4. KANAL DÜRTÜ TEPK˙IS˙IN˙IN KISALTILMASI
4.2. Önerilen Yöntem
Literatürdeki kanal kısaltma yöntemlerinin hepsi incelendi ˘ginde, istenen enbü-yük veya enküçük özde ˘geri veren gecikme de ˘gerinin kaba kuvvet arama ile bulunmaya çalı¸sıldı ˘gı görülmektedir. Önerdi ˘gimiz yöntemde, e ˘ger kanal denk-le¸stirme algoritmasından önce grup gecikme denkdenk-le¸stirme yapılırsa kaba kuv-vet aramaya gerek kalmayacaktır. ¸Sekil 4.6’de önerilen yöntem uygulandıktan sonra, OFDM verici ve alıcısı gösterilmi¸stir. ¸Sekilde görüldü ˘gü gibi, vericide de ˘gi¸siklik yoktur, fakat alıcı sisteminde analog sayısal dönü¸stürücü öncesinde sinyal gerçek zamanlı olacak ¸sekilde frekansı dü¸sürülmü¸stür. Sinyal örneklen-dikten sonra da grup gecikme denkle¸stirme i¸sleminden geçirilmi¸stir. Blok ¸se-manın geri kalanı standart yapı ile aynıdır.
X
IFFT&
P/S
& CP
x SAD
& IQ Çarpma
Kanal
h +
n
Direkt Dön. &
ASD
Grp.Gec.
Denk.
TEQ w
CP
&
S/P
&
FFT Xˆ
¸
Sekil 4.6. Önerilen yöntem
¸
Sekil 4.3’te OFDM alıcısında zaman ve frekansta denkle¸stirme blokları gös-terilmi¸stir. ¸Sekil 4.6’da ise, zamandaki denkle¸stiricinin önüne grup gecikmesi e¸sitleme blo ˘gunun eklendi ˘gi görülmektedir.
Uygulanan yöntem üç teori ile özetlenebilir.
Teori 4.1. Grup gecikmesi e¸sitlenen gerçek dürtü tepkisi simetrik hale gelmek-tedir.
Kanıt. Grup gecikmesi, faz tepkisinin türevinin negatifidir ve
τg(ω) =−d[θ(ω)]
dω . (4.34)
biçiminde yazılabilir. Gerçek kanal frekans tepkisi,
H(ω) =|H(ω)|e−jφ(ω), (4.35)
olarak yazılabilir. E¸sitlikteki|H(ω)| fonksiyonu simetriktir ve φ(ω) fonksiyonu da antisimetriktir. Kanal tam-geçirgen filtre ile filtrelendikten sonra, yeni sinyal,
H(ω) = A(ω)H(ω).˜ (4.36)
olarak yazılabilir. Kanal dürtü tepkisinin grup gecikmesi sabit bir gecikmeye denkle¸stirildikten sonra, kanal dürtü tepkisi do ˘grusal faza sahip olur ve kanalın frekans tepkisi,
H(ω) =˜ |H(ω)|ej(τgω+c) (4.37)
olarak yazılabilir. E ˘ger, tam-geçirgen filtrenin katsayıları gerçek katsayılı olursa, denkle¸stirilmi¸s kanal dürtü tepkisi de gerçek de ˘gerli olacaktır. Bu durumda, τgω + c’nın da antisimetrik olması gerekmektedir ve c katsayısı sıfır olur. Denk-le¸stirilen kanal dürtü tepkisi de,
H(ω) =˜ |H(ω)|ejτgω. (4.38)
olarak yazılabilir.|H(ω)| gerçek de˘gerlidir ve ters DFT fonksiyonu da 0 etrafında simetriktir. Böylece, E¸sitlik (4.38)’de görüldü ˘gü gibi denkle¸stirilmi¸s kanal dürtü tepkisi, τg etrafında simetrik olmaktadır.
Grup gecikmesi denkle¸stirmenin etkisini göstermek için ¸Sekil 4.7’de, grup ge-cikmesi e¸sitleme uygulanacak olan gerçek de ˘gerli kanal dürtü tepkisi gösteril-mektedir.
