Bu ksmda ilk olarak Talo ve Ba³ar tarafndan [22] de tanmlanan iki fuzzy say dizi cümlesi arasndaki matris dönü³ümü ve regüler matris tanm verildi. Daha sonra ise snrl bir fuzzy say dizisinin çekirde§i ile bir regüler matris altndaki dönü³üm dizisinin çekirde§i arasndaki kapsama ba§ntlar incelendi.
Tanm 5.1.1. [22] µ1(F ), µ2(F ) ⊂ w(F ) ve A = [ank] fuzzy saylarnn bir
sonsuz matrisi olsun. E§er her u = (uk) ∈ µ1(F ) dizisi için
(Au)n =
X
k
ankuk , (n ∈ N)
(5.1.1)
olmak üzere; Au = {(Au)n} dizisi mevcut ve µ2(F ) cümlesine ait ise, o zaman A,
µ1(F ) cümlesinden µ2(F ) cümlesine bir matris dönü³ümü tanmlar denir ve
A : µ1(F ) → µ2(F )
yazlr. E§er Au bir β saysna yaknsak ise, o zaman u dizisi A-toplanabilir denir ve β saysna, u = (uk) dizisinin A-limiti denir. E§er her u ∈ c(F ) için u dizisinin
A-limiti, u dizisinin limitine e³it ise A matrisi regülerdir denir ve A ∈ (c(F ), c(F ), p)
yazlr.
Teorem 5.1.1. [22, Teorem 4.6] Her n, k ∈ N için ank 0 olsun. O zaman,
A = (ank) ∈ (c(F ) : c(F ); p) olmas için gerek ve yeter ³art
M = sup n∈N X k D(ank, 0) < ∞, (5.1.2) lim n→∞ank = 0, (k ∈ N) (5.1.3) ve lim n→∞ X k ank = 1 (5.1.4) olmasdr.
Lemma 5.1.1. [15, Lemma 5] u, v ∈ E1 olsun. ∀ε > 0 için u v +ε ise, u v
olur.
Lemma 5.1.2. u = (uk), v = (vk) snrl iki fuzzy say dizisi olsun. E§er her
k > k0 için uk vk olacak ³ekilde bir k0 ∈ N mevcut ise, o zaman
Lim sup u Lim sup v ve Lim inf u Lim inf v sa§lanr.
spat. k > k0 için uk vk olacak ³ekilde bir k0 ∈ N mevcut olsun. Bu durumda;
Bu =µ ∈ E1 : {k ∈ N : uk µ} ∈ PI(N)
olmak üzere; µ ∈ Bu ise, µ ∈ Bv olur. Yani, Bu ⊆ Bv olur. Dolaysyla
sup Bu sup Bv
olur. Bu ise, Lim sup u Lim sup v olmas demektir. Di§er taraftan Av =ν ∈ E1 : {k ∈ N : vk ≺ ν} ∈ PI(N)
olmak üzere; ν ∈ Av ise, ν ∈ Au olur. Yani, Av ⊆ Au olur. Dolaysyla,
inf Au inf Av
olur. Bu ise, Lim inf u Lim inf v olmas demektir. Lemma 5.1.3. u, v ∈ E1 ve r ∈ R olsun.
(i) u v + r ise u − r v olur. (ii) u ≺ v + r ise u − r ≺ v olur.
spat. u v + r olsun. Bu durumda her bir α ∈ [0, 1] için u−(α) ≤ v−(α) + r ve u+(α) ≤ v+(α) + r olur. Buradan her bir α ∈ [0, 1] için
u−(α) − r ≤ v−(α) ve u+(α) − r ≤ v+(α) elde edilir. Bu ise, u − r v olmas demektir.
u ≺ v + r olsun. Bu durumda u v + r ve bir α0 ∈ [0, 1] için
u−(α0) < v−(α0) + r veya u+(α0) < v+(α0) + r
olur. (i) ³kkndan u − r v ve ayrca α0 için
u−(α0) − r < v−(α0) veya u+(α0) − r < v+(α0)
olur. Dolaysyla u − r ≺ v elde edilir.
