Kuantum kuyularında bağlanma enerjisi ve polarizebilite

(1)

KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

FĠZĠK ANABĠLĠM DALI

GĠZEM ġEN

Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN

(2)

T.C

TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE

GĠZEM ġEN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI

Tez yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN

EDĠRNE 2011

(3)

(4)

(5)

Yüksek Lisans Tezi

Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Polarizebilite Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Fizik Anabilim Dalı

ÖZET

Elektrik alan altında, Bir kuantum kuyusunun subband bağlanma ve yabancı atom enerjileri, etkin kütle yaklaĢımı göz önüne alınarak ve varyasyonel yöntem kullanılarak hesaplanmıĢtır. Taban durum dalga fonksiyonlarını kullanarak, polarizasyon ve polarizabilite yabancı atom konumu elektrik alan Ģiddeti ve kuyu geniĢliğinin bir fonksiyonu olarak hesaplanmıĢtır.

Polarizasyon ve polarizabilite‟nin yabancı atomun konumuna ve hapsedilmenin derecesine bağlı olduğu bulunmuĢtur. Sonuçlar literatürle uyumludur.

Yıl:2011 Sayfa:62

Anahtar Kelimeler: Kuantum Kuyuları, Elektrik Alan, Dönor, Polarizasyon, Polarizebilite

(6)

M. S. Thesis

Binding Energy And Polarizebilite Quantum Wells

Trakya University, Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics

SUMMARY

Subband, binding and impurity enerjies of a GaAs quantum well under an applied electric field have been investigated within a variational procedure and considering the effective mass approximate. Using ground state wave functions, polarization and polarizability have been calculated as a function of the impurity position, electric field strenght and well width.

It is found that the polarization and polarizability depend on the impurity position and degree of confinement. The resuts are in agreementwith the lirature.

Year:2011 Pages: 62

(7)

TEġEKKÜR

Tez yöneticiliğimi üstlenerek çalıĢmalarım sırasında desteğini esirgemeyen, Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN‟ a teĢekkür ederim.

ÇalıĢmalarım esnasında aydınlatıcı bilgilerini ve desteğini esirgemeyen Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölüm BaĢkanı Prof. Dr. Hasan AKBAġ ve Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç.Dr. Ġlhan ERDOĞAN‟ a yardımlarından dolayı teĢekkür ederim.

Bu çalıĢma süresince her türlü desteğini esirgemeyen Faik GÜNDOĞDU „ya teĢekkür ederim.

(8)

ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET...i SUMMARY...ii TEġEKKÜRLER...iii ĠÇĠNDEKĠLER...iv SĠMGELER DĠZĠNĠ...vi ġEKĠLLER DĠZĠNĠ………....…..vii 1. GĠRĠġ……….1

2. KUANTUM KUYULARININ OLUġUMU………..………..3

3. SĠMETRĠK SONSUZ POTANSĠYEL KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ ……….…………..5

3.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi……….11

3.2. Donor Etkisindeki Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Düzgün Elektrik Alan Etkisi………...………15

4. YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ ……….22

(9)

4.2. Donor Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Düzgün Elektrik Alan

Etkisi………...33

5. POLARĠZASYON VE POLARĠZEBĠLĠTE….………41

5.1. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite………...42

5.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite.……….51

SONUÇLAR VE TARTIġMA………...………...60

KAYNAKLAR...61

(10)

SĠMGELER DĠZĠNĠ

m* Elektronun etkin kütlesi

a0 Bohr yarıçapı

a* Etkin Bohr yarçapı

R* Etkin Rydberg enerjisi

λ Varyasyonel Parametre

ψ Dalga fonksiyonu

ε Dielektrik sabiti

β Varyasyonel Parametre

η Hamiltonien „ deki elektrik alan terimi

ξ DeğiĢken

zi Yabancı atomun konumu

(11)

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 1: Kuantum kuyularının oluĢumu………3

ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu………...5

Grafik 3.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre

elektronun enerjisinin değiĢimi………...10

ġekil 3: Yabancı atom etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu……….11

Grafik 3.2 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin kuyu

geniĢliğine bağlı değiĢimi………14

ġekil 4: Donor etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan

etkisi……….15

Grafik 3.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda donor enerjisinin

enerjisinin zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….18

Grafik 3.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4

konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..…….19

Grafik 3.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4

konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..………20

Grafik 3.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4

konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………...21

ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu……….………..22

Grafik 4.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga

fonksiyonu………...………27

Grafik 4.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100, 200 Å kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin değiĢimine göre enerjinin değiĢimi………...28

(12)

ġekil 6: Yabancı atom etkisi altındaki yarı sonlu kuantum kuyusu………...…….29

Grafik 4.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında

bağlanma enerjisinin kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi…...………...32

ġekil 7: Elektrik alan altında ve donor etkisinde –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo

potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyusu……….33

Grafik 4.4: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen

elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu………...………...36

Grafik 4.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu

geniĢliğine bağlı değiĢimi……….………...37

Grafik 4.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atom

zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………...38

Grafik 4.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu

zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..39

zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….40

Grafik 5.1.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı

atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..43

atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..44

Grafik 5.1.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin

yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………...45

Grafik 5.1.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizebilitenin

yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..……….46

(13)

atom zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………..47

atom zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..………..48

yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………...…49

yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi……….50

Grafik 5.2.1: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken

polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….………..52

polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………..………..53

polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….………..54

polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi………..………..…55

Grafik 5.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken

polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….……….………….……56

(14)

