2.2. İlhanlı Hatunları
2.2.23. Satı Beg Hatun
1.6
O semigrupo dual e o Teorema de Stone
Come¸camos com alguns resultados b´asicos sobre operadores duais.
Lema 1.4 Seja S ∈ L(E); ent˜ao, S∗ ∈ L(E∗) e kSk
L(E) =kS∗kL(E).
Prova. ´E f´acil ver que S∗ ´e operador linear fechado. Al´em disso, para todo e∗ ∈ E∗,he∗, Sei ´e
um funcional linear cont´ınuo e portanto determina um ´unico elemento f∗ ∈ E∗ para o qual
hf∗, ei = he∗, Sei. Logo, D(S∗) = E∗. Segue ent˜ao do Teorema do Gr´afico Fechado que
S∗∈ L(E∗). Adicionalmente,
kS∗k
L(E∗) = sup
{ke∗k
E∗≤1}kS∗e∗kE∗ = sup{ke∗kE∗≤1}sup{kekE≤1}|hS∗e∗, ei| = = sup{kek≤1}sup{ke∗k
E∗≤1}|he
∗, Sei| = sup
{kekE≤1}kSekE = =kSkL(E),
e o resultado segue. ¤
Lema 1.5 Seja A um operador linear densamente definido em E. Se λ∈ ρ(A) ent˜ao λ ∈ ρ(A∗)
e
(λI− A∗)−1= ((λI− A)−1)∗.
Prova. Da defini¸c˜ao de adjunto temos (λI− A)∗ = λI∗− A∗. Como (λI− A)−1 ∈ L(E) segue do Lema 1.4 que ((λI − A)−1)∗ ∈ L(E∗). Resta mostrar que (λI∗ − A∗)−1 existe e ´e igual
a ((λI − A)−1)∗. Primeiramente mostremos que λI∗ − A∗ ´e injetor. Se para algum e∗ 6= 0, e∗ ∈ D(A∗), tivermos (λI∗− A∗)e∗= 0, ent˜ao 0 =h(λI∗− A∗)e∗, ei = he∗, (λI− A)ei para todo
e∈ D(A). Mas como λ ∈ ρ(A), R(λI − A) = E e portanto e∗ = 0, contradizendo a escolha de
e∗. Portanto, λI∗− A∗ ´e injetor. Se agora e∈ E, e∗ ∈ D(A∗), ent˜ao
he∗, ei = he∗, (λI−A)(λI −A)−1ei = h(λI∗−A∗)e∗, (λI−A)−1ei = h((λI −A)−1)∗(λI∗−A∗)e∗, ei e portanto
((λI− A)−1)∗(λI∗− A∗)e∗= e∗, ∀e∗ ∈ D(A∗). Por outro lado se e∗ ∈ E∗ e e∈ D(A) ent˜ao
he∗, ei = he∗, (λI−A)−1(λI−A)ei = h((λI −A)−1)∗e∗, (λI−A)ei = h(λI −A)∗((λI−A)−1)∗e∗, ei o que implica que
(λI∗− A∗)((λI− A)−1)∗e∗ = e∗, ∀e∗ ∈ E∗.
Seja{T (t) : t ≥ 0} um semigrupo fortemente cont´ınuo em E. Para t > 0 seja {T (t)∗: t≥ 0}
o semigrupo dual. O semigrupo dual n˜ao precisa ser fortemente cont´ınuo em E∗.
Defini¸c˜ao 1.9 Seja S um operador linear em E e seja F um subespa¸co de E. O operador ˜S definido por D( ˜S) ={e ∈ D(S) ∩ F : Se ∈ F } e ˜Se = Se para e∈ D( ˜S) ´e chamado parte de S
em F . ¤
Teorema 1.14 Seja {T (t) : t ≥ 0} um semigrupo fortemente cont´ınuo em E com gerador infinitesimal A e {T (t)∗ : t ≥ 0} o semigrupo dual. Se A∗ ´e o adjunto de A e E⊙ ´e o fecho
de D(A∗) em E∗, ent˜ao a restri¸c˜ao {T (t)⊙ : t ≥ 0} de {T (t)∗ : t ≥ 0} a E⊙ ´e um semigrupo
fortemente cont´ınuo em E⊙. O gerador infinitesimal A⊙ de{T (t)⊙: t≥ 0} ´e a parte de A∗ em
E⊙.
