• Sonuç bulunamadı

GENEL BİR DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİNİN ÇÖZÜM YOLLARI

I. GENEL DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ

5. GENEL BİR DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİNİN ÇÖZÜM YOLLARI

Bir doğrusal probleminde, Xi (i = 1, 2,... n) değişkenlerinin (16) şeklindeki sınır şartlarını sağlıyan değerleri veren setine çözüm denirdi.

Genel bir doğrusal programlama problemi için değişik çözüm teknikleri geliştirilmeye çalışılmıştır. Ancak temel olarak iki yoldan çözülebilir.

Bunlar; grafik v e simpleks çözüm tenkiğidir.

30 Dantzing a.g.e., s. 32.

31 Bakınız: Tuncer Bulutay, Doğrusal Programlama, Ankara Üniversitesi Basımevi, 1965, s. 92.

5.1. Grafik Çözüm

Doğrusal programlama probleminin iki ve üç değişkenli olanlarını grafikle geometrik olarak çözmek mümkündür. Ancak üç değişkenlinin grafikle çözümü biraz daha güçtür. Çünkü her sınıılayıcı şart uzayda bir düzlem meydana getirir. Uygun çözüm alanı bu düzlemlerin meydana getirdiği çok yüzlü bir şekildir (polyhedran). Amaç fonksiyonu da .bir düzlemdir. Optimal çözüm Xİ 5 X2, X3 kombinasyonlarından maksimum kâr veren ııokta olacaktır.32 Optimal çözüm her noktanın verdiği kâr ayrı ayrı hesaplanarak bulunur.

İki değişkenli grafik çözüm kısaca verilecektir. Çünkü doğrusal programlamanın geometrik olarak açıklanması, bazı tanımlamakrın yapılması yönünden önemlidir33. Doğrusal programlamayla çözülebile-cek bir problemi aşağıdaki şekilde ortaya koyabiliriz34. Bir işletme Xj ve X2 olmak üzere iki ürünü, iki işlemde tamamlamaktadır. in kâra katkısı Cj ve X2 ninki de C2 dir. Birinci işlem ünitesinin kapasitesi b j ikincininki de b2 dir. Teknik üretim katsayıları a n , a] 2 a2j ve a2 2 dir.

Buna göre:

a. Amaç fonksiyonu:

Z = 1 Cj Xj = C] Xj + C, X2 (24)

j=n

b. Sınırlayıcı şartlar:

2

S ai j X j < b j

aı ı X! -f- a1 2 X, < b j

(25) a2 1 Xt + a2 2 X, < b2

32 Üç değişkenli grafik çözüme rakamlı örnek için bakınız:

W.J. Fabrycky, Paul E. Torgersen, Operations Economy, Industrial Applications of Ope-rations Research, Englewood Cliffs. N.J. Prentice-Hall Inc., 1966. s. 400-403.

33 Bakınız: Hadley, a.g.e., s. 8.

34 Genel fiir doğrusal programlama probleminin grafikle çözümüne rakamlı örnek için bakınız: Hadley ,a.g.e., s. 8-10

Elwood S. Buffa, Modern Production Management, New York, John Wiley, Inc., 1965, s. 692-697

Kenneth E. Boulding, W. Ailen Spivey, Linear Programming and Theory of Firm, New York, The Macmillan Company, 1960, s. 61-63.

Kobu, a.g.e., cilt: II, s. 322-326.

Lâtif Çakıcı "Doğrusal Programlamanın İşletme Problemlerine Uygulanışı Üzerine Bir Deneme" istanbul işletme Fakültesi Dergisi, Cilt, 3, Sayı: 1, s. 456-482.

Fazıl Gülçür, işletmelerde Faaliyet Araştırmaları, istanbul I.T.t.A. Yayını, 1966, s. 312-317.

3. Pozitiflik şartı: Xj > 0 j = 1, 2.

Xj, X2 > 0 (26)

olacaktır.

Bu problem grafik olarak şekil I. 3 deki gibi gösterilir.

Grafik Çözüm

Sınırlayıcı şartların ve Xİ 5 X j ekseninin pozitif kısımlarının mey-dana getirdiği kapalı bölge, "Uygun Çözüm Alanı" nı meymey-dana getirir.

