Bu bölümde 2008 y¬l¬nda O. Agratini’nin makalesinde tan¬mlanan e2 + e1 fonksi-yonunu koruyan Szasz operatörlerinin Sm; King tipli genelle¸stirmesi ele al¬nacakt¬r.
Öncelikle bu operatörlerin sa¼glad¬¼g¬, ilerleyen bölümlerde bize gerekli olacak baz¬
temel özellikler lemma olarak verilecektir. Bu bölümün ilk k¬sm¬nda Sm; King tipli genelle¸stirmesinin ¸sekil koruma özellikleri incelenecek, genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬ kullan¬larak klasik operatörler ile Sm; modi…ye edilmi¸s operatörlerin yak-la¸s¬m h¬zlar¬ kar¸s¬la¸st¬r¬lacakt¬r. Daha sonra Sm; operatörlerinin lokal yakla¸s¬m özellikleri ile ilgili teoremler üzerinde durulacak, a¼g¬rl¬kl¬uzaylarda Sm; operatör-lerinin ve türevoperatör-lerinin yakla¸s¬m özellikleri göz önüne al¬nacakt¬r. Operatörlerin nok-tasal yakla¸s¬m¬ aç¬s¬ndan önemli bir yere sahip olan Voronovskaja tipli teorem bu operatörler için göz önüne al¬nacakt¬r. CB[0;1) uzay¬nda klasik süreklilik modülü yard¬m¬yla Sm; genelle¸stirilmi¸s operatörlerin klasik Szasz-Mirakjan operatörleri ile yakla¸s¬m h¬zlar¬kar¸s¬la¸st¬r¬lacakt¬r. Son olarak belirli x; m ve de¼gerleri için hata tahmini tablosu verilecek ve Sm; King tipli operatörlerin f fonksiyonuna yakla¸s¬m¬
gra…k çizilerek de görülecektir.
2 [0; 1); f 2 C[0; 1) ve Sm; : C[0;1) ! C[0; 1) olmak üzere
Sm; (f ; x) = e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m ; x2 [0; 1); m 2 N (3.1)
¸seklinde tan¬mlan¬r. Burada rm; : [0;1) ! R fonksiyonu
rm; (x) = ( m + 1)
2m +
r( m + 1)2
4m2 + (x2+ x) ; x2 [0; 1); m 2 N (3.2)
¸seklinde tan¬mlanan bir fonksiyondur ve 2 [0; 1) için
0 rm; (x) x <1; x2 [0; 1); m 2 N
m!1lim rm; (x) = x; x2 [0; 1); m 2 N özellikleri sa¼glan¬r.
Sm; operatörler dizisi bir lineer ve pozitif operatör olup,
i) = 0 seçildi¼ginde 2007 y¬l¬nda tan¬mlanan (1.1) ile verilen Dm operatörlerine, ii) rm; (x) = x seçildi¼ginde (2.7) ile verilen klasik Szasz-Mirakjan operatörlerine dönü¸smektedir.
Sm; modi…ye edilmi¸s operatörleri için
Sm; (e2+ e1; x) = (e2 + e1) (x) e¸sitli¼gi sa¼glanmaktad¬r.
Lemma 3.1 (3.1) ile tan¬mlanan Sm; genelle¸stirilmi¸s Szasz operatörleri, Sm; (e0; x) = e0(x) ;
Sm; (e1; x) = rm; (x) ;
Sm; (e2; x) = (rm; (x))2+rm; (x)
m ; (3.3)
Sm; (e3; x) = (rm; (x))3+3 (rm; (x))2
m +rm; (x) m2 ; Sm; (e4; x) = (rm; (x))4+6 (rm; (x))3
m +7 (rm; (x))2
m2 + rm; (x) m3 e¸sitliklerini sa¼glar.
Lemma 3.2 m;j(x) = Sm; ((t x)j; x); m = 1; 2; :::olmak üzere (3.1) ile tan¬m-lanan Sm; genelle¸stirilmi¸s Szasz operatörleri için merkezil momentler,
m;1(x) = rm; (x) x ;
m;2(x) = (rm; (x) x)2+ rm; (x)
m ; (3.4)
m;3(x) = (rm; (x) x)3+ 3rm; (x) (rm; (x) x)
m +rm; (x)
m2 ;
m;4(x) = (rm; (x) x)4+ 6rm; (x) (rm; (x) x)2
m +rm; (x) (7rm; (x) 4x)
m2 + rm; (x)
m3
¸seklindedir.
Lemma 3.3 2 [0; 1) ve f 2 C[0; 1) olmak üzere lim
!1Sm; (f ; x) = Sm(f ; x)
yak¬nsamas¬herhangi bir kapal¬[0; a] [0;1) aral¬¼g¬nda düzgündür.
Ispat.· rm; fonksiyonu için
lim!1rm; (x) = x yak¬nsamas¬[0; a] aral¬¼g¬nda düzgün olaca¼g¬ndan,
lim
!1Sm; (f ; x) = Sm(f ; x) oldu¼gu kolayca görülebilir.
Lemma 3.4 (3.1) ile tan¬mlanan Sm; operatörlerinin, a 2 R+ olmak üzere [0; a]
kapal¬aral¬¼g¬nda sürekli ve tüm pozitif yar¬eksende s¬n¬rl¬olan f fonksiyonuna bu aral¬kta düzgün olarak yak¬nsar. Bir ba¸ska deyi¸sle f 2 C[0; a] için
Sm; (f ; x) f (x) ; x2 [0; a]; m 2 N gerçeklenir.
Ispat.· Korovkin teoremi gere¼gince
m!1lim Sm; (ei; x) = ei(x); i = 0; 1; 2 oldu¼gunu gösterirsek istenen elde edilecektir. Bilindi¼gi üzere
m!1lim rm; (x) = x; x2 [0; a]; m 2 N
yak¬nsamas¬düzgün oldu¼gundan Korovkin teoreminin ¸sartlar¬sa¼glan¬r ve böylece Sm; (f ; x) f (x) ; x2 [0; a]; m 2 N
oldu¼gu ispat edilir.
3.1 Sm; Operatörlerinin ¸Sekil Koruma Özelli¼gi
Bu kesimde [0; 1) aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ sürekli, reel de¼gerli f fonksiyonunun artan (azalan) veya konveks olmas¬durumunda King tipli Szasz-Mirakjan operatörlerinin hangi özellikleri sa¼glad¬¼g¬incelenecektir.
Lemma 3.5 2 [0; 1); f 2 C[0; 1) olmak üzere, Sm; operatörlerinin birinci ve ikinci türevleri,
a)
Sm;0 (f ; x) = mrm;0 (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m (3.5)
b)
Sm;00 (f ; x)
= mr00m; (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m (3.6)
+m2 r0m; (x) 2e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 2
m 2f s + 1
m + f s
m
¸seklindedir.
