Binomyal Model (Kesikli Zaman Modelleri)

İki dallı (binomyal), üç dallı (trinomyal) ve ağ versiyonları bulunan ancak kullanımda genellikle binomyal olarak gördüğümüz Kesikli Zaman modelleri Reel opsiyonların değerlemesinde yaygın şekilde kullanılan oldukça kullanışlı araçlardır (Brandão, 2005:8-10). Bu modellerin hepsi limitte (zaman aralığı sıfıra yaklaştıkça) Sürekli Zaman Modellerine yakınsamak için geliştirilmiştir. Bu model ile karar verme sürecindeki esneklikler sebebiyle getiri ve risk dağılımında ortaya çıkan değişimler kaynaklı değişken indirgeme oranlarının üstesinden gelinmesi mümkün olmaktadır (Trigeorgis, 1999). Bu da ancak, gerçek koşulların modelde riske kayıtsız şekilde yeniden kurgulanmasıyla yapılmaktadır. Opsiyonları ortaya çıkaran yönetimsel esnekliklerin, karar ağaçlarında kullanılan analizle sağlıklı bir şekilde ortaya konulabilmesinden dolayı, bu esneklikler binomyal ağaçlar şeklinde gösterilmektedir.

Bu ağaç diyagramları, örneğin bir opsiyonun değerini belirleyen dayanak varlığın muhtemel fiyat güzergâhlarını, “rassal yürüyüş” varsayımı çerçevesinde ortaya koymaktadır. Bu modelde, birbirini takip eden her zaman diliminde, dayanak varlığın fiyatı belli bir ihtimal çerçevesinde belli bir oranda artmakta veya azalmaktadır. Bu zaman dilimlerinin büyüklüğü sıfıra yaklaştığında ise bu model bizi daha öncede bahsedildiği gibi Black-Scholes-Merton modeline götürmektedir.

68 3.2.1.1 Tek Adımlı Binomyal Model

Modelin anlaşılabilirliğini kolaylaştıracağı düşünüldüğünden, modelin açıklanması için bir örnekle başlanması uygun görülmüş ve tek aşamalı (tek zaman dilimli) bir örnekle başlanmıştır. Elimizde Avrupa tipi bir alım opsiyonu bulunduğu ve bu opsiyonun bize 3 ay sonunda bir hisse senedini 105 TL’den alım hakkı verdiği; bu hisse senedinin mevcut fiyatının 100 TL olduğu ve bu fiyatın 3 ay sonunda 110 TL’ye yükseleceği veya 90 TL’ye düşeceği varsayılmıştır. 3 ayın sonunda opsiyonumuzun değeri, Şekil 3.5’te gösterildiği gibi eğer hisse senedinin fiyatı 110 TL’ye yükselirse 5 TL; 90 TL’ye düşerse 0 TL (değersiz) olacaktır.

Şekil 3.5: Hisse Senedi Muhtemel Fiyat Hareketleri

Arbitraj imkânlarının bulunmadığı varsayımı çerçevesinde, opsiyonun fiyatı şu şekilde hesaplanacaktır. Öncelikle, 3 ay sonundaki değerini kesin olarak bilebileceğimiz şekilde, hisse senedi ve opsiyonlardan oluşan bir portföy oluşturtulacaktır. Böylece, ilgili dönem sonundaki değeri kesin olarak bilindiğinden dolayı portföy herhangi bir risk taşımayacak ve portföyün beklenen getirisi risksiz getiri oranına eşit olacaktır. Portföyün, ∆ sayıda hisse senedinde uzun ve 1 adet alım opsiyonunda kısa pozisyon taşıdığı varsayıldığında, portföyü risksiz hale getiren ∆ şu şekilde hesaplanmıştır: Eğer hisse senedi fiyatı, 100TL’den 110TL’ye giderse portföydeki hisse senetlerinin değeri 110∆ TL, opsiyonun değeri 5 TL ve böylece portföyün değeri (110∆-5) TL olacak; eğer hisse senedi fiyatı 90

69

TL’ye düşerse hisse senetlerinin değeri 90∆, opsiyonun değeri 0 TL ve böylece portföyün değeri (90∆) TL olacaktır. Portföyün nihai değerini her iki durumda da eşitleyen bir ∆ seçildiğinde, portföy risksiz olacaktır. Bu şartlarda, 110∆-5 = 90∆ ve dolayısıyla ∆ = 0,25 olacak; risksiz portföy, 0,25 adet hisse senedi uzun pozisyonu ile 1 adet opsiyon kısa pozisyonundan oluşacaktır. Portföyün değeri ise hisse senedi fiyatının hareket yönünden bağımsız olarak 22,5 TL olacaktır. (Portföyün değeri, Hisse senedi fiyatı yukarı hareket ettiğinde 110*0,25-5=22,5 TL; aşağıya doğru hareket ettiğinde de 90*0,25=22,5 TL olmaktadır.) Portföy risksiz olduğuna göre getirisi de risksiz getiri oranında olmalıdır.

