90
91
yöntemin hesaplayıcılarda kodlanmasındaki zorluktur. Özellikle sonlu model ağ oluşturmak SEY’de oldukça zaman alıcı işlemdir. Ayrıca sonlu ağ kalitesi (eleman boyutlarının dalga boyuna etkisi) dalga yayılımının doğruluğu üzerinde oldukça etkilidir. SEY’nin sadece bu sorunun üstesinden gelebilmek için farklı ağ düzenleme (mesh design) teknikleri geliştirilmiştir. Geliştirilen ağ düzenleme teknikleri sayesinde SEY ile model geometrisi tam olarak tanımlanabilmekte, düzenli ve düzensiz yapıda ağ oluşturulabilmektedir. Bununla birlikte, SFY'ne göre hesaplama zamanının fazla olması, model ağ dizeylerinin (sıkılık dizeyi, kütle dizeyi vb.) tüm hesaplama süresince bellekte tutulması zorunluluğu, daha fazla bellek kapasitesine ihtiyaç duyması ve kodlanmasındaki zorluklar yöntemin zayıf yönleri olarak sıralanabilir.
Elastik dalga denkleminin SEY kullanılarak modellenmesinde model geometrisinin tam olarak ifade edilebilmesine de bağlı olarak SFY’den daha iyi sonuçlar elde edilmektedir. Buna karşın, uzun hesaplama zamanı, daha fazla düğüm ve eleman sayısından oluşan modellerdeki bellek gereksinimi, sismik dalga alanı modellemesindeki kullanılabilirliğini sınırlamaktadır. SFY’de olduğu gibi hesaplama zamanına bağlı olarak oluşan sayısal dispersiyon etkileri hesaplama duyarlılığını azaltabilmektedir. Bunun için, SFY’de olduğu gibi SEY’inde de kaynak dalga boyunun ve süresinin tüm ağdaki eleman boyutları gözetilerek belirlenmesi gerekir.
Bu durum işlem zamanını arttırıcı bir diğer etkendir. Bu işlem, düzenli ağdan oluşan SFY’nde daha kolaydır.
Özellikle 2000’li yıllardan sonra hesaplayıcılardaki performans gelişimi neticesinde birden fazla sayısal yöntemin bir arada kullanılması ivme kazanmıştır. Melez yöntem olarak isimlendirilen sayısal çözüm işlemi gelişme göstermesine karşın, sismik modelleme çalışmalarındaki uygulama sayısı son derece azdır. Mevcut çalışmalarda ise, birden fazla çözüm yöntemi ayrı ayrı kullanılarak çözüm güçleri karşılaştırılmış veya farklı sayısal yöntemler aynı tip elemanın kullanıldığı, eleman veya düğümlerin bitişik (ortak düğüm ve ortak eleman kenarı) olması zorunluluğu şeklinde irdelenmiştir.
92
Bu tez çalışmasında, SFY'nin hızlı hesaplama özelliği ve SEY'nin model geometrisini daha iyi tanımlamadaki üstünlüğü kullanılarak Melez yöntem tasarlanmış ve 2B elastik dalga yayılımının modellenmesinde kullanılmıştır. Sismik dalga alanının SFY, SEY ve Melez yöntem ile hesaplanabilmesi amacıyla MATLAB programlama dilinde kullanıcı ara yüzeyi (GUI) olan ve “HibSis” adı verilen bir yazılım geliştirilmiştir. Geliştirilen yazılım kullanılarak, modelleme çalışmasında farklı geometrili yeraltı modellerinin sismik tepkileri SFY, SEY ve Melez yöntem ile modellenmiş, her bir yöntemin üstün ve zayıf yönleri gösterilmiştir. Geliştirilen yazılımın başlıca özellikleri şu şekilde sıralanabilir;
• HibSis yazılımı tümüyle 2B elastik dalga yayılımının modellenmesi üzerine geliştirilmiştir. Bu nedenle, yazılımda gerek SFY’i gerek SEY ve gerekse Melez yöntem aynı yer modeli için ayrı ayrı kullanılabilir.
