2. ZAMAN TANIM ALANINDA DOĞRUSAL OLMAYAN ANALİZ
2.6 Zaman Tanım Alanında Doğrusal Olmayan Analiz
Yapının doğrusal olmayan davranışını en gerçekçi biçimde tahmin edebilmek için zaman tanım alanında analiz yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntemde, yapıya etkiyen zamana bağlı yükler altında, taşıyıcı sistem elemanlarının doğrusal olmayan davranışı göz önüne alınarak sistemin hareket denklemi adım adım çözülmektedir. Analiz sırasında her bir adımda sistemde meydana gelen yer değiştirme, plastik şekil değiştirme ve iç kuvvetler hesaplanmaktadır. Böylece, bu büyüklüklerin deprem taleplerine karşılık gelen maksimum değerleri elde edilmektedir. Yapının yer hareketi etkisinde analizi için hem yapısal modelin hem de yer hareketinin temsil edilmesi gerekmektedir.
Eğer yapısal sistemin hareket esnasındaki konumu tek bir parametre ile temsil edilebilecekse o halde sistemin tek serbestlik dereceli olduğu kabul edilir. Genel olarak yapı sistemlerinin yer hareketi etkisindeki davranışı ise çok serbestlik dereceli sistemler olarak temsil edilecek analiz modelleri kullanılarak belirlenmektedir. Çok serbestlik dereceli sistemler ise gerektiğinde iki boyutlu gerektiğinde ise üç boyutlu olarak modellenmektedir (Celep ve Kumbasar 2004).
2.6.1 Tek Serbestlik Dereceli Sistemler
Serbestlik derecesi, yapının titreşim durumundaki konumunun belirlenmesi için gerekli olan parametre sayısıdır. Eğer bir sistemin hareket halinde bulunduğu konum tek bir parametrenin verilmesi ile belirlenebiliyorsa bu tür sistemlere tek serbestlik dereceli (TSD) sistemler denilmektedir. TSD sistemlerin davranışını mesnet şartları ve hareket denkleminin başlangıç şartları dikkate alınarak elde edilen çözümü belirler (Celep ve Kumbasar 2004). Şekil 2.10’da TSD sistemin titreşiminin matematiksel modeli verilmiştir. Şekilde, x yapının zamana bağlı deplasmanını ifade etmektedir.
37
Şekil 2.10: TSD sistemin matematiksel modeli
TSD sistemlerin titreşiminde temel bileşenler rijitlik (k), kütle (m), sönüm katsayısı (c) ve dış kuvvettir (yer hareketi). Burada sönüm enerji tüketim mekanizmasını, dış kuvvet ise hareketin kaynağını temsil etmektedir. TSD sistemin dinamik davranışının belirlenebilmesi için bu sistemin hareket denklemine ihtiyaç vardır. Yer hareketi etkisindeki TSD sistemin dinamik davranışı Denklem 2.24 ile verilmiştir. Denklemde mx tg( ) terimi, yapının kütlesine etkiyerek titreşime sebep olan dış kuvveti temsil etmektedir.
( ) ( ) ( ) g( )
mx t cx t kx t mx t (2.24)
Sönüm, titreşimi etkileyen temel parametrelerden birisidir. Denklem 2.25 ile verilen kritik sönüm katsayısından daha yüksek sönüme sahip sistemler titreşim hareketi gösteremezler. Daha düşük sönüme sahip sistemlerde ise sistemin titreşim periyodu Denklem 2.26 ile hesaplanmaktadır. Denklem 2.26’te ωd sönümlü titreşim yapan sistemin dairesel frekansını ifade etmektedir.
2
cr
C mk (2.25)
2 / d
T (2.26)
TSD sistemlerde, analizde kullanılacak sönüm oranı Denklem 2.27 ile ifade edilmektedir.
/ cr
c C
(2.27)Yer hareketi etkisindeki TSD sistemler için hareket denkleminin çözümü Duhamel İntegrali (Chopra 1995) olarak bilinmektedir. Duhamel İntegrali Denklem 2.28’de verilmiştir.
38 ( ) 0 1 ( ) ( ) sin ( ) t t g d d x t x e t d
(2.28)Tez çalışmasında, TSD sistemlerin zaman tanım alanında analizi için sayısal integrasyon yönteminden faydalanılmıştır. İntegrasyon için Newmark (1959) tarafından önerilen ortalama ivme yöntemi kullanılmıştır.