Lemma 5.1.4. u = (uk)snrl bir fuzzy say dizisi ve r ∈ R olsun. Bu durumda
Lim sup(uk+ r) Lim sup uk+ r
ve
Lim inf(uk+ r) Lim inf uk+ r
spat. Lim sup u = µ ve c ∈ B(u+r) olsun. Bu durumda
{k ∈ N : uk+ r c} ∈ PI(N)
olur. Dolaysyla Lemma 5.1.3 gere§ince,
{k ∈ N : uk c − r} ∈ PI(N)
elde edilir. Bu ise c − r ∈ Bu olmas demektir. µ = sup Bu oldu§undan c − r µ
olur. Yine Lemma 5.1.3 gere§ince c µ + r bulunur. Her c ∈ B(u+r) için c µ + r
olaca§ndan sup B(u+r) µ + r olur.
Lim sup(uk+ r) = sup B(u+r)
oldu§undan ispat tamamlanr. Benzer ³ekilde
Lim inf(uk+ r) Lim inf uk+ r
oldu§u gösterilebilir.
Lemma 5.1.5. [24, Lemma 6] Herhangi iki u, v fuzzy saylar ve ε > 0 için a³a§daki ifadeler denktir.
(i) D(u, v) ≤ ε
(ii) u − ε v u + ε.
Teorem 5.1.2. u = (un), v = (vn) snrl iki fuzzy say dizisi olsun. E§er
lim
n D(un, vn) = 0
ise çek{u} = çek{v} olur.
spat. limnD(un, vn) = 0 olsun. Bu durumda herbir ε > 0 says için bir n0 ∈ N
mevcuttur öyle ki her n ≥ n0 için
un− ε vn un+ ε
olur. Burada Lemma 5.1.2 ve Lemma 5.1.4 göz önünde bulundurularak vn un+ ε
e³itsizli§inden,
Lim sup vn Lim sup(un+ ε)
Lim sup un+ ε
elde edilir. Di§er taraftan un − ε vn e³itsizli§inden un vn + ε bulunur. Bu
e³itsizlikten Lemma 5.1.2 ve Lemma 5.1.4 gere§ince, Lim sup un Lim sup(vn+ ε)
elde edilir. ε key oldu§undan
Lim sup vn Lim sup un ve Lim sup un Lim sup vn
e³itsizliklerine ula³lr. Bu ise Lim sup vn = Lim sup un olmas demektir. Benzer
³ekilde Lim inf vn = Lim inf un oldu§u gösterilebilir. u = (un), v = (vn) fuzzy say
dizilerinin alt ve üst limit de§erleri e³it oldu§undan çek{u} = çek{v} olur. Teorem 5.1.3. u = (un), v = (vn) iki fuzzy say dizisi olsun. E§er
lim
n D(un, vn) = 0
ise bu dizilerin y§lma noktalarnn cümleleri e³ittir, yani Lu = Lv olur.
spat. limnD(un, vn) = 0olsun ve µ0 ∈ Lualalm. Bu durumda limkunk = µ0olacak
³ekilde (un)dizisinin bir (unk)alt dizisi vardr. Hipotezden limkD(unk, vnk) = 0olur.
Buradan,
D(vnk, µ0) ≤ D(unk, µ0) + D(unk, vnk)
e³itsizli§inde k → ∞ için limit alnrsa limkvnk = µ0 elde edilir. Dolaysyla µ0 ∈ Lv
olur. µ0 fuzzy says Lu cümlesinin key bir eleman oldu§undan Lu ⊆ Lv kapsamas
elde edilir. Benzer ³ekilde Lv ⊆ Lu kapsamasnn gerçekle³ti§i gösterilebilir. Bu iki
kapsamadan Lu = Lv elde edilir.
