SFY ve SEY mühendislik problemlerinin çözümünde en çok kullanılan yöntemlerin başında gelmektedir. Bu bölümde bu yöntemlerin üstün yönlerinin birleştirilmesiyle elde edilen Melez yöntem ve MATLAB programlama dili kullanılarak geliştirilen yazılıma ilişkin ayrıntılar verilmiştir.
Melez modelleme jeofizikte ve farklı bilim dallarında son yıllarda daha yaygın uygulama alanı bulmuştur. Buna ilişkin bazı örnekler öncel çalışmalarda verilmiştir.
Melez yöntem, gerek model geometrisinin tanımlanmasında gerekse hesaplama işlemlerinde tek bir sayısal çözüm yöntemine göre oldukça üstünlükler sunar. Bu üstünlüklerden başlıcası; daha karmaşık jeolojik yapıların modelde tanımlanabilmesi ve etkilerinin daha hassas belirlenebilmesine imkan vermesidir. Topografya modele daha kolay katılabilmekte ve böylece gerçek yer modellerine daha iyi yaklaşım sağlanabilmektedir.
Melez yöntem, hesaplamalarda birden fazla sayısal çözüm yönteminin bir arada kullanıldığı yöntemdir. Hesaplamalarda kullanılan sayısal çözüm yöntemlerinin ilgilenilen probleme bağlı olarak üstün ve zayıf yönleri vardır. Çalışmada kullanılan Melez yöntemde her iki yöntemin (SFY ve SEY) üstünlükleri kullanılarak 2B elastik dalga denklemi modellemesine yönelik çözümler yapılmıştır. Çalışmada uygulanan Melez yönteme ilişkin özet program tasarımı Şekil 5.1’de verilmiştir.
51 Şekil 5.1 Melez modelleme program tasarımı
52
Şekil 5.2 Düzgün olmayan arayüzeylerde model gösterimleri: a. SFY, b. SEY
Şekil 5.2’de görüldüğü gibi model geometrisinin düzensiz ve karmaşık olması durumunda veya modele yüzey topografyasının eklenmesi gibi durumlarda sonlu farklar ağının düzenli eleman yapısı modelin tanımlanmasında çeşitli güçlüklere neden olurken, SEY ile model geometrisi tam olarak tanımlanabilmektedir. SFY'nin hızlı hesaplama yapabilme özelliği ve SEY'nin model geometrisini daha iyi tanımlamadaki üstünlüğünden yararlanılarak Melez yöntem tasarlanmış ve 2B elastik dalga yayılımı modellemesinde bir arada kullanılmıştır. Sismik dalga alanının hesaplanması amacıyla MATLAB programlama dilinde görsellik ve kolay kullanım amacıyla kullanıcı arayüzeyi (GUI) olan ve “HibSis” olarak isimlendirilen bir yazılım geliştirilmiştir.
Geliştirilen yazılıma ait bir görünüm şekil 5.3’de ve yazılım özelliklerini içeren şekiller ve model dosya örnekleri EK 4'te verilmiştir.
Melez modelleme kodu “HibSis”; arayüzeylerin, düzensiz bölgelerin veya daha ayrıntılı incelenmek istenilen karmaşık jeolojik yapıların yatay ve düşey doğrultulardaki yerdeğiştirmelerinin zamanın fonksiyonu olarak SEY ile çözülmesi, diğer kısımların SFY ile çözülmesi şeklinde tasarlanmıştır.
53
Şekil 5.3 Melez model (sarı bölge SFY uygulanan alan, pembe bölge SEY uygulanan alan, mavi kısım Ortak bölge (Transition Zone))
Literatürde melez modellemeye ilişkin az sayıda olsada farklı problemlere yönelik çalışmalar bulunmaktadır. Bu çalışmaları iki gruba ayırmak mümkündür. İlkinde, birden fazla çözüm yöntemi ayrı ayrı kullanılarak çözüm güçlerinin karşılaştırılması şeklindedir. İkincisi ise, şekil 5.4’te görüldüğü gibi farklı sayısal yöntemler kullanılsa da aynı tip elemanlar ve bu eleman veya düğümlerin bitişik (ortak düğüm ve ortak eleman kenarı) olarak kullanılması şeklindedir.