Sürekli bileşik risksiz getiri oranını yıllık %16³ olarak aldığımızda portföyümüzün bugünkü değeri 22,5𝑒^{−0,16∗3/12} = 21,63 TL olmaktadır. Portföyümüzde 0,25 adet hisse senedi ve 1 adet opsiyon olduğunu düşündüğümüzde, portföyümüzün bugünkü değeri için (0,25*100)-(1*f) = 21,63 eşitliği kurulmakta ve bu eşitlikten Opsiyon fiyatı (f), 3,37 TL olarak hesaplanmaktadır. Bu değer, arbitraj imkânları bulunmadığında opsiyonun bugünkü değeridir. Eğer opsiyonun fiyatı bu değerden yüksek olsaydı, yatırımcı opsiyon satıp hisse senedi satın alarak bugünkü portföyünü daha düşük bir fiyata mâl edecek;

dolayısıyla 3 ay sonraki getirisi risksiz getiri oranından yüksek olacak ve bir arbitraj imkânına sahip olacaktı. Eğer opsiyonun fiyatı bu değerden düşük olsaydı, bu sefer de yatırımcı bu opsiyonları satın alıp hisse senedi satarak yine arbitraj imkânına sahip olacaktı. Bu iki duruma örnek olarak hazırlanan Tablo 3.2’de opsiyonun 3,37 TL yerine 5 TL gibi yüksek bir değerden fiyatlandığında oluşan arbitraj imkânı; Tablo 3.3’de ise opsiyonun 3,37 TL yerine 2 TL gibi düşük bir değerden fiyatlandığında oluşan arbitraj imkânı gösterilmektedir. Tabloların 1. Sütunundaki “+“ işareti “alım”; “-“ işareti “satım”

yönündeki kararları göstermektedir.

3 Hazine tarafından 2018 yılında ihale yöntemiyle satılan tüm Hazine Bonoları ve Devlet tahvilleri için bütün vadelerde oluşan ortalama yıllık basit faiz %16,8’dir. Kaynak:

https://www.tcmb.gov.tr/wps/wcm/connect/TR/TCMB+TR/Main+Menu/Istatistikler/Piyasa+Verileri/ihal e+Yontemi+ile+Satilan+Hazine+Bonolari+ve+Devlet+Tahvilleri/

70

Tablo 3.2: Alım Opsiyonunun Yüksek Fiyatlandırıldığı Durumda Arbitraj

TL Bugünkü Nakit

Dengesi (S= 100)

Vade Sonu Nakit Dengesi (Sd = 90)

Vade Sonu Nakit Dengesi (Sd = 110)

-Alım Opsiyonu 5 0 -5

+0,25 Hisse Senedi -25 22,5 27,5

-Bono 20 -20,8 -20,8

NET 0 1,7 1,7

Tablo 3.3: Alım Opsiyonunun Düşük Fiyatlandırıldığı Durumda Arbitraj

TL Bugünkü Nakit

Dengesi (S= 100)

Vade Sonu Nakit Dengesi (Sd = 90)

Vade Sonu Nakit Dengesi (Sd = 110)

+Alım Opsiyonu -2 0 5

-0,25 Hisse Senedi 25 -22,5 -27,5

+Bono -23 23,9 23,9

NET 0 1,4 1,4

Yukarıdaki örnek çerçevesindeki belirlemeler aşağıda denklemlere dönüştürülmektedir.

Denklem değişkenleri:

S0: Hisse senedinin mevcut fiyatı

f: Opsiyonun (veya hisse senedine bağlı herhangi bir türev ürünün) mevcut fiyatı T: Opsiyon vadesi

u: Hisse senedinin yukarı yönlü fiyat değişimi (u-1|u>1: Hisse senedindeki yüzdesel değişim)

d: Hisse senedinin aşağı yönlü fiyat değişimi (1-d |d<1: Hisse senedindeki yüzdesel değişim)

fu: Hisse senedi fiyatı S0u’ya çıktığında opsiyonun getirisi fd: Hisse senedi fiyatı S0d’ye düştüğünde opsiyonun getirisi olarak belirlenmiş ve bu değişkenler Şekil 3.6’da gösterilmiştir.

