Sonsuz Küçükler Calculusuna Bir Giriş:

Bu bölümde Robinson’un standart olmayan analizi olarak da bilinen modern sonsuz küçükler Calculus’ u için kısa bir giriş verilecektir.

Standart olmayan analiz, model teori ve matematiksel mantıkla zamanla yakın bir ilişkiye girse de standart analizin çatısıyla inşa edilmesi tamamıyla mümkündür. Metot aşırı güçlü yapı ya da yapısal standart olmayan analiz olarak da bilinir.

1) doğal sayılar kümesi ve P( ), ‘nin kuvvet kümesi olsun.

{ }

: ( )P 0,1

μ → iki değerli sonlu toplamsal ölçüdür. Mesela bütün sonlu A⊂ için ( ) 0μ A = ve ( ) 1μ = dir. μ aşağıdaki gibi alınmalıdır.

Not (μ ‘nün genişlemesi) :

Bu özelliklerle birlikte bir ölçü olduğunu göstermek için ’ de bağımsız bir ultra filtre U olmak üzere, μ fonksiyonunu A U∈ için ( ) 1μ A = ve A U∉ için

( ) 0A

μ = ile tanımlamak yeterlidir.

Aşağıdaki dört özelliği sağlayan ‘nin boştan farklı bir alt kümesi U, ‘de bir bağımsız ultra filtre olarak adlandırılır.

a) U kesişme durumunda kapalıdır.

b) Eğer ,A B⊆ ve A B⊆ ve A U∈ ise B U∈ ‘dur.

c) Her A⊆ için A U∈ ya da \A U∈ ‘dan biri kesinlikle doğrudur. d)

∩

A U∈

A= ∅

μ fonksiyonunun aşağıdaki özellikleri tanımdan çıkar.

Lemma 3 (μ Fonksiyonunun Özellikleri) : ,A B⊂ olsun.

a) μ(A B∪ ) 1= ⇔[ ( ) 1 ya da μ A = μ( ) 1]B = ‘dir. Özel olarak her A⊆ için ( ) 1μ A = ya da μ( \ A ) =1 ‘den biri kesinlikle doğrudur.

b) ‘nin bütün tümleyeni sonlu olan A alt kümeleri için ( ) 1μ A = ‘dir. Özel olarak ( ) 1μ = ‘dir. (∅ ∉U olduğu sürece)

c) (μ A B∪ ) 0= ⇔[ ( ) 0 ve ( ) 0]μ A = μ A = d) ( )μ A =μ( ) 1B = ⇔μ(A B∩ ) 1=

e) A⊆ ⊆ ve ( ) 1B μ A = ise ( ) 1μ B = ‘dir.

2) ‘nin bildik noktasal işlemler altında reel sayı dizilerinin bütün alt kümelerinin bir halkası olduğunu düşünülerek ‘de bir “∼” bağıntısı tanımlanmalıdır.

Eğer hemen hemen her terim için

( ) ( )

a_n = b_n ise

( ) ( )

a_n ∼ b_n ‘dir. Örneğin eğer μ

{

n a_n =b_n

}

= ise. 1

Kuvvet kümesi ∗ ₌ /_{∼ standart olmayan reel sayıların (hiperreel) bir} altkümesi olarak tanımlanır.

( )

an dizisinin denklik sınıfını an ile gösterildiğinde

∗

⊂ gömmesi , , ...

r→ r r r ile tanımlanmaktadır.

Bundan sonra yapılacak olanlar verilen r reel sayısını notasyon olarak tanıtmak içindir.

∗ _{‘deki toplama ve çarpmalar ‘den gelir.}

({

})

₁

n n

n a b

μ ≤ = ise

∗ _{‘deki sıra ilişkisi eğer}

n n

a ≤ ise b an ≤ bn şeklinde tanımlanır.

Teorem 5: ∗ _{, ‘yi tam sıralı alt cisim olarak içeren, tam sıralı Arşimedyen}

olmayan bir cisimdir.

İspat: bir halka olduğu sürece ∗ bir halkadır. ∗ ‘nin sıfır bölensiz olduğunu göstermek için ∗ ‘da an . bn =0 olduğunu farz edelim. [μ

({

n a bn. n =0

})

= 1]

{

n 0

}

A= n a = ve B=

{

n bn =0

}

olduğu gösterilmeli ve sıfır bölensiz olduğunda

{

n a b_n. _n =0

}

= ∪ olduğuna dikkat edilmelidir. ( ) 1A B μ A = ya da ( ) 1μ B = olması 0

n

a = , bn =0 olmasını gerektirir.

