Düzleminde Yüklü Değişken Kesitli Dairesel Çubuklarda Sonlu Teori

ÖNSÖZ

Tez çalışmam süresince araştırma konusu ve kapsamının oluşturulmasında beni

değerli fikirleriyle yönlendiren, bilgi ve yardımlarını esirgemeyen ve sürekli destek

veren saygıdeğer Hocam Sayın Prof. Dr. Reha ARTAN’a sonsuz teşekkürlerimi

sunarım.

Bugüne kadar beni maddi ve manevi olarak destekleyen, sabır ve özverilerini

esirgemeyen aileme teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER

TABLO LİSTESİ

ıv

ŞEKİL LİSTESİ

v

SEMBOL LİSTESİ

ıx

ÖZET

x

SUMMARY

xıv

1. GİRİŞ

1

2. TEMEL DENKLEMLER

2

3. TEMEL DENKLEMLERİN BOYUTSUZ İFADELERLE

DÜZENLENMESİ

4

4. KESİTİ SABİT DAİRESEL ÇUBUK İÇİN UYGULAMA

6

4.1. Kesiti sabit dairesel çubuğun lineer ve nonlineer teoriye göre çözümü

6

4.2. Kesiti sabit dairesel çubuğun nonlineer teoriye göre yapılan

çözümünün doğruluğunun gösterilmesi

21

5. KESİTİ DEĞİŞKEN DAİRESEL ÇUBUK İÇİN UYGULAMA

26

5.1. Kesiti değişken dairesel çubuğun lineer ve nonlineer teoriye göre çözümü 26

5.2. Kesiti değişken dairesel çubuğun nonlineer teoriye göre yapılan

çözümünün doğruluğunun gösterilmesi

41

6. SONUÇLAR

46

KAYNAKLAR

47

EKLER

48

A : Uygulanan değişik yükler için yer değiştirme, dönme ve kesit

tesiri değerleri

49

B : Normal doğrultusundaki yer değiştirmelerin kemer

üzerinde gösterilmesi

73

TABLO LİSTESİ

Sayfa No

Tablo A.1 : P=1 yükü için sabit kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

49

Tablo A.2 : P=2 yükü için sabit kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

51

Tablo A.3 : P=5 yükü için sabit kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

53

Tablo A.4 : P=10 yükü için sabit kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları

55

Tablo A.5 : P=0.2 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

57

Tablo A.6 : P=0.4 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

59

Tablo A.7 : P=1 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

61

Tablo A.8 : P=2 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin nonlineer

çözüm sonuçları ...

63

Tablo A.9 : P=0.2 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin lineer

çözüm sonuçları ...

65

Tablo A.10 : P=0.4 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin lineer

çözüm sonuçları ...

67

Tablo A.11 : P=1 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin lineer

çözüm sonuçları ...

69

Tablo A.12 : P=2 yükü için değişken kesitli dairesel kemerin lineer

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa No

Şekil 2.1

Şekil 4.1

Şekil 4.2

Şekil 4.3

Şekil 4.4

Şekil 4.5

Şekil 4.6

Şekil 4.7

Şekil 4.8

Şekil 4.9

Şekil 4.10

Şekil 4.11

Şekil 4.12

Şekil 4.13

Şekil 4.14

Şekil 4.15

Şekil 4.16

Şekil 4.17

Şekil 4.18

Şekil 4.19

Şekil 4.20

: Dairesel çubuk kesiti üzerinde kesit tesiri bileşenleri

ve yayılı yükler ...

: Tekil yükle yüklenmiş kesiti sabit dairesel kemer ...

: Dairesel sabit kesitli kemerin üç boyutlu gösterimi...

: Sabit kesitli kemer için hesaplamaların yapıldığı

çubuk bölgesi ...

: Çubuk ekseni boyunca sabit kesit değişimi...

: P=1 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=5 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=10 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=1 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=5 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=10 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P = 1 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 2 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 5 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 10 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 1 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri ...

: P = 2 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri...

: P = 5 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri ...

: P = 10 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri ...

2

6

6

7

7

10

10

10

10

12

12

12

12

14

14

14

14

16

16

16

16

Şekil 4.21

Şekil 4.22

Şekil 4.23

Şekil 4.24

Şekil 4.25

Şekil 4.26

Şekil 4.27

Şekil 4.28

Şekil 4.29

Şekil 4.30

Şekil 4.31

Şekil 4.32

Şekil 4.33

Şekil 4.34

Şekil 5.1

Şekil 5.2

Şekil 5.3

Şekil 5.4

Şekil 5.5

Şekil 5.6

Şekil 5.7

Şekil 5.8

Şekil 5.9

Şekil 5.10

Şekil 5.11

Şekil 5.12

: P=1 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=5 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=10 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=1 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=5 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=10 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: Y

1

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Y

2

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Y

3

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Y

4

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Y

5

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Y

6

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Tekil yükle yüklenmiş kesiti değişken dairesel kemer ...

: Dairesel değişken kesitli kemerin üç boyutlu gösterimi...

: Değişken kesitli kemer için hesaplamaların yapıldığı

çubuk bölgesi ...