• Arayüzeylerin, düzensiz bölgelerin veya daha ayrıntılı incelenmek istenen karmaşık jeolojik yapıların yatay ve düşey doğrultulardaki yerdeğiştirmelerin SEY ile çözülmesi, diğer kısımlarının ise SFY ile çözülmesi şeklinde tasarlanmıştır. Bu nedenle,
• SFY ile oluşturulan ağ temel altlık olarak işlem görür. SEY ile ilgili kısım bu altlık üzerine yerleştirilir. Bu şekilde, kullanılan her bir yöntem aynı koordinat aralığında ifade edilir ve hesaplamalar daha kolay gerçekleştirilir.
• Sonlu yer modelinde hangi yöntemin (SFY, SEY) ilk sırada işletileceği kaynağın konumuna bağlıdır ve yazılım tarafından kontrol edilir.
• Literatürde Melez yöntem kullanılarak yapılan modelleme çalışmalarında ortak ağ düğümlerinin bitişik olma zorunluluğu vardır. Hibsis yazılımında ise eleman ve düğümlerin bitişik olması zorunluluğu ortadan kaldırılmıştır.
93
Melez yöntemle modelleme işleminde, düzenli ağ yapısında sunulan temel altlık üzerine Delaunay üçgenlemesi kullanılarak oluşturulan ağ bölgesi, SEY ile çözümü yapılacak ve ayrıntılı incelenmesi istenen model bölgesini temsil eder. Delaunay üçgenleme yönteminde kullanılan elemanlar düzensiz bir şekilde sıralanmasından (unstructured mesh) ötürü, elastik dalga yayılımında oluşabilecek ağ dispersiyonunu önlemek ve hesaplamalardaki doğruluğu sağlamak için üçgen kenar uzunluklarının birbirinden çok farklı olmaması gerekir. Bu nedenle, HibSis yazılımında, duyarlı sonuçlar elde edebilmek için her bir üçgen elemanın kenar boyutları kontrol edilerek, kaynak dalga boyunun en büyük üçgen kenar boyunun on katından küçük olması koşulu uygulanmıştır. Melez yöntemle modelleme işleminde, SFY ve SEY yöntemlerinden hesaplanan değerlerin uyumluluğu ve değerlerin ortak bir dizeyde tutulması amacıyla, ortak bölge tasarlanmıştır. Ortak bölge, SFY ve SEY için ortak eleman ve düğüm noktalarında hesaplanan değerlerin değiş-tokuşunun yapıldığı bölgedir. Ortak bölgede, SFY ve SEY ortak eleman ve düğümlerinin değerlerinin aritmetik ortalaması alınarak veya ara değer bulma yöntemiyle değerler hesaplanarak, Melez model dizeyine eklenmektedir.
Melez yöntemin, gerek model geometrisi tanımlanmada gerekse sayısal hesaplama işlemlerinde tek bir sayısal çözüm yöntemine göre üstünlükleri uygulamalarla gösterilmiştir. Melez modelleme ile hem düzensiz arayüzlü modeller daha doğru temsil edilebilmiş, hem de hesaplama süresi özellikle SEY’ne göre daha kısa olduğu gösterilmiştir. SFY, SEY ve Melez yöntem dizey ifadelerinde seyrek dizey özellikleri kullanılarak hesaplama zamanları azaltılmıştır. HibSis’te sistem katsayı dizeylerinin çözümünde, farklı çözüm algoritmaları kullanılabilmektedir. SFY, SEY ve Melez yöntemde sınır koşulu olarak Dirichlet (serbest yüzey), Neumann (katı yüzey) ve saydam sınır koşulları uygulanmıştır. Dirichlet ve Neuman sınır koşullarının uygulanması durumunda, model kenarlarında oluşan yansımalar sonuçları etkilemektedir. Kenar yansımaların etkileri saydam sınır şartları uygulanarak en aza indirgenmiştir. Özellikle Model-5’te olduğu gibi, düzensiz arayüzeylerin tüm model ağını kapsadıkları durumlarda ortak bölge tanımlama ve Melez modelleme işleminin uygulanması oldukça zordur. Bunun için HibSis yazılımında, üçgen elemanların kullanımının yanı sıra düzenli yapıda sıralanan üçgen elemanların kullanılabilmesi de
94
mümkündür. Bunlara ek olarak, alt bölgelerde daha küçük ağ aralığı kullanılarak tekrar sonlu farklar ağı oluşturulan karışık sonlu farklar kullanılarakta Melez modeller oluşturulabilmektedir.
