• Sonuç bulunamadı

Fark denklem sistemleriyle oluşturulmuş ot-otçul modelinin çatallanma analizi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Fark denklem sistemleriyle oluşturulmuş ot-otçul modelinin çatallanma analizi"

Copied!
11
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ÖZET: Bu çalışmada, fark denklem sistemiyle oluşturulmuş bir ot-otçul matematiksel modeli göz önüne alınmıştır. Center Manifold teoremi kullanılarak sistemde Neimark Sacker çatallanmasının oluşması için gerekli olan özdeğer eşliği, transversality ve nonresonance koşulları analiz edilmiş ve teorik olarak bu koşulların sağlandığı gösterilmiştir. Elde edilen bu teorik koşulların doğruluğunu göstermek için bazı parametre değerleri belirlenmiş ve bu parametre değerleri için sistemin çatallanma diagramı, faz diyagramları elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Fark denklem sistemi, kararlılık, Neimark-Sacker çatallanma, ot-otçul model

ABSTRACT: In this study, a plant-herbivore mathematical model constructed with the system of difference equation is considered. Using Center Manifold theorem, the eigenvalue assignment, transversality and nonresonance conditions that required for the existence of Neimark Sacker bifurcation in the system are analyzed and it has been theoretically shown that these conditions are satisfied. In order to show the accuracy of these theoretical conditions, some parameter values have been determined and the bifurcation diagram and phase diagrams of the system have been obtained for these parameter values.

Keywords: Neimark-Sacker bifurcation, plant-herbivore model, stability, system of difference equation

Fark Denklem Sistemleriyle Oluşturulmuş Ot-Otçul Modelinin

Çatallanma Analizi

Bifurcation Analysis of a Plant-Herbivore Model Constructed

with System of Difference Equations

Şenol KARTAL

Iğdır

Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi

Iğdır University Journal of the Institute of Science and T

echnology

Araştırma Makalesi / Research Article Iğdır Üni. Fen Bilimleri Enst. Der. / Iğdır Univ. J. Inst. Sci. & Tech. 8(1): 237-247, 2018

1 Şenol KARTAL (0000-0003-1205-069X), Nevşehir Hacı bektaş Veli Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi

Bölümü, Nevşehir, Turkey

Sorumlu yazar/Corresponding Author: Şenol KARTAL, senol.kartal@nevsehir.edu.tr

Geliş tarihi / Received: 25.07.2017 Kabul tarihi / Accepted: 13.11.2017

Cilt/ Volume : 8, Sayı/ Issue : 1, Sayfa/ pp : 237-247, 2018

(2)

Iğdır Üni. Fen Bilimleri Enst. Der. / Iğdır Univ. J. Inst. Sci. & Tech.

238

Şenol KARTAL

GİRİŞ

Temelde ot (bitki)-otçul etkileşimine matematiksel olarak av-avcı modeli olarak yaklaşılmıştır (Caughley, 1981; May, 2001). Literatürde bu etkileşimi tanımlamak için birçok yazar kesikli ve sürekli dinamik sistemleri kullanmışlardır (Li, 2011; Chattopadhayay et al., 2001; Mukherjee et al., 2011; Danca et al., 1997; Agiza et al.,

2009; Sui et al., 2007; Sun et al., 2014; Das and Sarkar, 2001; Cejas et al., 2004; Kartal, 2016). Li (Li, 2011) herbivore üzerindeki plant toksin etkisini incelemek için Holling type II fonksiyonu içeren diferansiyel denklem sistemi kullanmıştır. Chattopadhayay ve arkadaşları (Chattopadhayay et al., 2001) ise aşağıdaki sürekli zamanlı modeli önermişlerdir.

2

Keywords: Neimark-Sacker bifurcation, plant-herbivore model, stability, system of

difference equation

GİRİŞ

Temelde ot (bitki)-otçul etkileşimine matematiksel olarak av-avcı modeli olarak yaklaşılmıştır (Caughley, 1981; May, 2001). Literatürde bu etkileşimi tanımlamak için birçok yazar kesikli ve sürekli dinamik sistemleri kullanmışlardır (Li, 2011; Chattopadhayay et al., 2001; Mukherjee et al., 2011; Danca et al., 1997; Agiza et al., 2009; Sui et al., 2007; Sun et al., 2014; Das and Sarkar, 2001; Cejas et al., 2004; Kartal, 2016). Li (Li, 2011) herbivore üzerindeki plant toksin etkisini incelemek için Holling type II fonksiyonu içeren diferansiyel denklem sistemi kullanmıştır. Chattopadhayay ve arkadaşları (Chattopadhayay et al., 2001) ise aşağıdaki sürekli zamanlı modeli önermişlerdir. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 ൌ 𝑟𝑟𝑥𝑥 𝑡𝑡 ͳ − 𝑥𝑥ሺ𝑡𝑡ሻ 𝐾𝐾 − 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻǡ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 ൌ −𝑠𝑠𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻ ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻǡ ሺͳሻ

Burada 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻ sırasıyla ot ve otçul popülasyonunu temsil etmektedir. 𝑟𝑟ǡ 𝐾𝐾𝑣𝑣𝑒𝑒𝛼𝛼 parametreleri sırasıyla bitki büyüme oranı, bitki taşıma kapasitesi ve bitkinin otçul tarafından avlanma oranıdır. s otçulun ölüm oranı ve β otçulun dönüşüm oranıdır (Chattopadhayay et al., 2001).

Deneysel veriler göstermiştir ki bitki ya da otçul non-overlapping nesillere sahip oldukları için bu etkileşim sürekli zamanlı dinamik sistemlerden ziyade kesikli zamanlı dinamik sistemlerle modellenmelidir. Dolayısıyla birçok yazar bu biyolojik gerçekten

(1)

Burada x(t) ve y(t) sırasıyla ot ve otçul popü-lasyonunu temsil etmektedir. r, K ve a parametreleri sırasıyla bitki büyüme oranı, bitki taşıma kapasitesi ve bitkinin otçul tarafından avlanma oranıdır. s otçulun ölüm oranı ve β otçulun dönüşüm oranıdır (Chattopadhayay et al., 2001).

Deneysel veriler göstermiştir ki bitki ya da otçul non-overlapping nesillere sahip oldukları için bu etkileşim sürekli zamanlı dinamik sistemlerden ziyade kesikli zamanlı dinamik sistemlerle modellenmelidir. Dolayısıyla birçok yazar bu biyolojik gerçekten hareketle ot-otçul etkileşimi için fark denklem sistemlerini kullanmayı tercih etmişlerdir (Mukherjee et al., 2011; Danca et al., 1997; Agiza et al., 2009; Sui et

al., 2007). Ot-Otçul modellemesine diğer bir yaklaşım gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıdır (Sun et al., 2014; Das and Sarkar, 2001; Cejas et al., 2004). Bu denklemlerin ot-otçul modellemesinde kullanılması otçulun bitki üzerinde oluşturduğu zarar ve bitkinin bu zarar karşılık gerçekleştirdiği savunma mekanizmasından kaynaklanmaktadır. Sun ve arkadaşları (Sun et al., 2014) gecikme zamanı içeren reaksiyon-difüzyon kısmi diferansiyel denklemlerini kullanarak ot-otçul etkileşimini incelemişlerdir.