: Çubuk ekseni boyunca (1+Sin



) kesit değişimi ...

: P=0.2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=0.4 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=1 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=0.2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=0.4 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=1 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

: P=2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

yer değiştirmeler ...

18

18

18

18

20

20

20

20

22

22

23

24

24

25

26

26

27

27

30

30

30

30

32

32

32

32

Şekil 5.13

Şekil 5.14

Şekil 5.15

Şekil 5.16

Şekil 5.17

Şekil 5.18

Şekil 5.19

Şekil 5.20

Şekil 5.21

Şekil 5.22

Şekil 5.23

Şekil 5.24

Şekil 5.25

Şekil 5.26

Şekil 5.27

Şekil 5.28

Şekil 5.29

Şekil 5.30

Şekil 5.31

Şekil 5.32

Şekil 5.33

Şekil 5.34

Şekil B.1

Şekil B.2

Şekil B.3

: P = 0.2 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 0.4 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 1 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 2 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer

dönmeler ...

: P = 0.2 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri ...

: P = 0.4 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri...

: P = 1 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri ...

: P = 2 için, boyutsuz lineer ve nonlineer

eğilme momentleri ...

: P=0.2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=0.4 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=1 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=0.2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=0.4 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=1 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: P=2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer

kesme kuvveti ...

: S

1

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: S

2

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: S

3

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: S

4

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: S

5

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: S

6

[



] fonksiyonunun sıfıra yakınsak olduğunun

gösterilmesi ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=1 yükü için normal

doğrultuda büyütülmüş lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=1 yükü için normal

doğrultuda büyütülmüş nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=2 yükü için normal

doğrultuda gerçek lineer deformasyonu ...

34

34

34

34

36

36

36

36

38

38

38

38

40

40

40

40

42

42

43

44

44

45

74

74

75

Şekil B.4

Şekil B.5

Şekil B.6

Şekil B.7

Şekil B.8

Şekil B.9

Şekil B.10

Şekil B.11

Şekil B.12

Şekil B.13

Şekil B.14

Şekil B.15

Şekil B.16

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=2 yükü için normal

doğrultuda gerçek nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=5 yükü için normal

doğrultuda gerçek lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=5 yükü için normal

doğrultuda gerçek nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=10 yükü için normal

doğrultuda gerçek lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=10 yükü için normal

doğrultuda gerçek nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=0.2 yükü için normal

doğrultuda büyütülmüş lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=0.2 yükü için normal

doğrultuda büyütülmüş nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=0.4 yükü için normal

doğrultuda büyütülmüş lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=0.4 yükü için normal

doğrultuda büyütülmüş nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=1 yükü için normal

doğrultuda gerçek lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=1 yükü için normal

doğrultuda gerçek nonlineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=2 yükü için normal

doğrultuda gerçek lineer deformasyonu ...

: Kesiti sabit dairesel kemerin P=10 yükü için normal

doğrultuda gerçek nonlineer deformasyonu ...

75

76

76

77

77

78

78

79

79

80

80

81

81

SEMBOL LİSTESİ

t

u

: Teğet doğrultudaki yer değiştirme

tl



: Lineer teoriye göre boyutsuz teğet doğrultudaki yer değiştirme

tn



: Nonlineer teoriye göre boyutsuz teğet doğrultudaki yer değiştirme

n

u

: Normal doğrultudaki yer değiştirme

nl



: Lineer teoriye göre boyutsuz normal doğrultudaki yer değiştirme

nn



: Nonlineer teoriye göre boyutsuz normal doğrultudaki yer değiştirme

b



: Binormal doğrultudaki dönme

bl



: Lineer teoriye göre boyutsuz binormal doğrultudaki dönme

bn



: Nonlineer teoriye göre boyutsuz binormal doğrultudaki dönme

b

M

: Binormal doğrultudaki moment

o

M

: Başlangıçtaki eğilme momenti

bl



: Lineer teoriye göre boyutsuz binormal doğrultudaki moment

bn



: Nonlineer teoriye göre boyutsuz binormal doğrultudaki moment

n

T

: Normal doğrultudaki kesme kuvveti

no

T

: Başlangıçtaki normal doğrultudaki kesme kuvveti

nl



: Lineer teoriye göre boyutsuz normal doğrultudaki kesme kuvveti

nn



: Nonlineer teoriye göre boyutsuz normal doğrultudaki kesme kuvveti

t

T

: Teğet doğrultudaki kesme kuvveti

to

T

: Başlangıçtaki teğet doğrultudaki kesme kuvveti

tl



: Lineer teoriye göre boyutsuz teğet doğrultudaki kesme kuvveti

tn



: Nonlineer teoriye göre boyutsuz teğet doğrultudaki kesme kuvveti

b

D

: Binormal doğrultudaki eğilme rijitliği

bo

D

: Başlangıçtaki binormal doğrultudaki eğilme rijitliği

R

: Eğrilik yarıçapı

DÜZLEMİNDE YÜKLÜ DEĞİŞKEN KESİTLİ DAİRESEL ÇUBUKLARDA

SONLU TEORİ

ÖZET

Yapılarda, geniş bir kullanım alanına sahip taşıyıcı elemanlardan biri çubuktur.

