Özel matrislerin matris ve operatör normları arasındaki eşitsizlikler

Tam metin

(1)T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. Özel Matrislerin Matris ve Operatör Normları Arasındaki Eşitsizlikler. Ayşe SAKLAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI KONYA, 2007.

(2) T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. Özel Matrislerin Matris ve Operatör Normları Arasındaki Eşitsizlikler. Ayşe SAKLAN. YÜKSEK LİSANS TEZİ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI. Bu tez 30.01.2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği/oyçokluğu ile kabul edilmiştir.. Prof.Dr. Hasan ŞENAY. Yard.Doç.Dr. Süleyman SOLAK. Jüri. Danışman. Yard.Doç.Dr. Ramazan TÜRKMEN Jüri.

(3) ÖZET Yüksek Lisans Tezi. Özel Matrislerin Matris ve Operatör Normları Arasındaki Eşitsizlikler Ayşe SAKLAN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İlköğretim Anabilim Dalı Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı Danışman: Yard.Doç.Dr. Süleyman SOLAK 2007, 34 sayfa Jüri: Prof.Dr.Hasan ŞENAY Yard.Doç.Dr. Süleyman SOLAK Yard.Doç.Dr. Ramazan TÜRKMEN. Bu çalışmada A = (i + j )n×n matrisi esas alınarak bu matrisin Hadamard inversi, Hadamard. karekökü ve Hadamard inversinin. Hadamard karekökü. tanımlanıp; bu matrislerin bazı normlarını içeren sınırlar elde edilmiştir. Ayrıca.  1  A=  ve  i + j  n× n. A = (i + j )n×n. matrislerinin. determinantları. hesaplanmıştır. Anahtar Kelimeler: Hadamard çarpımı, Hadamard invers, Hadamard karekök, norm, determinant, spektral yarıçap. i.

(4) ABSTRACT The Post Graduate Thesis. The Inequalities Between Matrix and Operator Norms of Special Matries. Ayşe SAKLAN. Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Science Department of Primary Education. Supervisor: Assist. Prof. Dr. Süleyman SOLAK 2007, 34 pages Jüri: Prof.Dr.Hasan ŞENAY Yard.Doç.Dr. Süleyman SOLAK Yard.Doç.Dr. Ramazan TÜRKMEN. In this study, we have defined Hadamard inverse , Hadamard sequare root and Hadamard sequare root of Hadamard inverse of. A = (i + j )n×n matrix.. Afterwords, we have obtained bounds related to some norms of these matrices. In addition , we have computed determinants of. A = (i + j )n×n matrices..  1  A=  and  i + j  n× n. Key Words: Hadamard product, Hadamard invers, Hadamard square root, norm, determinant, spectral radius. ii.

(5) ÖNSÖZ Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Yard. Doç. Dr. Süleyman SOLAK danışmanlığında yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Çalışmanın birinci bölümü Giriş olup, burada çalışmayla ilgili bazı tanımlar verilmiştir. İkinci bölümde çalışmamız için gerekli olan temel kavramlardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde ise matris normları arasındaki eşitsizliklerle ilgili bazı teorem ve ispatlar verilmiştir. Dördüncü bölüm çalışmanın esasını teşkil etmekte olup, A = (i + j )n×n matrisinin Hadamard inversi, Hadamard karekökü ve Hadamard inversinin Hadamard karekökü tanımlanıp; bu matrislerin spektral ve Euclidean  1  normu için sınırlar elde edilmiştir. Daha sonra A =   ve A = (i + j )n×n  i + j  n× n. matrislerinin determinantları hesaplanmıştır. Ayrıca çalışmayla ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Bu çalışma süresince yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Yard. Doç. Dr. Süleyman SOLAK’ a teşekkür ederim.. Ayşe SAKLAN Konya, 2007. iii.

(6) İÇİNDEKİLER. ÖZET ............................................................................................................................ i ABSTRACT ................................................................................................................ ii ÖNSÖZ ....................................................................................................................... iii İÇİNDEKİLER ........................................................................................................... iv 1. GİRİŞ ........................................................................................................................1 2. TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................... 3 3. MATRİS NORMLARI İLE İLGİLİ EŞİTSİZLİKLER........................................7 4. ÖZEL MATRİSLERİN MATRİS ve OPERATÖR NORMLARI İLE İLGİLİ EŞİTSİZLİKLER.............................................................................. 19 5. SONUÇ VE ÖNERİLER........................................................................................ 33 6. KAYNAKLAR....................................................................................................... 34. iv.

(7) 1. 1. GİRİŞ. Tanım. 1.1..  1 −1 A =   aij . A = ( aij ). n× n. matrisi. verilsin..  °1 2  ve Hadamard karekökü A =  n× n. Tanım 1.2. A = ( aij ). m× n. , B = (bij ). m× n. matrisinin. A. (. aij. ). n× n. Hadamard. inversi. ile tanımlıdır (Solak 2003).. matrisleri verilsin. Bu iki matrisin Hadamard. çarpımı C = A B = ( aij .bij ). m× n. şeklinde tanımlıdır (Bozkurt ve ark. 2005). Tanım 1.3. Herhangi bir A matrisinin maksimum satır normu r1 (.) ve maksimum. sütun normu c1 (.) olmak üzere r1 ( A) = max i. 2. ∑a. ij. j. ve c1 ( A) = max j. ∑a. 2. ij. i. şeklinde tanımlıdır. A = ( aij ) ve B = (bij ) m × n tipinde matrisler olmak üzere A ve. B matrislerinin Hadamard çarpımı A B = ( aij bij ). m .n. dir. Eğer A = B C ise o zaman. A 2 ≤ r1 ( B ).c1 (C ) eşitsizliği geçerlidir (Mathias 1990). Tanım 1.4. Psi (Digamma) fonksiyonu ∞. Γ ( x ) = ∫ e− t t x −1 0. olmak üzere Ψ (x) =. şeklinde tanımlanır ve Ψ ile gösterilir.. {. }. d ln Γ ( x ) dx.