Sonuç olarak, tez kapsamında geliştirilen HibSis yazılımı ile 2B elastik dalga denkleminin farklı sayısal çözüm yöntemleri ayrı ayrı ve bir arada kullanılarak modellenmesi yapılmış ve her bir yöntemin zayıf ve üstün yönleri gösterilmiştir.
Bununla birlikte, tez kapsamında geliştirilen HibSis yazılımının daha etkin işlev kazanabilmesi amacıyla, ileriki süreçte planlanan çalışmalar izleyen konular doğrultusunda olacaktır:
• Karışık geometrili yapılardaki ortak bölge tasarımının iyileştirilmesi
• SEY ve Melez yöntemde model giriş dosyalarının, elemanlardan elde edilen değerlerin tutulduğu dosyaların ve ortak bölge hesabında kullanılan dosyaların yazımı ve okunması sırasında oluşan zaman kaybının ve gereksiz bellek işgalinin önlenmesi için ortak bir yapıya (struct, class) dönüştürülerek işlem hacminin azaltılması ve program performansının arttırılması.
• Özellikle büyük hacimli modellerde (düğüm ve eleman sayısının yoğun olduğu) hesaplama yapılırken bellek problemlerinin ortadan kaldırılması ve daha hızlı işlem yapabilmek için paralel işlem (Parallel Computing) yapılabilmesi.
• Modeller sonucu elde edilen dalga alanı kesitlerinin dalga denklemi migrasyonu ve temel sismik veri işlem aşamalarının HibSis kullanıcı arayüzeyine eklenmesi.
95 KAYNAKLAR
Abdijalilov, K. 2005. Hybrid Explicit-Implicit FDTD-FEM Time-domain Solver for Electromagnetic Problems. The State University of New Jersey, PhD Thesis.
87p.
Aki, K. and Richards, P. G. 1980a. Quantitative Seismology Theory and Methods. Vol.
1, Freemand Corp.
Aki, K. and Richards, P. G. 1980b. Quantitative Seismology Theory and Methods. Vol.
2, Freemand Corp.
Akça, İ. 2010. Melez genetik algoritmalar ile yapı tabanlı model gerçekleme. Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. 84 sayfa.
Akkaya, İ. 2007. Sonlu farklar yöntemi ile elastik dalga denkleminin iki boyutlu modellenmesi. Doktora Semineri, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü.
40 sayfa.
Akleman, F. 1998. Zamanda sonlu farklar yöntemi ve yutucu sınır koşulları. İstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstirüsü, Yüksek Lisans tezi, 105 sayfa.
Alberty, J. K., Carstensen, C. V., Funken, S. A. K. and Klose, R. K. 2002. Matlab Implementation of the Finite Element Method in Elasticity. Computing Austria, 69, 239–263.
Alford, R. M., Kelly, K. R. and Boree, D. M. 1974. Accuracy of finite difference modelling of the acoustic wave equation. Geophysics, 39, 834-842.
Alterman, Z. and Rotenberg, A. 1969. Seismic waves in quarter plane. Bulletin of the Seismological Society of America. 59, 347-368.
Alterman, Z. and Karal, F. C. 1968. Propagation of elastic waves in layered media by finite-difference methods. Bull. Seism. Soc. Am. 58, 367-398.
Alterman, Z. and Karal, F.C. 1990. Propagation of elastic waves in layered media by finite diference methods. Bulletin of the Seismological Society of America.
58(1), 367-398.
Aoi, S. and Fujiwara, H. 1999. 3D Finite-Difference Method Using Discontinuous Grids. Bulletin of the Seismological Society of America. 89(4), 918-930.
Appelö, D. and Kreiss, G. 2006. A new absorbing layer for elastic waves. Journal of Computational Physics. 215, 642–660.
96
Bansal, R. and Sen, M. K. 2008. Finite-difference modelling of S-wave splitting in anisotropic media. Geophysical Prospecting. 56, 293–312.