Prova. Como A ´e o gerador infinitesimal de {T (t) : t ≥ 0}, da Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida, existem constantes ω e M tais que para todo λ > ω, temos λ∈ ρ(A) e
k(λ − A)−nkL(E) ≤
M
(λ− ω)n, n = 1, 2,· · ·
Segue ent˜ao do Lema 1.5 que λ∈ ρ(A∗) e do Lema 1.4 que k(λI∗− A∗)−nkL(E∗)≤ M
(λ− ω)n, n = 1, 2,· · ·
Seja J(λ) a restri¸c˜ao de (λI∗− A∗)−1 a E⊙. Ent˜ao
kJ(λ)nkL(E⊙)≤ M
(λ− ω)n, n = 1, 2,· · · (1.21)
Observe que A∗ ´e fechado e E⊙= D(A∗) em E∗ e ent˜ao da identidade do resolvente,
J(λ)− J(µ) = (µ − λ)J(λ)J(µ), λ, µ > ω
e J(λ) ´e um pseudo-resolvente em (0,∞) ⊂ C. Exatamente como na prova do Teorema de Hille-Yosida, temos que
λJ(λ) = (I∗− λ−1A∗)−1= I∗+ A∗J(λ). Para e∈ D(A∗), segue que
kλJ(λ)e∗− e∗kE⊙ =kA∗J(λ)e∗kE⊙ =kJ(λ)kL(E⊙)kA∗e∗kE⊙ ≤ ≤ (λM
− ω)kA
∗e∗k
24 1.6 O semigrupo dual e o Teorema de Stone
Como D(A∗) = E⊙, segue que
lim
λ→∞λJ(λ)e
∗ = e∗, ∀e∗ ∈ E⊙.
Segue do Corol´ario 1.2 que J(λ) ´e o resolvente de um operador fechado e densamente definido A⊙ em E⊙. Ainda, segue de (1.21) e da Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida, que A⊙ ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo{T (t)⊙ : t≥ 0} em E⊙.
Vamos mostrar que {T (t)⊙ : t ≥ 0} ´e a restri¸c˜ao de {T (t)∗ : t ≥ 0} a E⊙. Para e ∈ E e
e⊙ ∈ E⊙ temos * e⊙, µ I− t nA ¶−n e + = * µ I⊙− t nA ⊙ ¶−n e⊙, e + , n = 1, 2, 3· · · Fazendo n→ ∞ e usando o Teorema 1.11, obtemos
he⊙, T (t)ei = hT (t)⊙e⊙, ei.
Segue que para e⊙ ∈ E⊙, T (t)∗e⊙= T (t)⊙e⊙ e assim T (t)⊙ ´e a restri¸c˜ao de T (t)∗ a E⊙.
Para concluir a prova temos que mostrar que A⊙ ´e a parte de A∗ em E⊙. Seja e∗ ∈ D(A∗)
tal que e∗ ∈ E⊙ e A∗e∗ ∈ E⊙. Ent˜ao (λI∗− A∗)e∗∈ E⊙ e
(λI⊙− A⊙)−1(λI∗− A∗)e∗ = e∗.
Portanto e∗ ∈ D(A⊙) e aplicando λI⊙ − A⊙ em ambos os lados da igualdade acima temos
(λI∗− A∗)e∗ = (λI⊙− A⊙)e∗ e portanto A⊙e∗= A∗e∗. Isto mostra que A⊙ ´e a parte de A∗ em
E∗. ¤
O seguinte resultado identifica alguns casos em que o semigrupo dual ´e fortemente cont´ınuo.
Lema 1.6 Seja E um espa¸co de Banach real reflexivo. Se S : D(S) ⊂ E → E ´e fechado e densamente definido ent˜ao D(S∗) ´e denso em E∗.
