Essa professora foi uma das que preferiu preparar uma aula especialmente para a nossa observação. Assim que chegamos, a aula começou. A professora pediu a um aluno que distribuísse as folhas com a atividade. Disse à classe que era uma folha de uma atividade feita à parte, por isso não tinha o cabeçalho da escola. Os alunos conversavam bastante e a turma estava um pouco agitada.
P: Vamos lá pessoal eu estou tentando começar e vocês não estão deixando!
Oh... psiuuuuu Depois vocês brincam...senão a gente não termina aqui...Gente! Eu vou ler o problema pra vocês e cada um vai tentar resolver sozinho...Da forma como pensaram...Vou pedir, Nicolas, pra vocês não falarem com o amigo ao lado por enquanto, porque é importante saber como cada um pensou. Quando a gente conta o nosso pensamento pro amigo, o amigo pode pensar igual a gente sem querer...tá? Aqui embaixo vocês vão colocar o nome e a data de hoje. Coloquem o nome e a data. Então vamos lá.
Notamos que antes da apresentação do problema, já foi sinalizado aos alunos que teriam que pensar sozinhos. Em seu discurso, a professora sugere que não seria positivo, pelo menos neste momento, compartilhar suas ideias e hipóteses com algum colega; o motivo seria a anulação do pensamento do outro, que pensaria a mesma coisa sem querer...
Essa fala nos fez refletir que, mais uma vez, o processo investigativo é solitário, e as discussões são deixadas para pós resolução. Os pares não servem, nesse momento, para construir este processo. Essas mensagens podem, implicitamente, estabelecerem-se como cláusulas de um contrato didático prescrito pelo professor, e a troca de conjecturas e hipóteses com os pares pode ficar cada vez mais distante da prática desses alunos, bem como a construção de um trabalho colaborativo de investigação.
Relembramos que, ao relatar no questionário sobre a forma pela qual desenvolve o trabalho com resolução de problemas, essa professora indica essa posição: são propostos desafios dos quais a criança terá que desenvolver suas próprias estratégias para a resolução. A meu ver, estes problemas são os mais enriquecedores pois podemos analisar e discutir com o grupo, as várias estratégias utilizadas por cada um quando compartilhamos as descobertas e montamos o “Painel de soluções” ...
Em seguida, leu o problema para eles.
Num quintal há 3 coelhos e 4 galinhas. Tem 3 perguntinhas, olha:
Pergunta A: Quantas são as cabeças de animais? Pergunta B: Quantos são os pés de animais? C) Como você fez para descobrir as respostas? Registre.
P: Então, do ladinho da pergunta vocês vão ter o espaço para colocar o número aqui. E
o C é para vocês desenharem ou registrarem da forma que quiserem como vocês descobriram as respostas dessas perguntas. Tá bom? Vou ler de novo. - Leu o problema novamente.
P: Pronto... Vou dar um tempo pra todo mundo fazer depois vamos conversar sobre as
respostas.
[Um aluno perguntou onde era para desenhar. A professora retomou]
P: Desenhar ou registrar. Gente quando eu falo desenhar, vocês sabem que
não é só desenhar... Vocês podem registrar os números, as contas, todos os jeitos que vocês pensaram para resolver...
A1: Professora o coelho tem quantos pés? É 4? A2: Não sabe????
P: Lucas, faz o seu não conversa com os amigos... A3: A galinha tem quantos dedos tia?
[Outra aluna respondeu]
A4: Três. A3: Ah é.
[A professora ficou circulando. Um aluno a chamou e disse que não entendeu a questão C. Outro aluno respondeu]
A5: É pra você desenhar ou fazer a conta...
P: Desenhar, ou fazer a conta, ou como você pensou, entendeu? Esse espaço é
seu pra você registrar...
P: Olha [releu]: Como você fez para descobrir as respostas? O que você fez aqui
[na folha dele] para chegar nesse número?
A6: Tenho que juntar...
P: Então você soma esses dois juntos, entendeu? A6: Como vou me desenhar somando?
P: Você não precisa desenhar você somando... Você pode representar essa
soma...
[Muitos pediam ajuda no C: Registre como pensou]
A7: Professora eu “se perdi”.
[Ela interviu perguntando o que ele já tinha feito na folha. As demais perguntas que os alunos faziam eram sobre o número de patas. A professora respondia apenas o que eles perguntavam]
[Um aluno a chamou perguntando se estava certo o que estava fazendo]
P: O que você está desenhando? Conta pra mim.