Elastik ve uzamaz çubukların sonlu yer değiştirme yapmaları durumunda çözüm

lineer ve nonlineer teori adı altında iki farklı kabul üzerine kurulur. Lineer teoride,

çubukların yer değiştirmelerinin çubuk kalınlığına göre çok küçük olduğu kabul

edilir ve denge denklemlerinin yazımında çubuğun şekil değiştirmemiş hali

kullanılır. Yapıdaki çubuk elemanlarının yaptığı yer değiştirmelerin, diğer

boyutlarının yanında çok küçük olması lineer teorinin geçerli olduğunu gösterir.

Ancak bazı yapı elemanlarının ( ince çubuklar gibi ) yaptığı yer değiştirmeler ihmal

edilmeyecek kadar büyüktür. Bu durumda lineer teori ile yapılan çözüm gerçeği

yansıtmamaktadır. Bu nedenle, çubukların doğrusal olmayan davranışlarının

incelenmesinin gerekliliği ortaya çıkmıştır. Nonlineer teoride, büyük yer

değiştirmeler söz konusu olduğundan, ikinci ve daha yüksek mertebeden terimler

ihmal edilmeyip denklemler çubuğun şekil değiştirmiş hali üzerinden yazılır. Bu

yaklaşım gerçek sonuçlara ulaşmamızı sağlamaktadır.

Bu çalışmanın birinci bölümünde, problem tanıtılmış ve temel denklemler

verilmiştir. Daha sonraki bölümlerde kendi düzleminde yüklü sabit ve değişken

kesitli dairesel çubuklara ait iki uygulama yapılmıştır. Birinci uygulamada, iki ucu

mafsallı ve orta noktasından tekil yükle yüklenmiş ve sınır koşulları (T

n

(0)=-P/2,

T

t

(0)=0,



b

(0)=0, U

t

(



/2)=0, U

n

(



/2)=0, M

b

(



/2)=0) olan kesiti sabit dairesel kemer

incelenmiştir. İkinci uygulamada ise, iki ucu ankastre ve orta noktasına mafsal

yerleştirilmiş ve sınır koşulları (T

n

(0)=-P/2, U

t

(0)=0, M

b

(0)=0, U

t

(



/2)=0, U

n

(



/2)=0,



b

(



/2)=0) olan kesiti değişken dairesel kemer çözümlenmiştir. Bu uygulamalarda

çubuğa ait yer değiştirme, dönme ve kesit tesirleri bileşenleri lineer ve nonlineer

teoriye göre ayrı ayrı hesaplanmıştır. Ve iki kabul arasındaki fark grafiklerle

gösterilmiştir. Nonlineer teorinin daha gerçekci sonuçlar verdiği görülmüştür.

Hesaplamalarda çubuğun yapıldığı malzemenin elastik ve homojen olduğu kabul

edilmiştir ve çözümler için başlangıç sınır koşullarının bilinmesi yeterli olmuştur.

Düzleminde yüklü dairesel çubuğa ait lineer temel denklemler aşağıda verilmiştir.

t n

du

1

u

0

R d





R



(1)

t n b

u

1 du

0

R d





R

  

(2)

b b b

d

M

1

0

R d

D









(3)

b n b

dM

1

T

m

R d





 

(4)

t n n

T

1 dT

p

R d





R

 

(5)

t n t

dT

1

T

p

R d





R

 

(6)

Bu bölümde kullanılan ifadelerden u

t

çubuk ekseninin teğeti, u

n

çubuk ekseninin

normali doğrultusundaki yer değiştirmeleri,



b

binormal doğrultudaki dönmeyi, T

t

teğet doğrultusundaki kesme kuvvetini, T

n

normal doğrultusundaki kesme kuvvetini,

M

b

binormal doğrultudaki eğilme momentini göstermektedir. p

t

ve p

n

çubuk

ekseninin teğeti ve normali doğrultusundaki yayılı yükler, m

b

ise binormal

doğrultusundaki yayılı momenttir. D

b

eğilme rijitliğidir.

Düzleminde yüklü dairesel çubuğa ait nonlineer temel denklemler aşağıda

verilmiştir.

t n b

du

1

u

Cos

1 0

R d





R





+



(7)

t n b

u

1 du

Sin

0

R d





R



 

(8)

b b b

d

M

1

0

R d

D









(9)

b n b t b b

dM

1

T Cos

T Sin

m

R d





 

  

(10)

t n n

T

1 dT

p

R d





R

 

(11)

t n t

dT

1

T

p

R d





R

 

(12)

Boyutsuzlaştırma ifadeleri aşağıda verilmiştir.

bo b

D

D

f ( )





(13)

b bl bn bo

M

μ

μ

R

D





(14)

n nn nl

u

ν

ν

R





(15)

t tn tl

u

ν

ν

R





(16)

2 nn n nl bo

R

τ

τ

T

D





(17)

2 tn t tl bo

R

τ

τ

T

D





(18)

2 b b bo

R

β

m

D



(19)

3 t t bo

R

α

p

D



(20)

3 n n bo

R

α

p

D



(21)

Burada

f ( )



kesit değişimini ifade eder.