Teorem 5.1.4. A = [ank]negatif olmayan fuzzy saylarnn regüler bir matrisi,
u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve µ = Lim sup uk olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0)
için
K2(ε) = {k ∈ N : uk 6∼ µ + ε}
sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman
Lim sup Au Lim sup u sa§lanr.
spat. Lim sup u = µ olsun. Bu durumda; her ε ∈ (0, ε0) için Teorem 2.3.3 gere§i,
M2(ε) = {k ∈ N : uk µ + ε}
cümlesi sonludur. N1 = maks{k : k ∈ M2(ε)} diyelim. K2(ε) cümlesi de sonlu
alnrsa, o zaman her k > m için uk µ + ε kalr. tn = Pkankuk olmak üzere
t = (tn) dizisini tanmlayalm. Her k, n ∈ N için an,k 0 oldu§undan,
tn= X k ankuk = m X k=1 ankuk+ ∞ X k=m+1 ankuk (5.1.5) m X k=1 ankuk+ ∞ X k=m+1 ank(µ + ε)
elde edilir. imdi v = (vk) dizisini,
vk =
(
0, k ≤ m ise µ + ε, k > m ise
biçiminde tanmlayalm. Açk olarak limkvk = µ + ε olur. A matrisi regüler oldu-
§undan, lim n ∞ X k=m+1 ank(µ + ε) = lim n ∞ X k=0 ankvk = µ + ε
bulunur. Her bir k ∈ N için limnank = 0 oldu§undan,
lim n ( m X k=1 ankuk+ ∞ X k=m+1 ank(µ + ε) ) = µ + ε
elde edilir. (5.1.5) e³itsizli§inde Lim supn alnrsa, Lim sup t µ + ε olur. ε key
oldu§undan, Lim sup t µ bulunur.
A³a§daki teoremin ispat Teorem 5.1.4'ün ispatna benzer ³ekilde yaplabilir. Teorem 5.1.5. A = [ank]negatif olmayan fuzzy saylarnn regüler bir matrisi,
u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve ν = Lim inf uk olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0)
için
K1(ε) = {k ∈ N : uk 6∼ ν − ε}
sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman
Lim inf Au Lim inf u sa§lanr.
Teorem 5.1.4 ve Teorem 5.1.5 birle³tirilirse ³u sonuç elde edilir.
Sonuç 5.1.1. A = [ank] negatif olmayan fuzzy saylarnn regüler bir matrisi,
u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve ν = Lim inf uk, µ = Lim sup uk olsun. E§er
her ε ∈ (0, ε0) için
cümleleri sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman çek{Au} ⊆ çek{u} kapsa-
mas sa§lanr.
Bundan sonraki ksmda bir fuzzy say dizisinin Cesàro çekirde§i tanmland. Daha sonra ise dönü³üm dizisinin Cesàro çekirde§inin, esas dizinin çekirde§i içinde kalmas için matrisin ta³mas gereken ³artlar veren teorem ispatland.
Tanm 5.1.2. u = (un) fuzzy saylarnn bir dizisi olsun. E§er
σn= 1 n + 1 n X k=0 uk
genel terimli (σn)dizisi snrl ise, u = (uk) dizisi Cesàro snrldr denir.
Açk olarak snrl bir fuzzy say dizisi Cesàro snrldr.
Tanm 5.1.3. u = (uk) Cesàro snrl fuzzy say dizisinin Cesàro alt ve üst
limiti,
Aσ =µ ∈ E1 : {k ∈ N : σk≺ µ} ∈ PI(N) ,
Bσ =µ ∈ E1 : {k ∈ N : σk µ} ∈ PI(N) ,
olmak üzere
C1− Lim inf u = inf Aσ
C1− Lim sup u = sup Bσ
biçiminde tanmlanr.
Tanm 5.1.4. u = (uk) Cesàro snrl fuzzy say dizisinin Cesàro çekirde§i,
C1−çek{u} = [C1− Lim inf u, C1− Lim sup u]
(5.1.6)
kapal aral§ olarak tanmlanr.