Ispat. a)· x 2 [0; 1) ; f 2 C [0; 1) ve m 2 N olmak üzere, Sm; operatörlerinin birinci türevini alal¬m.
Sm; (f ; x) = e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m olup,
Sm;0 (f ; x) = mrm;0 (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m
+mr0m; (x)e mrm; (x) X1
s=1
(mrm; (x))s 1 (s 1)! f s
m
¸seklindedir. ·Ikinci toplam¬s ! s + 1 için yazarsak,
Sm;0 (f ; x) = mrm;0 (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m +mr0m; (x)e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1 m
= mrm;0 (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m elde edilir.
b) Sm; operatörlerinin ikinci türevini düzenlersek,
Sm;00 (f ; x) = mrm;00 (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m m2 r0m; (x) 2e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m +m2 rm;0 (x) 2e mrm; (x)
X1 s=1
(mrm; (x))s 1
(s 1)! f s + 1
m f s
m bulunur. Üçüncü toplam¬s ! s + 1 için yazarsak,
Sm;00 (f ; x)
= mr00m; (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m m2 r0m; (x) 2e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m +m2 r0m; (x) 2e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 2
m f s + 1
m
= mr00m; (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m +m2 r0m; (x) 2e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 2
m 2f s + 1
m + f s
m elde edilir.
Teorem 3.1 x 2 [0; 1) ; f 2 C [0; 1) ve m 2 N olmak üzere,
i) E¼ger f artan bir fonksiyonsa, King tipli Sm; operatörleri de artand¬r.
ii) E¼ger f hem artan hem de konveks bir fonksiyon ise, Sm; genelle¸stirilmi¸s opera-törleri de konvekstir.
Ispat. i)·
rm; (x) = ( m + 1)
2m +
r( m + 1)2
4m2 + (x2+ x) ; x2 [0; 1); m 2 N oldu¼gundan rm; fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri,
rm;0 (x) = 1 2
(2x + ) r( m + 1)2
4m2 + (x2+ x) ve
rm;00 (x) = 1 2
( m + 1)2
4m2 + x2+ x
! 32
m + 1 2m2
¸seklinde olup pozitif fonksiyonlard¬r.
Buna göre (3.5) ifadesinden, f artan ise f s + 1
m f s
m 0 olup, rm; n¬n birinci türevi de pozitif oldu¼gundan King tipli Szasz-Mirakjan operatörlerinin de birinci türevi pozitif olacakt¬r. Buna göre Sm; operatörlerinin artan oldu¼gu görülür.
ii) Sm; operatörlerinin ikinci türevini incelersek, ikinci türevinde yer alan birinci toplam rm; n¬n ikinci türevinin pozitif olmas¬ndan ve f ’nin artanl¬¼g¬ndan dolay¬
pozitiftir. f konveks ise ikinci mertebeden bölünmü¸s farklar¬ pozitif olaca¼g¬ndan ikinci toplam da bundan dolay¬pozitif olup Sm; operatörlerinin de ikinci türevi de pozitif olarak bulunur. O halde Sm; genelle¸stirilmi¸s operatörleri konvekstir.
Lemma 3.6 2 [0; 1) ve m 2 N olmak üzere, Pm;s; (x) := e mrm; (x)(mrm; (x))s s!
fonksiyonu a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼glar.
i) Pm;s;0 (x) = mrm;0 (x) (Pm;s 1; (x) Pm;s; (x)) ; ii) rm; (x)Pm;s;0 (x) = r0m; (x) (s mrm; (x))Pm;s; (x):
Lemma 3.7 f 2 C [0; 1) ve rm; 2 [0; 1) =n s
m; s = 0; 1; :::o
olmak üzere,
Sm; (f ; x) f (rm; (x)) = rm; (x) m
X1 s=0
Pm;s; (x)f rm; (x); s
m;s + 1 m
dir. Burada a x0 < x1 < x2 < 1 olmak üzere f [x0; x1; x2], x0; x1 ve x2
noktalar¬n¬n bölünmü¸s fark¬d¬r.
Ispat.· (3.1) ile verilen Sm; operatörleri için,
Sm; (f ; x) f (rm; (x))
= e mrm; (x) X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f (rm; (x))
= e mrm; (x) X1 s=0
(mrm; (x))s s!
h f s
m f (rm; (x))i
¸seklinde olup, toplam¬olu¸sturan ifade s
m rm; ile çarp¬p bölündü¼günde, Sm; (f ; x) f (rm; (x))
= e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s s!
h f s
m f (rm; (x))i s
m rm; (x)
s
m rm; (x) yaz¬labilir. Bölünmü¸s fark tan¬m¬ndan
Sm; (f ; x) f (rm; (x)) = X1
s=0
s mrm; (x)
m Pm;s; (x)f h
rm; (x); s m
i
elde edilir. Lemma 3.6’n¬n i) ve ii) ¸s¬kk¬ndan
Sm; (f ; x) f (rm; (x)) = rm; (x) mr0m; (x)
X1 s=0
Pm;s;0 (x)f h
rm; (x); s m
i
= rm; (x) X1
s=0
(Pm;s 1; (x) Pm;s; (x)) fh
rm; (x); s m
i
olup,
Sm; (f ; x) f (rm; (x))
= rm; (x) X1
s=0
Pm;s 1; (x)fh
rm; (x); s m
i X1
s=0
Pm;s; (x)fh
rm; (x); s m
i!
bulunur. ·Ilk toplamda s ! s + 1 için, Sm; (f ; x) f (rm; (x))
= rm; (x) X1 s= 1
Pm;s; (x)f rm; (x);s + 1 m
X1 s=0
Pm;s; (x)fh
rm; (x); s m
i!
elde edilir. Klasik Szasz-Mirakjan operatörleri için Pm; 1(x) = 0oldu¼gundan s = 1 için Pm;s; (x) = 0 yaz¬labilir. O halde ilk toplam¬s¬f¬rdan ba¸slatabiliriz. Buna göre Sm; (f ; x) f (rm; (x)) = rm; (x)
X1 s=0
Pm;s; (x) f rm; (x);s + 1
m fh
rm; (x); s m
i
bulunur. Daha sonra 1
mf rm; (x); s
m;s + 1
m = f rm; (x);s + 1
m fh
rm; (x); s m
i
oldu¼gundan
Sm; (f ; x) f (rm; (x)) = rm; (x) m
X1 s=0
Pm;s; (x)f rm; (x); s
m;s + 1 m elde edilir.