2.6.2 Düzlem Çerçeveler
Bir sistemin hareket halinde bulunduğu konum ancak birden fazla parametrenin bilinmesi ile belirlenebiliyorsa, bu tür sistemlere çok serbestlik dereceli sistemler denir. Düzlem çerçeveler, kolon ve/veya perde ile kirişlerden oluşan çok serbestlik dereceli sistemlerdir. Düzlem çerçevelerin yapısal modelinde, yapı kütlesinin döşemelerin bulunduğu kat seviyelerinde toplandığı kabul edilir. Düzlem çerçeve modellerinde genellikle düşey taşıyıcı elemanların yatay ötelenme yapabildikleri ancak eksenel olarak şekil değiştirmedikleri varsayılmaktadır. Çerçevenin ankastre mesnetlere sahip olduğu da diğer bir önemli kabuldür.
Düzenli yapılarda çerçeveler genellikle birbirine dik doğrultuda bulunur. Bu doğrultulardan herhangi birinde deprem kuvveti dikkate alındığında burulma etkisi ihmal edilecek düzeyde ise çerçeveler birbirleri ile etkileşim halinde yatay ötelenme hareketi yaparlar. Çerçevelerin rijitlikleri birbirine yakın ise çerçeveler arası etkileşim düşük olacağı için her bir çerçevenin kendi düzlemi içinde deformasyon yaptığı ve yük taşıdığı kabul edilebilir. Genel olarak bir kolonun yatay ötelenme rijitliği üzerinde, çerçeve üzerindeki tüm elemanlar etkilidir ancak kolona doğrudan bağlanan kirişlerin etkisi daha fazladır. Çerçeve kolonlarında eğilme momenti doğrudan kesme kuvveti ile ilişkili olduğu için kolon uçlarının göreli yer değiştirmesi kesme kuvvetinin büyüklüğüne ve kolonun ötelenme rijitliğine bağlanabilir. Bu durumda, kolonların yatay yer değiştirmesinde kesme kuvveti etkili olduğundan bu tür çerçeveler kayma çerçevesi olarak dikkate alınabilir. Çok katlı yapıların davranışındaki temel kavramların belirlenmesinde kayma çerçevesi yaklaşımı faydalı bir yaklaşım olmakla birlikte davranışın daha gerçekçi olarak belirlenebilmesi için daha ayrıntılı bir model kurmak gerekebilir (Celep ve Kumbasar 2004).
39
Kayma çerçevesi yaklaşımında eğer döşeme sisteminin rijit olduğu ve bu sebeple kolon uçlarında dönme olmadığı kabul edilirse, sistemin serbestlik derecesi, kat sayısı kadar olmaktadır. Daha ayrıntılı bir çözüm elde etmek amacı ile kolon uçlarındaki düğüm noktalarının dönmelerinin de dikkate alınması istenirse, çerçevenin toplam serbestlik derecesi kat sayısına düğüm noktası sayısının eklenmesi ile bulunur. Düzlem çerçeve sistemlerinin hareket denklemlerini ifade edebilmek için Şekil 2.11’de görülen üç katlı çerçeve örnek olarak verilmiştir.
Şekil 2.11: Yer hareketi etkisindeki kayma çerçevesi
Şekil 2.11’de verilen düzlem çerçevede, döşemelerin rijit olduğu ve kolon uçlarında dönme olmadığı varsayılmıştır. Buna göre sistem üç serbestlik derecelidir. Çerçevenin hareket denklemleri her katta dinamik denge denklemleri yazılarak elde edilebilir. Denklemler genel olarak matris formunda ifade edilmektedir. Denklem 2.29’da hareket denklemi verilmiştir. Görüldüğü gibi denklem kütle, rijitlik ve sönüm matrisleri yanında zamana bağlı yer değiştirme, hız, ivme vektörleri ile zamana bağlı yer ivmesini içermektedir. Denklem 2.30-2.32’de örnek çerçeve için sırası ile kütle, sönüm ve rijitlik matrisleri verilmiştir. Tez çalışmasında, burada verilen örnek çerçeveden farklı olarak, kolon uçlarında dönmeye izin verilecek şekilde analiz modeli oluşturulduğunu belirtmek gerekir.
40
1 2 3 0 0 0 0 0 0 m m m m (2.30)
1 22 2 23 3 3 3 0 0 c c c c c c c c c c (2.31)
1 22 2 23 3 3 3 0 0 k k k k k k k k k k (2.32)41