Grafik 5.2.6: Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4

konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………57

Grafik 5.2.7: : Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4

konumundayken polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……….……….………58

Grafik 5.2.8: Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4

konumundayken polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi………..…………59

(15)

1.) GĠRĠġ

Farklı tür yarıiletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluĢturulan düĢük boyutlu yapıları kuantum fiziği yardımı ile araĢtırmak mümkündür. DüĢük boyutlu yarı iletken sistemler nanometre (10-9 m) boyutunda elektronik ve optoelektronik cihazlardan oluĢmaktadır. Bu nanometre boyutlarında elde edilen cihazlar günümüz bilgisayar ve haberleĢme endüstrisinde kullanılan devrelerin temellerini oluĢturmaktadır. Günümüz teknolojisinde Moleküler Demet Büyütme: MBE (Molecular-beam epitaxy) , Kimyasal Buhar Depolama (CVD) ve Sıvı Faz Büyütme: LPE (Liquid Phase Epitaxy) gibi deneysel teknolojiler ile potansiyel kuyu üretmek mümkün kılınmıĢtır. Günümüzde bu deneysel teknolojilerle üretilen elektronik devre elemanlarının fiziği; fizik ve elektronik dünyasında çok büyük ilgi görmektedir.

DüĢük boyutlu yapıları; kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum kutuları (noktaları) olarak sınıflandırmak mümkündür. Bu sınıflandırılma yapılırken elektronun serbestlik boyutu göz önüne alınır. Elektron; kuantum kuyularında bir boyutta, kuantum tellerinde iki boyutta ve kuantum kutularında ise her üç boyutta sınırlandırılmıĢtır. Sınırlandırma boyutu göz önüne alınarak, kuantum kuyuları iki boyutlu, kuantum telleri bir boyutlu ve kuantum kutuları sıfır boyutlu yarıiletken sistemler olarak adlandırabilmek mümkündür.

DüĢük boyutlu yapıların iletkenliği, malzemeye yabancı atom katılması ile arttırılabilir. Bu nedenle bir yabancı atomun yapıya eklediği ilave elektronun enerji öz durumları ve bağlanma enerjileri yapıyı karakterize eder. Kuantum kuyularında elektrik alanın uygulanması, elektronun dağılımında değiĢimlere yol açar. Polarizasyon oluĢur ve enerji düzeylerinde kaymalar olur. Bu etkiler düĢük boyutlu yapının kullanıldığı aygıtın çıkıĢ yoğunluğunun kontrol edilmesinde ve ayarlanmasında kullanılabilir. Ayrıca kuantum enerji durumlarının değiĢimi ile yabancı atom bağlanma enerjisi de değiĢtiği için elektrik alan etkisinin incelemesi önemlidir.

Yapılan çalıĢmalarda etkin kütle yaklaĢımında varyasyonel bir yöntem kullanılarak kuantum kuyularında dıĢarıdan uygulanan bir elektrik alanın yabancı atom bağlanma enerjileri üzerindeki etkileri araĢtırılmıĢtır. Bu çalıĢmalarda bağlanma

(16)

enerjisinin kuyunun geometrik biçimine, yabancı atom konumuna ve uygulanan elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak artma veya azalma gösterdiği gözlenmiĢtir.

Bu çalıĢmada bir boyutlu kuantum kuyularına hapsedilen elektronların davranıĢları incelenmiĢtir. Kuantum kuyularına hapsedilen bir elektronun taban durum dalga fonksiyonu ve enerjileri bulunmuĢtur. Elektronun düzgün ve sabit elektrik alana bağlı olarak; simetrik sonsuz ve yarı sonlu kuantum kuyularında nümerik çözümlerde Varyasyonel yöntem kullanılarak hesaplanmıĢtır. Elektrik alan ve donor etkisinin sistemin Hamiltonyen‟ine getirdiği katkılar da verilmiĢtir. Kuyu içinde bulunan elektrona çeĢitli konumlardaki yabancı atomun etkisi ve bağlanma enerjileri araĢtırılmıĢtır. Düzgün ve sabit elektrik alan etkisi altında ve donor etkisi sonucunda sahip olduğu enerjileri, deneme dalga fonksiyonları ile yaklaĢık olarak bulunmuĢtur.

DüĢük boyutlu yapılarda elektronun enerji durumlarının incelenmesi Schrödinger denkleminin çözümü ile mümkün olmaktadır. Bu yapılarda analitik çözümlerin bulunması yabancı atom varlığında veya elektrik alan uygulandığında zorlaĢtığı için nümerik yöntemler kullanılmaktadır. Bu nümerik yöntemler; sonlu farklar yöntemi, varyasyon yöntemi vs.‟dir. Biz bu çalıĢmada varyasyon yöntemini kullandık. Elektrik alan etkisi altındayken kartezyen koordinatlar, donor etkisinde ise iĢlem kolaylığı açısından silindirik koordinatlar kullanılarak hesaplamalar yapılmıĢtır.

Son bölümde; tartıĢma ve sonuçlar verilmiĢtir. TartıĢma ve sonuçlar bölümünde incelediğimiz kuantum kuyularında bağlanma enerjisini; yabancı atomun konumuna, V0 potansiyel yüksekliğine ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak incelenmiĢtir. Daha sonra elektrik alanın taban durum dalga fonksiyonunu nasıl etkilediği incelenmiĢtir.