∗ _{‘da sıfır olmayan elemanların çarpmada}

tersi özelliği olduğunu göstermek için ∗ _{da 0}

n

a ≠ olduğunu farz edelim.

{

}

( n an 0 ) 1 μ ≠ =

{

n an ≠0

}

= yi gösterelim ve ( )C bn ∈ ‘i 1 n n b a = ile tanımlayalım ve her halde eğer n∈ C ise b_n = denilebilir. Elimizde 1

{

}

( n a bn n 1 ) 1

μ = = anlamına gelen Lemma 3 ‘ten C⊆

{

n a bn n = vardır. Böylece 1

}

gerektiği gibi an . bn =1 ‘dir. Sıralama ilişkisinin Trichotomy özelliğini göstermek için an ≠ bn olduğunu farz edelim ve A=

{

n a: n ≤bn

}

i gösterelim. Elimizde

}

{

/A= n a: n >bn vardır ve böylece μ

( )

A =1 ya da μ

(

/A

)

=1 den biri Lemma 3 ’ten kesinlikle doğrudur. Bu an ≠ bn olduğu sürece an < bn ya da

n n

a > b ‘dir. Diğer özellikler de benzer şekilde gösterilebilir. _⊂* _gömmesi

kesinlikle cisim ve sırayı korur.

{

n m n: <

}

kümesinin ölçüsü 1 olduğu sürece * _‘ın

Arşimedyen olmadığını göstermek için * _{‘de m< n ( deki bütün m ‘ler için)}

olduğuna dikkat edilmelidir.

3. _⊂F

( ) ( )

* _{, I} * _⊂F

( )

* _{, ∩I}

( )

* ₌

{ }

_{0 , F}

( ) ( )

* _∩L * _{= ∅}

ve _F

( ) ( )

* _∪L * ₌* _{olduğu açıktır. Yukarıdaki tanımdan ilerlenerek F}

( )

*

nin tam sıralı tamlık bölgesi olduğu ve _I

( )

* _{nin ise F}

( )

* _{de convex maximal}

ideal olduğu görülmektedir. _F

( ) ( )

* _/I * _{ise ye izomorf olan tam sıralı}

cisimdir. Kanonik izomorfizm _{st F:}

( )

* _{→ standart kısım dönüşümü olarak}

bilinir. ‘deki her sıralı

( )

an dizisi için st an nin var olduğuna dikkat edilmelidir ve limiti olan bütün sınırlı

( )

a_n ‘ler için st an =lim_n→∞

( )

an dir. Aksine

n

a bir sonlu sayı ise

( )

a_n nin bazı alt dizileri için (örneğin μ

({

k n_n: ∈

})

=1)

( )

lim n n _n k st a a →∞ = dir. Teorem 6:

i)_x∈* _{olsun. x F∈}

( )

* _{dir ancak ve ancak bazı x∈ ve bazı}

( )

*

ii) Eğer _{x F∈}

( )

* _{ise x r dx= + gösterimi tektir ve r st x=}

( )

_{dir. r∈ için}

( )

st r =r dir.

iii) Standart kısım dönüşümü sırayı korur. _F

( )

* _{de x y≤ ise de}

( )

( )

st x ≤st y dir.

4. X ⊂ olsun. *

{

_{: hemen hemen her yerde}

}

n n

X = x ∈ x ∈X kümesi

X ’in standart olmayan açılımdır. Her X ⊂ için _{X ⊆}*_{X ve X =}*_{X ‘dir ancak}

ve ancak X sonlu bir küme ise. Yukarıdaki tanım d

(

)

X ⊆ d∈ olması

durumunu da içine almaktadır. Eğer _{X ⊆ ve Y⊆ ise} *

(

_{X Y×}

)

₌*_X×*_{Y ve}

( )

* d₌ * d _{‘dir. Basitçe} * d _{yazılabilir.}

Teorem 7 (Yığılma Noktası):

r∈ ve X ⊆ olsun. r X in, ' aşikar olmayan bir yığılma noktasıdır ancak ve ancak _{dx≠0, dx≈0 ve r dx+ ∈}*_{X olacak şekilde bir dx∈}* _{varsa (ya}

da r≠ olacak şekilde x _x∈*_{X varsa)}

İspat:

( )

⇒ Her n için Xn x X : 0 x r 1 n

⎧ ⎫

∈ =_⎨ ∈ < − < _⎬

⎩ ⎭ boştan farklı bir küme

olsun. Seçme aksiyomundan ‘de her n∈ için xn∈Xn olan

( )

xn vardır. Şimdi dx= xn −r nin sonsuz küçük olduğu gösterilmelidir.