Kartal (Kartal, 2016) ise (1) denklemine tam değer fonksiyonu katarak hem sürekli zamanlı hem de kesikli zamanlı aşağıdaki modeli oluşturmuştur.

3

hareketle ot-otçul etkileşimi için fark denklem sistemlerini kullanmayı tercih etmişlerdir (Mukherjee et al., 2011; Danca et al., 1997; Agiza et al., 2009; Sui et al., 2007).

Ot-Otçul modellemesine diğer bir yaklaşım gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıdır (Sun et al., 2014; Das and Sarkar, 2001; Cejas et al., 2004). Bu denklemlerin ot-otçul modellemesinde kullanılması otçulun bitki üzerinde oluşturduğu zarar ve bitkinin bu zarar karşılık gerçekleştirdiği savunma mekanizmasından kaynaklanmaktadır. Sun ve arkadaşları (Sun et al., 2014) gecikme zamanı içeren reaksiyon-difüzyon kısmi diferansiyel denklemlerini kullanarak ot-otçul etkileşimini incelemişlerdir.

Kartal (Kartal, 2016) ise (1) denklemine tam değer fonksiyonu katarak hem sürekli zamanlı hem de kesikli zamanlı aşağıdaki modeli oluşturmuştur.

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 ൌ 𝑟𝑟𝑥𝑥 𝑡𝑡 ͳ − 𝑥𝑥ሺ𝑡𝑡ሻ 𝐾𝐾 − 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦ሺ 𝑡𝑡 ሻǡ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 ൌ −𝑠𝑠𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻ ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻǡ ሺʹሻ

(2) tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklem sistemi hem sürekli zamanı hem de kesikli zamanı birlikte içerir ve gecikmeli diferansiyel denklemlerle yakından ilişkilidir. Çalışma (Kartal, 2016) de (2) denklem sisteminin t∈[n,n+1) alt aralıklarında çözümünden aşağıdaki fark denklem sistemi elde edilmiştir.

𝑥𝑥 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌ 𝑥𝑥ሺ𝑛𝑛ሻሾ𝑟𝑟 − 𝛼𝛼𝑦𝑦ሺ𝑛𝑛ሻሿ

ሾ𝑟𝑟 − 𝛼𝛼𝑦𝑦ሺ𝑛𝑛ሻ − 𝑟𝑟𝑘𝑘𝑥𝑥ሺ𝑛𝑛ሻሿ𝑒𝑒− 𝑟𝑟−𝛼𝛼𝑦𝑦ሺ𝑛𝑛ሻ ൅ 𝑟𝑟𝑘𝑘𝑥𝑥ሺ𝑛𝑛ሻǡ

𝑦𝑦 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌ 𝑦𝑦 𝑛𝑛 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑥𝑥 𝑛𝑛 −𝑠𝑠ǡ  ሺ͵ሻ

(2)

(2) tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklem sistemi hem sürekli zamanı hem de kesikli zamanı birlikte içerir ve gecikmeli diferansiyel denklemlerle yakından ilişkilidir. Çalışma (Kartal, 2016) de (2)

denklem sisteminin t∈[n,n+1) alt aralıklarında çözümünden aşağıdaki fark denklem sistemi elde edilmiştir.

3

hareketle ot-otçul etkileşimi için fark denklem sistemlerini kullanmayı tercih etmişlerdir (Mukherjee et al., 2011; Danca et al., 1997; Agiza et al., 2009; Sui et al., 2007).

Ot-Otçul modellemesine diğer bir yaklaşım gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılmasıdır (Sun et al., 2014; Das and Sarkar, 2001; Cejas et al., 2004). Bu denklemlerin ot-otçul modellemesinde kullanılması otçulun bitki üzerinde oluşturduğu zarar ve bitkinin bu zarar karşılık gerçekleştirdiği savunma mekanizmasından kaynaklanmaktadır. Sun ve arkadaşları (Sun et al., 2014) gecikme zamanı içeren reaksiyon-difüzyon kısmi diferansiyel denklemlerini kullanarak ot-otçul etkileşimini incelemişlerdir.

Kartal (Kartal, 2016) ise (1) denklemine tam değer fonksiyonu katarak hem sürekli zamanlı hem de kesikli zamanlı aşağıdaki modeli oluşturmuştur.

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 ൌ 𝑟𝑟𝑥𝑥 𝑡𝑡 ͳ − 𝑥𝑥ሺ𝑡𝑡ሻ 𝐾𝐾 − 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦ሺ 𝑡𝑡 ሻǡ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 ൌ −𝑠𝑠𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻ ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦ሺ𝑡𝑡ሻǡ ሺʹሻ

(2) tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklem sistemi hem sürekli zamanı hem de kesikli zamanı birlikte içerir ve gecikmeli diferansiyel denklemlerle yakından ilişkilidir. Çalışma (Kartal, 2016) de (2) denklem sisteminin t∈[n,n+1) alt aralıklarında çözümünden aşağıdaki fark denklem sistemi elde edilmiştir.

𝑥𝑥 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌሾ𝑟𝑟 − 𝛼𝛼𝑦𝑦ሺ𝑛𝑛ሻ − 𝑟𝑟𝑘𝑘𝑥𝑥ሺ𝑛𝑛ሻሿ𝑒𝑒𝑥𝑥ሺ𝑛𝑛ሻሾ𝑟𝑟 − 𝛼𝛼𝑦𝑦ሺ𝑛𝑛ሻሿ− 𝑟𝑟−𝛼𝛼𝑦𝑦ሺ𝑛𝑛ሻ ൅ 𝑟𝑟𝑘𝑘𝑥𝑥ሺ𝑛𝑛ሻǡ

𝑦𝑦 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌ 𝑦𝑦 𝑛𝑛 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑥𝑥 𝑛𝑛 −𝑠𝑠ǡ  ሺ͵ሻ

(3)

Cilt / Volume: 8, Sayı / Issue: 1, 2018 239 Fark Denklem Sistemleriyle Oluşturulmuş Ot-Otçul Modelinin Çatallanma Analizi Bu çalışmada ise Center Manifold teorisi

kullanılarak (3) sisteminin Neimark-Sacker çatallanma analizi yapılacaktır.

MATERYAL VE YÖNTEM

(3) sisteminin çatallanma analizine geçmeden önce yerel kararlılık analizi sonuçlarını bilmek gereklidir. (3) sisteminin pozitif denge noktası

olarak bulunur (Kartal, 2016). (7) karakteristik denkleminden elde edilecek olan λi, i=1,2 özdeğerlerinin 1 den küçük olmasını sağlayan koşullar ya da diğer bir deyişle (3) matematiksel modelinin E* denge noktasının yerel asimptotik kararlı olmasını sağlayan koşullar

Schur-Cohn kriterlerinin kullanılmasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir.

Teorem 1 (Kartal, 2016): (3) matematiksel

modelinin denge noktası yerel asimptotik kararlıdır ancak ve ancak

ks < b < k + ks ise.