Bu tezdeki nümerik hesaplamalarda, Fortran 77 ile kendi yazdığımız programlar kullanılmıĢtır.

(17)

2.) KUANTUM KUYULARININ OLUġUMU

DüĢük boyutlu yapılar kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktalarıdır. Kuantum kuyusunda elektron tek boyutta potansiyel duvar arasına hapsedilir ve diğer iki boyutta serbestçe hareket eder. Kuantum tellerinde ise elektron iki boyutta potansiyel duvarlar arasında kalır ve tek yönlü hareketi serbesttir. Kuantum noktalarında ise elektron üç boyutta da potansiyel duvarlarla karĢılaĢır. Bu tanımladığımız yapılar farklı tür yarı iletkenlerin bir araya getirilmesi ile oluĢturulurlar.

(18)

Tek boyutlu bir sistemde Ga_1−xAl_xAs ve GaAs malzemeleriyle bir yapı oluĢturulduğunda, oluĢan yapı için “z” yönündeki potansiyel değiĢimi Ģekil-1‟ de gösterildiği gibi olur. Buradaki x ifadesi mol kesridir ve yapının oluĢtuğu malzemelerin Ga, Al oranını belirler. Buradaki x‟ i kısaca malzemede bulunan alüminyum miktarını belirleyen bir değiĢken olarak tanımlayabiliriz.

Ġletkenlik ve Valans bandındaki potansiyeller için V0, Vh aĢağıdaki bağıntılar kullanılabilir.

E_g = 1,555 x + 0,37 x2 V₀ = %60 E_g V_h = %40E_g

Ga1−xAlxAs malzemesinde mol kesri x = 1 olursa sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu elde edilir.

(19)

3.) SĠMETRĠK

SONSUZ

POTANSĠYELLĠ

KUANTUM

KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN

ÖZELLĠKLERĠ

Tek boyutlu, L geniĢliğindeki sonsuz potansiyelli bir kuantum kuyusu içindeki m* etkin kütleli elektronun dalga denklemi çözülecektir. Böyle bir kuyu için potansiyel dağılımı; V z = 0, z ≤L₂ ∞, z >L 2 (3.1)

Ģeklindedir. Bu ifadeye göre sonsuz potansiyel kuyusu aĢağıdaki gibidir;

(20)

Kuyunun dıĢındaki 1. ve 3. bölgelerde m*

etkin kütleli elektron sonsuz potansiyelli enerji duvarlarını aĢamayacağından daima kuyu içinde kalacaktır. Yani elektronu temsil eden dalga fonksiyonu ψ z sıfır olacaktır. Schrödinger denklemi yalnızca kuyu içinde çözülmelidir.

Kuyunun içinde Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi:

H₀ψ z = E_nψ z (3.2)

−ℏ2

2m∗

d2

dz2 ψ z = Enψ z (3.3)

dir. Uzunluk olarak etkin bohr yarıçapı a* ve enerji birimi olarak Rydberg enerjisi

alınırsa ℏ2

2m∗ = 1 olacağından elektron sonsuz potaniyelli kuantum kuyusuna

hapsedildiğinde Schrödinger denklemi:

−d2

dz2 ψ z = Enψ z

−d2

dz2 − En ψ z = 0 (3.4)

Ģeklini alır. Burada k = En olmak üzere dalga fonksiyonu; ψ z = A cos kz + B sin kz Ģeklinde elde edilir.

Bu genel çözüme sınır Ģartlarını uygularsak:

 z = −L 2 ‟ de V z = ∞ olduğundan ψ2 z = − L 2 = 0 olmalıdır. ψ −L 2 = A cos − kL 2 + B sin − kL 2 = 0 ve A cos kL 2 − B sin kL 2 = 0  z =L 2 ‟de V z = ∞ olduğundan ψ2 z = L 2 = 0 olmalıdır.

(21)

ψ L 2 = A cos kL 2 + B sin kL 2 = 0 ve A cos kL 2 + B sin kL 2 = 0

elde edilir. Bu denklemleri çözmek için katsayılar determinatına bakılır. sin kL 2 cos kL 2 − sin kL 2 cos kL 2 = 0 sin kL 2 cos kL 2 + sin kL 2 cos kL 2 = 0 2sin kL 2 cos kL 2 = 0 sin 2 kL 2 = 0 kL = nπ k_n =nπ L n=0,1,2,... (3.5)

Burada k_n ifadesini yerine yazarak; ψ z = A cos nπ

L z + B sin nπ

L z (3.6)

Elde edilen bu dalga fonksiyonu için tek ve çift olmak üzere iki tür çözümü vardır.

n çift durum için: A = 0, B ≠ 0

ψ_n+ z = A cos nπ

L z n=1,3,5,… (3.7)

n tek durum için: B = 0, A ≠ 0

ψn− z = B sin nπ

(22)

Burada A ve B normalizasyon sabitleridir. Bu sabitler dalga fonksiyonunun normalize edilmesi ile elde edilir.

ψ∗ z L/2

−L/2 ψ z dz = 1 (2.9)

Dalga fonksiyonlarının normalize edildikten sonraki ifadeleri:

ψ_n+ z = 2 Lcos nπ L z n=1,3,5,… (3.10) ψ_n− z = 2 Lsin nπ L z n=2,4,6,… (3.11) elde edilir.

Elektronun enerji özdeğeri ise:

En =

ψn z H0 ψn z

ψn z ψn z (3.12)

bağıntısından hesaplanır, burada sistemin H Hamiltonieni;

H₀ = − d

2 dz2 dir.

