aittir ya da ait değildir. Her bir x elemanı için bir karakteristik fonksiyon tanımlayarak, klasik A kümesini (x,0) veya (x,1) sıralı ikililerle temsil edebiliriz. {(x,0)’ın anlamı x∉ A, (x,1)’in anlamı x∈A’dır.} Bu gösterim x elemanının A kümesine ait olup olmadığını gösteren bir gösterimdir.

Bulanık kümelerin karakteristik fonksiyonları ise bir elemanın ilgili bulanık kümeye üyeliğinin derecesini gösteren [0-1] aralığındaki değerlere sahip olmayı sağlar.

Tanım 1: Bulanık kümeler ve üyelik fonksiyonları

A = { (x, μΑ(x) | x ∈ X }

Bu tanımlamada A kümesi bir bulanık küme, μΑ(x) ise bu kümeye ilişkin üyelik fonksiyonudur.

Bulanık kümeler ayrık uzayda da, sürekli uzayda da tanımlı olabilirler.

Örnek 1 : Diyelim ki X ayrık bulanık kümesi,

X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } olarak öğrencinin bir dönemde alabileceği kursların kümesi olsun. O halde bulanık küme olan A = "alınabilecek kursların sayısı " şeklinde olup örneğin şöyle tanımlanabilir :

A = { ( 1, 0.1 ), ( 2, 0.3 ), ( 3, 0.8 ), ( 4, 1 ), ( 5, 0.9 ), ( 6, 0.5 ), ( 7, 0.2 ), (8, 0.1 ) }

Bu bulanık küme Şekil 1 (a)'da gösterilmiştir.

Örnek 2 : Diyelim ki X ‘in sürekli bulanık kümesi ,

X = R+ insanın gelebileceği olası yaş değerleri olsun. Bu durumda B bulanık kümesi; B = "yaklaşık 50 yaşında" şu şekilde tanımlanabilir:

B = { ( x, μΒ(x) | x ∈ X } , ve B 4 10 50 x 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = μ Bu da şekil 1 (b) ' de gösterilmiştir.

Şekil 1 (a); A=” alınabilecek kurs sayısı” (b); B= “ yaklaşık 50 yaşında” bulanık kümelerinin üyelik fonksiyonları

A bulanık kümesini tanımlamanın diğer bir yolu;

⎩ ⎨ ⎧ μ μ =

∫

∑

Eşitlikteki toplam ve integral sembolleri ikililerinin birleşimi anlamına gelip, toplam veya integrali belirtmez. Benzer şekilde, " / " ifadesi sadece bir işarettir ve bölme anlamına gelmez. Buna göre örnek 1 ve örnek 2 'de ki fuzy serilerini yeniden yazacak olursak;

A = 0.1/ 1+0.3 / 2+0.8 / 3+1.0 / 4+0.9 / 5+0.5 / 6+0.2 / 7+0.1 / 8 ve B = /x 5 50 x 1 1 R 4 ∫+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + , şeklinde olacaktır.

Birinci ve ikinci örnekten ,Bulanık kümenin çiziminin iki şeye bağlı olduğunu görmekteyiz.; uygun bir evrensel deyişin tanımı ve uygun bir üyelik fonksiyonunun ( ÜF ) belirlenmesi. Burada üyelik fonksiyonun özelliklerinin kesinlikle subjektif olduğu anlaşılmalı yani üyelik fonksiyonları aynı kavramlar ( söylemek, "soğuk" ) için açıkça belirtilmiş olmalıdır. Bu subjektiflik , soyut fikirlerin belirsiz olma doğasından kaynaklanmaktadır ve rastgelelik ile ilgili yapılabilecek bir şey yoktur. Bu yüzden subjektiflik ve rastgele olmama bulanık kümelerinin, çalışma alanları ile rasgele olayların nesnel işlemleri ile uğraşan olasılık teorisi arasındaki öncelikli farkı oluşturur.

Literatürde kullanılan bazı terimlerin tanımları

♣ Destek (support): A bulanık kümesinin desteği X uzayındaki x’lerden μΑ(x) >0

koşulunu sağlayanların oluşturduğu bir kümedir.

destek (A)={x| μΑ(x) >0}

♣ Göbek (core): A bulanık kümesinin göbeği X uzayındaki x’lerden μΑ(x)=1

koşulunu sağlayanların oluşturduğu bir kümedir.

göbek (A)={x| μΑ(x)=1 }

♣ Normallik (olağanlık): Bir bulanık kümenin göbek kümesi boş küme değilse o bulanık küme normal’dir.

♣ Karşılık (crossover) noktası: Bulanık kümeyi tanımlayan ÜF’nin 0.5 değerini aldığı noktadır.

karşılık (A)={x| μΑ(x)=0.5}

♣ Bulanık tek ton (singleton) : μΑ(x)=1 koşulunu sağlayan tek bir noktaya sahip

bulanık kümedir. Diğer değişle destek kümesi bir noktadan oluşan kümedir. ♣ α-seyiseyi, kuvvetli α-seyiyesi: Aα={x|μA(x)≥α}, A′α={x|μA(x)>α}

♣ Konvekslik (dış bükeylik) : x1, x2 ∈ X ve λ∈[0,1] olmak üzere aşağıdaki koşulu sağlayan küme dış bükeydir.

