Nesta seção, faremos uma investigação à luz da Teoria dos Campos Conceituais sobre os tipos de situações-problema e transformações isométricas contidas na coleção CEF1 a qual se compõe de módulos, sendo que cada volume apresenta uma introdução, seguida das seções: Resolvendo
problema; É preciso saber; É preciso saber fazer; Para saber mais e Mostre que você sabe.
No capítulo anterior, descrevemos que o conceito de simetria pode ser envolvido em um conjunto de situações, cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em estreita conexão, isso nos leva a considerar a simetria como campo conceitual.
Ao recorrer a esta proposição teórica, consideramos que a apropriação de um determinado conceito matemático envolve, na realidade, o trabalho com vários conceitos em distintos contextos com suas múltiplas representações.
Para situar nossa discussão, exemplificaremos que este é o caso do trabalho envolvendo as transformações isométricas. Tentamos classificar as atividades da coleção CEF1 nesta perspectiva, ou seja, quanto ao tipo de situações, procedimentos e invariantes matemáticos que cada uma delas desenvolve, podendo também ter uma visão geral da forma como o assunto está incorporado em toda coleção CEF1.
Identificamos quatro grupos de situações-problema, com distintos invariantes (objetos, propriedades e relações) que devem ser utilizados pelos alunos para analisar e dominar a situação dada.
Reconhecemos que as situações-problema envolvem diferentes representações lingüísticas e simbólicas para a representação e contextualização do conceito e de suas propriedades.
Por meio desta classificação, descrevemos primeiramente os quatro grupos de situações-problema.
Grupo 1 – Figura Simétrica
Este grupo é formado por tarefas e exercícios, tratando de uma figura plana simétrica que possui uma reta chamada eixo de reflexão ou eixo de simetria, que se divide em duas figuras congruentes.
Três tipos de situações são incluídas no grupo: a) Determinar os eixos de simetria
b) Completar a figura na malha quadriculada. c) Completar a figura sem malha quadriculada.
Grupo 2 – Construção da Figura Imagem
O grupo 2 é formado por tarefas e exercícios que tratam a simetria como relação entre duas figuras distintas.
Nesse grupo, existem dois tipos de situações: a) Problema apresentado na malha quadriculada; b) Problema apresentado sem a malha quadriculada.
Grupo 3 – Identificação dos invariantes
Neste grupo, são situações que envolvem a identificação explícita de invariantes em uma isometria.
Grupo 4 - Identificação
São situações, nas quais o aluno precisa identificar o tipo de transformação; (simetria axial, simetria central, translação e rotação).
Em termos de representações e contextualizações das situações-problema, identificamos quatro categorias:
a) Arte b) Natureza c) Cotidiano
d) Contexto Matemático Escolar
Por meio desse levantamento, classificamos os tipos de situações e isometrias presentes na coleção CEF 1.
Na análise da coleção, observamos que a introdução das transformações isométricas é feita a partir da 5a série no Módulo 20 – “Polígonos e Simetria”, por meio de um texto, que versa sobre a simetria em diversos aspectos, como: na natureza, no cotidiano e na arte. A simetria é caracterizada como palavra de origem grega que significa “Justa Proporção ou Harmonia”, resultante de certas combinações e proporções regulares.
Figura 3.1 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Introdução p.211.
No volume da (5a série), observamos que a simetria é incorporada a situações
dos grupos 1, 2 e 3.
Do grupo 1, temos por exemplo:
Figura 3.2 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 218.
• 1b – Figura Simétrica – Completar a figura na malha quadriculada;
Como exemplo do grupo 2, temos:
• 2a – Construção da Figura Imagem – Problema apresentado na malha quadriculada;
Figura 3.4 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: é preciso saber fazer, p. 216.
Do grupo 3, temos:
• Identificação dos Invariantes
Cabe ressaltar que a situação apresentada na Figura 3.5, também pode ser caracterizada como 2a, ou seja, construção da figura imagem apresentada na malha quadriculada.
No volume da 5a série, além das situações de contexto matemático escolar, também, há um problema, no qual a simetria é abordada em um contexto artístico. (Figura 3.6).
Figura 3.6 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 218.
