DEVLET DESTEKLERİ

3.3

O contorno complexo para o c´alculo da densidade

Definimos a densidade numa se¸c˜ao anterior, devemos ver como calcular na pr´atica. Considerando o cen´ario de simetria de invers˜ao temporal, a fun¸c˜ao avan¸cada ´e Ga _{= (G}r₎†_{. Com as trˆes fun¸c˜oes definidas, G}a_{, G}r_{e Σ}<_{, podemos calcular G}< _{da equa¸c˜ao}

(3.19) e us´a-la para calcular a densidade definida em (3.5). No caso de um sistema em equil´ıbrio, ´e poss´ıvel escrever a fun¸c˜ao G< _{de uma forma mais simples pois a fun¸c˜ao de}

Fermi-Dirac ´e a mesma nos eletrodos (fF D

E = fDF D). Isso permite escrever:

G<_CC(E) = −2if_EF D(E)Im[Gr_CC(E)]. (3.21) Substituindo na equa¸c˜ao da densidade (3.5):

n(~r) = −1 π Z +∞ −∞ fF D(E − µ)Im[Gr(E)]ijφ∗i(~r)φ ∗ j(~r)dE. (3.22)

No momento, n˜ao estamos interessados na parte espacial da densidade e podemos nos concentrar na integral da energia:

ˆ D = −1 π Z +∞ −∞ fF D(E − µ)Im[Gr(E)]dE, (3.23) onde n(~r) = φ∗ i(~r) ˆDφ∗j(~r). (3.24)

No geral, sabe-se que a fun¸c˜ao de Green possui singularidades quando usamos valores reais para a energia. Com a finalidade de contornar esse problema, calcula-se a fun¸c˜ao G< _{no plano complexo.}

ˆ D = −1 π Z +∞ −∞ fF D(E+− µ)Im[Gr(E+)]dE, (3.25) onde E+ _{= E + iδ. Existe outra vantagem em realizar o c´alculo no plano complexo:}

quanto maior o valor de δ, menos pontos s˜ao necess´arios para calcular a integral da equa¸c˜ao (3.25). Discutiremos estas propriedades no decorrer desta se¸c˜ao.

O uso de um n´umero complexo permite usar o teorema do res´ıduo para resolver a integral num contorno [77]:

ˆ D = 1 πIm   Z C+L dE+Gr(E+)fF D(E+− µ) + 2πiKTX zp G(E_p+)  , (3.26)

onde K ´e a constante de Boltzman e T ´e a temperatura. Para chegar a esta forma ´e preciso fazer uma mudan¸ca de vari´avel, note que a integral e a fun¸c˜ao de Fermi est˜ao em

3.3 O contorno complexo para o c´alculo da densidade 46

Figura 3.2: A representa¸c˜ao do contorno de integra¸c˜ao para o c´alculo da densidade. fun¸c˜ao de E+_{. O ´ındice C + L indica partes do contorno e s˜ao mostrados na figura 3.2.}

Lembre que estamos tratando o caso do equil´ıbrio. A integral ´e resolvida sobre pontos no contorno. Os pontos cheios sobre o n´ıvel de Fermi s˜ao os polos e s˜ao usados no c´alculo da segunda parte da equa¸c˜ao (3.26), cujo termo aparece por causa das singularidades relacionadas a fun¸c˜ao de Fermi Dirac.

Vamos explicar porque o contorno tem esta forma. Normalmente, os c´alculos quˆanticos, como os da DFT, mostram que a densidade de estados (DOS) das estruturas tˆem picos que representam algum tipo de informa¸c˜ao. Se fizermos o mesmo c´alculo de DOS, mas agora considerando fun¸c˜oes de Green e pontos apenas no eixo real ao inv´es do contorno C, ver´ıamos a mesma DOS calculada pelos m´etodos que resolvem o problema de autovalores. Mas neste caso precisar´ıamos usar muitos pontos para descrever uma extensa faixa de energia com o menor incremento poss´ıvel, pois n˜ao sabemos a posi¸c˜ao dos picos e como estes se comportam. Observe a equa¸c˜ao (3.26), veja que temos uma integral, logo infinitos pontos.

Estudos sobre o uso de fun¸c˜oes de Green mostram que quanto mais longe do eixo real, menor ´e o n´umero de pontos para uma descri¸c˜ao satisfat´oria [78]. Este estudo mostra que se h´a um pico na DOS calculada apenas com pontos no eixo real e refizermos o mesmo c´alculo, com o mesmo n´umero de pontos, mas considerando pontos no espa¸co complexo esse pico torna-se mais largo e de menor magnitude. Portanto, quanto mais longe do eixo real, mais o pico se torna largo e de menor altura. A informa¸c˜ao n˜ao esta sumindo mas se espalhando por uma extensa faixa de energia. A figura 3.3, mostra a situa¸c˜ao descrita.

