Diante da proposta de investigar a atribuição de significados aos conceitos de perímetro e área, procuramos fazer uma ponte entre o abstrato e o concreto. A definição dos conceitos de perímetro e área, conforme apresentado por matemáticos como Lima (1985), retrata o caráter abstrato. As múltiplas relações que podem ser desenvolvidas entre os conceitos, experiências, práticas e representações, encaminham às significações concretas.
A proposta deste trabalho transita entre o concreto e abstrato no processo educacional. Partimos do abstrato, da definição dos conceitos com base em Lima (1985) e nas experiências dos alunos com os conceitos em outras atividades e em outras séries e propomos algumas atividades direcionando-as pelo pensamento reflexivo, procurando apropriar ainda dos recursos da geometria dinâmica para que os alunos atribuíssem significados aos conceitos pelo uso. Diante das referências apontadas por Gravina (2001) e relatos de Dewey (1959) sobre esses termos, pode-se admitir duas vertentes. Uma voltada para o campo da materialização e a outra para a compreensão. Detém-se, nesse primeiro enfoque, nas relações abstrato-concretas, por meio de representações da geometria dinâmica5. Apropria-se do termo cunhado por Henenstreint 6 (1987, apud
GRAVINA, 2001, p. 4-5), quando aponta que “o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos „concreto-abstratos‟; concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais”.
Diante da crença de que conceitos abstratos podem ser representados nas mais diversas formas, numa espécie de aplicação prática do conceito, atribuímos a essa representação o termo materialização, entendido como a associação de um conceito (definição), como perímetro e área, a objetos materiais, de forma a propiciar o seu entendimento e sua aplicação. Quando associamos, por exemplo, o conceito de
5 No capítulo III, desenvolvemos os termos concreto e abstrato com base nos estudos de John Dewey,
uma vertente para a compreensão dos significados.
6 HENENSTREINT, J. Simulation et Pédagogie, une rencontre du troisième Type. Gif Sur Yvette,
perímetro à régua que contorna o quadro da sala de aula ou ao desenho de uma figura retangular na tela do computador, o conceito perímetro passa a representar algo para o aluno, com significados naquele contexto, próximos de suas experiências. O contorno do quadro, representado pelas réguas a sua volta, pode ser visto como a materialização do conceito de perímetro. O gramado do campo de futebol pode ser visto como a materialização do conceito de área.
E como se posicionam os conceitos geométricos diante da transição entre concreto e abstrato? Estariam esses conceitos mais próximos do aluno? No caso do conceito de triângulo, por exemplo, seria possível atribuir significados ao sentido abstrato, relacionando o conceito com as características presentes em uma figura ou objeto material que o represente geometricamente. A história do desenvolvimento geométrico mostra que a geometria assume caráter tanto como ciência prática quanto axiomática. De acordo com Gravina,
a história do desenvolvimento da geometria [...] revela um processo de sucessivas abstrações reflexionantes e refletidas. Nascida na antiguidade como ciência prática para a solução de problemas de medidas, com os gregos ela se faz conhecimento de caráter abstrato e culmina na sistematização dos “Elementos de Euclides”, que toma como ponto de partida axiomas intuitivamente indiscutíveis [...]. (GRAVINA, 2001, p. 26)
Segundo essa autora, com o surgimento das geometrias não euclidianas do século XIX, instala-se a geometria extremamente abstrata, onde os axiomas não se baseiam na intuição informada pelo empírico sensitivo. As demonstrações, os teoremas são, por assim dizer, abstratos. Detemo-nos, neste trabalho, ao estudo dos conceitos perímetro e área, da geometria euclidiana, do ensino fundamental. É possível desenvolver práticas adequadas voltadas para o que denominamos materialização desses conceitos, de forma que o aluno possa atribuir significados segundo seu nível de desenvolvimento, possibilitando aplicações práticas naquele e em outros contextos futuros.
Pavanello (1995) ressalta a geometria como a parte da matemática passível de manipulação. Assim, descreve que
não se pode negar que a geometria oferece um maior número de situações nas quais o aluno pode exercitar sua criatividade ao interagir com as propriedades dos objetos, ao manipular e construir figuras, ao observar suas características, compará-las, associá-las de diferentes
modos, ao conceber maneiras de representá-las. (PAVANELLO, 1995, p. 14).
Registra-se a intenção da pesquisa em propiciar a aproximação dos conceitos com figuras, objetos e situações, de acordo com a afirmação de Pavanello. Ao apresentar para o aluno, por exemplo, a definição de quadrado, pode-se construir uma figura usando régua e compasso ou tomar um objeto concebido como tendo esse formato. Podem-se destacar, a partir de uma forma observada, propriedades que a caracteriza: o número de lados, vértices, as medidas dos lados, número de diagonais, os ângulos formados entre lados consecutivos. As representações podem ser apresentadas de uma forma estática ou mais dinâmica, em que mudanças ou manipulações da representação gráfica de figuras ou objetos, observando suas características, possam ser efetuadas com o auxílio de um software de geometria dinâmica. No capítulo IV, abordaremos esse aspecto tecnológico de forma mais detalhada.
Como a conceituação de fenômenos ou objetos em termos da linguagem geométrica está muito presente em nossas vidas, as experiências dos alunos podem fornecer pontos de referência para o ensino de geometria, tanto em termos de experiências do cotidiano, quanto na aplicação em outras áreas, como a aritmética e a álgebra.