FONKSİYONLARIN LİMİTİ 03 

LİMİTTE BELİRSİZLİK

DURUMLARI

0

0

BELİRSİZLİĞİ

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti





BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ







Limit hesaplamalarında karşılaşılan biçimindeki ifadelere belirsiz

ifadeler denir. Bu bölümde belirsizliklerini inceleyeceğiz.         1 , 0 , . 0 , , , 0 0 _{0 0} ve













.

0

,

,

0

0

ve

Bu belirsizlik halini şöyle açıklayabiliriz:

0 0 _{Bölme işlemi yapılınca, bölüme her reel sayı}

0

0

) ( lim ) ( lim ) ( ) (

lim

_gf _xx _gf _xx a x a x a x     Limiti hesaplanırken;

0

)

(

lim



a

f

x

x ve

lim

(

)



0

a

g

x

x ise

0

0

belirsizliği oluşur. Bu durumda f(x) ve g(x) ifadeleri, (x-a)

çarpanına sahiptir. Yani f (x) = (x-a).f₁ (x) ve g(x) = (x-a). g₁ (x) olacağından,

)

(

)

(

lim

)

(

).

(

)

(

).

(

lim

)

(

)

(

lim

1 1 1 1

x

g

x

f

x

g

a

x

x

f

a

x

x

g

x

f

a x a x a x 











ÖRNEK:

6

5

4

4

lim

₂ 2 2











x

x

x

x

x değerini bulalım. ÇÖZÜM:

0

0

6

10

4

4

8

4

6

2

.

5

2

4

2

.

4

2

6

5

4

4

lim

₂ 2 2 2 2

































x

x

x

x

x











1

0

0

3

2

lim

3

2

2

lim

2 2 2





















 

x

x

x

x

x

x x

TRİGONOMETRİK

FONKSİYONLARIN LİMİTİ

Teorem: a  R olmak üzere:

a x

lim

1.

_{sin x = sin a dır.}

2. a x

lim

_{cos x = cos a dır}

3.

lim

_xa

sin 

1

x

x

İSPAT: Bir çemberde 1'in ve 2'nin doğruluğu kolayca görülebilir. Biz 3'ün ispatını yapalım. Şekildeki orijin merkezli birim

çemberde, AOP açısının ölçüsüne x radyan dersek; PR = sin x, OR=cos x ve AC = tan x olur.

OPR üçgeninin alanı, OAP daire diliminin alanı, OAC

üçgeninin alanı arasındaki sıralama;

A(OPR) < A(OAP) < A(OAC)

x

x

x

x

.

1

.

tan

2

1

2

.

1

.

cos

.

sin

2

1

_

₂

_





B(0,1) y x A(1,0) C P O 1 x sin x tan x cos x

i.

_x

 0

 için sin x > 0’dır. Eşitsizliğinin her üç yanını sin x ile bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın limitini

alalım.

x

x

sin

cos

x

1

x

x

x

x

x x x

cos

1

lim

sin

lim

cos

lim

0 0 0     





1

sin

lim

1

0





_ 

x

x

x ise;

1

sin

lim

0





x

x

x bulunur.

ii.

x

 0

 için, sin x < 0’dır. Eşitsizliğin her üç yanını sin x’e

bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın

limitini

x

x

sin

cos

x

1

alalım:

x

x

x

x

x x x

cos

1

lim

sin

lim

cos

lim

0 0 0     





1

sin

lim

1

0





_ 

x

x

x ise;

lim

0

sin

x



1

x

Soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için; olur.

1

sin

lim

0





x

x

x

1

sin

lim

0





x

x

x olduğunu gösterelim:

1

1

1

sin

lim

1

sin

1

lim

sin

lim

0 0 0









  

x

x

x

x

x

x

x x x bulunur.

SONUÇLAR: 1. 2. 3. ve 4. ve

b

a

bx

x

x



sin

lim

0

b

a

bx

ax

x



tan

lim

0

b

a

bx

ax

x

sin



sin

lim

0

b

a

bx

ax

x

tan



tan

lim

0

b

a

bx

ax

x

tan



sin

lim

0

b

a

bx

ax

x

sin



tan

lim

0





BELİRSİZLİĞİ





un belirsizliğini şöyle açıklayabiliriz:











1

1

şeklinde yazarsak;

0

0

belirsizliğine dönüşür.

Bunun için da belirsiz bir ifadedir.





0 1 1 0 1 1

...

)

(

...