BULGULAR VE TARTIŞMA

Bu bölümde (3) sisteminin Neimark-Sacker çatallanma analizi yapılacaktır. Neimark-Sacker çatallanması, kesikli zamanlı dinamik modellerde ortaya çıkan bir çatallanmadır. Bu çatallanma tipi için linerleştirilmiş sistemin jakobyen matrisinin karakteristik denklemi birim dairenin üzerinde olan bir çift eşlenik kompleks özdeğere sahiptir ve karakteristik denklemin diğer bütün özdeğerleri birim dairenin içindedir. (3) fark denklem sisteminin Neimark-Sacker

çatallanma analizini yapabilmek için Kuznetsov’un (Kuznetsov, 1998) ortaya koyduğu ve bir çok yazarın kullandığı çatallanma teorisi kullanılacaktır (Kuznetsov, 1998; Xin et al., 2009; Wen, 2005; Peng, 2005; He and Li, 2014; Sohel Rana, 2015). Aşağıdaki teorem iki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için Neimark-Sacker Çatallanma kriterlerini vermektedir.

Teorem 2 (Xin et al., 2009): (İki boyutlu kesikli

zamanlı dinamik sistemler için Neimark-Sacker Çatallanma Kriterleri)

4

Bu çalışmada ise Center Manifold teorisi kullanılarak (3) sisteminin Neimark-Sacker çatallanma analizi yapılacaktır.

MATERYAL ve YÖNTEM

(3) sisteminin çatallanma analizine geçmeden önce yerel kararlılık analizi sonuçlarını bilmek gereklidir. (3) sisteminin pozitif denge noktası

𝛽𝛽 ൐ 𝑘𝑘𝑠𝑠ሺͶሻ koşulu altında 𝐸𝐸∗ ൌ ሺ𝑥𝑥ǡ 𝑦𝑦ሻ ൌ 𝑠𝑠 𝛽𝛽 ǡ 𝑟𝑟 𝛼𝛼 ͳ − 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝛽𝛽 ሺͷሻ olarak elde edilebilir. 𝐸𝐸∗ denge noktasında (3) sisteminin 𝐽𝐽 jakobyen matrisi ise

𝐽𝐽∗ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑠𝑠𝛽𝛽 ሺ−ͳ ൅ ⅇ −𝑘𝑘𝑟𝑟𝑠𝑠𝛽𝛽 ሻ𝛼𝛼 𝑘𝑘𝑟𝑟 −𝑘𝑘𝑟𝑟𝑠𝑠 − 𝑟𝑟𝛽𝛽𝛼𝛼 ͳ ൌ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ ሺ−ͳ ൅ ⅇ −𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ሻ𝛼𝛼 𝑘𝑘𝑟𝑟 𝛽𝛽𝑦𝑦∗ ͳ ሺ͸ሻ

olarak hesaplanır. (6) Jakobyen matrisinin karakteristik denklemi ise 𝑝𝑝 𝜆𝜆 ൌ 𝜆𝜆ʹ൅ 𝜆𝜆 −ͳ − ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ൅ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ ൅ሺͳ − ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥 ∗ ሻ𝛼𝛼𝛽𝛽𝑦𝑦∗ 𝑘𝑘𝑟𝑟 ൌ Ͳሺ͹ሻ olarak bulunur (Kartal, 2016). (7) karakteristik denkleminden elde edilecek olan 𝜆𝜆𝑖𝑖ǡ 𝑖𝑖 ൌ ͳǡʹ özdeğerlerinin ͳ den küçük olmasını sağlayan koşullar ya da diğer bir deyişle (3) matematiksel modelinin 𝐸𝐸∗ denge noktasının yerel asimptotik kararlı olmasını sağlayan koşullar Schur-Cohn kriterlerinin kullanılmasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir.

(4)

Iğdır Üni. Fen Bilimleri Enst. Der. / Iğdır Univ. J. Inst. Sci. & Tech.

240

Şenol KARTAL İki boyutlu

5

Teorem 1 (Kartal, 2016): (3) matematiksel modelinin 𝐸𝐸 denge noktası yerel

asimptotik kararlıdır ancak ve ancak 𝑘𝑘𝑠𝑠 ൏ 𝛽𝛽 ൏ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 ise.

BULGULAR ve TARTIŞMA

Bu bölümde (3) sisteminin Sacker çatallanma analizi yapılacaktır. Neimark-Sacker çatallanması, kesikli zamanlı dinamik modellerde ortaya çıkan bir çatallanmadır. Bu çatallanma tipi için linerleştirilmiş sistemin jakobyen matrisinin karakteristik denklemi birim dairenin üzerinde olan bir çift eşlenik kompleks özdeğere sahiptir ve karakteristik denklemin diğer bütün özdeğerleri birim dairenin içindedir. (3) fark denklem sisteminin Neimark-Sacker çatallanma analizini yapabilmek için Kuznetsov’un (Kuznetsov, 1998) ortaya koyduğu ve bir çok yazarın kullandığı çatallanma teorisi kullanılacaktır (Kuznetsov, 1998; Xin et al., 2009; Wen, 2005; Peng, 2005; He and Li, 2014; Sohel Rana, 2015). Aşağıdaki teorem iki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için Neimark-Sacker Çatallanma kriterlerini vermektedir.

Teorem 2 (Xin et al., 2009): (İki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için

Neimark-Sacker Çatallanma Kriterleri) İki boyutlu

𝑥𝑥𝑘𝑘൅ͳ ൌ 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑘𝑘ǡ 𝜇𝜇 ሺͺሻ kesikli dinamik sistemini göz önüne alalım. Burada 𝑥𝑥𝑘𝑘൅ͳǡ 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅ʹ vektörler ve 𝜇𝜇 de bir parametredir.

(8)

kesikli dinamik sistemini göz önüne alalım. Burada

5

Teorem 1 (Kartal, 2016): (3) matematiksel modelinin 𝐸𝐸 denge noktası yerel

asimptotik kararlıdır ancak ve ancak 𝑘𝑘𝑠𝑠 ൏ 𝛽𝛽 ൏ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 ise.

BULGULAR ve TARTIŞMA

Bu bölümde (3) sisteminin Sacker çatallanma analizi yapılacaktır. Neimark-Sacker çatallanması, kesikli zamanlı dinamik modellerde ortaya çıkan bir çatallanmadır. Bu çatallanma tipi için linerleştirilmiş sistemin jakobyen matrisinin karakteristik denklemi birim dairenin üzerinde olan bir çift eşlenik kompleks özdeğere sahiptir ve karakteristik denklemin diğer bütün özdeğerleri birim dairenin içindedir. (3) fark denklem sisteminin Neimark-Sacker çatallanma analizini yapabilmek için Kuznetsov’un (Kuznetsov, 1998) ortaya koyduğu ve bir çok yazarın kullandığı çatallanma teorisi kullanılacaktır (Kuznetsov, 1998; Xin et al., 2009; Wen, 2005; Peng, 2005; He and Li, 2014; Sohel Rana, 2015). Aşağıdaki teorem iki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için Neimark-Sacker Çatallanma kriterlerini vermektedir.

Teorem 2 (Xin et al., 2009): (İki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için

Neimark-Sacker Çatallanma Kriterleri) İki boyutlu

𝑥𝑥𝑘𝑘൅ͳ ൌ 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑘𝑘ǡ 𝜇𝜇 ሺͺሻ kesikli dinamik sistemini göz önüne alalım. Burada 𝑥𝑥𝑘𝑘൅ͳǡ 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅ʹ vektörler ve 𝜇𝜇 de bir parametredir.

vektörler ve

5

Teorem 1 (Kartal, 2016): (3) matematiksel modelinin 𝐸𝐸 denge noktası yerel

asimptotik kararlıdır ancak ve ancak 𝑘𝑘𝑠𝑠 ൏ 𝛽𝛽 ൏ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 ise.