Teorem 5.1.6. u = (uk) snrl bir fuzzy say dizisi ve ν = Lim inf uk, µ =
Lim sup uk olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0) için
K1(ε) = {k ∈ N : uk6∼ ν − ε}, K2(ε) = {k ∈ N : uk6∼ µ + ε}
cümleleri sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman C1 −çek{u} ⊆ çek{u}
sa§lanr. spat. ank = ( 1 n+1, 0 ≤ k ≤ n 0, di§er hallerde
olarak tanmlanrsa, σn = P ∞
k=0ankuk olur. Yaknsak her fuzzy say dizisi Cesàro
yaknsak oldu§undan, A = [ank] matrisi regülerdir. Dolaysyla Sonuç 5.1.1 gere§i,
C1−çek{u} ⊆ çek{u}
kapsamas elde edilir.
Bir fuzzy say dizisinin y§lma noktalarnn cümlesinin bo³ olabilece§i 2. Bö- lümde söylendi. Ayn ³ekilde, dizinin Cesàro dönü³üm dizisinin y§lma noktalarnn cümlesi de bo³ olabilir. Yani Lσ = ∅ olabilir. A³a§daki teorem hangi ³art altnda
Lσ 6= ∅ olaca§n göstermektedir.
Teorem 5.1.7. u = (uk)Cesàro snrl bir fuzzy say dizisi olsun. E§er {u−k(α)}
ve {u+
k(α)}fonksiyon dizileri (0, 1] üzerinde sol e³ sürekli iseler, o zaman (σn)dizisi
yaknsak bir alt diziye sahiptir. Yani Lσ 6= ∅ olur.
spat. Teoremi ispatlamak için {σ−
n(α)}ve {σ+n(α)}fonksiyon dizilerinin (0, 1] üze-
rinde sol e³ sürekli olduklarn göstermek yeterlidir. {u−
k(α)} fonksiyon dizisi (0, 1]
üzerinde sol e³ sürekli oldu§undan, her ε > 0 saysna kar³lk, α0
∈ (α − δ, α] olan her α0 , α ∈ (0, 1] ve her n ∈ N için |σ−n(α0) − σn−(α)| = 1 n + 1 n X k=0 u−k(α0) − 1 n + 1 n X k=0 u−k(α) ≤ 1 n + 1 n X k=0 |u−k(α0) − u−k(α)| ≤ ε
olacak ³ekilde bir δ = δ(ε) > 0 mevcuttur. Dolaysyla {σ−
n(α)}, (0, 1] üzerinde sol
e³ sürekli olur. Benzer ³ekilde {u+
k(α)}dizisinin (0, 1] üzerinde sol e³ süreklili§inden,
{σ+
n(α)} dizisinin, (0, 1] üzerinde sol e³ sürekli oldu§u gösterilebilir. (σn) dizisi Te-
orem 2.3.6'nn ³artlarn sa§lad§ndan yaknsak bir alt diziye sahiptir. Yani Lσ 6= ∅
olur.
Teorem 5.1.8. u = (uk)dizisinin her bir terimi 0 ile kyaslanabilen ve µ0 ∈ E1
saysna yaknsayan bir fuzzy say dizisi ve A = [ank] matrisi de her n, k ∈ N
için ank 0 ve her bir n için PkD(ank, 0) < ∞ olan bir matris olsun. O zaman
tn =
P
kankuk dönü³üm dizisinin µ0 saysna Cesàro yaknsak olmas için gerek ve
yeter ³art bnk = 1 n + 1 n X j=0 ajk olmak üzere, sup n∈N X k D(bnk, 0) < ∞, (5.1.7)
lim n→∞bnk = 0, (k ∈ N) (5.1.8) ve lim n→∞ X k bnk = 1 (5.1.9) ³artlarnn sa§lanmasdr.
spat. u = (uk) dizisi µ0 saysna yaknsak ve A matrisi için (5.1.7), (5.1.8), (5.1.9)
³artlar sa§lansn. Bu durumda; uk terimleri sfrla kyaslanabilir oldu§undan,
1 n + 1 n X j=0 m X k=0 ajkuk = m X k=0 1 n + 1 n X j=0 ajk ! uk= m X k=0 bnkuk
e³itli§i yazlr. Bu e³itlikte m → ∞ için limit alnrsa, 1 n + 1 n X j=0 tj = 1 n + 1 n X j=0 ∞ X k=0 ajkuk = ∞ X k=0 bnkuk
elde edilir. (5.1.7), (5.1.8), (5.1.9) ³artlar sa§land§ndan, Teorem 5.1.1 gere§ince,
lim n 1 n + 1 n X j=0 tj = lim n ∞ X k=0 bnkuk = µ0 bulunur.