0 20 40 60 80 100 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Amplitude
Channel
Genlik
Zaman
¸
Sekil 4.7. Kanal dürtü tepkisi
¸
Sekil 4.8’de ise grup gecikmesi denkle¸stirilmi¸s kanal dürtü tepkisi gösterilmek-tedir. ¸Sekilde görüldü ˘gü gibi, dürtü tepkisi simetrik olmu¸stur. ¸Sekillerde görül-dü ˘gü gibi grup gecikmesi denkle¸stirilmi¸s görül-dürtü tepkisinin gecikme yayılması, orijinal dürtü tepkisinin gecikme yayılmasından daha fazla de ˘gildir. E¸sitlik 4.35 ve 4.38’de görüldü ˘gü gibi, kanal frekans tepkileri genlik ve faz tepkilerinin çar-pımı olarak yazılabilir. ˙Iki e¸sitlikte de genlik kısmı aynıdır ve denkle¸stirilmi¸s ka-naldaki faz tepkisi zamanda bir dürtüdür. E¸sitlik 4.35’de genlik tepkisinin farklı frekans bile¸senleri farklı gecikmelere u ˘gramaktadır. Böylece, denkle¸stirilmi¸s dürtü tepkisinin gecikme yayılması orijinal dürtü tepkisinin gecikme yayılma-sından fazla olmamaktadır.
Teori 4.2. ˙Iki simetrik fonksiyonun evri¸simi simetriktir.
Kanıt. h, birinci simetrik dürtü tepkisidir. w de ikinci simetrik dürtü tepkisidir. H da h dürtü tepkisinin evri¸sim matrisidir.
˙Iki simetrik dürtü tepkisinin evri¸simi,
Hw = ˆh
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Amplitude
Equalized Channel
Genlik
Zaman
¸
Sekil 4.8. Grup gecikmesi e¸sitlenmi¸s dürtü tepkisi
H11 H12 JH12J JH11J
w1 Jw1
=
hˆ1 hˆ2
(4.39)
biçiminde gösterilebilir ve sonuç vektöründeki parçalar,
hˆ1 = H11w1+ H12Jw1 hˆ2 = JH12Jw1+ JH11JJw1 hˆ2 = JH12Jw1+ JH11w1 hˆ2 = J(H12Jw1 + H11w1)
hˆ2 = Jˆh1 (4.40)
olacak ¸sekilde yeniden yazılabilir. E¸sitliklerdeki J matrisi ters diyagonalının hepsi 1 olan matristir. Satır ve sütunda çarpıldı ˘gı matrisi ters çevirebilmektedir.
Görüldü ˘gü gibi, iki simetrik dürtü tepkisinin evri¸simi de simetrik olmaktadır.
Teori 4.3. TEQ algoritmalarında e ˘ger denkle¸stirilmi¸s kanal simetrik ise, opti-mum pencere yeri denkle¸stirilmi¸s kanalın ortasıdır.
Kanıt. Kanal kısaltıcı denkle¸stirme algoritmalarında da e ˘ger TEQ katsayıları simetrik olacak ¸sekilde ayarlanırsa, kısaltılmı¸s kanal da simetrik olacaktır. Bu durumda pencerenin yerinin seçimi için en ideal yerin kanalın ortası oldu ˘gu dü¸sünülmektedir. ¸Sekil 4.9a, ¸Sekil 4.9b ve ¸Sekil 4.9c’de pencerenin denkle¸sti-rilmi¸s kanalın farklı noktalarına yerle¸simi çizilmi¸stir. ¸Sekillerde görülen denkle¸s-tirilmi¸s kanalın uzunlu ˘gu N = M + t− 1’dir. t parametresi TEQ katsayılarının uzunlu ˘gudur. M parametresi kanal uzunlu ˘gudur. ¸Sekildeki v parametresi kısal-tılmı¸s kanalın seçilece ˘gi pencerenin uzunlu ˘gudur. ¸Sekilde gösterilen denkle¸s-tirilmi¸s kanal simetriktir.