BULGULAR ve TARTIŞMA

Bu bölümde (3) sisteminin Sacker çatallanma analizi yapılacaktır. Neimark-Sacker çatallanması, kesikli zamanlı dinamik modellerde ortaya çıkan bir çatallanmadır. Bu çatallanma tipi için linerleştirilmiş sistemin jakobyen matrisinin karakteristik denklemi birim dairenin üzerinde olan bir çift eşlenik kompleks özdeğere sahiptir ve karakteristik denklemin diğer bütün özdeğerleri birim dairenin içindedir. (3) fark denklem sisteminin Neimark-Sacker çatallanma analizini yapabilmek için Kuznetsov’un (Kuznetsov, 1998) ortaya koyduğu ve bir çok yazarın kullandığı çatallanma teorisi kullanılacaktır (Kuznetsov, 1998; Xin et al., 2009; Wen, 2005; Peng, 2005; He and Li, 2014; Sohel Rana, 2015). Aşağıdaki teorem iki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için Neimark-Sacker Çatallanma kriterlerini vermektedir.

Teorem 2 (Xin et al., 2009): (İki boyutlu kesikli zamanlı dinamik sistemler için

Neimark-Sacker Çatallanma Kriterleri) İki boyutlu

𝑥𝑥𝑘𝑘൅ͳ ൌ 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑘𝑘ǡ 𝜇𝜇 ሺͺሻ kesikli dinamik sistemini göz önüne alalım. Burada 𝑥𝑥𝑘𝑘൅ͳǡ 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅ʹ vektörler ve 𝜇𝜇 de bir parametredir.

de bir parametredir.

6

(A1) (8) sisteminin š denge noktasındaki 𝐽𝐽

𝑥𝑥𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥∗ǡ 𝜇𝜇 jakobyen matrisinin karakteristik

denklemi 𝑝𝑝 𝜆𝜆 ൌ 𝜆𝜆ʹ൅ 𝑝𝑝

ͳ𝜆𝜆 ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൌ Ͳ,

(A2) (8) sisteminin normalleştirilmiş denklemleri

𝑧𝑧 ൌ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ𝑧𝑧 ൅ͳ ʹ𝑔𝑔ʹͲ𝑧𝑧ʹ൅ 𝑔𝑔ͳͳ𝑧𝑧𝑧𝑧 ൅ ͳ ʹ𝑔𝑔Ͳʹ𝑧𝑧 ʹ൅ ͳ ʹ𝑔𝑔ʹͳ𝑧𝑧ʹ𝑧𝑧 ǡ

(A3) Birinci Lyapunov katsayısı

𝑎𝑎 Ͳ ൌ 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ𝑔𝑔ʹͳ ʹ − 𝑅𝑅𝑒𝑒 ሺͳ−ʹ𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳሻ𝑒𝑒−ʹ𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ ʹሺͳ−𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳሻ 𝑔𝑔ʹͲ𝑔𝑔ͳͳ − ͳ ʹ 𝑔𝑔ͳͳ ʹ− ͳ Ͷ 𝑔𝑔Ͳʹ ʹ olmak üzere

(B1) Özdeğer eşliği : μ ൌ μ noktasında ͳ ൅ 𝑝𝑝

ͳ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൐ Ͳǡ ͳ − 𝑝𝑝ͳ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൐ Ͳǡ ͳ ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൐ Ͳǡ ͳ − 𝑝𝑝Ͳ ൌ Ͳǡ

(B2) Transversality Koşulu: 𝑑𝑑 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝜇𝜇

𝑑𝑑μ 𝜇𝜇ൌ𝜇𝜇∗ ≠ Ͳǡ

(B3) Bir çift eşlenik kompleks özdeğerler 𝜆𝜆ͳ ve 𝜆𝜆ʹ için resonance koşulu 𝜆𝜆ͳ𝑚𝑚 𝜇𝜇∗ ൌ ͳ

ya da nonresonance koşulu 𝜆𝜆ͳ𝑚𝑚 𝜇𝜇∗ ≠ ͳǡ 𝑚𝑚 ൌ ͵ǡͶǡͷǡ … …Ǥ koşulları sağlansın.

Bu durumda 𝜇𝜇 ൌ 𝜇𝜇∗ noktasında Neimark-Sacker çatallanması oluşur. Nonresonance koşulu altında eğer 𝑎𝑎 Ͳ ൏ Ͳ ise supercritical Neimark-Sacker çatallanması, diğer durumda subcritical Neimark-Sacker çatallanması oluşur.

Teorem 3: Eğer

(5)

Cilt / Volume: 8, Sayı / Issue: 1, 2018 241 Fark Denklem Sistemleriyle Oluşturulmuş Ot-Otçul Modelinin Çatallanma Analizi ise bu durumda (3) sistemi için denge noktasında

Neimark-Sacker çatallanması oluşur. Üstelik a(0) < 0 ise bu durumda oluşan çatallanma supercritical Neimark-Sacker çatallanması, diğer durumda ise

subcritical Neimark-Sacker çatallanmasıdır.

İspat. Öncelikle (B1) özdeğer eşliğininin

koşullarını göz önüne alalım. (7) karakteristik denkleminden

7

ise bu durumda (3) sistemi için 𝐸𝐸∗ denge noktasında Neimark-Sacker çatallanması

oluşur. Üstelik 𝑎𝑎 Ͳ ൏ Ͳ ise bu durumda oluşan çatallanma supercritical Neimark-Sacker çatallanması, diğer durumda ise subcritical Neimark-Neimark-Sacker çatallanmasıdır. İspat. Öncelikle (B1) özdeğer eşliğininin koşullarını göz önüne alalım. (7) karakteristik denkleminden 𝑝𝑝ͳ ൌ −ͳ − ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗𝑣𝑣𝑒𝑒𝑝𝑝Ͳ ൌ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗൅ሺͳ − ⅇ −𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ ሻ𝛼𝛼𝛽𝛽𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑟𝑟 dır. ͳ ൅ 𝑝𝑝ͳ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൐ Ͳ, ͳ − 𝑝𝑝ͳ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൐ Ͳ ve ͳ ൅ 𝑝𝑝Ͳ ൐ Ͳ dan sırasıyla ͳ − ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑟𝑟 ൐ Ͳǡሺͻሻ ʹ ൅ ʹⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ͳ − ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥 ∗ 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑦𝑦∗ 𝑘𝑘𝑟𝑟 ൐ ͲሺͳͲሻ ve ͳ ൅ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ൅ ͳ − ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥 ∗ 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑦𝑦∗ 𝑘𝑘𝑟𝑟 ൐ Ͳሺͳͳሻ

elde edilir ki bu eşitsizlikler (4) eşitsizliğinin varlığı altında her zaman mevcuttur.

ͳ − 𝑝𝑝Ͳ ൌ Ͳ denklemi 𝛽𝛽 ya gore çözülürse 𝛽𝛽∗ൌ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 elde edilir.