Quadro 3.1– Levantamento do tipo de situação na 5a série da coleção CEF1.
série: 5a
Tipo de Situação no de Questões
1a 8
1b 4
2a 5
3 1
De acordo com os dados do Quadro 3.1 é visível que as situações do tipo 1a e 2a são as que predominam nesta série. Esses tipos de situações podem ser classificados como os dois primeiros níveis de complexidade sugeridos por Vergnaud, conforme foi discutido no capítulo anterior.
No volume da 6a série no módulo 20 – “Simetria”, a ênfase é dada à simetria axial, ocorrendo a formalização do conceito de simetria axial.
Primeiro, as propriedades da figura são explicitadas:
Figura 3.7 – Propriedades da Simetria Axial
Finalmente, formaliza o conceito da seguinte forma:
Definição:
“O processo de obtenção de uma figura por reflexão em reta ou simetria axial é um tipo de transformação que não modifica as medidas da figura original. Transformações em que as medidas não se modificam, são chamadas de isométricas”. (p.223)
As situações sugeridas aos alunos de 6a série têm, por exemplo:
Do grupo 1:
• 1a - Figura Simétrica – determinar os eixos de simetria;
Figura 3.8 - Módulo 20 – “Simetria” - Seção: Resolvendo problemas, p. 221.
• 1b – Figura Simétrica -Completar a figura na malha quadriculada;
Do grupo 2, temos por exemplo:
• 2a - Construção da figura imagem – Problema apresentado na malha quadriculada.
Figura 3.10 - Módulo 20 – “Simetria” Seção: Mostre que você sabe, p. 227.
Do grupo 4, temos como exemplo:
• Identificação do tipo de transformação;
A questão requer que o aluno decida se os pares de figuras são ou não relacionados por simetria axial que classificamos, como tipo 4.
Portanto, não corresponde exatamente ao quarto nível de complexidade sugerida por Vergnaud, no qual a simetria é vista, como um membro da isometria, já que as outras isometrias não foram apresentadas ainda.
Em termos de representações e contextualizações, o volume da 6a
apresenta uma situação da categoria cotidiano, por exemplo:
Figura 3.12 - Módulo 20 – “Simetria” Seção: Para saber mais, p. 226.
De acordo com os dados do Quadro 3.2, notamos novamente uma ênfase na situação do tipo 1a – Figura Simétrica/determinação dos eixos de simetria e do tipo 2a – Construção da Figura-Imagem, apresentada na malha quadriculada.
Embora as situações sejam muito semelhantes às do volume da 5a série, notamos que existe um fator que diferencia os capítulos, pois, apenas na 6a série ocorre uma formalização do conceito de simetria axial.
Quadro 3.2 – Levantamento do tipo de situação na 6a série da coleção CEF1. série: 6a Tipo de Situação no de Questões 1a 13 1b 4 2a 16 4 2 Total 35
No volume da 7a série, as isometrias são trabalhadas nos seguintes
módulos: Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria”; Módulo 13 – “Transformações Geométricas” e no Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras”.
Além da simetria axial, constatamos que são incorporadas também simetria central, rotação e translação e as situações diversificam-se.
Do grupo 1, temos por exemplo:
• 1a - Figura Simétrica – determinar os eixos de simetria;
• 1c - Complete a figura, sem a malha quadriculada.
Figura 3.14 - Modúlo 9 – “Arquitetura e Simetria” - Seção: Resolvendo Problemas, p. 104.
Do grupo 2, temos por exemplo:
A próxima situação pode ser identificada como 2b – construção da figura imagem apresentada sem a malha quadriculada e, também, 3a identificação explícita de invariantes em uma isometria.
• 2a - Construção da figura imagem apresentada na malha quadriculada, envolvendo a simetria central.
Figura 3.16 - Módulo 13–“Transformações Geométricas”-Seção:Mostre que você sabe, 163.
Do grupo 4, temos por exemplo:
• Identificação do tipo de transformação, envolvendo a simetria axial e a
translação. Neste nível, os alunos já identificaram os invariantes e precisam identificar também qual o tipo de transformação a figura sofreu.
Figura 3.17 - Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria “ - Seção: Mostre que você sabe, p. 108.