Bu sonuçlar doğrultusunda sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna hapsedilen parçacığın alabileceği enerji özdeğerleri n tamsayısına bağlı değiĢir. Yani enerji değerleri tam sayı katları Ģeklinde kuantize olmuĢtur.

Parçacığın taban durum enerjisi hesaplanmıĢ ve kuyu geniĢliğine bağlı olarak Grafik 3.1 „ de verilmiĢtir.

(23)

GaAs bölgesine hapsedilmiĢ elektronun etkin kütlesi m*

=0,067m0‟dır. burada m0=9,11.10-31kg serbest elektron kütlesidir. AlAs / GaAs / AlAs kuantum kuyusunda bulunan böyle bir elektronun taban durum enerjisi hesaplanmıĢ ve kuyu geniĢliğine bağlı olarak Grafik 3.1‟ de verilmiĢtir.

(24)

Grafik 3.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre

(25)

3.1. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda

Yabancı Atom Etkisi

ġekil 3:Yabancı atom etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu

Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna yabancı bir atom bulunduğunda, bu atomla elektron arasında bir coulomb etkileĢmesinden dolayı bir coulomb potansiyeli oluĢur. Buna göre sonsuz kuantum kuyusu içindeki bir elektrona yabancı bir atomun etkisinin olması durumunda Hamiltonyeni;

H_i = − ћ2 2m∗∇ 2₋ e2 ε0r (3.1.1) Ģeklindedir. Burada; ∇2₌ ∂ 2 ∂x2+ ∂2 ∂y2+ ∂2 ∂z2

kartezyen koordinatlardaki ifadesidir. ĠĢlem kolaylığı açısından kartezyen koordinatlardan silindirik koordinatlara geçildiğinde;

x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z ρ2 _{= x}2_{+ y}2

(26)

r2 = x2+ y2+ z2 r = x − x_i 2_{+ y − y}

i 2+ z − zi 2

xi, yi, zi yabancı atomun konumu olmak üzere tek boyutlu bir sistem için xi=yi = 0 olduğundan; r = x2 _{+ y}2_{+ z − z} i 2 r = ρ2 _{+ z − z} i 2 alınırsa H_i = − ћ2 2m∗ ∂2 ∂z2− ћ2 2m∗ 1 ρ ∂ ∂ρρ ∂ ∂ρ− e2 ε ρ2_+(z−z i)2 (3.1.2)

Uzunluklar a∗_{ve enerjiler R}∗_{biriminde alındığında} ћ2

2m∗ = 1 ve

e2

ε0 = 2 olur. ε0 ortamın

dielektrik sabitini ve r = ρ2_{+ (z − z}

i)2 yabancı atomun konumunu göstermektedir. Bu durumda; H_i = − ∂2 ∂z2− 1 ρ ∂ ∂ρρ ∂ ∂ρ− 2 ρ2_{+ z−z} i 2 (3.1.3) ve Schrödinger Denklemi H_iψ_i ρ, z = E_iψ_i ρ, z dir. − ∂2 ∂z2− 1 ρ ∂ ∂ρρ ∂ ∂ρ− 2 ρ2_+(z−z i)2 ψ_i ρ, z = Eiψi ρ, z (3.1.4)

(27)

Bu diferansiyel denklemin analitik çözümü yoktur. Bu nedenle yaklaĢık çözüm yöntemlerinden olan varyasyonel yöntemi kullanıyoruz. Taban durum için deneme dalga fonksiyonu

ψ_i ρ, z = N cos π Lz e

− ρ 2+(z −z i)2

λ _(3.1.5)

N normalizasyon katsayısı, λ varyasyon parametresidir.

Bu durumlar göz önüne alınarak taban durum enerjisi için,

E1 =

ψi ρ,z Hi ψi ρ,z

ψi ρ,z ψi ρ,z _min (3.1.6)

ifadesi yazılır.

Bu durumda elektron için bağlanma enerjisinin tanımı yapılabilir. E0 yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, E₁ yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere:

E_b = E_o− E₁ (3.1.7)

olur.

Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 3.2 „de verilmiĢtir.

(28)

Grafik 3.2 :Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine

(29)

3.2. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda

Donor Yabancı Atomuna Düzgün Elektrik Alanın Etkisi

Ġçinde yabancı atom bulunan simetrik sonsuz kuantum kuyusuna “+z” yönünde bir elektrik alan uygulandığında, “F” elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyunun Ģekli aĢağıdaki gibi olur.

ġekil 4: Donor etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi

Düzgün elektrik alan altında donorlu kuantum kuyusu için sistemin Hamiltonieni

Hfi = − ћ2 2m∗∇

2₋ e2

ε0 ρ2+(z−zi)2+ eFz + V z (3.2.1)

olur. Burada z_i yabancı atomun konumunu göstermektedir.