Teorem 3.2 E¼ger f fonksiyonu azalan ve konveks bir fonksiyon ise, bu durumda x2 [0; 1) olmak üzere,
f (x) Sm; (f ; x) dir.
Ispat.· f fonksiyonu konveks bir fonksiyon ise ikinci mertebeden bölünmü¸s farklar¬
pozitiftir. Buna göre Lemma 3.7 den
f (rm; (x)) Sm; (f ; x) (3.7)
yaz¬labilir. Ayr¬ca rm; fonksiyonu için
0 rm; (x) x <1 olup, f azalan bir fonksiyon ise
f (x) f (rm; (x)) (3.8)
bulunur ki (3.7) ve (3.8) göz önüne al¬nd¬¼g¬nda istenen elde edilir.
Tan¬m 2.13 ile verilen genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬nda e¼ger u0(x) = e0(x) ve u1(x) = (x)seçilirse bu tan¬m,
1 1 1
(x0) (x1) (x2) f (x0) f (x1) f (x2)
0; a x0 < x1 < x2 b (3.9)
¸seklinde verilebilir. Bu durumda f fonksiyonuna k¬saca fonksiyonuna göre konveks-tir denir ve bu ko¸sulu sa¼glayan fonksiyonlar¬n s¬n¬f¬C (e0, ) ile gösterilir. Bu tan¬m ayn¬zamanda f 1 ifadesinin konveks olmas¬na denk gelir (Birou 2014).
Teorem 3.3 (Lm)m 1; C[a; b] uzay¬nda tan¬ml¬bir lineer pozitif operatörler dizisi ve
Lm(u0; x) = u0(x); x2 [c; d] (3.10) Lm(u1; x) = u1(x); x2 [c; d] (3.11) olsun. Buna göre f 2 C[a; b] \ C(u0; u1) olmak üzere,
Lm(f ; x) f (x); x2 [c; d] (3.12) ve a = c ve b = d oldu¼gunda
Lm(f ; a) = f (a); Lm(f ; b) = f (b) sa¼glan¬r.
Tersine (Lm)m 1; C[a; b] uzay¬nda tan¬ml¬ bir lineer pozitif operatörler dizisi ve f 2 C[a; b] \ C(u0; u1)olmak üzere (3.12) ko¸sulu sa¼gland¬¼g¬takdirde (3.10) ve (3.11) ko¸sullar¬da sa¼glan¬r (Ziegler 1968).
Uyar¬3.1 Tan¬m 2.13 ile verilen genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬ [0; 1) aral¬¼g¬
için de uygulanabilir oldu¼gundan Teorem 3.3 de [0; 1) aral¬¼g¬için geçerli olacakt¬r (Ziegler 1968).
Teorem 3.4 f 2 C [0; 1) ve Sm : C[0;1) ! C[0; 1) klasik Szasz-Mirakjan ope-ratörleri olmak üzere,
i) f konveks bir fonksiyon ise, bu durumda f (x) Sm(f ; x); m2 N ii) f konveks bir fonksiyon ise, bu durumda Sm+1(f ; x) Sm(f ; x); m2 N
iii)fartan bir fonksiyon ise (Sm)m 1artan; f azalan bir fonksiyon ise (Sm)m 1azaland¬r:
Teorem 3.5 f 2 CB[0;1) fonksiyonu artan ve (1; e2+ e1) konveks fonksiyon olsun. Bu durumda 2 [0; 1) olmak üzere,
f (x) Sm; (f ; x) Sm(f ; x); x2 [0; 1); m 2 N (3.13)
¸seklindedir.
Ispat.· f fonksiyonu (1; e2+ e1) konveks fonksiyon ise := e2+ e1
1 + olmak üzere ayn¬zamanda (1; ) konveks de olacakt¬r. Buna göre (3.9) ve Teorem 3.3’ten u0 = e0 ve u1 = e2+ e1
1 + al¬n¬rsa,
f (x) Sm; (f ; x) yaz¬labilir. f konveks bir fonksiyon ise, Teorem 3.4’ten
f (x) Sm(f ; x); x2 [0; 1); m 2 N elde edilir. konveks bir fonksiyon oldu¼gundan
(x) Sm( ; x)
bulunur. Sm( ; :)artan bir fonksiyon oldu¼gundan (Sm( ; :)) 1 de artan bir fonksiyon olup son e¸sitsizli¼gin her iki taraf¬na (Sm( ; :)) 1 uygulan¬rsa
(Sm( ; x)) 1 (x) (Sm( ; x)) 1 (Sm( ; x))
(Sm( ; x)) 1 (x) x (3.14)
elde edilir. Gerekli i¸slemler yap¬ld¬¼g¬nda
(Sm( ; x)) 1 (x) = rm; (x)
oldu¼gu görülür. Sm monoton bir operatör oldu¼gundan (3.14) ün her iki taraf¬na Sm(f ; :)operatörü uygulan¬rsa,
Sm; (f ; x) Sm(f ; x) bulunur. Bu da bizden istenendir.
3.2 Sm; Operatörleri için Lokal Yakla¸s¬m Özellikleri
Bu k¬s¬mda Sm; genelle¸stirilmi¸s operatörlerinin verilen bir f fonksiyonuna yak-la¸s¬m h¬z¬, klasik süreklilik modülü kullan¬larak hesaplanacakt¬r. Ayr¬ca Peetre K-fonksiyoneli yard¬m¬yla ikinci süreklilik modülüne geçilecek ve Sm; modi…ye ope-ratörleri için lokal yakla¸s¬m özelli¼gi ispatlanacakt¬r. Ayr¬ca tan¬mlanacak olan Lip-schitz s¬n¬f¬ndaki tüm f fonksiyonlar¬için de bir yakla¸s¬m h¬z¬elde edilecektir. Bu-rada kullan¬lacak olan CB[0;1) fonksiyon uzay¬n¬
CB[0;1) = ff 2 C[0; 1) : f s¬n¬rl¬g
¸seklinde tan¬mlayal¬m. CB[0;1) uzay¬üzerinde tan¬mlanan norm kfk[0;1) = sup
x2[0;1)jf(x)j
¸seklindedir. Ayr¬ca bu k¬s¬mda ad¬ geçen ikinci süreklilik modülü !2(f; ) olmak üzere, her f 2 CB[0;1) için
!2(f; ) = sup
0<h x2[0;1)
jf (x + 2h) 2f (x + h) + f (x)j ; > 0 (3.15)
¸seklinde tan¬mlan¬r ve klasik Peetre K-fonksiyoneli K (f; ) = inf
g2C2B[0;1)fkf gk + kg00kg (3.16) olup, (DeVore ve Lorentz 1993) de yer alan Teorem 2.4’ten de görülece¼gi üzere C > 0 sabiti için,
K (f; ) C!2 f;p
(3.17) özelli¼gine sahiptir. Ayr¬ca bu k¬s¬mda LipM( ) ile gösterilen uzay, M herhangi bir pozitif sabit ve 0 < 1 olmak üzere
LipM( ) :=
(
f 2 C[0; 1) : jf(t) f (x)j M jt xj
(t + x) =2; x; t2 (0; 1) )
(3.18)
¸seklinde al¬nacakt¬r.