)} x ( ), x ( min{ ) x ) 1 ( x ( 1 2 A 1 A 2 Aλ + −λ ≥ μ μ μ

Diğer değişle, bir kümenin tüm alfa seviye kümeleri konveks ise o küme de konvekstir.

Şekil 2. Dış bükey (konveks) olan ve olmayan bulanık kümeler

♣ Bulanık sayılar: A bulanık kümesinin bulanık bir sayısı normallik ve dış bükeylik için gerekli koşulları sağlayan gerçek uzayda (R) bir bulanık kümedir. Literatürde kullanılan bulanık kümelerin çoğu normallik ve dış bükeylik koşullarını sağlar. Yani, bulanık sayılar en temel tip bulanık kümelerdir

♣ Simetri: Belli bir nokta civarında bir kümenin ÜF’si simetrik ise küme de simetriktir denir.. X x , ∀ ∈ − μ = + μA(c x) A(c x) ♣ Sola açık, sağa açık, kapalı :

kapalı ise açık sağa ise ve açık sola ise ve 0 ) x ( lim ve 0 ) x ( lim 1 ) x ( lim 0 ) x ( lim 0 ) x ( lim 1 ) x ( lim A x A x A x A x A x A x = μ = μ = μ = μ = μ = μ +∞ → −∞ → +∞ → −∞ → +∞ → −∞ →

Bulanık kümeleri alışılagelmiş olan küme işlemlerinden birleşme, kesişme ve kapsama işlemlerine benzer işlemlere sahiptir ki bu işlemler Zadeh ' in makalesinde başlangıçta tanımlanmıştır. Bu üç bulanık küme işlemlerine değinmeden önce ilk olarak bulanık kümeleri ve bayağılık arasında merkez rol üstlenen kapsama fikrini tanımlayacağız. Bu kapsama tanımı tabi ki bayağı kümeler için olanın doğal bir genişletilmişidir.

TANIM 2 : Kapsama veya Altküme

B bulanık kümesi, A bulanık kümesini kapsar yanlız ve yanlız μΑ(x) ≤μB (x) ’i,x ' in tüm değerleri için. Sembolik olarak ifade edecek olursak;

B

A ⊆Β⇔ μΑ(x) ≤ μB (x) .

Şekil 3. Alt küme kavramı

TANIM 3 : Birleşme

İki bulanık küme A ve B' nin birleşimi C bulanık kümedir. Yazımı da C = A ∪Β veya C = A OR B‘nin ÜF’si A ve B ye bağlı olan C' nin yazımıdır.

μC (x) = max ( μA (x) , μB ( x ) ) = B μΑ (x) ∨ μB (x)

TANIM 4 : Kesişme ( bağlaşım )

A ve B gibi iki bulanık kümesinin kesişimi, C adı altında bir bulanık kümesidir .

C = A ∩Β veya C = A AND B olarak yazılır ve C ‘nin ÜF’si fonksiyonu μC (x), A ve B'ye bağlıdır.

μC(x) = min ( μA (x) , μBB ( x ) ) = μA(x) Λ μBB (x)

TANIM 5 : Tümleyen (evriği )

A Bulanık kümesinin tümleyeni olan, A, (veya ¬A, NOT A ) şeklinde gösterilip aşağıdaki gibi tanımlanır:

Şekil 4. Bulanık küme işlemleri, (a); A ve B Bulanık kümeleri, (b) A’nın evriği, (c); A ile B ‘nin bileşimi, (d); A ile B’nin kesişimi

Bulanık küme içinde kullanılan diğer bağlantılı tanımlamalardan AND ve OR işlemleri, sırasıyla T-norm ve T-conorm adları altında literatürde önerilmiştir. Min ve Max dışındaki hiç bir işlem dağılma yasası için yeterli değildir.

μA∪ (B ∩ C) (x) = μ( A∪B) ∩ (A∪C) (x) . μA∩ (B ∪ C) (x) = μ( A∩B) ∪ (A∩C) (x)

Bununla birlikte, min ve max ifadeleri bulanık sonuçlu sistemlerin analizinde bazı sorunlar çıkmasına sebebiyet verebilir. En bilinen alternatifi, AND ve OR olasılıklarını kullanmaktır.

μ(A ∩Β) (x) . = μΑ (x) μΒ (x) .

μ(Α∪Β) (x) = μΑ (x) + μΒ ( x ) - μΑ (x) μΒ (x) . TANIM 6 : kartezyen çarpım ve co-çarpım

A ve B sırasıyla X ve Y uzayında tanımlı iki bulanık küme olsun. A ve B’nin kartezyen çarpımı (AxB) XxY uzayında bir bulanık kümedir. Bu kümenin ÜF’si de;

)) y ( ), x ( min( ) y , x ( _{A B} B A = μ μ μ _× ile tanımlanır.

Kartezyen co-çarpım (A+B)’nin ÜF’si ise )) y ( ), x ( max( ) y , x ( _{A B} B A = μ μ

μ _{+ ile tanımlanır. Bu iki ÜF de iki boyutlu bir} ÜF’dir.