Lineer homojen denklemler boyutsuz ifadelerle düzenlenirse;

tl nl

dν

ν

0

d







(22)

nl tl bl

d

0

d



_{    }



(23)

bl bl

d

f ( )

0

d



_{ }

_{ }



(24)

bl nl b

d

d



   



(25)

nl n tl

d

d



_{   }



(26)

tl t nl

d

d



_{   }



(27)

Nonlineer homojen denklemler boyutsuz ifadelerle düzenlenirse;

tn nn b

dν

ν

Cos

+1 0

d











(28)

nn tn b

d

Sin

0

d



_{  }

_{ }



(29)

bn bn

d

f ( )

0

d



 

 



(30)

bn nn b tn b b

d

Cos

Sin

d



 

  

  



(31)

nn tn n

d

d



_{   }



(32)

tn nn t

d

d



_{   }



(33)

Çalışma boyunca Fortran Power Station, Mathematica, MS Word, AutoCAD 2000,

Math Type, CINEMA 4D XL, Macromedia Fireworks programları kullanılmıştır.

FINITE THEORY OF CIRCULAR RODS OF VARIABLE CROSS SECTION

FOR IN-PLANE LOADING

SUMMARY

One of the structural elements most widely used in buildings is the rod. There are

two different calculation methods of thin elastic rod with inextensible axis. In the

case of linear behaviour, it is assumed that the displacements of these rods are very

small compared to the thickness of the rods. Thus, the equilibrium equations are

written on the undeformed shape of the rod. As the displacements of the frame

elements are small compared to the other dimensions of the element, linear theory is

valid. However, the displacements of some structural elements ( like thin rods ) are

so large that can not be neglected. In this case, the solutions obtained by linear theory

is not realistic. In the nonlinear behaviour when large deflections occur second and

higher order terms should not be neglected on equation are written on deformed

shape of the rod.

In the first part of the study, the problem is introduced and basic equations are

shown. The following parts, two samples are given related to circular rods of

constant and variable cross section. At first sample for circular rod of constant cross

section, the rod hinged at both ends loaded by a singular vertical force P and the rod

for boundary conditions (T

n

(0)=-P/2, T

t

(0)=0,



b

(0)=0, U

t

(



/2)=0, U

n

(



/2)=0,

M

b

(



/2)=0). At second sample sample for circular rod of variable cross section, the

rod hinged at centre loaded by a singular vertical force P and the rod for boundary

conditions (T

n

(0)=-P/2, U

t

(0)=0, M

b

(0)=0, U

t

(



/2)=0, U

n

(



/2)=0,



b

(



/2)=0). In

these samples, the components of the finite displacements, rotations and stress

resultants of rod are calculated for different theories. Then graphs are presented to

show between the linear and nonlinear theory. By the comparison of the both curves

for different sigular vertical force P we reach the conclusion that the nonlinear

solutions are different. In this case, the solutions obtained by nonlinear theory is

realistic. The basic linear equations of a circular rods for in-plane loading are given

below.

t n

du

1

u

0

R d





R



(1)

t n b

u

1 du

0

R d





R

  

(2)

b b b

d

M

1

0

R d

D









(3)

b n b

dM

1

T

m

R d





 

(4)

t n n

T

1 dT

p

R d





R

 

(5)

t n t

dT

1

T

p

R d





R

 

(6)

where

u is the displacement components along the tangent;

_t

u is the displacement

_n

components along the normal;



_b

is the rotation around the binormal;

T is the

_t

shear force along the tangent;

T is the shaer force along the normal and

_n

M

_b

is the

moment around the binormal.

p and

_t

p are distributed loads, respectively, along

_n

the circumferential and radial directions with respect to the circle.

m

_b

is distributed

bending couple.

D is the bending rigidity.

_b

The basic nonlinear equations of a circular rods for in-plane loading are given below.

t n b

du

1

u

Cos

1 0

R d





R





+



(7)

t n b

u

1 du

Sin

0

R d





R



 

(8)

b b b

d

M

1

0

R d

D









(9)

b n b t b b

dM

1

T Cos

T Sin

m

R d





 

  

(10)

t n n

T

1 dT

p

R d





R

 

(11)

t n t

dT

1

T

p

R d





R

 

(12)

The following dimensionless quantities are defined for convenience:

bo b

D

D

f ( )





(13)

b bl bn bo

M

μ

μ

R

D





(14)

n nn nl

u

ν

ν

R





(15)

t tn tl

u

ν

ν

R





(16)

2 nn n nl bo

R

τ

τ

T

D





(17)

2 tn t tl bo

R

τ

τ

T

D





(18)

2 b b bo

R

β

m

D



(19)

3 t t bo

R

α

p

D



(20)

3 n n bo

R

α

p

D



(21)

where

f ( )



expresses the change in the cross-section.