Hamiltonien ћ

2

2m∗= 1 alındığında a

∗_ve _R∗_biriminde _{η = eF olmak üzere} silindirik koordinatlarda Schrödinger Denklemi:

(30)

H_fiψ_fi ρ, z = E_fiψ_fi ρ, z (3.2.2) − ∂2 ∂z2− 1 ρ ∂ ∂ρρ ∂ ∂ρ− 2 ρ2_+(z−z i)2 + ηz + V z ψ_fi ρ, z = E_fiψ_fi ρ, z (3.2.3)

Ģeklinde yazılır. Sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiĢ elektron için V z = 0 olduğundan denklem; − ∂2 ∂z2− 1 ρ ∂ ∂ρρ ∂ ∂ρ− 2 ρ2_+(z−z i)2 + ηz ψ_fi ρ, z = Efiψfi ρ, z (3.2.4)

olur. Bu diferansiyel denklemin analitik çözümü yoktur. Taban durum deneme dalga fonksiyonu; ψfi ρ, z = N2cos π Lz e −βz_e− ρ 2+(z −z i)2_λ (3.2.5)

olur. Bu denklemlerde β ve λ varyasyonel parametrelerdir. Donor enerjisi:

E fi =

ψfi ρ,z Hfi ψfi ρ,z

ψfi ρ,z ψfi ρ,z _{min λ,β} (3.2.6)

formülünden hesaplanır. Silindirik koordinatlarda hacim elemanı; 𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝑧𝑑𝜑

dir.

Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 3.3 ve Grafik 3.5 ‟ te verilmiĢtir.

(31)

Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A0 kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 3.4 ve Grafik 3.6 ‟ da verilmiĢtir.

Grafiklerden taban durum enerjilerinin artan elektrik alan ve artan kuyu geniĢliklerinde azaldığı görülmektedir.

(32)

Grafik 3.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda donor enerjisinin

(33)

Grafik 3.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi.

(34)

Grafik 3.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

(35)

Grafik 3.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

(36)

4.) YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN

BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ

Tek boyutlu simetrik yarı sonlu bir kuantum kuyusunda m kütleli bir parçacık için Schrödinger denklemi çözülecektir. Bu kuyuya ait olan potansiyel enerji dağılımı;

V x = ∞, z ≤ −L ₂ 0, −L 2< z < L 2 V₀, z ≥L 2 (4.1)

Ģeklindedir. Kuyunun Ģekli aĢağıdaki gibi olur.

(37)

Parçacık yarı sonlu bir kuyuda bulunduğundan tamamen kuyu içine hapsolmayacaktır, kuyunun sağındaki engel olan bölgede de bulunabilecektir. Sonsuz kuyuda olduğu gibi yine parçacık kuyunun sol tarafındaki bölgede bulunamayacaktır.

Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi:

H0ψ(z) = E0ψ(z) (4.2)

−ℏ2 2m∗

d2

dz2+ V(z) ψ(z) = E0ψ(z)

Etkin kütle yaklaĢımı altında bu denklem a*

ve R* biriminde ℏ

2

2m∗ = 1 olur.

1.Bölge de a*

, R* birim sisteminde Schrödinger denklemi: −d2

dz2 + 0 ψ1(z) = E0ψ1 z

−d2

dz2 − E0 ψ1 z = 0 (4.2)

olur. Burada; k₁ = E0 „dir.

ψ₁ z = A cos k1z + B sin k1z (4.3)

Ģeklinde elde edilir.

II.Bölge de Schrödinger denklemi: −d2

dz2 + V0 ψ2 z = E0ψ2 z

−d2

dz2 + V0− E0 ψ2 z = 0 (4.4)

olur. Burada; k₂ = V0− E0 „dir.

ψ2(z) = Cek2z+ De−k2z (4.5)

Ģeklinde dalga fonksiyonları elde edilmiĢ olur.

II. bölgede ψ₂(z) dalga fonksiyonu z = ∞ için ψ₂ z = ∞ = 0‟dır ve C katsayısı 0 olmalıdır. Dalga fonksiyonunun yeni hali;

(38)

olur. Bu dalga fonksiyonlarına sınır Ģartları uygulanırsa;  z ≤ −L

2 bölgesinde V z = ∞ olduğundan dalga fonksiyonu ψ1 z = − L 2 = 0 olmalıdır. Acos −k1L 2 + Bsin − k1L 2 = 0 (4.6) A = Btan k1L 2

Bu durumda ψ₁ z dalga fonksiyonu Denklem (3.7)‟deki gibi olur. ψ1 z = Btan k1L 2 cos(k1z) + Bsin(k1z) (4.7)  ψ₁(z) _z=L 2 = ψ₂(z) _z=L 2 ; z =L

2‟de dalga fonksiyonunun sürekliliğinden; Btan k₁L 2 cos(k1 L 2) + Bsin(k1 L 2) = De −k2L ₂ _(4.8)  dψ1(z) dx _z=L 2 = dψ2(z) dx _z=L 2 ; z =L

2‟de dalga fonksiyonlarının türevlerinin sürekliliğinden; −Bk₁tan k₁L 2 sin k1 L 2 + Bk1cos(k1 L 2) = −Dk2e −k2L ₂ _(4.9)

olur. Denklem (4.8) ve Denklem (4.9) oranlanırsa;

Btan k₁L _{2 cos(k}₁L _{2 ) + Bsin(k}₁L _{2 )} −Bk₁tan k₁L _{2 sin k}₁L _{2 + Bk}₁cos(k₁L _{2 )}

= De −k2L ₂ −Dk₂e−k2L ₂ k2tan k1 L 2 + k1 = 0 (4.10)

Burada k1 = E0 ve k2 = V0− E0 „olmak üzere Denklem (4.10);

(39)

bulunur. Bu denklemi sağlayan enerji değerleri nümerik olarak FORTRAN programı yardımı ile hesaplanmıĢtır.