Bu alan içinde herhangi bir nokta uygun çözümdür35. Uygun çözüm-lerin oluşturduğu konveks setin ya da poligonun üç noktaları temel uy-gun çözümleri verir36. Optimum uygun çözüm amaç fonksiyonuyla bulunur. Amaç fonksiyonu, 0 X j X2 düzleminde Z paremetresine göre değişen birbirine paralel bir doğrular sistemini gösterir. Herbir doğru üzerindeki bütün noktalarda kâra katkı sabittir. Bu yüzden bu

doğru-35 Hadley, a.g.e., s. 10.

36 Teorem ve isbatı için bakınız: Walter W. Garvin Introduction to Linear Programming, New York, McGraw-HiU Inc., s. 10-12.

36

lar sistemine eş kâr doğruları denir. Uygun çözümlerden yalnız Liri için kâra katkı maksimumdur. Grafikten görüleceği gibi bu nokta uygun çözüm alanının köşelerinden biridir. Eş kâr doğrularının, orjinden uzak-laşma doğrultusunda kaydırılırken, çözüm alanından en son ayrıldığı (A) noktası ve o noktadaki doğru kâra maksimum katkıyı verir37.

Doğrusal programlama modellerinde her zaman uygun çözüm bu-lunmayabilir. Sözgelimi sınırlayıcı şartların oluşturduğu doğruların eğimleri eşitse, iki doğrunun ortak çözüm noktası bulunmayacaktır.

Bu yüzden de sınır şartları yerine gelmiyecelttir. Bazan ortak çözüm noktası negatif alanda ya da sonsuz çözüm olabilir. Buna benzer özel haller konu dışı bırakılmıştır.

5.2. Simpleks Çözüm Tekniği

Doğrusal programlama problemlerinde değişken sayısı üçü aştığı zaman grafikle çözüm imkânsızlaşır. Çünkü değişken sayısı arttıkça uygun çözüm alanının oluşturduğu şeklin köşeleri hızla artar. Optimal uygun çözüme ulaşmak için her köşenin tek tek incelenmesi ve amaç fonksiyonunu maksimum ya da minimum yapıp yapmadığının araştırıl-ması gerekir. Söz gelimi 6 değişkenli ve 3 sınır şartı olan bir problem-de

8 sınır sayısı 4 olursa bu rakam 70'e yükselir. Buna ilâveten yalnızca temel uygun çözümlerin incelenmesi sınırsız bir çözüm olup olmadığını vermez38. Bu yüzden grafik ya da problemi oluşturan eşitsizliklerin ortak çözümlerinin bulunup smama-yanılma yöntemiyle incelenerek cebirsel çözümün uygulanması imkânsızlaşır. İlk adımda doğrusal prog-ramla problemlerinde çözüm veren metod yoktur. Ancak en çok uygu-lanan metod iterasyonla oprtimali bulan simpleks çözüm tekniğidir.

5.2.1. Simpleks Çözüm Tekniğinin Tanımı

Doğrusal programlama problemlerinin çözümünün düzenli bir bi-çimde araştırılmasında uygulanan simpleks tekniğinin üzerinde ilk ça-lışan ve esaslarını geliştiren G.B. Dantzig'tir. Daha sonra Charnes, Cooper ve diğerleri özellikle endüstriye uygulamada öncü çalışmalar yapmışlardır. Yöntem cebirsel iterastyona dayanır.

Simpleks yöntemi uygun çözüm alanın üç noktalarından birinden başlayıp adım adım optimal uygun çözümü veren noktanın aranması

37 Bakınız: Hadley, a.g.e., s, 11.

38 a.k. s. 77

= 20 I tane uygun temel çözüm vardır. Değişken sayısı

işlemidir39. Bu yüzden "optimal çözüm uygun çözüm alanın köşelerin-den biridir", teoremi yöntemin esasını oluşturur. Yöntem lıangi nok-tanın optimal çözüm olduğunu, incelemeye başlama noktası olan orginden sonra hangi noktanın geleceğini, amaç fonksiyonunun de-ğerini değiştirerek verir.