Öte yandan (6) matrisinin özdeğerleri

8 𝜆𝜆ͳǡʹ 𝛽𝛽 ൌ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘 ൅ ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘 ∓ ⅈ −ͳ ൅ ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘 𝑘𝑘 ͳ − ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥 ͳ ൅ Ͷ𝑠𝑠 ൅ Ͷⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥𝛽𝛽 ʹ𝑘𝑘 ሺͳʹሻ

şeklinde hesaplanır ve 𝛽𝛽 ൌ 𝛽𝛽∗ için bu kompleks özdeğerler

𝜆𝜆ͳǡʹ 𝛽𝛽∗ ൌͳʹ ⅇ− 𝑟𝑟𝑠𝑠ͳ൅𝑠𝑠 ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠

ͳ൅𝑠𝑠∓ ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠 ሺͳ͵ሻ

olur. Buradan kolayca görülebilir ki λͳǡʹ β∗ ൌ ͳ dir. Diğer taraftan (B2) koşulundan

𝑑𝑑 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝛽𝛽 𝑑𝑑𝛽𝛽 𝛽𝛽ൌ𝛽𝛽∗ ൌ ⅇ−ʹ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ሺ−𝑘𝑘𝑠𝑠 ൅ ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑠𝑠ሺ𝑘𝑘𝑠𝑠 − 𝛽𝛽ሻሻ ʹ𝛽𝛽 ͳ ൅ ⅇ−ʹ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ൅ ʹ𝑠𝑠 − ʹ𝛽𝛽 𝑘𝑘 ൅ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ −ʹ𝑠𝑠 ൅ ʹ𝛽𝛽𝑘𝑘 ≠ ͲሺͳͶሻ

elde edilir ki bu bize Transversality koşulunun sağlandığını gösterir. Diğer taraftan

𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽 𝑟𝑟ʹ ൌ −𝑝𝑝ͳ ≠ Ͳǡ −ͳǡ nonresonance koşulundan

ͳ ൅ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ≠ Ͳǡ −ͳǡሺͳͷሻ

elde edilir ki bu da

𝜆𝜆𝑘𝑘

𝑖𝑖 𝛽𝛽∗ ≠ ͳǡ𝑘𝑘 ൌ ͳǡʹǡ͵ǡͶǤ

olması demektir. Sonuç olarak (3) sistemi için 𝑘𝑘𝑠𝑠 ൏ 𝛽𝛽∗ ൌ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 koşulu altında

Neimark-sacker çatallanması mevcuttur.

Şimdi ise çatallanmanının türünü belirlemek için 𝑎𝑎 Ͳ değerini hesaplayalım.

(6)

Iğdır Üni. Fen Bilimleri Enst. Der. / Iğdır Univ. J. Inst. Sci. & Tech. 242 Şenol KARTAL 8 𝜆𝜆ͳǡʹ 𝛽𝛽 ൌ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘 ൅ ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗𝑘𝑘 ∓ ⅈ −ͳ ൅ ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘 𝑘𝑘 ͳ − ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥 ͳ ൅ Ͷ𝑠𝑠 ൅ Ͷⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥𝛽𝛽 ʹ𝑘𝑘 ሺͳʹሻ

şeklinde hesaplanır ve 𝛽𝛽 ൌ 𝛽𝛽∗ için bu kompleks özdeğerler

𝜆𝜆ͳǡʹ 𝛽𝛽∗ ൌͳʹ ⅇ− 𝑟𝑟𝑠𝑠ͳ൅𝑠𝑠 ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠

ͳ൅𝑠𝑠∓ ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠 ሺͳ͵ሻ

olur. Buradan kolayca görülebilir ki λͳǡʹ β∗ ൌ ͳ dir. Diğer taraftan (B2) koşulundan

𝑑𝑑 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝛽𝛽 𝑑𝑑𝛽𝛽 𝛽𝛽ൌ𝛽𝛽∗ ൌ ⅇ−ʹ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ሺ−𝑘𝑘𝑠𝑠 ൅ ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ 𝑠𝑠ሺ𝑘𝑘𝑠𝑠 − 𝛽𝛽ሻሻ ʹ𝛽𝛽 ͳ ൅ ⅇ−ʹ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ൅ ʹ𝑠𝑠 − ʹ𝛽𝛽 𝑘𝑘 ൅ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑥𝑥∗ −ʹ𝑠𝑠 ൅ ʹ𝛽𝛽𝑘𝑘 ≠ ͲሺͳͶሻ

elde edilir ki bu bize Transversality koşulunun sağlandığını gösterir. Diğer taraftan

𝑡𝑡𝑟𝑟𝐽𝐽 𝑟𝑟ʹ ൌ −𝑝𝑝ͳ ≠ Ͳǡ −ͳǡ nonresonance koşulundan ͳ ൅ ⅇ−𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ≠ Ͳǡ −ͳǡሺͳͷሻ elde edilir ki bu da 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝛽𝛽∗ ≠ ͳǡ𝑘𝑘 ൌ ͳǡʹǡ͵ǡͶǤ

olması demektir. Sonuç olarak (3) sistemi için 𝑘𝑘𝑠𝑠 ൏ 𝛽𝛽∗ ൌ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 koşulu altında

Neimark-sacker çatallanması mevcuttur.

Şimdi ise çatallanmanının türünü belirlemek için 𝑎𝑎 Ͳ değerini hesaplayalım.

9

𝑞𝑞 ∈ 𝑅𝑅ʹ, 𝐽𝐽ሺ𝛽𝛽ሻ𝑞𝑞 ൌ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ𝑞𝑞 olacak şekilde 𝐽𝐽ሺ𝛽𝛽∗ሻ Jakobyen matrisinin 𝜆𝜆ͳ 𝛽𝛽∗ özdeğerine

karşılık gelen özvektörü ve 𝑝𝑝 ∈ 𝑅𝑅ʹ de 𝐽𝐽𝑇𝑇ሺ𝛽𝛽ሻ𝑝𝑝 ൌ 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ𝑝𝑝 olacak şekilde 𝐽𝐽𝑇𝑇ሺ𝛽𝛽∗ሻ

matrisinin 𝜆𝜆 özdeğerine karşılık gelen özvektörü olsun. Bu durumda ͳ 𝛽𝛽∗

𝑞𝑞̱ ͳǡ−ሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 − ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠𝑘𝑘𝑟𝑟 ʹሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝛼𝛼 𝑇𝑇 ሺͳ͸ሻ ve 𝑝𝑝̱ ሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 ൅ ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠𝑘𝑘𝑟𝑟 ʹሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝛼𝛼 ǡͳ 𝑇𝑇 ሺͳ͹ሻ

dir. Buradan ൏ 𝑝𝑝ǡ 𝑞𝑞 ൐ൌ ͳ olmasını sağlayan normalleştirilmiş vektörler

𝑞𝑞 ൌ ͳǡ−ሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 − ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠𝑘𝑘𝑟𝑟 ʹሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝛼𝛼 𝑇𝑇 ሺͳͺሻ ve 𝑝𝑝 ൌ ⅈ − ⅈⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠൅ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠 ʹ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠 ǡ− ⅈሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝛼𝛼 ሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻሺͳ ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑇𝑇 ሺͳͻሻ olarak seçilebilir. 𝑥𝑥 ൌ 𝑥𝑥𝑦𝑦 ൌ 𝑦𝑦∗∗൅ 𝑥𝑥൅ 𝑥𝑥ͳ ʹ

(7)

Cilt / Volume: 8, Sayı / Issue: 1, 2018 243 Fark Denklem Sistemleriyle Oluşturulmuş Ot-Otçul Modelinin Çatallanma Analizi