Prova. Se D(S∗) n˜ao ´e denso em E∗, ent˜ao existe um elemento e0 ∈ E tal que e0 6= 0 e
he∗, e0i = 0, para todo e∗ ∈ D(S∗). Como S ´e fechado seu gr´afico ´e fechado e n˜ao cont´em (0, e0).
Da Forma Geom´etrica do Teorema de Hahn-Banach existem, e∗
1 e e∗2 em E∗ e α∈ R tais que he∗1, ei + he∗2, Sei < α < he∗2, e0i, ∀e ∈ D(S) e ent˜ao he∗1, 0i + he∗2, Sei = 0, ∀e ∈ D(S) (1.22) e he∗2, e0i > 0. (1.23)
Segue de (1.22) que e∗2 ∈ D(S∗), com S∗e∗
2 = −e∗1 e ent˜ao he∗2, e0i = 0, o que contradiz (1.23).
Corol´ario 1.3 Seja E um espa¸co de Banach reflexivo e{T (t) : t ≥ 0} um semigrupo fortemente cont´ınuo em E com gerador infinitesimal A. O semigrupo dual {T (t)∗ : t≥ 0} de {T (t) : t ≥ 0} ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo em E∗ cujo gerador infinitesimal ´e A∗.
Prova. Pelo Lema 1.6, D(A∗) = E∗. Da´ı, tome E⊙= E∗ no Teorema 1.14, e o resultado segue.
¤
Uma vez que a restri¸c˜ao de T (t)∗ ao subespa¸co E⊙ ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo, estamos exatamente na mesma posi¸c˜ao que come¸camos. Em um espa¸co de Banach E⊙ e com
um semigrupo fortemente cont´ınuo{T (t)⊙: t≥ 0} gerado pela parte A⊙ de A∗ em E⊙.
Podemos introduzir o espa¸co E⊙∗ e o semigrupo dual T (t)⊙∗ que ´e fortemente cont´ınuo em E⊙⊙:= D(A⊙∗).
A dualidade entre os elementos de E e E⊙ pode ser usada para definir uma imers˜ao j (note que E⊙ ´e fraco-∗ denso em E∗) de E em E⊙∗ com
hje, e⊙iE⊙∗,E⊙ =he⊙, eiE⊙,E. ´
E claro que
T (t)⊙∗je = j(T (t)e)
e portanto j(E)⊂ E⊙⊙. Sempre que j(E) = E⊙⊙ chamaremos E de ⊙−reflexivo com respeito ao semigrupo {T (t) : t ≥ 0}.
Seja H um espa¸co de Hilbert. Um operador limitado U ´e unit´ario se U∗ = U−1. Recorde que U ´e unit´ario se e somente se R(U ) = H e U ´e uma isometria. De fato, se U∗U = I, ent˜ao e1, e2∈ H,
hUe1, U e2i = hU∗U e1, e2i = he1, e2i.
Tomando e1 = e2 segue que U ´e uma isometria e R(U ) = H. Por outro lado, se R(U ) = H e U
´e uma isometria, ent˜ao U ´e invers´ıvel e
hU∗U e, ei = hUe, Uei = kUek2 =kek2 =he, ei, ∀e ∈ H. Portanto, U∗U =I.
Defini¸c˜ao 1.10 Um grupo de operadores lineares em E ´e uma fam´ılia{T (t) : t ∈ R} ⊂ L(E) tal que
(i) T (0) = IE,
(ii) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t, s∈ R. Se adicionalmente
26 1.6 O semigrupo dual e o Teorema de Stone
(iii) kT (t)e − ekE → 0 quando t → 0, ∀e ∈ E, dizemos que o grupo ´e fortemente cont´ınuo.
¤
Teorema 1.15 (Stone) Um operador A ´e o gerador infinitesimal de um grupo fortemente cont´ınuo de operadores unit´arios em um espa¸co de Hilbert H se, e somente se, iA ´e auto-adjunto.