(8) 2. Psi fonksiyonunun n. türevleri polygamma fonksiyonu olarak tanımlıdır, yani Ψ ( n, x ) =. d d d  Psi ( x ) = n  ln Γ ( x )  . dx n dx  dx . Eğer n = 0 ise Ψ (0, x ) = Psi ( x ) ve a > 0 , n ∈ + olmak üzere lim Ψ ( a, n + b ) = 0 n →∞. dır (Moenck 1977). Tanım 1.5. Gamma fonksiyonu  m ln k n ln mn 1    n   lim    n  n 1   k 1 k şeklinde tanımlıdır. Özel olarak  0   dır..

(9) 3. 2. TEMEL KAVRAMLAR. 2.1.Vektör Normları Tanım 2.1.1. kompleks ve de reel sayılar kümesi olmak üzere. . : n → + ∪ {0} fonksiyonu i) Her x ∈ n için. x ≥ 0 ’dır.. ii) Her x, y ∈ için x + y ≤ x + y .(Üçgen eşitsizliği) n. iii) Her α ∈ ve x ∈ n için α x = α x . şartlarını sağlıyorsa; negatif olmayan x reel sayısına x vektörünün vektör normu denir. Bir vektör normu bir vektörün uzunluğunun veya büyüklüğünün bir. ölçüsüdür. Skaler uzunluğu ölçmek için birçok birim olduğu gibi (feet,metre) bir vektör büyüklüğünü ölçmek için de değişik normlar vardır. x = [ x1 , x2 , … , xn ] için bazı vektör normları T. Euclidean ( Frobenius, 2 ) normu. •. 1 normu. : x 1 = x1 + x2 + … + xn. •. ∞ normu. : x. •. p normu. ( p > 1). : x2=. ( x, x ). •. : x. = max ( x1 , x2 , … , xn. ∞. p. (. p. p. = x1 + x2 + … + xn. ) p. ). 1 p. şeklinde tanımlanır (Bronson 1999).. Euclidean normu ve 1 normu ise sırasıyla p = 2 ve p = 1 olduğunda p normunun özel durumlarıdır. Son olarak p → ∞ limit durumunda, p normu ∞ normunu verir. Tanım 2.1.2. n boyutlu kompleks uzayında herhangi iki vektör x = [ x1 , x2 ,… , xn ]. ve y = [ y1 , y2 ,… , yn ] olmak üzere. f = n × n → . ( x, y ) → f ( x, y ) =. x, y = xy.

(10) 4. şeklinde tanımlanan dönüşüme iki vektörün iç çarpımı denir.. Yukarıdaki x, y ifadesi ;. x, y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn şeklinde tanımlanır.. Eğer x ve y vektörlerinin bileşenleri reel sayılar cisminden alınmış ise bu takdirde; bu iki vektörün iç çarpımı. x, y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn şeklinde tanımlanır. Tanım 2.1.3. p normlarının klasik bir sonucu olarak,. x, y ≤ x. p. y. 1 1 + = 1 olmak üzere p q. q. ile tanımlanan eşitsizliğe Hölder veya Schwarz eşitsizliği denir. 2.2. Matris Normları. Vektör normlarında olduğu gibi bir A matrisinin normu A ile gösterilir. Tanım 2.2.1. kompleks ve de reel sayılar kümesi olmak üzere. . : m×n → + ∪ {0} fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa; A sayısına A = ( aij ). m× n. matrisinin matris. normu denir. i) A ≥ 0. ve. A =0⇔ A=0. ii) c herhangi bir kompleks sayı olmak üzere cA = c A iii) A ve B aynı mertebeden matrisler olmak üzere A + B ≤ A + B (Üçgen eşitsizliği) iv) A ve B çarpılabilir matrisler olmak üzere AB ≤ A B ’dir.. (i),(ii) ve (iii) ile verilen aksiyomlar bir matris normu için gerekli olan aksiyomlardır. (i),(ii) ve (iii) aksiyomlarını sağlayan reel değerli bir fonksiyon,. genelleştirilmiş matris normu olarak tanımlanır. Böylece bir matris normu daima genelleştirilmiş matris normudur. Fakat bunun tersi doğru değildir. Tanım 2.2.2. Eğer A n × n matrisi ve n-boyutlu y vektörü için.

(11) 5. Ay ≤ A y eşitsizliği sağlanıyorsa, matris normu ile vektör normu uyumludur denir. Bu eşitsizliğin bir eşitlik olduğu en az bir y vektörü her zaman vardır (Bronson 1999).. A = ( aij ). m× n. matrisinin bazı normları:. •. 1 normu (sütun). m  : A 1 = max  ∑ aij  j =1,2,..., n  i =1 . •. ∞ normu (satır).  n  : A ∞ = max  ∑ aij  i =1,2,..., m  j =1  1. •. Frobenius (Euclidean) normu. •. Spektral norm. • •. : A. : A 2 = max. (. E. m n 2 2 =  ∑∑ aij   i =1 j =1 .  m : A p = ∑  i =1. p normu p operatör normu. : A. p. ). λ : λ , AT A 'nın bir özdeğeridir. 1. n. ∑a. ij. j =1. p. p  . {. }. = max Ax p : x ∈ n , x p = 1 1. •. pq normu. : A pq. q q  n  p p   m  = ∑  ∑ aij      j =1  i =1 . şeklinde tanımlanır (Bronson 1999), (Taşçı 1994,i).. Bu durumda A matrisinin normları arasında; 1) A 2 ≤ A. E. ≤ n A2. 2) A ∆ ≤ A 2 ≤ mn A ∆ , 3) A 2 ≤. (A. ∆. A1 A∞. 4). 1 A∞≤ A2≤ m A∞ n. 5). 1 A1≤ A2 ≤ n A1 m. bağıntıları mevcuttur (Bozkurt ve ark. 2005).. = max aij. ).

(12) 6. Tanım 2.2.3. A n- kare matris olsun. A matrisinin mutlak değerce en büyük öz. değerine A’ nın spektral yarıçapı denir. ρ ( A ) = max { λi : λi , A matrisinin öz değeri} i. şeklinde gösterilir. O halde A matrisinin herhangi bir λi öz değeri için λi ≤ ρ ( A ). olacaktır. Bununla birlikte λi = ρ ( A) olacak şekilde en az bir 1 ≤ i ≤ n vardır. Ayrıca A = ( aij ) n × n kompleks matrisinin nümerikal yarıçapı da. {. }. r ( A ) = max x* Ax : x ∈ n , xx* = 1. ile tanımlanır ( burada * eşlenik transpozu gösterir.) ( Horn, Johnson 1996)..