71

Şekil 3.6: Tek Aşamalı Ağaçta Hisse Senedi ve Opsiyon Fiyatları

Örnekte olduğu gibi portföyün ∆ adet hisse senedi uzun pozisyonu ve 1 adet opsiyon kısa pozisyonu taşıdığı varsayılıp, portföyü risksiz hale dönüştüren ∆’nın hesaplanması gerekmektedir. Hisse senedinin fiyatı yukarı gittiğinde portföyün değeri “S0u∆ - fu”; aşağı gittiğinde “S0d∆ - fd” olacak, bu iki denklemi eşitleyen ∆ ise aşağıda (3.1) numaralı denklemde gösterildiği gibi olacaktır.

S0u∆ - fu = S0d∆ - fd

∆ = (fu- fd) / ( S0u - S0d) (3.1) Risksiz Portföyün bugünkü değeri (Π0) ise portföyün gelecekteki değerinin risksiz getiri üzerinden indirgenmesiyle,

Π0 = (S0u∆ - fu)e^-rT

olacak ve bu değerin (3.2.1) numaralı denklemde gösterildiği şekilde portföyümüzün kuruluş maliyetiyle eşitlenmesinden, (3.2.2) numaralı denklemle gösterilen opsiyonun bugünkü fiyatına ulaşılacaktır.

Π0 = (S0∆ - f) = (S0u∆ - fu)e-rT (3.2.1) f = S0∆(1-ue^-rT) + fue^-rT (3.2.2) (3.2.1) numaralı denklemdeki (S0∆ - f) terimi, eşitliğin en sağındaki (S0u∆ - fu) teriminin risksiz faiz oranı üzerinden indirgenmiş değeri olduğu göz önüne alındığında, (S0u∆ - fu) terimi n adet risksiz tahvilin dönem sonu değeri olarak düşünülebilir ve (3.2.1) numaralı eşitlik opsiyon değerinin hisse senedi ve tahvil değeri üzerinden hesaplanmasını gösteren (3.3) numaralı denklemde gösterildiği şekilde de yazılabilir.

72

𝑆₀∆ − 𝑓 = 𝑛𝐵_𝑇𝑒^−𝑟𝑇 𝑆₀∆ − 𝑓 = 𝑛𝐵₀

𝑓 = 𝑆₀∆ − 𝑛𝐵₀ (3.3) (3.1) numaralı denklemdeki ∆ değerinin (3.2.2) numaralı denklemdeki ∆ değerinin yerine konulmasıyla (3.4) numaralı denklemde gösterilen opsiyonun bugünkü değerine ulaşılacaktır.

f = S0( ^{𝑓𝑢−𝑓𝑑}

𝑆0𝑢−𝑆0𝑑)(1-ue^-rT) + fue-rT f = [fu(1-de^-rT) + fd(ue^-rT-1)]/(u-d) (3.4) Yukarıdaki denklemi basitleştirmek için aşağıda (3.5) numaralı eşitlikte belirtildiği şekilde bir “p” değişkeni tanımlayıp, (3.4) numaralı denklemde yerine koyduğumuzda opsiyonun bugünkü değerini gösteren (3.6) numaralı denkleme ulaşılmaktadır.

p= (e^rT – d)/(u-d) (3.5) f = e^-rT[pfu + (1-p) fd] (3.6) Bir önceki sayısal örnekte kullanılan veriler (S0=100; T=3 ay; u=1,1; d=0,9; fu=5; fd=0;

r= %16), (3.5) ve (3.6) numaralı denklemlerde yerine konulduğunda, (3.7) ve (3.8) numaralı denklemlerde gösterildiği şekilde hesaplanan opsiyon fiyatının (f), aynı sayısal örnekte formül kullanılmadan sadece basit matematiksel işlemlerle hesaplanan önceki opsiyon fiyatıyla aynı olduğu görülmektedir.

p = (e^0,16*3/12 – 0,9) / ((1,1 – 0,9) = 0,70 (3.7) f = e^-0,16*3/12[0,70*5 + 0,30*0] = 3,37 (3.8)