Di§er taraftan; A matrisi, terimleri sfrla kyaslanabilen yaknsak her u = (uk)
dizisini Cesàro yaknsak bir diziye dönü³türsün. Bu durumda; özel olarak her bir k için u = (uk r) dizisi, ukr = ( 1, r = k 0, r 6= k ³eklinde seçilirse, lim n 1 n + 1 n X j=0 ∞ X r=0 ajrukr = lim n bnk = 0
elde edilir. Benzer ³ekilde; (uk) = (1, 1, 1...) seçilirse,
lim n 1 n + 1 n X j=0 ∞ X k=0 ajk1 = lim n ∞ X k=0 bnk = 1
olur. Di§er taraftan her n, k ∈ N için bnk 0oldu§undan D(bnk, 0) = b+nk(0)bulunur.
Ayrca; limn P∞ k=0bnk = 1 oldu§undan limn P∞ k=0b + nk(0) = 1 sa§lanr. Dolaysyla supnP∞ k=0b + nk(0) < ∞ elde edilir.
Teorem 5.1.9. u = (uk) dizisi her bir terimi 0 ile kyaslanabilen snrl bir
fuzzy say dizisi ve µ = Lim sup uk olsun. A = [ank], her n, k ∈ N için ank 0 ve
her bir n için PkD(ank, 0) < ∞, (5.1.7), (5.1.8), (5.1.9) ³artlarn sa§layan bir
matris olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0) için
K2(ε) = {k ∈ N : uk 6∼ µ + ε}
sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman
C1− Lim sup Au Lim sup u
sa§lanr.
spat. Lim sup u = µ ise; her ε ∈ (0, ε0)için Teorem 2.3.3 gere§i,
M2(ε) = {k ∈ N : uk u + ε}
cümlesi sonludur. N1 = maks{k : k ∈ M2(ε)} olsun. K2(ε) cümlesi de sonlu ol-
du§undan, N2 = maks{k : k ∈ K2(ε)} mevcuttur. Dolaysyla m = maks{N1, N2}
alnrsa, o zaman her k ≥ m için uk µ + ε kalr. tn =
P kankuk olmak üzere, 1 n + 1 n X j=0 tj = ∞ X k=0 bnkuk (5.1.10) = m X k=1 bnkuk+ ∞ X k=m+1 bnkuk m X k=1 bnkuk+ ∞ X k=m+1 bnk(µ + ε)
elde edilir. A matrisi (5.1.7), (5.1.8), (5.1.9) ³artlarn sa§lad§ndan,
lim n ( m X k=1 bnkuk+ ∞ X k=m+1 bnk(µ + ε) ) = µ + ε olur. (5.1.10) e³itsizli§inde Lim supn alnrsa,
C1− Lim sup(Au)n µ + ε
elde edilir. ε key oldu§undan C1− Lim sup(Au)n Lim sup un olur.
A³a§daki teoremin ispat Teorem 5.1.9'un ispatna benzer ³ekilde yaplabilir. Teorem 5.1.10. u = (uk) dizisi her bir terimi 0 ile kyaslanabilen snrl bir
fuzzy say dizisi ve ν = Lim inf uk olsun. A = [ank], her n, k ∈ N için ank 0 ve
her bir n için PkD(ank, 0) < ∞ , (5.1.7), (5.1.8), (5.1.9) ³artlarn sa§layan bir
matris olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0) için
sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman
C1 − Lim inf Au Lim inf u
sa§lanr.