Teorem 3.6 f 2 CB[0;1) ve ! (f; :) (2.5) ile verilen klasik süreklilik modülü ol-mak üzere, Sm; genelle¸stirilmi¸s Szasz-Mirakjan operatörleri için,
jSm; (f ; x) f (x)j 2! f; m;x (3.19) sa¼glan¬r. Burada m;x:= (Sm; (t x)2; x)1=2 ¸seklindedir.
Ispat.· (3.1) ile verilen Sm; operatörleri için,
Sm; (f ; x) f (x)
= e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m e mrm; (x) X1 s=0
(mrm; (x))s s! f (x)
= e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x) olup her iki taraf¬n mutlak de¼geri al¬n¬rsa,
jSm; (f ; x) f (x)j = e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x) e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x) bulunur. Süreklilik modülünün (vi) numaral¬özelli¼ginden
jSm; (f ; x) f (x)j e mrm; (x) X1 s=0
(mrm; (x))s
s! 1 +
s
m x !
! (f; )
=
"
1 + 1
e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s s!
s
m x
#
! (f; )
yaz¬labilir. Son e¸sitsizlikte yer alan toplama Cauchy-Schwarz e¸sitsizli¼gi uygulan¬rsa
jSm; (f ; x) f (x)j
! (f; ) 1 + 1 e mrm; (x)P1
s=0
(mrm; (x))s s!
1=2
e mrm; (x)P1
s=0 s
m x 2 (mrm;s!(x))s
1=2!
= ! (f; ) 1 +1
(Sm; t x)2; x 1=2
elde edilir. Buna göre = m;x= (Sm; (t x)2; x)1=2 seçilirse jSm; (f ; x) f (x)j 2! f; n;x bulunur.
Teorem 3.7 x2 [0; 1) ve f 2 CB[0;1) olmak üzere, Sm; genelle¸stirilmi¸s Szasz-Mirakjan operatörleri için,
jSm; (f ; x) f (x)j C!2 f;
q
(4x + ) (x rm; (x)) + ! (f; x rm; (x))
¸seklindedir.
Ispat.· Öncelikle m; : CB[0;1) ! CB[0;1) olmak üzere
m; (f ; x) = Sm; (f ; x) f (rm; (x)) + f (x)
¸seklinde yeni bir yard¬mc¬operatör tan¬mlayal¬m. Buna göre
m; (t x; x) = Sm; (t x; x) (rm; (x) x)
= rm; (x) x rm; (x) + x
= 0
bulunur. x 2 [0; 1) ve g 2 CB2 [0;1) için g fonksiyonunun Taylor formülünden
g(t) = g(x) + (t x) g0(x) + Zt
x
(t u) g00(u)du; t2 [0; 1)
yaz¬labilir. E¸sitli¼gin her iki taraf¬na m; operatörü uygulan¬rsa
m; (g; x) = g(x) m; (1; x) + m; ((t x) g0(x); x) + m;
0
@ Zt
x
(t u) g00(u)du; x 1 A
= g(x) + m;
0
@ Zt
x
(t u) g00(u)du; x 1 A
bulunur. m; operatörünün tan¬m¬ndan
m; (g; x) g(x) = Sm;
0
@ Zt
x
(t u) g00(u)du; x 1 A
rm;Z (x)
x
(rm; (x) u) g00(u)du
elde edilir. Her iki taraf¬n mutlak de¼geri al¬n¬rsa
j m; (g; x) g(x)j Sm;
0
@ Zt
x
(t u) g00(u)du; x 1 A +
rm;Z (x)
x
(rm; (x) u) g00(u)du
Sm;
0
@ Zt
x
j(t u)j jg00(u)j du; x 1 A +
rm;Z (x)
x
j(rm; (x) u)j jg00(u)j du
olur. Di¼ger taraftan Zt
x
j(t u)j jg00(u)j du (t x)2 2 kg00k
rm;Z (x)
x
j(rm; (x) u)j jg00(u)j du (rm; (x) x)2 2 kg00k olup,
j m; (g(t); x) g(x)j Sm; (t x)2; x + (rm; (x) x)2 kg00k 2
Sm; (t x)2+ t t; x + (rm; (x) x)2 kg00k 2
3x2+ x (2x + )rm; (x) 2xrm; (x) + (rm; (x))2 kg00k 2 2 (4x + ) (x rm; (x))kg00k
elde edilir. Buna göre,
jSm; (f ; x) f (x)j
j m; (f g; x)j + jg(x) f (x)j + j m; (g; x) g(x)j + jf(x) f (rm; (x))j 2 (kf gk + (4x + ) (x rm; (x)kg00k) + jf(x) f (rm; (x))j
olup g 2 CB2 [0;1) üzerinden in…mum al¬n¬rsa,
jSm; (f ; x) f (x)j 2K (f ; (4x + ) (x rm; (x)) + ! (f; x rm; (x)) jSm; (f ; x) f (x)j C!2 f;
q
(4x + ) (x rm; (x)) + ! (f; x rm; (x))
bulunur. Bu da bizden istenendir.
Lemma 3.8 Her x 2 [0; 1) için, X1
s=0
js mxj(mrm; (x))s
s! m2(2x + ) (x rm; (x)) 1=2emrm; (x)
¸seklindedir.
Ispat.· Her x 2 [0; 1) için, X1
s=0
(s mx)2 (mrm; (x))s s!
= X1
s=0
s2(mrm; (x))s
s! 2mx
X1 s=0
s(mrm; (x))s
s! + m2x2 X1
s=0
(mrm; (x))s s!
= m2Sm; t2; x 2m2xSm; (t; x) + m2x2Sm; (1; x) emrm; (x)
= m2Sm; t2+ t; x 2m2xSm; (t; x) m2 Sm; (t; x) + m2x2Sm; (1; x) emrm; (x)
= m2 x2+ x 2m2xrm; (x) m2 rm; (x) + m2x2 emrm; (x)
= m2(2x + ) (x rm; (x)) emrm; (x) (3.20)
yaz¬l¬r. Buna göre a¸sa¼g¬da verilen toplamda Cauchy-Schwarz e¸sitsizli¼gi ve (3.20)
ifadesinin kullan¬lmas¬yla, X1
s=0
js mxj(mrm; (x))s s!