[Ele explicou pra ela.]
P: Ah, você desenhou dedos... E esse aqui, como você descobriu que deu isso?
[O aluno apontou o desenho. Alguns alunos terminaram e outros não. Alguns começaram a conversar ou levantar do lugar. A professora interviu]
P: Gente, cada um faz o seu...
[Vários alunos iam mostrar a folha para a professora. Para todos ela perguntava: Como você descobriu? Como chegou a esse resultado?]
Um aluno disse que descobriu fazendo a conta mas apagou.
P: Não era pra você ter apagado... Faz a conta pra gente ver. Todo mundo já
conseguiu resolver?
A8: Peraí... eu tô desenhando...
Analisando este início de resolução da atividade pelos alunos, percebemos que, apesar de terem sido mobilizados nesse sentido, muitos não compreenderam o significado de registrar seu pensamento ou raciocínio, pois não têm ainda, no segundo ano, uma organização para isso, conforme ilustra a figura 5. Por outro lado, há pelo professor a expectativa de uma resposta que revele o pensamento matemático envolvido: raciocínio aditivo e multiplicativo. Contudo, percebemos que muitos, registraram apenas formas de contagem (desenhando os animais ou suas mãos: contei nos dedos). Pensamos que as interações entre os alunos seriam valiosas nesse momento se os alunos estivessem organizados em duplas ou trios heterogêneos, nos quais alguns já
registrassem as ideias das operações, e outros não. Dessa forma, poderia haver essa troca e avanço em alguns estudantes.
Figura 5 – Registros dos estudantes
Fonte: dados da pesquisa
A professora iniciou, então, o painel de soluções, o momento em que, segundo ela, seria o de compartilhar descobertas e estratégias.
P: Prontoooo! Nós faremos assim. Crianças que estiverem com as respostas
parecidas e o jeito de pensar parecido, nós vamos colando aqui na lousa pertinho...
P: Não tem problema vamos conversar sobre isso. O importante é como cada
um pensou. É.... primeira perguntinha pra vocês: Onde se passa essa história, do problema?
C: Num quintal!!! P: Isso, num quintal!
P: E o que que o problema quer que a gente descubra?
[Alguns alunos releram as duas primeiras perguntas. “Quantas cabeças e quantos pés”]
P: Valéria, vamos começar? Quantas cabeças de animais... gente vamos ouvir
pra ver se a resposta de vocês está parecida... [A classe estava com bastante barulho de conversa]
A10: (Valéria) Sete.
P: Sete cabeças de animais. Quem pensou outro número ou deu outro resultado
na pergunta A? [Ninguém respondeu]
P: Todo mundo achou 7? C: Simmmmmmm.
Este trecho nos indica que não houve dificuldade para resolver essa questão. Todos responderam a mesma coisa. Também parecem ter compreendido o problema, ou seja, o que tinham que descobrir. Toda a classe encontrou o sete como resposta à questão A. Mesmo assim, a professora começou a chamar vários alunos para explicar como chegaram a essa resposta. As primeiras respostas causaram certo interesse, depois os alunos respondiam à professora, mas a maioria da classe envolveu-se em conversas paralelas. O trecho abaixo nos revela que, apesar da valorização da professora dada ao pensamento do aluno, este momento foi pouco proveitoso e desprovido de problematizações e motivação para a classe.
P: Como você pensou Valéria?
A10: Três mais dois dá cinco, mais dois é igual à sete.
P: Você foi colocando os animais separados. O.k.; é isso? Quem pensou em
algum outro jeito de chegar no sete? Fala pra mim...Pode falar Lucas.
A11: Se 4 + 4 = 8, então 4 + 3 = 7
P: Vamos colocar na lousa? [Registrou as sentenças na lousa, repetindo as
A11: Porque é um a menos.
P: Ah... porque é um a menos...Você Leo, como você pensou? A12: Eu pus o três na cabeça e fui contando até chegar no sete.
[A professora foi repetindo e registrando: Então o Leo pôs o três na cabeça (desenhou um bonequinho e uma cabecinha com o 3) e foi contando mais quatro até chegar no sete. É isso?]
[As crianças estavam agitadas... algumas se desligaram das resoluções...]
P: Quem pensou de outro jeito pra chegar no sete? Fala Duda... [Repetiu o que
ela disse pois muitos estavam dispersos, havia barulho e não estavam escutando).