(13) 7. 3. MATRİS NORMLARI İLE İLGİLİ EŞİTSİZLİKLER 3.1. Matrislerin p Normları Arasındaki İlişkiler Lemma 3.1.1. 1 ≤ p, q ≤ ∞ olsun. O zaman bütün x ∈ n için. 1  λ pq ( n ) =  1 − 1  n p q olmak üzere. ,. p≥q. ,. p≤q. x p ≤ λ pq ( n ) x q ,. (Taşçı 1994,i). Teorem 3.1.1. A n × n tipinde herhangi bir kompleks matris ve x,. x q = 1 şartını. sağlayan n elemanlı vektör olsun. O zaman 1 ≤ p, q ≤ ∞ için  1p n ξ pq ( n ) =  2 1  p−q n. ,. p≥q. ,. p≤q. olmak üzere A p ≤ ξ pq ( n ) A. q. ,. (Taşçı 1994,i). İspat. A matrisinin sütunlarını a1 , a2 ,..., an ile gösterelim. O zaman p matris normu tanımından;. (. A p = a1 p , a2 p ,..., an. p. ). p. yazılır. Diğer taraftan, Lemma 3.1.1’den ve a j = Ae j. j = 1, 2,..., n ’den (burada. e j , n ’nin standart bazının bir elemanıdır.). (. A p ≤ λ pq ( n ) a1 q , λ pq ( n ) a2 q ,..., λ pq ( n ) an. ( ( n ) ( Ae. =λ pq ( n ) a1 q , a2 q ,..., an =λ pq. 1 q,. q. ). p. Ae2 q ,..., Aen. q. ). p. q. ). p.

(14) 8. ≤ λ pq ( n ) max Ae j 1≤ j ≤ n. q. (1,1,...,1) p. 1 p. = λ pq ( n ) n max Ae j 1≤ j ≤ n. q. 1 p. ≤ λ pq ( n ) n max Ax q x q =1. = λ pq ( n ) n. 1 p. A q.. Halbuki; Lemma 3.1.1’deki λ pq ( n ) ’nin tanımından p ≥ q için, λ pq ( n ) = 1 1 p. 1 p. iken λ pq ( n ) n ifadesi , n ’ye eşittir. Benzer şekilde p ≤ q için λ pq ( n ) = n 1 p. λ pq ( n ) n ifadesi , n. 2 1 − p q. 1 1 − p q. iken ,. ’ye eşittir.. Teorem 3.1.2. A n × n tipinde herhangi bir kompleks matris ise 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ için A p ≤n. q− p pq. A. q. ,. (Taşçı 1994,i). İspat. z ;. z p = 1,. Az p = A p şartını sağlayan n-boyutlu vektör olsun. s =. seçersek s q = 1 olur. Böylece Lemma 3.1.1.’den ;. A. 1 1 − q. p. = Az p ≤ n p =n ≤n. Az q. q− p pq q− p pq. =n ≤n. q− p pq q− p pq. =n. As q z q As q z As q max As q s q =1. q− p pq. p. A q.. z zq.

(15) 9. Teorem 3.1.3. A herhangi bir n × n tipinde kompleks matris olmak üzere 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ için Ap≤ A. q. ,. (Taşçı 1994,i). İspat. Lemma 3.1.1.’den, 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ için Az p ≤ Az q. olur, bu yüzden ispat açıktır. Teorem 3.1.4.. A herhangi bir n × n tipinde kompleks matris olsun. O zaman. 1 ≤ p, q ≤ ∞ için 1. A p ≤ n p A qp ,. (Taşçı 1994,i). İspat. E n × n tipinde birim matris olmak üzere B=AE olsun. Böylece matrislerin. çarpımından  n  B = (bij ) =  ∑ eik akj   k =1  elde edilir. Diğer taraftan. 1 1 + = 1 olduğunda Hölder eşitsizliğinden; p q 1. 1. n q q  n pp  bij = ∑ eik akj ≤ ∑ eik  ∑ akj  k =1  k =1   k =1  n. yazılır. Böylece p. bij. =. p. n. ∑e. ik. akj. k =1. p. n q q  n p  ≤  ∑ eik  ∑ akj   k =1  k =1 . elde edilir. Bu nedenle; p. p. Bp=. n. ∑b. ij. i , j =1. p. ≤. n. ∑. i , j =1. n q q  n p  e a  ∑ ik  ∑ kj   k =1  k =1 . p. n. =∑ i =1. n q q  n  n p e a  ∑ ik  ∑  ∑ kj   k =1  j =1  k =1  p. = n. A qp ..

(16) 10. Halbuki B p = A p olduğundan, 1 p. A p ≤ n A qp. elde edilir ki teorem ispatlanmış olur. Teorem 3.1.5. A = ( aij ). n × n tipinde kompleks matris olsun. O zaman p ≥ 1 ,. A=B+iC ve k = 0,1,..., p iken,. p. Ap ≤.  p. p. n. p−k. ∑ ∑ k  b. i , j =1. k =0. cij. ij.  . k. ,. (Taşçı 1994,i). İspat. Her A kompleks matrisi aşağıdaki formda yazılabilir: A = B + iC yada ∀ 1 ≤ i, j ≤ n için, aij = bij + icij .. Diğer taraftan, aij ≤ bij + cij. den p ≥ 1 için aij. p. (. ≤ bij + cij. ). p. .. Binom açılımından;. (b. ij. + cij. ). p.  p p  p =   bij +   bij 0  1  p  p = ∑   bij k =0  k . p−k. cij. p −1.  p cij + ... +   cij  p. k. yazılır. Böylece p. Ap =. n. ∑. aij. p. ≤. i , j =1. ∑(b n. ij. i , j =1. =. n. p. ). p.  p. ∑ ∑ k  b. i , j =1. elde edilir.. + cij. k =0.  . ij. p −k. cij. k. p.