Buna göre dalga fonksiyonları:

ψ₁ z = Btan k1L

2 cos(k1z) + Bsin(k1z) (4.12)

ve

ψ₂ x = De−k2z _(4.13)

olur. Bu denklemlerdeki B ve D sabitleri dalga fonksiyonun normalizasyonu ile elde edilir. ψ₁∗ z ψ1 z dz + L 2 −L 2 ψ2 ∗_{z ψ} 2 z dz = 1 ∞ L 2 (4.14)

Denklemi kullanılırsa dalga fonksiyonları;

ψ z = Btan k1L 2 cos k1z + Bsin k1z − L 2 < 𝑧 < L 2 B sin k1L cos k1L ₂ ek2L ₂_e−k2z_{z >}L 2 (4.15)

olarak elde edilir, burada B katsayısı: B−2 =L 2 1 − sin k1L 2k1L + sin2(k1L) k2L (4.16) „dir.

Elektronun taban durum dalga fonksiyonu nümerik olarak hesaplanmıĢ ve V0=200,400 meV potansiyel engelli kuyu için; Denklem (4.10), Denklem (4.14) ve

(40)

Denklem (4.15) kullanılarak hesaplanmıĢ ve hesaplanan dalga fonksiyonları Grafik 4.1 „ de çizilmiĢtir.

L=100,200 A0 için taban durum enerjinin V0 engel potansiyeline bağlı olarak hesaplanmıĢ ve V0 engel potansiyeline bağlı değiĢimi Grafik4.2‟ de verilmiĢtir. Artan engel potansiyeli ile elektronun enerjinin arttığı ve onsuz kuantum kuyusundaki enerji değerine yaklaĢtığı görülmektedir.

(41)

Grafik 4.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga

(42)

Grafik 4.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100, 200 Å kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin değiĢimine göre enerjinin değiĢimi

(43)

4.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom

Problemi

ġekil 6:Yabancı atom etkisi altındaki yarı sonlu kuantum kuyusu

Yarı sonlu kuantum kuyusu içindeki bir elektrona yabancı bir atomun etkisinin olması durumunda Hamiltonyeni;

Hi= − ћ2 2m∗∇ 2₋ e2 ε0r (4.1.1) Burada ∇2₌ ∂2 ∂x2+ ∂2 ∂y2+ ∂2 ∂z2 (4.1.2)

dir. Kartezyen den silindirik koordinatlara geçilirse;

x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z ρ2 = x2+ y2

(44)

z_i yabancı atomun konumunu göstermek üzere sistemin Hamiltonieni genel olarak: 𝐻_𝑖 = − 𝜕2 𝜕𝑧2− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 + 𝑉(𝑧) (4.1.3)

Ģeklindedir. Hamiltonien ifadesini iki bölge için yazacak olursak; 𝐻_𝑖1 = − 𝜕2 𝜕𝑧2− 2 𝜌2_{+ 𝑧−𝑧} 𝑖 2 (4.1.4) 𝐻𝑖2 = − 𝜕2 𝜕𝑧2− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2+ 𝑉(𝑧) (4.1.5) Silindirik koordinatlar kullanılarak Schrödinger Denklemi;

𝐻_𝑖𝜓_𝑖 ρ, 𝑧 = 𝐸𝑖𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.1.6) − 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌𝜌 𝜕 𝜕𝜌− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2+ V(z) 𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑖𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.1.7)

Ģeklinde yazılır. Bu denklemin tam çözümü olmadığı için varyasyon çözüm yöntemi ile çözülecektir. Ġki bölge için taban durum deneme dalga fonksiyonları:

𝜓_𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 − 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2_𝜆 (4.1.8) 𝜓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 ₂_𝑒−𝑘2𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(4.1.9)

(45)

Taban durum elektronun enerjisi için,

𝐸₁ = 𝜓𝑖1 𝜌,𝑧 𝐻i1 𝜓𝑖1 𝜌,𝑧 + 𝜓𝑖2 𝜌,𝑧 𝐻i2 𝜓𝑖2 𝜌,𝑧

𝜓𝑖1 𝜌,𝑧 𝜓𝑖1 𝜌,𝑧 + 𝜓𝑖2 𝜌,𝑧 𝜓𝑖2 𝜌,𝑧 _𝑚𝑖𝑛 (4.1.10)

ifadesi yazılır.

𝐸0 yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, 𝐸1 yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere bağlanma enerjisi:

𝐸_𝑏 = 𝐸_𝑜− 𝐸₁ (4.1.11)

olur.

Farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 4.3 „ te verilmiĢtir. Kuyu geniĢliği arttıkça bağlanma enerjisinin azaldığı görülmektedir.

(46)

Grafik 4.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında

(47)

4.2. Donor Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda

Elektrik Alan Etkisi

ġekil 7: Elektrik alan altında ve donor etkisinde –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo

potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyusu

Ġçinde donor bulunan yarı sonlu kuantum kuyusuna “+z” yönünde bir elektrik alan uygulandığında, F elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyu içine hapsedilmiĢ olan elektron için silindirik koordinatlarda, a*

ve R* birimlerinde Hamiltonyen aĢağıdaki Ģekilde ifade edilir.

𝐻_𝑓𝑖 = − 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌𝜌 𝜕 𝜕𝜌− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 (4.2.1) ve Schrödinger Denklemi: 𝐻_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.2.2)

(48)

− 𝜕2 𝜕𝑧2− 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌𝜌 𝜕 𝜕𝜌− 2 𝜌2_{+(𝑧−𝑧} 𝑖)2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸_𝑓𝑖𝜓_𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.2.3) olur.

