Mümtaz Tarhan‟ın Yönetim Kurulu BaĢkanlığı (1950–1958)

Embora as bases de conhecimento dos dois tipos contenham os mesmos tipos de elementos, os professores com entendimento conceitual e os professores apenas com entendimento procedimental tinhas as bases de conhecimentos organizadas de maneiras diferentes e com quantidades diferentes de elementos.

Um modelo de entendimento procedimental da subtração com reagrupamento, prevê uma base de conhecimento com poucos elementos, sendo a maioria tópicos procedimentais, diretamente ligados ao algoritmo da subtração, normalmente

acompanhada de uma breve explicação, não necessariamente uma explicação matemática real.

Por exemplo, quando o professor explica o algoritmo e usa como fundamentação lógica a mãe ir ao vizinho pedir açúcar emprestado, trata-se de uma explicação com ausência de sentido matemático real.

Quando o professor explica que, pelo fato de o algarismo da coluna das unidades do minuendo ser menor que o do subtraendo, o primeiro deveria pedir emprestada uma dezena à casa das dezenas e transformá-la em dez unidades, isto também não é uma explicação matemática real.

Os últimos dois exemplos são demasiadamente imperfeitos e fragmentados, não oferecendo condições para promover uma aprendizagem conceitual aos alunos. Além disso, podem ser matematicamente problemáticos.

Quando o professor apoia seus argumentos e explicações em procedimentos, ele constrói o alicerce de seu conhecimento de moto a construir uma base de conhecimentos que resulta em um entendimento que Ma (2009) classifica como pseudoconceitual. Ou seja, conceitos que se justificam por procedimentos, geralmente ligados ao algoritmo.

Esse tipo de embasamento foi identificado em 83% dos professores americanos e em 14% dos professores chineses. Esses demonstravam um entendimento do tópico contendo alguns tópicos procedimentais, fazendo muito poucas ligações entre os tópicos matemáticos e não incluíram quaisquer argumentos matemáticos nas explicações.

Um modelo de entendimento conceitual da subtração, por sua vez, estava ligado principalmente à maneira de organizar seu conhecimento. A base desse conhecimento inclui três tópicos: tópicos procedimentais, tópicos conceituais e princípios básicos da disciplina.

Os tópicos procedimentais são incluídos para apoiar a aprendizagem procedimental e a conceitual do tópico. Por exemplo, a competência na composição e decomposição de uma dezena é um desses tópicos. Essa competência foi citada por muitos professores chineses como sendo de uma ajuda significativa na adição e subtração até 20, tanto do ponto de vista procedimental como conceitual.

Os tópicos conceituais aparecem para possibilitar um entendimento mais profundo da fundamentação lógica subjacente ao algoritmo. Porém, os professores acreditavam que os tópicos conceituais também tinham influência no desenvolvimento das competências procedimentais. Por exemplo, alguns professores achavam que um entendimento amplo da ideia de reagrupamento poderia favorecer a escolha de uma melhor forma de resolver uma subtração que exija procedimento de decomposição de uma unidade de ordem superior.

Algumas bases de conhecimento dos professores incluíam princípios básicos da matemática, como a base para compor uma unidade de ordem superior e operações inversas. O primeiro deles, é um princípio para a compreensão do sistema de numeração. Esse conceito não está relacionado apenas à subtração com reagrupamento, mas é base para a compreensão de outros sistemas de numeração, a exemplo do binário, em seus estudos posteriores. Para isso, o conceito irá aprofundar a compreensão de toda a disciplina.

O conceito de operações inversas é um princípio que é subjacente às relações entre operações matemáticas. Embora este conceito esteja relacionado com a aprendizagem da subtração conjuntamente com a sua operação inversa, a adição, está também na base para a aprendizagem das outras operações como multiplicação e divisão ou elevar um número à n-ésima potência e extrair sua n-ésima raiz, etc.

Esses dois princípios possibilitam relacionar as coisas que são estudadas de modo significativo. Entender a estrutura da disciplina para perceber de que forma os tópicos se relacionam.

Como consequência disso, os professores que ofereceram a seus alunos uma aprendizagem conceitual, estavam também preparando seus alunos para relacionar o que ora aprendiam com conceitos futuros.

Um entendimento conceitual da disciplina inclui também a compreensão de outra dimensão da estrutura da disciplina, atitudes perante a matemática. No tocante a isso, está o desenvolvimento de uma atitude diante da aprendizagem e a pesquisa, a construção de estimativas e os palpites, a produção da capacidade de resolver problemas por si próprios.

Ma (2009) relata que nenhum dos professores deram exemplo de atitudes perante a matemática nas bases de conhecimento que construíram, porém, vários deles mostraram conhecimento de atitudes gerais. Por exemplo, quando oferecem várias opções de reagrupamento, estão abordando uma questão matemática sob várias perspectivas. As discussões com os alunos quando solicitavam que eles explicassem suas maneiras de resolver problemas mostravam atitudes relativas à pesquisa matemática. E completa:

Para além disso, a intenção dos professores de fornecer provas matemáticas após levantarem uma questão, a sua confiança e capacidade de debater o tópico de um modo matemático e a sua intenção de promover um tal debate entre os seus alunos são exemplos de atitudes generalistas. De facto, embora não tivessem sido explicitamente incluídas como itens específicos na base de conhecimento de qualquer professor, as atitudes básicas em relação à matemática têm uma forte influência sobre o entendimento conceitual da matemática. (MA, 2009, p. 66).

Assim, um entendimento conceitual de um tópico por parte de um professor, segue um modelo que tem seu primeiro alicerce na estrutura da disciplina que contém os princípios básicos, sucedido pelas ideias matemáticas básicas, auxiliado por alguns tópicos procedimentais e outros tópicos conceituais e completo com o entendimento procedimental.

A autenticidade de um entendimento conceitual está no fato de que ele é apoiado por argumentos matemáticos. Por exemplo, os professores americanos que possuíam um entendimento conceitual desenvolveram o aspecto de reagrupar da operação. Muitos professores chineses afirmaram que o núcleo da subtração com reagrupamento estava na ideia de decompor uma unidade de ordem superior. Ambas afirmações de sustentam em argumentos matemáticos e revelam um entendimento conceitual do tópico.

Em sua conclusão, ela afirma que não há um modelo único de se identificar o entendimento conceitual, dependendo do professor, ele pode abordar de diferentes maneiras e explorar diferentes ideias para iniciar o estudo dessa forma. O que vai diferenciar o trabalho é a profundidade do conhecimento que ele possui.

Sabemos muito pouco sobre a qualidade e as características do entendimento conceptual dos professores. Pode acontecer que o poder matemático de um conceito dependa da sua relação com outros conceitos. Quanto mais perto um conceito está da estrutura da disciplina, mais relações pode ter com outros tópicos. Se um professor usa um princípio básico da disciplina para explicar a fundamentação lógica do procedimento da subtração com reagrupamento, ele ou ela dota essa explicação de um forte poder matemático. (MA, 2009, p. 68).