(17) 11. 3.2. p Matris Normları ve Nümerikal Yarıçaplar Teorem 3.2.1. A = ( aij ) herhangi bir n × n tipinde kompleks matris olsun. O zaman 1 ≤ p ≤ ∞ için 2. A p ≤ n p r ( A) ,. (Taşçı 1993). İspat. ei ve e j n ’nin i. ve j. Standart bazları olsun. O zaman. (i, j = 1, 2,..., n ). ei Ae*j = aij. (3.1). olur. Böylece matrislerin p normu tanımından 1.  n p p A p =  ∑ aij   i , j =1  1.  n p p =  ∑ ei Ae*j   i , j =1 . (. * p j. ≤ n max ei Ae 2. 1≤ i , j ≤ n. ). 1 p. 2 p. = n max ei Ae*j 1≤ i , j ≤ n. 2 p. ≤ n max xAx* * x x =1. 2 p. = n r ( A) teorem ispatlanır. Teorem 3.2.2.. A = ( aij ) ∈ n×n , B = (bij ) ∈ n×n ve 1 ≤ p, q ≤ ∞ için. olsun. O zaman AB p ≤ n. 3 1 + p q. r ( A) r ( B ) ,. (Taşçı 1993). İspat. C = AB kümesinde C = ( cij ) dir.. 1 1 + = 1 ile Hölder eşitsizliğinden p q 1. 1. n q q  n p p  cij = ∑ aik bkj ≤  ∑ aik   ∑ bkj  k =1  k =1   k =1  n. elde edilir. (3.1) den ;. 1 1 + =1 p q.

(18) 12. p. AB p =. p. n. ∑. cij. i , j =1 p. 1 1  n  n q q  p p   ≤ ∑  ∑ aik   ∑ bkj   i , j =1  k =1   k =1     p  n  n q q  n p   = ∑  ∑ aik  ∑ bkj   i , j =1  k =1  k =1     p  n  n n q p q    * *  = ∑  ∑ ei Aek  ∑ ek Be j   i , j =1  k =1  k =1     n. p. n p q q  n  n = ∑  ∑ ei Aek*  ∑  ∑ ek Be*j  i =1  k =1  j =1  k =1  n. (. n. ≤ ∑ n max ei Ae i =1. (. * p k. 1≤ k ≤ n. = n max ei Ae 1≤i , k ≤ n. (. ≤ n 2 max xAx* =n. p. x* x =1. 3+. p q. 1≤ k ≤ n. j =1. * p k. 2. )∑ (n max e Be ) n. ). k. * q j. p q. ).  1+ qp  * p  n max ek Be j  1≤ k , j ≤ n    1+ qp  * p  n max xBx  x* x =1  .  r ( A )  r ( B ) p. p. elde edilir ve sağ ile sol tarafın p. dereceden kökü alınırsa; AB p ≤ n. 3 1 + p q. r ( A ).r ( B ) .. Şimdi bir matrisin nümerik yarıçapı ve p operatör normuyla ilgili. aşağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem 3.2.3. A = ( aij ) herhangi bir n × n kompleks matris ve 1 ≤ p, q ≤ ∞ olsun. O zaman ∀x ∈ n için r ( A ) ≤ λqp ( n ) A. (Taşçı 1993).. p. ,. 1 1 + = 1, p q.

(19) 13. İspat.. 1 1 + = 1 ile Hölder eşitsizliğinden ve Lemma 3.1.1 ’den p q r ( A ) = max x* Ax x* x =1. ≤ max Ax p x q x* x =1. ≤ max Ax p λqp ( n ) x p x* x =1. = λqp ( n ) max Ax p x p =1. = λqp ( n ) A p . Teorem 3.2.4. A = ( aij ) herhangi bir n × n kompleks matris olsun. Bu durumda 1 ≤ p, q ≤ ∞ için A pq ≤ n. 1 1 + p q. r ( A) ,. (Taşçı 1993). İspat : (3.1) ifadesi ve karma pq norm tanımından; 1. A pq. q q  n n  p p   = ∑  ∑ aij    j =1  i =1    . 1. q q  n n  p p  *  = ∑  ∑ ei Ae j    j =1  i =1    .  n ≤  ∑ n max ei Ae*j 1≤i ≤ n  j =1. (. 1. p. ). q p. 1. q  n qp q =  ∑ n max ei Ae*j   j =1  1≤i ≤ n   1. q  1+ q q =  n p max ei Ae*j    1≤i , j ≤ n  . =n. 1 1 + p q. 1 1 + q. ≤ np =n. max ei Ae*j. 1≤ i , j ≤ n. 1 1 + p q. max xAx* x* x =1. r ( A). q  .

(20) 14. olur ki; böylece ispat tamamlanır. 3.3. Determinantlar ve Normlar Arasındaki İlişkiler Teorem 3.3.1. A = ( aij ) herhangi bir n × n kompleks matris olsun. Bu durumda. det ( A A) ≤ *. A n. 2n E n. dir ve burada A* , A’nın eşlenik transpozunu gösterir (Taşçı 1994,ii ). İspat. (Taşçı 1994,ii) ’den  trA  det A ≤    n . n. (3.2). olduğunu biliyoruz. Bu nedenle.  tr ( A* A )  *  . det ( A A) ≤    n   n. Diğer taraftan tr ( A* A ) =. n. ∑a. 2. = A. ij. i , j =1. 2 E. olduğundan. (det ( A A)) *. 1 n. ≤. tr ( A* A ) n n. ∑a. 2. ij. = =. i , j =1. n A. 2 E. n. yazılır. Böylece ispat tamamlanır. Sonuç 3.3.1. adj ( A) , A matrisinin ek matrisi olsun. O zaman. adj ( A ). A (Taşçı 1994,ii).. p. = det A , (1 ≤ p ≤ ∞ ) ,.