In terms of dimensionless quantities linear homogeneous equations become

tl nl

dν

ν

0

d







(22)

nl tl bl

d

0

d



    



(23)

bl bl

d

f ( )

0

d



 

 



(24)

bl nl b

d

d



   



(25)

nl n tl

d

d



   



(26)

tl t nl

d

d



   



(27)

Also in terms of dimensionless quantities nonlinear homogeneous equations become

tn nn b

dν

ν

Cos

+1 0

d











(28)

nn tn b

d

Sin

0

d



  

 



(29)

bn bn

d

f ( )

0

d



 

 



(30)

bn nn b tn b b

d

Cos

Sin



 

  

  



(31)

nn tn n

d

d



_{   }



(32)

tn nn t

d

d



_{   }



(33)

Fortran Power Station, Mathematica, MS Word, AutoCAD 2000, Math Type,

CINEMA 4D XL and Macromedia Fireworks programmes are used for calculations.

1. GĠRĠġ

Yapı Mühendisliğinde en çok kullanılan taşıyıcı elemanlardan biri çubuktur. Elastik

ve uzamaz çubukların sonlu yer değiştirme yapmaları durumunda çözüm iki farklı

kabul üzerine kurulur.

Bu kabullerden birincisi; şekil ve yer değiştirmeler ile dönmelerin küçük olduğu

kabulüdür. Bu kabule göre elde edilen denge ve uygunluk denklemleri lineer

karakterlidir.

Bu kabullerden ikincisi; şekil değiştirmeler küçük, yer değiştirme ve dönmelerin

büyük olduğu kabulüdür. Bu kabule göre elde edilen denge ve uygunluk denklemleri

nonlineer karakterlidir.

Literatürde bu ikinci kabul altında çubukların yer değiştirmelerini ve kesit tesirlerini

analitik olarak veren bir hesaplama tekniği yoktur. Bu çalışmada, daire eksenli

elastik çubukların lineer ve nonlineer karakterli diferansiyel denklemleri belirli sınır

şartları altında çözülmüştür. Ve iki kabul arasındaki farklar değişik yükler altında

gösterilmiştir.

Hesaplarda aşağıdaki kabuller de kullanılmıştır;

1- Çubuk ince ve elastik olup, eğrilik yarıçapı yanında enkesit boyutları küçüktür.

2- Çubuğun ilk eksenine dik ve düzlem olan kesitler deforme durumdaki çubuk

eksenine dik ve düzlem kalırlar.

3- Yer değiştirme esnasında enkesit boyutları değişmez.

4- Çubuk boyu sabit kalır.

Diferansiyel denklemlerin çözümü için Fortran programlama dilinde bir bilgisayar

programı yapılmıştır. Elde edilen sonuçların doğruluğu tezde gösterilmiştir.

2. TEMEL DENKLEMLER

Çubukların sonlu yer değiştirme yapmaları durumunda, yer ve şekil değiştirmeler ile

dönmelerin küçük olduğu kabul edilerek, kendi düzlemi içerisinde yüklü dairesel

çubuklar için düzenlenmiş denklemler aşağıda verilmiştir. [1], [2], [3], [4]

t n

du

1

u

0

R d





R



(2.1)

t n b

u

1 du

0

R d





R

  

(2.2)

b b b

d

M

1

0

R d

D









(2.3)

b n b

dM

1

T

m

R d





 

(2.4)

t n n

T

1 dT

p

R d





R

 

(2.5)

t n t

dT

1

T

p

R d





R

 

(2.6)

Şekil 2.1. Dairesel çubuk kesiti üzerinde kesit tesiri bileşenleri ve yayılı yükler

R

d



O

M

_T

n

T

t

p

n

p

t

m

b

T

to

T

no

M

o

Çubukların sonlu yer değiştirme yapmaları durumunda, şekil değiştirmelerin küçük,

yer değiştirme ve dönmelerin büyük olduğu kabul edilerek, kendi düzlemi içerisinde

yüklü dairesel çubuklar için düzenlenmiş denklemler aşağıda verilmiştir. [1], [2],

[3],[4] .

t n b

du

1

u

Cos

1 0

R d





R





+



(2.7)

t n b

u

1 du

Sin

0

R d





R



 

(2.8)

b b b

d

M

1

0

R d

D









(2.9)

b n b t b b

dM

1

T Cos

T Sin

m

R d





 

  

(2.10)

t n n

T

1 dT

p

R d





R

 

(2.11)

t n t

dT

1

T

p

R d





R

 

(2.12)

Bu bölümde kullanılan ifadelerden u

t

, u

n

çubuk ekseninin teğeti ve normali

doğrultusundaki yer değiştirmeleri,



b

binormal doğrultudaki dönmeyi, T

t

, T

n

ve M

b

kesit tesiri bileşenlerini ve eğilme momentini göstermektedir. p

t

ve p

n

çubuk

ekseninin teğeti ve normali doğrultusundaki yayılı yükler, m

b

ise binormal

3. TEMEL DENKLEMLERĠN BOYUTSUZ ĠFADELERLE DÜZENLENMESĠ

Temel denklemlerin boyutsuz olarak düzenlenmesindeki amaç, elde edilen sonuçları

istenilen boyutlara çevirebilme kolaylığıdır. Boyutsuzlaştırma ifadeleri aşağıda

verilmiştir.

bo b

D

D

f ( )