54
Şekil 5.4 Öncel çalışmalardan Melez modelleme örnekleri (a. Moczo vd. 2007 ve Galis vd. 2008, b. Beillina 2003)
Bu tez çalışmasında ise Şekil 5.3’te bir örneğinin görüldüğü gibi, model SFY’de düzgün dörtgen ağ, SEY’de ise Delaunay üçgenleme yöntemiyle elde edilen üçgen elemanla oluşturulmuştur. Her iki yöntem için eleman ve düğümlerin bitişik olması (ortak düğüm) zorunluluğu yoktur. Her iki yöntem için hesaplanan değerlerin uyumlu olması
55
ve ortak düğümlerdeki değerlerin değiş-tokuşu için ortak bölge (Transition Zone) tasarlanmıştır. Ayrıca HibSis ile Melez model oluşturulurken Delaunay üçgenlemeyle üçgen eleman kullanımının yanı sıra alt bölgelerde, düzenli yapıda sıralanan üçgen elemanların kullanılabilmesi de mümkündür. Bunlara ek olarak, alt bölgelerde daha küçük ağ aralığı kullanılarak tekrar sonlu farklar ağı oluşturulan karışık sonlu farklar kullanılarakta Melez modeller oluşturulabilmektedir.
Melez modellemede ilk kısım olan SFY ile model ağı oluşturulurken hem x hemde z yönünde istenilen sayıda düğüm sayısı (nx, nz) kullanılabilir. SFY’de genelde ağ mesafeleri (dx, dz) eşit kabul edilmektedir. HibSis’te ağ mesafeleri ve düğüm sayıları birbirinden farklı olarak seçilebilir. HibSis’te SFY ile oluşturulan ağ altlık olarak işlem görür. SEY ile ilgili kısım, bu altlık üzerine yerleştirilir (Şekil 5.3). Böylece kullanılan her bir yöntem aynı sonlu farklar ağı ile tanımlanan x ve z koordinat aralığında bulunur.
Bu ise düğüm numaralarının ve hesaplamaların belirli bir düzende işlem görmesi açısından önemlidir.
Melez modellemede SFY ile oluşturulan altlık üzerine SEY ile çözümü yapılacak arayüzeyler, alt bölgeler ve karmaşık jeolojik yapılar temsil edilirken üçgen elemanlar kullanılarak modeller daha kolay bir biçimde oluşturulabilir. Bunun için Rus matematikçi Boris Nikolaevich Delaunay tarafından geliştirilen Delaunay üçgenleme yöntemi kullanılmıştır (Delaunay 1934). Delaunay üçgenleme yöntemi, geometrinin karmaşık olduğu bölümlerde eleman boyutlarını küçültür, değişimin az olduğu bölümlerde ise daha büyük elemanlar kullanarak model tanımlamada daha esnek olarak kullanılabilir (Akça 2010). Delaunay üçgenleme yönteminde elemanlar düzensiz bir şekilde sıralanırken (unstructured mesh), verilen noktaların üçgenin çevrel çemberinin içinde bulunamayacağı ve iki üçgenin sadece bir kenar boyunca ya da sadece köşe noktalarında kesişebilecekleri koşulu geçerlidir. Delaunay üçgenleme için MATLAB kütüphanesinde bulunan delaunay fonksiyonu kullanılarak kolaylıkla düzensiz ağlar oluşturulabilir. Hesaplamalardaki doğruluk için üçgen kenar uzunlukları birbirinden çok farklı olmamalıdır. Bunun için şekil 5.5’te görülen ve
2 2 2
1 2 3
q =(4a 3)/(h + h + h ) bağıntısıyla hesaplanan üçgen kalitesi ölçütü kullanılarak
56
üçgen kenar uzunlukları belirli bir kritere bağlanır (a, üçgenin alanı; h1, h2, h3 üçgen kenar uzunluklarıdır). Bu çalışmada, üçgen kalite faktörü için q 0.78≥ koşulu kullanılmış ve Delaunay üçgenleme için MATLAB kütüphane fonksiyonlarından (pdetriq, decsg, initmesh, pdestd, trimesh, refinemesh, pdeplot) yararlanılmıştır.