Prova. Se A ´e o gerador de um grupo fortemente cont´ınuo de operadores unit´arios{U(t) : t ∈ R}, ent˜ao A ´e densamente definido e utilizando o Corol´ario 1.3 obtemos, para x∈ D(A),
−Ax = lim t→0+ U (−t)x − x t = limt→0+ U∗(t)x− x t = A∗x o que implica A =−A∗ e portanto (iA)∗ = iA e iA ´e auto-adjunto.
Se por outro lado iA ´e auto adjunto ent˜ao A ´e densamente definido e A = −A∗. Portanto, para todo x∈ D(A) temos
hAx, xi = hx, A∗xi = −hAx, xi
e portanto RehAx, xi = 0 para todo x ∈ D(A), isto ´e, A ´e dissipativo. Al´em disso, como A =−A∗, ent˜ao RehA∗x, xi = 0 para todo x ∈ D(A) = D(A∗) e assim A∗ tamb´em ´e dissipativo.
Logo A e A∗ s˜ao densamente definidos e fechados e como A∗∗ = A, do Corol´ario 1.1, ambos A e A∗ = −A s˜ao geradores infinitesimais de semigrupos fortemente cont´ınuos de contra¸c˜oes em
H. Se {U+(t) : t ≥ 0} e {U−(t) : t ≥ 0} s˜ao os semigrupos de contra¸c˜oes gerados por A e A∗
respectivamente, definimos U (t) = U+(t), t≥ 0, U−(−t), t ≤ 0.
Ent˜ao U (t) ´e um grupo. De fato, como A e−A s˜ao geradores de semigrupos fortemente cont´ınuos U+(t) e U−(−t) que comutam, se W (t) = U+(t)U−(t), t≥ 0, ent˜ao para x ∈ D(A) = D(−A),
W (t)x− x t = U−(t) U+(t)x− x t + U−(t)x− x t → Ax − Ax = 0, quando t → 0 +.
Assim, se G(t) = W (t)x, t≥ 0, temos G(0) = x e G′(0) = 0. Al´em disso,
G(t + h)− G(t) h = W (t + h)x− W (t)x h = W (t) W (h)x− x h → W (t)G ′(0) = 0 quando h→ 0+.
Logo, G′(t) = 0, para todo t ≥ 0 e G ´e constante. Da´ı, como G(0) = x para cada x ∈ D(A), temos que W (t)x = x, ∀x ∈ D(A), t ≥ 0. Como D(A) ´e denso em H e W (t) ´e limitado temos que W (t) = I, ou seja, U−(t) = (U+(t))−1. Com isto, obtemos
ii) U (t + s) = U (t)U (s), −∞ < t, s < ∞. De fato, se t, s > 0 ou t, s < 0 a igualdade segue, j´a que{U+(t) : t≥ 0} e {U−(t) : t≥ 0} s˜ao semigrupos. Seja s < 0 < t. Se t + s ≥ 0, ent˜ao
U (t + s)U (−s) = U+(t + s)U+(−s) = U+(t)
e assim
U (t + s) = U+(t)U+(−s)−1 = U+(t)U−(−s) = U(t)U(s).
Por outro lado, se t + s≤ 0, ent˜ao
U (−t)U(t + s) = U−(t)U−(−t − s) = U−(−s)
e assim
U (t + s) = (U−(t))−1U−(−s) = U+(t)U−(−s) = U(t)U(s).
Mostramos assim que{U(t) : t ∈ R} ´e grupo. Al´em disso, como {U+(t) : t≥ 0} e {U−(t) : t≥ 0}
s˜ao semigrupos fortemente cont´ınuos, segue que{U(t) : t ∈ R} ´e um grupo fortemente cont´ınuo. Finalmente, observe que como U (t)−1 = U (−t), kU(t)k ≤ 1, kU(−t)k ≤ 1, segue que
R(U (t)) = H e U (t) ´e uma isometria para todo t e portanto U (t) ´e um grupo unit´ario de
operadores sobre H, como quer´ıamos. ¤