Simpleks metodunun teorik temelleri matriks ve vektörlerle açık-lanır. Ancak bu birçok teoremin ispatını gerektirdiği için üzerinde du-rulmayacaktır40. Kısaca çözümde izlenen yol belirtilecektir.

5.2.2. Simpleks Çözümde izlenecek Sıra

Simpleks çözüm tekniği bir iterasyon işlemi olduğundan, optimal çözüme safha safha yaklaşılır. Bu aşamaları şöyle sıralayabiliriz41:

1. Doğrusal programlama modeline uygun bir biçimde problemin ortaya konması.

2. Gevşek (slack) değişkenlerle eşitsizliklerin eşitlik haline dönüş-türülebilreek bir temel uygun çözmün bulunması.

3. Bir temel uygun çözüm için ilk simpleks tablosunun kurulması.

4. Eğer çözüm optimal değilse hangi değişkenin çözüme gireceği-nin tespit edilmesi.

5. Hangi değişkenin çözümden çıkarılacağının bulunması.

6. Çözümde yapılan değişiklikleri aksettiren yeni simpleks tablo-sunun kurulması.

7. Optimal çözümü buluncaya kadar 4 ve 6 daki işlemlerin tekrar edilmesi.

Bu safhaları daha önce grafik çözümde verilen örnekte tekrarlı-yarak görelim42:

39 a.k. s. 19.

40 Simpleks Metodunun Teorik Temelleri için Lakınız:

Dantzig, a.g.e., s. 94-111, 120-123.

Hadley, a.g.e., s. 71-104.

Spivey, a.g.e., s. 113-125.

Bulutay, a.g.e., s. 105-113.

41 Naylor, Byrne, a.g.e., s. 47—18.

42 Doğrusal Programlama probleminin sipleks çözüm tekniği ile ilgili sayısal çözüm örnekleri için bakınız: Hadley, a.g.e., s. 134-144.

R. Dorfman, P. Samuelson, R. Solow, Linear Programming and Economic Analysis, Ne w York, McGraw-Hill Inc., 1958, s. 85-92.

Buffa M. Production Management, a.g.e., s. 704-713

Mükerrem Hiç, Girdi-Çıklı Analizi ve Doğrusal Programlamaya Giriş, İstanbul 1971, s.

80-97.

Kobu, a.g.e., Cilt II, s. 350-363.

1. Doğrusal programlama Modeline Uygun Olarak Problemin Ortaya Konuşu:

Genel doğrusal programlama modelinin unsurları ve ortaya konuşu daha önce belirtilmişti. İki değişkenli ve sınır şartlı bir problemde;

a. Amaç fonksiyonu:

Z = C, Xt + C2 X2 (27) b. Sınırlayıcı şartlar:

a n X , + a1 2X2< b1 (28)

a2 1 X1 + a2 2 X2 ^ k ,

c. Pozitiflik şartı:

(29) Xl > 0 X2 > 0 olacaktır.

2. Eşitsizliklerin Eşitlik Haline Dönüştürülmesi.

Simpleks çözüm yönteminde problem ortaya konduktan sonra ilk adım sınırlayıcı şartların oluşturdukları eşitsizliklerin önce eşitlik haline döndürülmesidir. Bunun için maksimizasyonda birer gevşek de-ğişken ilâve edilir.

a. Amaç fonksiyonu:

Z = C ! X , + C2X2 + C3X3 + C4X4 (30) b. Sınırlayıcı şartlar:

al l Xj + a2 1 X2 + X3 = bj

(31)

a12 X1 + a22 X2 + X4 = b2

c. Pozitiflik şartı:

X1 > o X2 > 0 X3 > 0 X4 > 0 (32) olacaktır.

Gevşek değişkenlerin amaç. fonksiyonundaki kara katkı katsayı-ları yani C3 ve C4 sıfırdırlar. Bu değişkenler esas değişkenler gibi çö-züme girerler. Ancak bu değişkenler üretimde kullanılmayan kapasiteyi gösterirler.