X1 s=0
(s mx)2 (mrm; (x))s s!
!1=2 X1
s=0
(mrm; (x))s s!
!1=2
= m2(2x + ) (x rm; (x)) 1=2emrm; (x)
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 3.8 f 2 LipM( ) ve x 2 (0; 1) için,
jSm; (f ; x) f (x)j M 2x +
x (x rm; (x))
=2
dir.
Ispat.· Kabul edelim ki = 1 ve x 2 (0; 1) olsun. f 2 LipM(1) ise bu durumda,
jSm; (f ; x) f (x)j
= e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s s! f (x) e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x)
M e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s s!
s
m x
s m + x
1=2
= M
pme mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s s!
js mxj (s + mx)1=2 M
mp
xe mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! js mxj M
mp
xe mrm; (x) m2(2x + ) (x rm; (x)) 1=2emrm; (x)
= M (2x + )
x (x rm; (x))
1=2
elde edilir. Böylece = 1 için ispat gerçeklenir.
Kabul edelim ki 2 (0; 1) olsun. Buna göre,
jSm; (f ; x) f (x)j e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x)
= X1
s=0
e mrm; (x)(mrm; (x))s
s! f s
m f (x) 1= e mrm; (x)(mrm; (x))s s!
1
olup son e¸sitsizli¼ge Hölder e¸sitsizli¼gi uygulan¬p p = 1
ve q = 1
1 olarak al¬n¬rsa,
jSm; (f ; x) f (x)j e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x) 1=
!
elde edilir. f 2 LipM( ) oldu¼gundan,
jSm; (f ; x) f (x)j M 0
B@e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s s!
s
m x
s m + x
1=2
1 CA
M e m rm; (x) 1 mp
x X1
s=0
(mrm; (x))s
s! js mxj
!
M e m rm; (x) (2x + )
x (x rm; (x))
=2
em rm; (x)
= M (2x + )
x (x rm; (x))
=2
bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 3.9 f : [0;1) ! R fonksiyonu reel de¼gerli, sürekli ve s¬n¬rl¬bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu da
f (z) = f z2 ; z 2 [0; 1) (3.21)
¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda 2 [0; 1) için,
jSm; (f ; x) f (x)j 2! f ; r2
m +
m + 1
!
; x2 [0; 1); m 2 N
biçimindedir. Ayr¬ca f düzgün sürekli oldu¼gunda Sm; lineer pozitif operatörler dizisi de [0; 1) aral¬¼g¬nda f fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsar.
Ispat.· f fonksiyonunun (3.21) ile verilen tan¬m¬ndan
Sm; (f (t); x) = Sm; f (p t); x
yaz¬labilir. Buna göre,
jSm; (f ; x) f (x)j = Sm; f p
t ; x f p
x
= Sm; f p
t f p
x ; x Sm; f p
t f p
x ; x
olup, f fonksiyonunun süreklilik modülünün özelli¼ginden
jSm; (f ; x) f (x)j
Sm; ! f ; p
t p
x ; x
= Sm; ! f ;
pt p x Sm; p
t p
x ; x Sm; p
t p
x ; x
!
; x
!
Sm;
1 +
pt p x Sm; p
t p
x ; x
!
! f ; Sm; p
t p
x ; x ; x
!
= ! f ; Sm; p
t p
x ; x Sm; (1; x) +Sm;
pt p x ; x Sm; p
t p
x ; x
!
= 2! f ; Sm; p
t p
x ; x
bulunur. Sm;
pt p
x ; x terimi düzenlenirse,
Sm; p
t p
x ; x = Sm; jt xj pt +px; x p1
xSm; (jt xj ; x)
olup son ifadeye Cauchy Schwarz e¸sitsizli¼gi uygulan¬rsa,
Sm; p
t p
x ; x 1
px Sm; (t x)2; x 1=2
elde edilir. Di¼ger taraftan
Sm; (t x)2; x = Sm; t2 2xt + x2; x
= Sm; t2+ t; x (2x + ) Sm; (t; x) + x2Sm; (1; x)
= x2+ x (2x + ) rm; (x) + x2
= (2x + ) (x rm; (x))
¸seklinde olup rm; fonksiyonunun tan¬m¬ndan x rm; (x) = x + ( m + 1)
2m
r( m + 1)2
4m2 + (x2+ x)
=
x + ( m + 1) 2m
2 ( m + 1)2
4m2 (x2+ x) x +( m + 1)
2m +
r( m + 1)2
4m2 + (x2+ x)
= x
m x + ( m + 1)
2m +
r( m + 1)2
4m2 + (x2+ x)
!
x m x + m + 1
m
= x
mx + m + 1 bulunur. Buna göre,
Sm; p
t p
x ; x 1
px Sm; (t x)2; x 1=2 p1
x
r x
mx + m + 1
p2x +
=
r 2x +
mx + m + 1
=
r 2x
mx + m + 1+
mx + m + 1 r2
m +
m + 1 olup,
jSm; (f ; x) f (x)j 2! f ; r2
m +
m + 1
!
elde edilir. f düzgün sürekli oldu¼gunda, lim!0! (f ; ) = 0olaca¼g¬ndan Sm; lineer pozitif operatörler dizisi f fonksiyonuna [0; 1) aral¬¼g¬nda düzgün olarak yak¬nsar.
3.3 Sm; Operatörleri için A¼g¬rl¬kl¬Yakla¸s¬m Özellikleri
Sm; King tipli Szasz-Mirakjan operatörlerinin a¼g¬rl¬kl¬ yakla¸s¬m özellikleri ince-lenirken, a¼g¬rl¬k fonksiyonu '(x) = x olmak üzere (x) = 1 + x2 fonksiyonu
olarak al¬nacakt¬r. O halde B ve C uzaylar¬buna göre yeniden tan¬mlan¬rsa, C[0;1) = ff : f; [0; 1) da s•ureklig
ve Mf; f fonksiyonuna ba¼gl¬pozitif bir sabit olmak üzere,
B2[0;1) = f : f; [0; 1) •uzerinde tan{ml{ ve jf(x)j Mf 1 + x2 C2[0;1) uzay¬,
C2[0;1) = B2[0;1) \ C[0; 1) ve f 2 C2[0;1) için
C2[0;1) = f : f 2 C2[0;1) ve lim
x !1
jf(x)j
1 + x2 = kf <1
olmak üzere, bu ¸sekilde tan¬mlanan fonksiyon uzaylar¬n¬ göz önüne alaca¼g¬z. Bu uzaylar üzerindeki norm ise,
kfk2 = sup
x2[0;1)
jf(x)j 1 + x2
¸seklindedir.