Bao, H., Bielak, J., Ghattas, O., Kallivokas, L. F., O’Hallaron, D. R., Shewchuk, J. R.
and Xu, J. 1998. Large-scale simulation of elastic wave propagation in heterogeneous media on parallel computers. Comput. Methods Appl. Mech.
Eng. 152, 85–102.
Bath, K. J. 1996. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Inc, 1036 p.
Bathe, K. J. 1990. Finite-Elemente Methoden, Springer Verlag.
Beilina, L. 2003. Efficiency of a hybrid method for elastic waves. Appl. Comput. Math.
2(1), 13-29.
Beilina, L. and Shishlenin, M. 2006. Computational Comparison Of Adaptive Hybrid FEM/FDM Method and GEL’FAND-LEVITAN-KREIN Method for an Inverse Scattering Problem. University of Basel Department of Mathematics, Preprint No. 2006-06, 25 p. Switzerland.
Bohlen, T. 2002. Parallel 3-D viscoelastic finite difference seismic modelling.
Computers & Geosciences. 28, 887–899.
Bohlen, T. and Saenger, E. H. 2006. Accuracy of heterogeneous staggered-grid finite-difference modeling of Rayleigh waves. Geophysics. 71(4), 109–115.
Boonyasiriwat, C. 2009. Acoustic waveform inversion of two-dimensional Gulf of Mexico data. Master of Science The University of Utah Department of Geology and Geophysics, 45 p.
Boore, D.M. 1972. Finite diference methods for seismic wave propagation in heteregeneous materials, in methods in computational physics. B. A. Bolt, Ed., Academic Press, 11.
Bouchon, M. 1985. A simple complete numerical solution to the problem of diffraction of SH waves by an irregular interface. J. Acoust. Soc. Am., 77, 1-5.
Bouchon, M., Campillo, M. and Gaffet, S. 1989. A boundary integral equation-discrete wavenumber representation method to study wave propagation in multilayered media having irregular interfaces. Geophysics, 54, 1134-1140.
Boyd, O. S. 2006. An eficient Matlab script to calculate heterogeneous anisotropically elastic wave propagation in three dimensions. Computers & Geosciences. 32, 259–264.
97
Bordas, S., Nguyen, P. V., Dunant, C., Guidoum, A. and Nguyen-Dang, H. 2007. An extended finite element library. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 71, 703–732.
Campillo, M. and Bouchon, M. 1985. Synthetic SH-seimograms in a laterally varying medum by the discrete wavenumber method. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 83, 307-317.
Campillo, M. 1987. Modelling of SH-waves propagation in an irregular layered medium; application to seismic profiles near a dome. Geophysical Prospecting.
35, 236-249.
Cerjan, C., Kosloff, D., Kosloff, R. and Reshef, M. 1985. A nonreflecting boundary condition for discrete acoustic and elastic wave equations. Geophysics. 50(4), 705-708.
Chang, W. F. and McMechan, G. A. 1989. Absorbing boundary conditions for 3-D acoustic and elastic finite-difference calculations. Bulletin of the Seismological Society of America. 79(1), 211-218.
Chen, J. B. 2007. A multisymplectic pseudospectral method for seismic modeling.
Applied Mathematics and Computation. 186, 1612–1616.
Clayton, R. W. and Engquist, B. 1977. Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equations. Bulletin of the Seismological Society of America. 67(6), 1529-1540.
Clough, R. W. 1960. The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd A.S.C.E.
Conf. on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., 345-378.
Cook, R. D. 1995. Finite Element Medeling for Stress Analysis. John Wiley & Sons, Inc, 320 p.
Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E. and Witt, R. J. 2002. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Fourth Ed., Wiley, New York.
Coşkun, S. 1994. Dalga alanı hesaplama yöntemleri. Yüksek lisans tezi, 78 sayfa, Ankara.
Courant, R. 1943. Varitional Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. Bull. Amer. Math. Soc., 49, 1-23.
Çiftçi, N. B. and Bozkurt, E. 2008. Folding of the Gediz Graben fill, SW Turkey:
extensional and/or contractional origin. Geodinamica Acta, 21, 145-167.