Gerçekten 1 0 olduğunda dx 0 ve dx 0 iken 0 dx 1

n ≈ ≠ ≈ < < n dir. Ayrıca

( )

_{⇐ dx≠0, dx≈0, bazı dx∈}* _{için r dx+ ∈}*_{X dır m' . ∈ olduğu}

varsayılmalı ve 0 dx 1 m

< < olduğuna dikkat edilmelidir. ‘deki bazı

( )

εn için elimizde dx _n var dır. n: 0 _n 1 ,r _n X

m

ε ⎧ ε ε ⎫

= _⎨ < < + ∈ _⎬

⎩ ⎭ kümesinin ölçüsü 1

olduğundan boştan farklı olan r X, ’in aşikar olmayan bir yığılma noktasıdır.

5. X ⊆ iken :f X → ye bir reel değerli fonksiyon olsun. *_{f :}*_{X →}*

fonksiyonu bütün * * _{( ) ( )}

n n n

x ∈ X için f x = f x şeklinde tanımlanır. Bütün

*

' ( ) ( )

r X ler için∈ f r = f r olduğu sürece f ‘nin standart olmayan açılımı olarak adlandırılır. Yukarıdaki tanım _{X ⊂} d

(

_d∈

)

_{olduğu durumlarda geçerlidir.} Teorem 8 (A.Robinson):

, '

r X ⊆ nin aşikar olmayan bir yığılma noktası olsun. :f X → reel değerli bir fonksiyondur ve L∈ ‘dir. lim

x r→ f = ‘dir ancak ve ancak L *

0, 0

dx≠ dx≈ ve r dx+ ∈ X olacak şekilde bütün _dx∈* _{için f r dx( + )≈ L}

ise. Eğer ‘de limit var ise _{lim ( ) ( (}* ₎₎

x r→ f x =st f r dx+ dir.

İspat:

( )

⇒ ε∈ ₊olsun. Farz edelim ki bütün x X ler için∈ ' 0< − <x r δ ve f x( )− <L ε olacak şekilde bir δ∈ ₊ ve bazı

* ₀ *

dx∈ için dx≈ ve r dx+ ∈ X olsun. r X, ‘in aşikar olmayan bir yığılma noktası olmadığı sürece Teorem 7 den dx ‘in var olduğuna dikkat edilmelidir. ‘deki bazı

( )

ε dizileri için elimizde _n dx= ε_n vardır. Sonrasında aşağıdaki kümeleri tanımlanmalıdır.

{

: 0 n n

}

,

{

: ( n)

}

A_δ = n < ε <δ ve r+ ∈ε X B_ε = n f r+ε <ε , ( ) 1

A_δ ⊆B ve_ε μ A_δ = olduğu sürece Lemma 3 ‘ten ( ) 1μ B_ε = dir. Özetlersek bütün

* _{( )}

için f r dx L

ε∈ ₊ + − < gerektiği gibi ε *_{f r dx( + )≈ anlamına gelir. L}

( )

⇐ Karşıt olarak farz edelim ki lim ( )

x r→ f x = yanlış olsun. L 1 : 0 ( ) n X x X x r ve f x L n ε ⎧ ⎫ =_⎨ ∈ < − < − ≥ _⎬

⎩ ⎭ her n∈ için boştan farklı olacak

şekilde ε∈ ₊ vardır. Seçme aksiyomundan bütün n∈ ‘ler için x_n∈X_n olacak şekilde ‘de