Pencerenin yerine göre olu¸san sinyal-giri¸sim oranı, SIR = ˆhTGˆh
ˆhTDˆh olarak göste-rilebilir. E¸sitlikteki G ve D matrisleri pencerenin yerini belirlemek için kullanılan diyagonal matrislerdir ve E¸sitlik (4.27)’da de ˘gerleri gösterilmi¸stir. Sinyal-giri¸sim oranı, pencere yerle¸simine göre üç farklı durum için hesaplanabilir. Pencerenin yeri, ¸Sekil 4.9a’daki gibi seçilirse, sinyal-giri¸sim oranı,
SIR =
Pd+v
d |ˆh(n)|2 Pd−1
1 |ˆh(n)|2+PN
d+v|ˆh(n)|2
=
Pd+v
d |ˆh(n)|2 Pd−1
1 |ˆh(n)|2+PN −d−v
d+v+1 |ˆh(n)|2+PN −d+1
N −d−v+1|ˆh(n)|2+PN
N −d+2|ˆh(n)|2. (4.41)
olarak hesaplanabilir. ¸Sekilde görülen mavi bölge seçilen pencerenin yerini göstermektedir. Geri kalan tüm bölgeler giri¸sime sebep olmaktadır. Kırmızı ile seçilen bölge de mavi bölgenin simetri ˘gidir. E¸sitlik (4.41)’de görüldü ˘gü gibi, si-metriden dolayı mavi karenin içindeki bölgenin enerjisi arttırıldı ˘gında kırmızı bölgenin içindeki bölgenin enerjisi de artacaktır.
Pencere ¸Sekil 4.9b’deki gibi seçilirse, sinyal-giri¸sim oranı,
SIR =
PN +1−d
d |ˆh(n)|2+Pd+v
N +2−d|ˆh(n)|2 PN −d−v
1 |ˆh(n)|2+Pd−1
N −d−v+1|ˆh(n)|2+PN
d+v+1|ˆh(n)|2 (4.42)
olarak hesaplanabilir. Bir önceki ¸sekilde oldu ˘gu gibi mavi bölge seçilen pence-renin yerini göstermektedir. Mavi bölge haricindeki tüm örnekler giri¸simi arttır-maktadır. Kırmızı bölge ile gösterilen alan, mavi pencereye simetrik olan bölge-leri göstermektedir ve giri¸sime sebep olmaktadır. ¸Sekil 4.9b’de görüldü ˘gü gibi, mavi pencerenin bir kısmı giri¸sime sebep olan kırmızı penceredeki sinyal ile simetriktir, yani yine mavi pencere içindeki sinyal enerjisi arttırılmaya çalı¸sılır-ken, kırmızı pencere içindeki sinyal enerjisi de artacaktır. Fakat, ¸Sekil 4.9a’daki kadar giri¸sim artmayacaktır.
¸
Sekil 4.9c’deki gibi seçildi ˘gi durumda ise, sinyal-giri¸sim oranı,
Pd+v
d |ˆh(n)|2 Pd−1
1 |ˆh(n)|2+PN
d+v+1|ˆh(n)|2 (4.43)
olarak hesaplanabilir. Bu durumda, mavi penceredeki seçilen sinyalin simetrik kısmı da yine mavi pencere içine dü¸smektedir. 3. durum haricindekilerde, pen-cere içindeki sinyal örneklerinin hepsinin veya bir kısmının aynısı penpen-cere
dı-¸sındaki örneklerde de vardır. Bu sebepten dolayı bu durumlarda sinyal-giri¸sim oranını enbüyültmek 3. duruma göre daha zor olacaktır.
Yukarıdaki bölümlerde anlatıldı ˘gı gibi, kısaltılmı¸s kanal dürtü tepkisinde sin-yal enerjisi bir pencerenin içinde toplanılmaya çalı¸sılmaktadır, kısaltılmı¸s kanal dürtü tepkisinin simetrik oldu ˘gu durumda, sinyal enerjisinin toplanılabilece ˘gi
1 N/2 N/2 + 1 N
d d + v N− d − v + 1 N− d + 1
(a) Durum 1
1 N/2 N/2 + 1 N
d d + v
(b) Durum 2
1 N/2 N/2 + 1 N
d d + v
(c) Durum 3
¸
Sekil 4.9. Kısaltılmı¸s simetrik kanal dürtü tepkisinde pencere yerle¸simi
tek nokta orta noktadır. Bu durumda, pencerenin gecikme de ˘geri
d = N + 1− v
2 (4.44)
olacaktır. Önerilen yöntemde, grup gecikme e¸sitlemesinden geçirilen dürtü tep-kisi literatürdeki kısaltma algoritmalarından birisi kullanılarak kısaltılır. Grup ge-cikmesi denkle¸stirme i¸slemi sırasında olu¸sacak hatalardan dolayı kanal tama-men simetrik hale getirilemeyebilir, bu sebepten dolayı,
d = N + 1− v
2 − δ, . . . ,N + 1− v
2 + δ (4.45)
¸seklinde e¸sitlenmi¸s dürtü tepkisinin ortasına yakın de ˘gerler seçilebilir. E¸sitlikte, δparametresi arama aralı ˘gını belirtmektedir.
