5. TARTIŞMA
5.3. Bireylerin Beslenme Durumları
Il s’agit de construire une suite (Un)n qui converge vers U solution de AU = F . Le coˆut de ces m´ethodes est proportionnel a celui du calcul de AV , et `a ce titre deux remarques s’imposent:
(i) La matrice A n’a jamais besoin d’ˆetre assembl´ee, car le calcul du produit AV s’effectue facilement `a partir de (12.8), la place m´emoire n´ecessaire est donc major´ee par une constante fois Nd.
(ii) Le fait que les bases de polynˆomes soient tensoris´ees r´eduit le coˆut de l’op´eration AV , ainsi chaque it´eration n´ecessite cNd+1 op´erations, et au total N (N) fois ce nombre pour converger, o`u N (N) repr´esente le nombre d’it´erations n´ecessaire `a la convergence (c’est-`a-dire le plus petit entier pour lequel on a UN (N ) = U). Le nombre de condition intervient dans ces m´ethodes par son influence sur le nombre d’it´erations [7].
Lemme 14.1. Pour la m´ethode de Richardson, on a la relation suivante :
N (N) = O (κ(A)) (14.1)
C’est-`a-dire dans notre cas N (N) = O (N3).
Lemme 14.2. Pour la m´ethode du gradient conjugu´e, on a la relation suivante :
N (N) = Oq
κ(A)
(14.2)
C’est-`a-dire dans notre cas N (N) = ON32
.
14.a. Gradient conjugu´e pr´econditionn´e
Le nombre d’it´erations croˆıt assez vite en fonction de N. Pour ´eviter ce type de comporte-ment, on utilise un pr´econditionnecomporte-ment, ce qui consiste `a remplacer le probl`eme (12.9) par le syst`eme
o`u P est une matrice facile `a inverser, et de pr´ef´erence sym´etrique d´efinie positive. L’id´ee consiste `a exhiber une matrice P telle que le nombre de condition de κ(P−12AP−12) (c’est-`a-dire le quotient de la plus grande valeur propre de P−1A par la plus petite) soit inf´erieur `a κ(A).
La m´ethode de gradient conjugu´e appliqu´ee au syst`eme pr´econditionn´e (14.3) est appel´ee m´ethode de gradient conjugu´e pr´econditionn´e. Elle s’´ecrit de la fa¸con suivante (on d´esigne par un point le produit scalaire euclidien de deux vecteurs) :
Etape d’initialisation : On choisit un vecteur U0 (nul par exemple) et on calcule
R0 = F − AU0, et P0 =Q0 = P−1R0 (14.4)
Etape n : On suppose connus les vecteurs Un,Rn,Pn et Qn. Si le vecteur Rn est nul, on arrˆete le calcul. Sinon, on pose
αn = Rn· Qn Pn· APn , Un+1 = Un + αnPn, Rn+1 =Rn− αnAPn et Qn+1= P−1Rn+1, (14.5) βn = Rn+1· Qn+1 Rn· Rn , Pn+1 =Qn+1+ βnPn. On arrˆete la calcul une fois que :
Rn· Rn
F · F ≤ ε,
ε ´etant le crit`ere d’arrˆet, c’est-`a-dire, la pr´ecision avec laquelle on d´esire r´esoudre le syst`eme alg´ebrique. Pour le syst`eme pr´econditionn´e, le nombre d’it´erations devient proportion-nel `a la racine carr´e du nombre de condition de l’op´erateur pr´econditionn´e, ici ´egale `a
r
κP−21AP−12
. Une analyse de diff´erents pr´econditionneurs est pr´esent´ee dans [8, Sec-tion 5.2]. Pour plus de pr´ecision concernant la quesSec-tion on ref`ere `a [2].
14.b. Exemples de pr´econditionneur
Nous pr´esentons deux pr´econditionneurs :
Pr´econditionnement par la diagonale: La matrice P est diagonale et ses termes diagonaux sont ceux de la matrice A, c’est-`a-dire αjjρk+ αkkρj. On montre, par exemple dans [17], que pour ce choix on a κ(P−1
2AP−1
2)≤ cN2.