Teorem 3.10 f 2 C2[0;1) olmak üzere, her x 2 [0; 1) ve yeterince büyük m ler için,
sup
x2[0;1)
jSm; (f ; x) f (x)j
(1 + x2)5=2 C (f; 1 pm) biçimindedir. Burada C ; say¬s¬na ba¼gl¬pozitif bir sabittir.
Ispat.· f 2 C2[0;1) ve (3.1) ile verilen Sm; operatörleri için, jSm; (f ; x) f (x)j = e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x) e mrm; (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m f (x)
olup Lemma 2.5 ile verilen a¼g¬rl¬kl¬süreklilik modülünün sa¼glad¬¼g¬v) özelli¼ginden jSm; (f ; x) f (x)j
2(1 + x2)(1 + 2) (f; )e mrm; (x)P1
s=0
(mrm; (x))s
s! 1 + 1 ms x 1 + ms x 2
= 2(1 + x2)(1 + 2) (f; )e mrm; (x) P1
s=0
(mrm; (x))s
s! 1 + ms x 2+ 1 s
m x + 1 ms x ms x 2
olup e¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda bulunan toplam¬n içinde yer alan ifadelere Cauchy-Schwarz e¸sitsizli¼gi uygulan¬rsa,
jSm; f (x) f (x)j (3.22)
2(1 + x2)(1 + 2) (f; ) 1 + m;2(x) + 1 m;2(x) 1=2+ 1 m;2(x) m;4(x) 1=2 elde edilir.
m;2(x) = (2x + ) (x rm; (x))
(2x + ) x
mx + m + 1 ve
m;4(x) = m4(16x4+ 32x3 + 24x2 2+ 8x 3+ 4) 2m4
m3(8x3+ 12x2 + 6x 2+ 3)p
1 + 2m + m2(2x + )2
2m4 + o(1)
oldu¼gu bilinmektedir. Buna göre (3.22) ile verilen e¸sitsizlik (1 + x2)5=2 ile bölünüp her iki taraf¬n supremumu al¬n¬rsa,
jSm; (f ; x) f (x)j
(1 + x2)5=2 2(1 + 2) (f; ) 1 + 1
m +1 1
pm +1 1 pmC
elde edilir. Burada C ; say¬s¬na ba¼gl¬ pozitif bir sabit olup, = p1m seçilirse yeterince büyük m ler için
sup
x2[0;1)
jSm; (f ; x) f (x)j
(1 + x2)5=2 C (f; 1 pm) bulunur. Böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 3.11 f; f0 2 C2[0;1) olmak üzere, Sm;0 (f ; x) = e mrm; (x)rm;0 (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f0 s + s
m ; 0 < s < 1
¸seklindedir.
Ispat.· Lemma 3.5’ten,
Sm;0 (f ; x) = me mrm; (x)r0m; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s + 1
m f s
m
oldu¼gu bilinmektedir. Buna göre x1 = ms ve x2 = s+1m noktalar¬ndaki bölünmü¸s fark tan¬m¬ndan
f s + 1
m f s
m = 1
mf s
m;s + 1 m yaz¬labilir. Buna göre
Sm;0 (f ; x) = e mrm; (x)rm;0 (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f s
m;s + 1 m
bulunur. f fonksiyonunun x1 = ms ve x2 = s+1m noktalar¬ndaki bölünmü¸s fark¬, f s
m;s + 1
m = f0( ) ; s
m < < s + 1 m e¸sitli¼gini sa¼glar. O halde := s + s
m ¸seklinde tan¬mlan¬rsa, 0 < s< 1 olup, Sm;0 (f ; x) = e mrm; (x)rm;0 (x)
X1 s=0
(mrm; (x))s
s! f0 s + s
m ; 0 < s < 1 elde edilir.
Teorem 3.12 f 2 C[0; 1) fonksiyonu s¬n¬rl¬ve sürekli türevlere sahip bir fonksiyon ve f0 2 LipM olsun. Bu durumda
m!1lim sup
x2[0;1)
Sm;0 (f ; x) f0(x) 1 + x +1 = 0
¸seklindedir.
Ispat.· Sm;0 (f ; x) f0(x)ifadesine f0(rm; (x))r0m; (x)eklenip ç¬kart¬l¬p her iki taraf¬n mutlak de¼geri al¬nd¬¼g¬nda,
Sm;0 (f ; x) f0(x) = Sm;0 (f ; x) f0(rm; (x))rm;0 (x) + f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x) Sm;0 (f ; x) f0(rm; (x))rm;0 (x) + f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x) elde edilir. Son e¸sitsizli¼ge Teorem 3.11 uyguland¬¼g¬nda,
Sm;0 (f ; x) f0(x) r0m; (x)e mrm; (x) X1
s=0
(mrm; (x))s
s! f0 s + k
m f0(rm; (x)) + f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x)
elde edilir. f0 2 LipM oldu¼gundan
Sm;0 (f ; x) f0(x) M rm;0 (x)e mrm; (x) X1
s=0
s + k
m rm; (x) (mrm; (x))s s!
+ f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x) bulunur. k< 1 oldu¼gundan,
Sm;0 (f ; x) f0(x) M r0m; (x)e mrm; (x) X1
s=0
s + 1
m rm; (x) (mrm; (x))s s!
+ f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x)
yaz¬labilir. Son e¸sitsizlikte toplam¬n içerisindeki ifadeye Hölder e¸sitsizli¼gi uygu-lan¬rsa,
Sm;0 (f ; x) f0(x) M r0m; (x)Sm; t + 1
m rm; (x)
2
; x
!2
+ f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x)
= M r0m; (x) Sm; (t rm; (x))2; x + 2
mSm; (t rm; (x); x) + 1 m2
2
+ f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x) :
elde edilir. E¸sitsizli¼gin her iki taraf¬1 + x +1 ile bölündü¼günde, Sm;0 (f ; x) f0(x)
1 + x +1 M r0m; (x)
1 + x +1 Sm; (t rm; (x))2; x + 2
mSm; (t rm; (x); x) + 1 m2
2
+ f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x) 1 + x +1
bulunur. Buna göre m ! 1 durumunda
sup
x2[0;1)
r0m; (x)Sm; (t rm; (x))2; x 2
1 + x +1 = sup
x2[0;1)
r0m; (x) (rm; (x))2 (1 + x +1) m2
1 m2 ! 0 olur. Di¼ger taraftan,
f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x) = (f0(rm; (x)) f0(x)) rm;0 (x) f0(x) 1 rm;0 (x) olup f0 2 LipM oldu¼gundan,
jf0(rm; (x)) f0(x)j Mjrm; (x) xj
bulunur. Ayn¬zamanda Mf = maxfjf0(0)j ; Mg olmak üzere t = 0 için, jf0(x)j jf0(0)j + Mx Mf 1 + x
yaz¬labilir. Buna göre, f0(rm; (x))rm;0 (x) f0(x)
1 + x +1
jf0(rm; (x)) f0(x)j
1 + x +1 rm;0 (x) + jf0(x)j
1 + x +1 1 r0m; (x) Mjrm; (x) xj
1 + x +1 + jf0(x)j
1 + x +1 1 r0m; (x)
M x
(1 + x +1) ( m + 1) + Mf 1 + x
1 + x +1 1 rm;0 (x) M
( m + 1) + Mf 1
2
2
m + 1 m2 bulunur. Böylece yeterince büyük m ler için
m!1lim sup
x2[0;1)
Sm;0 (f ; x) f0(x) 1 + x +1 = 0 elde edilir.