Daha önce literatürde, TEQ katsayıları w simetrik olan bir yöntem önerilmi¸s-tir [88]. Bu yöntem, w katsayılarını simetrik olmaya zorlayarak, A matrisinin boyutlarını 1/2 oranında küçültmektedir. Bu durumda MSSNR objektif fonksi-yonu,
h
wT1 wT1J i
A11 A12
A21 A22
w1
Jw1
= 2w1T(A11+ JA21+ A12J + JA22J)w1 (4.46)
¸seklinde yazılabilir. E¸sitlikte görüldü ˘gü gibi, matris ve vektör boyutları yarıya inmi¸stir. Daha önceki bölümlerde gösterildi ˘gi gibi, en iyileme problemi genel-le¸stirilmi¸s özde ˘ger problemine dönü¸smektedir. Enbüyük özde ˘geri güç metodu ile bulmanın karma¸sıklı ˘gı O(N3)’dır. Ayrıca, yine önceki bölümlerde anlatıldı ˘gı gibi, tüm TEQ yöntemlerinin eniyi gecikme de ˘gerini kaba kuvvet arama ile bul-ması gerekmektedir, böylece algoritmanın toplam karma¸sıklı ˘gı O(N4) olmakta-dır. Böylece, literatürdeki TEQ katsayılarını simetrik olmaya zorlayan yöntemin karma¸sıklı ˘gı O(N4/8) olarak yazılabilir [88]. Bu çalı¸sma boyunca bu yöntem
“Symmetric1” olarak isimlendirilecek ve kıyaslama için kullanılacaktır.
Bu çalı¸smada iki yeni yöntem önermekteyiz. Önerdi ˘gimiz yöntemler, MSSNR algoritmasındaki gecikme arama döngülerini kaldırmaktadır ve bu döngülerin yerine tam geçirgen filtre ile grup gecikmesi e¸sitleme eklemektedirler. TEQ al-goritmasının girdisini tam geçirgen filtreler ile denkle¸stirmenin sonucunda metrik yapmak, TEQ katsayıları simetrik oldu ˘gu durumda, TEQ çıkı¸sını da si-metrik yapmaktadır. Böylece, kaba kuvvet gecikme aramasına gerek kalma-maktadır. Optimum gecikme kısaltılmı¸s kanal dürtü tepkisinin orta noktası ol-maktadır.
Önerilen yöntem iki farklı ¸sekilde kullanılabilir.
1) (Symmetric1-noloop) : ˙Ilk yöntemde, E¸sitlik (4.46)’deki, MSSNR algoritmasındaki,
wTAw = 2w1T(A11+ JA21+ A12J + JA22J)w1 (4.47)
de ˘geri objektif fonksiyonu olarak kullanılmaktadır. Fakat, gecikme arama dön-güsü kullanılmamaktadır.
2) (Symmetric2-noloop) ˙Ikinci yöntemde ise grup gecikmesi denkle¸stirmenin kanalı tamamen hatasız bir ¸sekilde simetrik yaptı ˘gı varsayılır ve E¸sitlik (4.46)’daki objektif fonksiyonu varsayarsak, MSSNR algoritmasindaki objektif fonksiyonu,
wTAw = 2w1T(A11+ A12J)w1 (4.48)
olarak yeniden yazılabilir. Bu durumda da gecikme arama döngüsü kullanıl-mamaktadır. Bu yöntem karma¸sıklı ˘gı azaltmamaktadır fakat grup gecikmesi denkle¸stirme hatası pahasına toplama ve gerekli hafızada azaltmaya imkan vermektedir.