(3.1)

b bl bn bo

M

μ

μ

R

D





(3.2)

n nn nl

u

ν

ν

R





(3.3)

t tn tl

u

ν

ν

R





(3.4)

2 nn n nl bo

R

τ

τ

T

D





(3.5)

2 tn t tl bo

R

τ

τ

T

D





(3.6)

2 b b bo

R

β

m

D



(3.7)

3 t t bo

R

α

p

D



(3.8)

3 n n bo

R

α

p

D



(3.9)

Bu bölümde kullanılan ifadelerden



tl

,



nl

çubuk ekseninin teğeti ve normali

doğrultusundaki lineer teoriye göre boyutsuz yer değiştirmeleri,



tn

,



nn

ise nonlineer

teoriye göre boyutsuz yer değiştirmeleri göstermektedir.



bl

ve



bn

binormal

doğrultudaki lineer ve nonlineer teoriye göre dönmeyi,



tl

,



nl

ve



tn

,



nn

lineer ve

nonlineer teoriye göre boyutsuz kesit tesiri bileşenlerini,



bl

ve



bn

lineer ve nonlineer

teğeti ve normali doğrultusundaki boyutsuz yayılı yükler,



b

ise binormal

doğrultusundaki boyutsuz yayılı momenttir. f(



) kesit değişimini ifade eder.

(2.1)-(2.6) denklemleri (3.1)-(3.9) ifadelerine göre düzenlenirse, lineer teoriye uygun

boyutsuz denklem takımı aşağıdaki gibi oluşur.

tl nl

dν

ν

0

d







(3.10)

nl tl bl

d

0

d



    



(3.11)

bl bl

d

f ( )

0

d



 

 



(3.12)

bl nl b

d

d



   



(3.13)

nl n tl

d

d



   



(3.14)

tl t nl

d

d



   



(3.15)

(2.7)-(2.12) denklemleri (3.1)-(3.9) ifadelerine göre düzenlenirse, nonlineer teoriye

uygun boyutsuz denklem takımı aşağıdaki gibi oluşur.

tn nn b

dν

ν

Cos

+1 0

d











(3.16)

nn tn b

d

Sin

0

d



_{  }

_{ }



(3.17)

bn bn

d

f ( )

0

d



_{ }

_{ }



(3.18)

bn nn b tn b b

d

Cos

Sin

d



 

  

  



(3.19)

nn tn n

d

d



   



(3.20)

tn nn t

d

d



   



(3.21)

4. KESĠTĠ SABĠT DAĠRESEL ÇUBUK ĠÇĠN UYGULUMA

4.1 Kesiti sabit dairesel çubuğun lineer ve nonlineer teoriye göre çözümü

Bu bölümde orta noktasından tekil yükle yüklü, iki ucu mafsallı, kesiti sabit dairesel

kemerin çözümü yapılmıştır. Çözüm boyutsuz büyüklükler cinsinden yapılacaktır.

Problem şekillerle aşağıda açıklanmıştır.

Şekil 4.1 Tekil yükle yüklenmiş kesiti sabit dairesel kemer

Şekil 4.2 Dairesel sabit kesitli kemerin üç boyutlu gösterimi

R



Şekil 4.3 Sabit kesitli kemer için hesaplamaların Şekil 4.4 Çubuk ekseni boyunca

yapıldığı çubuk bölgesi sabit kesit değişimi

Hesaplar simetriden faydalanarak yarım kemer üzerinde yapılmıştır. Şekil 4.3’te

görüldüğü gibi



açısı A noktasından B noktasına ilerlemektedir. A noktası U

t

(0),

U

n

(0), T

t

(0), T

n

(0), M

b

(0),



b

(0) değerlerine, B noktası U

t

(



/2), U

n

(



/2), T

t

(



/2),

T

n

(



/2), M

b

(



/2),



b

(



/2) değerlerine karşılık gelmektedir.

Lineer kabule uygun (3.10)-(3.15) denklem takımı, f(



)=1 ve dış yükler yok iken

(4.1)-(4.6) homojen denklemleri şeklinde düzenlenmiştir. Bu diferansiyel denklem

takımının çözümü (4.7)-(4.12)’de verilmiştir.

tl nl

dν

ν

0

d







(4.1)

nl tl bl

d

0

d



_{    }



(4.2)

bl bl

d

0

d



  



(4.3)

bl nl

d

0

d



  



(4.4)

nl tl

d

0

d



_{  }



(4.5)

tl nl

d

0

d



  



(4.6)

2 1 1 2 tl 3 4 5 6

(C

2C

) Cos

(C

2C

)Sin

C

C

C Cos

C Sin

4





 







 



 

 

 

(4.7)

nl 1 2 2 1 4 6 5

1

(((C

2C

) Cos

(C

2C

)Sin ) 4 (C

C Cos

C Sin ))

 





 





 



 



(4.8)

R



P/2

A B

bl

C

3

C

4

C Cos

2

C Sin

1

 









(4.9)

bl

(C Cos

1

C Sin ) C

2 4

 



 

(4.10)

nl

C Cos

2

C Sin

1

 





(4.11)

tl

C Cos

1

C Sin

2

 





(4.12)

(4.7)-(4.12) denklemlerinde probleme uygun sınır şartları (



nl

(0)=-P/2,



tl

(0)=0,



bl

(0)=0,



tl

(



/2)=0,



nl

(



/2)=0,



bl

(



/2)=0) kullanılarak bilinmeyenler elde

edilmiştir.