3. Bir Temel Uygun Çözüm İçin İlk Simpleks Tablosunun Kurul-ması.

Uygun çözüm alanının üç noktaları uygun temel çözümleri verirler.

Bu yüzden ilk çözüm olarak orjin noktası alınır, yani hiç bir şeyin üre-tilmediği durum.

Değişkenler ve sabit kâra katkı değerleri tabloya aşağıdaki biçim-de yerleştirilir.

Tablo: I. 4 Simpleks İlk Çözüm Tablosu

1 2 3 4 5 6 7 Amaç sırası

temeldeki

vektörler Temel v. kat

sayıları Sabitler

sütunu c , c3 = o c4 = o Değişken sırası temeldeki

vektörler Temel v. kat

sayıları Sabitler sütunu

X , X2 X, X, Anahtar sıra

0 x3 b, a n aıS 1 0

0 h a 2ı a22 0 1

ZJ 0 Z, = 0 Z2= 0 z3 = 0 Z4 = 0

Zj-Cj 0 - c , - C2 0 0 indeks sırası Amaç Değişkenler sütunu Anahtar sütun

sütunu

Değişkenlerin ve sabitlerin tabloya nasıl yerleştirildiği görülmek-tedir.

İlk çözümde indeks satırların hesaplanmasında temel, birim ve sabit -lerdeki katsayılar amaç sütundakilerle çarpılır ve toplanır. Zj deki satırındaki değerler bulunur. Toplamlar amaç satırının değerlerinden çıkarılır ve indeks satırının rakamları bulunur. Böylece bir temel çözüm için ilk simpleks tablosu kurulmuş olur.

4. Çözüm Optimal Değilse Hangi Değişkenin Çözümden Çıkarı-lacağının Bulunması.

Çözümün optimal olması için Zj - Cj > 0 olmalıdır. Bu şart gerçek-leşmiyorsa değer cebrik olarak minimum olan vektör temele girer. Buna

anahtar sütunda denir.

5. Hangi Değişkenin Çözümden Çıkarılacağının Bulunması Bunun için ^ ; oranlarından küçük olan üretimde ortaya

X1 x2

darboğaz çıkmaması için seçilir. Bu sıraya anahtar sıra denir. Çözüm-den çıkarılır, yerine anahtar sütundaki değişken girer.

6. Yapılan Değişiklikleri Yansıtan İkinci Tablonun Hazırlanması Anahtar sırayla, sütunun kesiştiği yerdeki ortak katsayı anahtar değerdir. Tablo I. 3 de belirtilmiştir.

İkinci tabloda ana sıra, anahtar sıra ve sütun yardımıyla bulunur.

Bulunan ana sıra birinci tablodaki anahtar sıranın yerini alacaktır. Bu birinci tablodaki anahatar sıranın katsayıların anahtar değere bölün-mesiyle elde edilir. Değişken sütunundaki katsayıların her iterasyonda yer değiştirmesi gerekir.

Anahtar sütundaki ve amaç sırasındaki katsayı, değişkenler sütu-nuna girecektir. Buraya kadar olan değişiklikleri ikinci tabloda göste-relim.

İkinci tabloda (T alıl o I. 4) ilk değişiklikler gösterildikten sonra diğerlerinin nasıl bulunduğu gösterilmiştir.

7. Zj-Cj değerlerinin hepsinin sıfırdan büyük değerler alıncaya, yani optimal çözüme ulaşıncaya kadar 4,5 ve 6 numaralı işlemlere de-vam edilir.

Üçüncü sütundaki (Tablo I. 4) değer maksimum kârı veren ürün-lerin üretim miktarlarını, 5 nci sıra toplam kâra katkıyı verecektir. Bilgi sakarlarla doğrusal programlama modelleri kolaylıkla çözülebilmekte-dir. Uygulamada hazırlanan modellerin çözümünde bilgisayar kullanıl-dığından simpleks çözüm tekniğinin elle çözüm işlemine ilişkin rakamlı örnek v erilmemiştir.

5.3. Simpleks Tekniğinde Sınırsız Çözüm

Doğrusal programlama modellerini çözerken sınırsız çözüm olup olmadığını sipmleks çözüm tekniğinin ortaya koyduğunu daha önce belirtilmiştir.

