2.2. HZ MUSA’NIN HAYATI
2.2.2. Bebeklik ve Çocukluğu
Le champ neutronique dans l’espace de phase r´eduite associ´ee au groupe g se pr´esente sous la forme d’une ´equation de bilan de la population de neutrons, repr´esent´ee par la somme des variations de la densit´e de flux angulaire multigroupe Φg(~r, ~Ω, t) = ng(~r, ~Ω, t)vg
n dans
Boltzmann statique sans source externe de neutrons est consid´er´ee. Dans ces conditions, la source de neutrons Qg(~r, ~Ω) = Qg
S(~r, ~Ω) + Q g
f(~r, ~Ω) dans d
3rd2Ω doit ˆetre ´egale aux fuites et
aux collisions avec les noyaux expulsant les neutrons hors de l’hypervolume consid´er´e : ~ Ω · ~∇Φg(~r, ~Ω) + Σg(~r)Φg(~r, ~Ω) = Qg(~r, ~Ω) avec Σg(~r) =X x,j Nj(~r)˜σx,jg . (3.1) Source de diffusion La source de diffusion QgS(~r, ~Ω) =X h Z 4π d2Ω0Σh→gS (~r, ~Ω0 → ~Ω)Φh(~r, ~Ω0) (3.2)
tient compte de tous les neutrons produits dans le groupe g `a la suite d’une r´eaction de diffusion et Σh→gS (~r, ~Ω0 → ~Ω) est la section efficace macroscopique diff´erentielle de diffusion pour un neutron d’une direction incidente ~Ω0 vers ~Ω et du groupe h vers le groupe g. G´e- n´eralement, les r´eactions (n, x0n) sont aussi inclues dans QgS(~r, ~Ω) en normalisant ces termes (suppl´ementaires) au nombre de neutrons ´emis x0 (Rozon, 1998).
Le traitement angulaire des sources distinguent les diff´erentes m´ethodes de transport d´e- terministes, mais l’id´ee g´en´erale demeure toujours la mˆeme. La d´ependance angulaire de Σh→gS (~r, ~Ω0 → ~Ω) et de Φh(~r, ~Ω0) est remplac´ee par une s´erie de puissance finie. H´ebert (2009)
note que les polynˆomes de Legendre du cosinus de diffusion P`(~Ω · ~Ω0) et les harmoniques
sph´eriques r´eelles Rm ` (~Ω
0) et Rm
` (~Ω) sont tous indiqu´es pour cette tˆache, car ces bases or-
thogonales respectent les sym´etries du probl`eme. De plus, le th´eor`eme d’addition permet de relier directement P`(~Ω · ~Ω0) `a R`m(~Ω
0)Rm
` (~Ω) (H´ebert, 2009). L’ordre de diffusion L (ordre
de la s´erie finie) est souvent limit´e en pratique aux cas isotrope (L = 0) et lin´eairement anisotrope (L = 1). Pour le cas lin´eairement anisotrope, on obtient :
QgS(~r, ~Ω) = 1 4π X h Z 4π d2Ω0 1 X `=0 (2` + 1)Σh→gS,` (~r) ` X m=−` R`m(~Ω)Rm` (~Ω0)Φm,h` (~r, ~Ω0) = 1 4π X h h Σh→gS,0 (~r)φh(~r) + 3Σh→gS,1 (~r)~Ω · ~Jh(~r)i, (3.3)
o`u nous avons introduit le flux scalaire multigroupe (en notant φ0,h0 (~r) par φh(~r)) φg(~r) =
Z
4π
et le vecteur courant multigroupe ~ Jg(~r) = Z 4π d2Ω~ΩΦg(~r, ~Ω). (3.5) Source de fission
La source de fission Qgf(~r) est isotrope et repr´esente les neutrons du groupe g issus d’une fission au point ~r induite par un neutron, sans ´egard `a sa direction d’incidence ni `a son groupe initial. Ce processus est repr´esent´e par la section efficace macroscopique de production de neutrons de fission νΣh
f,j(~r) de l’isotope fissile j au point ~r, o`u ν est le nombre total de
neutrons ´emis par la fission du noyau j. La contribution de tous les isotopes fissiles j poss´edant une probabilit´e χgj d’´emettre un neutron dans le groupe g est tenue en compte dans la source de fission isotrope Qgf(~r) = 1 4πk X j∈fissiles χgj X h νΣhf,j(~r)φh(~r). (3.6) La constante de multiplication k est la valeur par laquelle il faut diviser le taux de fission pour qu’il soit ´egal aux disparitions par fuites et collisions et aux productions par diffusion (c.f. ´equation 3.1). k peut ´egalement ˆetre consid´er´ee comme l’inverse de la valeur propre d’un pseudo-probl`eme aux valeurs propres, ( ˆM − k−1F)φ = 0, o`ˆ u ˆM et ˆF sont respectivement les op´erateurs de disparition et de production de neutrons. L’introduction de la constante k est un artifice de calcul d´efinissant le concept de R´eacteur Critique Associ´e (RCA) qui permet d’´ecrire l’´equation de Boltzmann statique dans un cas g´en´eral o`u les disparitions ne sont pas n´ecessairement ´egales aux productions (Guillemin, 2009).