Nonlineer kabule uygun (3.16)-(3.21) denklem takımı, f(



)=1 ve dış yükler yok iken

(4.13)-(4.18) homojen denklemleri şeklinde düzenlenmiştir.

tn nn b

dν

ν

Cos

+1 0

d











(4.13)

nn tn b

d

Sin

0

d



_{  }

_{ }



(4.14)

bn bn

d

0

d



  



(4.15)

bn nn b tn b

d

Cos

Sin

0

d



 

  

 



(4.16)

nn tn

d

0

d



_{  }



(4.17)

tn nn

d

0

d



_{  }



(4.18)

(4.13)-(4.18) diferansiyel denklemleri probleme uygun sınır şartları (



nn

(0)=-P/2,



tn

(0)=0,



bn

(0)=0,



tn

(



/2)=0,



nn

(



/2)=0,



bn

(



/2)=0 ) altında çözülmüştür.

Çözümler dört değişik yük (P=1, P=2, P=5, P=10) için yapılmıştır. Her yük için

lineer ve nonlineer teoriye göre yer değiştirme ve kesit tesirlerini veren fonksiyonlar

elde edilmiş ve iki kabul arasındaki fark grafiklerle gösterilmiştir.

P=1 yükü için hesaplanmış



tl,



tn

fonksiyonları;

2 tl

1

3 Cos

(2 4

3

) Sin

1

1

2

(

) Cos

2

2

8

8

4

2

1

1

(

) Sin

4





   





   





 









  





(4.19)

9 6 2 3 4 5 6 7 8 9 tn

7.76363 10

0.0205781

3.40057 10

0.0407121

0.0322424

0.00704693

0.00206652

0.00197121

0.000611308

0.0000645824

 

  





 



 





 

 

 





 



(4.20)

P=2 yükü için hesaplanmış



tl,



tn

fonksiyonları;

2 tl

3 Cos

(4 8

6

) Sin

1

4

1

( 1

) Cos

4

8

4

1

2

(

2 ) Sin

4



   





    





 









  





(4.21)

8 2 3 4 5 6 7 8 9 tn

5.87414 10

0.0449159

0.0000716288

0.0978253

0.08806

0.0219535

0.011784

0.011308

0.00344291

0.00035042



  





 

 





 

 

 





 



(4.22)

P=5 yükü için hesaplanmış



tl,



tn

fonksiyonları;

2 tl

5

5

15 Cos

(10 20

15

) Sin

1

5

10

(

) Cos

2

2

8

8

4

2

1

5

(

5 ) Sin

4





   





  







 









  





(4.23)

6 2 3 4 5 6 7 8 9 tn

2.09017 10

0.151195

0.00280613

0.404901

0.392151

0.00980076

0.227323

0.142551

0.0322748

0.00180269



  





 

 





 

 

 





 



(4.24)

P=10 yükü için hesaplanmış



tl,



tn

fonksiyonları;

2 tl

15 Cos

(20 40

30

) Sin

1

20

5 5

( 5

) Cos

4

8

4

1

10

(

10 ) Sin

4



   





    





 











 





(4.25)

2 3 4 5 6 7 8 9 tn

0.0000367535 0.628838

0.0943166

3.32419

5.97204

6.99465

7.15523

5.185598

2.05074

0.325126

 



 

 





 

 

 





 



(4.26)

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5



0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007



tl

,



tn

Şekil 4.5 P=1 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014

n

tl

,

n

tn

Şekil 4.6 P=2 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

0.01 0.02 0.03 0.04

n

tl

,

n

tn

Şekil 4.7 P=5 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15

n

tl

,

n

tn

Şekil 4.8 P=10 için, boyutsuz teğet doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

P=1 yükü için hesaplanmış



nl,



nn

fonksiyonları;

2 nl

1

1

1

(2 4

3

) Cos

3 Sin

((

) Cos

4(

))

4

2

8

8

1

1

2

(

) Sin

4

2



   







  

   











 





(4.27)

6 2 3 4 5 6 7 8 9 nn

0.02055809 7.62555 10

0.104656

0.0833559

0.00035411

0.0113601

0.00193613

0.00047927

0.00027917

0.0000474516



 





 

 





 

 

 





 



(4.28)

P=2 yükü için hesaplanmış



nl,



nn

fonksiyonları;

2 nl

1

2

(4 8

6

) Cos

3 Sin

((

2 ) Cos

4( 1

))

4

8

4

1

4

( 1

) Sin

4



   







  

   











 





(4.29)

2 3 4 5 6 7 8 9 nn

0.0449193 0.0000160749

0.218945

0.166744

0.0109536

0.0349128

0.0144353

0.00797591

0.00306788

0.000449086

 



 

 





 

 

 





 



(4.30)

P=5 yükü için hesaplanmış



nl,



nn

fonksiyonları;