98
Dablain, M. A. 1986. The application of high-order differencing to the scalar wave equation. Geophysics, 51(1), 54-66.
Dauksher, W. J. 1998. Numerical modeling of the scaler and elastic wave equations with Chebyshev spectral finite elements. University of Washington PhD Thesis, 182 p.
Day, S. M. 2002. Tests of 3D elastodynamic codes, final report to the Pacific Earthquake Engineering Research Center, Richmond, California. 32 p.
Delaunay, B. 1934. N. Sur la Sphère Vide. Izvestia Akademia Nauk SSSR, VII Seria, Otdelenie Matematicheskii i Estestvennyka Nauk 7;793-800.
Demir, İ. 1998. Seismic wave modelling using finite difference methods. University of Glamorgan, PhD Thesis, 229 p.
Demircioğlu, D. 2009. Alaşehir grabenine ait sismik kesitlerin yapısal yorumu. Ankara Üniversitesi Fenbilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans tezi, 36 sayfa.
Demircioğlu, D., Ecevitoğlu, B. and Seyitoğlu, G. 2010. Evidence of a rolling hinge mechanism in the seismic records of the hydrocarbon-bearing Alasehir graben, western Turkey. Petroleum Geoscience, 16, 155-160.
De Basabe, J. D. and Sen, M. K. 2007. Grid dispersion and stability criteria of some common finite-element methods for acoustic and elastic wave equations, Geophysics, 72(6), T81–T95.
De Basabe, J., Sen, M. and Wheeler, M. 2008. The Interior Penalty Discontinuous Galerkin Method for Elastic Wave Propagation: Grid Dispersion. Geophys. J.
Int., 175(1), 83–93.
De Basabe, J. 2009. High-order finite element method for sismic wave propagation.
PhD Thesis, The University of Texas at Austin, 154 p.
Dikmen, Ü. 2004. Zeminlerde sismik dalga sönümünün kesirsel türev yaklaşımı ile modellenmesi. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 170 sayfa.
Dikmen, Ü. 2005. Modeling of seismic wave attenuation in soil structures using fractional derivative scheme. Journal of Balkan Geophysical Society. 8(4), 175-188.
Doctors, L. J. 1970. An Application of the Finite Element Technique for Boundary Value Problems of Potential Flow. Ins. J. Num. Meth. Eng., 2, 243-252.
99
Dumbser, M. and Kaser, M. 2006. An Arbitrary High Order Discontinuous Galerkin Method for ElasticWaves on Unstructured Meshes II: The three-dimensional isotropic case. Geophysical Journal International. 167(1), 319-336.
Engquist, B. and Majda, A. 1977. Absorbing Boundary Conditions for the Numerical Simulation of Waves. Mathematics of Computation. 31(139), 629-651.
Emerman, S. H., Schmidt, W. and Stephen, R. A. 1982. An implicit finite-difference formulation of the elastic wave equation. Geophysica, 47(11), 1521-1526.
Frankel, A. and Vidale, J. 1992. A three-dimensional simulation of seismic waves in the Santa Clara Valley, California, from a Loma Prieta after- shock, Bull. Seismol.
Soc. Am. 82, 2045–2074.
Frankel, A. 1993. Three-dimensional simulations of ground motions in San Bernardino Valley, California, for hypothetical earthquakes on the San Andreas fault. Bull.
Seism. Soc. Am. 93, 1020–1041.
Frehner, M. 2009. Numerical modeling of multiscale wave propagation phenomena in fluid-rock systems. PhD thesisi, ETH Zürich, 188 p.
Galis, M., Moczo, P. and Kristek, J. 2008. A 3-D hybrid finite difference-finite element viscoelastic modelling of seismic wave motion. Geophysical Journal International. 175, 153–184.
Gao, H. and Zhang, J. 2008. Implementation of perfectly matched layers in an arbitrary geometrical boundary for elastic wave modelling. Geophysical Journal International. 174, 1029–1036.
Graves, R. W. 1996. Simulating Seismic Wave Propagation in 3D Elastic Media Using Staggered-Grid Finite Differences. Bulletin of the Seismological Society of America. 86(4), 1091-1106.
Hestholm, S. and Ruud, B. 1998. 3-D finite-difference elastic wave modeling including surface topography. Geophysics. 63(2), 613–622.
Hestholm, S. O. 1999. Finite difference seismic wave modeling including surface topography. Rice University PhD Thesis, pp 218, Houston, Texas.
Higdon, R. L. 1986. Absorbing Boundary Conditions for Difference Approximations to the Multi-Dimensional Wave Equation. Mathematics of Computation. 47(176), 437-459.
100
Higdon, R. L. 1987. Numerical Absorbing Boundary Conditions for the Wave Equation.
Mathematics of Computation. 49(179), 65-90.
Higdon, R. L. 1991. Absorbing boundary conditions for elastic waves. Geophysics.
56(2), 231-241.
Hong, T. K. and Kennett, B. L. N. 2002. A wavelet-based method for simulation of two-dimensional elastic wave propagation. Geophysical Journal International. 150, 610–638.
Hrennikof, A. 1941. Solution of Problems in Elasticity by the Framework method.
Journal of Applied Mechanics. A8, 169-175.
Ichimura, T., Hori, M. and Kuwamoto, H. 2007. Earthquake Motion Simulation with Multiscale Finite-Element Analysis on Hybrid Grid. Bulletin of the Seismological Society of America. 97(4), 1133–1143.
Jianfeng, Z. 1997. Quadrangle-grid velocity-stress finite-difference method for elastic-wave-propagation simulation. Geophysical Journal International. 131, 127-134.
Kaser, M. and Dumbser, M. 2000. An Arbitrary High Order Discontinuous Galerkin Method for Elastic Waves on Unstructured Meshes I: The Two-Dimensional Isotropic Case. Geophysical Journal International. 142, 21 p.
Kelly, K. R., Ward, R. W., Treitel, S. and Alford, R. M. 1976. Synthetic seismograms:
A finite difference approach. Geophysics. 41, 2-27.
Koening, H. A. and Davids, N. 1969. The Damped Transient Behaviour of Finite Beams and Plates. Inst. J. Numerical Methods Eng., 1, 151-162.
Komatitsch, D. and Vilotte, J. 1998. The spectral-element method: an efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures. Bulletin of the Seismological Society of America. 88(2), 368–392.
Komatitsch, D. and Tromp, J. 2003. A perfectly matched layer absorbing boundary condition for the second-order seismic wave equation. Geophysical Journal Internationa. 154, 146–153.
Kristek, J. and Moczo, P. 2003. Seismic-Wave Propagation in Viscoelastic Media with Material Discontinuities: A 3D Fourth-Order Staggered-Grid Finite-Difference Modeling. Bulletin of the Seismological Society of America. 93(5), 2273–2280.
Kwon, Y. W. and Bang, H. 1997. The Finite Element Method Using Matlab, CRC Press, 518 p.
101
Lay, T. and Wallace, T. C. 1995. Modern Global Seismology, 521 p, Academic Press.
Levander, A. R. 1988. Fourth-order finite-difference P-SV seismograms. Geophysics.
53, 1425-1436.
Liu, Y. and Wei, X. 2005. A stability criterion of elastic wave modelling by the Fourier method. Journal of Geophysics and Engineering. 2, 153–157.
Love, A. E. H. 1944. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 4th edition.
Lysmer, J. and Drake, L. A. 1972. A finite element method for seismology, in Methods in Computational Physics, Vol. 11, Academic, New York.
Ma, S., Archuleta, R. J. and Liu, P. 2004. Hybrid Modeling of Elastic P-SV Wave Motion: A Combined Finite-Element and Staggered-Grid Finite-Difference Approach. Bulletin of the Seismological Society of America. 94(4), 1557–1563.
Madariaga, R. 1975. Dynamics of Expanding Circular Fault. Bulletin of the Seismological Society of America. 66(3), 639-666.
Madariaga, R. 1976. Dynamics of an expanding circular fault. Bull. Seism. Soc. Am.
67, 163- 182.
Manning, P. M. and Margrave, G. F. 1998. Elastic wave finite difference modelling as a practical exploration tool, CREWES Research Report. 10, 16 p.