Fuites
Par analogie avec les d´eveloppements de l’optique g´eom´etrique, le parcours optique τ du neutron correspond `a l’int´egrale de la section efficace macroscopique totale le long d’une trajectoire rectiligne s~Ω : τg(s) =R0sΣg(~r − s0Ω)ds~ 0, o`u le param`etre s = |~r − ~r0| est d´efini sur le segment de droite reliant ~r `a ~r0. Physiquement, e−τg(s) repr´esente un facteur d’att´enuation
de la densit´e de neutrons du groupe g dans le milieu absorbant, alors que math´ematiquement, il s’agˆıt du facteur int´egrant permettant transformer l’´equation 3.1 sous sa forme int´egrale. L’astuce consiste `a consid´erer le terme de fuites ~Ω· ~∇Φg(~r, ~Ω) comme une d´eriv´ee directionnelle
en s de la densit´e de flux angulaire dΦg/ds. En int´egrant l’´equation 3.1 (`a sources isotropes)
sur l’espace [0, s∂V] et tous les angles solides, on obtient :
φg(~r) = φg(~r∂V)e−τ g(s ∂V)+ Z s∂V 0 ds e−τg(s)Qg(~r − s~Ω). (3.7)
Conditions aux fronti`eres
Les conditions `a la fronti`ere ∂V du domaine V reste `a ˆetre explicit´ees. Plusieurs types de conditions aux fronti`eres peuvent ˆetre impos´ees pour simuler diff´erents types d’environ- nement entourant le domaine V , tels que : la r´eflexion et la p´eriodicit´e pour simuler les milieux infinis, et le flux r´eentrant nul pour simuler les environnements finis avec fuites. Deux approches peuvent ˆetre utilis´ees pour la r´eflexion ou la p´eriodicit´e : sp´eculaire ou miroir, repr´esentant le comportement physique explicite ; ou isotrope, un comportement simplifi´e du flux aux fronti`eres. Les conditions sp´eculaires suivent le parcours des neutrons aux fronti`eres en imposant une diff´erence de 2[~Ω · ~N (~r∂V)] ~N (~r∂V) entre l’angle de sortie ~Ω et d’entr´ee ~Ω0, o`u
~
N (~r∂V) est la normale sortante au point ~r∂V. Les conditions isotropes imposent simplement
la continuit´e des flux scalaires sortant et entrant aux fronti`eres. En particulier, la condition de r´eflexion isotrope, souvent appel´ee la r´eflexion blanche, s’´ecrit φg+(~r∂V) = φg−(~r∂V), avec
φg±(~r∂V) =
Z
±~Ω· ~N (~r∂V)>0
d2Ωβg(~r∂V, ~Ω)[~Ω · ~N (~r∂V)]Φg(~r∂V, ~Ω) (3.8)
et βg(~r∂V, ~Ω) = 1 (Marleau, 2001). Des conditions d’alb´edo βg(~r∂V, ~Ω) 6= 1 sont aussi facile-
ment mod´elisables pour simuler un coefficient de r´eflexion non unitaire sur ∂V . M´ethode des probabilit´es de collision
La m´ethode des probabilit´es de collision est un traitement particulier de la d´ependance spatiale de l’´equation de transport qui se base sur une discr´etisation spatiale du domaine V = S
iVi et l’hypoth`ese des sources plates dans toutes les r´egions i. Celle-ci stipule que
Qg(~r) = Qgi et Σg(~r) = Σgi, ∀~r ∈ Vi. La m´ethode de transport consiste `a exprimer le flux
moyen φgi = V1
i
R
Vid
3rφg(~r) dans les r´egions i `a partir des sources r´eduites qg
j = 4πQ g j =
R
Vjd
3rqg(~r) dans toutes les r´egions j. Les coefficients de couplage entre les r´egions sont
appel´ees les probabilit´es r´eduites de collision pgij et mesurent la probabilit´e pour un neutron n´e dans Vj de subir une collision dans Vi. En consid´erant un domaine infini V en imposant un
flux r´eentrant nul aux fronti`eres (φg−(~r∂V) = 0), on peut r´eexprimer l’´equation 3.7 (Marleau,
2001; H´ebert, 2009) comme φgi =X j pgijqgj avec pgij = 1 Vi Z Vi d3r0 Z Vj d3re −τg(|~r−~r0|) 4π|~r − ~r0|2. (3.9)