3. I ¸ SIN ˙IZLEME
3.2. Snell Yasası ile I¸sın ˙Izleme
Geometrik optik yakla¸sımı ile ı¸sın izleme yöntemlerinden bir di ˘geri Snell yasa-sının uygulanmasıdır. Bu tez çalı¸smasında iyonkürede dalga yayılımı Snell ya-sası ile modellenmektedir. Bu yöntemin seçilmesindeki en önemli etken, dalga yayılımının modellenemesinde i¸slem yükü ve çözüm süresi bakımından 3.1’de anlatılan di ˘ger yöntemlere göre avantaj sa ˘glamasıdır.
Snell yasası iki katman arasındaki sınır yüzeyinden geçen ı¸sının yayılma yo-lunu ifade eden yasadır [1, 2, 5, 63, 64]. Booker denkleminde dalganın yayıldı ˘gı ortamın yön ba ˘gımsız oldu ˘gu kabulü yapıldı ˘gında denklem Snell yasasına e¸s-de ˘ger olmaktadır. Ortamın düzgün da ˘gılmı¸s ve yön ba ˘gımsız olması kabulünün iyonküreye uygulanabilmesi için iyonküre katmanlara ya da hücrelere bölüne-rek modellenmektedir. Literatürde, iyonkürenin yüksekli ˘ge göre katmanlardan olu¸stu ˘gu ve her bir katmanın kendi içinde düzgün da ˘gılmı¸s ve yön ba ˘gımsız olarak modellendi ˘gi çalı¸smalarda Snell yasası sıklıkla kullanılmaktatır [73–77].
Bu tez kapsamında geli¸stirilen, iyonkürenin 3B küresel hücre yapısı, Bölüm 4’de anlatılmaktadır. Bu yapıda her bir hücre kendi içinde düzgün da ˘gılmı¸s ve yön ba ˘gımsız kabul edilmektedir. Ancak modelin tamamı iyonkürenin düzgün da ˘gılmama, yön ba ˘gımlı olma ve zamana göre de ˘gi¸sim gösterme özelliklerini kapsamaktadır.
• Hücreler arasında yani konuma göre iyonkürenin fiziksel özelliklerini ifade eden parametrelerin de ˘gerleri de ˘gi¸smektedir. Böylece iyonkürenin
düz-gün da ˘gılmama özelli ˘gi kapsanmaktadır.
• Snell yasasının uygulanmasındaki en kritik parametre olan kırılma indisi-nin hesaplanmasında, iyonküreindisi-nin yön ba ˘gımlı olmasına neden olan pa-rametreleri kullanılmaktadır. Bu sayede de iyonkürenin yön ba ˘gımlı olma özelli ˘gi modele yansıtılmaktadır.
• Her bir hücreye kar¸sılık hesaplanan parametreler zamana ba ˘gımlı ola-rak hesaplanmaktadır. Böylece geli¸stirilen modelde iyonkürenin zamana göre de ˘gi¸simi sa ˘glanmaktadır.
Snell yasası, kırılma indisleri sırası ile n1 ve n2 olan iki kom¸su ortamdan bi-rinde ilerleyen dalganın di ˘ger ortam ile olan sınıra geldi ˘ginde nasıl davrana-ca ˘gını ifade etmektedir.Snell yasası iki katman arasındaki sınır yüzeyinde faz uyumlanmasına dayanarak elde edilmektedir [63,64]. Gelen dalga ile yansıyan ya da kırılan dalganın fazları sürekli olmalıdır. Snell yasasının kırılma ve yan-sıma e¸sitlikleri buradan yola çıkılarak elde edilmektedir. Snell yasasının geçerli olabilmesi için,
• sınır yüzeyinin dalgaboyuna göre yeterince büyük olması,
• gelen dalganın düzleme te ˘get olmaması
• sınır yüzeyinin pürüzsüz kabul edilebilmesi
gerekmektedir.
Sınıra temas eden dalga kırılma veya yansıma etkisine maruz kalmaktadır. Kri-tik açıdan küçük geli¸s açısına sahip olan dalga kırılarak ikinci ortama geçmek-tedir. Geli¸s açısı kritik açıdan büyük oldu ˘gunda ise yansıyarak geldi ˘gi ortama geri dönmektedir. Kritik açı ise gelen dalganın 90o ile kırıldı ˘gı açıdır.
Birinci Snell yasasına göre sınırdan yansıyan dalganın yansıma açısı, θr, sınıra gelen dalganın geli¸s açısına, θi, e¸sittir
θr = θi (3.38)
˙Ikinci Snell yasasına göre ise kırılan dalganın kırılma açısı, θt, ile gelen dalga-nın geli¸s açısı arasındaki ili¸ski
n1sin θi = n2sin θt (3.39)
Bu tez kapsamında uygulanan Snell yasası ile ı¸sın izlemede ı¸sının hareket yönü vektörel olarak ifade edilmekte, sınır ise düzlem olarak kabul edilmek-tedir. Hesaplamalarda kullanılan ifadelerde θi, ı¸sının iyonküre katman sınırına geli¸s açısı, θt, ı¸sının kom¸su iyonküre katmanına kırılarak girdi ˘gi kırılma açısı, θr, ı¸sının iyonküre katman sınırından yansıma açısı, ˆan(anx, any, anz), iyonküre katman sınır düzleminin yüzey normali vektörü, ~k1(k1x, k1y, k1z), gelen ı¸sının yayılma yön vektörü, ~k2(k2x, k2y, k2z), kırılan ya da yansıyan ı¸sının yayılma yön vektörü olarak tanımlanmaktadır.
I¸sının katman sınırına geli¸s açısı kritik açıdan küçük oldu ˘gu durumda ı¸sın kı-rılarak kom¸su katmanın içine do ˘gru ilerlemektedir. Kıkı-rılarak kom¸su katmanda yayılan ı¸sının yayılma yön vektörü ¸Sekil 3.1’deki geometrik yapıya göre hesap-lanmaktadır.
¸
Sekil 3.1. ˙Iyonküre katman sınır düzleminde kırılma.
Bu yapıya göre ¸su ko¸sullar sa ˘glanmalıdır:
• Katmanlar arasındaki sınırının yüzey normali, birinci katmandaki ı¸sın ya-yılım yönü ve ikinci katmandaki ı¸sın yaya-yılım yönü aynı düzlem üzerinde olmalıdır. Buna göre
ˆ
an× ~k1
· ~k2 = 0 (3.40)
olmaktadır.
• Birinci katmandaki ı¸sın yayılım yönü ile ikinci katmandaki ı¸sın yayılım yönü arasındaki açı θt− θi olmalıdır. θt açısı E¸s. 3.39 ile hesaplanmakta-dır. Bu durumda
k~1· ~k2 = cos (θt− θi) (3.41)
sa ˘glanmalıdır.
• Katmanlar arasındaki sınırının yüzey normali ile ikinci katmandaki ı¸sın
yayılım yönü arasındaki açı θtolmalıdır. Buna göre
ˆ
an· ~k2 = cos(θt) (3.42)
e¸sitli ˘gi elde edilmektedir.
Verilen bu üç e¸sitli ˘gin beraber çözülmesi sonucunda ikinci katmandaki ı¸sın ya-yılım yönü vektörünün üç bile¸seni hesaplanmaktadır. I¸sının katman sınırına geli¸s açısı kritik açıdan büyük oldu ˘gu durumda ı¸sın yansıyarak aynı katmanın içine do ˘gru ilerlemektedir. Yansıyan ı¸sının yayılma yön vektörü ¸Sekil 3.2’deki geometrik yapıya göre hesaplanmaktadır.
¸
Sekil 3.2. ˙Iyonküre katman sınır düzleminde yansıma.
Bu yapıya göre ¸su ko¸sullar sa ˘glanmalıdır:
• Katmanlar arasındaki sınırının yüzey normali, birinci katmandaki ı¸sın ya-yılım yönü ve ikinci katmandaki ı¸sın yaya-yılım yönü aynı düzlem üzerinde olmalıdır. Buna göre
ˆ an× ~k1
· ~k2 = 0 (3.43)
olmaktadır.
• Birinci katmandaki ı¸sın yayılım yönü ile ikinci katmandaki ı¸sın yayılım yönü arasındaki açı 180o− (θi+ θr)olmalıdır. θraçısı Snell yasasına göre θi açısına e¸sit olmaktadır. Bu durumda
ˆ
an· ~k2 = cos (180o− 2θi) (3.44)
e¸sitli ˘gi elde edilmektedir.
• Katmanlar arasındaki sınırının yüzey normali ile ikinci katmandaki ı¸sın yayılım yönü arasındaki açı 180o− θi olmalıdır. Buna göre
ˆ
an· ~k2 = cos (180o− θi) (3.45)
sa ˘glanmalıdır.
Verilen bu üç e¸sitli ˘gin beraber çözülmesi sonucunda ikinci katmandan yansıyan ı¸sının yayılım yönü vektörünün üç bile¸seni hesaplanmaktadır.