)

(

b

x

b

x

b

x

g

a

x

a

x

a

x

f

m m m m n n n n

















   

Birer polinom fonksiyonu olduğuna göre;





 _

(

)



lim

f

x

x ve





 _

(

)



lim

g

x

x ise;

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

x_ limitinin hesabında

































,

,

,

belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.bu durumda

Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve paydan yüksek dereceli x parantezine alınıp, kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir. m m n n x m m m m n n n n x x

b

x

x

a

x

b

b

b

x

x

a

a

a

x

x

g

x

f

lim

lim

lim

1

...

1

...

)

(

)

(

0 1 0 1        

































































   Bu durumda;               veya b a x b x a x g x f m n m m n n x x 0 ) ( ) (

lim

lim

, m = n ise , m > n ise , m < n ise olur.

Örnek: ? 2 5 3 4

lim

     x x x x Çözüm:

 

 

 

                  3 4 3 4 2 5 2 5

lim

x _x x x Belirsizliği bulunur. Bu durumda;

 

























_











 

















_











 







     

0

1

1

2

5

1

1

2

5

1

2

5

3 3 3 3 3 4 3 4

lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x













))

(

)

(

(

lim

f

x

g

x

a x ya da











 

))

(

)

(

(

lim

f

x

g

x

x 

belirsizliği genellikle; ya da belirsizliklerinden birine

0



 - 

_{BELİRSİZLİĞİ}

 -  un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:

ları eşit düşünürsek sonuç 0, ilk u daha büyük düşünürsek pozitif bir değer; ikinci u daha büyük kabul edersek sonuç negatif bir değerdir. Bu durumda kesin bir şey söylenemediği için

belirsiz bir ifadedir.

 

  - 

ÖRNEK:





















1

1

1

2

2 1

lim

_x

_x

x değerini hesaplayalım, ÇÖZÜM: belirsizliği













0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2

lim

lim

lim

1 1 2 1                                   x x x x x x x x x x x belirsizliğine dönüşür.



1





lim

1

1

lim

_





x

_











bulunur.









































0

1

0

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2 2 1

lim

_x

_x

x

ÖZELLİK

a > 0 olmak üzere;

a

b

x

a

c

bx

ax

x x

2

.

lim

lim

2

_

_

_

_

_

    dır.







.

0

))

(

).

(

(

lim

f

x

g

x

a x veya





 

.

0

))

(

).

(

(

lim

f

x

g

x

x

BELİRSİZLİĞİ

0.

un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: Sıfır çarpma

işleminin yutan elemanı olduğunadan,çarpma işlemini buna göre yaparsak ; olur. Çarpma işlemini a göre yaparsak; olur. Buna göre çarpma işleminin sonucu sıfır mıdır; sonsuz mudur? Kesin bir şey söyleyemediğimiz için işleminin sonucu belirsizdir.

0.

0. = 0 

.0 = 







.

0

))

(

).

(

(

lim

f

x

g

x

a x veya





 

.

0

))

(

).

(

(

lim

f

x

g

x

x

belirsizliğinin oluşması durumuında;

0

0

)

(

1

)

(

))

(

).

(

(

lim

lim





 

x

g

x

f

x

g

x

f

a x a x veya









 

)

(

1

)

(

))

(

).

(

(

lim

lim

x

f

x

g

x

g

x

f

a x a x biçimine dönüştürülerek limit hesabı yapılır.





x

olması durumunda da aynı işlem yapılır.

Örnek:



3

1



?

4

1

lim









 

x

x

x Çözüm:

















 

0

1

3

4

1

lim

x

x

x belirsizliği vardır.











 

4

1

3

lim

_x

x

x belirsizşliğine dönüştürülür.

3

4

1

3

lim







 

x

x

x olarak bulunur.

?

4

sin

2

lim

_











 

 

x

x

x Örnek: Çözüm:



































 

 

0

0

sin

4

sin

2

4

sin

2

lim

x

_x

x belirsizliği vardır.

0

0

2

4

sin

lim



 

x

x

x belirsizliğine dönüşür.

x





için

1 

_x

0

olduğundan; 2 2 1 2 4 4 sin 2 4 sin

lim

lim

x  x     bulunur.

Örnek:

lim



2



tan

3

?

2







       

x

x

x



 Çözüm:







           0 3 tan 2

lim

2 x x x





belirsizliği vardır.  - 2x = h diyelim.

2 2 h x    _olur. 2  

x iken

_h



₀

dır.Değerleri yerine yazalım:





      _                            2 3 2 3 tan . 2 2 3 tan . 3 tan 2

lim

lim

lim

0 0 2 h h h h x x h h x     0 0 2 3 tan 2 3 cot . 2 3 2 tan .

lim

lim

lim

0 0 0               h h h h h h h h h  belirsizliğine dönüşür. 2 2 2 2 3

lim

    h