Şekil 5.5 Delaunay üçgenleme ile q üçgen kalitesine göre eleman tasarımı
Ortak bölge olarak tanımlanan alan, SFY ve SEY için ortak eleman ve düğüm noktalarında hesaplanan değerlerin değiş-tokuşunun yapıldığı bölgedir (Şekil 5.3).
HibSis kaynak konumuna bağlı olarak Melez hesaplama yapmaktadır. Şekil 5.3’te görülen bir model için ilk olarak kaynak sonlu farklar bölgesinde ise önce SFY ile hesaplama yapılır (ortak bölgede dahil edilerek), ortak bölgede hesaplanan değerler ortak sonlu eleman düğümleri için sınır koşulu olarak kabul edilir ve sonlu eleman hesabı yapılır. İkinci olarak, kaynak sonlu elemanlar bölgesinde ise, önce SEY ile hesaplama yapılır (ortak bölgede dahil edilerek), daha sonra sonlu fark hesabına geçilir.
Her iki durumda da bu işlemler her bir adım (iterasyon) için tekrarlanır. Sonuçta, geçiş bölgesinde hem SFY ile hem de SEY ile hesaplanan değerlerin ortalaması alınarak ya da aradeğer bulma (interpolasyon) ile hesaplanarak tüm ağ için Melez hesaplama aynı anda yapılır.
(3.28) ile verilen SFY ve (4.39) ile verilen SEY genel dizey denklemleri kullanılarak Melez yöntem için genel dizey denklemi;
57
melez
a SFY a SEY NxN Nx1 Nx1
K
( w *K + (1 - w )*K ) U = f (5.1)
ile verilir. Burada KSFY sonlu farklar, KSEY sonlu elemanlar ve Kmelez Melez yöntem sıkılık dizeyleridir. wa ağırlıklandırma katsayılardır (wa=1 ise SFY; wa=0 ise SEY).
Şekil 5.3’de verilen örnek model için Melez yöntem sıkılık dizeyi,
fd fd fd fd fd fd fd fd fd fd
fd fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd fe AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd fe AZ fd fe AZ fd AZ fd
K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd f
K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K
+ + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + e AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd fe AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd fe AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd
fd fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd AZ fd
f
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K K K K K K K K K K K K K K K K K K
K
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + +
d Kfd Kfd Kfd Kfd Kfd Kfd Kfd Kfd Kfd
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(5.2)
ile verilir. (3.28) SFY, (4.39) SEY ve (5.1) Melez yöntem eşitlikleriyle verilen dizeylerde seyrek (sparse) dizey özellikleri kullanılarak hesaplama zamanını kısaltılabilir. Örneğin,
(1,1) 11 (4,1) 41
11 0 13 0
(2,2) 22
0 22 0 24
(5,2) 52
0 0 33 0
(1,3) 13 ( )
41 0 0 44
(3,3) 33
0 52 0 0
(6,3) 63
0 0 63 0
(2,4)
0 0 0 74
K sparse K
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=⎢ ⎥ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ 24
(4,4) 44 (7,4) 74
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(5.3)
ile verilen K7x4 dizeyi bellekte 224 bytes’lık yer tutarken seyrek K dizeyi 140 bytes’lık yer tutar. Seyrek dizey özelliğinin kullanılması özellikle büyük hacimli ağ içeren çalışmalarda hesaplama zamanı açısından oldukça üstünlük sağlar.
58
Gerek SFY’nde gerekse SEY’nde sınır koşulu olarak Drichlet, Neumann ve saydam (absorbing boundary condition) sınır koşulları uygulanmıştır. Ayrıca SEY’de Cerjan vd (1985) tarafından önerilen,
[0.015*( )]2
G(x) = exp− N x− (5.4)
sınır koşulu ifadesi de bir kulanıcı seçeneği olarak tanımlanmıştır. (5.4) ifadesinde N, sınır koşulu uygulanacak bölgenin genişliğidir.
59