2. KURAMSALTEMELLER
2.3 Standart Model ve Yeni Fizik
2.3.1 Elektrozayıf EtkileĢmeler Ġçin Standart Model
Bu ayar modeli, kuvvet taĢıyıcı vektör bozonları olan bozonlarını,üç kuark ve üç lepton ailesi, skaler bir bozon olan Higgs bozonunu içerir. Modelde sağ-elli fermiyonlar singletler, sol-elli fermiyonlar ise dubletler ile gösterilmektedir.
21 Çizelge 2.4 Ailelerine göre kuark ve leptonlar
1. Aile 2. Aile 3. Aile
Leptonlar
( ) ( ) ( )
Kuarklar
( ) ( ) ( )
Bu modelde skaler bozon bir izospin dubleti olarak aĢağıdaki gibi gösterilir:
Φ =( ) (2.62)
Burada ve sırayla yüklü ve yüksüz skaler alanı gösterir.
Elektrozayıf etkileĢmelerin ayar grubu ‟dir. Tüm alanlar ayar dönüĢümü altında dönüĢürken yalnızca sol elli fermiyonların oluĢturduğu dubletler ile skaler bozonlar ayar dönüĢümü altında dönüĢür. Çünkü sağ elli fermiyonlar izospin yükü taĢımazlar yani izospin uzayında birer singlettirler.
Herhangi bir fiziksel süreçte baryon sayısı B ve lepton sayıları ayrı ayrı korunmalıdır. Herhangi bir baryonun yada mezonun yükü izospinin üçünçü bileĢeni , acayiplik sayısı S ve baryon sayısı B‟ye bağlıdır. Yük ve B tüm etkileĢmelerde, S ise sa-
dece güçlü ve elektromagnetik etkileĢmelerde korunur. ise S‟ nin korunduğu etkileĢmelerde, yani güçlü ve elektromagnetik etkileĢmelerde korunmalıdır.
22
Y zayıf hiperyük olmak üzere, Y = B + S olarak tanımlanır. Zayıf izospin, hiper yük ve elektrik yükü birbirine ünlü Gell-Mann –Nishijima formülü ile bağlıdır;
(2.63)
Çizelge 2.5 Temel fermiyon ve skaler bozon alanlarının özellikleri
Y Q
( ) (
) -1
( )
0 0 -2 -1
( ) (
) (
) 0 0 0 0
( ) (
) +1
( )
Çizelgede 2.5‟deki sağ elli ve sol elli parçacıklar matrisi kullanılarak aĢağıdaki gibi ifade edilir:
(2.64)
(2.65)
Elektrozayıf teori için 1.aile fermiyonlarına ait lagranjiyen ifadesi aĢağıdaki gibidir;
(2.66)
23
(2.66) denklemindeki her bir terim Ģu Ģekilde verilir:
+i ̅ (2.67)
+i ̅ ̅ (2.68)
( )( (2.69)
- ( ̅ ) ( ̅ ) - ( ̅ )
(2.70)
Burada lepton kinetik terimi, kuark kinetik terimi, skaler bozonların kinetik ve potansiyel terimi ve son olarak Yukawa terimini göstermektedir. Dikkat edilirse 1.
aile için yazılan lagranjiyende m ̅ Ģeklindeki kütle terimi yeralmaz. Çünkü bu terim global ayar simetrisi ve yerel ayar simetrisini bozar. (2.67)‟de yazılan lagranjiyen global ayar simetrisini sağlarken lokal ayar simetrisini sağlamaz. Skaler bozonlar ve fermiyonlar için yerel ayar dönüĢümleri aĢağıdaki gibidir:
-i ⃗ ⃗⃗⃗ exp( ) ; (2.71)
(2.66) denklemi ile verilen lagranjiyene (2.71) ile verilen dönüĢüm uygulanırsa kısmi türevlerden kaynaklanan ek terimler ortaya çıkar. Buna göre, lagranjiyene lokal ayar değiĢmezliğini kazandırmak için kısmi türevleri, kovaryant türevleri ile yerdeğiĢtirmelidir.
kovaryant türevleri , ve alanları için;
⃗ ⃗ + 2.72)
24 Ģeklinde, ve alanları için ise;
+ (2.73)
Ģeklinde tanımlanır.