Sınırsız çözüm durumu simpleks tablosunda temele girecek aj vek-töründe bütün yt j < 0 (i = 1, 2, ... m) olmasında ortaya çıkar43. Bu yüzden temelden çıkarılacak vektör

y i l = > Y22 = — > Yij =

al 1 a2 1 am l

değerlerine göre belirlenirken yy değerlerinin sıfırdan büyük olduğu düşünülmüştür. Eğer bu değerlerin hepsi sıfırdan küçükse sınırsız

çö-43 Rakamlı örnek için bakınız, Hadley, a.g.c., s. 95.

Bulutay, a.g.e., s. 130-132.

Tablo: I. 5 İkinci Simpleks Tablosu

l

2 4 5 6 7

1 Temeldeki

vektörler Temeldeki vek-tölerin katsayıs.

r

Sabitler sütunu

c. c

2 C, = 0

c, = o

2

Temeldeki

vektörler Temeldeki vek-tölerin katsayıs.

r X, X2 X

4

3 C,

/»İl

a

il/

a

,2

a

iî/

a

u

l|«n 0

4 0 X l, _ buxa2,

„ _

a

2, *

a

,l _ ania„ n -

a

2i

1

aıı »11 aı ı au 1

5 C.-b./a,,

c,

C

2

a

i

2

/

a

il

C. a> . , 0

6

Zj-CJ

2

0

C,

a

,

2

/

a

u ~ c, C,

/an -

c

3

o-c

4

züm elde edilir. Sınırsız çözüm uygun bir çözümdür. Ancak genellikle temel uygun çözüm değildir44.

-5.4. Simpleks Çözümde Bozulma Durumu

Simpleks çözüm tekniği uygulanırken optimal çözümde temelde yer alan değişkenlerden en az birinin yani pozitif değerdeki değişken-lerin sayısının X, < m olmasında ortaya çıkar.

Bozulma lıali simpleks tablosunda temelden çıkacak vektörü se-çerken tek bir minimum değerin bulunması halinde söz konuSu olur.

Böyle bir durumda temelden çıkacak vektörü seçerken Charnes ve di-ğerleri tarafından bazı kurallar geliştirilmiştir45. Bunun için simpleks tablosunda bozulmaya yol açan durum ortaya çıktığında; Xjj /Xik oran-larını bulmak gerekir. Xi k tabloda temele girecek ak vektörünün i sıra-sındaki katsayıları, Xjj de aynı sıradaki diğer katsayılardır. Önce Xj \ /-Xi k yı bulmakla bozulma giderilmezse, Xjj /Xik oranları sırayla bulu-narak bozulma ortadan kalkıncaya kadar devam edilir.

Bozulma hali bazan bir dalgalanma durumuna yol açtığından op-timal opop-timal çözüme ulaşılamaz ve tekrarlamalar olabilir. Önlemek için yukarıda verilen kuralı uygulamak gerekmektedir.

Bozulma hali epeyce rastlanılan bir durum olmakla beraber, pratikte güçlük çıkartmaz46.

6. Doğıusal Programlamada İkilik Problemi

Birçok problemlerde olduğu gibi değişkenler arasındaki ilişkiler amaca göre değişik olarak ifade edilebilirler. Bu durum doğrusal prog-ramlama içinde söz konusudur. Her doğrusal progprog-ramlamanın bir iki-lisi vardır47. Söz gelimi kârın maksimum yapılması aynı zamanda ma-liyetlerin minimum olmasıyla ilgilidir. Bazan bir problemin çözümü diğerini de çözer veya aydınlatır48. Bu problemlerden ilkine primal de-nir. Genellikle maksimizasyon problemi primal ya da esas olarak alınır.

Genel bir doğrusal programlama modelinin ikilik problemi bir mini-mizasyondur. Bu yüzden her iki problem aynı bilgilere dayanılarak formüle edilir.

44 Hadley, a.g.e., s. 93-94.

45 Bakınız; A. Charnes, W.W. Cooper, A. Henderson, An Introduction to Linear Program-ming, New York, John Wiley Inc., 19o3, s. 23-24 Rakamlı örnek için bakınız: Bulutay, a.g.e., s. 132-142.