3.4 Sm; Operatörleri için Voronovskaya Tipli Teorem
Yakla¸s¬m teorisindeki ana problemlerden birisi lineer pozitif operatörler dizisinin f fonksiyonuna yak¬nsama h¬z¬n¬n belirlenmesidir. Bu durumla alakal¬(Lm)m 1lineer pozitif operatörler dizisi olmak üzere
m!1lim m (Lm(f ; x) f (x))
limiti bize yard¬mc¬ olmaktad¬r. Bu formül (Lm)m 1lineer pozitif operatörlerinin asimptotik davran¬¸s¬hakk¬nda bilgi verir ve Voronovskaja formülü olarak bilinir.
Voronovskaja teoremi ilk olarak 1932 y¬l¬nda E. V. Voronovskaja’n¬n birçok bilimsel çal¬¸sman¬n oda¼g¬haline gelen Bernstein polinomlar¬için bu teoremi ispat etmesiyle ortaya ç¬km¬¸st¬r (Voronovskaja 1932). Bu elde edilen sonuç ilerleyen zamanlarda birçok bilim adam¬n¬n ilgisi çekmi¸s ve birbirinden farkl¬operatör dizileri için de bu teorem ispatlanm¬¸st¬r. Voronovskaja teoreminin genelle¸stirilmi¸s durumlar¬olan bu teoremlerin hepsi Voronovskaja tipli teoremler olarak adland¬r¬l¬r. Biz de bu k¬s¬mda
King tipli Szasz-Mirakjan operatörleri için Voronovskaja tipli teoremi ispatlayaca¼g¬z.
Öncelikle ispat için gerekli olan lemmalar¬göz önüne alal¬m.
Lemma 3.9 (3.1) ile verilen Sm; operatörleri için,
m2Sm; (e4; x) = 1 m 5m2 2 m3(10x2 + 10x 2+ 2 3) 2m2
+m4(2x4+ 4x3 + 6x2 2+ 4x 3+ 4) 2m2
m3(2x2 + 2x 2+ 3)p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m2
+m2(4x2+ 4x + 3 2)p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m2
+( 1 + 2m )p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m2
m2Sm; (e3; x) = 1 + 2m + m2(3x2+ 3x ) m3(3x2 + 3x 2+ 3) 2m
+m2(x2+ x + 2)p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m
(m + 1)p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m
m2Sm; (e2; x) = 1
2 m + m2(2x2+ 2x + 2) mp
1 + 2m + m2(2x + )2
m2Sm; (e1; x) = 1
2m (1 + m ) +1 2mp
1 + 2m + m2(2x + )2:
¸seklindedir.
Lemma 3.10 (3.1) ile verilen Sm; operatörleri için,
m!1lim m2 m;4(x) = 3x2 ; m 2 N; x 2 [0; a] ; a > 0
yak¬nsamas¬düzgündür.
Ispat.· (3.2) ile verilen rm; fonksiyonunun tan¬m¬ndan ve (3.4) ile verilen Sm;
operatörlerinin dördüncü merkezil momentinden, m2 m;4(x)
= m2 Sm; (e4; x) 4xSm; (e3; x) + 6x2Sm; (e2; x) 4x3Sm; (e1; x) + x4Sm; (e0; x)
= m4(16x4+ 32x3 + 24x2 2+ 8x 3+ 4) 2m2
m3(8x3 + 12x2 + 6x 2+ 3)p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m2
m3(8x3 + 16x2 + 10x 2 + 2 3) 2m2
+m2(4x2+ 8x + 3 2)p
1 + 2m + m2(2x + )2 2m2
m2 (8x + 5 )
2m2 +2m(2x + )p
1 + 2m + m2(2x + )2
2m2 + o(1)
elde edilir. Buradan m ! 1 için limit al¬n¬rsa,
m!1lim m2 m;4(x) = (8x3+ 12x2 + 6x 2+ 3)
4(2x + ) +(8x3+ 12x2 + 6x 2+ 3) 2 4(2x + )3
+(4x2+ 8x + 3 2) 2(2x + )
(8x + 5 2)
2 + (2x + )2
= 3x2 bulunur.
Teorem 3.13 f 2 C2[0;1) olsun. E¼ger f0; f002 C2[0;1) ise,
m!1lim 2m (Sm; (f ; x) f (x)) = x f00(x) 2
2x + f0(x) ; x2 [0; 1)
¸seklindedir.
Ispat.· f; f0 ve f00 2 C2[0;1) olsun. (:; x) 2 C2[0;1) olmak üzere,
(t; x) = 8>
>>
<
>>
>:
f (t) f (x) (t x) f0(x) 1
2(t x)2f00(x)
(t x)2 ; t 6= x
0 ; t = x
¸seklinde tan¬mlanan (:; x) fonksiyonu için, limt!x (t; x) = (x; x) = 0bulunur.