2 nl

1

5

5

(10 20

15

) Cos

15 Sin

((

5 ) Cos

4(

))

4

2

8

8

1

5

10

(

) Sin

4

2



   







  

   











 





(4.31)

2 3 4 5 6 7 8 9 nn

0.15106 0.0000766981

0.636306

0.397379

0.257269

0.492818

0.480585

0.304728

0.102751

0.0139425

 



 

 





 

 

 





 



(4.32)

P=10 yükü için hesaplanmış



nl,



nn

fonksiyonları;

2 nl

1

10

(20 40

30

) Cos

15 Sin

((

10 ) Cos

4( 5

))

4

8

4

1

20

( 5

) Sin

4



   









 

   











 





(4.33)

2 3 4 5 6 7 8 9 nn

0.633225 0.0101674

1.796555

0.460681

7.46582

14.5

14.8278

8.41473

0.2.47511

0.293888

 



 

 





 

 

 





 



(4.34)

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.01 -0.005 0.005 0.01 0.015 0.02

n

nl

,

n

nn

Şekil 4.9 P=1 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 0.04

n

nl

,

n

nn

Şekil 4.10 P=2 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.05 0.05 0.1 0.15

n

nl

,

n

nn

Şekil 4.11 P=5 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

n

nl

,

n

nn

Şekil 4.12 P=10 için, boyutsuz normal doğrultudaki lineer ve nonlineer yer değiştirmeler

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

P=1 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

1

Cos

Sin

2

2

2







   





(4.35)

9 2 3 4 5 6 7 8 9 bn

7.7875 10

0.188723

0.249977

0.0428525

0.0208557

0.00168244

0.000462498

0.00236709

0.000821018

0.0000831885



  





 

 





 

 

 





 



(4.36)

P=2 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

2 Sin

1

Cos



    

 



(4.37)

7 2 3 4 5 6 7 8 9 bn

1.14633 10

0.392929

0.499788

0.0628201

0.0477613

0.00163943

0.0183666

0.0176693

0.00529394

0.00052025



  





 

 





 

 

 





 



(4.38)

P=5 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

5

5

5 Cos

5 Sin

2

2

2







  







(4.39)

6 2 3 4 5 6 7 8 9 bn

4.39751 10

1.12586

1.24322

0.0822097

0.346217

0.377865

0.48062

0.266508

0.0590763

0.00354214



  





 

 





 

 

 





 



(4.40)

P=5 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

10 Sin

5 5

5 Cos



    

 



(4.41)

2 3 4 5 6 7 8 9 bn

0.0000849848 3.31215

2.40753

2.29145

3.40096

1.95869

1.94611

4.10967

2.31587

0.434132

  



 

 





 

 

 





 



(4.42)

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03

W

bl

,

W

bn

Şekil 4.13 P=1 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer dönmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.075 -0.05 -0.025 0.025 0.05 0.075

W

bl

,

W

bn

Şekil 4.14 P=2 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer dönmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.2 -0.1 0.1 0.2

W

bl

,

W

bn

Şekil 4.15 P=5 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer dönmeler

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4

W

bl

,

W

bn

Şekil 4.16 P=10 için, boyutsuz binormal doğrultudaki lineer ve nonlineer dönmeler

____ Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

P=1 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

1

Cos

Sin

2

2





   





(4.43)

2 3 4 5 6 7 8 9 bn

0.18872 0.49999

0.12888

0.816269

0.0138796

0.00700866

0.00601541

0.000160695

0.00158145

0.000337376

  



 

 

 





 

 





 



(4.44)

P=2 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

2 Cos

1



Sin

   







(4.45)

2 3 4 5 6 7 8 9 bn

0.392934 0.999974

0.192811

0.167923

0.0589318

0.0048011

0.0043837

0.0311992

0.0200888

0.00350692

  



 

 

 





 

 





 



(4.46)

P=5 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

5

5 Cos

5 Sin

2

2





   





(4.47)

2 3 4 5 6 7 8 9 bn

1.12626 2.50104

0.799922

0.49883

0.686291

1.53342

2.72036

2.35712

0.922292

0.135308

  



 

 

 





 

 





 



(4.48)

P=10 yükü için hesaplanmış



bl,



bn

fonksiyonları;

bl

10 Cos

5



5 Sin

   







(4.49)

2 3 4 5 6 7 8 9 bn

3.32014 5.1471

2.74858

9.74364

61.556

139.166

165.762

105.579

34.0175

4.36616

  



 

 

 





 

 





 



(4.50)

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1

m

bl

,

m

bn

Şekil 4.17 P=1 için, boyutsuz lineer ve nonlineer eğilme momentleri

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2

m

bl

,

m

bn

Şekil 4.18 P=2 için, boyutsuz lineer ve nonlineer eğilme momentleri

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5

m

bl

,

m

bn

Şekil 4.19 P=5 için, boyutsuz lineer ve nonlineer eğilme momentleri

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

j

-3 -2 -1 1 2

m

bl

,

m

bn

Şekil 4.20 P=10 için, boyutsuz lineer ve nonlineer eğilme momentleri

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer

____

Lineer

_ _ _

Nonlineer