(2.72) ve (2.73) denklemlerinde yer alan ⃗ ve ifadeleri ayar alanlarıdır. Bu ayar alanları kovaryant türevin içersine, lokal ayar değiĢmezliğini sağlamak için konulmuĢtur. Fiziksel olmayan bu alanlar lokal ayar dönüĢümleri altında aĢağıdaki gibi dönüĢürler:
⃗ ⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ x ⃗ (2.74)
+ (2.75)
⃗ ve alanlarının kinetik terimleri de lagranjiyene eklenmelidir fakat bu alanların kütle terimleri ⃗ ⃗ ve biçiminde olup lokal ayar simetrisini bozmaktadır.
Bundan dolayı bu alanların kütle terimleri lagranjiyene yazılmaz. ⃗ ve alanlarının kinetik terimleri aĢağıda tanımlanan lagranjiyen ile verilir:
= ⃗ ⃗ (2.76)
(2.77)
⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (2.78)
ve ⃗ tensörleri için lokal ayar dönüĢümleri aĢağıdaki gibidir:
→ (2.79)
25
⃗ → ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ (2.80)
Buna göre tüm dönüĢümler sonucu 1. aile fermiyonları için lokal ayar değiĢmezliğini sağlayan lagranjiyen ifadesi;
D +i ̅ D + D +i ̅ D ̅ D D D
(2.81)
biçiminde yazılır. Dikkat edilirse bu lagranjiyen lepton, kuark ve ayar bozonlarının kütle terimlerini içermemektedir. Bu duruma çözüm bulmak için kendiliğinden simetri kırılması ve Higgs mekanizmasından yararlanılır. Higgs mekanizmasına göre tüm vakum Higgs alanıyla dolu olup parçacıkların bu alanla etkileĢmesi sonucu kütle kazandıkları kabul edilir. Higgs alanı için yazılan lagranjiyenindeki potansiyel terimini ele alalım:
(2.82)
Denklemdeki ‟li terim Klein-Gordon denklemindeki kütle terimine benzer fakat onun zıt iĢaretlisidir. Buradaki λ‟lı terim ise skaler alanın kendisiyle olan dörtlü etkileĢmesidir. Ayrıca ile gösterilen alanlar, kompleks skaler alanların SU(2) dubletleri olup aĢağıdaki gibi ifade edilmektedir:
Φ =( ) = √ (
) (2.83)
potansiyelinin minimum olduğu değerleri bulalım:
( )
= 0 ; (2.84)
Potansiyelin minimumu aĢağıda verilen hiperküre yüzey denklemi üzerindedir:
26
(2.85)
ġekil 2.1 Potansiyelin skaler alanlara göre grafiği
ġekil 2.1‟den anlaĢıldığı üzere potansiyelin taban durumu dejeneredir. Bu dejenereliği ortadan kaldırmak için taban durumlarından herhangi birini;
√ (2.86) Ģeklinde seçeriz. Kuantum alan teorisinde taban durumu;
⟨ | | ⟩ √ ( ) (2.87)
Ģeklinde ifade edilir. Böylece yapılan seçimle birlikte vakumun simetrisi kırılır fakat simetrisi kalır. Simetri kırılması herhangi bir dıĢ etki olmaksızın gerçekleĢtiğinden „kendiliğinden simetri kırılması‟ olarak nitelendirilir.
Pertürbasyon teorisine göre, fiziksel alanlar taban durumu üzerindeki tedirgenmeler olarak düĢünüldüğü için buradaki fiziksel beklenti vakum durumunun beklenen değerinin sıfır olması gerekliliğidir. Bu durum (2.87) denklemi ile çeliĢtiği için buradan
ve alanlarının fiziksel olmadığı sonucu ortaya çıkar.
27
Buna göre ‟yi fiziksel alanlar olarak kabul edilen ⃗ ve H alanları cinsinden yeniden tanımlayalım:
⃗ ⃗⃗ (
√
) (2.88)
Buna göre potansiyelin minimum olduğu taban durumu, ⃗ ve H fiziksel alanlarının vakum beklenen değerlerinin sıfır olduğu durumdur.
⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩ (2.89)
Burada tanımlanan H‟ye Higgs bozonu, ⃗ „ye ise Goldstone bozonları denir. Bir fiziksel sistemin serbestlik derecesi yapılan dönüĢümler neticesinde mutlaka sabit kalmalıdır.
Elektromagnetik kuvvet uzun menzilli olduğundan aracı bozonu olan foton kütlesizdir.
Bununla birlikte zayıf kuvvet kısa menzilli olduğundan aracı bozonları kütlelidir.