f foksiyonunun x noktas¬ndaki Taylor aç¬l¬m¬ndan, f (t) = f (x) + (t x) f0(x) + 1
2(t x)2f00(x) + (t x)2 (t; x) elde edilir. E¸sitli¼gin her iki taraf¬na Sm; operatörleri uyguland¬¼g¬nda
Sm; (f ; x)
= f (x) + Sm; ((t x) ; x) f0(x) + 1
2Sm; (t x)2; x f00(x) +Sm; (t x)2 (t; x) ; x
bulunur. Son e¸sitlik düzenlendi¼ginde 2m (Sm; (f ; x) f (x))
= 2m m;1(x)f0(x) + m m;2(x)f00(x) + 2mSm; (t x)2 (t; x) ; x olur. Lemma 3.2’de (3.4) ile verilen e¸sitliklerden,
2m (Sm; (f ; x) f (x))
= 2m (rm; (x) x) f0(x) + m ( + 2x) (x rm; (x)) f00(x) +2mSm; (t x)2 (t; x) ; x
yaz¬l¬r. E¸sitli¼gin sa¼g taraf¬nda yer alan ikinci toplama Cauchy-Schwarz e¸sitsizli¼gi uygulan¬rsa,
m Sm; (t x)2 (t; x) ; x mSm; (t x)2 (t; x) ; x (3.23) m2Sm; (t x)4; x 1=2 Sm; 2(t; x) ; x 1=2 elde edilir. (t; x) := 2(t; x) olarak tan¬mlan¬rsa, (:; x) 2 C2[0;1) ve (x; x) = 0oldu¼gu aç¬kt¬r. Buna göre,
m!1lim Sm; 2(t; x) ; x = lim
m!1(Sm; ( (t; x) ; x)) = (x; x) = 0 (3.24) olup, (3.23), (3.24) ve Lemma 3.10 göz önüne al¬nd¬¼g¬nda,
m!1lim mSm; (t x)2 (t; x) ; x = 0 bulunur. Di¼ger taraftan
m!1lim 2m m;1(x) = lim
m!12m (rm; (x) x) = 2x ( + 2x)
ve
m!1lim 2m m;2(x) = lim
m!12m(Sm; t2; x 2xSm; (t; x) + x2Sm; (1; x))
= lim
m!12m(Sm; t2+ t; x ( + 2x) Sm; (t; x) + x2)
= lim
m!12m x2+ x ( + 2x) rm; (x) + x2
= lim
m!12m ( + 2x) (x rm; (x))
= 2x:
elde edilir. Buna göre,
m!1lim 2m (Sm; f (x) f (x)) = 2x
2x + f0(x) + xf00(x)
= x f00(x) 2
2x + f0(x)
¸seklinde bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
3.5 Sm; Operatörleri ·Ile Sm Operatörlerinin Kar¸s¬la¸st¬r¬lmas¬
Bu k¬s¬mda Sm; operatörleri ile Sm klasik Szasz-Mirakjan operatörlerinin yak¬nsak-l¬k h¬zlar¬kar¸s¬la¸st¬r¬l¬p, genelle¸stirilmi¸s Sm; operatörlerinin en az¬ndan klasik Szasz-Mirakjan operatörleri kadar iyi bir yakla¸s¬m derecesine sahip oldu¼gu göste-rilecektir.
Elde edilen bu sonuçlar Mathematica program¬yard¬m¬yla çizilen gra…kler ve hata tahmini tablosuyla desteklenecektir.
f 2 CB[0;1) olsun. !(f; ), f fonksiyonunun (2.5) ile gösterilen klasik süreklilik modülü olmak üzere, Sm klasik Szasz-Mirakjan operatörleri ile Sm; genelle¸stirilmi¸s operatörleri için 21(x) := ( m;x)2 = x
m ve 22(x) = m;x 2 := (2x + )(x rm; (x)) olmak üzere
jSm(f ; x) f (x)j 2!(f ; 1(x)) jSm; (f ; x) f (x)j 2!(f; 2(x)) e¸sitsizliklerini sa¼glad¬¼g¬bilinmektedir.
Teorem 3.14 f 2 CB[0;1) olmak üzere,
2(x) 1(x); x2 [0; 1); m 2 N;
sa¼glan¬r. Buna göre Sm; operatörler dizisi Sm operatörler dizisine göre daha iyi bir yakla¸s¬m h¬z¬na sahiptir.
Ispat.· f 2 CB[0;1) olsun. Sm; operatörler dizisinin Sm operatörler dizisine göre daha iyi bir yakla¸s¬m h¬z¬na sahip oldu¼gunu göstermek için
2x2+ x rm; (x)(2x + ) x m e¸sitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬n¬göstermek yeterli olacakt¬r.
Km; (x) = 2x2+ x rm; (x)(2x + ) x m
olmak üzere, x 2 [0; 1); 2 [0; 1) ve m 2 N için tek kök x = 0 olacakt¬r.
Ayr¬ca, incelendi¼ginde Km; fonksiyonunun (0; 1) aral¬¼g¬nda hiçbir zaman i¸saret de¼gi¸stirmeyece¼gi görülür.
Km; (0) = 0; Km;0 (x) < 0
oldu¼gundan denilebilir ki x 2 [0; 1) için 2x2+ x rm; (x)(2x+ ) x
m yani 2(x)
1(x) gerçeklenir. Bu da Sm; operatörler dizisinin en az¬ndan Sm operatörler dizisi kadar iyi bir yakla¸s¬m h¬z¬na sahip oldu¼gunu gösterir.
Çizelge 3.1 Sm; operatörleri için hata tahmini
x = 0:4 x = 1:4
m jSmf (x) f (x)j jSm; f (x) f (x)j jSmf (x) f (x)j jSm; f (x) f (x)j 10 0.0468336698 0.0375967050 0.0203100570 0.0537005069 5 10 0.0092123506 0.0077163644 0.0110346895 0.0064570429 102 0.0045935731 0.0038696597 0.0059801731 0.0029304256 5 102 0.0091660108 0.0077573845 0.0012709342 0.0005373666 103 0.0004581653 0.0003879811 0.0006401746 0.0002656061 5 103 0.0000916113 0.0000776141 0.0001287889 0.0000526278 104 0.0000458043 0.0000388081 0.0000644416 0.0000262830
Örnek 3.1 f (x) = x2sin x olsun. = 2, m say¬lar¬ da çizelgede verildi¼gi gibi seçildi¼ginde ele al¬nan belirli x de¼gerleri için Sm; operatörleri ile yakla¸s¬m¬n hata tahmini gösterilmi¸stir. Çizelge 3.1 incelendi¼ginde sabit tutulup, m de¼gerleri art-t¬r¬ld¬¼g¬nda Sm; operatörlerinin f fonksiyonuna yakla¸s¬m¬n¬n klasik operatörden daha iyi oldu¼gu görülmektedir.
Örnek 3.2 f (x) = x2sin xolmak üzere = 2; n = 10; n1 = 20ve n2 = 30olmak üzere Sm; operatörlerinin f fonksiyonuna yakla¸s¬m¬¸sekil 3.1 de gösterilmi¸stir.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60
0 2 4 6 8 10
y
x f(x)
Sn
2,α(x) Sn
1,α(x) Sn, α(x) Sn(x)
¸
Sekil 3.1 Sm; operatörlerinin f fonksiyonuna yakla¸s¬m¬