P: Ah você pôs três palitinhos depois mais quatro palitinhos e foi contando todos
palitinhos. Você também fez assim? Você também? Quem mais fez de outro jeito? Fala Fábio... Você desenhou... Desenhou três cabeças de galinha e quatro de coelho... ok. A gente já vai ver o dos pés (o aluno queria falar desta pergunta) ... Mais alguém chegou de outro jeito? Fala Fê...
A13: Eu fiz a conta. P: Qual conta você fez? A13: Eu só pensei...
P: Como assim você só pensou? Pensou o quê? Me conta o seu pensamento
porque a gente não lê o seu pensamento...Conta o que você pensou pra chegar no sete?
A13: Eu já sabia. Porque é o número da minha idade...
P: Porque é o número da sua idade? E como você descobriu que o tanto de
cabeça de galinha e coelho era o número da sua idade? Que continha você fez, ou que jeito você pensou?
[O aluno respondeu mas não foi possível ouvir. A professora repetiu]
P: Ah... então você fez uma conta na sua cabeça...Ele já fez direto... Ele já sabia que três mais quatro é sete (registrou na lousa) porque 7 é a idade dele.
Notamos, neste momento, a ocorrência de um dos efeitos do contrato didático que é o Efeito Jourdain, ou mal entendido-fundamental (Brousseau, 2008) em que o professor tende a interpretar um comportamento banal do aluno como uma manifestação de um saber culto. Na sequência da discussão, que tornou-se mais uma exposição de resultados, notamos que, em função da valorização do pensamento dos alunos, esse efeito ocorre em outras situações
durante a aula. A questão B teve respostas diversas, mesmo assim os alunos perderam o interesse durante a plenária.
P: Agora, na B, vamos ver os resultados porque quando eu estava passando
pelas carteiras eu vi que tinha bastante diferença. Vitória...quantos pés de animais tinha nesse quintal?
A14: Seis
P: Seis. Por que seis?
[Ela falou, como não dava para ouvir, a professora repetiu]
P: Se o coelho tem quatro patas e a galinha duas, 4 + 2 = 6! Mais alguém achou
seis?
[Um aluno começou a falar “Não é seis!”]
P: Calma! Quem mais achou o seis pra eu colar a folha na lousa? Vieram nove
alunos.
[Alguns alunos começaram a dizer outros resultados]
P: Calma, nós vamos conversar...
[Alguns falavam alto: Mas são três coelhos!!...Outros: Deu vinte!]
P: Levantem a mão para falar... Juliana, porque você está dizendo que o seu deu
catorze? Traz o seu aqui pra gente ver. [A classe falava bastante]
P: Gente, é importante ouvirmos o amigo e o pensamento do amigo pra gente
entender se o jeito que ele pensou está certo, se o jeito que ele pensou ficou faltando alguma coisa, ou, pra gente ver também se o nosso pensamento, comparando com o amigo, está certo. Tá bom? Então Ju me explica aqui como você chegou no catorze.
A15: Eu contei as patinhas da galinha e do coelho, daí... eu desenhei mas eu
desenhei duas patas pra cada bicho...
P: A Juliana desenhou duas patinhas pro cada bicho a aí ela chegou no
catorze... Mas e aí? O que vocês acham?
C: Coelho não tem duas patas... P: Quantas patas tem o coelho? C: Quatro!
P: Então vamos lá; quem achou outro resultado?
[Um grupo de alunos gritou] Vinte!!!
[A professora “grudou” todas as folhas com essa resolução em outro grupo na lousa]
P: Pronto? O seu deu vinte também? A16: Não, o meu deu oito.
P: Ah, você já vai explicar o seu oito. Hããã... A turminha que fez vinte, que
achou que tinham vinte patas nesse quintal...Como que descobriram que tinha vinte? Felipe, fala o seu. Como que você chegou... é...Esse é o seu né? Você pôs assim: 4 + 4 + 4. Por quê?
A17: Porque são três coelhos.
P: Ah, porque são três coelhos...então você pôs quatro patas de um coelho, mais quatro patas de outro, mais quatro patas de outro. E aí você pôs 2 + 2+ 2 + 2... (da galinha – disse ele) da galinha... E aí tudo isso deu 20?8
A17: Afirmou com a cabeça que sim.
P: Nícolas, eu vi que você fez uma outra conta aqui... 8 + 12: Como você
descobriu este oito?
A18: Na verdade eu guardei o dois na cabeça e... fui contando até o oito. P: Mas o oito é do que, da galinha ou do coelho?
A18: É...
P: Eram três coelhos e quatro galinhas...Onde você pôs o oito? Nas galinhas? E
o doze foi o quê? Os três coelhos? E aí você colocou que deu vinte por causa disso...Henrique, explica o seu pra gente? Você desenhou? Explica, como foi... Ele falou pra professora mas quase ninguém escutava... Ela repetiu:
P: Ah...você desenhou as patas das galinhas e as do coelho, você fez no
dedo...pra completar... E aí você chegou no vinte. Carol... A Carol escreveu
assim no dela, óh..10 + 2 = 12 patinhas... Se 10 + 4 = 14 cabecinhas... é?
Mas e como você juntou o catorze com o doze... não entendi...Onde aparece o catorze aqui? Carol... vem cá.
[Ela demonstrou não se lembrar...A professora apontou para a folha dela]
P: Você fez um monte de risquinhos... olha...pra fazer as suas contas... explica
aí...como você pensou?
[A classe estava conversando muito]
P: Gente, vamos ouvir o amigo? Ãh? Sete patinhas... não lembra mais? Não?
Então tá bom. Bruno! ! E você? Que fez esses tracinhos... Explica pra gente. [Alguns alunos discutiam porque um pegou o lápis do outro]
8
Nestes diálogos, colocamos em negrito as falas da professora que representam argumentações sobre as hipóteses dos alunos.
P: Você foi fazendo os tracinhos de patinha, um tracinho de cada um, aí você foi marcando e somou tudo...Marcos, você disse que o seu deu oito...
traz aqui pra gente, vem explicar... Marco não, Lucas, desculpa...Juliana depois você vê isso... [a aluna estava batendo o apontador na mesa para arrumá-lo – fazia bastante barulho]
A19: A galinha tem dois... P: Duas.
A19: Mais dois, quatro. Mais dois, mais dois, ...oito...
P: Oito. Mas aí estão todos os bichos que tinha? Você não disse que tinha sete animais? Sete cabeças?
A19: Sete cabeças vezes dois...
P: Mas você achou que deu oito por causa disso? Você achou que deu certo?
A19: Mais ou menos.
P: Mais alguém com resultado diferente? João e Eric vocês não me entregaram. O que que vocês descobriram?
A20: Pra mim, deu vinte e quatro.
P: Vamos ver por que que você chegou no 24? A20: É que eu ainda tô fazendo...
P: Depois você termina o desenho, tá? Leo, você chegou em que número?
A21: 28.
P: Como você descobriu o 24 ? [para o João que acabara de entregar a folha].- Conta pra gente. Gente!! [elevando a voz] - Todos tiveram chance de falar... Lucas... agora é a vez do João... pra gente escutar o pensamento dele. Conta pra gente João.
A21: Se 2 + 2 + 2 dá dez... P: 2 + 2 + 2 + da dez?
[Ele explicou mas não era possível escutar]
P: E de onde você tirou esse 6? Do coelho? O coelho tem 6 patas? [Ele continuou explicando mas ela não entendia]
P: E por que seis? A21: Seis é par...
P: Leo o seu...Meninas... Não é hora agora...
[As meninas estavam iniciando um jogo de “STOP”]
P: Gente, o Leo colocou aqui uma conta de 4 + 4 + 4 +4 +4 +4 + 4...Onde você achou tanto “4”? O que são esses vários quatros que você pôs aí...?
A22: Coloquei todas as patas dos bichos...
P: Você pensou que todos tivessem 4 patas? E a galinha tem quantas patas?
[Duas – disse alguém]
P: Quantas patas têm a galinha? Quatro? A22: Duas...
P: Gente, pessoal... O problema de todos está aí na lousa... - Pediu silêncio mais
uma vez... Gente olha pra lousa agora todo mundo. Nós tivemos seis crianças que acharam que deu seis... o que que aconteceu neste problema aqui?
A14: A gente esqueceu de contar uma das patas da galinha. P: Vocês contaram como se fosse uma galinha e um coelho... A14: Não, uma galinha e o resto de coelho.
P: O que vocês acham? O que que aconteceu neste grupo aqui que deu seis? O
que que eles esqueceram de fazer?
A20: Das outras galinhas.
P: Das outras galinhas e dos outros coelhos. Contaram como se fosse um coelho e uma galinha. Aí dá seis? Daria seis... Só que quantos coelhos e
quantas galinha tinha?
A20: Três galinhas... quatro coelhos
P: O pessoal que chegou no 14...que achou que tinham catorze patas... o que
que essa turminha fez? Olha...Que que eles fizeram aqui?
A20: Colocaram duas patas pro coelhos...
P: Colocaram duas patas para o coelho...Como se todos os bichos tivessem duas patas... Aí daria catorze... né? Os que deram vinte: o que aconteceu
aqui?
A20: Eles contaram todos juntos...
P: Eles contaram todos juntos...coelhos com quatro patas, as galinhas com duas
patas... e aí deu certo, deu vinte. E esses outros resultados aqui? E o Leo, olha ele fez diferente: pensou igual ao do catorze, só que ele pôs quatro patas pra
todos em vez de duas patas para as galinhas...
A plenária descrita nos revela que, em todo o processo da discussão, a professora se esmera em dar a voz e escutar o aluno. O que não ocorre é a
interlocução com a classe toda. Continuamos identificando, nas mediações da professora em relação aos alunos, a ocorrência do efeito Joudain do contrato didático. O empenho na busca pela resposta correta perde o sentido no decorrer da atividade. Os procedimentos são bastante diversos, mas não há a exploração de sua funcionalidade no processo de resolução nem de sua confiabilidade.
De acordo com Brousseau (1998, apud Vila e Calejo, p.72), o trabalho dos alunos nessa fase de validação seria o de argumentar em favor da validade de sua solução, tentando convencer seus colegas. E isso nós não observamos. O papel do professor seria o de mediar as intervenções dos alunos, todavia, o que observamos é que, quem fez as argumentações sobre as hipóteses dos alunos foi a professora (destacadas em negrito nas falas); porém, já as classificando como certas ou erradas. Em alguns momentos, ela se antecipa e explica o raciocínio por eles.
No instante em que a professora define a resposta vinte como certa, muitos alunos já nem estão mais interessados, ocupando-se de outros afazeres. Assim, não houve a institucionalização dessa atividade, conforme indica Brousseau (2008), na qual o professor deveria homogeneizar os conhecimentos da turma e identificar os saberes constituídos; os alunos consequentemente não tiveram a oportunidade de reestruturar seus conhecimentos.
Além disso, a atividade foi encerrada e não houve recuperação do erro pelos alunos que não acertaram. Alguns alunos estavam ausentes da discussão; e outros, apesar de ouvirem a exposição dos colegas que erraram, não receberam a folha de volta para tentarem refazer sua resposta. Dessa forma, não aconteceu o uso reconstrutivo do erro.
Na finalização da aula, conforme pode ser visto na próxima transcrição, a professora retoma as prescrições de aplicações de heurísticas e estratégias (English e Sriraman, 2010) para as resoluções de próximos problemas. Os alunos responderam com respostas genéricas, inclusive com a operação a ser feita neste problema (contar todos juntos). Incentivou também a postura de persistência e empenho na resolução de um problema que ela chamou de difícil para eles, apesar de a primeira questão não ter trazido nenhum desafio. A segunda, por sua vez teve quinze resoluções erradas e sete corretas (figura 6), das quais três não foram pela
P: Então gente, quando a gente faz um problema o que é importante a gente
descobrir no jeito de fazer? Quais são as dicas pra um problema dado pra gente resolver?
A20: Lembrar de contar todos juntos.
P: Lembrar de contar todos juntos se for de juntar o problema... o que mais? A16: Prestar atenção nas dicas...
P: Prestar atenção nas dicas que estão escritas no problema...” Que mais
Henrique? Que mais a gente tem que fazer pra resolver um problema de um jeito beeem acertado? Nenhuma dica mais?
A 21: Ler bem?
P: Ler bem e entender o sentido do problema!!! Que mais? Mais alguma dica
importante? Não? Então tá bom, gente. Olha esse probleminha foi um pouco mais difícil do que vocês estão acostumados a fazer, justamente pra cada um pensar numa forma de resolver que não seja aquelas coisas fáceis que vocês já fazem, como o Felipe falou, de cabeça. Né, que já tem a resposta na cabeça facilmente. Mas o importante é que todo mundo deu um jeito de resolver o problema, ninguém falou “Eu não sei” “Eu não consigo”... e isso foi muito legal, tá bom? Todo mundo ter tentado.
Figura 6 – Painel de Soluções – 2º ano