Dolaysıyla ayar bozonlarından üçü kütleli olmalıdır. Bu da sistemin serbestlik derecesini üç arttırır. Lagranjiyenin serbestlik derecesini sabit bırakacak yeni bir ayar seçimi;
⃗⃗⃗ ⃗(x) , (x) = 0 (2.90)
olmak üzere alanlar üzerindeki ayar dönüĢümü
-i ⃗ ⃗⃗⃗ exp( ) ; (2.91)
Ģeklinde yapılsın. OluĢturulan bu ayar seçimine üniter ayar denir. Ayar seçimi sonucu ayar bozonları kütle kazanırken kütlesiz olan Goldstone bozonları yok olur.
28
Üniter ayar seçimi ile birlikte skaler alanı aĢağıdaki formda yazılır:
(
√
) (2.92)
Üniter ayar seçimi sonrası alanlar genellikle “ „ ” üst indisi ile gösterilir. Ancak bundan sonraki ifadelerde bu indis kullanılmayacak ve alanlar, üniter ayar seçimi sonrası alanlar anlamında olacaktır.
Üniter ayar seçimi yapılıktan sonra skaler bozonların kinetik terimi aĢağıdaki biçimi alır:
( )( = ( ) [ ⃗ ⃗ ( ) ]
(2.93)
Bu ifadede yer alan bozon alanları olan (i=1, 2, 3) ve fiziksel alanlar değillerdir.
Fiziksel alanlar, bu alanların bir karıĢımı olup aĢağıdaki gibi ifade edilmektedir:
√ (2.94)
√ (2.95)
= (2.96)
= (2.97)
Bu bağıntılardaki ve ifadeleri aĢağıdaki gibi verilir:
29 =
√
(2.98)
=
√
(2.99)
Buradaki Weinberg açısı olup değeri arcsin(√ )‟dir. , ve fiziksel alanları zayıf kuvvetin ara bozonları olan ve Z bozonlarına karĢılık
gelirken, fiziksel alanı ise elektromagnetik kuvvetin ara bozonu olan fotona karĢılık gelir. Bu fiziksel alanların (2.93) denkleminde yerine yazılmasıyla aĢağıdaki bağıntı elde edilir:
( )( = ( ) ( ) ( √ )
( ) (2.100)
Bu bağıntıdan ayar alanlarının kütleleri açık bir Ģekilde;
, √ , (2.101)
olarak görülür.
(2.100) ifadesi hem ve Z bozonlarının kütle terimlerini içerir, hem de Higgs bozonunun bu bozonlar ile etkileĢmelerini içerir.
30
ġekil 2.2 Higgs bozonunun W ve Z bozonları ile olan etkileĢmeleri
Üniter ayar seçimi ile skaler bozonların potansiyel terimi de değiĢir;
+ (2.102)
Görüldüğü gibi bu potansiyel ifadesi, skaler Higgs bozonunun kütlesini ve kendi kendisiyle olan üçlü ve dörtlü etkileĢmelerini içermektedir. Higgs bozonunun kendisi ile olan etkileĢmeleri Ģekil 2.3‟de gösterilmektedir.
Skaler Klein-Gordon lagranjiyeni göz önünde bulundurularak Higgs bozonu için kütle terimi ifadesi (2.102) denkleminden aĢağıdaki gibi bulunur:
√ (2.103)
ġekil 2.3 Üçlü ve dörtlü Higgs bozonu bağlaĢımı
31
ġimdi de ayar bozonlarının kinetik terimini yani ayar bozonlarının birbirleriyle olan üçlü ve dörtlü etkileĢmelerini ele alalım:
= (2.104)
= (2.105)
= (2.106)
= (2.107)
Burada,
- , (2.108)
biçiminde ifade edilir.
(2.104)‟deki lagranjiyen ifadesi fiziksel alanlar olarak bilinen , ve cinsinden yazılmalıdır. Bu alanlar için tanımlanan alan tensörleri aĢağıdaki gibidir:
(2.109)
(2.110)
(2.111)
Buna göre bu tanımlarla birlikte (2.104) denklemindeki ve lagranjiyenleri aĢağıdaki gibi yazılabilir:
(2.112)
32
( (
(2.113)
( )
(2.114)
1. lepton ve kuark ailesi için yazılan lagranjiyeni tüm aileleri kapsayacak genelleĢtirmek gerekirse, kendiliğinden simetri kırılması ve üniter ayar seçimi sonrası üç lepton ve üç kuark ailesi için kinetik terim ifadesi aĢağıdaki gibidir:
(2.115)
∑
∑
√ ( ) ( )
(
√
) ( ) √ ( ) ( )
√ ( ) ( ) (2.116)
( )
( )
√ ( ) ( )
(
√
) ( ) ( ) (
√
) ( ) ( )
√ ( ) *( ) + ( )
33
√ ( ) *( ) + ( ) (2.117)
Burada h.c. solundaki terimin hermitsel eĢleniği anlamına gelmektedir. “L”veya “R” alt
indisi olmayan fermiyon alanları, hem sol hem de sağ elli durumları taĢımaktadır.