9

𝑞𝑞 ∈ 𝑅𝑅ʹ, 𝐽𝐽ሺ𝛽𝛽ሻ𝑞𝑞 ൌ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ𝑞𝑞 olacak şekilde 𝐽𝐽ሺ𝛽𝛽∗ሻ Jakobyen matrisinin 𝜆𝜆ͳ 𝛽𝛽∗ özdeğerine

karşılık gelen özvektörü ve 𝑝𝑝 ∈ 𝑅𝑅ʹ de 𝐽𝐽𝑇𝑇ሺ𝛽𝛽ሻ𝑝𝑝 ൌ 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ𝑝𝑝 olacak şekilde 𝐽𝐽𝑇𝑇ሺ𝛽𝛽∗ሻ

matrisinin 𝜆𝜆 özdeğerine karşılık gelen özvektörü olsun. Bu durumda ͳ 𝛽𝛽∗

𝑞𝑞̱ ͳǡ−ሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 − ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠𝑘𝑘𝑟𝑟 ʹሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝛼𝛼 𝑇𝑇 ሺͳ͸ሻ ve 𝑝𝑝̱ ሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 ൅ ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠𝑘𝑘𝑟𝑟 ʹሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝛼𝛼 ǡͳ 𝑇𝑇 ሺͳ͹ሻ

dir. Buradan ൏ 𝑝𝑝ǡ 𝑞𝑞 ൐ൌ ͳ olmasını sağlayan normalleştirilmiş vektörler

𝑞𝑞 ൌ ͳǡ−ሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 − ⅈ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠𝑘𝑘𝑟𝑟 ʹሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝛼𝛼 𝑇𝑇 ሺͳͺሻ ve 𝑝𝑝 ൌ ⅈ − ⅈⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠൅ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠 ʹ −ͳ − ʹⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠ʹ𝑟𝑟𝑠𝑠 ǡ− ⅈሺ−ͳ ൅ ⅇ 𝑟𝑟𝑠𝑠 ͳ൅𝑠𝑠ሻ𝛼𝛼 ሺ−ͳ ൅ ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻሺͳ ൅ ͵ⅇͳ൅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 ሻ𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑇𝑇 ሺͳͻሻ olarak seçilebilir. 𝑥𝑥 ൌ 𝑥𝑥𝑦𝑦 ൌ 𝑦𝑦∗∗൅ 𝑥𝑥൅ 𝑥𝑥ͳ ʹ 10 dönüşümü ile 𝐸𝐸∗ ൌ ሺ𝑥𝑥ǡ 𝑦𝑦ሻ ൌ 𝑠𝑠 𝛽𝛽ǡ 𝑟𝑟 𝛼𝛼 ͳ − 𝑘𝑘𝑠𝑠

𝛽𝛽 denge noktası orjine taşınılabilir. Bu

durumda (3) sistemi 𝑥𝑥ͳ 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌ ⅇ 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ ሺ𝑠𝑠 ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥ͳሺ𝑛𝑛ሻሻሺ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑠𝑠 − 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑥𝑥ʹሺ𝑛𝑛ሻሻ 𝛽𝛽 ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑠𝑠 ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥 ͳ 𝑛𝑛 − ⅇ𝛼𝛼𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥ͳ 𝑛𝑛 ൅ 𝛼𝛼𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌⅇ 𝛽𝛽𝑥𝑥ͳ 𝑛𝑛 𝑟𝑟 −𝑘𝑘𝑠𝑠 ൅ 𝛽𝛽 ൅ 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 𝛼𝛼𝛽𝛽 ǡ  ሺʹͲሻ

halini alır. Şimdi 𝑥𝑥 ൌ 𝑧𝑧𝑞𝑞 ൅ 𝑧𝑧 𝑞𝑞 olacak şekilde

𝐻𝐻 𝑧𝑧ǡ 𝑧𝑧 ൌ൏ 𝑝𝑝ǡ 𝐹𝐹 𝑧𝑧𝑞𝑞 ൅ 𝑧𝑧 𝑞𝑞 ǡ 𝛽𝛽∗ ൐ ሺʹͳሻ

fonksiyonunu oluşturalım. Bu fonksiyonun 𝑧𝑧ǡ 𝑧𝑧 ൌ ͲǡͲ noktasındaki Taylor serisi

𝐻𝐻 𝑧𝑧ǡ 𝑧𝑧 ൌ 𝑗𝑗Ǩ 𝑘𝑘Ǩͳ

ʹ≤𝑗𝑗 ൅𝑘𝑘≤͵

𝑔𝑔𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧𝑗𝑗𝑧𝑧 −𝑘𝑘 ൅ 𝑂𝑂 𝑧𝑧 Ͷ ሺʹʹሻ

şeklindedir ve 𝑔𝑔𝑗𝑗𝑘𝑘 taylor katsayıları hesaplandıktan sonra çatallanmanın yönü

𝑎𝑎 Ͳ ൌ 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜃𝜃ʹͲ𝑔𝑔ʹͳ − 𝑅𝑅𝑒𝑒 ሺͳ − ʹ𝑒𝑒ʹሺͳ − 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳሻ𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ−ʹ𝑖𝑖𝜃𝜃 Ͳ𝑔𝑔ʹͲ𝑔𝑔ͳͳ −ͳʹ 𝑔𝑔ͳͳ ʹ−ͳͶ 𝑔𝑔Ͳʹ ʹሺʹ͵ሻ

formülünden belirlenir.

Şimdi yukarıda elde edilen teorik sonuçları doğruluğunu nümerik olarak göstermeye çalışalım.

(8)

Iğdır Üni. Fen Bilimleri Enst. Der. / Iğdır Univ. J. Inst. Sci. & Tech. 244 Şenol KARTAL 10 dönüşümü ile 𝐸𝐸∗ ൌ ሺ𝑥𝑥ǡ 𝑦𝑦ሻ ൌ 𝑠𝑠 𝛽𝛽ǡ 𝑟𝑟 𝛼𝛼 ͳ − 𝑘𝑘𝑠𝑠

𝛽𝛽 denge noktası orjine taşınılabilir. Bu durumda (3) sistemi 𝑥𝑥ͳ 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌ ⅇ 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗ሺ𝑠𝑠 ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥 ͳሺ𝑛𝑛ሻሻሺ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑠𝑠 − 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑥𝑥ʹሺ𝑛𝑛ሻሻ 𝛽𝛽 ⅇ𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥∗𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑠𝑠 ൅ 𝛽𝛽𝑥𝑥 ͳ 𝑛𝑛 − ⅇ𝛼𝛼𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑥𝑥ͳ 𝑛𝑛 ൅ 𝛼𝛼𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 ൅ ͳ ൌ ⅇ 𝛽𝛽𝑥𝑥ͳ 𝑛𝑛 𝑟𝑟 −𝑘𝑘𝑠𝑠 ൅ 𝛽𝛽 ൅ 𝛼𝛼𝛽𝛽𝑥𝑥ʹ 𝑛𝑛 𝛼𝛼𝛽𝛽 ǡ  ሺʹͲሻ

halini alır. Şimdi 𝑥𝑥 ൌ 𝑧𝑧𝑞𝑞 ൅ 𝑧𝑧 𝑞𝑞 olacak şekilde

𝐻𝐻 𝑧𝑧ǡ 𝑧𝑧 ൌ൏ 𝑝𝑝ǡ 𝐹𝐹 𝑧𝑧𝑞𝑞 ൅ 𝑧𝑧 𝑞𝑞 ǡ 𝛽𝛽∗ ൐ ሺʹͳሻ fonksiyonunu oluşturalım. Bu fonksiyonun 𝑧𝑧ǡ 𝑧𝑧 ൌ ͲǡͲ noktasındaki Taylor serisi 𝐻𝐻 𝑧𝑧ǡ 𝑧𝑧 ൌ 𝑗𝑗Ǩ 𝑘𝑘Ǩͳ

ʹ≤𝑗𝑗 ൅𝑘𝑘≤͵

𝑔𝑔𝑗𝑗𝑘𝑘𝑧𝑧𝑗𝑗𝑧𝑧 −𝑘𝑘 ൅ 𝑂𝑂 𝑧𝑧 Ͷ ሺʹʹሻ şeklindedir ve 𝑔𝑔𝑗𝑗𝑘𝑘 taylor katsayıları hesaplandıktan sonra çatallanmanın yönü

𝑎𝑎 Ͳ ൌ 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜃𝜃ʹͲ𝑔𝑔ʹͳ − 𝑅𝑅𝑒𝑒 ሺͳ − ʹ𝑒𝑒ʹሺͳ − 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳሻ𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳ−ʹ𝑖𝑖𝜃𝜃 Ͳ𝑔𝑔ʹͲ𝑔𝑔ͳͳ −ͳʹ 𝑔𝑔ͳͳ ʹ−ͳͶ 𝑔𝑔Ͳʹ ʹሺʹ͵ሻ formülünden belirlenir.

Şimdi yukarıda elde edilen teorik sonuçları doğruluğunu nümerik olarak göstermeye çalışalım. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 x(n) y(n )

(9)

Cilt / Volume: 8, Sayı / Issue: 1, 2018 245 Fark Denklem Sistemleriyle Oluşturulmuş Ot-Otçul Modelinin Çatallanma Analizi

11

Şekil 1 βൌ ͲǤͺdeğeri için sistemin Neimark-Sacker çatallanması.

Örnek 1: 𝑟𝑟 ൌ ͳǤʹǡ 𝑠𝑠 ൌ ͲǤ͸ǡ 𝛼𝛼 ൌ ͳǤͳǡ 𝑘𝑘 ൌ ͲǤͷǡ 𝛽𝛽ൌ ͲǤͺ parametre değerleri için (20)

sisteminin Jakobyen matrisi 𝐽𝐽 𝛽𝛽∗ ൌ ͲǤ͸͵͹͸ʹͺ −ͲǤ͸͸Ͷ͵Ͷͺ

ͲǤͷͶͷͶͷͶ ͳ  olarak hesaplanır ve bu matrisin özdeğerleri

𝜆𝜆ͳǡʹ ൌ ͲǤͺͳͺͺͳͶ ∓ ͲǤͷ͹ͶͲͷͻ𝑖𝑖 ൌ 𝑒𝑒±𝑖𝑖𝜃𝜃Ͳǡ 𝜃𝜃Ͳ ൌ ͲǤ͸ͳͳͶͷͶ

şeklindedir. Burada 𝜆𝜆ͳǡʹ ൌ ͳ olduğu açıktır. Öte yandan 𝐽𝐽 𝛽𝛽∗ matrisinin özvektörleri (16) ve (17) eşitliklerinden 𝑞𝑞̱ሺͳǡ − ͲǤʹ͹ʹ͹ʹ͹ − ͲǤͺ͸ͶͲͻ͵𝑖𝑖ሻ𝑇𝑇 𝑝𝑝̱ሺͲǤʹ͹ʹ͹ʹ͹ ൅ ͲǤͺ͸ͶͲͻ͵𝑖𝑖ǡͳሻ𝑇𝑇 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 x(n) y(n ) 12

şeklinde belirlenebilir ve ൏ 𝑝𝑝ǡ 𝑞𝑞 ൐ൌ ͳ olmasını sağlayan normalleştirilmiş vektörler ise (18) ve (19) dan

𝑞𝑞 ൌ ሺͳǡ − ͲǤʹ͹ʹ͹ʹ͹ − ͲǤͺ͸ͶͲͻ͵𝑖𝑖ሻ𝑇𝑇 𝑝𝑝 ൌ ሺͲǤͷ − ͲǤͳͷ͹ͺͳͳ𝑖𝑖ǡ − ͲǤͷ͹ͺ͸Ͷ𝑖𝑖ሻ𝑇𝑇

olarak hesaplanabilir. (21) ve (22) den ise œǡ œ fonksiyonunun ‰Œ taylor katsayıları 𝑔𝑔ʹͲ ൌ ͲǤʹͺ͸͵͵ͷ ൅ ͲǤ͵͹ͶͷͶʹ𝑖𝑖ǡ 𝑔𝑔ͳͳ ൌ ͲǤͲͳͶʹͻͺͶ ൅ ͲǤͲͲͶͷͳʹͻͳ𝑖𝑖

𝑔𝑔ʹͳ ൌ ͲǤ͸Ͷ͹ʹʹ͵ − ͲǤͳ͹ͳͷͻ͸𝑖𝑖ǡ 𝑔𝑔Ͳʹ ൌ −ͳǤͲͲͷͷͻ − ͲǤ͸ͲͳͷͷͶ𝑖𝑖ǡ

olarak bulunur. (23) eşitliğinden ise 𝑎𝑎 Ͳ ൌ −ͲǤͳ͵ʹͻ͸͵ olarak hesaplanır ki buda bize 𝛽𝛽∗ ൌ ͲǤͺ noktasında supercritical Neimark-Sacker çatallanmasının oluştuğunu gösterir. (Şekil 1, Şekil 2, Şekil 3)

Şekil 2 β ∈ ሾͲǡ͵ሿ ve š ͳ ൌ ʹ, › ͳ ൌ ʹbaşlangıç koşulları için β ya karşı çizilmiş (3) sisteminin šሺሻ

popülasyonunun çatallanması. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2  x(n )

(10)

Iğdır Üni. Fen Bilimleri Enst. Der. / Iğdır Univ. J. Inst. Sci. & Tech. 246 Şenol KARTAL 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 � x(n ) 12

şeklinde belirlenebilir ve ൏ 𝑝𝑝ǡ 𝑞𝑞 ൐ൌ ͳ olmasını sağlayan normalleştirilmiş vektörler ise (18) ve (19) dan

𝑞𝑞 ൌ ሺͳǡ − ͲǤʹ͹ʹ͹ʹ͹ − ͲǤͺ͸ͶͲͻ͵𝑖𝑖ሻ𝑇𝑇 𝑝𝑝 ൌ ሺͲǤͷ − ͲǤͳͷ͹ͺͳͳ𝑖𝑖ǡ − ͲǤͷ͹ͺ͸Ͷ𝑖𝑖ሻ𝑇𝑇

olarak hesaplanabilir. (21) ve (22) den ise œǡ œ fonksiyonunun ‰Œ taylor katsayıları 𝑔𝑔ʹͲ ൌ ͲǤʹͺ͸͵͵ͷ ൅ ͲǤ͵͹ͶͷͶʹ𝑖𝑖ǡ 𝑔𝑔ͳͳ ൌ ͲǤͲͳͶʹͻͺͶ ൅ ͲǤͲͲͶͷͳʹͻͳ𝑖𝑖

𝑔𝑔ʹͳ ൌ ͲǤ͸Ͷ͹ʹʹ͵ − ͲǤͳ͹ͳͷͻ͸𝑖𝑖ǡ 𝑔𝑔Ͳʹ ൌ −ͳǤͲͲͷͷͻ − ͲǤ͸ͲͳͷͷͶ𝑖𝑖ǡ

olarak bulunur. (23) eşitliğinden ise 𝑎𝑎 Ͳ ൌ −ͲǤͳ͵ʹͻ͸͵ olarak hesaplanır ki buda bize 𝛽𝛽∗ ൌ ͲǤͺ noktasında supercritical Neimark-Sacker çatallanmasının oluştuğunu gösterir. (Şekil 1, Şekil 2, Şekil 3)

Şekil 2 β ∈ ሾͲǡ͵ሿ ve š ͳ ൌ ʹ, › ͳ ൌ ʹbaşlangıç koşulları için β ya karşı çizilmiş (3) sisteminin šሺሻ

popülasyonunun çatallanması. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2  x(n ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 � y(n ) 13

Şekil 3 β ∈ ሾͲǡ͵ሿ ve š ͳ ൌ ʹ, › ͳ ൌ ʹbaşlangıç koşulları için β ya karşı çizilmiş (3) sisteminin ›ሺሻ

popülasyonunun çatallanması.