3.2.1.1.1 Riske Kayıtsız Değerleme

Opsiyonlar piyasalarda alınıp satılan ve belli riskleri olan bir finansal enstrüman olduğuna göre, bu enstrümanın fiyatının yatırımcıların risk tercihlerinden bağımsız olmadığı;

dolayısıyla bu enstrümanların değerlemesinde riske kayıtsız bir değerleme yaklaşımının doğru sonuçlar vermeyebileceği eleştirisi getirilebilir. Bu eleştiri ise opsiyon fiyatının

73

tamamen dayanak varlığın fiyatı tarafından belirlendiği; yatırımcıların risk tercihlerinin ise ancak bu dayanak varlığın fiyatını etkilediği; örneğin yatırımcıların riskten kaçınma eğilimi arttıkça dayanak varlığın (örneğin hisse senedinin) fiyatının düşeceği ancak dayanak varlığın fiyatına bağlı olarak opsiyon fiyatını belirleyen denklemin değişmeyeceği düşünülerek yanıtlanabilir. Riske Kayıtsız bir dünyada, dayanak varlığın gerçek dünyada sürekli değişen beklenen getirisi ve türev üründen elde edilen getirinin indirgeme faktörü risksiz orana eşitleneceğinden, türev ürünün değerlemesi oldukça kolaylaşacaktır. Bu çerçevede, yukarıda tanımladığımız “p” değişkeninin riske kayıtsız dünyadaki yukarı yönlü; “1-p” değişkeninin ise aşağı yönlü fiyat hareketinin ihtimalleri olarak değerlendirilmesi mümkündür.

Böylece, “p fu + (1-p) fd” terimi türev ürünün riske kayıtsız bir dünyada gelecekte beklenen değerini verirken; “e^-rT[pfu + (1-p)fd]” terimi gelecekteki değerini belirlediğimiz türev ürünün bugünkü değerini verecektir.

3.2.1.1.2 Riskin Piyasa Fiyatı (Market Price of Risk)

Riske kayıtsız değerlemede, türev ürünün değerini belirleyen dayanak varlığın gerçek stokastik sürecinden riske kayıtsız stokastik sürecine ulaşmak için dayanak varlığın beklenen büyüme oranı, bu varlığın risk primi oranında düşürülür. Dayanak varlığın risk primi ise riskin piyasa fiyatı ile dayanak varlığa ait oynaklığın (riskin) çarpımı suretiyle hesaplanır. Böylece, dayanak varlığa bağlı olarak ortaya çıkan nakit akışlarının risksiz getiri oranı üzerinden indirgemeye tabi tutulması imkânı doğar (Hull, 2012:767).

Bir yatırımı değerlendirmeye yönelik reel opsiyon yaklaşımının, yatırımın değerini belirleyen tüm belirsiz değişkenler için riskin piyasa fiyatını gerektirdiğine dikkat edilmelidir. Buna göre, bir yatırımı reel opsiyonlar yaklaşımı altında değerlendirmek için,

74

riskin piyasa fiyatı kullanılmak suretiyle dayanak varlığa yönelik riske kayıtsız süreç tahmin edilmekte ve yatırım için formüle edilen finansal modelin değerlemesi riske kayıtsız süreç ve risksiz getiri oranı üzerinden yapılmaktadır (Kayhan, 2016:29). Risksiz bir dünyada her yıl gerçekleşen NNA için alternatif senaryolar oluşturmak üzere finansal model üzerinde Monte Carlo simülasyonu gerçekleştirilebilir. Yatırımın değeri, her yıl beklenen NNA’nın risksiz getiri oranında iskonto edilmesiyle bulunan NBD olacaktır.

Dayanak varlık için riskin piyasa fiyatı, bu dayanak varlığa bağlı opsiyonların/türev varlıkların risk ve getirileri arasındaki dengeyi belirler. Riskin piyasa fiyatının ölçümünde aşağıdaki denklemden faydalanılmaktadır (Hull, 2015:655-657).

𝜆 =

^𝜇−𝑟

𝜎

(3.9)

𝜆𝜎 = 𝜇 − 𝑟

(3.10) (3.10) numaralı denklemin sol tarafındaki “σ”, türev varlığın değerini belirleyen dayanak varlığın risk miktarını, “λ” ise bu riskin fiyatını gösterirken; denklemin sağ tarafı bu riski telafi etmek için gerekli olan risksiz faiz oranını aşan beklenen getiriyi (risk primini) göstermektedir.