lagranjiyeni temel lepton ve kuarkların kinetik terimlerini ve bu alanların ayar alanları ile olan etkileĢmelerini kapsamaktadır. Görüldüğü gibi, bozonları sadece sol elli fermiyonlarla etkileĢirken, Z ve A bozonları hem sol hem de sağ elli fermiyonlar ile etkileĢir. Aynı zamanda lagranjiyen çeĢni değiĢtiren yüksüz akımları içermemektedir. Bunun dıĢında, farklı kuark aileleri arasındaki etkileĢmeler yoktur. Bu durumun nedeni ise kuarkların kütle özdurumlarında değil de zayıf özdurumlarda bulunmalarıdır.
Buna göre, daha önce yazılan tek aileli durum Yukawa lagranjiyenini üç aileli duruma genelleĢtirirsek,
( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
34
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
(2.118)
(2.118) denkleminden görüldüğü üzere, farklı lepton aileleri arası çapraz terimler bulunmamaktadır. Nedeni ise bu durumun, lepton sayısının korunum yasasına aykırı olmasıdır. Kuarklarda ise bu türden bir korunum yasası sözkonusu olmadığından lagranjiyen ifadesinde farklı kuark aileleri arası karıĢımlar yani çapraz terimler mevcuttur. Bahsedilen çapraz terimlere örnek olarak;
( ̅ ) √ ̅ √ ̅ √ ̅ √ ̅
(2.119)
terimi verilebilir. Burada birinci ve ikinci terim farklı iki ailedeki d ve s kuarkın birbirine dönüĢümünü, üçüncü ve dördüncü terimler ise d ve s kuarkın Higgs bozonu ile etkileĢmesi sonucu birbirine dönüĢümünü göstermektedir.
Bu etkileĢmeler fiziksel olarak anlamsızdır. Bunun esas nedeni ise, bu lagranjiyende kuarkların kütle özdurumlarında bulunmamasıdır. Kuarklar için Yukawa lagranjiyeni;
√ [( ) ̃ ( ) ( ) ( )] (2.220)
Buradaki ̃ ve matrisleri köĢegen formda olmayan kuark kütle matrisleridir:
35
̃ ̃ *
+ *
+ (2.221)
Bu matrisler köĢegenleĢtirilerek kütle özdurumlarına geçilebilir. Böylece Yukawa lagranjiyenindeki fiziksel olarak anlamsız olan terimlerden kurtulabilmek mümkün hale gelir.
Kompleks elemanlı köĢegen olmayan herhangi bir M matrisi, S ve T gibi iki üniter matrisle Ģöyle köĢegenleĢtirilebilir:
; S,T: üniter matrisler (2.222)
Kütle matrisleri, kuark sektörlerine göre değiĢtiği için bunların köĢegenleĢtirme matrisleri de farklıdır. Buna göre üniter dönüĢüm matrisleri ve Ģeklinde gösterilir.
KöĢegenleĢtirmeden sonraki lagranjiyen ifadesi aĢağıdaki gibidir:
√ [( ) ̃ ( )
( ) ( )]
(2.223) Buna göre kuark alanları için kütle özdurumları;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(2.224)
36
Kütle özdurumlarına geçiĢ yapıldığında, kuark alanları için kütle terimleri ve bu alanların Higgs bozonuyla etkileĢme terimleri gelmektedir.
Kütle özdurumlarına geçildiğinde elektromagnetik ve nötral akım etkileĢmeleri değiĢmez kalır. Fakat yüklü kuark akımlarının ayar bozonu W ile olan etkileĢmeleri, farklı kuark sektörlerini içerdiğinden, kütle özdurumlarına geçildiğinde bu terimler değiĢirler:
√ ̅ ̅ ̅ ( ) . (2.225)
Bu ifadedeki ve matrisleri farklı kuark ailelerine ait oldukları için;
(2.226)
durumu sözkonusudur. ifadesine Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrisi denir ve kısaca CKM ile gösterilir. Bu matris sayesinde farklı ailelerde yer alan kuarklar birbirlerine karıĢmıĢ olurlar:
( ) (
) ( ) (2.227)
CKM matrisi 3× 3‟lük bir matris olup elemanları kompleks değerlidir. Bu matris fiziksel beklentilere uygun olarak aĢağıdaki gibi yazılabilir:
(
) (2.228)
Burada ve , 1 3 Ģeklindedir.
37