(21) 15. İspat. A matrisi için E birim matris olmak üzere ;. adj ( A) . A = (det A ).E. (3.3). olup (3.3) ve matrisler için p operatör norm tanımdan adj ( A ). A. p. = max. adj ( A) . Ax p. x ≠0. = max. (det A) Ex p. x ≠0. xp. (det A) x p. x≠0. = max. = max. xp. det A x p. x ≠0. xp. xp. = det A elde edilir. Sonuç 3.3.2. adj ( A) , A matrisinin ek matrisi olsun. 1 ≤ p < ∞ için 1. adj ( A). A p = n p det A , (Taşçı 1994,ii). İspat. (3.3) ve p matris normu tanımından. adj ( A) . A p = ( det A) E. p 1.  n pp =  ∑ ( det A) eij  i , j =1  1.  n p p = det A  ∑ eij   i , j =1  ve 1. 1.  n p p p  ∑ eij  = n  i , j =1  olduğundan ispat tamamlanır. Lemma 3.3.1. A = ( aij ) herhangi bir n × n tipinde matris olsun. O zaman. tr A n (Taşçı 1994,ii).. ≤ diag ( A). E. ,. (3.4).

(22) 16. Burada diag ( A) , A matrisinin esas köşegeninin elemanlarını gösterir. İspat. Cauchy-Schwarz eşitsizliğini göz önüne aldığımızda; 1. 1. n  n 2 2 2  tr A = ∑ aii .1 ≤  ∑ aii   ∑12  i =1  i =1   i =1  n. = diag ( A) E . n elde edilir ki; buda ispatı tamamlar. Teorem 3.3.2. A herhangi bir n × n tipinde matris olsun. O zaman. det A ≤. 1 n. n 2. diag ( A ) E , n. (Taşçı 1994,ii). İspat: (3.2) ve (3.4) den 1. n ( det A) n n. ≤. tr A n. ≤ diag ( A ) E. yazılır. Bu durumda 1. n diag ( A) n. (det A)n ≤. E. elde edilir. Lemma 3.3.2. A herhangi bir n × n tipinde matris olsun.O zaman 1 ≤ p, q < ∞ için 1 q. tr A ≤ n diag ( A ) p ,. (3.5). (Taşçı 1994,ii). İspat.. 1 1 + = 1 ile Hölder eşitsizliğinden p q 1. 1. n  n q p p  tr A = ∑ aii .1 ≤  ∑ aii   ∑1q  i =1  i =1   i =1  n. 1 q. = n diag ( A ) p. bulunur. Böylece lemma ispatlanır..

(23) 17. Teorem 3.3.3. A herhangi bir n × n tipinde matris olsun.O zaman 1 ≤ p, q < ∞ için 1. det A ≤. n. n p. diag ( A ) p , n. (Taşçı 1994,ii). İspat.. 1 1 + = 1 alınsın. O zaman (3.2) ve (3.5) den p q 1. (det A)n ≤. tr A n. 1 q. ≤. n diag ( A) p n. yazılır. Bu nedenle 1. 1. (det A)n ≤ n q. −1. diag ( A ) p. elde edilir. Halbuki. 1 1 − 1 = − olduğundan q p 1. (det A)n ≤ n. −. 1 p. diag ( A ) p. elde edilir ki; teorem ispatlanmış olur. Teorem 3.3.4. A n × n tipinde herhangi bir reel yada kompleks matris olsun. Bu. durumda A 2 = max { λ : λ A matrisinin öz değeridir.} ,. (Taşçı 1994). İspat. λ A ’nın bir özdeğeri olsun ve x’ de bu özdeğere karşılık gelen özvektör yani Ax = λ x olmak üzere 2. A 2 = max Ax x 2 =1. 2 2. = max ( Ax, Ax ) x 2 =1. = max ( λ x, λ x ) x 2 =1. olur. Burada iki durum söz konusudur: Durum1: Eğer λ reel ise o zaman;.

(24) 18. A 2 = max λ 2 ( x, x ) = max λ 2 2. x 2 =1. olur ve mutlak değer fonksiyonunun tanımından; λ , λ > 0  −λ , λ < 0. λ2 = λ = . elde edilir ki bu durumda teoremin iddiası doğrudur. Durum 2: Eğer λ kompleks ise o zaman; A 2 = max λλ ( x, x ) = max λ 2. x 2 =1. olur ki yine iddia doğrudur.. 2.

(25) 19. 4. ÖZEL MATRİSLERİN MATRİS ve OPERATÖR NORMLARI İLE İLGİLİ EŞİTSİZLİKLER.  1  Teorem 4.1. A =   şeklinde tanımlı A matrisinin spektral normu için;  i + j  n× n. A 2 ≤ n2 −. 3n 4. eşitsizliği geçerlidir. İspat. A matrisini ;       A=       . 1 2 1 3 1 4. 1 3 1 4 1 5. 1 4 1 5 1 6. . . . . 1 n +1. 1 n+2. 1 n+3. . 1  n +1   1  n+2  1  n+3    1   2n . . 1 1 1   1   1 1 1   1  2 n +1  3 4     1 1 1    1  1 1 1 1  3   4 5 n+2     1 1 1 1     = 1 1 1 1  4   5 6 n+3               1 1 1 1   1 1 1     1 n +1 n + 2. n. 2n

(26)  . +3 .

(27)  B C. olacak şekilde iki matrisin Hadamard çarpımı olarak yazabiliriz. Bu durumda A 2 ≤ r1 ( B).c1 (C ) olduğundan 2. 3 1 r1 ( B) =   + ( n − 1) .12 = n − 4 2.

(28) 20. ve c1 (C ) = n.12 = n. olup 3 A 2 ≤ n− . n 4. ≤ n2 −. 3n 4. elde edilir. Teorem 4.2. A = (i + j )n×n şeklinde tanımlı A matrisinin spektral normu için ;. A2≤. n.(7n + 1).(2n + 1).(14n3 − 15n 2 + n + 6) 6. eşitsizliği geçerlidir. Burada tanımlanan A matrisi Teorem 4.1. ile verilen A matrisinin Hadamard inversidir. İspat . A matrisi ; 3 4  2  4 5  3 A= 4 5 6    n +1 n + 2 n + 3 . . n +1   n + 2 n + 3   2n . 1 1 1   1 3 4 n +1   2     4 1 1   1 1 5 n + 2  3 = 4 5 6 1  1 1 1 n + 3          n +1 n + 2 n + 3 2n   1 1 1 1 1  .

(29) .

(30)  B C. şeklinde yazılır ve. A 2 ≤ r1 ( B).c1 (C ).

(31) 21. olduğundan r1 ( B) =. n. ∑ (i + n). 2. n.(7n + 1).(2n + 1) 6. =. i =1. ve c1 (C ) =. n −1. ∑ (i + n)2 + 12 = i =1. n.(14n 2 − 15n + 1) +1 6. olup A2≤. ≤. n.(7 n + 1).(2n + 1) n.(14n 2 − 15n + 1) . +1 6 6 n.(7 n + 1).(2n + 1).(14n3 − 15n 2 + n + 6) 6. elde edilir.  1 Teorem 4.3. A =   i+ .   şeklinde tanımlı A matrisinin spektral normu için ; j n×n A 2 ≤ n2 −. n 2. eşitsizliği geçerlidir. Burada tanımlı A matrisi Teorem 4.1. ile verilen A matrisinin Hadamard kareköküdür. İspat . Hadamard çarpım tanımından A matrisi ;  1  2   1  3   1 A= 4      1   n +1. 1 3 1 4 1 5. 1 4 1 5 1 6. . . 1 n+2. 1 n+3. . . 1   n +1  1  n + 2  1  n+3      1   2n .

(32) 22. 1 1 1   1   1 1 1   1  2 3 4 n + 1     1 1 1   1   1 1   1 1  3 4 5 n + 2     1 1 1   1   1  1 1 1 = 4 5 6 n+3                  1 1 1    1 1 1 1     1 n +1 n + 2 n. +3 2 n

(33)  . .

(34)  B C. şeklinde yazarız. Bu durumda. A 2 ≤ r1 ( B).c1 (C ) olduğundan 2. 1  1  2 r1 ( B) =   + ( n − 1).1 = n − 2  2 ve c1 (C ) = n.12 = n. olup 1 A 2 ≤ n− . n 2. ≤ n2 −. n 2. elde edilir. Teorem 4.4. A =. (. i+ j. ). n× n. şeklinde tanımlı A matrisinin spektral normu için;. A2≤. (3n 2 + n).(3n 2 − 3n + 2) 2. eşitsizliği geçerlidir. Burada tanımlanan A matrisi Teorem 4.1. ile verilen A matrisinin Hadamard inversinin, Hadamard kareköküdür. İspat. Hadamard çarpım tanımından A matrisini;.

(35) 23.  2  3   A= 4    n +1 . 3. 4. . 4. 5. . 5. 6. . . . n+2. . n+3. . n +1   n+2  n+3   2n .  2 1 1 1   1 3 4 n +1      3 4 1 1   1 1 5 n+2      = 4 5 6 1  1 1 1 n+3          n +1 n+2 n+3 2n   1 1 1 1  .

(36)  .

(37)  B C. şeklinde yazarsak ve. A 2 ≤ r1 ( B).c1 (C ) eşitsizliğini dikkate alarak r1 ( B) =. n. ∑ (i + n) = i =1. 3n 2 + n 2. ve c1 (C ) =. n −1. ∑ (i + n) + 12 = i =1. 3n 2 − 3n +1 2. olup 3n 2 + n 3n 2 − 3n A2≤ . +1 2 2 (3n 2 + n).(3n 2 − 3n + 2) ≤ 2. elde edilir. Teorem 4.5. A = (i + j )n×n şeklinde tanımlanan A matrisinin Euclidean normu için ;.

(38) 24. A. 7n 4 + 12n3 + 5n 2 6. =. E. eşitliği geçerlidir. İspat . A matrisi için A. 2 E. n. n −1. s =1. s =1. = ∑ ( s ( s + 1) 2 ) + ∑ ( (n − s )(n + 1 + s ) 2 ). =. 1 1 1 1 1 11 5 11 5 (n + 1)4 + (n + 1)3 − (n + 1) 2 − n − + n 4 + n3 − n 2 − n 4 6 4 6 6 12 6 12 6. yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa; A. 2 E. =. 7n 4 + 12n3 + 5n 2 6. olur ki, her iki tarafın karekökü alındığında istenilen elde edilir. Teorem 4.6. A =. (. i+ j. ). n× n. şeklinde verilen A matrisinin Euclidean normu için ;. A. E. = n3 + n 2. eşitliği geçerlidir. İspat . Euclidean normu tanımından; A. 2 E. n. n −1. s =1. s =1. = ∑ ( s ( s + 1) ) + ∑ ( (n − s )(n + 1 + s ) ) 1 1 1 2 2 = (n + 1)3 − n − + n3 − n 3 3 3 3 3. yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa; A. 2 E. = n3 + n 2. eşitliği elde edilir. Böylece teorem ispatlanmış olur.  1 Teorem 4.7. A =   i+ .   şeklinde tanımlanan A matrisinin Euclidean normu ; j n×n.

(39) 25. A. E. = (2n + 1)Ψ (2n + 1) − (2n + 2)Ψ (n + 2) + 2 − γ .. Burada γ , Gamma fonksiyonu olup değeri γ = 0, 577 dir. İspat . Matrisler için Euclidean normu tanımından; A. 2 E. n  s  n −1  (n − s )  = ∑  + ∑  s =1  ( s + 1)  s =1  ( n + 1 + s ) . = n + 1 − Ψ (n + 2) − γ − n + (2n + 1)Ψ (2n + 1) + 1 − (2n + 1)Ψ (n + 2). yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa; A. 2 E. = (2n + 1)Ψ (2n + 1) − (2n + 2)Ψ (n + 2) + 2 − γ. bağıntısı bulunur. Her iki tarafın karekökü alınırsa istenen elde edilir.  1  Teorem 4.8. A =   şeklinde tanımlı A matrisinin Euclidean normu için ;  i + j  n× n. A. E. 1 = 2.Ψ (n + 2) + (2n + 2)Ψ (1, n + 2) − Ψ (2n + 1) − (2n + 1)Ψ (1, 2n + 1) + γ − π 2 6. eşitliği geçerlidir. İspat . Euclidean normu tanımından;. A. 2 E. n  s  n −1  (n − s )  = ∑ + ∑ 2  2  s =1  ( s + 1)  s =1  ( n + 1 + s ) . 1 = Ψ (n + 2) + Ψ (1, n + 2) + γ − π 2 − Ψ (2n + 1) 6 − (2n + 1)Ψ (1, 2n + 1) + Ψ (n + 2) + (2n + 1)Ψ (1, n + 2). yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa; A. 2 E. 1 = 2.Ψ (n + 2) + (2n + 2)Ψ (1, n + 2) − Ψ (2n + 1) − (2n + 1)Ψ (1, 2n + 1) + γ − π 2 6. bağıntısı elde edilir. Ve teorem ispatlanmış olur..

(40) 26.  1  Teorem 4.9. A, A =   şeklinde bir matris olmak üzere determinantı ;  i + j  n× n. (1!2!3!...(n − 1)!) 4 (n !)2 A= 1!2!3!...(2n)! dir. İspat . A matrisinin determinantı açık olarak yazılırsa 1 2 1 3 1 4 1 5. 1 3 1 4 1 5 1 6. 1 4 1 5 1 6 1 7. 1 5 1 6 1 7 1 8. . . . . . . 1 n +1. 1 n+2. 1 n+3. 1 n+4. . 1 2n. A=. . 1 n +1 1 n+2 1 n+3 1 n+4. olur. Determinantta birinci satırın uygun katlarını diğer satırlara eklersek determinant,. 1 2. 1 3. 1 4. 1 5. . 1 n +1. 0. 1 36. 1 30. 1 30. . (n − 1) 3(n + 1)(n + 2). 0. 1 30. 1 24. 3 70. . (n − 1) 2(n + 1)(n + 3). 0. 1 30. 3 70. 9 200. . 3(n − 1) 5(n + 1)(n + 4). . . . . . . 0. (n − 1) 3(n + 1)(n + 2). (n − 1) 2(n + 1)(n + 3). 3(n − 1) 5(n + 1)(n + 4). . (n − 1) 2 2n(n + 1)2. A=. şekline dönüşür. Aynı şekilde ikinci satırın uygun katlarını diğer satırlara eklersek. determinant,.

(41) 27. A =. 1 2. 1 3. 1 4. . 1 n +1. 0. 1 36. 1 30. . ( n − 1) 3( n + 1)( n + 2). 0. 0. 1 600. . ( n − 1)( n − 2) 10(n + 1)( n + 2)( n + 3). . . . . . 0. 0. ( n − 1)( n − 2) 10( n + 1)( n + 2)( n + 3). . ( n − 1) 2 (n − 2) 2 2n( n + 1) 2 ( n + 2) 2. olur. Benzer şekilde determinantta üçüncü satırın uygun katlarını diğer satırlara eklersek determinant , 1 2. 1 3 1 36. 0 A=. 1 4 1 30 1 600. . 1 n +1 (n −1) 3(n +1)(n + 2) (n −1)(n − 2) 10(n +1)(n + 2)(n + 3). 0. 0. . . . . . 0. 0. 0. . (n −1)2 (n − 2)2 (n − 3)2 2n(n +1)2 (n + 2)2 (n + 3)2. . olur. Bu şekilde elemanter satır işlemlerine devam edilirse determinantın elemanları  (i − 1)!.( j − 1)!.i !. j !  aij =  ( j − i )!.(2i − 1)!.(i + j )!  0 . j≥i j<i. olacak şekilde yazılabilir. Böylece determinant, 0!.0!.1!.1! 0!.1!.2! 0 A=. 1!.0!.1!.2! 1!.1!.3! 1!.1!.2!.2! 0!.3!.4!. 2!.0!.1!.3! 2!.1!.4! 2!.1!.2!.3! 1!.3!.5! 2!.2!.3!.3! 0!.5!.6!. . (n − 1)!.0!.1!.n ! (n − 1)!.1!.(n + 1)! (n − 1)!.1!.2!.n ! (n − 2)!.3!.(n + 2)! (n − 1)!.2!.3!.n ! (n − 3)!.5!.(n + 3)!. 0. 0. . . . . . 0. 0. 0. . (n − 1)!(n − 1)!.n !.n ! 0!.(2n − 1)!(2n)!. . şeklinde yazılır. Ve determinantın değeri köşegen elemanlarının çarpımı olduğundan.

(42) 28.  0!.0!.1!.1!   1!.1!.2!.2!   2!.2!.3!.3!   (n − 1)!.(n − 1)!.n !.n !  A =   .  .  .....   0!.1!.2!   0!.3!.4!   0!.5!.6!   0!.(2n − 1)!.(2n)!  =. (1!.2!.3!.....(n − 1)!)4 .(n !) 2 1!.2!.3!.....(2n)!. elde edilir. Teorem 4.10. A = (i + j )n×n tipinde bir matris olmak üzere n > 2 için;. A = 0. İspat. A matrisinin determinantı açık olarak yazılırsa ,. 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 A= 5 6 7 8 n +1 n + 2 n + 3 n + 4. . olur. Determinantta birinci satırın uygun katlarını. n +1 n+2 n+3 n+4 2n. diğer satırlara eklersek. determinant, 2. A=. 3. 4. . n +1 (n − 1) 2. 0. −. 1 2. −1. . 0. −1. −2. . (n − 1). . . . . . (n − 1). . −. 0. (n − 1) 2. −. −. (n − 1)(n − 1) 2. olur. Aynı şekilde ikinci satırın uygun katlarını diğer satırlara eklersek determinant, 2 0 A=. 3 −. 1 2. 4. . −1. . n +1 −. ( n − 1) 2. 0. 0. 0. . 0. . . . . . 0. 0. 0. . 0.

(43) 29. şeklinde elde edilir ki , n > 2 için determinant. A =0 olarak bulunur. Sonuç 4.1. A = (i + j )n×n matrisi için. 7n 2 + 12n + 5 ≤ r ( A) 6 eşitsizliği geçerlidir. 2. İspat . Teorem 3.2.1 deki A p ≤ n p .r ( A) eşitsizliğinde p = 2 alındığında. A. E. ≤ n.r ( A ). ve A. E. 7n 4 + 12n3 + 5n 2 = 6. olduğundan ; 7n 2 + 12n + 5 ≤ r ( A) 6 elde edilir. Sonuç 4.2. A =. (. i+ j. ). n× n. matrisi için n + 1 ≤ r ( A). eşitsizliği geçerlidir. 2 p. İspat . Teorem 3.2.1 deki A p ≤ n .r ( A) eşitsizliğinde p = 2 alındığında. A. E. ≤ n.r ( A ). ve A. E. = n3 + n 2.