Bu denklemin tam çözümü olmadığından varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Taban durum deneme dalga fonksiyonları;

𝜓𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 −𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2_𝜆 (4.2.4) 𝜓_𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁₁ 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 ₂_𝑒−𝑘2𝑧_𝑒−𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(4.2.5)

Burada 𝛽 ve 𝜆 varyasyonel parametrelerdir. Böyle bir elektronun enerjisi ise,

𝐸 _𝑓𝑖 = 𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝐻𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧

𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌,𝑧 _{min 𝛽 𝜆} (4.2.6)

Ģeklinde olur.

F=0,100 kV/cmı elektrik alan Ģiddetleri için antisimetrik basamak engelli sonsuz kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu Grafik 4.4 „ de verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığı ve basamak içindeki tünellemeyi azalttığı görülmektedir.

Yarı sonlu kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 4.5 ve Grafik 4.7 ‟ te verilmiĢtir.

(49)

Yarı sonlu kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 Å kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 4.6 ve Grafik 4.8 ‟ te verilmiĢtir.

(50)

Grafik 4.4: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen

(51)

Grafik 4.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

(52)

Grafik 4.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atom

(53)

zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

(54)

(55)

5.) POLARĠZASYON VE POLARĠZEBĠLĠTE

Kuantum kuyularına elektrik alanın uygulandığında, elektronun dağılımında değiĢimlere yol açması ile polarizasyon oluĢur ve enerji düzeylerinde kaymalar olur. Bu etkiler düĢük boyutlu yapının kullanıldığı aygıtın çıkıĢ yoğunluğunun kontrol edilmesinde ve ayarlanmasında kullanılabilir.

Donor etkisi altında kuyuda elektrik alanın etkisi ile oluĢan polarizasyon ;

P = 𝜓𝑓𝑖 ρ,z −e z−zi 𝜓𝑓𝑖 ρ,z 𝜓𝑓𝑖 ρ,z 𝜓𝑓𝑖 ρ,z donor var F≠0 − 𝜓𝑖 ρ,z −e z−zi 𝜓𝑖 ρ,z 𝜓_𝑖 ρ,z 𝜓𝑖 ρ,z donor var F=0 (5.1) veya, P e = − 𝜓𝑓𝑖 ρ,z z 𝜓𝑓𝑖 ρ,z 𝜓𝑓𝑖 ρ,z 𝜓𝑓𝑖 ρ,z donor var F≠0 + 𝜓𝑖 ρ,z z 𝜓𝑖 ρ,z 𝜓𝑖 ρ,z 𝜓𝑖 ρ,z donor var F=0 (5.2)

ifadelerinden hesaplanır. Bu denklemlerde; 𝜓𝑓𝑖 ρ, z yabancı atom ve elektrik alan etkisi altındaki taban durum dalga fonksiyonu, 𝜓_𝑖 ρ, z yabancı atom etkisi altında taban

durum dalga fonksiyonudur.

Birim elektrik alan baĢına polarizasyona polarizabilite denir. Polarizabilite;

α =P

F (5.3)

(56)

5.1. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite

Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon Denklem (5.2) kullanılarak hesaplanacaktır. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu için taban durum dalga fonksiyonu ifadeleri;

ψ_i ρ, z = N cos π Lz e − ρ 2+(z −z i)2_λ (5.1.1) ψfi ρ, z = N2cos π Lz e −βz_e− ρ 2+(z −z i)2_λ (5.1.2)

olmak üzere polarizasyon ve polarizebilite hesaplanır. ψi ρ, z yabancı atom etkisindeki dalga fonksiyonu ve ψ_fi ρ, z yabancı atom ve elektrik alan etkisi altındaki dalga fonksiyonudur.

Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon ve

polarizebilitenin zi=+L/4 ve zi=-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 Å kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 5.2.1, Grafik 5.2.5, Grafik 5.2.3 ve Grafik 5.2.7 „da verilmiĢtir.

Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon ve

polarizebilitenin zi=+L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm düzgün elektrik alan etkisi altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 5.2.2 ve Grafik 5.2.6 Grafik 5.2.4 ve Grafik 5.2.8 „de verilmiĢtir.

(57)

Grafik 5.1.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

(58)

Grafik 5.1.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu

(59)

Grafik 5.1.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

(60)

Grafik 5.1.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizebilitenin yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu

(61)

Grafik 5.1.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

(62)

Grafik 5.1.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu

(63)

Grafik 5.1.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan

(64)

Grafik 5.1.8: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun

(65)

5.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite

Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyon Denklem (5.2) yardımıyla hesaplanacaktır. Yarı sonlu potansiyelli kuantum kuyusu için taban durum dalga fonksiyonu ifadeleri; 𝜓_𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 − 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(5.2.1) 𝜓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 ₂_𝑒−𝑘2𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(5.2.2) ve 𝜓_𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑡𝑎𝑛 𝑘1𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝑧 𝑒 −𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2_𝜆 (5.2.3) 𝜓_𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁₁ 𝑠𝑖𝑛 𝑘1𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1𝐿 ₂ 𝑒𝑘2𝐿 ₂_𝑒−𝑘2𝑧_𝑒−𝛽𝑧_𝑒− 𝜌 2+(𝑧−𝑧𝑖)2 𝜆 _(5.2.4)

dir. . Birim elektrik alan baĢına polarizasyon olarak tanımlanan polarizabilite ise;

α =P

F (5.2.6)

bağıntısından hesaplanır.

Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyonun ve polarizeblite zi =+L/4 ve zi =-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A0 kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 5.3.1 ve Grafik 5.3.5 „te verilmiĢtir.

Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilite zi=+L/4 ve zi =-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 Kv/cm düzgün elektrik alan etkisi altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 5.3.2 ve Grafik 5.3.6 „te verilmiĢtir.

(66)

Grafik 5.2.1: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken

polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) içinelektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

(67)

polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

(68)

polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

(69)

polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) içinkuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi

(70)

Grafik 5.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken

polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) içinelektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

(71)

polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi

(72)

Grafik 5.2.7: : Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken

polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi

(73)

polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi

(74)

SONUÇLAR VE TARTIġMA

Bu çalıĢmada düzgün elektrik alan altında 𝐴𝑙_𝑥₁𝐺𝑎_1−𝑥₁𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙_𝑥₂𝐺𝑎_1−𝑥₂𝐴𝑠 sonsuz, 𝑥₁ = 𝑥₂ = 1, ve yarı sonlu, 𝑥₁ = 1 𝑣𝑒 0 < 𝑥₂ < 1, kuantum kuyularında donor yabancı atomuna ait bağlanma enerjisi, donor yabancı atomuna ait enerji ve donor elektronunun polarizebilitesi hesaplanmıĢtır. Bağlanma enerjisinin, donor yabancı atom enerjisinin ve polarizebilitenin kuyu geniĢliğine, yabancı atomun konumuna ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak değiĢtiği bulunmuĢtur.

Yapılan hesaplamalarda, genel kural olarak, yabancı atom kuyu kenarlarına yaklaĢtıkça ve elektrik alan arttıkça bağlanma enerjisinin ve donor yabancı atom enerjisinin azaldığı, polarizebilitenin de Ģiddetli bir Ģekilde sıfıra yaklaĢığı bulunmuĢtur. Aynı zamanda elektrik alan ve kuyu geniĢliği arttırıldıkça polarizasyonun da arttığı gözlemlenmiĢtir. BaĢka bir deyiĢle hapsedilme ve simetri azaldıkça bağlanma enerjisinin ve donor yabancı atom enerjisinin azaldığı, polarizasyonun arttığı sonucuna ulaĢılmıĢtır.

(75)

KAYNAKLAR

1. AKANKAN O., ERDOGAN I., AKBAS H., 2006, “Spatial electric field effect on the self-polarization in GaAs/AlAs square quantum-well wires”, Physica E, 35, 217–221 2. AKANKAN O., OKAN S.E., AKBAS H., 2005, “Spatial electric field effect in GaAs–AlAs quantum wires”, Physica E , 25 ,535–538

3. AKBAġ H.,EKMEKÇĠ S.,AKTAġ ġ.,TOMAK M., 1995, ”Electric field effect on shallow impurity states in mıltiple quantum –well structures”, Tr. J. of Physics, 19, 381.

4. AKTAġ ġ.,BOZ F., 2004, “The binding energy of a hydrogenic impurity in triple GaAs/AlxGa1-xAs quantum well-wires under applied electric field”, Trakya Univ. J. Sci., 5(2), 159.

5. CHAO HT, TRAN THOAI DB., 1995 “Effect of the electric field on a hydrogenic impurity in a quantum-well wire”, Physica B, 205, 273.

6. ILAIWI K.F., TOMAK M., 1990, “Polarizabilities of shallow donors in finitebarrier quantum wires”, Phys. Rev. B, 42, 3132.

7. KARAOĞLU B., 1994, “Kuantum Mekaniğine GiriĢ”, Bilgitek yayıncılık, Ġstanbul. 80

8. KASAPOGLU E., SARĠ H., SOKMEN I.,2003, “Binding energies of shallow donor impurities in different shaped quantum wells under an applied electric field”, Physica B, 339, 17–22

9. KITTEL C, 1996, “Katıhal Fiziğine GiriĢ”( Bekir Karaoğlu), 6.basım,224, BilgiTekyayın.,Ġst.

10. MANUK G., BARSEGHYAN, ALBERT A. KĠRAKOSYAN, 2005,” Electronic states in a step quantum well in a magnetic field”, Physica E , 28, 471–481

11. PACHECO M., BARTICEVIC Z., LATGÉ A., 2001, “Electronic and impurity states in triple quantum wells” Physica B, 302-303, 77.

12. SARI H., KASAPOĞLU E., SÖKMEN I., 2003, “Shallow donors in a triple graded quantum well under electric and magnetic field” Physica B, 325, 300.

13. SARI H., SÖKMEN I., YESILGÜL U., 2004, “Photoionization of donor impurities in quantum wires in a magnetic field” J. Phys. D: Appl. Phys., 37, 674.

14. XIAO Z., ZHU J., HE J., 1995, “Impurity binding energy of a cylindrical quantum wire in a magnetic field” Phys. Status Solidi (b), 191, 401

(76)

ÖZGEÇMĠġ

Adı Soyadı : Gizem ġEN

Doğum Yeri ve Yılı : Ġstanbul-1988 Medeni Hali : Bekar

Öğrenim Durumu:

2004-2008 : T. Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü (Lisans)

2008-2011 :T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans)

Konu: Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Polarizebilite.

2008-2011 : T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans).

Yayınlar:

1-“Simetrik Ve Antisimetrik Kuantum Kuyularında Elektrik Alan Etkisi: Polarizasyon

(77)