Em outras palavras, se t´ınhamos um pico em uma energia E1, a informa¸c˜ao s´o

3.3 O contorno complexo para o c´alculo da densidade 47 2 3 4 DOS (u.a.) 1.x10-4 4 5 6 DOS (u.a.) 3.x10-4 7 8 DOS (u.a.) 5.x10-4 4 DOS (u.a.) Energy(eV) 10.x10-4

Figura 3.3: A dependˆencia da DOS com o aumento da parte imagin´aria da energia E+ ₌

E +iδ. A DOS ´e calculada com as fun¸c˜oes de Green e os valores de δ s˜ao aqueles mostrados da legenda.

do pico em E1± ∆E. Quanto mais longe do eixo real maior o intervalo 2∆E que podemos

achar a informa¸c˜ao. E se temos m´ultiplos picos? neste caso a informa¸c˜ao dos picos, ao se espalhar v˜ao se sobrepor e isso ´e ´otimo porque com apenas um ponto conseguimos informa¸c˜ao de v´arios picos. O uso de pontos no espa¸co complexo permite que fa¸camos o c´alculo com poucos pontos economizando tempo. Por este motivo o contorno C com a forma da figura 3.2 ´e desej´avel. Um problema com esta descri¸c˜ao ´e que certas an´alises da DOS ficam comprometidas uma vez que os picos s˜ao suavizados. O n´umero de pontos no contorno L tamb´em n˜ao precisa ser grande porque ´e uma regi˜ao curta e a fun¸c˜ao de Fermi tende a anular a integral al´em do n´ıvel de Fermi.

Nesta quest˜ao de trabalhar no espa¸co complexo, devemos dizer que isso ´e importante para incluir estados localizados. Se fizermos o c´alculo apenas no eixo real com as fun¸c˜oes de Green, estes estados n˜ao ser˜ao descritos. Veja na equa¸c˜ao (3.19) que Γ depende da intera¸c˜ao do eletrodo com a regi˜ao central. Se V = 0, ent˜ao n˜ao h´a um

3.3 O contorno complexo para o c´alculo da densidade 48 termo que acopla os estados do eletrodo com os da regi˜ao de espalhamento,fazendo com que Γ = 0. Esta conclus˜ao ´e alcan¸cada segundo as equa¸c˜oes (3.18) e (3.14). Dessa forma, a densidade ´e nula na ausˆencia de V .

Entretanto, se h´a estados n˜ao dependentes do termo de acoplamento, estes estados n˜ao ser˜ao descritos pela teoria. Observou-se que estes estados localizados geral- mente s˜ao polos no eixo real e n˜ao s˜ao considerados na fun¸c˜ao de Green com c´alculos sobre pontos no eixo real. No espa¸co complexo estes polos s˜ao descritos e inclu´ıdos no c´alculo da densidade.

No caso de n˜ao equil´ıbrio, a densidade pode ser calculada com (veja o apˆendice C.8 para os detalhes): ˆ D = DD+ ∆E (3.27) ˆ D = DE + ∆D, (3.28) onde DE/D = −2i Z +∞ −∞

f_E/DF D (E)Im[Gr_CC(E)]dE (3.29)

∆E/D= i

Z +∞

−∞

Gr_CC(E)ΓCEC/CDC(E)GaCC(E) fE/DF D (E) − fD/EF D (E)
dE. (3.30)

As matrizes ˆDD/E s˜ao calculadas da mesma forma que no caso do equil´ıbrio,

sendo feito em pontos de energia do contorno complexo at´e o valor de µE/D que est´a

dentro de fF D

E/D. No caso das matrizes ∆E/D, os c´alculos s˜ao feitos em pontos de energia

do eixo real entre os valores de µE e µD. No caso de n˜ao equil´ıbrio, o c´alculo de ∆E/D

pode ser problem´atico por conta de singularidades, pois estamos considerando ponto de energias no eixo real.

As equa¸c˜oes (3.27) e (3.28) s˜ao equivalentes do ponto de vista formal, mas isso n˜ao ´e verdade do ponto de vista pr´atico e computacional. A implementa¸c˜ao pr´atica mostra que existe um erro num´erico relacionado com o c´alculo da ∆E/D, indicado por

problemas de convergˆencia nas integrais das equa¸c˜oes (3.29) e (3.30). O erro num´erico ´e descrito por:

ˆ

Nerro = DD + ∆E − (DD + ∆E) (3.31)

Observou-se tamb´em que dependendo do sistema em estudo, um dos termos ∆D e ∆E s˜ao respons´aveis pelo erro. Logo, uma solu¸c˜ao para amenizar o erro ´e combinar

3.4 A corrente eletrˆonica 49