SONUÇ

Bu çalışmada (2) tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklem sisteminin t∈[n,n+1) alt aralıklarında çözümünden (3) fark denklem sistemi elde edilmiştir. (3) fark denklem sisteminin pozitif denge noktasının yerel asimptotik kararlı olmasını sağlayan koşullar Schur-Cohn kriterleri kullanılarak belirlenmiştir. Yine sistemde 𝑘𝑘𝑠𝑠 ൏ 𝛽𝛽∗ ൌ 𝑘𝑘 ൅ 𝑘𝑘𝑠𝑠 koşulu altında supercritical Neimark-Sacker çatallanmasının oluştuğu hem teorik hem de nümerik olarak gösterilmiştir.

KAYNAKLAR

Caughley G, Lawton JH, 1981. Plant-herbivore systems, in Theoretical Ecolog. Sinauer Associates, Sunderland, 132-166. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450  y(n )

(11)

Cilt / Volume: 8, Sayı / Issue: 1, 2018 247 Fark Denklem Sistemleriyle Oluşturulmuş Ot-Otçul Modelinin Çatallanma Analizi

SONUÇ

Bu çalışmada (2) tam değer fonksiyonlu diferansiyel denklem sisteminin t∈[n,n+1) alt aralıklarında çözümünden (3) fark denklem sistemi elde edilmiştir. (3) fark denklem sisteminin pozitif denge noktasının

yerel asimptotik kararlı olmasını sağlayan koşullar Schur-Cohn kriterleri kullanılarak belirlenmiştir. Yine sistemde koşulu altında supercritical Neimark-Sacker çatallanmasının oluştuğu hem teorik hem de nümerik olarak gösterilmiştir.

KAYNAKLAR

Agiza HN, Elabbasy EM, Metwally HE., Elsadany AA, 2009. Chaotic dynamics of a discrete prey-predator model with Holling type II. Nonlinear Anal Real, 10: 116-119.

Cejas VO, Fort J, Mendez V, 2004. The role of the delay time in the modeling of biological range expansions. Ecology, 85: 258-264.

Caughley G, Lawton JH, 1981. Plant-herbivore systems, in Theoretical Ecolog. Sinauer Associates, Sunderland, 132-166. Chattopadhayay J, Sarkar R, Hoballah MEF, Turlings TCJ,

Bersier LF, 2001. Parasitoids may determine plant fitness-a mathematical model based on experimental data. J Theor Biol, 212: 295-302.

Danca M, Codreanu S, Bako B, 1997. Detailed analysis of a nonlinear prey-predator model. J Biol Phys, 23: 11-20. Das K, Sarkar AK, 2001. Stability and oscillation of an

autotroph-herbivore model with time delay. Int J Sys Sci, 32: 585-590. He Z, Li B, 2014. Complex dynamic behavior of a discrete time

predator-prey system of Holling-III type. Adv Differ Equ, 180. Kartal S, 2016. Dynamics of a plant-herbivore model with

differential-difference equations. Cogent Mathematics, 3: Article Number: 1136198.

Kuznetsov YA, 1998. Elements of applied bifurcation theory. Springer-Verlag, Newyork.

May RM, 2001. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton University Press, 40, New Jercy.

Li Y, 2011. Toxicity impact on a plant-herbivore model with disease in herbivores. Comput Math Appl, 62: 2671-2680.

Mukherjee D, Das P, Kesh D, 2011. Dynamics of a plant-herbivore model with holling type II functional response. Computational and Mathematical Biology, 2: 1-9.

Peng M, 2005. Multiple bifurcations and periodic “bubbling” in a delay population model. Chaos Soliton Fract, 25: 1123-1130. Sui G, Fan M, Loladze I, Kuang Y, 2007. The Dynamics of a

stoichiometric plant-herbivore model and its discrete analog. Math Biosci Eng, 4: 29-46.

Sun GQ, Chakraborty A, Liu QX, Jin Z, Anderson K.E., 2014. Influence of time delay and nonlinear diffusion on herbivore outbreak. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 19: 1507-1518.

Sohel Rana SM, 2015. Bifurcation and complex dynamics of a discrete-time predator-prey system. Comput Ecol Softw, 5: 187-200.

Xin B, Ma J, Gao Q, 2009. The complexity of an investment competition dynamical model with imperfect information in a security market. Chaos Soliton Fract, 42: 2425-2438.

Wen GL, 2005. Criterion to identify Hopf bifurcations in maps of arbitrary dimension. Phys Rev E ,72: 026201-3.

Şekil

Şekil 1.	b *  = 0.8 değeri için sistemin Neimark-Sacker çatallanması.
Şekil 2 β ∈ ሾͲǡ͵ሿ ve š ͳ  ൌ ʹ, › ͳ  ൌ ʹbaşlangıç koşulları için β ya karşı çizilmiş (3) sisteminin šሺሻ  popülasyonunun çatallanması

Referanslar

Benzer Belgeler

Humbert loathes most women’s behavior as he hates Charlotte Haze (the big bitch, cow, obnoxious mama) (This makes him preferably unattainable by certain women like

H 0: Bireysel ve merkezi abonelerin gerçek veya potansiyel abone olmada, binadaki toplam işyeri sayısı açısından farklılık yoktur.. H 1: Bireysel ve merkezi abonelerin

Bu bölmede yedi kollu şamdan (menora) ve Kral Davud’un mührü kabul edilen Mayen Davit denilen iki üçgenden meydana gelmiş altı köşeli bir yıldızda vardır.

bunların karşısında hüviyetimizi korumaya çalışıyoruz .. Güngör, son tahlilde &#34;cemiyetin kendi bünyesi içinden gelen değişmeler, başka kültürleri adapte

The response of immature cotyledons to Agrobacterium infection was determined by frequency (%) of shoot regeneration, number of shoots per explant on selection medium,

Bu bağlamda yöneticiler; büro çalışanlarından mesleki olarak; bilgisayar bilgisi, iletişim bilgisi, Türkçeyi iyi bilme ve kullanma, dilbilgisi ve imlâ

For this purpose, several DOA estimation algorithms such as ESPRIT, MUSIC, root-MUSIC Min-norm and MFBLP in conjunction with JADE are realized to estimate the

Öğrenci bağlılığının, bilgi edinme kaynaklarında birinci tercihi olarak internetteki videolar ve yazılı kaynakları seçenler arasında anlamlı bir farklılık