(44) 30. olup, gerekli düzenlemeler yapıldığında n + 1 ≤ r ( A) elde edilir. A = (i + j ) ve A =. Açıklama : Benzer sonuçlar. (. i+ j. inversleri içinde verilebilir. Sonuç 4.3. A = (i + j )n×n matrisi için  7 n3 + 12n 2 + 5n  A .A ≤   6  . n. *. eşitsizliği geçerlidir. İspat . Teorem 3.3.1 den. det ( A . A ) ≤ *. A n. 2n E n. ve A. E. =. 7n 4 + 12n3 + 5n 2 6. olduğundan n.  7 n3 + 12n 2 + 5n  A .A ≤   . 6   *. Sonuç 4.4. A =. (. i+ j. ). n× n. matrisi için A* . A ≤ ( n 2 + n ). n. eşitsizliği geçerlidir. İspat . Teorem 3.3.1 den. det ( A . A ) ≤ *. A n. 2n E n. ve A. E. = n3 + n 2. ) matrislerinin Hadamard.

(45) 31. olduğundan A* . A ≤ ( n 2 + n ) . n.  1  Sonuç 4.5. A =   matrisi için  i + j  n× n. adj ( A ). A. p. (1!2!3!...(n − 1)!) 4 (n !) 2 = , (1 ≤ p ≤ ∞ ) 1!2!3!...(2n)!. eşitliği geçerlidir. İspat . Sonuç 3.3.1 den. adj ( A ). A. p. = det A. ve (1!2!3!...(n − 1)!) 4 (n !)2 A= 1!2!3!...(2n)! olduğundan adj ( A ). A. p. =. (1!2!3!...(n − 1)!)4 (n !)2 1!2!3!...(2n)!. elde edilir.  1  Sonuç 4.6. A =   matrisi için p ≥ 3 olmak üzere  i + j  n× n. ζ ( p − 1) − 1 p Ap ≤ 1, 082 − ζ ( p ). ; p çift ; p tek. eşitsizliği geçerlidir. İspat . A matrisinin p normu n  s p A p = ∑ p  s =1 ( s + 1) . şeklinde yazılabilir..  n −1  n − s  + ∑  s =1  ( n + s + 1) p  .    .

(46) 32. Bu eşitlikteki birinci toplamın değeri a, b ∈ olmak üzere. n. ∑ s =1. s. ( s + 1). p.  1 1 πp  p − 1 ! Ψ ( p − 1, n + 2 ) + p − 2 ! Ψ ( p − 2, n + 2 ) − a + ζ ( p − 1) ; p çift ) ( ) ( = 1 π p −1 − 1 Ψ ( p − 1, n + 2 ) − Ψ ( p − 2, n + 2 ) + − ζ ( p ) ; p tek  ( p − 1)! b ( p − 2 )! . şeklinde olup p çift iken. πp a. değeri sürekli negatif olduğundan ,. minimum değer olan “1” ; benzer şekilde p tek iken olduğundan. π p −1 b. π p −1 b. πp a. nın alabileceği. nin işareti pozitif. yerine alabileceği maksimum değeri olan 1,082 alınırsa. n. lim ∑ n →∞. s =1. s. ( s + 1). p. ζ ( p − 1) − 1 → 1, 082 − ζ ( p ). ; p çift ; p tek. elde edilecektir. Ayrıca diğer toplam,. 1 1 n−s ∑ n + s +1 = ( −1) . ( p −1)!(2n +1) Ψ( p −1,2n +1) +(−1) ( p − 2)!Ψ( p − 2,2n +1) ( ) n−1 s=1. p−1. p−1. p. + ( −1). p. 1 1 p Ψ( p − 2, n + 2) ( 2n +1) Ψ( p −1, n + 2) +( −1) ( p −1)! ( p − 2)!. olup limiti alınırsa n. lim ∑ n →∞. s =1. n−s. ( n + s + 1). p. →0. olur. Buradan ζ ( p − 1) − 1 p Ap ≤ 1, 082 − ζ ( p ) elde edilir.. ; p çift ; p tek.

(47) 33. 5. SONUÇ VE ÖNERİLER. Bu çalışmada esas itibarı ile elemanları i + j şeklinde olan özel matrislerin normları için sınırlar bulunmuş, determinantları hesaplanmıştır. Bulunan bu sınırlar, farklı metotlar ile elde edilebilecek sınırlar ile karşılaştırılabilir. Ayrıca determinant için bulunan formül, elemanları hi + j şeklinde tanımlanan H = ( hi + j ). n .n. aranabilir.. Hankel matrisi için genelleştirilebilir mi? sorusuna cevap.

(48) 34. 6. KAYNAKLAR Bronson, R., 1999, Matris İşlemleri , Nobel Yayın Dağıtım, Ankara. Bozkurt, D., Türen, B., Solak, S., 2005, Lineer Cebir, Konya. Horn, R.A., Johnson, C.R., 1996 , Matrix Analysis, Combrigde University Press. Mathias, R., 1990, “The Spectral Norm of A Nonnegative Matrix”, Linear Algebra. Appl., 131: 269 – 284. Moenck, R., 1977, “On Computing Closed Forms for Summations”, in: Proreedings. of The MACSYMA User’s Conference, pp. 225 – 236. Solak, S., Türkmen, R., Bozkurt, D., 2003, “On GCD, LCM and Hilbert Matrices. and Their Applications”, Applied Math. And Comp. , 146: 595 – 600. Taşçı, D., 1993, “ p Matrix Norms and Numerical Radii”, Jour. Inst. Math. Comp.. Sci. (Math.Ser.)6-3: 237 - 240. Taşçı, D., 1994(i), “On The Relations Between p Norms For Matrices”, Commun.. Fac. Sci. Univ. Ank. Series A, 13: 43 - 47. Taşçı, D., 1994(ii), “Relations Between Norms and Determinants”, S.Ü.Fen-. Edebiyat Fak. Fen Dergisi 12: 109 - 115. Taşçı, D., 1994, “The p Operator Norms of Some Special Matrices”, S.Ü.Fen-. Edebiyat Fak. Fen Dergisi 12: 116 - 122..

(49)