46 Bulutay, a.g.e., s. 142.

47 Dantzig, a.g.e., s. 310.

48 İ. İlhami Karayalçın, a.g.e., s. 62.

îlk problemdeki amaç fonksiyonun katsayıları Cı (Cj, C2 ... Cn) ikincide sınırlayıcı şartlar olur. Buna karşılık ilk problemdeki sınır şart-ları ikincide amaç fonksiyonunun sabitleri yerine geçer. Primaldeki A matriksi dualde yani ikincide dönüşümü olan A' olarak yer alır. Eşit-sizlikler ilk ve ikinci problemde birbirinin tersidir. İkinci problemde ilkinin sınır şartı kadar değişken ve değişken sayısı kadarda sınır şartı vardır. Buna gijre doğrusal programlama modelinin ikilisini formüle etmek basitleşmektedir49.

iki sınır şartlı ve değişkenli problemin primal ve duali aşağıda şe-kilde ortaya koyabiliriz.

İlk problem.

a. Amaç fonksiyonu:

Z max = Cj X[ -)- C2

b. Sınırlayıcı şartlar:

al l X 1 + a.""l X 2 ^ I>1

a2 1 X 1 + a2 2 X2 < 1>2

c. X, > 0, X2 > 0 ikinci problem.

a. Amaç fonksiyonu:

Zmin = Vx Cı + V2 C2

b. Sınırlayıcı şartlar:

aı ı vı + a2i v2 ^ C,

aı ı Vı + a2 2 V2 > C2

c. V[ > 0 V, > 0

49 Daha geniş bilgi için bakınız: A. Charnes, W.W. Cooper, Management Models and Industrial Applications of Linear Programming, Volum I, New York: John Wiley Inc. 1961, s. 179-191.

Sven Don0, Linear Programming in Industry Theory and Aplications, Springer-Verlag, 1963, s. 90-92

Dantzig, a.g.e., s. 241-253.

Hadley, a.g.e., s. 221-263.

• Hiç, a.g.e., s. 68-77.

Bulutay, a.g.e., s. 143-153.

Primal ya da ikili problemlerden biri için optimum çözüm varsa diğeri içinde vardır. Her iki problemin değerleri birbirine eşittir50.

Görüldüğü gibi bir doğrusal programlama probleminin dualini ifa-de etmekte zorluk çıkmamaktadır. Çünkü her ikisi ifa-de aynı bilgiye da-yanmaktadır. Bu itibarla birbirlerini tamamlayıcıdırlar.

Dualdeki Vx ve V2 1er üretim kapasitelerinin maliyetlerinin yerini tutmaktadır. Böylece Cj ve C2 kapasitelerine sahip olmakla kaybedilen kâr en az olacaktır. Diğer yandan da bunların her ürün için toplam kâra katkısı Cj, C2 kadar olsun ki bu kapasite şartları altında üretim yapar-sak dualde bulacağımız kâr primalde bulduğumuza eşit olsun. Bu su-retle işletme sınırlı inputlarıyla, kapasitesini, kârını maksimum kılacak biçimde plânlamış olmaktadır.

Buraya kadar üretim plânlamasını işletme için önemi, esasları ve genel doğrusal programlama probleminin yapısı ve çözümü üzerinde duruldu. Kuşkusuz doğrusal programlama çok geniş kapsamlı bir tek-niktir ve özel halleri olan ulaştırma, tayin gibi modeller ele alınmamıştır.

Ancak genel bir doğrusal programlama modelinin endüstride üretim plânlaması problemlerine uygulanmasında gerekli bilgileri vermekle yetinilmiştir.

/

50 Teoremlerin isbatı ve daha geniş bilgi için bakınız:

Hadley, a.g.e., s. 228-223.

Saul Gass, Linear Programming Methods and Applications New York, MeGraw Hill C 1964, s. 46.

Hiç, a.g.e., s. 75-76.

KISIM IV

IV. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİNİN SANAYİ

Benzer Belgeler