3.3 ˙Iyonkürede Kırılma ˙Indisi
˙Iyonkürede ilerleyen dalganın yayılım yolunun hesaplanmasında en önemli pa-rametrelerden biri iyonkürenin kırılma indisidir. Bu tez kapsamında iyonküre-nin kırılma indisini hesaplamak için E¸s. 3.46 ve E¸s. 3.47’de verilen Appleton-Hartree formülü kullanılmaktadır. Appleton-Appleton-Hartree formülü so ˘guk plazma or-tamı için kırılma indisini veren matematiksel ifadedir. Bu ifade birbirlerinden ba ˘gımsız olarak E. V. Appleton, D. Hartree ve H. K. Lassen tarafından geli¸sti-rilmi¸stir. Bu nedenle bu denklem Appleton-Lassen formülü olarak da bilinmek-tedir [18, 23–25].
Bu formülde, sıradan ve sıradı¸sı dalga için kırılma indisi, sırasıyla no ve ne, elektron yo ˘gunlu ˘gu Ne, plazma frekansı fN, yayılan dalganın frekansı f , kürenin manyetik alanının büyüklü ˘gü B, gelen dalganın ilerleme yönü ile
yer-kürenin manyetik alanının yönü arasındaki açı θ, elektronun parçacıklarla çar-pı¸sma frekansı fυ, elektronun dönme frekansı fh, elektron yükü e, elektronun kütlesi m ve serbest uzaydaki dielektrik sabiti o parametrelerine ba ˘glı olarak verilmektedir.
Sıradan dalga için Appleton-Hartree formülü:
n2o(Ne, B, θ, f ) = 1 − X 1 − jZ − 2(1−X−jZ)Y2(sin θ)2 +h
Y4(sin θ)4
4(1−X−jZ)2 + Y2(cos θ)2i12 (3.46)
Sıradı¸sı dalga için Appleton-Hartree formülü:
n2e(Ne, B, θ, f ) = 1 − X 1 − jZ − 2(1−X−jZ)Y2(sin θ)2 −h
Y4(sin θ)4
4(1−X−jZ)2 + Y2(cos θ)2
i12 (3.47)
E¸s. 3.46 ve 3.47’de,
X(Ne, f ) = Nee2 / om (2πf )2 = fN2/f2 (3.48)
Y (B, f ) = (eB) / (2πf m) = fh/f (3.49)
Z(f ) = fυ/f (3.50)
olarak tanımlanmaktadır.
Elektronun dönme frekansı fh 2.3’de verilen denklem ile hesaplanmaktadır.
Elektronun, iyon parçacıkları ve nötr moleküller ile çarpı¸sma frekansı, her bir parçacık için fυ E¸s. 3.51 ile hesaplanmaktadır.
fυAB = NANB(rA+ rB)2 s
8πkBT
µAB (3.51)
Denklemde verilen NAsistemdeki A parçacı ˘gının sayısı, NB sistemdeki B par-çacı ˘gının sayısı, rA A molekülünün yarıçapı, rB B molekülünün yarıçapı, kB
Boltzmann sabiti, T Kelvin cinsinden sıcaklı ˘gı ifade etmektedir. µAB ise
µAB = mAmB
mA+ mB (3.52)
olarak tanımlanmaktadır. E¸s. 3.52’de mAA parçacı ˘gının kütlesini, mB B parça-cı ˘gının kütlesini ifade etmektedir.
˙Iyonkürede elektronun iyon ve nötr parçacıklarla çarpı¸smasının hesaplanma-sında verilen ifadelerde A parçacı ˘gı elektronu, B parçacı ˘gı ise iyonküredeki hidrojen, oksijen, azottan meydana gelen iyon ve molekülleri temsil etmektedir.
E¸s. 3.46 ve E¸s. 3.47 uygulamaya göre çe¸sitli kabullerle basitle¸stirilebilmektedir.
Örne ˘gin, yerkürenin manyetik alanı, elektronun dönme hareketi ve elektronun parçacıklarla çarpı¸sma etkisi ihmal edildi ˘ginde denklem
n2 = 1 − X (3.53)
haline gelmektedir. Kırılma indisinin hesaplanmasında uygulanacak yakla¸sı-mın problemin do ˘gasına ve istenilen detay seviyesine uygun olması gerekmek-tedir. Bu nedenle bu tez kapsamında geli¸stirilen modelde iyonkürenin fiziksel özelliklerinin modele yansıtılması amacıyla kırılma indisinin hesaplanmasında E¸s. 3.46 ve 3.47 sadele¸stirme yapılmadan, tüm bile¸senleri ile hesaplanmakta-dır.