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Iniciaremos esse estudo apresentando o comportamento físico-matemático dos campos magnéticos, sejam eles gerados por bobinas percorridas por corrente elétrica ou ímãs permanentes, já que o comportamento é análogo.

Portanto, a partir da lei de Biot-Savart, pode-se encontrar a equação que descreve o campo magnético gerado por um dipolo magnético:

�⃗ �⃗ =�_{�  −|�⃗| +}�⃗ �⃗ ⋅ �⃗ �⃗_{|�⃗ |}         .

O vetor �⃗ caracteriza o momento de dipolo magnético do ímã em cada uma das três dimensões (x, y, z). Para a maior parte das aplicações com ímãs permanentes, este momento de dipolo magnético é orientado em apenas uma direção, ou predominantemente em uma direção, sendo o valor nas demais dimensões iguais a zero ou desprezíveis, portanto utilizaremos �⃗ = � , , . O vetor de posição �⃗, pode ser escrito como sendo �⃗ = �, �, � .

Reorganizando a equação 3.1, e separando as variáveis, pode-se expressar o campo a partir de suas componentes cartesianas:

�⃗ =� �_� �� � + � + � ê         . � �⃗ =� �_� �� � + � + � ê         . � �⃗ =� �_� � − � − � � + � + � ê         . �

Com essas equações, é possível visualizar o comportamento do campo magnético, nas proximidades de um dipolo magnético, seja ímã permanente ou bobina. É importante ressaltar que, na forma como estão escritas, o dipolo se encontra na origem do sistema de coordenadas. Na figura 3.1, gerada com o auxílio do  software  “electromagnet field®”,  é  possível 

visualizar as linhas de campo de um ímã isolado, situado na origem (0, 0, 0), com o momento orientado na direção (vertical) z:

Qualquer ponto p do espaço circundante a um ímã pode ter seu campo magnético determinado, desde que se conheça as coordenadas do ímã e do ponto � = � , � , � , além do valor do momento de dipolo magnético do ímã. Uma demonstração útil é determinar a equação do campo de um ponto genérico, conforme figura 3.2.

Figura 3.2: Ponto genérico na região de campo magnético

Primeiramente, o campo magnético produzido por esse elemento magnético possui simetria cilíndrica, com o momento de dipolo magnético orientado na direção z. É mais conveniente utilizar um sistema de coordenadas cilíndricas (ρ,  θ,  z), observando que Ɽ ira designar a direção da componente radial do campo magnético no ponto P, para isso, � =

� + � . As equações de campo na direção z permanecem inalteradas, e devido a simetria, não existe campo na direção θ. Assim, com o dipolo localizado na origem, podemos redefinir as componentes do campo magnético no ponto genérico P como sendo:

�⃗ =  ê        . � �⃗ = �⃗ + �⃗ = ��_� � �

� + � ê         . b �⃗ =� �_�  � − �

� + � ê         . �

Percebe-se que �⃗  e �⃗ são perpendiculares, portanto, a intensidade do campo nesse ponto será simplesmente |�⃗ | = � + � , enquanto o ângulo em relação ao plano radial

pode ser obtido pela relação tan � = . Colocando essas grandezas em função de ρ e z chegamos ao resultado:

�⃗ =� �_� � − � � + �

� + �         . � � = tan � − �_� �         . �

Com essas equações é possível identificar alguns pontos com particularidades interessantes. Por exemplo, nos pontos que satisfazem a condição � = √� ⋅ �, só existe campo na direção radial, pois � = °. Para distâncias ρ maiores que essa, o valor do campo axial passa a ser negativo.

Outra situação que merece destaque é quando � = �, e �  ≠ �. Ao longo do eixo z tem-se uma região em que o campo magnético permanece perpendicular ao plano radial. Esta é uma situação ótima de medição, já que a maioria dos sensores capazes de quantificar campo magnético, sejam estáticos ou variáveis no tempo, realizam essa medição considerando apenas a componente perpendicular do campo.

Caso exista mais de um dipolo magnético, basta aplicar a soma vetorial dos campos magnéticos individuais de cada ímã na região em análise. Na figura 3.3, observam-se dois ímãs idênticos, como também o campo produzido por cada ímã individualmente.

Poderíamos definir agora um ponto genérico, e analisar as equações de campo na presença desses dois dipolos magnéticos. Contudo, isso não teria acréscimo significativo ao que já foi discutido. Porém, uma determinada definição matemática é necessária, devido a sua relevância para este trabalho. Vamos analisar o comportamento do campo magnético ao longo da região entre os dois ímãs.

Incialmente, iremos posicionar os ímãs simetricamente ao eixo z, como se estivessem espelhados, supondo que a distância entre os dois ímãs seja igual a d, da forma como descrito na figura 3.4:

Figura 3.4: Campo magnético sobre o eixo z – dipolos alinhados

Ambos os ímãs estão posicionados sobre o eixo x, nas posições e . Como o problema possui simetria cilíndrica �, �, � , podemos igualmente afirmar que os ímãs 1 e 2 se encontram nas posições , , e  , �, , respectivamente.

Ao somar os campos produzidos individualmente por cada um dos ímãs, obtemos que as componentes radiais _{�⃗ e �⃗} , ao longo do eixo z, se anulam, permanecendo apenas a componente axial z: �⃗ = �⃗ + �⃗ =� �_�  � − � � + � ê +  � − � � + � ê = ⋅ �⃗        .

A princípio, o resultado mostra apenas que o campo resultante dos dois ímãs, ao longo do eixo z, teve seu valor aumentado em duas vezes. É importante acrescentar que, na região entre os ímãs � , os dois campos na direção z irão sempre se somar, possuindo valor

máximo em R = 0, e os campos radiais irão sempre se subtrair, tendo seu valor mínimo em ρ

= 0. A figura 3.5 detalha o comportamento das linhas de campo magnético nestas condições.

Figura 3.5: Campo dipolo magnético - duplo alinhado

O efeito oposto ocorre quando os ímãs são posicionados com seus dipolos invertidos, pois dessa forma, um dos ímãs terá um momento de dipolo magnético negativo: �⃗ = � , , − . Ao longo do eixo z, a soma dos campos nos fornece apenas componentes radiais, e na região � , os campos radiais sempre se somam, e os axiais sempre se subtraem (figura 3.6).

Figura 3.6: Campo dipolos magnéticos - duplo invertido

Assim, percebe-se que é possível, apenas com dois ímãs/dipolos, direcionar a maior parte do campo magnético em uma direção específica, neste caso, a direção z. Vários trabalhos na literatura mostram como empregar esse efeito nas mais diferentes aplicações.

direcional na forma de um feixe fino através de diferentes combinações de duas bobinas transmissoras (dipolos magnéticos), com o intuito de determinar um arranjo que apresente uma melhor focalização na perfilagem de indução de poços de petróleo.

Louzada (2006) utilizou ímãs para desenvolver um transdutor de pressão de alta sensibilidade, para aplicações biomédicas. O transdutor é baseado em um sensor de magnetoimpedância gigante (MIG).

Também podemos citar Nara (2006), que em seu trabalho apresenta um algoritmo simples, capaz de localizar a posição de um dipolo magnético apenas com a leitura do valor do campo incidente em três sensores ortogonais.

Dentre esses e diversos outros trabalhos visitados na literatura pertinente ao tema, não se observaram aplicações que utilizassem o movimento relativo entre os ímãs ou dipolos para determinar deformações estruturais devido a esforços mecânicos, sendo este um recente campo de pesquisa, explorado em detalhes nesta tese.