Há também uma situação-problema que se refere em termos de representações e contextualizações da categoria arte como, no exemplo abaixo:
As situações sugeridas no volume da 7a série enfatizam o desenvolvimento
do conceito de congruência de figuras planas, com base nas transformações (reflexão em retas, translação, simetria central, rotações e suas composições), de acordo com as orientações dos PCN’s (1998, p.124).
O módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” trata do estudo de congruência de figuras planas e utiliza a isometria como ferramenta para o estudo das propriedades das figuras congruentes, no qual pudemos identificar situações do grupo 2, por exemplo:
• 2b - Construção da figura imagem – apresentada sem a malha quadriculada. Nesta situação, aplica-se a simetria central para mostrar a congruência dos triângulos, utilizando os casos de congruência de triângulos.
Figura 3.20 - Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” – É preciso saber fazer, p 211.
De acordo com os dados do Quadro 3.3, observamos que ocorre uma grande variedade de situações, envolvendo diversas isometrias que são introduzidas de maneira menos intuitivas do que nas séries anteriores (5a e 6a
séries), ou seja, os conceitos são mais explicitados e formalizados, já que nessa fase todos os níveis de complexidade sugeridos por Vergnaud foram apresentados em diversas situações.
Quadro 3.3 – Levantamento do tipo de situação na 7a série da coleção CEF1.
série: 7a
Figura Simetria Axial Translação Simetria Central Tipo de Situação Simétrica no de Questões no de Questões no de Questões
1a 7 ... ... ... 1b ... 1 5 11 2a ... 4 2 7 2b ... 4 1 ... 3 ... 3 2 ... 4 ... 5 2 ... Total 07 17 12 18
No volume da 8a série, as isometrias encontram-se no Módulo 5 –
“Rotação e Arte” - estão presentes em diversas situações, porém, a ênfase maior é dada à rotação. Na introdução, há uma conceitualização de isometria e descrição de suas propriedades de maneira explícita.
Do grupo 2, temos por exemplo:
• 2a - Construção da figura imagem apresentada na malha quadriculada;
Figura 3.22 - Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber fazer, p. 58.
• 2b - Construção da figura imagem apresentada sem a malha quadriculada, envolvendo a simetria central e a rotação.
Do grupo 3, temos, por exemplo:
• Identificação dos Invariantes
Na situação, os invariantes (propriedades) nesse tipo de isometria são quanto ao sentido (horário ou anti-horário); quando a figura sofre a transformação.
Figura 3.24 - Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber fazer, p. 58.
Do grupo 4, temos por exemplo:
Na situação, existem diversas isometrias envolvidas que, por meio da característica de cada figura, o aluno deverá descobrir o tipo de transformação que a figura sofreu.
Figura 3.25 - Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber fazer, p. 59.
Existe também uma situação que se refere em termos de representações e contextualizações da categoria arte, envolvendo diversas simetrias.
De acordo com os dados do Quadro 3.4, é visível que as situações que envolvem a simetria axial e a rotação aparecem com maior freqüência, enquanto as translações, a simetria central e as do tipo 1 e 2 são menos apontadas.
Notamos que existe uma diversidade de situações envolvidas nas diversas transformações. No volume da 8a série, a coleção formaliza os conceitos das transformações geométricas explicitamente, pois o campo conceitual em estudo foi desenvolvido na coleção de modo progressivo, ou seja, transformou conceitos que eram implícitos no início do ciclo em científicos ao final do ciclo.
Quadro 3.4 – Levantamento do tipo de situação na 8a série da coleção CEF1.
série: 8a
Simetria Axial Translação Simetria Central Rotação Tipo de Situação no de Questões no de Questões no de Questões no de Questões
2a 1 ... ... 1
2b 4 ... 1 11
3b ... 1 ... 04
4 7 5 6 9
Total 12 06 7 25
Pela análise, usando os níveis de complexidades de Vergnaud constatamos que ocorre uma progressão gradativa de situações-problema sugeridas na coleção CEF 1.
No volume das 5a e 6a séries, as situações concentram-se na simetria como propriedade de uma figura, em uma relação entre duas figuras distintas.
Nos volume das 7a e 8a séries, ocorrem a formalização dos conceitos, e a
simetria é tratada como objeto inserido no grupo de isometrias definido com base em suas propriedades.