Teorem 5.1.9 ve Teorem 5.1.10 birle³tirilirse a³a§daki sonuç elde edilir. Sonuç 5.1.2. u = (uk) dizisi her bir terimi 0 ile kyaslanabilen snrl bir fuzzy
say dizisi, ν = Lim inf uk ve µ = Lim sup uk olsun. A = [ank], her n, k ∈ N için
ank 0 ve her bir n için PkD(ank, 0) < ∞, (5.1.7), (5.1.8), (5.1.9) ³artlarn
sa§layan bir matris olsun. E§er her ε ∈ (0, ε0) için
K1(ε) = {k ∈ N : uk6∼ ν − ε} ve K2(ε) = {k ∈ N : uk6∼ µ + ε}
cümleleri sonlu olacak ³ekilde bir ε0 mevcut ise, o zaman C1 −çek{Au} ⊆ çek{u}
KAYNAKLAR
[1] A. Tauber, Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen, Monatsh. Math., 8 (1897), 273277.
[2] R. Schmidt, Über divergente Folgen und lineare Mittelbildungen, Math. Z., 22 (1925), 89152.
[3] G. H. Hardy, Divergent series, Oxford Univ. Press, 1956.
[4] F. Móricz, Necessary and su cient Tauberian conditions, under which con- vergence follows from summability (C,1), Bull. London Math. Soc., 26(1994), 288294.
[5] J. A. Fridy, M. K. Khan, Statistical extensions of some classical Tauberian theorems, Proc. Amer. Math. Soc., 128 (2000), 23472355.
[6] F. Móricz, Tauberian conditions, under which statistical convergence follows from statistical summability (C,1), J. Math. Anal. Appl., 275 (2002), 277287. [7] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Inform. Contr., 8 (1965), 2944.
[8] M. Matloka, Sequence of fuzzy numbers, BUSEFAL, 28 (1986), 2837.
[9] S. Nanda, On sequence of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 33 (1989), 123126.
[10] Ö. Talo, F. Ba³ar, Certain spaces of sequences of fuzzy numbers de ned by a modulus function, Demonstratio Math., 43(1) (2010), 139149.
[11] M. Ba³arr, M. Mursaleen, Some dierence sequence spaces of fuzzy number, J. Fuzzy Math., 11(3) (2003), 17.
[12] Ö. Talo, F. Ba³ar, On the space bvp(F ) of sequences of p-bounded variation of
fuzzy numbers, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 24(7) (2008), 12051212.
[13] F. Nuray, E. Sava³, Statistical convergence of sequence of fuzzy numbers, Math. Slovaca, 45 (1995), 269273.
[14] J. S. Kwon, On statistical and p-Cesàro convergence of fuzzy numbers, Korean J. Comput. Appl. Math., 7 (2000), 195203.
[15] S. Aytar, S. Pehlivan, Statistical cluster and extreme limit points of sequences of fuzzy numbers, Inform. Sci., 177(16) (2007), 32903296.
[16] S. Aytar, S. Pehlivan, Statistically monotonic and statistically bounded sequences of fuzzy numbers, Inform. Sci., 176 (2006), 734744.
[17] S. Aytar, S. Pehlivan, Addendum to "Statistically monotonic and statistically bounded sequences of fuzzy numbers [Inform. Sci. 176(2006), 734744]", In- form. Sci. 177(2) (2007), 655656.
[18] P. V. Subrahmanyam, Cesàro summability of fuzzy real numbers, J. Analysis, 7 (1999), 159168.
[19] B. C. Tripathy, A. Baruah, Nörlund and Riesz mean of sequences of fuzzy real numbers Appl. Math. Lett., 23(3) (2010), 282285.
[20] Y. Altn , M. Mursaleen, H. Altnok, Statistical summability (C,1) for sequences of fuzzy real numbers and a Tauberian theorem, J. Intell. Fuzzy Systems, 21 (2010), 379384.
[21] E. Sava³, On strongly λ-summable sequences of fuzzy numbers, Inform. Sci., 125 (2000), 181186.
[22] Ö. Talo, F. Ba³ar, Determination of the duals of classical sets of sequences of fuzzy numbers and related matrix transformations, Comput. Math. Appl., 58 (2009), 717733.
[23] Ö. Talo, F. Ba³ar, Quasilinearity of the classical sets of sequences of the fuzzy numbers and some applications, Taiwanese J. Math., 14(5) (2010), 17991819. [24] S. Aytar, M. Mammadov, S. Pehlivan, Statistical limit inferior and limit supe- rior for sequences of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 157(7) (2006), 976985.