( )

x_n dizisi vardır. * _,

n dx∈ dx= x −r olarak tanımlanmalıdır. Elimizde dx≠0 ve dx≈0 olduğunda 0 dx 1 n < < vardır. Ayrıca * * _{( )} n

r dx+ = x ∈ X ve f r dx+ − > ‘dur. Bu L ε *_{f r dx( + )− nin sonsuz küçük L}

olmadığı anlamına gelir ki bu bir çelişkidir. _{lim ( ) ( (}* ₎₎

x r→ f x =st f r dx+ formülü her iki

yön için standart kısım dönüşümüne başvurduktan ve L bir reel sayı olduğu sürece ( )

st L = olması göz önüne alındıktan sonra L *_{f r dx( + )≈ ‘den gelir. L}

Teorem 9 (Varlık):

X ⊆ , :f X → reel değerli bir fonksiyon ve r X, ’in aşikâr olmayan bir yığılma noktası olsun. Aşağıdakiler birbirini gerektirir.

i) lim ( )

x r→ f x limiti ‘de vardır.

ii)

(

∀ ∈ε ₊

) (

∃ ∈δ ₊

) (

∀x y X, ∈

)

_⎣⎡ < −0 x r y r, − < ⇒δ f x( )− f y( ) < ⎤ε_⎦ olması durumunda f Temel ( ya da Cauchy ) dizidir.

iii) x r y r x r ve y r≠ , ≠ , ≈ ≈ olmak üzere, her

* * *

, ( ) ( )

iv) _{r dx r dy+ , + ∈}*_{X olmak üzere, her}

* *

, 0, , 0 ( ) ( )

dx dy≠ dx dy≈ için f r dx+ ≈ g r dy+ dir.

v) _{r dx r dy+ , + ∈}*_{X olmak üzere, bütün dx dy, ≠0, dx dy, ≈0 için}

(

* _{( )}

) (

* _{( )}

)

st f r dx+ =st f r dy+ ∈ (hiçbir zaman 0 olamaz. ) vi) _I

( )

* _'de

+ pozitif sonsuz küçüklerin belirttiği küme olduğunda

(

*

) (

*

)

* * * ( ) , , 0 , ( ) ( ) h I dx dy r dx r dy X ve dx dy h f r dx f r dy ∃ ∈ ∀ ∈ ⎡ + + ∈ < < ⎤⇒⎡ + ≈ + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dir. İspat:

( ) ( )

i ⇔ ii Limit varlığı için Cauchy kriteri.

( ) ( )

i ⇒ iii : Bazı _{L∈ için} *_{f x( )≈ , (teo.8) gerektiği gibi L} *_{f x( )≈}*_{f y( )}

( ) ( )

iii ⇔ iv x r dx ve y r dy= + = + olmasından gelmektedir.

( ) ( )

iv ⇒ vi Aşikâr.

( ) ( )

vi ⇒ i : Elimizde ‘deki bazı

( )

h_n dizileri için h= h_n vardır. Genelliği bozmadan her n∈ için h_n > olduğunu farz edilebilir. Şimdi tersine (i) 0 yanlış olsun. ∀ ∈n için An ≠ ∅ olacak şekilde

{

, : 0 , ( ) ( )

}

n n

A = x y ∈ ×X X < −x r y r− <h ve f x − f y ≥ε olan ε∈ ₊ vardır. Bundan sonra (Seçme aksiyomundan)

(

n, n

)

n

X ×X de ∀ ∈n için x y ∈A olacak şekilde bir

(

x yn, n

)

dizisi vardır.

*

,

n n

x y ∈ X standart olmayan sayılarını tanımlanır ve * _‘da

( )

( )

n n x ve y nin seçiminden _{0 ,} * _{( )} * _{( )} n n n n n x r y r h ve f x f y ε < − − < − ≥ olduğu görülür. Böylece * _{( )} * _{( )} n n

f x − f y bir sonsuz küçük değildir ki bu ,

n n n

( ) ( )

_{i ⇒ v : Bazı L∈ için st f r dx}

(

* _{( + )}

)

_{=L ve st f r dy}

(

* _{( + )}

)

_{= L}

dir. Teorem 8 den beklendiği gibi _{st f x( ( ))}* _{≈st f y( ( ))}* _{∈ ‘dir.}

( ) ( )

_{iv ⇒ v : st}

(

*_{f r dx( + )}

) (

_=st *_{f r dy( + )}

)

_{∈ ,} *_{f r dx ve f r dy( + )} * _{( + )}

nin birer sonlu sayı olması ve *_{f x( )≈}*_{f y( ) olması anlamına gelir.}

Belgede LİMİT ÖĞRETİMİNE ALTERNATİF BİR YAKLAŞIM (sayfa 36-44)