Martin, H. C. 1965. On the Derivation of Stiffness Matrices for the Analysis of Large Deflection and Stability Problems, Proc. Conf. Matrix Methods in Struc.
Mechanics, Air Force Inst. of Tech., Wright Patterson A.F. Base, Ohio, 697-716.
Martin, J. M. and Flatte, S. M. 1988. Intensity images and statistics from numerical simulation of wave propagation in 2-D random media. Appl. Opt., 17, 2111-2126.
McHenry, D. 1943. A Lattice Analogy for the Solution of Plane Stress Problems.
Journal of Inst. Civil Eng. 21, 59-82.
Moczo, P., Bystrick, E., Kristek, J., Carcione, J. M. and Bouchon, M. 1997. Hybrid Modeling of P-SV Seismic Motion at Inhomogeneous Viscoelastic Topographic Structures. Bulletin of the Seismological Society of America. 87(5), 1305-1323.
Moczo, P., Kristek, J. and Halada, L. 2000. 3D Fourth-Order Staggered-Grid Finite-Difference Schemes: Stability and Grid Dispersion. Bulletin of the Seismological Society of America. 90(3), 587–603.
102
Moczo, P., Kristek, J. and Halada, L. 2004. The Finite-Difference Method for Seismologists; An Introduction. 161 p, Comenius University Bratislava.
Moczo, P., Kristek, J., Galis, M. and Pazak, P. M. 2007. Balazovjech the finite difference and finite element modeling of seismic wave propagation and earthquake motion. Acta Physica Slovaca. 57(2), 177 – 406
Mercerat, E. D., Vilotte, J. P. and Sanchez-Sesma, F. J. 2006. Triangular Spectral Element simulation of two-dimensional elastic wave propagation using unstructured triangular grids. Geophysical Journal International. 166, 679–698.
Min, D. J., Shin, C. and Yoo, H. S. 2004. Free-Surface Boundary Condition in Finite-Difference Elastic Wave Modeling. Bulletin of the Seismological Society of America. 94(1), 237–250.
Minkoff, S. E. 2002. Spatial parallelism of a 3D finite difference velocity-stress elastic wave propagation code, SIAM J. SCI. COMPUT. Society for Industrial and Applied Mathematics. 24(1), 1-19.
Mufti, I. R. 1985. Seismic modeling in the implicit mode. Geophysicsal Prospecting. 33, 619-656.
Narayan, J. P. and Kumar, S. 2008. A 4th order accurate SH-wave staggered grid finite difference algorithm with variable the size of a grid cell and VGR-stress imaging technique, Pure Appl. Geophys. 165, 271–294.
Narayan, J. P. and Kumar, S. 2010. A 4th order accurate P-SV wave staggered grid finite difference algorithm with variable grid size and VGR-stress imaging technique.
Geofizika, 27, 45-68.
Newmark, N. M. 1959. A Method of Computation for Structural Dynamics. ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division, 85(EM3), 67-94.
Novais, A. and Santos, L. T. 2005. 2.5D finite-difference solution of the acoustic wave equation. Geophysical Prospecting. 53, 523-531.
Novotny, O. 1999. Seismic Surface Waves, Lecture notes for post-graduate studies.
Instituto de Fisica, Instituto de Geociencias. Salvador, Bahia, 155 p.
Ogelsby, D. D., Archuleta, R. J. and Nielsen, S. B. 1998. Earthquakes on dipping faults:
the effects of broken symmetry. Science. 280, 1055–1059.
103
Ohminato, T. and Chouet, B. A. 1997. A free-surface boundary condition for including 3D tompography in the finite-difference method. Bull. Seism. Soc. Am. 87, 494–
515.
Olsen, K. B., Archuleta, R. J. and Matarese, J. 1995. Magnitude 7.7 earthquake on the San Andreas fault: three-dimensional ground motion in Los Angles. Science.
270, 1628–1632.
Olsen, K. B. and Archuleta, R. J. 1996. Three-dimensional simulation of earthquakes on the Los Angeles fault system. Bull. Seism. Soc. Am. 86, 575–596.