[25] S. Aytar, S. Pehlivan, M. Mammadov, The core of a sequence of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 159(24) (2008), 33693379.
[26] A. M. Alotaibi, Cesáro statistical core of complex number sequences, Int. J. Math. Math. Sci., Article ID 29869 (2007), 9 pages.
[27] J. Boos, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford University Press Inc., New York, 2000, p. 167204.
[28] F. Móricz, B. E. Rhoades, Necessary and su cient Tauberian conditions for certain weighted mean methods of summability, Acta. Math. Hungar., 102(4) (2004), 279285.
[29] J. A. Fridy, On statistical convergence, Analysis, 5 (1985), 301313.
[30] F. Móricz, Ordinary convergence follows from statistical summability (C, 1) in the case of slowly decreasing or oscillating sequences, Colloq. Math., 99 (2004), 207219.
[31] I. J. Schoenberg, The integrability of certain functions and related summability methods, Amer. Math. Monthly, 66 (1959), 361375.
[32] J. -X. Fang, H. Huang, On the level convergence of a sequence of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 147 (2004), 417415.
[33] R. Goetschel, W. Voxman, Elementary fuzzy calculus, Fuzzy Sets and Systems, 18 (1986), 3143.
[34] C. Felbin, Finite dimensional fuzzy normed linear space, Fuzzy Sets and Sys- tems, 48 (1992), 239248.
[35] C. -X. Wu, C. Wu, The supremum and in mum of the set of fuzzy numbers and its application, J. Math. Anal. Appl., 210 (1997), 499511.
[36] B. Bede, S. G. Gal, Almost periodic fuzzy-number-valued functions, Fuzzy Sets and Systems, 147(2004), 385403.
[37] H. Li, C.Wu, The integral of a fuzzy mapping over a directed line, Fuzzy Sets and Systems, 158 (2007), 23172338.
[38] Y. K. Kim, B. M. Ghil, Integrals of fuzzy-number-valued functions, Fuzzy Sets and Systems 86 (1997), 213222.
[39] M. Stojakovic, Z. Stojakovic, Series of fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, 160(21) (2009), 31153127.
[40] S. Aytar, Statistical limit points of sequences of fuzzy numbers, Inform. Sci., 165 (2004), 129138.
[41] S. Aytar, Bulank say dizilerinin istatistiksel limit ve y§lma noktalar, Doktora tezi , Süleyman Demirel Üniversitesi Türkiye, 2005.
[42] D. H. Hong, E. L. Moon, J. D. Kim, A note on the core of fuzzy numbers, Appl. Math. Lett., 23(5) (2010), 651655.
[43] J. -X. Fang, Q. -Y. Xue, Some properties of the space of fuzzy-valued continuous functions on a compact set, Fuzzy Sets and Systems, 160(11) (2009), 16201631. [44] C. -X. Wu, G. -X. Wang, Convergence of fuzzy numbers and xed point theorems for incresaing fuzzy mappings and application, Fuzzy Sets and Systems, 130 (2002), 283290.
ÖZGEÇM
1981 ylnda Konya ilinin Sarayönü ilçesinde do§du. lkö§renimini Ni§de'nin Uluk³la ilçesinde ve Antalya'da, Ortaö§renimini Malatya'da tamamlad. 1998 y- lnda nönü Üniversitesi E§itim Fakültesi Matematik Ö§retmenli§i Bölümünü ka- zand. Be³ yllk üniversite e§itimini 2003 ylnda ba³aryla tamamlayarak, bölüm birincili§iyle mezun oldu. Ayn yl Elaz§ ilinin Alacakaya ilçesine Matematik ö§ret- meni olarak atand. nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalnda 2003 ylnn güz döneminde yüksek lisans e§itimine ba³lad. 2006 ylnda yüksek lisans e§itimini tamamlad. 2006 güz döneminde yine ayn enstitüde doktora e§itimine ba³lad. Halen Malatya Anadolu Lisesinde Matematik ö§retmeni olarak görev yapmaktadr.