3.2.1.1.3 “p” Değerinin Doğrulanması

Daha önce p değerinin riske kayıtsız dünyada dayanak varlık değerindeki artış ihtimali olduğu belirtilmişti. Eğer artış ihtimali p ise, dayanak varlığın beklenen getirisinin risksiz getiri oranında olması gerekmektedir.

𝐸(𝑆_𝑇) = 𝑝𝑆₀𝑢 + (1 − 𝑝)𝑆₀𝑑 𝐸(𝑆_𝑇) = 𝑝𝑆₀(𝑢 − 𝑑) + 𝑆₀𝑑

Daha önce tanımladığımız “p =(e^rT – d)/(u-d)” değerini denklemde yerine koyarsak, 𝐸(𝑆_𝑇) = 𝑆₀𝑒^𝑟𝑇

75

eşitliği elde edilir. Söz konusu eşitlikten görüleceği üzere, dayanak varlığımızın değeri T süresi içinde S0’dan S0 e^rT’ye yükselmiş; bir diğer anlatımla dayanak varlığımızın değeri beklendiği gibi risksiz faiz oranı olan “r” oranında artış göstermiştir.

Özetle, riske kayıtsız değerleme yöntemi kullanılırken önce dayanak varlığın ve dolayısıyla türev ürünün muhtemel fiyat seviyelerinin olasılıkları riske kayıtsız bir dünya için hesaplanacak; daha sonra bu olasılıklar çerçevesinde hesaplanan gelecekteki muhtemel türev ürün değeri risksiz faiz oranı üzerinden indirgenerek, türev ürünün bugünkü değeri bulunacaktır.

3.2.1.2 İki Adımlı Binomyal Ağaç

Önceki bölümde açıklanan tek adımlı binomyal ağacın gerçek dünyadaki uygulamalara daha da yakınlaştırılması için adım sayısının arttırılması gerekmektedir. Bu çerçevede iki adımlı bir binomyal ağaçta ortaya çıkan opsiyon fiyatının belirlenmesi 3.7 numaralı şekilden hareketle açıklanacaktır. Her bir adım arasında geçen süre ∆t olarak belirlenmiştir.

Şekil 3.7: İki Adımlı Ağaçta Dayanak varlık ve Opsiyon Fiyatları

76

Tek adımlı binomyal ağaçta gösterildiği üzere, ∆t süre sonrası fiyatını “[pfu + (1-p) fd]”

bulduğumuz opsiyonun bügünkü değeri “f = e^-rT[pfu + (1-p) fd]”dir. Bu çerçevede, fu = e^-r∆t [pfuu + (1-p) fud]

fd = e^-r∆t [pfud + (1-p) fdd]

olacaktır. Bu iki denklemi, yukarda opsiyonun bugünkü değerini gösteren denklemde yerine koyarsak,

f = e^-2r∆t [p²fuu + 2p(1-p) fud + (1-p)²fdd] (3.11)

denklemi elde edilecektir. p², 2p(1-p) ve (1-p)² terimleri opsiyonumuzun sırasıyla üst, orta ve alt düğüm noktalarına ulaşma ihtimalleri olup, bu ihtimallerin opsiyonumuzun bu düğümlerdeki değerleriyle çarpılıp toplanmasından, opsiyonumuzun riske kayıtsız dünyadaki beklenen değeri hesaplanmakta ve bu değerin risksiz getiri oranı üzerinden bugüne indirgenmesiyle opsiyonumuzun bugünkü değerine ulaşılmaktadır. Aynı değerleme metodunu ikiden fazla adımlı örneği n (=T/∆t>2) adımlı bir opsiyona uygularsak opsiyonumuzun bugünkü değeri (3.12) numaralı denklemde gösterildiği gibi olacaktır.

f = e^−nr∆t∑ (^𝑛_𝑘)𝑝^𝑘(1 − 𝑝)^𝑛−𝑘𝑓_𝑛

𝑛

𝑘=0

(3.12)

𝑝: 𝑌𝑢𝑘𝑎𝑟𝚤 𝑎𝑑𝚤𝑚 𝑖ℎ𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙𝑖

𝑘: 𝑇 𝑠ü𝑟𝑒𝑠𝑖 𝑏𝑜𝑦𝑢𝑛𝑐𝑎 (𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑛 𝑎𝑑𝚤𝑚𝑑𝑎𝑘𝑖)𝑦𝑢𝑘𝑎𝑟𝚤 𝑎𝑑𝚤𝑚 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝑓_𝑛: 𝑛 𝑎𝑑𝚤𝑚 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑜𝑝𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖

3.2.1.3 Binomyal Ağaç Metodunda Kullanılan Diğer Değişkenlerin Hesaplanması Binomyal ağaçları kullanırken opsiyonun bugünkü değerini veren (3.6) numaralı formülden görüleceği üzere “p” değişkenine ihtiyaç bulunmakta, bu değişkenin hesap edilebilmesi içinse (4) numaralı eşitlikten görüleceği üzere “u” ve “d” değişkenlerinin belirlenmesine ihtiyaç duyulmaktadır. “u” değişkeni ∆t zaman sürecinde “p” olasılığı

77

çerçevesinde dayanak varlığın değerinin kaç katına çıktığını, dolayısıyla “(u-1)”

değişkeni pozitif getiri oranını gösterirken; “d” değişkeni dayanak varlığın değerindeki

“1-p” olasılığı çerçevesinde düşüşü, dolayısıyla “(d-1)” değişkeni negatif getiri oranını göstermektedir. Bu çerçevede, u,d ve p değişkenleri verilen bir hareketteki beklenen değişim oranı (3.13) numaralı denklemde verilmiştir.

𝐸(𝑋) = 𝑝(𝑢 − 1) + (1 − 𝑝)(𝑑 − 1) (3.13) u ve d değişkenlerinin hesaplanmasına gelince, bu değişkenlerin dayanak varlığın oynaklığını yansıtacak şekilde belirlenmesi gerekmektedir. Dayanak varlığın standart sapmasını “σ” ile gösterirsek, ∆t ile belirteceğimiz kısa bir zaman sürecinde bu standart sapma “𝜎√∆𝑡 ” ve varyans “σ²∆t” olacaktır (Kritzman, 1995:72).

p1, p2,p3, …pn ihtimalle sırasıyla X1, X2, X3,…Xn değerlerini alan bir rassal X değişkeni için varyans hesabı ise aşağıdaki şekilde yapılacaktır.

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝜎_𝑥² = ∑(𝑥_𝑖 − 𝜇)²𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = ∑ 𝑥_𝑖²𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

+ ∑ 𝜇²𝑝_𝑖 − ∑ 2𝑥_𝑖𝜇𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = ∑ 𝑥_𝑖²𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝜇²∑ 𝑝_𝑖 − 2𝜇 ∑ 𝑥_𝑖𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

Burada, “∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖𝑝_𝑖” terimi “μ” ye eşitken; olasılıkların toplamını gösteren ”∑^𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖” terimi 1’e eşit olacak, dolayısıyla

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = ∑ 𝑥_𝑖²𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝜇²− 2𝜇²

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = ∑ 𝑥_𝑖²𝑝_𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝜇²

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝜎_𝑥² = 𝐸(𝑋²) − [𝐸(𝑋)]² ……….(3.14)

78

yazılabilecektir. (3.13) numaralı denklemdeki değişkenleri (3.14) numaralı denklemde yerine koyduğumuzda,

p(u-1)² + (1-p)(d-1)² – [p(u-1) + (1-p)(d-1)]² = σ²∆t

denklemi ortaya çıkacak ve bu denklemdeki “p” değerleri yerine (3.5) numaralı denklemdeki p değerini koyduğumuzda

e^r∆t(u+d)-ud- e^2r∆t = σ²∆t

ortaya çıkacaktır. Bu denklemi ise “e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! +……..” Taylor Serileri açılımı kullanarak çözersek, (3.15) numaralı denklemde gösterilen u ve d değerlerine ulaşılacaktır. Bu çerçevede, p’nin de (3.16) numaralı denklemde gösterildiği şekilde yazılması mümkün olacaktır (Cox, Ross ve Rubinstein, 1979).

u = 𝑒^{𝜎√∆𝑡} ve d = 𝑒^{−𝜎√∆𝑡} (3.15)

𝑝 =

^{𝑒𝑟∆𝑡− 𝑒−𝜎√∆𝑡}

𝑒^{𝜎√∆𝑡}− 𝑒^{−𝜎√∆𝑡} (3.16)

Belgede KAMU-ÖZEL İŞBİRLİĞİ MODELİ İLE GERÇEKLEŞTİRİLEN ULAŞTIRMA PROJELERİNİN REEL OPSİYONLAR YÖNTEMİYLE DEĞERLEMESİ (sayfa 78-89)