Oprsal I. and Zahradnik J. 1999. Elastic finite-difference method for irregular grids.
Geophysics. 64(1), 240–250.
Oprsal, I. and Zahradnik, J. 2002. Three-dimensional finite difference method and hybrid modeling of earthquake ground motion. Journal of Geophysical Research.
107(B8), 16.
Pitarka, A. and Irikura, K. 1996. Basin structure effects on long-period strong motions in the San Fernando Valley and the Los Angles basin from the 1994 Northridge earthquake and aftershocks. Bull. Seism. Soc. Am. 96, 126–137.
Pitarka, A. 1999. 3D elastic finite-difference modeling of seismic motion using staggered grids with nonuniform spacing. Bull. Seis. Soc. Am. 89, 54-68.
Pratt, R. G. 1990. Frequency-domain elastic wave modeling by finite differences: A tool for crosshole seismic imaging. Geophysics. 55(5), 626-632.
Randall, C. J. 1988. Absorbing boundary condition for the elastic wave equation.
Geophysics. 53(5), 611-624.
Randall, C. J. 1989. Absorbing boundary condition for the elastic wave equation:
Velocity-stress formulation. Geophysics. 54(9), 1141-1152.
Rao, S. S. 1989. The Finite Element Method in Engineering, second edition, Pergamon Press, 643 p.
Reynolds, A. C. 1978. Boundary conditions for the numerical solution of propagation problems. Geophysics. 43, 1099-1110.
Runqiu, W., Xiaofeng, J. and Tianyue, H. 2004. The Precise Finite Difference Method for Seismic Modeling. Applied Geophysics. 1(2), 69-74.
Ruud, B. and Hestholm, S. 2001. 2D surface topography boundary conditions in seismic wave modelling. Geophysical Prospecting. 49, 445-460.
104
Saenger, E. H. and Bohlen, T. 2004. Finite-difference modeling of viscoelastic and anisotropic wave propagation using the rotated staggered grid. Geophysics.
69(2), 583–591.
Sarma, G. S., Mallick, K. and Gadhinglajkar, V. R. 1998. Nonreflecting boundary condition in finite-element formulation for an elastic wave equation.
Geophysics. 63(3), 1006–1016.
Seyitoğlu, G. and Scott, B. C. 1991. Late Cenozoic crustal extension and basin formation in west Turkey. Geological Magazine, 128, 155-166.
Seyitoğlu, G. and Scott, B. C. 1992. The age of the Büyük Menderes graben (west Turkey) and its tectonic implications. Geological Magazine, 129, 239-242.
Seyitoğlu, G. and Scott, B. C. 1996. Age of the Alasehir graben (west Turkey) and its tectonic implications. Geological Journal, 31, 1-11.
Stacey, R. 2003. Stability Analysis of Finite-Difference Approximations of Elastic Wave Equations. Bulletin of the Seismological Society of America. 93(3), 1198–
1211.
Tadi, M. 2004. Finite Volume Method for 2D Elastic Wave Propagation. Bulletin of the Seismological Society of America. 94(4), 1500-1509.
Terzaghi, K. 1962. Theoretical soil mechanics. John Wiley and Sons Inc.
Tian, X. B., Kang, I. B., Kim, G. Y. and Zhang, H. S. 2008. An improvement in the absorbing boundary technique for numerical simulation of elastic wave propagation. Journal of Geophysics and Engineering. 5, 203–209.
Toshinawa, T. and Ohmachi, T. 1992. Love wave propagation in three-dimensional sedimentary basin. Bull. Seism. Soc. Am. 82, 1661–1667.
Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C. and Topp, L. T. 1956. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. J. Aero. Sci. 23, 805-823,
Turner, M. J., Dill, E. H., Martin, H. C. and Melosh, R. J. 1960. Large Deflections of Structures Subjected to Heating and External Loads. J. Aeron. Sci. 27, 97-107.
Ulrich, T. 2004. Seismic monitoring of heavy oil reservoirs: rock physics and finite element modeling, PhD Thesis, 231 p.
Valette, B. 1986. About the influence of pre-stress upon adiabatic perturbations of the earth. Geophys. J. R. astr. Soc. 85, 179–208.