Pr´econditionnement par diff´erences finies: La matrice P est choisie ´egale `a la matrice de discr´etisation du mˆeme probl`eme mais par diff´erences finies `a l’ordre 2 sur la grille ΞN. En dimension un le syst`eme correspondant s’´ecrit
−2 δj−1(δj+ δj−1)uj−1+ 2 δj−1δjuj + −2 δj(δj + δj−1)uj+1= fj, j = 1, ..., N − 1
avec “les bonnes conditions aux limites”, ici δj = ξj− ξj−1. L’op´erateur pr´econditionn´e a un nombre de condition ind´ependant de N. Une ´etude de ce pr´econditionneur a ´et´e effectu´ee dans le cadre d’une approximation par des polynˆomes de Tchebycheff, elle montre que ce nombre de condition vaut π2/4 (voir par exemple [8, Section 5.2]).
14.c. R´esultats num´eriques
On consid`ere le probl`eme (4.2) avec pour second membre f (x, y) = π2sin(πx) sin(πy) et comme conditions aux limites g = 0. La solution exacte est u(x, y) = sin(πx) sin(πy). Le tableau suivant montre le caract`ere spectral de l’approximation ainsi que la convergence exponentielle de l’erreur vers z´ero.
N 4 8 12 16 20 24
ku − uNkH1(Ω) 3.10−2 5.10−3 5.10−5 4.10−8 1.10−10 2.10−13
On s’int´eresse maintenant au cas o`u la solution attendue n’est pas tensorielle, on choisit pour cela comme second membre pour (4.1) la fonction f (x, y) = −95 ((x + y)/2)18. Ce probl`eme muni en plus des bonnes conditions aux limites admet comme solution u(x, y) = ((x + y)/2)20.
N 4 8 12 16 20 24
ku − uNkH1(Ω) 3.10−1 1.10−3 3.10−6 1.10−9 2.10−13 2.10−13
L`a aussi on retrouve les mˆemes remarques que dans le cas o`u la solution est tensorielle. Enfin, on s’int´eresse au cas o`u la solution du probl`eme (4.2) est peu r´eguli`ere, on choisit pour cela l’approximaion de la soution exacte u = r2(log r sin 2θ + θ cos 2θ) d´efinie sur ]0, 1[2. Elle satisfait ∆u = 0. Les conditions aux limites associ´ees sont reguli`eres et sont donn´ees par : sur y = 0, g = 0, sur x = 0, g(y) =−π
2y2 et enfin sur les autres cˆot´es, c’est la restriction de xy log(x2+ y2) + (x2− y2) arctg y
x.
Contrairement aux deux exemples pr´ec´edents, ici la solution attendue est peu r´eguli`ere (u∈ H3−ε). Le tableau ci-dessous montre que son approximation est lente, et que pour atteindre une erreur d’approximation de l’ordre de 10−5 il nous a fallu des polynˆomes de degr´e 20. On notera que pour la mˆeme repr´esentation spectrale on a une pr´ecision de l’ordre de 10−13pour les deux premiers cas.
N 10 20 30 40 50 60 70 80
Dans le graphe suivant, on repr´esente le logarithme (d´ecimal) de l’erreur en fonction de celui de N. Les × correspondent aux valeurs exhib´ees dans le deuxi`eme exemple et les + `a celles du troisi`eme exemple. On constate que les × ne sont pas align´ees (la th´eorie pr´evoit une d´ecroissance exponentielle). Quant aux +, on peut voir qu’ils sont (presque) align´es sur une droite de pente −4 (qui, sur le graphe, vu le choix des ´echelles, est parall`ele `a une diagonale). C’est parfaitement en accord avec le r´esultat (10.21).
✲ ❄ 0.5 1 1.5 2 log N log|u − uN| −2 −4 −6 −8 + + + + + + + + × × × × ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅❅ Figure 3
